Calculo_da_Tendencia_e_da_Repetitividade

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Estimativa do Erro Sistemático e Erro aleatório em um conjunto de 
leituras em uma medição. 
Visto que: 
E = Es + Ea 
E = Erro da medição 
Ea = Erro aleatório 
Es = Erro Sistemático 
Para a realização da estimativa dos erros presentes na medição, existe a necessidade de perceber a 
variação que ocorre no processo de medição (é preciso perceber a média e a variação do erro). Assim, um 
conjunto de leituras do mensurando é necessário. 
Por exemplo: 
50,05 mm 50,05 mm 50,00 mm 50,00 mm 50,05 mm 
Neste pequeno conjunto de leituras, já se percebe variação nos valores lidos e uma tendência de as 
leituras serem maiores que o VVC. Se o sistema de medição fosse perfeito, as leituras seriam exatamente a 
medida do padrão (VVC) e não haveria nenhuma variação. Isto não ocorre na prática. 
Na média, as leituras são 0,03 mm maiores que o VVC. Ou seja, este paquímetro é tendencioso, tende a 
apresentar um valor médio 0,03 mm acima do que deveria ser apresentado. 
Surge aí a estimativa de erro sistemático que o sistema de medição introduz na medida, que será chamada 
de Tendência: 
Assim, com o uso de uma medida de referência (VVC) e fazendo várias leituras em condições 
determinadas, a estimativa da tendência do sistema de medição pode ser feita a partir de: 
Td = MM – VVC 
Td: Tendência. 
MM: Média das medidas ou média das indicações (Pode ser utilizado 𝑋𝑋 ao invés de 𝑀𝑀𝑀𝑀) 
VVC: Valor verdadeiro convencionado 
Metrologia RTE 1/2021
Assim, 
Td = 50,030 – 50,000 = 0,030 mm 
Cabe aqui lembrar, que na representação da média é utilizado um algarismo significativo a mais dos que 
existem nas observações da amostra. 
A variação das leituras é efeito do erro aleatório e uma medida desta variação/dispersão pode ser utilizada 
como estimativa do erro aleatório. 
Amplitude, Desvio médio absoluto, desvio padrão, são exemplos de medidas de dispersão. 
Na metrologia, é dada preferência ao desvio padrão, por conta da sua robustez. 
Assim, o desvio padrão das leituras desta amostra de leituras, pode ser utilizado como medida do erro 
aleatórios. 
𝑆𝑆 = �∑ (𝑋𝑋𝑖𝑖−𝑋𝑋)
2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛−1
 = 0,027 mm 
Note que deve ser usado o desvio padrão da amostra S, que é o estimador de σ, que é o desvio padrão da 
população. 
É comum representar o erro aleatório na forma de um intervalo de confiança, por exemplo com 99% de 
confiança ou 95% de confiança, e a esta estimativa se dá o nome de Repetitividade. 
É muito comum a escolha de 95,45% como nível de confiança a ser utilizado nesta representação. 
Para o cálculo deste intervalo deve ser considerada a distribuição de Student, já que as estimativas estão 
sendo feitas a partir de uma pequena amostra dos dados provenientes da uma população (que admitimos 
normal). 
Assim: 
𝑅𝑅𝑅𝑅95,45% = ±𝑡𝑡95,45%,4. 𝑆𝑆 
𝑅𝑅𝑅𝑅95,45%: Repetitividade das leituras, com 95,45% de nível de confiança. 
𝑡𝑡95,45%,4: Fator de Student para o nível de confiança 95, 45% e 4 graus de liberdade (ν=n-1) 
S: Desvio padrão da amostra 
ν: Número de graus de liberdade 
n: Número de elementos da amostra. 
Metrologia RTE 1/2021
O fator de Student é tabelado. Por exemplo, pode ser utilizada a tabela a seguir, para o nível de confiança 
de 95,45% 
Valor de “t” para nível de confiança de 95,45% 
υ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 
t95,45% 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28 2,23 2,20 2,17 
υ 18 20 25 30 35 40 45 50 60 80 100 ∞ 
t95,45% 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,06 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,00 
Para valores fracionários de υ, interpolação linear pode ser usada se υ > 3. 
Alternativamente o valor de k95,45% correspondente ao valor de υ imediatamente inferior na tabela pode ser adotado. 
Neste exemplo: 
𝑅𝑅𝑅𝑅95,45% = ±𝑡𝑡95,45%,4.𝑆𝑆 = ±2,87.0,027 = ±0,079 𝑚𝑚𝑚𝑚 
A partir daí, pode ser construído um intervalo de confiança para as leituras. 
𝐼𝐼𝐼𝐼95,45% = 𝑋𝑋 ± 𝑅𝑅𝑅𝑅95,45% = 50,030 ± 0,079mm 
A determinação deste intervalo é útil logo após a execução das leituras para verificação da coerência das 
observações, pois espera-se que a grande maioria (95,45%) das leituras caia dentro deste intervalo. Se em 
5 leituras. Por exemplo, se uma leitura cair fora deste intervalo, admite-se como grande a possibilidade de 
ter havido erro grosseiro na sua obtenção (afinal, espera-se que ocorra aproximadamente apenas 1 leitura 
a cada 20 fora deste intervalo). 
O processo de medição deve ser investigado para a busca da eventual causa de erro grosseiro. 
Note que pode ser um alarme falso, pois 1/20 não é zero, ou seja, de vez em quando pode aparecer uma 
leitura como esta fora do intervalo devido apenas a causas naturais de variações do processo. 
Metrologia RTE 1/2021