Derivada2 regra da cadeia

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4a Lista de Exerćıcios - Derivadas
01- Determine a derivada.
a) y = sen(4x) b) y = cos(5x) c) f(x) = e3x
d) f(x) = cos(8x) e) y = sen(3t) f) g(t) = ln(2t + 1)
g) x = esen(t) h) f(x) = cos(ex) i) y = (senx + cosx)3
j) y =
√
3x + 1 l) f(x) = 3
√
x− 1
x + 1
m) y = e−5x
n) x = ln(t2 + 3t + 9) o) f(x) = etgx p) y = sen(cosx)
q) g(t) = (t2 + 3)4 r) f(x) = cos(x2 + 3) s) y =
√
x + ex
t) y = etg(3x) u) y = sec(3x)
02- Derive.
a) y = sen(5t) b) y = cos(4t) c) x = sen (wt), w = constante
d) y = e−3x e) y = e−x
2
f) y =
ex
x + 1
g) y = ln(x2 + 1) h) y =
x2
x− 1
i) y = e−x − e−2x
j) y = e−x cos(2x) l) y =
x
x2 + 1
m) y =
3x + 1
x2 + x
n) y =
sen (3x)
ex
o) y = xe−2x p) y = sen(cosx)
q) f(x) =
4x + 5
x2 − 1
r) y = xe
1
x s) y =
x2
x2 + x + 1
t) g(t) =
√
t2 + 3 u) y = x 3
√
x + 2
03- Derive.
a) y = tg(3x) b) y = sec(4x) c) y = cotg(x2)
d) y = sec(tgx) e) y = sec(x3) f) y = etgx
2
g) y = cosec(2x) h) y = x3tg(4x) i) y = ln(sec(3x) + tg(3x))
j) y = e−x sec(x2) l) y = (x2 + cotg (x2))3 m) y = x2tg (2x)
04- Determine a derivada.
a) f(x) = 5x + log3x b) y = 2
x2 + 32x c) g(x) = 32x+1 + log2(x
2 + 1)
d) y = (2x + 1)x e) y = xsen(3x) f) g(x) = (3 + cosx)2
g) y = xxsenx h) y = xx
2+1 i) y = (1 + i)−t, i = constante
j) y = 10x − 10−x l) y = (2 + senx)cos3x m) y = ln(1 + xx)
05- Expresse
dy
dx
em termos de x e de y, sendo y = f(x) uma função diferenciável dada
implicitamente por:
a) x2 − y2 = 4 b) xy2 + 2y = 3 c) 2y + sen y = x
d) xey + xy = 3 e) x2y3 − y2 = 5x f) ln(x2 + y2) + y = −8
g) x2 + y2 + 2y = 0 h) x2y3 + xy = 2
06- Determine a derivada.
a) y = x arctg x
b) g(x) = arcsen(x3)
c) y = e3xarcsen(2x)
d) y = x2earctg(2x)
07- Utilize as regras de L’Hospital para calcular os seguintes limites:
a) lim
x→−1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
b) lim
x→1
x100 − x2 + x− 1
x10 − 1
c) lim
x→0
ln(x + 1)
x2 + sen(x)
d) lim
x→0
e−x
2
+ x− 1
e4x + x5 − 1
e) lim
x→(π2 )
−
secx− tgx
08- Um ponto P move-se ao longo do gráfico de y =
1
x2 + 1
de tal modo que sua abscissa x
varia a uma velocidade constante de 5m/s. Qual a velocidade de y no instante em que x = 10m?
09- Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for
afastada do pé da parede a uma velocidade constante constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade
superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede?
10- Enche-se um reservatório, cuja a forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa
de 0, 1m3/s. O vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o ńıvel h da
água estará subindo no instante em que h = 5m?
11- Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máxima.
12- Determine o número real positivo cuja soma com o inverso de seu quadrado seja mı́nima.
13- Determine dois números reais x e y tais que x + y = 2 e o produto p = x.y seja o maior
posśıvel.
14- Encontre as dimensões de um retângulo com peŕımetro de 100m cuja área seja a maior
posśıvel.
15- Se 1200cm2 de material estivessem dispońıveis para fazer uma caixa com uma base
quadrada e sem tampa, encontre o maior volume posśıvel da caixa.
16- Deseja-se construir uma caixa, de forma ciĺındrica, de 1m3 de volume. Nas laterais e no
fundo será utilizado material que custa R$ 10 o metro quadrado e na tampa material de R$ 20 o metro
quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.