Apostila Calculo1 com Exercicios_pag123

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<p>119</p><p>função varia de 1 a -1 e depois retorna a 1.</p><p>Portanto, a primeira função está sempre acima da segunda.</p><p>Logo, a integral que nos fornece a área será dada por:</p><p>Área =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>(1 + sen(x))− (cos(2x)) dx = (x− cos(x)− sen(2x)/2)</p><p>∣∣∣π</p><p>0</p><p>Área = (π − cos(π)− sen(2π)/2)− (0− cos(0)− sen(0)/2) = π + 2</p><p>2. Primeiro, esboce o grá�co:</p><p>−4 −3 −2 −1 1 2 3 4</p><p>−2</p><p>−1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>Ao rotacionar a área em torno do eixo y, teremos que o volume do sólido será dado</p><p>por V tal que:</p><p>V = π · 12 +</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>π(12 − ln2(y)) dy = 2π − π</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>ln2(y) dy.</p><p>Vamos calcular essa integral por partes:∫</p><p>ln2(y) dy · 1 = y ln2(y)−</p><p>∫</p><p>2 ln(y) = y ln2(y)− 2(y ln(y)− y)</p><p>Assim, temos:</p><p>V = 2π − π(y ln2(y)− 2(y ln(y)− y))</p><p>∣∣∣2</p><p>1</p><p>V = π(2− ((2 ln2(2)− 2(2 ln(y)− 2))− (ln2(1)− 2(y ln(1)− 1))))</p><p>V = π(4 ln(2)− ln2(2) + 2)</p><p>.</p><p>3. Primeiro, vamos esboçar o gtrá�co:</p>