Potencial Elétrico e Energia

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: ELETROMAGNETISMO I 
 
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CAPÍTULO 5 
5.1 POTENCIAL ELÉTRICO 
5.1.1 Potencial elétrico de cargas puntiformes 
 
Na aula de hoje. Vamos estudar as particularidades do potencial elétrico e 
como a partir dele conseguimos calcular o campo elétrico. 
 
 5.2 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA 
 
A energia potencial elétrica é o tipo de energia que fica armazenada no campo 
elétrico. A variação dessa energia é igual ao trabalho realizado por uma força para 
mover uma carga de prova na direção de uma carga fonte. 
 
 
 
 
 
 
No ponto a (Figura 5.1) existe certa quantidade de energia armazenada que é respon-
sável por uma carga de prova até o infinito caso ela seja abandonada nesse local. O 
mesmo ocorre se a carga estiver sobre o ponto b. A diferença dessa energia é igual 
ao trabalho necessário para mover a carga de prova do ponto a para o ponto b e é 
dada pela equação 5.1 
WUUU ab −==− (5.1) 
Figura 5.1 
 
Fonte: do autor 
 
 
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Onde U é a energia potencial, U é a variação da energia e éW o trabalho realizado 
pela força elétrica. Se a carga a estiver no infinito a diferença de energia será igual à 
energia potencial no ponto b (equação 5.2). 
WVU b −== (5.2) 
Como trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento, temos: 
𝑈 = −(𝐹
→
• 𝑑
→
) = −(|𝐹|. |𝑑| 𝑐𝑜𝑠 𝜃) = −𝐹. 𝑑 
Como F é a força elétrica 
 
d
q
Q
U
d
d
q
QQEdU
00 4²4
1

==





−−=−= 
d
q
V
Q
U
04
== (5.3) 
 
A equação 5.3 nos fornece o potencial elétrico gerado por uma carga q em qualquer 
ponto a uma distância d. A unidade de medida do potencial elétrico é: 
 
)(
)(
)(
Vvolt
CCoulomb
JJoule
Q
U
V ===
 
 
Para o potencial elétrico, também vale o princípio da superposição. Assim para uma 
configuração com duas ou mais cargas, basta calcular o potencial elétrico sobre o 
ponto fazendo uma soma algébrica dos resultados (equação 5.4). Lembrando, o po-
tencial elétrico é um escalar. 
i
i
n
i d
q
V
01 4

=
= (5.4) 
 
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Exemplo 5.1: 
A figura 5.2 representa uma configuração de cargas discretas. Calcule o potencial 
gerado no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O potencial elétrico no ponto P é dado pela soma algébrica dos potenciais de cada carga sobre 
o ponto. 
Basta resolver a equação 5.3 para cada carga e depois somar. 
Note que: 
• A distância da carga 1 até o ponto P é de 0,04m. 
• A distância da carga 3 até o ponto P é de 0,03m. 
• A distância da carga 2 até o ponto P é de 0,05m 
Assim: 
30
3
20
2
10
1
0 4444 d
Q
d
Q
d
Q
d
q
V

++== 








++=
3
3
2
2
1
1
04
1
d
Q
d
Q
d
Q
V

 






+−=
−
−
−
−
−
−
mx
Cx
mx
Cx
mx
Cx
V
2
6
2
6
2
6
0 103
104
105
103
104
102
4
1

 
Figura 5.2 
 
Fonte: do autor 
 
 
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





+−=
−−−
m
Cx
m
Cx
m
Cx
C
Nm
xV
444
9 1033,1106,0105,0
²
²
1099,8 
Vx
m
Cx
C
Nm
xV 5
4
9 1009,11
1023,1
²
²
1099,8 =





=
−
 
 
5.3 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS. 
 
Uma superfície equipotencial pode ser real ou imaginaria (gaussiana). Sobre essa su-
perfície o potencial elétrico é sempre o mesmo. Como vimos na seção anterior o po-
tencial elétrico cai com o inverso da distância a partir de uma distribuição de carga. 
Observe a figura 5.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• O potencial elétrico no ponto P3 é maior que nos pontos P1 e P2. 
• Nos pontos P1 e P2 o potencial elétrico possui o mesmo valor. 
 
Figura 5.3 
 
Fonte: Halliday & Resnick, Eletromagnetismo 8ª edição, 
ed. LTC, Rio de Janeiro – RJ, p. 82 
 
 
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5.4 POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA 
 
Como vimos, o potencial elétrico de uma distribuição discreta de carga é dado 
pelo somatório de todos os potenciais individuais. Para uma distribuição contínua de 
carga substituímos a soma discreta por uma integral (equação 5.5) 
d
q
V
n
i 01 4

=
= 
 
d
dq
V
04
= 
 
d
dq
V =
04
1

 
d
dv
V

 
=
04
1
 (5.5) 
 
A equação 5.5 serve para calcular o potencial gerado por cargas que se distribuem 
uniformemente pelo volume do material. Notem que substitui o termo dq pelo corres-
pondente da densidade volumétrica de carga. O mesmo pode ser feito com as outras 
distribuições de carga (linear e superficial). 
 
Exemplo 5.2 
Calcule o potencial elétrico a uma altura z acima do centro de um disco de plástico de 
raio R que possui uma densidade de corrente σ depositada sobre a face superior. 
 
 
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Resolução: 
Para esse problema devemos adaptar a equação 5.5 para uma distribuição superficial de carga. 
Assim temos: 
drrdadq  2== 
²² rzd += 
Logo: 
d
da
V

 
=
04
1
 
 
²²
2
4
1
0
0 rz
drr
V
R
+
= 


 
Integrando por substituição. 
( )zRz
rz
drr
V
R
−+=
+
=  ²²2²²2 000 



 
Notem que, para utilizar esse método de resolução é simplesmente substituir as vari-
áveis da equação. 
Esse resultado para o potencial pode ser utilizado para calcular o potencial de qual-
quer problema desse modelo, basta substituir as variáveis do problema pelos valores 
atribuído por cada problema em particular. 
 
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5.5 POTENCIAL ELÉTRICO A PARTIR DO CAMPO ELÉTRICO 
 
Considere uma carga Q sendodeslocada de um ponto inicial (i) para um ponto final 
(f) em uma região onde o campo elétrico não é uniforme como ilustrado na figura 5.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso o trabalho realizado pela força é: 
𝑑𝑊 = 𝐹
→
. 𝑑𝑠
→
 
Substituindo a força elétrica, temos: 
𝑑𝑊 = 𝑄𝐸
→
• 𝑑𝑠
→
, assim: 
→→
•=  sdEQW
f
i
, passando a carga para o primeiro membro: 
→→
•−=−=  sdEVVQ
W f
i
if , se o potencial no ponto inicial for nulo, temos: 
→→
•−=  sdEV
f
i
 (5.6) 
Exemplo 5.4 
Considere o resultado do campo elétrico obtido no exemplo 3.3: 
Figura 5.5 
 
Fonte: Halliday & Resnick, Eletromagnetismo 8ª edição, 
ed. LTC, Rio de Janeiro – RJ, p. 83 
 
 
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• ²4 0a
q
E

=
, para pontos externos. 
 
• OE = , para pontos internos. 
 
Usando o infinito como referência determine o potencial elétrico dentro e fora da esfera 
(figura 5.6). 
Potencial externo: 
 
 
dr
r
q
V
d
•−=  ²4
1
0
, aqui substitui a distância a pôr r e ds por dr e o raio da esfera 
por R. Resolvendo essa integral, temos: 
d
r
q
V







−−=
04
1

 
r
q
d
q
V
00 4
1
4
1

== , note que esse é o mesmo potencial gerado por uma carga 
puntiforme. 
 
Potencial interno 
 
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→→→→

•−•−=  sdEsdEV
r
R
R
 
rdrd
r
q
V
r
R
R
•−•−=  0²4 0 
R
q
V
04
=
, note que o potencial elétrico no interior da esfera é constante. 
 
5.6 CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL 
 
Na seção anterior, nos vimos que é possível determinar o potencial elétrico se 
conhecermos o campo elétrico na região. Também é possível determinar o campo 
elétrico se conhecermos o potencial. Por definição o campo elétrico é igual ao gradi-
ente do potencial elétrico (equação 5.8). 
z
dz
dV
j
dy
dV
i
dx
dV
VE ++=−=
→→
, em coordenadas retangulares. (5.8) 
 
 
 
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Exemplo 5.5 
Recupere o campo elétrico do exemplo 4.3 a partir do resultado do potencial encon-
trado no exemplo 5.4. 
 
Resolução: 
Para determinar o campo elétrico a partir do potencial do exemplo 5.4, devemos es-
crever o gradiente em coordenadas esféricas. 
Para pontos externos. 






++−=−=
→→



 d
dV
rsend
dV
r
r
dr
dV
VE
11
, as componentes  e são nulas para esse 
problema o que nos fornece: 
→
=







−=−= r
r
q
r
r
q
dr
d
r
dr
dV
E
²44 00 
 c.q.p 
Para pontos internos 
0
4 0
=







−=−=
→
r
R
q
dr
d
r
dr
dV
E

, derivada de constantes é zero. 
 
Resumo: 
Em uma distribuição de cargas o campo elétrico pode ser calculado a partir do poten-
cial elétrico. 
O trabalho realizado para mover uma carga elétrica por um campo elétrico pode ser 
conseguido a partir da diferença de energia entre dois pontos. 
WUUU ab −==− 
O potencial elétrico gerado por uma carga discreta é dado por d
q
V
Q
U
04
==
 
Para várias cargas puntiformes é valido o princípio da superposição 
Sobre uma superfície equipotencial o potencial elétrico não sofre variação. 
 
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Para uma distribuição contínua de cargas o potencial pode ser determinado pela 
equação 
d
dv
V

 
=
04
1
 
Se o potencial elétrico for conhecido o campo elétrico pode ser determinado calcu-
lando o gradiente do potencial. 
z
dz
dV
j
dy
dV
i
dx
dV
VE ++=−=
→→
 
 
Atividades propostas 
 
Questão1 
A diferença de potencial elétrico entre pontos de descarga durante uma determinada 
tempestade é de 1,2 x 109 V. O módulo da variação na energia potencial elétrica de 
um elétron que se move entre estes pontos é aproximadamente: 
a) JU 2= 
b) pJU 2= 
c) pJU 200= 
d) JU 2= 
 
Questão 2 
 A figura abaixo representa quatro cargas iguais dispostas nos vértices de um qua-
drado de arestas medindo a. 
 
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O potencial elétrico no centro de simetria do quadrado é igual a: 
A) 4 2 k0 Q/a 
B) 4 k0 Q/a 
C) 4 k0 Q/ 2 a 
D) zero 
 
Questão 3 
O potencial elétrico gerado por uma esfera uniformemente carregada em um ponto P 
a uma distância a de seu centro é dado por: 
a
q
KV =
 
O campo elétrico no ponto a será: 
a) 
²a
q
KE =
 
b) 
²
2
a
q
KE =
 
c) 
²
²
a
q
KE =
 
d) 
²Ka
q
E =
 
 
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Gabarito 
 
01 02 03 
c a a 
 
 
Referências: 
 
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade e Mag-
netismo, Óptica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 556 p. v. 2. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: Eletro-
magnetismo. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 388 p. v. 3. 
 
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. 14. ed. São Paulo: 
Pearson, 2016. 448 p. v. 3. 
 
RAMALHO JÚNIOR, Francisco; FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antônio de 
Toledo. Os Fundamentos da Física: Eletricidade Introdução à Física Moderna Análise Di-
mensional. 9. ed. São Paulo: Moderna, 2013. 520 p. v. 3. 
 
MACEDO, Annita. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: Guanabara, 1988. 638 p. 
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 2. ed. São Paulo: 
Blucher, 2015. 295 p. v. 3. 
 
KNIGHT, Randall D. Física: Uma abordagem estratégica. 2. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 
2009. 400 p. v. 3. 
 
JEWETT JUNIOR, Jonh W.; SERWAY, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros: 
Eletricidade e Magnetismo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 331 p. v. 3.