Apostila de Integrais Completa

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Cálculo Diferencial e Integral 1 Integrais Angela Olandoski Barboza 
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12 Estudo das Integrais Indefinidas 
12.1 Introdução 
Dada uma função )x(f , vamos estudar como encontrar uma função )x(F tal que a 
sua derivada seja igual a )x(f , isto é: 
)x(f)x('F = 
12.2 Primitiva de uma Função 
Definição: 
Diz-se que a função )x(F é uma primitiva da função )x(f sobre o segmento ]b,a[ se, 
em todo o ponto deste segmento tivermos a igualdade )x(f)x('F = . 
Exemplo 
Determinar uma primitiva da função 2x)x(f = . 
Solução 
Verifica-se imediatamente, segundo a definição, que a primitiva procurada é 
3
3x
)x(F = 
pois, 2
3
3
3
x
x
)x(F
dx
d
== . 
Mas, 1
3
3
+=
x
)x(F também é uma primitiva, assim como 2
3
3
−=
x
)x(F . 
Podemos observar que C
x
)x(F +=
3
3
, com ℜ∈C é a forma ideal para expressar a 
primitiva de 2x)x(f = , pois 2
3
3
xC
x
dx
d
=





+ . 
Teorema 
Se )x(F1 e )x(F2 são duas primitivas da função )x(f sobre o segmento ]b,a[ , a 
sua diferença é uma constante. 
Demonstração 
Temos, em virtude da definição da primitiva que 
)x(f)x('F
)x(f)x('F
=
=
2
1 (1) 
para qualquer x do segmento ]b,a[ . Façamos 
)x()x('F)x('F ϕ=− 21 (2) 
Usando (1), temos: 
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021 =−=− )x(f)x(f)x('F)x('F 
Fazendo agora, a derivada de )x(ϕ em (2), temos: 
 
[ ]
021
21
=−=
−=
)x('F)x('F)x('
')x(F)x(F)x('
ϕ
ϕ
 
 
Logo, 0=)x('ϕ 
Usando o formulário de derivadas e a definição de primitiva de uma função, temos que 
C)x( =ϕ 
Para provar que )x(ϕ é uma constante, aplicamos, aplicamos o teorema de Lagrange. 
Sendo )x(F)x(F)x( 21 −=ϕ , ela é contínua e derivável em ]b,a[ . Então, para todo 
]b,a[x∈ , temos: 
 
( ) )d('.ax)a()x( ϕϕϕ −=− onde xda << 
 
Como 0=)d('ϕ , temos: 
0=− )a()x( ϕϕ e )a()x( ϕϕ = 
Assim, a função )x(ϕ é igual à )a(ϕ em qualquer ponto do segmento ]b,a[ . Logo, 
C)a( =ϕ e temos: 
C)x(F)x(F =− 21 
Definição 
Chama-se Integral Indefinida da função )x(f e denota-se por ∫ dx)x(f à toda 
expressão da forma C)x(F + , em que )x(F é uma primitiva de )x(f . Assim, por 
definição temos: 
∫ =+= )x(f)x('FseC)x(Fdx)x(f 
Exemplo 
Sejam as funções 12 += xy , 52 −= xy e ℜ∈+= C,Cxy 2 . Suas diferenciais são: 
xdxdy 2= , xdxdy 2= e xdxdy 2= , respectivamente. Notamos que as funções dadas 
diferem apenas no termo constante e têm a mesma diferencial xdxdy 2= . Então: 
 
∫ ∫ +== Cxxdxdy 22 
12.2.1 Significado Geométrico da Constante de Integração 
Exemplo 
Seja x)x(f 2= . Sabemos que ( ) ( ) xdx)x(Fdoudx)x(f)x(Fd)x(F
dx
d
)x(f 2==⇒= . 
Integrando, temos Cxxdx +=∫ 22 . 
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12.3 Propriedades 
P.1 Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do 
sinal de integral. Assim: 
∫ ∫= dx)x(f.adx)x(f.a 
Exemplo 
∫ ∫ +=+== CxC
x
.xdx.xdx 2
2
2
2
444 
P.2 A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destes diferenciais. 
Assim: 
( )∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dtdvdudtdvdu 
 A integral da soma é igual à soma das integrais. 
Exemplo: 
( )∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ =−+=−+=−+ dxdxxdxxdxdxxdxxdxxx 643643643 323232 
 CxxxCxC
x
.C
x
. +−+=+−+++= 66
4
4
3
3 4332
4
1
3
 
12.4 Integrais Imediatas 
12.4.1 ∫ dxxn 
Seja a função C
n
x
y
n
+
+
=
+
1
1
, com 1−≠n . 
dxxdydx
n
x).n(
dy n
n
=⇒
+
+
=
−+
1
1 11
 
 
22 += xy 
12 += xy 
2xy = 
12 −= xy 
22 −= xy 
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⇒=⇒=∫ ∫∫ dxxydxxdy nn 
C
n
x
dxx
n
n +
+
=
+
∫ 1
1
, com 1−≠n 
Exemplos 
1) ∫ 



 −+−+− dxxx
x
xxx 2
1
568
3
23 
 
 
 
 
 
 
 
2) ( )( )∫ +− dxx.x 2323 
 
 
 
 
3) ( )∫ dxx32 
 
 
12.4.2 ∫ += Cxx
dx
ln 
Seja a função Cxy += ln 
∫ ∫∫ ⇒=⇒=⇒= x
dx
ydx
x
dydx
x
dy
11
 
∫ += Cxx
dx
ln 
Exemplo 
∫ =dxx
6
 
 
12.4.3 Introdução sob o Sinal da Diferencial 
Seja calcular a integral ∫ dxxf )( . Fazemos a mudança de variável )(tx ϕ= , onde 
)(tϕ é uma função contínua, bem como a sua derivada e inversível. Então dttdx )('ϕ= e 
demonstra-se que é válida a expressão: 
[ ]∫ ∫= dtttfdxxf )('.)()( ϕϕ 
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Exemplos 
1) ( ) dxx 713∫ + 
 
 
 
 
 
 
2) ∫
− 42x
xdx
 
 
 
 
 
 
 
3) dx
xsen
xsen
∫ )(
)2(
2
 
 
 
 
 
 
12.4.4 ∫ += Ca
a
dxa
x
x
ln
 
Seja a função C
a
a
y
x
+=
ln
. 
∫ ∫∫ ⇒=⇒=⇒=⇒= dxaydxadydxadydxa
aa
dy xxx
x
ln
ln
 
∫ += Ca
a
dxa
x
x
ln
 
Exemplo 
∫ dxx53 
 
 
 
 
 
Caso Particular: Ce
e
e
dxe x
x
x +==∫ ln 
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Exemplos 
1) ∫ xdxesenx cos. 
 
 
 
2) dx
a
aa
x
xx
∫
−−
 
 
 
 
 
 
 
12.4.5 Cxsenxdx +−=∫ cos 
Seja a função Cxy +−= cos . 
∫ ∫ ∫ ⇒=⇒=⇒= senxdxysenxdxdysenxdxdy 
Cxsenxdx +−=∫ cos 
Exemplo 
dxxsenx )3(. 2∫ 
 
 
 
 
12.4.6 Csenxxdx +=∫ cos 
Seja a função Csenxy += . 
∫ ∫ ∫ ⇒=⇒=⇒= xdxyxdxdydxdy coscoscos 
Csenxxdx +=∫ cos 
Exemplo 
dxx∫ 2cos 
 
 
 
 
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12.4.7 Cxtgxdx +−=∫ cosln 
Seja xy cosln−= 
⇒=⇒=⇒=⇒=⇒
−
−= ∫∫∫ tgxdxytgxdxdytgxdxdydxx
senx
dydx
x
senx
dy
coscos
 
Cxtgxdx +−=∫ cosln 
12.4.8 Csenxxdx +=∫ lncotg 
Seja senxy ln= 
⇒=⇒=⇒=⇒= ∫∫∫ xdxyxdxdyxdxdydxsenx
x
dy cotgcotgcotg
cos
 
Csenxxdx +=∫ lncotg 
12.4.9 ∫ += Ctgxxdx2sec 
12.4.10 ∫ +−= Cxxdx cotgcsc2 
Exemplos 
1) ∫ xdxtg 2 
 
 
 
 
2) ∫ xdxetgx 2sec. 
 
 
 
 
12.4.11 ∫ += Cxtgxdxx sec.sec 
12.4.12 Cxxdxx +−=∫ csccotg.csc 
Exemplos 
1) ∫ xdxsec 
 
 
 
 
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2) ∫ xdxcsc 
 
 
 
 
 
 
 
12.4.13 C
a
x
arcsen
xa
dx
+=
−
∫ 22 
Seja a função C
a
x
arcseny += , com 22 xa > 
∫∫ ⇒
−
=⇒
−
=⇒
−
=⇒
−
= dx
xa
dydx
xa
dydx
a
a
xa
dydx
a
a
x
dy
2222
2