Mecânica Clássica: Órbitas e Forças

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CF353 – Mecânica Clássica I
Lista 3
[1] (Marion) Uma partı́cula se move em órbita elı́ptica em um campo de força central proporcional ao inverso do
quadrado da distância. Se a razão entre as velocidades angulares máxima e mı́nima da partı́cula em sua órbita é u,
mostre que a excentricidade da órbita é e =
√
u−1√
u+1 .
[2] (Marion) Suponha a órbita da Terra como sendo circular e que a massa do Sol se reduza subitamente à metade
de seu valor. Qual será a nova órbita da Terra? A Terra escapará para o sistema solar.
[3] (Marion) Uma partı́cula se move sob a ação de uma força central atrativa F(r) = −k/rn. (a) Mostre que exis-
tirão órbitas circulares estáveis se n < 3. (b) Discuta o movimento para n = 3. Desenhe algumas órbitas para
diferentes valores de energia total. Uma órbita circular pode ser estável nesse caso? (A lei de força F = −k/r3 foi
extensivamente investigada por Roger Cotes (1682-1716) e as órbitas são conhecidas como espiraris de Cotes.)
[4] (Symon) Determine a frequência, no caso de pequenas oscilações radiais em torno do movimento circular esta-
cionário, para o potencial efetivo
Ve f =
K
r
+
L2
2mr2
,
de uma força atrativa proporcional ao inverso do quadrado da distância, mostrando que é igual à frequência de
revolução.
[5] (Symon) De acordo com a Teoria das Forças Nucleares, de Yukawa, a força entre um nêutron e um próton tem o
seguinte potencial:
V(r) =
Ke−αr
r
, K < 0.
a) Determine a força, comparando-a com a força da lei do inverso do quadrado da distância.
b) Discuta os tipos de movimento que podem ocorrer para uma partı́cula de massa m.
c) Determine L e E para o movimento em cı́rculo de raio a.
d) Determine o perı́odo do movimento circular e o perı́odo de pequenas oscilações radiais.
e) Mostre que as órbitas aproximadamente circulares são quase fechadas quando a é muito pequeno.
[6] (Symon) a) Discuta os possı́veis movimentos para a seguinte força central:
F(r) = − K
r2
+
K′
r3
.
Admita que K > 0 e considere ambos os sinais para K′.
b) Resolva a equação orbital, mostrando que as órbitas ligadas têm a forma (se L2 > −mK′)
r =
a(1− ε2)
1 + ε cos (αθ)
.
c) Mostre que esta é uma elipse que tem movimento de precessão; determine a velocidade angular de precessão e
diga se a precessão está na mesma direção ou na direção oposta a da velocidade angular orbital.
[7] (Symon) A distância de periélio (mais próxima) do planeta Marte ao Sol é de 2, 06× 108 km, e a distância do afélio
(máxima) é de 2, 485× 108 km. Suponha que a Terra se mova no mesmo plano, em cı́rculo cujo raio tem 1, 49× 108
km e um perı́odo de um ano. (a) A partir destes dados, determine a velocidade de Marte no periélio. Suponha que
uma nave espacial Mariner seja lançada de forma que seu periélio esteja na órbita terrestre e o seu afélio, no periélio
de Marte. (b) Determine a velocidade do Mariner relativa a Marte, no ponto onde eles se encontram. (c) Qual deles
tem a velocidade mais elevada? (d) Qual deles tem a maior velocidade angular durante o perı́odo de vôo?
[8] (Marion) As velocidades vetoriais mı́nima e máxima de uma lua orbitando ao redor de Urano são vmin = v− v0
e vmax = v + v0. Determine a excentricidade em termos de v e v0.