PO-I-03-resolucao-grafica

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PESQUISA OPERACIONAL 
Resolução Gráfica 
 
 
 Professor Volmir Wilhelm 
Professora Mariana Kleina 
0,
113105
3102030.
86 max
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZ
2 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
Calcule o gradiente de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 em 𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 = (1,0), 
 𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 = (0,1), 𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 = (1,1)), 𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 = (0,0) e desenhe 
esses vetores sobre as curvas de nível da função. 
∇𝑓 = 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = 2𝑥, 2𝑦 
∇𝑓(1,0) = 2,0 
∇𝑓(0,1) = 0,2 
∇𝑓 1,1 = 2,2 
∇𝑓(0,0) = 0,0 
Determinação do gradiente 
3 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
O gradiente é um vetor, onde a primeira coordenada é a sua 
primeira componente e a segunda coordenada é a sua segunda 
componente. 
 
Por exemplo, ∇𝑓(1,0) = 2,0 é um vetor que, a partir do ponto 
(1,0) se desloca duas unidades à direita. 
 
Representação gráfica do gradiente 
4 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
• Curva de nível representada no domínio 
• Gradiente representado no domínio 
• Gradiente perpendicular a tangente da curva de nível 
O gradiente é um vetor que indica a direção na qual a 
função cresce “mais rapidamente”. No ponto onde a 
função é mínima/máxima, o vetor gradiente é nulo. 
5 
   2010 ,, f
Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
 86
86 21
,Z
xxZ


 Função - plano 
Gradiente e curvas de nível 
Equação de um plano 
 
6 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
 86
86 21
,Z
xxZ










0
113105
3102030
21
21
21
x,x
xx
xx
 Função - Plano 
Domínio - Região em R2 
Gradiente e curvas de nível 
Equação de um plano - pl 
 
7 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
0,
113105
3102030.
86 max
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZ
   
   




0,,,0113105
0,,,03102030
5
113
10
113
21
3
31
2
31
21
DCxx
BAxx
A 
B 
C 
D 
Solução gráfica – exemplo 1 
8 8 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
0,
113105
3102030.
86 max
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZ





113105
3102030
21
21
xx
xx
Solução gráfica – exemplo 1 
9 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
 




8,6
4886 2148
Z
xxZ
 8,6Z
48Z
9,2 46/5 
4,2 21/5 
98,8 494/5 Z
*
2
*
1
*



x
x
0,
113105
3102030.
86 max
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZ





113105
3102030
21
21
xx
xx
Solução única 
Solução gráfica – exemplo 1 
10 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
B 
A 
C 
D 
E 
F 
   
   
   












05020445
05301553
6
5
02202
9
4
21
21
2
1
21
,,,
,,,
,,,
FExx
DCxx
x
x
BAxx
0
20445
1553
6
5
2
106
21
21
21
2
1
21
21







xx
xx
xx
x
x
xxas
xxZ
,
.
min 
Solução gráfica – exemplo 2 
11 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
0
20445
1553
6
5
2
106
21
21
21
2
1
21
21







xx
xx
xx
x
x
xxas
xxZ
,
.
min 













20445
1553
6
5
2
21
21
2
1
21
xx
xx
x
x
xx
Solução gráfica – exemplo 2 
12 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 













20445
1553
6
5
2
21
21
2
1
21
xx
xx
x
x
xx
0
20445
1553
6
5
2
106 
21
21
21
2
1
21
21







xx
xx
xx
x
x
xxas
xxZ
,
.
min
 




10,6
60106 2160
Z
xxZ
2,625 21/8 
6250 5/8 
03 Z
*
2
*
1
*



x
x ,






0 5 03 Z
1,15 15/13 3,08 40/13 03 Z
*
2
*
1
*
*
2
*
1
*
xx
xx
Solução múltipla 
Solução gráfica – exemplo 2 
13 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
   
   




05505
06301863
21
21
,,,
,,,
DCxx
BAxx
0,
5
1863.
124 max
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZ
Solução gráfica – exemplo 3 
14 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
0,
5
1863.
124 max
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZ





5
1863
21
21
xx
xx
Solução gráfica – exemplo 3 
15 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
0,
5
1863.
124 max
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZ





5
1863
21
21
xx
xx
 




12,4
48124 2148
Z
xxZ
3 
0 
63 Z
*
2
*
1
*



x
x
Solução degenerada 
Solução gráfica – exemplo 3 
16 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
   
   
   










0,4,5,02045
0,5,3,01553
6
0,2,2,02
21
21
2
21
FExx
DCxx
x
BAxx
0,
2045
1553
6
2.
106 max
21
21
21
2
21
21






xx
xx
xx
x
xxas
xxZ
A 
B 
C 
D 
E 
F 
Solução gráfica – exemplo 4 
17 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 











2045
1553
6
2
21
21
2
21
xx
xx
x
xx
0,
2045
1553
6
2.
106 max
21
21
21
2
21
21






xx
xx
xx
x
xxas
xxZ
Solução gráfica – exemplo 4 
18 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
0,
2045
1553
6
2.
106 max
21
21
21
2
21
21






xx
xx
xx
x
xxas
xxZ
 




10,6
60106 2160
Z
xxZ











2045
1553
6
2
21
21
2
21
xx
xx
x
xx
Solução ilimitada 
Solução gráfica – exemplo 4 
19 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
0,
20
12.
 max
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZ
Solução inviável 
Solução gráfica – exemplo 5 
20 Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina 
Solução gráfica – Procedimento 
21 
I. Desenhe a reta de cada restrição no gráfico. 
II. Identifique a região de soluções viáveis, isto é, a área do gráfico que simultanea-
mente satisfaz a todas as restrições. 
III. Encontre a solução ótima pelo seguinte método: 
a. Desenhe uma ou mais curvas de nível da função objetivo e determine a direção na 
qual curvas paralelas resultam em aumentos no valor da função objetivo; 
b. Desenhe curvas paralelas na direção do crescimento (indicada pelo gradiente de Z) 
até que a curva toque a região de soluções viáveis em um único ponto (ou em um 
segmento). 
 
Prof. Volmir Eugênio Wilhelm – Professora Mariana Kleina