NÚMEROS ÍNDICES

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Números Índices
1 Introdução
Conceito amplo
É uma metodologia estatística idealizada para comparar, quantitativamente, as variações de um fenômeno complexo no tempo ou em outras situações diversas. 
Os números índices não se constituem em medida alguma, mas são indicadores de comportamento ou de tendência de uma ou mais variáveis componentes de um fenômeno. 
1.2 Conceito restrito	
A quantidade total de dinheiro gasto cada ano, em relação a certo ano-base, varia de um ano para outro devido as variações no número de unidades compradas dos diferentes artigos e igualmente devido a mudanças nos preços unitários de tais artigos. Temos, portanto, três variáveis em jogo: preço, quantidade e valor, sendo esta último o resultado do produto do preço pela quantidade.
Assim poderemos escrever:
As convenções utilizadas para 
1.2.1 Índice de preço
Trata-se do número índice mais simples. Relacionando-se o preço de um produto numa época t (chamada época atual) com o de uma época o (chamada básica ou simplesmente base) teremos um relativo de preço. Fazendo-se pt igual ao preço numa época atual e po igual ao preço na época-base, definimos relativo de preço pela expressão:
exemplo: o preço atual ( t = 00) de um produto é de $ 138,00 e no passado (0 = 99) era de $ 120,00. 
Número índice = 1,15 x 100 = 115
Ou, em % = (1,15 - 1) x 100 = 15% 
1.2.1 Índice de quantidade
Assim como podemos comparar os preços de bens, podemos também fazê-lo em relação a quantidades, quer seja, elas produzidas, vendidas ou consumidas, se fizermos qt igual a quantidade de um produto na época atual (época t) e qo igual a quantidade desse mesmo produto na época o (básica), a quantidade relativa será o seguinte quociente:
 o qual representa a variação da quantidade na época t com relação a uma época o (base).
A quantidade de um produto vendido hoje (Q = 00) é de 3.218 unidades, e no passado (Q = 99) foi de 4.515 unidades: 
 = -28,73%
1.2.3 Índice de valor
Se p for o preço de determinado artigo em certa época e q a quantidade produzida ou consumida desse mesmo artigo na mesma época, então, o produto p.q é denominado valor total de produção ou de consumo. Sendo pt e qt respectivamente o preço e a quantidade de um artigo na época atual (t) e po e qo, o preço e a quantidade do mesmo artigo na época base (o), , definimos como valor total relativo ou simplesmente valor relativo o quociente:
O fato de 
 é conhecido como propriedade da reversibilidade dos fatores ou como critério da decomposição das causas.
Exemplo: uma empresa vendeu em 97, 1.000 unidades de um produto a $500,00 cada. Em 98 vendeu 2.000 a $600,00 cada. O valor relativo da venda em 98 será de
em 98 o valor das vendas o valor das vendas foi 140% superior ao de 97
2 Elos de relativos e relativos em cadeia
Considerando uma seqüência de preços onde comparamos um período com o imediatamente anterior, temos o que se chama Elos de Relativos, que é dado por combinações binárias:
Po,n = Po,1 , P1,2 , P2,3,....,Pt-1,t
Obtidos os Elos de Relativos pode-se considerar seu encadeamento, ou seja:
Po,n = Po,1 x P1,2 x P2,3x....xPt-1,t
Consideremos um seqüência de preços relativos do tipo p1,2, p2,3, p3,4, ..., em que tais preços relativos sejam considerados em intervalos sucessivos de tempo. Esta seqüência constitui o que se denomina elos relativos. Suponhamos, para exemplificar, que certa utilidade apresentou os seguintes preços no período de 1968 a 1971: 80, 120, 150 e 180. Os elos relativos serão: 150, 125, 120, os quais foram determinados da seguinte maneira:
Os elos relativos permitem estabelecer comparações para períodos próximos.
Se desejarmos determinar o preço relativo de 1971 em relação ao ano básico de 1968, basta aplicarmos a propriedade circular modificada, obtendo as comparações através de um processo de encadeamento de comparações binárias. O relativo (índice) assim construído é denominado índice de cadeia, sendo calculado como segue:
 ou 225 
Quando tivermos uma seqüência de preços relativos onde o período básico é fixo, a seqüência será denominada, às vezes, relativos em cadeia referidos a essa base. Os relativos em cadeia da série acima referidos ao ano básico de 1968 serão 150, 187,5 e 225, ou seja:
3 3 índices agregativos simples
Os índices relativos de preços, quantidade ou valores dão informações preciosas sobre a evolução das variáveis preço, quantidade e valor de uma mercadoria. Entretanto, na maioria das vezes, o que procuramos é saber como se comporta o preço, quantidade ou valor de uma cesta de produtos, já que as famílias adquirem vários produto para satisfazer suas necessidades. Elas estão interessadas então, no comportamento do preço, na quantidade e no valor desse grupo de itens. Da mesma forma, quando na empresa procuramos construir um índice para descrever a evolução do custo de um produto, devemos considerar os vários insumos envolvidos em sua produção, cada um deles com sua própria evolução de preços.
Uma primeira tentativa para resolver o problema da evolução dos índices relativos a uma cesta de produtos é tomar os relativos da soma dos preços ou das quantidades dos produtos da cesta:
 
ou ainda pela média de preços:
 
, o que é o mesmo.
Outra maneira é construir o índice com base em uma soma de relativos:
		
ou ainda a média aritmética:
		
, o que é o mesmo.
Entretanto, os índices assim obtidos têm várias limitações:
( apresentam problemas de homogeneidade nas unidades, isto é, não há uma única unidade para expressar as quantidades dos produtos (kg, pacotes de 5kg, litros, dúzias, etc.);
( não levam em consideração as quantidades relativas adquiridas para satisfazer as necessidades das famílias ou das empresas;
( não apresentam as propriedades da decomposição das causas nem a circular.
Podemos contornar as duas primeiras dificuldades considerando, além dos preços dos produtos, também as quantidades adquiridas, estabelecendo o índice através da relação entre valores da cesta de produtos nas duas datas, o que constitui os índices agregativos ponderados. A terceira dificuldade será tratada com base na modificação desses mesmos índices.
4 índices agregativos ponderados
Examinaremos apenas alguns índices ponderados mais importantes: Laspeyres, Paasche, Fisher. Esses tipos de índices são estudados em virtude das desvantagens apresentadas pelos índices simples, especialmente no que se refere à inexistência de pesos diferentes para cada utilidade que os compões de acordo com a sua importância relativa. A ponderação proposta basear-se-á, por conseguinte, na participação de cada bem no valor transacionado total e será feita segundo dois critérios: fixa na época-base ou variável na época atual.
4.1 Índice de Laspeyres ou método da época-base
No índice de Laspeyres a ponderação é feita em função dos preços e quantidades do período base. Por causa disso ele tende a exagerar a alta, por considerar as quantidades (ou preços) iguais aos do período base. Sendo calculado por:
,
Onde: n é o número de itens, Pt,i é o preço de um item qualquer no período "atual", P0,i é o preço de um item qualquer no período base e q0,i é a quantidade de um item qualquer no período base.
4.2 Índice de Paasche ou da época atual
No índice de Paasche a ponderação é feita em função dos preços e quantidades do período atual. Por causa disso ele tende a exagerar a baixa, por considerar as quantidades (ou preços) iguais aos do período atual. A mudança constante da época “atual” pode encarecer a pesquisa para identificar os pesos. Por essa razão os índices de preços, que costumam fazer as ponderações dos diversos itens com base em pesquisas de orçamentos familiares, geralmente utilizam a fórmula de Laspeyres (ou alguma modificação dela).
onde: n é o número de itens, Pt,i é o preço de um item qualquer no período "atual", P0,i é o preço de um item qualquer no período base e qt,i é a quantidadede um item qualquer no período atual.
4.3 Índice de Fisher (Fórmula Ideal)
O índice de Fisher é a média geométrica dos números-índices de Laspeyres e Paasche. Se representa por Io,t o índice de Fisher para as variações de preços, teremos:
5. Aplicação dos índices Laspeyres, Paasche e Fisher
Dada a tabela abaixo, calcular os índices Laspeyres, Paashe e Fischer
	
	1997
	1998
	Resultado
	Produto
	Qo
	Po
	Qn
	Pn
	PoQo
	PnQo
	PoQn
	PnQn
	A
	235
	220
	350
	325
	51.700
	76.375
	77.000
	113.750
	B
	440
	350
	480
	370
	154.000
	162.800
	168.000
	177.600
	C
	223
	420
	280
	480
	93.660
	107.040
	117.600
	134.400
	D
	335
	250
	390
	420
	83.750
	140.700
	97.500
	163.800
	E
	596
	200
	621
	280
	119.200
	166.880
	124.200
	173.880
	F
	395
	180
	500
	210
	71.100
	82.950
	90.000
	105.000
	
	-
	-
	-
	-
	573.410
	736.745
	674.300
	868.430
Exercício:
A tabela abaixo apresenta, para os anos de 1994 e 1999, os dados hipotéticos sobre preços e quantidades vendidas de 6 diferentes produtos comercializados por certa companhia. Calcule a variação percentual dos preços dos produtos da companhia neste período, utilizando os índices de Laspeyres e Paasche.
	
	1994 (base)
	1999
	Tipo de produto
	Preço 
(R$)
	Quantidade vendida
	Preço
(R$)
	Quantidade vendida
	A
	5
	80
	20
	100
	B
	7
	100
	6
	1000
	C
	2
	200
	5
	200
	D
	3
	600
	4
	500
	E
	1
	300
	2
	200
	F
	2
	100
	3
	200
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