Integrais Múltiplas e Cálculo Vetorial - III

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Integrais Múltiplas e 
Cálculo Vetorial
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lucia Nogueira Junqueira
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota
Integrais múltiplas
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• Introdução
• Integral dupla
• Integrais triplas
• Concluindo
 · Introduzir o conceito de integral dupla de funções de duas variáveis.
 · Introduzir o conceito de integral tripla dupla de funções de três variáveis.
 · Apresentar teorema de Fubini para o cálculo de integrais duplas e triplas como 
integrais iteradas.
 · Apresentar o Teorema de mudança de variáveis e cálculo do determinante 
Jacobiano.
 · Trabalhar mudança de variáveis em coordenadas polares, no caso de integração 
dupla, e cilíndricas e esféricas, no caso de integração tripla.
 · Apresentar diversidade de exemplos e aplicações de integrais múltiplas. 
Caro(a) aluno(a)!
Na Unidade, vamos dar continuidade ao estudo de funções de várias variáveis, agora, 
introduzindo o conceito de integração de funções de várias variáveis. 
Nessa direção, vamos tratar, inicialmente, da noção de soma de Riemann como um conceito 
prévio da definição de integração de várias variáveis. Além disso, vamos ver as integrais duplas 
e triplas, o Teorema de Fubini que garante o procedimento de resolução dessas integrais por 
meio de integrais iteradas de uma variável de cada vez, o que permite usar o conhecimento 
adquirido com integração de uma variável, como as propriedades e técnicas de integração já 
estudadas no Cálculo Integral de uma variável. 
Nesse quesito, é de fundamental importância aprender a definir a região e encontrar os 
limites de integração. Para tal, evidenciamos tipos distintos de definição da região de integração 
e abordamos alguns procedimentos para elucidar a melhor escolha da região, bem como os 
limites de integração, visando facilitar tanto o cálculo das integrais iteradas, como a inversão 
na ordem de integração, quando necessária, a fim de conduzir ao cálculo final da integração 
múltipla de maneira mais fácil. 
Outro ponto importante do nosso estudo é o Teorema de Mudança de Variáveis, muitas 
vezes, necessária para facilitar o cálculo das integrais duplas ou triplas. Nesse caso, teremos 
que cuidar de encontrar o determinante Jacobiano de mudança de variáveis que vem garantir 
a equivalência de resultados no cálculo integral. 
Integrais múltiplas
6
Diante desse contexto, daremos atenção especial para a mudança em coordenadas polares, 
no caso de integrais duplas, e para a mudança em coordenadas cilíndricas e esféricas, no caso 
de integração tripla. 
 Além do desenvolvimento da fundamentação teórica, você encontrará diversos exemplos 
e imagens para ajudar na visualização e nos procedimentos de resolução. Por isso, reforço a 
importância de ter em mente os conceitos de Geometria Analítica, uma vez que estaremos 
tratando de superfícies, planos e retas. Faz-se necessário ter habilidade com a visualização e 
delimitação de regiões do plano e do espaço. 
Também é importante ter domínio das técnicas de integração de uma variável, embora, 
geralmente, tratemos de funções elementares nas integrais iteradas. Mas alerto que exige 
habilidade algébrica, muito mais no que tange à atenção e cuidado no procedimento realizado, 
do que para mirabolantes estratégias algébricas. É fácil cometermos pequenos equívocos, como 
esquecer algum termo ou comete erros em cálculos elementares, as conhecidas “continhas”, 
que depois conduzem ao dispêndio de um tempo precioso para encontrar o “erro”. 
Portanto, é imprescindível bastante atenção no procedimento de cálculo das integrais 
iteradas e um especial cuidado com a notação. Nada de preguiça em repetir os elementos que 
ainda não foram calculados, mas que exigem o cálculo correto da integral iterada anterior para 
dar continuidade! 
Não deixe de ver o Material Complementar, que aborda procedimentos para encontrar 
limites de integração e ainda traz como esboçar gráficos em coordenadas polares, que mesmo 
não sendo foco do nosso estudo tem o intuito de relembrar a quem já teve esse estudo ou 
ampliar o conhecimento sobre esboço de curvas, notadamente, no sistema polar que tem 
características distintas do sistema cartesiano ou retangular. 
Assim sendo, almeja-se que, ao término da unidade, você seja capaz reconhecer, analisar 
e trabalhar com os conceitos do cálculo de funções de mais de uma variável, uma vez que os 
fenômenos no mundo físico e aplicações no mundo real envolvem sempre relações e funções 
com várias variáveis. Espera-se, acima de tudo, que você saiba utilizar os conceitos de integração 
múltipla aqui tratados, transpondo-os em outras situações em que se façam presentes. 
Bom estudo!
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Contextualização
Contexto histórico
Já vimos que o desenvolvimento histórico do cálculo seguiu a ordem contrária à dos textos 
e cursos básicos atuais sobre o assunto: primeiro, surgiu o cálculo integral e só muito tempo 
depois, o cálculo diferencial. A ideia de integração teve origem em processos somatórios 
ligados ao cálculo de certas áreas (notadamente de quadraturas), volumes e comprimentos. 
A diferenciação, criada bem mais tarde, resultou de problemas sobre tangentes às curvas 
e de questões sobre máximos e mínimos. Mais tarde ainda, verificou-se que, salvo algumas 
restrições, a integração e a diferenciação estão relacionadas entre si, sendo que cada uma 
delas é uma espécie de operação “inversa” da outra.
Segundo Schubring (2005), o conceito de integral sofreu uma mudança peculiar quanto à 
sua importância para análise. Enquanto a determinação de áreas e volumes constituía o objetivo 
principal para a aplicação de processos infinitos desde o seu início, esse tipo de problema foi 
transmutado em inversões simples de diferenciação depois que o cálculo diferencial tornou-se 
estabelecido. A integral (indefinida) como a inversa da diferencial foi de importância derivada 
e não teve nenhum papel próprio nos estudos fundamentais ao longo do século XVIII.
O conceito de integral tornou-se novamente independente apenas após os estudos de 
Cauchy sobre integral definida, em 1814. Surpreendentemente, essa alteração foi relacionada 
a uma “ressurreição” do conceito de infinitamente pequeno (infinitésimos). 
Então, os métodos de exaustão praticada pelos gregos tinham sido retomados pelos 
métodos dos indivisíveis nos tempos modernos. Desenvolveu-se, principalmente, nos estudos 
de Kepler para a determinação do volume de uma pipa de vinho, utilizando métodos com 
raízes em Arquimedes, que culminou com os indivisíveis de Cavalieri, o que veio a colaborar 
nos primórdios do cálculo infinitesimal. Habilmente utilizado, permitiu calcular volumes de 
sólidos, comparando-os com sólidos já conhecidos, e, consequentemente, o cálculo de áreas. 
Nesse contexto, a base conceitual atomística do método foi o pressuposto de que 
qualquer figura geométrica pode ser entendida como composto de “indivisíveis,” quantidades 
arbitrariamente pequenas, formando, assim, uma soma de elementos (de “fatias” que têm a 
dimensão inferior n-1).
Já na primeira obra de Newton e Leibniz sobre o novo cálculo diferencial, o cálculo integral 
(então chamado de “relação inversa do problema da tangente”) foi concebido como inversão 
do cálculo anterior. 
Medvedev (1974, apud SCHUBRING, 2005) mostrou, porém, que o cálculo integral, nas 
primeiras obras de Newton, ainda não foi baseado em cálculo diferencial. Em vez disso, ele 
foi obtido a partir do método de cálculo de áreas por meio de desenvolvimento de funções em 
séries infinitas. 
8
Unidade: Integrais múltiplas
Esse autor também criticou a opinião generalizada de créditos a Newton sobre a ideia 
de a integral indefinida ser considerada como uma função primitiva, e a Leibniz sobre a 
ideia de a integral definida como um limite de aproximação de somas. Além disso, 
ele mostrou que Newton já havia introduzido o conceito de integral definida como 
um limite de somas, em 1686, e a constante de integração ter sido usado pela primeira 
vez para resolverum problema concreto em um dos artigos de Leibniz de 1694. 
Importante destacar que onde quer que seja tratado o cálculo integral, os livros 
didáticos do XVIII século, formalmente, apresentam a integral como o inverso da 
diferenciação na tarefa de determinar a função primitiva. Sem discutir questões de 
existência, as regras para a determinação de integrais foram examinadas. 
O estudo mais abrangente de como o conceito de integral foi desenvolvido é 
dado por Medvedev. Característico do estado da arte desse conceito no século XVIII 
é livro de Euler (1768-1770) sobre cálculo integral. No seu primeiro volume, 
a extensa obra em três volumes contém uma curta seção geral dando 
definições e explicações. A primeira explicação introduz a integral como 
um problema de inversão: “O cálculo integral é o método para localizar, a partir de uma dada 
relação entre diferenciais, a relação entre as quantidades em si” (Euler, 1828, 1).
Euler ainda acrescenta a caracterização do cálculo diferencial e integral 
como o cálculo entre operações opostas, comparando-as com o análogo cálculo básico de 
operações da aritmética. Ainda segundo Schubring (2005), Medvedev também analisou os 
desenvolvimentos que levaram à ascensão da integral definida na segunda metade do século XVIII. 
Um fator importante a favor da sua crescente importância foi a investigação das oscilações e 
suas representações em séries trigonométricas. A investigação para determinar os coeficientes 
dessas séries mostrou que estes poderiam ser mais adequadamente determinados, usando 
integrais definidas. 
Um novo impulso foi fornecido pelos problemas levantados pela integração 
multidimensional; este é o lugar onde apresentar a integral como uma soma torna-se 
necessário. 
A Teoria do Potencial exigiu o cálculo de integrais definidas. Lagrange usou o conceito 
de integral definida ao longo de sua Analitique Méchanique como uma importante noção 
fundamental. No entanto, Cauchy foi o primeiro a levantar o conceito do integral definida 
para o patamar de uma noção fundamental privilegiada, e o primeiro a tornar compreensível o 
conceito e a existência da integral como objeto próprio adequado de pesquisa matemática em 
seu livro de 1823. Este é o lugar, no qual a integral definida foi introduzida como uma soma 
de quantidades infinitamente pequenas. Em outras palavras, a passagem ao limite de somas 
indinitamente pequenas, que são séries com infinios termos. É onde entram outras aplicações 
sobre conceitos de continuidade, convergência e integral. 
Uma visão mais aprofundada do horizonte conceitual do conceito de limite de Cauchy foi 
feita por Dirksen, em seus comentários sobre a duplicação ou multiplicação de limites. 
Importante destacar que Dirksen foi um dos leitores mais diligentes e defensores das 
inovações de Cauchy em conceitos básicos. 
9
Uma objeção frequente é de que Cauchy não pode ser acusado de um inadmissível 
intercâmbio de passagens para o limite, porque ele já havia salientado, 
em seu famoso livro de memórias sobre integrais definidas, de 1814, que 
resultados diferem quando a sequência é alterada. Além disso, essa objeção é pouco sólida por 
duas razões:
1. No período inicial de sua obra, Cauchy ainda não via a integral definida 
 como um conceito básico independente. Em particular, ele ainda não tinha definido 
isso como um limite de um número infinito de somas. Assim, o livro de memórias não 
estuda a intermutabilidade de passagens para o limite, mas a aplicação de intercâmbio 
duas variáveis x e z em integrais duplas.
2. Cauchy examinou esses intercâmbios em pontos onde a primeira integração 
leva a um resultado indeterminado como 0/0. Portanto, para Cauchy e os dois 
colaboradores acadêmicos Lacroix e Legendre, era evidente que os resultados são iguais para 
ambas as ordens de integração, e que é precisamente essa igualdade que faz com que seja 
possível determinar a integral dupla, apesar da indeterminação em uma das ordens de 
integração. 
Assim, segundo Schbring (2005, p. 476), quando confrontado com os resultados diferentes 
nas duas ordens de integração, a preocupação de Cauchy era encontrar um termo corretivo 
A a fim de restabelecer a igualdade. Lacroix e Legendre, na verdade, declararam ser esta uma 
das principais realizações do livro de memórias de Cauchy: que ele conseguiu determinar 
“exatamente a correção necessária para estabelecer a igualdade entre os resultados obtidos 
pelos dois modos de realização integrações”. 
Desse modo, apesar de a alegação de Laugwitz, Cauchy não confirma dois resultados 
diferentes, 
1 1
0 0 4
K dxdz
z
p∂
=
∂∫∫ e 
1 1
0 0 4
K dxdz
z
p∂
= −
∂∫∫ , mas determina um termo corretivo da forma 1 1
0 0 4 4
K dxdz A
z
p p∂
= + = −
∂∫∫
 (CAUCHY, 1882, p. 322, apud, SCHUBRING, 2005, p. 471). 
A integral definida assentada nas quantidades infinitamente pequenas não só correspondeu 
ao núcleo racional do conceito dos indivisíveis, mas também se articulou com intenções originais 
de Leibniz, quando este apresentou o seu conceito de integral. O Cálculo Integral baseou-se 
novamente na integral definida. Por sua definição, as funções não foram assumidas como 
sendo contínuas, mas uma nova classe de funções integráveis foi introduzida em seu lugar. A 
definição da integral definida seguiu a definição de integral por somas dadas por Riemann.
A notação ( ),
R
f x y dA∫ deixa indicada a integral dupla pela região R de integração e pelo 
elemento infinitesimal de área dA. Já a notação ( ),
R
f x y dA∫∫ enfatiza o fato de ser uma 
integral dupla. 
10
Unidade: Integrais múltiplas
Mais sobre Bernhard Riemann (1826-1866)
Riemann foi uma das mentes do passado que mais influenciou os matemáticos do século 
XX. Filho de um pobre clérigo do norte da Alemanha, ele estudou os trabalhos de Euler e 
de Legendre quando ainda estava no curso secundário, e diz-se que ele dominou o tratado 
de Legendre sobre a Teoria dos Números em menos de uma semana. Mas ele era tímido e 
modesto, com pouca consciência de suas habilidades extraordinárias, tanto que aos dezenove 
anos foi para a Universidade de Göttingen com o objetivo de estudar Teologia e tornar-se 
também um clérigo. Felizmente, uma proposta vantajosa e a permissão do pai fê-lo mudar-se 
para a Matemática. 
A presença do legendário Gauss fez de Göttingen o centro do mundo matemático, mas 
Gauss era distante e inacessível - particularmente aos estudantes iniciantes -, e depois de 
apenas um ano Riemann deixou esse ambiente insatisfatório e foi para a Universidade de 
Berlim. Lá atraiu o interesse amigável de Dirichlet e de Jacobi, e aprendeu muito com ambos. 
Dois anos mais tarde, retornou a Göttingen, onde obteve o grau de doutor, em 1851. 
Durante os oito anos seguintes, suportou uma pobreza debilitante e criou suas maiores obras. 
Em 1854, foi nomeado “Privatdozent” (conferencista não-remunerado), que naquele tempo 
era o primeiro degrau necessário para a escalada acadêmica. 
Gauss morreu em 1855 e Dirichlet foi chamado a Göttingen como seu sucessor. Dirichlet 
ajudou Riemann como pôde, primeiro com um pequeno salário e depois com uma promoção 
a professor assistente. Em 1859, ele também morreu e Riemann foi nomeado professor titular 
para substitui-lo. 
Assim, os anos de pobreza de Riemann acabaram, mas sua saúde estava abalada. Aos trinta 
e nove anos morreu de tuberculose na Itália, na última das várias viagens que fez para fugir do 
clima frio e úmido do norte da Alemanha. Ele teve uma vida curta e publicou relativamente 
pouco, mas seus trabalhos alteraram, permanentemente, o curso da Matemática na Análise, 
Geometria e Teoria dos Números. 
Dos nove artigos publicados por Riemann, somente cinco tratam de Matemática Pura. 
Seu primeiro artigo publicado foi sua celebrada dissertação de 1851 sobre a teoria geral 
das funções de uma variável complexa. Aqui o objetivo fundamental de Riemann era livrar 
o conceito de função analítica de qualquer dependência de expressões explícitas, tais como 
séries de potências econcentrar-se apenas em conceitos gerais e ideias geométricas. 
Além disso, baseou sua teoria no que, hoje, são chamadas equações de Cauchy-Riemann, 
criou o engenhoso artifício das superfícies de Riemann para esclarecer as funções a múltiplos 
valores e foi conduzido ao teorema da aplicação de Riemann. Vale destacar que Gauss, 
raramente, era entusiasta das realizações matemáticas de seus contemporâneos, mas ele 
elogiou, calorosamente, o trabalho de Riemann em sua recomendação oficial à faculdade. 
Em 1854, quando lhe foi requerido submeter um ensaio para ser admitido como 
“Privatdozent”, sua resposta foi outro trabalho significativo, cuja influência está gravada 
indelevelmente na Matemática de nosso tempo. O problema que ele se propôs era analisar as 
condições de Dirichlet (1829) para representar uma função por sua série de Fourier. Uma das 
condições que a função deveria ter era ser integrável. Mas o que isso significa? 
11
Que Dirichlet usara a definição de integrabilidade de Cauchy, que se aplica apenas a 
funções contínuas ou, no máximo, com um número finito de descontinuidades. Certas funções 
que aparecem em Teoria dos Números sugeriram a Riemann que essa definição deveria ser 
ampliada. Ele, então, desenvolveu o conceito da Integral de Riemann como aparece, agora, 
nos textos de Cálculo, estabeleceu condições necessárias e suficientes para a existência de tal 
integral e generalizou o critério de Dirichlet para a validade das expansões de Fourier. 
 A famosa Teoria dos Conjuntos de Cantor foi diretamente inspirada em um problema 
surgido nesse artigo e essas ideias levaram ao conceito de integral de Lebesgue e a tipos ainda 
mais gerais de integração. 
As investigações pioneiras de Riemann foram, portanto, o primeiro passo em outro novo ramo 
da Matemática, a Teoria das Funções de Variável Real. O Teorema do Rearranjo de Riemann da 
teoria das séries infinitas foi um resultado incidental nesse artigo; ele estava familiarizado com 
o exemplo de Dirichlet, mostrando que a soma de uma série, condicionalmente, convergente 
pode mudar pelo rearranjo dos termos. 
Aplicações de integrais múltiplas
As pricipais aplicações de integrais múltiplas, notadamente as integrais duplas, referem-se 
a conceitos da Física. 
Cálculo da Massa 
Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D e que a massa 
esteja distribuída uniformemente sobre D com densidade conhecida, isto é, existe uma função 
( ), 0z f x y= > definida em D que representa massa por unidade de área em cada ponto 
( ),x y D∈ . Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é constante. Nesse caso, 
a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área da lâmina. Quando a densidade 
varia de ponto a ponto em D e f é uma função integrável sobre D, a massa total é dada por:
( ) ( ),
D
M D f x y dxdy= ∫∫
Momento de massa
O momento de massa de uma partícula, em torno de um eixo, é o produto de sua massa 
pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, o momento de massa da lâmina D em relação 
aos eixos coordenados X e Y são, respectivamente,:
( ),x
D
M yf x y dxdy= ∫∫ e ( ),y
D
M xf x y dxdy= ∫∫
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Unidade: Integrais múltiplas
Centro de massa
O centro de massa da lâmina D é definido por ( ),x y , onde:
( )
yMx
M D
= e ( )
xMy
M D
=
Fisicamente, ( ),x y é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concentrada 
sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se ( ),f x y k= , k > 0 em todo D, 
( ),x y é chamado de centroide de D. Nesse caso, o centro de massa é o centro geométrico da 
região D. 
Momento de inércia
Sejam L uma reta no plano, D uma lâmina como antes definida e ( ) ( )( ), , ,x y d x y Lδ = , a 
distância no plano do ponto ( ),x y D∈ à reta L.
Se ( ),f x y é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia da lâmina em relação 
à reta L é:
( ) ( )2 , ,L
D
I x y f x y dxdyδ= ∫∫
Em particular, se L é o eixo X:
( )2 ,x
D
I y f x y dxdy= ∫∫
E se L é o eixo Y:
( )2 ,y
D
I x f x y dxdy= ∫
O momento de inércia polar em relação à origem é:
I I I x y f x y dxdyx y
D
0
2 2= + = +( ) ( )∫∫ ,
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de resistir à 
aceleração angular em torno desse eixo. 
Aplicações de integrais triplas: volume
Em particular, se ( ), , 1f x y z = para todo ( ), ,x y z W∈ , então o volume de W é:
V W
W W
dV dxdydz( ) = =∫∫∫ ∫∫∫
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Concluindo
Algumas das técnicas de integração de uma variável referem-se a cálculos de áreas de 
superfícies planas, de volumes dos sólidos de revolução, de volumes por anéis cilíndricos e 
de volumes por seções transversais. Já o ensino de integrais múltiplas é introduzido como 
prolongamento dessas ideias, devido ao lugar importante atribuído à noção de somas de 
Riemann na organização matemática das integrais.
Observa-se, ainda, que tanto a Geometria Analítica quanto a Geometria Descritiva interagem, 
fortemente, com as integrais, nos programas de Cálculo, devido ao lugar funcional ocupado 
pelo estudo de funções de uma e de várias variáveis, e suas respectivas representações gráficas 
no plano bidimensional (2D) ou no espaço tridimensional (3D). 
Além disso, é notável que a vida das integrais múltiplas é reforçada pelo estudo das integrais 
duplas, área de regiões planas e volume de sólidos, integrais duplas em coordenadas polares, 
área de superfícies tridimensionais, integrais triplas, momento de inércia e centro de massa, 
coordenadas cilíndricas e esféricas, mudança de variáveis e cálculo vetorial. O estudo desse 
último, por sua vez, é suborganizado por campos vetoriais, integrais curvilíneas, independência 
de caminhos, teorema de Green, teorema de Gauss e teorema de Stokes, fazendo parte dos 
conteúdos do ensino das integrais múltiplas.
O ensino de integrais encontra, portanto, um lugar natural na organização matemática do 
Cálculo Diferencial e Integral, começando com funções de uma variável e estendendo-se a 
funções de várias variáveis. 
Assim, afirmamos que o primeiro nicho das integrais múltiplas é o nicho da análise matemática 
que podemos caracterizar como nicho estrutural, no sentido em que as integrais múltiplas vêm 
completar um programa de estudo, reforçando uma coerência, seguindo um esquema de dois 
segmentos (estudo de funções de uma variável real e de funções de várias variáveis reais) e 
três tempos (definição/limite de funções, cálculo diferencial e cálculo integral). Além disso, as 
integrais múltiplas servem ao cálculo de áreas de superfícies e de volumes de sólidos. 
Nesse contexto, alimentam-se via gráficos, das técnicas de representação gráfica, assim 
como do raciocínio geométrico, ocupando, assim, um nicho geométrico que pode ser 
caracterizado como nicho interpretativo. As integrais múltiplas servem, também, para calcular 
massa, momentos de inércia e várias outras noções procedentes da Física. Encontramos, 
assim, as aplicações ocupando um nicho físico que caracterizamos como nicho aplicativo.
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Unidade: Integrais múltiplas
Introdução
Os problemas de “medida”, relacionados aos conceitos de comprimento, área e volume, 
remontam aos tempos dos egípcios, há mais de 4 mil anos. Com o conhecimento de integrais 
simples, obtemos áreas de regiões planas limitadas por gráficos de funções, volumes de sólidos, 
usando métodos de fatias ou discos circulares, aplicações na Geometria, na Física, entre outras. 
Nesta unidade, os conceitos de integral simples serão estendidos para integrais múltiplas. 
O cálculo de derivadas parciais de função de duas ou mais variáveis, derivando em relação a 
uma delas e considerando as outras constantes. Veremos que, de forma análoga, isso poderá 
ser feito em relação a integrais múltiplas.
Integral dupla
Você deve se lembrar do cálculo de uma variável que a integral simples ( )
b
a
f x dx∫ , onde 
:f I ⊂ →  é uma função contínua e não negativa no intervalo [ ],I a b= , é definida como 
a área S delimitada pelo eixo X, pelas retas x = a e x = b, e pelo gráfico de da função ()y f x= .
Esse conceito de integral simples pode ser estendido a uma função de duas variáveis reais 
2:f D ⊆ →  contínua na região D compacta (limitada e fechada). Como D é limitado, 
então existe um retângulo [ ] [ ], ,R a b c d= × tal que D R⊂ .
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Vamos dividir o retângulo R em sub-retângulos Rij da seguinte maneira: 
Dividimos os intervalos [a,b] e [c,d] em n subintervalos de mesmo comprimento x
b a
n
−
∆ = 
e y
d c
n
−
∆ = , respectivamente; daí traçamos retas verticais e horizontais pelas extremidades 
desses subintervalos. A seguir, vamos escolher ( )* *i j ijx y R∈ para formar a soma:
Fonte: uff.br
A seguir, vamos escolher ( )* *,i j ijx y R∈ para formar a soma:
( ) ( )* * * *
1 1 , 1
, ,
n n n
n i j i j A
j i i j
S f x y x y f x y
= = =
= ∆ ∆ = ∆∑∑ ∑
onde ( )* *, 0i jf x y = , se ( )* *,i jx y D∉ .
Esta soma é a soma de Riemann de f . Se existir lim nn S L→∞ = , dizemos que f é integrável e 
que o número L é dito integral e f sobre D e é indicado por ( ),
D
f x y dxdy∫∫ ou 
D
fdA∫ . 
Assim,
( ) ( )* *
, 1
, lim ,
n
i jn
i jD
f x y dxdy f x y x y
→∞
=
= ∆ ∆∑∫∫ .
A demonstração é feita usando os seguintes passos:
Se f é contínua, então é integrável. 
Se ( ), 0f x y ≥ é contínua em D, então o gráfico de f está acima do plano XY. Daí o 
volume do sólido W que está abaixo do gráfico de f e acima de D é dado por 
( ) ( ),
D
V W f x y dxdy= ∫∫
16
Unidade: Integrais múltiplas
Logo, para encontrar o volume do sólido W, integramos ( ),f x y que é o teto, sobre D que 
é o piso do sólido. 
Fonte: uff.br
Se ( ), 1f x y = , 1 )
D
dxdy∫∫ é numericamente igual à área da região D. 
Propriedades:
i) ( )
D D D
f g dA fdA gdA+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫
ii) 
D D
kfdA k fdA=∫∫ ∫∫
iii) Se 
1 2
1 2
D D D
D D D fdA fdA fdA= ⇒ = +∫ ∫∫∪ ∫ ∫∫
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Exemplo 1
Vamos ilustrar como calcular pela definição a integral dupla da função ( ) 2,f x y xy= sobre 
o retângulo ( ){ }2, : 0 1 0 1D x y x e y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
Resolução
Já sabemos que 
( )
1
1
1 2 3
2
n n n
k
+
+ + +…+ = =∑ e por indução finita podemos mostrar 
que ( )( )2
1
1 2 1
6
n n n n
k
+ +
=∑ . 
Consideremos a partição do retângulo D determinada pelos pontos:
0 1 20 1nx x x x= < < < …< = e 0 1 20 1ny y y y= < < < …< =
sendo kx k x= ∆ e ky k y= ∆ , 1,2,3, ,k n= … e ∆ ∆x y n
= =
1
Então, as somas de Riemann, com *i ix x= e 
*
j jy y= são:
( ) ( ) ( )2 32
0 0 0 0
,
n n n n
n i j
j i j i
S f x y x y i x j y
= = = =
 
= ∆ ∆ = ∆ ∆ 
 
∑∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 2 22 2
0 0 0 0
11 1 1
2 2
n n n n
j i j j
n n ni j y j y j y
n n n= = = =
  +   +   = ∆ = ∆ = ∆       
       
∑ ∑ ∑ ∑
( )( ) ( ) ( )22 2
3 3 3 3
0 0
1 2 1 1 2 11 1 1 1 1 1
2 2 2 6 12
n n
j j
n n n n nn n nj j
n n n n n n n= =
+ + + + + + +       = = = =        
        
∑ ∑
Logo, 
( ) ( )2
3
1 2 1 1lim lim
12 6nn n
n n
S
n→∞ →∞
+ +
= =
Esse exemplo é uma demonstração clara de como o cálculo da integral dupla pela definição 
pode não ser uma tarefa fácil. Para tal, temos o método da integração iterada (ou integral 
repetida), que é dada pelo Teorema de Fubini, que vemos a seguir. 
O método prático de calcular integrais duplas
Teorema 1: Teorema de Fubini 
Seja 2:f D ⊂ →  contínua no retângulo ( ){ }2, : D x y a x bec y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ .
Então,
f x y dxdy f x y dx dy f x y dy d
D c
d
a
b
a
b
c
d
, , ,( ) = ( )





 = ( )





∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xx
18
Unidade: Integrais múltiplas
As integrais
( ),
d b
c a
f x y dx dy
 
 
 
∫ ∫ e ( ),
b d
a c
f x y dy dx
 
 
 
∫ ∫
são as integrais iteradas de ( ),f x y sobre o retângulo D e nelas estão especificadas a ordem 
de integração. Como o resultado independe da ordem de integração, a ordem é determinada 
pela maior conveniência ou facilidade no cálculo da integral simples. 
Corolário: Se ( )g x e ( )h y são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente, então 
g x h y dxdy g x dx h y dy
a b c d a
b
c
d
( ) ( ) = ( )





 ( )






[ ]×[ ]
∫∫ ∫ ∫
, ,
Exemplo 2
Vamos calcular a integral do exemplo 1, usando o teorema de Fubini.
1 11 1 1 1 1 12 3
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 00 0
1 1 1 1 1.
2 2 2 3 2 3 6D
x yxy dA xy dx dy y xdx dy y dy y dy
        
= = = = = = =        
           
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Como é possível ver, o uso de integrais iteradas facilita, enormemente, o cálculo da integral 
dupla. 
Cálculo de integrais duplas em regiões mais gerais
Definição 1: Dizemos que D é uma região do tipo I, ou região simples vertical Rx, se D 
for limitada à esquerda pela reta vertical x = a, à direita pela reta vertical x = b, inferiormente 
pela curva de equação y = g1(x) e superiormente pela curva y = g2(x), sendo g1 e g2 contínuas. 
Como, por exemplo, a região indicada na figura a seguir. 
Então, ( ) ( ) ( ){ }2 1 2, : D x y a x be g x y g x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ . Prova-se que:
f x y dxdy f x y dy dx
D a
b
g x
g x
, ,( ) = ( )








∫∫ ∫ ∫
( )
( )
1
2
19
Definição 2: Dizemos que D é uma região do tipo II, ou região simples horizontal Ry, se D for 
limitada inferiormente e superiormente pelas retas horizontais y = c e y = d, respectivamente, 
à esquerda pela curva x = h1(y) e x = h2(y), sendo h1 e h2 contínuas. Como, por exemplo, a 
região da figura a seguir. 
Então, ( ) ( ) ( ){ }2 1 2, : D x y c y d eh y x h y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ . Prova-se que: 
f x y dxdy f x y dx dy
D c
d
h y
h y
, ,( ) = ( )








∫∫ ∫ ∫
( )
( )
1
2
Importante!
O Teorema leva o nome do matemático italiano 
Guido Fubini (1879-1943), que demonstrou a versão 
mais geral em 1907. Mas a versão para as funções 
contínuas era conhecida, pelo menos, um século antes 
pelo matemático francês Augustin-Louis Cauchy. 
Exemplo 3
Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x y z+ + = , 
no 1° octante. 
20
Unidade: Integrais múltiplas
Resolução
A equações dos planos coordenados são 
0
0
0
x
y
z
=
 =
 =
E a região D no plano XY fica determinada por 0, 3, 0x x y= = = e 3y x= − .
Portanto, ( ) ( )
3 3
0 0
3 3
x
D x y
V x y dxdy x y dy dx
−
= =
 
= − − = − − = 
  
∫ ∫ ∫ ∫
3 33 32 2 2 3
0 00 0
9 9 3 27 27 27 27 93 3 .
2 2 2 2 2 6 2 2 6 6 2
y x x
x xy x
y x x x xy xy dx x dx u v
= − =
= == =
      
= − − = − + = − + = − + = =     
         
∫ ∫
Exemplo 4
Determinar o volume do sólido limitado superiormente por 24z x= − , inferiormente por z = 0 
e no plano XY por x = 0, x = 2, y = 0 e y = 6.
Resolução
Representando o sólido e a região D, temos: 
( ) ] ( )
26 2 6 6 63
62
0
0 0 0 0 00
8 16 16 164 4 8 6 32 .
3 3 3 3 3D
xV zdA x dx dy x dy dy dy y u v
       = = − = − = − = = = =           
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
21
Exemplo 5
Calcule, por integral dupla, a área da região D limitada pelas curvas y = x3 e y x= .
Resolução
Primeiramente, vamos esboçar a região D para encontrar os limites de integração. 
Fonte: uff.br
Então ( )
1
2 3 2, : 0 1 D x y x e x y x
 
= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ 
 
 e
( ) ]
1
12
2
3
3
11 1 1 1 3 4
32 2
0 0 0 0
2 2 1 5 . .
3 4 3 4 12
x
x
x
D x
xA D dA dy dx y dx x x dx x u a
          = = = = − = − = − =                 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Definição 3: Suponhamos que D seja ua região limitada com a seguinte propriedade: 
qualquer reta vertical (paralela ao eixo Y) ou horizontal (paralela ao eixo X) intercepta D em, 
no máximo, dois pontos. Tal região pode ser decomposta em regiões simples do tipo vertical 
(tipo I) ou tipo horizontal (tipo II) e a integral dupla sobre D é calculada, usando a propriedade 
aditiva da integral. Confira, na figura, uma decomposição de D nas rigiões D1 e D2 e a integral 
sobre D é dada por: 
( ) ( ) ( )
1 2
, , ,
D D D
f x y dA f x y dA f x y dA= +∫∫ ∫∫ ∫∫
Fonte: mat.ufpb.br
22
Unidade: Integrais múltiplas
Invertendo a ordem de integração
Ao fazer a decomposição daregião D em regiões simples, a escolha da região Rx ou Ry 
depende, naturalmente, do formato da região D. Embora as integrais iteradas resultem no 
mesmo valor, independente da ordem de integração, em uma determinada ordem o integrando 
pode não ter sua primitiva elementar e, neste caso, uma inversão na ordem de integração deve 
ser efetuada. 
Vale ressaltar que, ao inverter a ordem de integração, a região D não sofre alteração, 
apenas o cálculo da integral iterada se processa na ordem inversa e os limites da integração 
podem requerer a conveniente adequação para esse cálculo. Na figura a seguir, exibimos a 
região D D D= ∪1 2 sobre a qual expressamos a integral dupla como integral iterada nas duas 
ordens de integração possíveis: dxdy e dydx.
Fonte: mat.ufpb.br
Na imagem (a), a região ( ) ( )1 2
c y d
D
h y x h y
≤ ≤
=  ≤ ≤
 e a integral dupla sobre D é calculada pela 
integral iterada:
( )
( )
( )
( )
2
1
, ,
h yd
D c h y
f x y dA f x y dx dy
 
=  
  
∫∫ ∫ ∫
 (a)
Por outro lado, na imagem em (b) a região D tem que ser discriminada em termos separados 
de D1 e D2, assim:
( )1 2
a x e
D
c y g x
≤ ≤
=  ≤ ≤
 e ( )2 1
e x b
D
c y g x
≤ ≤
=  ≤ ≤
E a integral dupla, com ordem invertida, fica sendo:
( )
( )
( )
( )
( )
2 1
, , ,
g x g xe b
D a c e c
f x y dA f x y dy dx f x y dy dx
   
= +   
      
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (b)
Aparentemente, o cálculo da integral (a) é mais simples, porque há só uma integral iterada, 
mas isto vai depender muito mais do integrando ( ),f x y do que do número de integrais iteradas 
a serem efetudas. Como já alertamos, o integrando pode não ter uma primitiva elementar. 
23
Exemplo 6
Vamos calcular a integral dupla de ( ),f x y xy= sobre a região D ilustrada a seguir, nas 
duas ordens de integração.
Fonte: mat.ufpb.br
Resolução
A região D pode ser decomposta em regiões simples, verticais ou horizontais. 
1) Como região vertical simples, temos:
0 1
2
x
D
x y x
≤ ≤
=  ≤ ≤ −
E, nesse caso, a integral dupla fica sendo:
( )
21 2 1 12
2 2
0 0 0
1 2
2 2
y xx
D x y x
yxydA xydy dx x dx x x x dx
= −−
=
     = = = − −         
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
11 1
2 2 3
00 0
1 1 1 4 1 4 14 4 4 4 2 2
2 2 2 3 2 3 3
x x dx x x dx x x
   = − = − = − = − =       
∫ ∫
Decompondo D em regiões horizontais simples, D D D= ∪1 2 temos:
1
0 1
0
y
D
x y
≤ ≤
=  ≤ ≤
 e 
2
1 2
0 2
y
D
x y
≤ ≤
=  ≤ ≤ −
24
Unidade: Integrais múltiplas
Nesse caso, a integral dupla fica sendo:
xydA xydA xydA
D D D
∫∫ ∫∫ ∫∫= +
1 2
221 2 1 22 2
0 0 1 0 0 10 02 2
x y x yy y
x x
x xxydx dy xydx dy y dy y dy
= = −−
= =
        
= + = +        
           
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
11 2 24
23 2 3
0 1 10
1 1 1 12 4 4
2 2 2 4 2
y
y
yy dy y y dy y y y dy
=
=
 
= + − = + − + 
  
∫ ∫ ∫
24
2 3
1
1 1 4 1 1 32 4 12 8 4 2
8 2 3 4 8 2 3 3 4
y
y
yy y
=
=
        = + − + = + − + − − +              
1 1 4 11 1 1 5 8 1
8 2 3 12 8 2 12 24 3
   = + − = + = =     
Como podemos ver, os resultado é o mesmo, embora, nesse caso, a situação (1) fique mais 
simples para efetuar a integração dupla, uma vez que o integrando tem primitiva elementar. 
Exemplo 7: Uma função sem primitiva elementar
Calcular a integral dupla da função ( ) 2, yf x y e−= sobre a região D entre as retas 
0, 4 4x y e y x= = = . 
Resolução
Nesse exemplo, o cuidado com a escolha da ordem de integração deve ser redobrado, 
uma vez que a não ∫ pode ser calculada por métodos elementares de cálculo integral, ou 
seja, a função ( ) 2yg y e−= não tem primitiva elementar. Então, devemos escolher a ordem de 
integração iterada de forma a integrar primeiro em relação a x, assim, podemos escrever a 
região D como uma região horizontal simples:
0 4
0
4
y
D yx
≤ ≤
= 
≤ ≤
E, usando o teorema de Fubini, temos:
]2 2 2 2
4 4 44
4
0
0 0 0 0
1
4
y
yxy y y y
x
D
e dxdy e dx dy e x dy ye dy=− − − −
=
 
  = = =      
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Com a substituição 2 2 /u y du ydy ydy du u= − ⇒ = − ⇒ = − . Logo:
2
4 16
16 16
0
0 0
1 1 1 1 1
4 8 8 8
uy u u
u
ye dy e du e e
−
=−− −
=
   = − = − = −    ∫ ∫
Logo: 
2 161 1
8
y
D
e dxdy e− − = − ∫∫
25
Exemplo 8: 
Calcular a integral iterada 
( )
1 1
3
0 0
x y dA
x y
−
+∫∫
 nas duas ordens de integração.
Resolução:
Vamos calcular separadamente e usar uma estratégia .
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
3 3 3 2
0 0 0 0
1 11 1
3 2
2
0 0 00
2 2
2 2 1
12
1 1 1 1
11 1
y y
yy
x x yx y xdy dy dy dy
x y x y x y x y
xx x y dy x y dy
x yx y
x
x x xx x
= =
− −
==
− +−
= = −
+ + + +
     = − + − + = − +     ++     
   = − + + − =   + + +  
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Logo: 
( ) ( )
11 1 1
3 2
00 0 0
1 1 1 11
1 2 21
x
x
x y dy dx dx
xx y x
=
=
   −   = = − = − + =     +   + +      
∫ ∫ ∫
Agora, invertendo a ordem de integração. Mas para não ter que calcular novamente, inverter 
a ordem de integração é como se permutássemos as variáveis e depois tomássemos o valor 
oposto, pela antissimetria do integrando.
Permutando as variáveis, temos: 
( )
1 1
3
0 0
1
2
y x dx dy
x y
 −
= 
+  
∫ ∫
E assim, na ordem dxdy, temos:
( ) ( )
1 1 1 1
3 3
0 0 0 0
1
2
x y y xdx dy dx dy
x y x y
   − −
= − = −   
+ +      
∫ ∫ ∫ ∫
Porque, nesse caso, a inversão na ordem de integração dá resultados diferentes? Em outras 
palavras, isto contradiz o Teorema de Fubini?
Na verdade, não contradiz o Teorema de Fubini, porque uma das condições da aplicabilidade 
do Teorema de Fubini é que o integrando ( ),f x y seja uma função limitada na região D, o 
que não ocorre com a função ( )
( )3
, x yf x y
x y
−
=
+
. De fato, ao longo da reta y = 2x obtemos:
( ) ( ) ( )  ( ) 2
3 3 3 2, 0,0 0 0 0
2 1lim lim lim lim
27 272
ao longo de y x
x y x x x
x y x x x
x xx y x x
=
→ → → →
− − − −
= = = −∞
+ +
=
26
Unidade: Integrais múltiplas
Então, o que dizer da integral dupla ( ),
D
f x y dA∫∫ neste caso? Se a integral dupla existisse, 
as integrais iteradas seriam iguais. Como isso não ocorreu, a função em questão não é 
integrável em D. Atenção que uma coisa é poder calcular cada integral iterada (que no caso 
existem), outra coisa é a integral dupla, que nesse caso, não existe. 
Exemplo 9: 
Encontrar o centro de massa da lâmina representada pela região parabólica da figura a 
seguir, sabendo que a densidade num ponto (x,y) da lâmina é proporcional à distância desse 
ponto ao eixo X. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1015)
Resolução: 
Como está mostrado na Contextualização, o centro de massa de uma lâmina D é definido 
por ( ),x y , onde 
( )
yMx
M D
= e ( )
xMy
M D
= , sendo MX e My os momentos de massa da lâmina D 
em relação aos eixos coordenados X e Y, respectivamente, dados por: ( ),x
D
M yf x y dxdy= ∫∫ 
e ( ),y
D
M xf x y dxdy= ∫∫ .
 Como a lâmina é simétrica em relação ao eixo Y e a densidade ( ),x y kyρ = , k constante, 
o centro de massa está no eixo Y, portanto, x = 0 . Para calcular y , precisamos primeiro 
calcular a massa da lâmina e o momento de massa yM . 
A massa de uma lâmina é dada por ( ) ( ),
D
M D x y dxdyρ= ∫∫ , então temos:
( ){ }2 2, : 2 2 0 4D x y x e y x= ∈ − ≤ ≤ ≤ ≤ −
( ) ( )
( )
2
22 4 2 242 2 4
0
2 0 2 2
25
3
2
16 8
2 2
8 64 32 64 32 512 25616 32 32
2 3 5 2 3 5 3 5 2 15 15
x
x
D
k kM D kydA kydydx y dx x x dx
k x k k kx x M D
−
−
− − −
−
 = = = = − +  
         = − + = − + − − + − = = =                   
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
27
Agora, vamos encontrar o momento de massa da lâmina em relação ao eixo X.
( ) ( )
( )
2
22 4 2 2 343 2
0
2 0 2 2
22 5 7
2 4 6 3
2 2
4
3 3
12 409664 48 12 64 16
3 3 5 7 105
x
x
x
k kM y ky dydx y dx x dx
k k x x kx x x dx x x
−
−
− − −
− −
 = = = −  
 
= − + − = − + − = 
  
∫∫ ∫ ∫
∫
Assim, 
4096 16105
256 715
x
kMy kM
= = =
E o centro de massa dessa lâmina é 
160, 
7
 
 
 
Exemplo 10: 
Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
Em uma questão como essa, é prudente esboçar dois diagramas, o do sólido tridimensional 
e o da região plana D sobre o qual o sólido se encontra. Só assim saberemos, com certeza, os 
limites de integração. 
Segue um esboço do sólido: a figura mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados 
x = 0, z = 0, pelo plano vertical x = 2y e pelo plano x + 2y +z = 2.
28
Unidade: Integrais múltiplas
Segue um esboço da região D. Como o plano x + 2y + z = 2 intercepta o plano XY (cuja 
equação é z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está acima da região triangular D no plano 
XY, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0.
O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 - x - 2y, de modo que o volume pedido 
está sob o gráfico da função z = 2 - x - 2y e acima da região triangular 
( ) 2, : 0 1 1
2 2
x xD x y x e y = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ − 
 
 .
Portanto:
( ) ( )
( )
11 12 12 2
20 0
2
21 12 2
2
0 0
13
2
0
2 2 2 2 2
2 1 1 2 1
2 2 2 4
1 11 1 . .
3 3 3
x
xy
xy
xD
V x y dA x y dydx y xy y dx
x x x xx x x dx x x dx
x x x u v
−
= −
=
 
= − − = − − = − − 
 
    = − − − − − − + + = − +    
     
 
= − + = − + = 
  
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Área de uma superfície
Definição 4: Se f e suas derivadas parciais primeiras são contínuas em uma região fechada 
R no plano XY, então a área da superfície S dada por ( ),z f x y= sobre R é dada por:
( ) ( ) 221 , ,x y
R R
S dS f x y f x y dA = = + +    ∫∫ ∫∫
29
Exemplo 11
Achar a área da superfície da porção do plano z = 2 - x -y que se encontra sobre o círculo 
2 2 1x y+ ≤ no primeiro octante, como indica a figura. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1021)
Resolução
Como ( ), 2z f x y x y= = − − , então ( ), 1xf x y = − e ( ), 1yf x y = − . 
Então, a área da superfície S é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 , , 1 1 1 3 3x y
R R R R
S f x y f x y dA dA dA dA = + + = + − + − = =    ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Observe que a última integral é apenas a área da região R multiplicada por 3. Como a 
região R é 1
4
 do círculo de raio 1, então ( )
4
A R p= e, portanto:
( ) 33. . 
4
S A R u ap= =
30
Unidade: Integrais múltiplas
Exemplo 12: 
Simetria em integrais duplas
Seja 2D ⊂  , simétrica em relação ao eixo Y e ( ),f x y uma função ímpar na variável x, 
isto é, ( ) ( ), ,f x y f x y− = − . Então, ( ), 0
D
f x y dxdy =∫∫ . De fato, como D tem simetria em 
relação ao eixo Y, observamos que D está limitada à direita pela curva ( )x x y= e à esquerda 
pela curva x x y= − ( ) . Supondo que a projeção de sobre o eixo Y seja o intervalo [ ],c d , temos 
o esboço para D.
Fonte: uff.br
Então, temos:
( )
( )
( )
( )
0(*)
, , 0 0
x yd d
D c x y c
f x y dxdy f x y dx dy dy
−
=
 
= = = 
  
∫∫ ∫ ∫ ∫

(*) Aqui usamos o resultado de Cálculo de uma variável: se g(x) é uma função ímpar. Então, 
temos que:
( ) 0
a
a
g x dx
−
=∫
Mudança de variáveis em Integrais duplas
Através de uma mudança de variáveis
x = x (u,v) e y = y (u,v)
uma integral dupla sobre uma região D do plano XY pode ser transformada em uma integral 
dupla sobre uma região D’ do plano UV. Observe a representação na figura a seguir. 
31
A correspondência entre as regiões D’ e D é bijetora e podemos retornar de D para D’ 
por meio da transformação inversa: u = u(x,y) e v = v(x,y). Considerando que as funções 
relativas à mudança de variáveis são contínuas com derivadas parciais contínuas em D’ e D, 
respectivamente, temos: x
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
,
, , , ,
,D D
x y
f x y dxdy f x u v y u v dudv
u v
∂
=
∂∫∫ ∫∫
Onde 
( )
( )
,
 
,
x y
u v
∂
∂ é o valor absoluto do determinante Jacobiano (determinante da matriz 
Jacobiana) de x e y em relação a u e v, dado por:
( )
( )
,
,
x x
x y u v
y yu v
u v
∂ ∂
∂ ∂ ∂=
∂ ∂∂
∂ ∂
A fórmula é válida se:
i) ƒ é contínua;
ii) As regiões D e D’ são formadas por um número finito de sub-regiões do tipo Dx ou Dy;
iii) O jacobiano 
( )
( )
,
0
,
x y
u v
∂
≠
∂
 em D’ ou se anula em um número finito de pontos de D’
A transformação que leva pontos (r,θ) do plano em coordenadas polares Rθ a pontos (x,y) 
do plano cartesiano XY é dada por:
( ),x x r rcosθ θ= = e ( ),y y r rcosθ θ= =
E seu jacobiano é dado por 
( )
( )
,
,
cos rsenx y
r
sen rcosr
θ θ
θ θθ
−∂
= =
∂
Portanto, a expressão de mudança de variáveis cartesianas para polares é:
( ) ( ), ,
xy rR R
f x y dxdy f rcos rsen rdrd
θ
θ θ θ=∫∫ ∫∫
32
Unidade: Integrais múltiplas
Mudança de variáveis na forma polar
Seja R é uma região plana que contém todos os pontos ( ) ( ), ,x y rcos rsenθ θ= que satisfazem 
as condições ( ) ( )1 20 g r gθ θ≤ ≤ ≤ , α θ β≤ ≤ , onde ( )0 2β α p≤ − ≤ .
Se g1 e g2 são contínuas em [α,β] e ƒ é contínua em R, então:
( )
( )
( )
( )
2
1
, ,
g
R g
f x y dA f rcos rsen rdrd
θβ
α θ
θ θ θ=∫∫ ∫ ∫
Exemplo 12: 
Achar a área da superfície S correspondente à porção do hemisfério ( ) 2 2, 25f x y x y= − − 
que se encontra sobre a região R do plano XY limitada pelo círculo 2 2 9x y+ ≤ , como indicado 
na figura a seguir.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1023)
Resolução: 
As derivadas parciais primeiras de ƒ são:
( )
2 2
,
25
x
xf x y
x y
−
=
− −
 e ( )
2 2
,
25
y
yf x y
x y
−
=
− −
E, de acordo com a expressão de área de uma superfície S, temos que:
( ) ( ) 221 , , x ydS f x y f x y dA = + +    
2 2
2 2 2 2 2 2
51 
25 25 25
x y dA dA
x y x y x y
   − −   = + + =
   − − − − − −   
Portanto, a área da superfície S é: 
2 2
5
25R
S dA
x y
=
− −
∫∫
33
Podemos usar a parametrização em coordenadas polares x = rcosƟ e y = rsenƟ. Lembramos 
que, em coordenadas polares, dA rdrdƟ
Então, como a região R está limitada por 0 3r≤ ≤ e 0 2θ p≤ ≤ , obtemos:
( ) ( )
2 3 2 2 23
2
2 00 0 0 0 0
5 5 25 5 4 5 5 5 2 10 . 
25
r
r
S rdrd r d d d u a
r
p p p p
θ θ θ θ p p
=
=
 = = − − = − + = = =  −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 Atenção
Coordenadas polares.
Relações:
2 2 2r x yx rcos
yy rsen arctg
x
θ
θ θ
 = +
= ⇔   = =    
34
Unidade: Integrais múltiplas
Exemplo 13: 
Calcular ( )2 2x y
R
e dxdy+∫∫ sendo R a região semicircular dada por: x2 + y2 < 1 e y > 0
Resolução: 
Vamos mudar para coordenadas polares, então a região 
0 1
0
r
R
θ p
≤ ≤
=  ≤ ≤
( )2 2 2 2
1
0 0
x y r r
R R
e dxdy e rdrd e rdr d
p
θ θ+
 
= =  
 
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
Para resolver a integral 
2
1
0
re rdr∫ , vamos usar a substiuição 2 2u r du rdr= ⇒ =
Assim: 
2
1 1
1
0
0 0
1r u ue rdr e du e e = = = −  ∫ ∫
Daí: ( ) ( ) ( ) ] ( )2
1
0
0 0 0 0
1 1 1 1re rdr d e d e d e e
p p p
pθ θ θ θ p
   = − = − = − = −    
∫ ∫ ∫ ∫ .
35
Integrais triplas
O procedimento utilizado para definir integrais triplas é análogo ao utilizado em integrais 
duplas. Considere uma função ƒ de três variáveis que é contínua sobre uma região sólida e 
limitada Q do espaço cartesiano. Então, cobre-se Q por uma rede de cubos, formando uma 
partição interna que contem todos os cubos que estejam, inteiramente, contidos em Q, como 
indica a figura a seguir.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1027)
O volume do i-ésimo cubo é ∆Vi = ∆xi∆yi∆zi. 
A norma ||∆|| da partição é a medida do comprimento da maior diagonal dos n cubos da 
partição. Em cada cubo, elege-se um ponto (xi,yi,zi) e se forma a soma de Riemann:
( )
1
, ,
n
i i i i
i
f x y z V
=
∆∑
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1027)
36
Unidade: Integrais múltiplas
Tomando o limite, quando ||∆|| → 0 chegamos à definição a seguir.
Definição 5: Se ƒ é uma função contínua sobre uma região sólida limitada Q, então a 
integral tripla de ƒ sobre Q se define como
( ) ( )
|| || 0
1
, , lim , ,
n
i i i i
iQ
f x y z dV f x y z V
∆ →
=
= ∆∑∫∫∫
Sempre que este limite exista. 
O volume da região sólida Q é dado por:
( )
Q
V Q dV= ∫∫∫
As imagens,a seguir, ilustram a aproximação do volume de uma região sólida, encontrando 
a soma dos volumes de prismas retangulares representativos da partição, que no limite da 
soma de Riemann tendem para o valor exato do volume deste sólido. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 983)
Propriedades das integrais triplas
São análogas às propriedades das integrais duplas:
1) ∫∫∫Qkƒ(x,y,z) dV = k∫∫∫Qƒ(x,y,z)dV
2) ∫∫∫Q[ƒ(x,y,z) ± g(x,y,z)]dV = ∫∫∫Qƒ(x,y,z)dV ± ∫∫∫Qg(x,y,z)dV
3)∫∫∫Q ƒ(x,y,z)dV = ∫∫∫Q1 ƒ(x,y,z)dV + ∫∫∫Q2 ƒ(x,y,z)dV
Na terceira propriedade Q é a reunião de duas subregiões sólidas que não se sobrepõem, 
Q1 e Q2. Se a região sólida Q é simples, a integral tripla ∫∫∫ƒ(x,y,z)dV pode ser calculada com 
integrais iteradas, utilizando-se as seis possíveis ordens de integração: 
dxdydz, dxdzdy, dydxdz, dydzdx, dzdxdy, dzdydx
Segue a versão do Teorema de Fubini para integrais triplas 
Teorema 2: Se ƒ é contínua em uma região sólida Q, assim definida:
a x b≤ ≤ , ( ) ( )1 2h x y h x≤ ≤ e ( ) ( )1 2, ,g x y z g x y≤ ≤
onde g1,g2,h1,h2 são funções contínuas. Então:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
,
,
, , , ,
h x g x yb
Q a h x g x y
f x y z dV f x y z dV=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
37
Exemplo 14: 
Calcule o volume do sólido limitado pelos paraboloides z = x2 + y2 e z = 8 - x2 - y2.
Resolução: 
Inicialmente, vamos calcular a interseção das superfícies:
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
8 2 8 4
8
z x y
x y x y x y x y
z x y
 = +
⇒ + = − − ⇒ + = ⇒ + =
= − −
Logo, a interseção dos paraboloides é a circunferência x2 + y2 = 4, situada no plano z = 4. 
Confira na figura a seguir:
Fonte: uff.br
Podemos, então, descrever o sólido W por:
( ) ( ){ }3 2 2 2 2, , : , 8xyW x y z x y D e x y z x y= ∈ ∈ + ≤ ≤ − −
Onde Dxy é o disco x2 + y2 < 4. E como V(W) = ∫∫∫W dV, temos que:
( ) ] ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
8
8 2 28 2
xy xy xy
x y
x y
x y
D D Dx y
V W dz dxdy z dxdy x y dxdy
− −
− −
+
+
     = = = − +       
∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫
Como podem ver, recaímos numa integral dupla. 
Agora, para calcular a integral dupla é conveniente passarmos para as coordenadas polares.
38
Unidade: Integrais múltiplas
Daí como x2 + y2 = r2 e para cobrir o disco temos 
0 2
0 2
r
θ p
≤ ≤
 ≤ ≤
 e portanto:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
0 0 0
8 2 8 2 2 8 2
xyD
V W r rdrd r rdr r rdr
p
θ p
 
 = − = − = −  
 
∫∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
22
3 2 4
00
12 8 2 2 4 2 16 8 16 . .
2
r r r r u vp p p p
 = − = − = − =   
∫
Analogamente ao que fizemos na integração dupla, restringimos a atenção a funções 
contínuas a certos tipos de região sólida, fechadas e limitadas, conforme estabelecemos os 
limites de integração das integrais iteradas. 
I) Região sólida simples E tipo I:
Fonte: Stewart (2012, p. 1018)
Nesse caso, ( ) ( ) ( ) ( ){ }3 1 2, , : , , , ,E x y z x y D u x y z u x y= ∈ ∈ ≤ ≤ , em que D é a projeção 
de E sobre o plano XY. Observe que o limite superior do sólido E é a superfície de equação 
z = u2(x,y) e o limite inferior de E é a superfície de equação z = u1(x,y). Nesse caso, temos:
( )
( )
( )
( )
2
1
,
,
, , , ,
u x y
E D u x y
f x y z dV f x y z dz dA
 
=  
  
∫∫∫ ∫∫ ∫
Em particular, se a região plana D é do tipo I (para integração dupla) temos: 
Fonte: Stewart (2012, p. 1019)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3 1 2 1 2, , : , , , ,E x y z a x b g x y g x u x y z u x y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
39
E a integral tripla fica:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
,
,
, , , ,
g x u x yb
E a g x u x y
f x y z dV f x y z dzdydx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Por outro lado, se a região plana D é do tipo II (para integração dupla) temos:
Fonte: Stewart (2012, p. 1019)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3 1 2 1 2, , : , , , ,E x y z c y d h y x h y u x y z u x y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
E a integral tripla fica:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
,
,
, , , ,
h y u x yd
E c h y u x y
f x y z dV f x y z dzdxdy=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
II) Região sólida simples E tipo II:
( ) ( ) ( ) ( ){ }3 1 2, , : , , , ,E x y z y z D u y z x u y z= ∈ ∈ ≤ ≤
 Fonte: Stewart (2012, p. 1020)
Nesse caso, a integração tripla fica sendo:
( )
( )
( )
( )
2
1
,
,
, , , ,
u y z
E D u y z
f x y z dV f x y z dx dA
 
=  
  
∫∫∫ ∫∫ ∫
Onde a região plana D é a projeção de E sobre o plano YZ. 
Também neste caso, D pode ser do tipo I ou II para a integração dupla. 
40
Unidade: Integrais múltiplas
III) Região sólida simples E tipo III:
( ) ( ) ( ) ( ){ }3 1 2, , : , , , ,E x y z x z D u x z x u x z= ∈ ∈ ≤ ≤
Onde a região plana D é a projeção de E sobre o plano XZ. 
Fonte: Stewart (2012, p. 1020) 
Nesse caso, a integração tripla fica sendo:
( )
( )
( )
( )
2
1
,
,
, , , ,
u x z
E D u x z
f x y z dV f x y z dy dA
 
=  
  
∫∫∫ ∫∫ ∫
Da mesma forma, a região D pode ser do tipo I ou II para a integração dupla.
Exemplo 15: 
Calcular a integral iterada de 2 2
E
x z dV+∫∫∫ , se E é o sólido limitado pelo paraboloide 
y = x2 + z2 e o plano y = 4.
Resolução: 
O sólido E pode ser visto na figura a seguir. Se considerarmos como uma região sólida 
do tipo I, então se necessita considerar sua projeção DI sobre o plano XY, que é a região 
parabólica indicada na figura. 
Fonte: Stewart (2012, p. 1020)
41
Observe que a interseção do paraboloide y = x2 +z2 e o plano z = 0 é a parábola y = x2
De y = x2 + z2 obtemos 2z y x= ± − de forma que a superfície limite inferior de E é 
2z y x== − − e a superfície superior é 2z y x== − . Assim, a descrição de E como uma 
região do tipo I é:
( ){ }3 2 2 2, , : 2 2, 4, E x y z x x y y x z y x= ∈ − ≤ ≤ ≤ ≤ − − ≤ ≤ −
E obtemos:
2
2 2
2 4
2 2 2 2
2
y x
E x y x
x z dV x z dzdydx
−
− − −
+ = +∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Ocorre que esta expressão, embora correta, é muito difícil de calcular. Assim, vamos 
considerar E como uma região sólida do tipo III, pois dessa forma a projeção D3 sobre o plano 
XZ é o disco x2 + z2 < 4, como indica a figura.
Fonte: Stewart (2012, p. 1021) 
Então, a fronteira esquerda de E é o paraboloide y = x2 + z2 e a fronteira à direita é o plano 
y = 4, tal que se tomamos u1(x,z) = x2 + z2 e u2(x,z) = 4 a equação da integral tripla fica sendo:
( )
2 2
3 3
4
2 2 2 2 2 2 2 24
E D Dx z
x z dV x x dy dA x z x z dA
+
 
+ = + = − − + 
  
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫
Mesmo que possamos escrever ( )
2
2
2 4
2 2 2 2
2 4
4
x
x
x z x z dzdx
−
− − −
− − +∫ ∫ , ainda assim é mais fácil 
agora trabalhar em coordenadas polares, como fizemos no exemplo 14.
( ) ( )
3
2 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0
4 4
E D
x z dV x z x z dA r r rdrd
p
θ + = − − + = − ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫
( )
22 2 3 5
2 4
0 0 0
4 1284 2
3 5 15
r rd r r dr
p pθ p
  
= − = − =  
   
∫ ∫
42
Unidade: Integrais múltiplas
 Atenção
O passo mais difícil para o cálculo de integrais triplas é estabelecer uma expressão 
para a região de integração. E vale lembrar que os limites de integração na 
integral interna contêm, no máximo, duas variáveis; os limites de integração na 
integral do meio contêm, no máximo, uma variável; os limites de integração da 
integral externa contêm só constantes. 
Exemplo 17
Expressar a integral iterada ( )
21
0 0 0
, ,
yx
f x y z dzdydx∫ ∫ ∫ como uma integral tripla, explicitando o 
sólido E e depois a reescreva como integral iterada, em outra ordem, integrando primeiro em 
relação a x, depois a z e, por fim, a y.
Resolução:
Podemos escrever ( ) ( )
21
0 0 0
, , , ,
yx
E
f x y z dzdydx f x y z dV=∫ ∫ ∫ ∫∫∫ , onde 
( ){ }2 2, , : 0 1,0 ,0E x y z x y x z y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Esta descrição de E nos possibilita descrever as projeções sobre os três planos coordenados, 
como segue:
Sobre o plano XY: ( ){ }21 , : 0 1, 0D x y x y x= ≤ ≤ ≤ ≤ ( ){ }, : 0 1, 1x y y y x= ≤ ≤ ≤ ≤
Sobre o plano YZ: ( ){ }2 , : 0 1, 0D x y y z y= ≤ ≤ ≤ ≤
Sobre o plano XZ: ( ){ }23 , : 0 1, 0D x y x z x= ≤ ≤ ≤ ≤
Assim, podemos representar as projeções de E nos planos coordenados, como indica a 
figura.
Fonte: Stewart (2012, p. 1021) 
Como resultado de esboçar as projeções, podemos esboçar o sólido E, na figura seguinte. 
Fonte: Stewart (2012, p. 1021) 
43
Daí, vemos queé um sólido limitado pelos planos z = 0, x= 1, y = z e o cilindro parabólico 
y = x2 , ou x = √y. 
Se integrarmos primeiro com respeito a x, depois a z e por fim a y, usamos a descrição 
alternativa do sólido x= ≤ ≤ .
Portanto: ( ) ( )
1 1
0 0
, , , ,
y
E y
f x y z dV f x y z dxdzdy=∫∫∫ ∫∫ ∫ .
Mudança de coordenadas
Seja W uma região do espaço e x,y e z as seguintes funções:
*, , :x y z W → 
Onde x = x(u,v,w), y = y(u,v,w) e z = z(y,v,w) são funções contínuas e com derivadas 
parciais contínuas num paralelepípedo aberto R tal que W ⊂ R. Essas três funções determinam 
uma transformação do espaço UVW no espaço XYZ. De fato, 
* 3:T W →  é tal que ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , ,T u v w x u v w y u v w z u v w=
A transformação T que é injetora, pode também ser representada, para todo ( ) *, ,u v w W∈ , 
por:
( )
( )
( )
, ,
, ,
, ,
x x u v w
y y u v w
z z u v w
=
 =
 =
O determinante Jacobiano de T é denotado e definido por:
( )
( )
, ,
, ,
x x x
u v w
x y z y y y
u v w u v w
z z z
u v w
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
Onde a derivadas parciais são calculadas no ponto (u,v,w) ∈ W *. 
44
Unidade: Integrais múltiplas
Teorema 3: Sejam W e W * regiões elementares no espaço, T uma transformação linear 
de classe C1 e injetora em W *. Suponha que T(W *) = W Então, para toda função integrável 
ƒ sobre W, temos:
( ) ( ) ( )( )*
, ,
, , , ,
, ,W W
x y z
f x y z dxdydw f u v w dudvdw
u v w
∂
=
∂∫∫∫ ∫∫∫
Onde ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , ,f u v w f x u v w y u v w z u v w= e ( )
( )
, ,
, ,
x y z
u v w
∂
∂
 é o valor absoluto do 
determinante Jacobiano. 
Coordenadas Cilíndricas
Se P = (x,y,z) é um ponto do espaço XYZ, suas coordenadas cilíndricas são (r, θ,z) onde 
(r, θ) são coordenada polares da projeção de P no plano XY e são definidas por:
x rcos
y rsen
z z
θ
θ
=
 =
 =
Ou, explicitamente, 2 2( ),r x y z z= + = e:
, , 0
, 0
2 , 0 0
yarctg se x y
x
yarctg se x
x
yarctg se x e y
x
θ p
p
   >   

= + <

  + > < 
 
Se x = 0, então 
2
pθ = quando y > 0 e 
3
2
pθ = quando y < 0. 
Se x = y = 0, θ não é definido. 
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.367)
45
Esta transformação é injetora no subconjunto:
{ } ( )0 0, , : 0, 2 , ,r z r zθ θ θ θ p> < < + ∈ −∞ ∞
E o jacobiano dessa transformação é: 
( )
( )
, ,
, ,
x y z
r
r zθ
∂
=
∂
Neste sistema de coordenadas, a região sólida mais simples é um bloco cilíndrico determinado 
por: r1 < r < r2, θ1 < θ < θ2, z1 < z < z2 como podemos ver na figura. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1038)
Para expressar uma integral tripla por meio das coordenadas cilíndricas, seja E a região 
sólida cuja projeção D sobre o plano XY pode ser escrita em coordenadas polares. Então:
( ) ( ) ( ) ( ){ }3 1 2, , : , , , ,E x y z x y R h x y z h x y= ∈ ∈ ≤ ≤
( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2, : , D r g r gθ θ θ θ θ θ= ≤ ≤ ≤ ≤
E a integral tripla, com uso do Jacobiano de mudança de variáveis, fica sendo:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 22
1 1 1
,
,
, , , ,
g h rcos rsen
E g h rcos rsen
f x y z dV f rcos rsen z rdzdrd
θ θ θθ
θ θ θ θ
θ θ θ=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Exemplo 18: 
Determinar o volume do sólido limitado por:
2 21z x y= − − e 2 21z x y+ = +
Resolução: 
Vemos que a região sólida W é dada por:
( ) ( ){ }3 2 2 2 2, , : , , 1 1W x y z x y D x y z x y= ∈ ∈ + − ≤ ≤ − +
46
Unidade: Integrais múltiplas
Onde D no plano XY é limitada por x2 + y2 = 1, como indica a figura. 
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.373)
Usando coordenadas cilíndricas, temos que o novo sólido é definido por:
( ){ }* 3 2, , : 0 1, 0 2 , 1 1W r z r r z rθ θ p= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ −
Logo, o volume é dado pela integral tripla que pode ser resolvida pelas integrais iteradas 
como segue:
( )
2
*
1 2 1
0 0 1
r
W rW
V W dxdydz rdrd dz rdz d dr
p
θ θ
−
−
  
  = = =
    
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
] ( )
2
1 2 1 2
1 2
1
0 0 0 0
1 1r
r
r z d dr r r r d dr
p p
θ θ−
−
      = = − − −          
∫ ∫ ∫ ∫
= − − −( )

 = − − −( )





∫ ∫ ∫2 1 1 2 1 1
0
1
2
0
1
2
0
1
π πr r r dr r r dr r dr
Mas ( )
11 2
0 0
11
2 2
rr dr r
 
− = − = − 
  
∫ e 
1
2
0
1r r dr−∫ podemos resolver usando a substituição 
2 11 2
2
s r ds rdr rdr ds= − ⇒ = − ⇒ = − .
01 0 3
2 2
0 1 1
1 1 2 1 2 11
2 2 3 2 3 3
r r dr sds s
    − = − = − = − − =  
   
∫ ∫
( ) 1 1 5 52 2 .
3 2 6 3
V W u vpp p    = − − = =        
47
Coordenadas esféricas
Seja P(x,y,z) um ponto no espaço XYZ. Suas coordenadas esférica são (ρ,θ, ϕ) onde ρ é a 
distância do ponto P à origem, θ é o ângulo formado pelo eixo positivo X e o segmento de 
reta que liga (0,0,0) a (x,y,0) e ϕ é o ângulo formado pelo eixo positivo Z e o segmento de reta 
que liga P à origem (lembre-se de que o sentido positivo de medida de ângulo é anti-horário). 
Então:
( ) ( )
( ) ( )
( ) 
x cos sen
y sen sen
z cos
ρ θ φ
ρ θ φ
ρ φ
=
 =
 =
Onde 
2 2 2 0, 0 2 0x y z eρ θ p φ p= + + > ≤ ≤ ≤ ≤ o que define uma região no espaço 
ρθϕ. Confira na figura a seguir.
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.375)
E o Jacobiano dessa transformação é:
( )
( ) ( )
2, ,
, ,
x y z
senρ φ
ρ θ φ
∂
= −
∂
Importante!
Verifique você mesmo este resultado, usando as 
derivadas parciais da transformação e o determinante 
Jacobiano.
48
Unidade: Integrais múltiplas
A representação da partição de Riemann pode ser visualizada na figura que segue:
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1041)
Neste sistema de coordenadas, a região mais simples é um bloco esférico determinado por: 
( ){ }1 1 1 2 1 2, , : , , ρ θ φ ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 
Onde 1 2 10, 2ρ θ θ p≥ − ≤ e 1 20 φ φ p≤ ≤ ≤ , como mostra a figura anterior. Daí:
( ) ( ) ( )( )*
, ,
, , , ,
, ,W W
x y z
f x y z dV f r d d dθ φ ρ θ φ
ρ θ φ
∂
=
∂∫∫∫ ∫∫∫
E a integral tripla, com uso do Jacobiano de mudança de variáveis, fica sendo:
( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2, , , , 
W
f x y z dV f sen cos sen sen cos sen d d d
θ φ ρ
θ φ ρ
ρ φ θ ρ φ θ ρ φ ρ φ ρ φ θ=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Essa fórmula pode modificar-se para empregar diferentes ordens de integração e generalizar-
se a regiões com limites e cotas variáveis. 
Como as integrais triplas em coordenadas cilíndricas, as integrais triplas em coordenadas 
esféricas são calculadas por meio de integrais iteradas. Da mesma forma, podemos visualizar 
uma ordem determinada de integração, contemplando a integral iterada em termos dos três 
movimentos de varredura, cada um dos quais agrega uma dimensão do sólido. Por exemplo:
2 34
2
0 0 0
sen d d d
p
p
ρ φ ρ φ θ∫ ∫∫
Que pode ser ilustrado nas figuras seguintes:
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1041)
49
Exemplo 19:
Encontre o volume do sólido limitado inferiormente pelo cone 2 2z x y= + e superiormente 
pela esfera x2 + y2 + z2 = z conforme a figura a seguir:
Fonte: Stewart (2012, p. 1036) 
Resolução:
Pelas informações das superfícies limitantes do sólido, vamos usar coordenadas esféricas. 
Para tal, temos que transformar as equações cartesianas em esféricas. Observe a esfera, ainda, 
em coordenadas cartesianas:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 1 10
2 4
x y z z x y z z x y z + + = ⇒ + + − = ⇒ + + − = 
 
Portanto, a esfera passa pela origem, tem centro 10,0
2
 
 
 
 e raio 1
2
. 
Mas a equação da esfera em coordenadas esféricas é:
2 cos cosρ ρ φ ρ φ= ⇒ =
A equação do cone pode ser escrita em coordenadas esféricas como:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2cos cos cos sen sen senρ φ ρ φ θ ρ φ θ ρ φ= + =
Logo, 
4
cos sen cos sen pρ φ ρ φ φ φ φ= ⇒ = ⇒ = . Portanto, a descrição do sólido é: 
( ), , : 0 2 , 0 , 0
4
W cospρ θ φ θ p φ ρ φ = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 
 
Então, o volume do sólido W é:
V W dV sen d d d sen
W
cos
( ) = = = 

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
0
2
0
4
0
2
0
2
0
4 3
03
π
π
φ π
π
ρ φ ρ φ θ φ
ρ
ccos
d d
d sen cos d sen cos
φ
π
π π
φ θ
θ φ φ φ
π
φ








= ( ) =∫ ∫ ∫
0
2
0
4
3
0
41
3
2
3
φφ φ( )3 d
Podemos usar a substituição u cos du sen dφ φ φ= ⇒ = − . Portanto:
( )
2 2
42 2
3
11
2 2 1 1 .
3 3 4 6 4 8
uV W u du u vp p p p
 
   = − = − = − − =       
∫
50
Unidade: Integrais múltiplas
Exemplo 20: 
As mudanças de variáveis podem ser de outra ordem, no sentido de encontrar uma 
substituição que facilite a integração e seja possível usar o Jacobiano da transformação. 
Vejamos este caso de integração dupla:
Calcule a integral 
( )( )x y x y
R
e dA+ −∫∫ em que a região R é a região trapezoidal com vértices 
(1,0), (2,0), (0,-2), (0,-1). 
Como não é fácil integrar a função ( )( )
x y x ye + − faremos uma mudança de variáveis sugerida 
pela forma da função. 
 u x y v x y= + = −
Estas equações definem uma transformação T-1 do plano XY no plano UV. A transformação 
(inversa) T do plano UV no plano XY é:
( ) ( )1 1 
2 2
x u v y u v= + = −
E o determinante Jacobiano fica sendo, então:
( )
( )
1 1
, 12 2
1 1, 2
2 2
x x
x y u v
y yu v
u v
∂ ∂
∂ ∂ ∂= = = −
∂ ∂∂
−
∂ ∂
Para encontrar a região S no plano UV correspondente à região R no plano XY, note-se 
que os lados de R estão sobre as retas: 
0, 2 0 1y x y x x y= − = = − =
Dessa forma, as equações das retas no plano UV são:
 2 1u v v u v v= = = − =
Assim, a região S é também trapezoidal com vértices (1,1), (2,2), (-2,2), (-1,1) e pode ser 
descrita por: ( ){ }, :1 2, S u v v v u v= ≤ ≤ − ≤ ≤
Fonte: Stewart (2012, p. 1046)
51
E a integral fica sendo:
e d eA
x y
u v
dudv
e
x y x y
R
u v
S
v
v
u v
+( ) −( )
−
∫∫ ∫∫
∫ ∫
∂ ( )
∂ ( )
= 



/ /
/
,
,
1
2 1
2 
=
=





= −( )
= −
∫ ∫=−
= −dudv ve dv e e vdv
e e
u v
u v
u v1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1/
−− − −( ) 










= −( )




 = −( )1
2
1
2
1 1
2
1
2
3
2
3
4
v e e e e
52
Unidade: Integrais múltiplas
Concluindo
Vimos, nesta unidade, como tratar das integrações múltiplas. Como extensão do estudo 
de integrais de uma variável, mantém-se a noção de partição da Integral de Riemann como 
definição, mas para o cálculo usamos integrais iteradas, o que reforça a necessidade de domínio 
de métodos de integração de uma variável. Entretanto, o maior desafio é a descrição da região 
de integração. Portanto, bastante atenção nesse quesito e no cuidado na definição dos limites 
e na ordem de integração, bem como nos procedimentos de resolução para não esquecer 
algum termo perdido no processo. Assim, chegamos ao fim desta unidade. Por isso, espero 
que tenha tido um bom aproveitamento!
53
Material Complementar
I) Procedimento para encontrar limites de integração.
Achei interessante passar para vocês o procedimento passo a passo para encontrar limites 
de integração de integrais duplas e triplas em coordenadas cartesianas e com mudanças de 
variáveis, retiradas do livro de Cálculo, v2, de George Thomas. Segue abaixo:
Procedimento para encontrar os limites de integração de integrais duplas
Fonte: Thomas (2004, p. 263)
54
Unidade: Integrais múltiplas
Procedimento para encontrar os limites de integração de integrais triplas.
Fonte: Thomas (2004, p. 288)
55
Como integrar em coordenadas polares
Fonte: Thomas (2004, p. 381)
56
Unidade: Integrais múltiplas
Como integrar em coordenadas cilíndricas
Fonte: Thomas (2004, p. 404)
57
Como integrar em coordenadas esféricas
Fonte: Thomas (2004, p. 408)
58
Unidade: Integrais múltiplas
II) Gráfico em coordenadas polares
Não sei se você já trabalhou com gráficos em coordenadas polares! Dessa forma, apresento 
aqui algumas noções e exemplos, para auxiliar quem nunca viu ou relembrar aqueles que já 
estudaram esse tema anteriormente. Baseei-me no livro de Cálculo, v2, de Howard Anton. 
Vamos considerar o problema de traçar o gráfico de equações em r e θ, nas quais tomamos 
medido em radianos. 
Em um sistema de coordenadas cartesianas (retangulares), o gráfico de uma equação em x e 
y consiste de todos os pontos do plano cujas coordenadas (x,y) satisfazem a equação. Porém, 
em coordenadas polares, os pontos têm um número infinito de coordenadas, de modo que um 
dado ponto do plano pode ter algumas coordenadas polares que satisfazem a equação polar, 
enquanto que outras que não satisfazem. Portanto, dada uma equação em r e θ, definimos 
o gráfico em coordenadas polares dessa equação como todos os pontos nos quais pelo 
menos um par de coordenadas (r,θ) satisfaz a equação. 
Antes, vejamos como é um sistema de coordenadas polares:
Pontos no sistema de coordenadas polar.
O polo é indicado pela letra O e o eixo polar pela letra L. Na ponta do segmento verde, 
um ponto com coordenada radial 3 e coordenada angular de 60 graus (
6
rdp ). Na ponta do 
segmento azul, o ponto de coordenadas (4,210º).
Exemplo 1: 
Esboçar o gráfico das equações: (a) r = 1 (b) 
4
pθ =
No caso (a) temos uma equação em que r é constante (=1), mas θ é qualquer. Pense qual 
seria o gráfico que mantém o raio constante e o ângulo dá todas as voltas. Já no caso (b) 
ocorre o oposto, o ângulo θ que é constante (
4
p
= ) e o raio é que pode variar de −∞ a ∞. 
59
Veja os gráficos a seguir:
Fonte: Anton (2007, p. 720)
Em (a), para todos os valores de θ, o ponto (1, θ) está a uma unidade do centro da figura e, 
como θ é arbitrário, o gráfico é uma circunferência de raio 1 e centro (0,0). 
Em (b), para todos os valores de r o ponto , 4
r p  
 
 está sobre uma reta que faz ângulo de 
4
p
 com o eixo positivo do X. Já para r > 0 o ponto está sobre a reta no primeiro quadrante e 
para r < 0, sobre a reta no terceiro quadrante.
Especialmente importantes são as equações r = ƒ(θ) que expressam r como função de θ. Para 
fazer o gráfico de uma função desse tipo, escolhemos alguns valores típicos de θ, calculamos o 
seu correspondebte valor de r e plotamos os pares (r,θ) num sistema de coordenadas polares. 
Os exemplos seguintes ilustram este processo. 
Exemplo 2: 
Esboçar o gráfico de r = θ, θ > 0 em coordenadas polares, esboçando pontos escolhidos.
Observe que r cresce à medida que θ cresce. Assim, o gráfico é uma curva que se afasta 
em espiral do polo (centro do sistema polar). Plotando alguns pontos que correspondam a 
valores de θ que sejam múltiplos de 
2
p
 é possível chegar ao esboço do gráfico (lembrar que r 
tem mesmo valores de θ, mas como ângulo θ é medido em radianos e r como número real). 
Segue o gráfico:
Fonte: Anton (2007, p. 720)
60
Unidade: Integrais múltiplas
Exemplo 3: 
Esboce o gráfico de ( )r sen θ= em coordenadas polares. Para tal, vamos plotar alguns 
pontos, que seguem na tabela. Em seguida, temos o esboço do gráfico, com alguns dos pontos 
da tabela, pois outros pares recaem sobre o mesmo ponto, como, 1 7, 
2 6
p − 
 
 que coincide com 
1 ,
2 6
p 
 
 
. 
Fonte: Anton (2007, p. 721)
Vejamos como podemos encontrar a equação cartesiana dessa equação polar: multiplicando 
a equação polar por r e obtemos: ( )2r rsen θ= que usando a parametrização (ou mudança de 
variável) ( )x rcos θ= e ( )y rsen θ= , vemos que:
2
2 2 2 1 1
2 4
x y y x y + = ⇔ + − = 
 
Que é uma circunferência no plano cartesiano de centro 
10, 
2
 
 
 
 e raio 1
2
. 
Agora, você já pode imaginar o gráfico da equação ( )r cos θ= , não?
61
Exemplo 4:
Veja o esboço do gráfico de ( )2r cos θ= em coordenadas polares, cuja curva gerada é 
conhecida como rosácea de quatro pétalas. 
Fonte: Anton (2007, p. 721)
Atenção: 
Por vezes, é importante fazer o gráfico da função trigonométrica em coordenadas cartesianas 
para estudar a variação de r relativamente a θ. Outra coisa muito importante, no esboço de 
curvas em coordenadas polares, é testar a simetria da curva, que pode ser em relação a algum 
eixo coordenado, ou aos dois, ou ainda em relação a alguma outra reta. Lembrar, por exemplo, 
que, em coordenadas cartesianas, o cosseno é uma função par, isto é, ( ) ( )cos cosθ θ− = e o 
seno é uma função ímpar, isto é, ( ) ( )sen senθ θ− = − .
Exemplo 5: 
Esboçar o gráfico de ( )( )1r a cos θ= − em coordenadas polares, supondo uma constantepositiva.
Observe que, nesse caso, trocar θ por -θ não altera a equação. Então, o gráfico é simétrico 
em relação ao eixo polar, portanto, basta fazer o gráfico na parte superior e depois refleti-lo 
em relação ao eixo polar para obter a parte inferior. 
Fazendo o gráfico em cartesianas ( ) r acos θ= e depois refletindo em relação 
ao eixo X para obter ( )r acos θ= − e ainda transladando de a unidades para obter 
( ) ( )( )1r a acos a acosθ θ= − = − , podemos analisar as variações, como as que seguem:
• Quando θ varia de 0 a 3
p
, r cresce de 0 até 
2
a
 
• Quando θ varia de 
3
p
 a 
2
p
 , r cresce de 2
a
 até a
• Quando θ varia de 
2
p a 2
3
p , r cresce de a até 3
2
a
• Quando θ varia de 2
3
p a p, r cresce de 3
2
a até 2a
62
Unidade: Integrais múltiplas
Isso produz no sistema polar a curva polar mostrada na figura a seguir. O restante da curva 
é obtido continuando este tipo de análise de p até 2p, quando, nesse caso, completa a volta 
toda. A curva obtida, em forma de coração, é denominada cardioide.
Fonte: Anton (2007, p. 723)
Exemplo 6: 
Esboço do gráfico de ( )2 4 2r cos θ= em coordenadas polares.
Para fazer o mesmo procedimento anterior, em coordenadas cartesianas, precisamos tomar 
as curvas ( )2 2r cos θ= ± e fazer separadamente o gráfico de cada uma e depois combiná-los.
O gráfico resultante, em coordenadas polares, é denominado lemniscata (que em grego 
significa laço)
Fonte: Anton (2007, p. 724)
A equação ( )2 2r cos θ= tem o mesmo gráfico que ( )2 2r cos θ= − , porém de forma 
diagonalmente oposta. Assim, o gráfico da equação ( )2 4 2r cos θ= consiste de duas lemniscatas 
idênticas sobrepostas.
63
Veja outros gráficos em polares
Família de círculos
Fonte: Anton (2007, p. 724)
Família de rosáceas
Fonte: Anton (2007, p. 725)
Família de cardioides e limaçons
Fonte: Anton (2007, p. 725)
64
Unidade: Integrais múltiplas
Família de espirais
Fonte: Anton (2007, p. 72)
Espero que tenham sido úteis essas informações complementares, as quais podem ajudar 
a compreender e elucidar resoluções do conteúdo teórico e preparar para resolução das 
atividades da unidade.
65
Referências
BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de matemática: cálculo e análise: cálculo 
diferencial e integral. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
FLEMMING, D. M.; GONCALVES, M. B. Cálculo: funções, Limite, derivação, integração. 6. 
ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2007.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3.ed. São Paulo: Harbra, 1994.
Referências Complementares 1
BOULOS, P.; ABUD, Z. I. Cálculo diferencial e integral. 2. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2002.
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Sao Paulo: Pearson Makron Books, 
2010. v.1
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books 
do Brasil, 1995.
THOMAS JUNIOR, G. B. Cálculo. v.2, 10. ed. Sao Paulo: Addison-Wesley, 2004. 
ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, v.2. 
Referências Complementares 2 
LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Cálculo 2 de varias variables. 9 ed. Santa Fé-México: 
McGraw-Hill/Interamericana, 2010.
STEWART, J. Cálculo de varias variables. Transcendentes tempranas. 7 ed. Santa 
Fé, México: Cengage Learning Editores, 2012. 
VILCHES, M. A.; CORRÊA, M. L. Cálculo: Volume III. Departamento de Análise. Universidade 
Estadual do Rio de Janeiro, 2005.
Material Complementar
THOMAS JUNIOR, G. B. Cálculo. v.2, 10. ed. Sao Paulo: Addison-Wesley, 2004. 
ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, v.2. 
66
Unidade: Integrais múltiplas
Anotações