Lista de cálculo janeiro 23

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo Numérico
Lista de Exerćıcios no2
1. Explique porque a equação e−x = x admite uma solução no intervalo [0, 1].
(a) Use o método da bissecção para encontrar a raiz com 3 d́ıgitos significativos. É posśıvel
mostrar que não há outra raiz?
(b) Tomando ϕ(x) = e−x como função de iteração e x0 = 0 como chute inicial o Método do
Ponto Fixo converge?
(c) Qual o número mı́nimo de iterações k que será realizado pelo algoritmo do método da
bissecção para que o erro seja menor que 10−8 iniciando as iterações no intervalo [0, 1]?
2. Encontre uma aproximação de 31/6 com 3 d́ıgitos significativos, reformulando o problema
através de uma equação apropriada e resolvendo-o via o método da bissecção.
3. Use o método da bissecção para encontrar todas as ráızes reais do polinômio p(x) = x5−3x2+1
com 2 d́ıgitos significativos.
4. Localize graficamente os zeros das funções a seguir:
(a) f(x) = 4cos(x)− e(2x)
(b) f(x) = x/2− tan(x)
(c) f(x) = 1− xln(x)
(d) f(x) = 2x − 3x
(e) f(x) = x3 + x− 1000
5. Considere o problema de resolver f(x) = 0 via método do ponto fixo, onde f(x) = e−x+x−2.
(a) Mostre graficamente que exitem 2, e somente 2, zeros de f e localize-os.
(b) Mostre que ϕ(x) = −e−x + 2 é função de iteração de f .
(c) Calcule ϕ
′
e analise
∣∣ϕ′(x)∣∣.
(d) Mostre que não é posśıvel garantir a convergência de xk+1 = ϕ(xk) para a solução negativa
se x ∈ (−2,−1);
(e) Mostre que a sequência xk+1 = ϕ(xk) converge se x ∈ (1, 2).
Respostas:
1. a) São necessárias 10 iterações pelo método da bissecção. A ráız é única, pois f ′(x) < 0 ∀x ∈ R.
b) Verificar as hipóteses do TPF.
c) São necessárias 27 iterações.
2. Tome f(x) = x6 − 3. Com 7 iterações pelo método da bissecção obtem-se x̃ ≈ 1, 09.
3. As ráızes estão nos intervalos I1 = [−1, 0], I2 = [0, 1], I3 = [1, 2] e são necessárias 7, 7 e 4
iterações, respectivamente. Dica: veja como ficaria cada aproximação escrita na aritmética de
ponto flutuante com dois d́ıgitos significativos. Exemplo: em I3, x3 ≈ x̃3 = (0.1d2d3 · · · )× 10, logo
devemos ter um erro menor que 10−1 para ter dois d́ıgitos significativos.
4. a) Infinitos zeros em (−π
2
, 0), (−2π, −3π
2
), ...
b) Infinitos zeros em (kπ, kπ + π
2
), k ∈ Z
c) Único zero em (1, 2)
d) Único zero em (0, 1)
e) Único zero em (9, 10)
5. a) Os zeros estão localizados em (1, 2) e (−2,−1)