Aula 4 Solução de equações transcendentes e polinomiais raízes de equações

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Cálculo numérico
Aula 4: Solução de equações transcendentes e polinomiais –
raízes de equações
Apresentação
Nesta aula, continuaremos a identi�car, comparar e aplicar os métodos numéricos para a solução de equações
transcendentais e polinomiais.
Objetivos
Continuar apresentando alguns métodos numéricos.
Comparar e aplicar para solução de equações transcendentais e polinomiais.
Método de aproximação
Quando desejamos encontrar a convergência de uma função, analisamos uma sucessão de termos, que convergem para um
valor exato. No entanto, devemos entender que este método também é um resultado aproximado e que é calculado com um
número �nito de operações elementares. O objetivo é encontrar sucessões que se aproximem do(s) valor(es) exato(s) com um
número mínimo de operações elementares.
Veremos, a seguir, dois métodos que trabalham com a ideia de aproximação:
01 método do ponto �xo
02 método de Newton-Raphson
Método do ponto �xo (MPF) ou Método iterativo linear (MIL)
Para utilizarmos o método do ponto �xo, devemos trabalhar com uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha
uma raiz de f(x), tal que f(x) = 0. O método inicia-se reescrevendo a função f(x) em uma função equivalente, pois a função
original não facilita a procura da raiz (ou raízes).
Para que possamos encontrar a raiz (ou raízes) a partir de uma aproximação inicial x , reescrevemos a função original como x
= 𝜑(x). Com isso, geramos a sequência {x } de aproximações para Ç (raiz) pela relação x = 𝜑(xk), pois a função 𝜑(x) será de
tal forma que f(Ç) = 0 se, e somente se, Ç= 𝜑 (Ç).
A função 𝜑(x) que satisfaz a esta condição é chamada função de iteração para f(x) = 0.
0
k k+1
Para x² + x - 6 = 0, por exemplo, temos várias funções de iteração possíveis, tais como:
a) φ (x) = 6 − x2
b) φ (x) = − 16
x
c) φ (x) = 6
x+1
Pode-se observar que existem in�nitas funções 𝜑(x). De acordo com a escolha da função, podemos não convergir para a raiz
procurada. A forma geral desta função 𝜑(x)) será 𝜑(x) = x + A(x).f(x), com a condição que em Ç, ponto �xo de 𝜑(x), se tenha
A(Ç) ≠ 0.
Teorema
Seja Ç uma raiz da equação f(x) = 0, isolada num intervalo I e centrado em Ç. Seja 𝜑(x) uma função de iteração para f(x) = 0.
Se todas as condições a seguir forem satisfeitas, então, a sequência de x encontrada no processo iterativo converge para Ç.
𝜑(x) e 𝜑’(x) são contínuas em I
| 𝜑’(x)| ≤ M ≤ 1 para todo x ∈ I
x ∈ I
k
0
No caso da função x² + x - 6 = 0, sabemos calcular sua raiz, ou seja, Ç = -3 e Ç = 2. Se testarmos as condições do teorema para
𝜑(x) = 6 - x², veremos que o mesmo não satisfaz a condição do item b, isto é, | 𝜑’(x)| < 1 se, e somente se, |2x|< 1 ↔ < x < .
Então, não existe intervalo centrado em Ç = 2.
Utilizando 𝜑(x) = −1 com ponto inicial x = - 2.5, para encontrar a raiz Ç = -3, veremos que essa função satisfaz todas as
condições do teorema. Logo, podemos de�nir o intervalo I = [-3.5, 2.5] e, com isso, a função convergirá.
Dessa forma, temos que:
x = −1=−3.4
x = −1=−2.764706
⋮
Observe que, nesse caso, conhecemos as raízes, logo, podemos escolher o intervalo que levará a convergência para a(s)
raiz(es). Quando não conhecermos o intervalo, devemos de�ni-lo aproximadamente como nos métodos anteriores. Para se
de�nir a outra raiz, devemos utilizar a função 𝜑(x) = √(6−𝑥), com x = 1.5.
−1
2
1
2
6
x 0
1
1
−2.5
2
6
−3.4
0
Método de Newton-Raphson ou Método de Newton
Neste método, queremos estimar a raiz (ou as raízes) de uma função. No entanto, dependendo do tipo de função, essa tarefa
pode ser um processo complicado.
O método de Newton procura obter a convergência de uma forma mais rápida do que os métodos anteriores. Para isso,
trabalharemos com a derivada da função, ou seja, 𝜑‘(Ç) = 0. Este método também é conhecido como método das tangentes
em função da sua interpretação grá�ca.
Dada a equação f(x) = 0 e partindo de uma 𝜑(x), queremos obter a função A(x) tal que 𝜑' = 0.
Como 𝜑(x) = x + A(x).f(x), derivando essa função e aplicando o ponto Ç, encontraremos que A(x) = . Logo, teremos que:
Escolhendo x , encontraremos a sequência x , utilizando:
Sendo:
n a n-esima iteração do algoritmo e
f‘’(x ) a derivada da função f em x .
−1
(x)f ′
φ(x) = =Xn+1 Xn
f( )xn
( )f ′ xn
0 k
=Xn+1 Xn
f( )xn
( )f ′ xn
n n
Lembre-se de que tangente é a derivada da função, como foi estudado em
Cálculo I.
Observe gra�camente o método:
Partimos de um ponto inicial x . O ponto x é obtido de tal forma que x1 é a abcissa do ponto de interseção entre o eixo ox e a reta tangente à curva f(x),
no intervalo (x , f(x )).
0 1
0 0
Observação: Este método nem sempre converge. Se a derivada no ponto x se aproxima de zero, o método pode divergir, ou
seja, não se aproximar da raiz exata. Note que requer que f’(x ) seja diferente de zero para todo k.
No entanto, se trabalharmos com e f’( ) diferente de zero, o método de Newton está bem de�nido, embora a convergência
seja mais lenta. Além disso, temos como desvantagem o cálculo da derivada da função.
k
k
x x
Considere f(x) = x² + x - 6, tomando como ponto inicial x = 1.5 e a aproximação de Ç = 2 e cinco casas decimais.
Passo 1 – considerando n = 0:
Assim teremos:
Calculando f(1.5) e f’(1.5) e substituindo em (1), encontraremos a primeira aproximação para a raiz, ou seja, x = 2.0625.
Como desejamos ter uma aproximação de Ç = 2, devemos repetir mais uma vez o cálculo, tomando agora o ponto x . Logo:
Calculando x , obteremos 2.00076. No entanto, novamente, não alcançamos a aproximação desejada. Passamos, então, ao
cálculo de x , seguindo o mesmo procedimento, e obteremos 2.00000, alcançando a aproximação desejada.
0
= − ,  então  = −xn+1 xn
f( )xn
f'( )xn
x1 x0
f( )x0
f'( )x0
= 1. 5 −  (1)x1 f(1.5)f'(1.5)
1
1
= 2, 0625 −x2
f(2.0625)
f'(2.0625)
2
3
Método da secante
Como vimos , o método de Newton utiliza a derivada da função f(x), o que pode transformar este método em algo nem sempre
apropriado para a função estudada e, consequentemente, ser uma desvantagem.
Uma forma de melhorar, é substituir a derivada pelo quociente das diferenças, ou seja, utilizar a de�nição formal de derivada:
Onde, x e x são duas aproximações para a raiz. Nesse caso, a função de iteração será:
Podemos melhorar esta função utilizando operações básicas da matemática. Esta �cará, então, da forma:
f'(x) ≈ f( )−f( )xk xk−1−xk xk−1
k k-1
φ = −
⎛
⎝
xk
⎞
⎠
xk
f( )xk
f( )−f( )xk xk−1
−xk xk−1
φ( ) =xk f( )− f( )xk−1 xk xk xk−1f( )−f( )xk xk−1
Interpretação geométrica
A partir de duas aproximações x e x , o ponto x é obtido
como sendo a abcissa do ponto de intersecção do eixo ox e
da reta secante que passa por (x , f(x )) e (x , f(x )).
k k-1 k
k-1 k-1 k k
Considerando f(x) = x² + x - 6, sabemos que a raiz dessa equação é Ç = 2. Tomemos, então, como pontos iniciais x = 1.5 e x1 =
1.7. Lembrando de que precisamos de dois valores aproximados para este método.
O valor de x2 será achado aplicando a função iteração:
Logo, teremos que:
Sabendo que f(x1) = (1.7)² + 1.7 - 6 = -1.41 e f(x0) = (1.5)² + 1.5 - 6 = -2.25.
Da mesma forma, podemos calcular a sequência de aproximações para raiz da função com a precisão desejada.
0
φ( ) =xk f( )− f( )xk−1 xk xk xk−1f( )−f( )xk xk−1
= = 2. 03571x2
f( )− f( )x0 x1 x1 x0
f( )−f( )x1 x0
Atividades
Questão 1
Utilizando o método de Newton, resolva a equação x² - 2 = 0, com Ç = 10-5,ou seja, o cálculo da raiz da função √2,tendo como
ponto inicial x = 1.00000.0
Questão 2
Utilizando o método do ponto �xo, encontre a sequência de x que leva a raiz Ç = 2, considere a função de iteração 𝜑(x) =
√(6−𝑥), com x = 1.5 em 5 iterações e x com quatro casas decimais.
k
0 k
NotasReferências
ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São
Paulo: Thomson Learning, 2008. 
BARROSO, Leônidas Conceição et. al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987. 
RUGGIERO, Marcia A. Gomes;LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São
Paulo: Pearson, 2006.
Próxima aula
Aplicação de diferentes métodos para solução de sistemas de equações lineares.
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