Hipersonica-e-matemtica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CONCURSO PÚBLICO DE PROVAS E TÍTULOS PARA O PROVIMENTO DE CARGO DE PROFESSOR DO MAGISTÉRIO 
SUPERIOR NAS CLASSES ADJUNTO-A, ASSISTENTE-A E AUXILIAR 
EDITAL Nº 101/2021-PROGESP 
 
 
 
Leia estas instruções: 
 
1 
Informe seu nome nos dois espaços indicados na parte inferior desta capa. Ao finalizar sua prova, 
as duas partes onde constam seu nome e o código numérico serão destacadas pelo fiscal. Uma 
parte será entregue a você e a outra será guardada em um envelope que será lacrado no fim da 
aplicação. 
2 
Em atendimento ao Art. 18 da Resolução nº 150/2019-CONSEPE, sua prova será identificada 
unicamente por esse código numérico, gerado por sorteio na ocasião da impressão da prova. 
3 
Quando o Fiscal autorizar, verifique se o Caderno está completo e sem imperfeições gráficas 
que impeçam a leitura. Detectado algum problema, comunique-o, imediatamente, ao Fiscal. 
4 
Este caderno contém dez questões discursivas, cujas respostas serão avaliadas considerando-
se apenas o que estiver escrito no espaço reservado para o texto definitivo. Para rascunho, 
utilize as folhas fornecidas pelo fiscal destinadas a esse fim. 
5 Escreva de modo legível, pois dúvida gerada por grafia ou rasura implicará redução de pontos. 
6 Interpretar as questões faz parte da avaliação, portanto não peça esclarecimentos aos fiscais. 
7 
A prova escrita deverá ser respondida com caneta esferográfica de tinta preta, sob pena de 
eliminação no concurso. 
8 
Os rascunhos e as marcações que você fizer neste Caderno não serão considerados para efeito 
de avaliação. 
9 
Você dispõe de, no máximo, quatro horas para redigir as respostas das questões discursivas 
no espaço definitivo deste caderno. 
10 Antes de se retirar definitivamente da sala, devolva ao Fiscal este Caderno. 
 
 
 
 
 
VIA DO ENVELOPE DE SEGURANÇA 
 
 
 
Informe seu nome completo: _______________________________________________________ 
 
_______________________________________________________________________________ 
 
 
VIA DO CANDIDATO 
 
 
 
Informe seu nome completo: _______________________________________________________ 
 
_______________________________________________________________________________ 
 
 
 
HIPERSÔNICA E MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPROVANTE DO TEMA SORTEADO PARA A PROVA DIDÁTICA 
Concurso Público para Professor do Magistério Superior – Edital nº 101/2021-PROGESP 
ÁREA: HIPERSÔNICA E MATEMÁTICA 
NOME DO CANDIDATO: _____________________________________________________ 
TEMA SORTEADO: ____ (________________________) - Preenchido pelo chefe de sala 
CHEFE DE SALA: ___________________________________________________________ 
FISCAL: ___________________________________________________________________
1 
Questão 1 (1,0 Ponto) 
Parametrize, no sentido horário, a curva do plano 𝑥𝑦 dada pela equação 𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑦2 = 0. Em 
seguida, determine o vetor unitário tangente à curva no ponto de coordenadas (2, √2). 
 
Espaço destinado à Resposta da Questão 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 1 
2 
Questão 2 (1,0 Ponto) 
Considere a função 𝑓(𝑥) dada por: 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥)⋅𝑣(𝑥)
[𝑟(𝑥)]1/2[𝑠(𝑥)]5/3
. 
Determine a expressão para a função 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
. 
Espaço destinado à Resposta da Questão 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 2 
3 
Questão 3 (1,0 Ponto) 
Considere a função real 𝑦 = 𝑓(𝑥) definida no intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏]. Explique, com palavras e equações, 
como podemos calcular: 
A) O comprimento da curva no intervalo I; 
B) O volume do sólido de revolução obtido girando-se a curva em torno do eixo 𝑥 . 
Espaço destinado à Resposta da Questão 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 3 
4 
Questão 4 (1,0 Ponto) 
Considere que, sob condições especificadas com 𝑛 observações, o consumo de combustível de 
uma aeronave possui distribuição normal com valor médio e desvio padrão conhecidos. Explique 
(com suas palavras, gráficos ou equações) o que é e como pode ser calcul ado o intervalo de 
confiança de 90% desta pesquisa. 
 
Espaço destinado à Resposta da Questão 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 4 
5 
Questão 5 (1,0 Ponto) 
Considere a matriz 
 
 
A) Determine os autovalores e autovetores associados à matriz 𝐴; 
B) Diga, justificando, se a matriz 𝐴 é diagonalizável; 
C) Diga qual o autoespaço associado ao menor autovalor. 
 
Espaço destinado à Resposta da Questão 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 
Continuação do espaço destinado à Resposta da Questão 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 5 
7 
Questão 6 (1,0 Ponto) 
Sabendo que é um campo vetorial de classe 𝐶1, que as curvas 𝛾1 e 𝛾2 (da Figura 1) são curvas 
de classe 𝐶1 
 
 
 
Figura 1: 
 
 
Sabendo ainda que: 
 
 
 
 
 
 
Determine o valor de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ESPAÇO DESTINADO À RESPOSTA ESTÁ NA PRÓXIMA PÁGINA. 
8 
Espaço destinado à Resposta da Questão 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 6 
9 
Questão 7 (1,0 Ponto) 
Os fenômenos que regem o voo hipersônico podem ser descritos por meio das leis conservativas 
da Física: Conservação da Massa, Conservação da Quantidade de Movimento Linear e 
Conservação da Energia. Essas leis são expressas matematicamente pelas Equações da 
Continuidade, de Navier-Stokes e da Energia (1ª Lei da Termodinâmica), que são válidas para: 
meio contínuo, escoamento em regime permanente e transiente, fluido incompressível (velocidades 
subsônicas, número de Mach ≤ 0,3), ou compressível (velocidades en tre subsônica, número de 
Mach > 0,3, e hipersônica, número de Mach > 5), escoamento laminar ou turbulento, onde, em 
geral, a forças de campo, aquecimento volumétrico e difusão de massa são desprezíveis; portanto, 
não consideradas. 
Considerando-se um elemento fluido infinitesimal, se movendo em um fluido, em 
coordenadas cartesianas (x, y, z) (Fig. 2), têm-se as Equações Diferenciais Parciais (EDPs) não 
lineares, na forma conservativa. As equações da Continuidade, da Quantidade de Movimento 
(Equações de Navier-Stokes) e da Energia são dadas por 
 
( ) ( ) ( ) 0 w 
z
v
y
u
xt
=








+


+


+


 
 (1) 
( ) ( ) ( ) ( ) 0w u 
z
vu
y
pu
x
u
t
zxyxxx
2 =−


+−


+−+


+


 
 (2) 
( ) ( ) ( ) ( ) 0w v
z
pv
y
u v 
x
v
t
zyyy
2
xy =−


+−+


+−


+


 
 (3) 
( ) ( ) ( ) ( ) 0pw
z
 v w 
y
u w
x
w
t
zz
2
yzxz =−+


+−


+−


+


 
 (4) 
( ) ( ) +−−−−+


+


xzxyxxxtt wvuqupE
x
E
t 
( )  ( )  0wvuqwpE
z
wvuqvpE
y
zzzyzxztyzyyyxyt =−−−−+


++−−−−+


 
 
(5) 
 
Sendo: 𝜌 a massa específica do fluido; u, v, w as componentes da velocidade do escoamento; p a 
pressão; τ a tensão (normal e de cisalhamento) devido aos efeitos viscosos do fluido; E t a energia 
total; q o fluxo de calor. 
onde: 
 
(6) 
Para fluido Newtoniano 
−=
3
2
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Elemento de fluido infinitesimal, se movendo no escoamento. 
A) Quais as hipóteses a serem aplicadas às EDPs para obter as relações de uma onda de choque 
normal, queresulta em um sistema de 3 equações e 4 incógnitas dada por: 
2211 uu  = 
 
2
222
2
111 upup  +=+ 
 (7) 
 
2
 
2
 
2
2
2
2
1
1
u
h
u
h +=+
 
 
11 
B) Que consideração deve ser aplicada, ao conjunto das 3 equações e 4 incógnitas (Eq. 7), para 
obter as equações fechadas aplicáveis a escoamento que experimenta a existência de uma 
onda de choque normal, dadas por: 
2
1
 
2
1
1
2
1
2
1
2
2 −
−
−
+
=



M
M
M
 
 
( )
( )1
1
2
1 21
1
2 −
+
+= M
p
p


 
 (8) 
( )
( ) 21
2
1
2
1
1
2
12
1
M
M
u
u
−+
+
==




 
 
( )
( ) ( )
( ) 




+
−+






−
+
+===
1
12
1
1
2
1 
2
1
2
12
1
1
2
1
2
1
2
1
2





 M
M
M
p
p
h
h
T
T
 
 
Onde os índices 1 e 2 significam, respectivamente, escoamento antes e após o estabelecimento 
da onda de choque normal. 
 
Espaço destinado à Resposta da Questão 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Continuação do espaço destinado à Resposta da Questão 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 7 
13 
Questão 8 (1,0 Ponto) 
A combustão de um combustível com ar atmosférico pode ser analiticamente estimada utilizando 
a teoria de Rayleigh de escoamento unidimensional com adição de calor, porém sem adição de 
massa e considerando que a área transversal da câmara de combustão é con stante. 
Em um veículo aeroespacial integrado a sistema de propulsão hipersônica aspirada baseada em 
combustão supersônica (tecnologia scramjet), o ar atmosférico entra na câmara de combustão em 
velocidade supersônica com temperatura superior à temperatura de ignição do combustível. O 
combustível em velocidade sônica é injetado e misturado na corrente de ar atmosférico. Ambos, o 
combustível e o ar atmosférico, entram em combustão e os produtos da combustão atingem 
velocidade supersônica, próxima à velocidade sônica, na saída da câmara de combustão. 
Nestas condições, 
 
A) O que limita a quantidade de calor adicionado na câmara de combustão de um scramjet? 
 
B) O que ocorre com a temperatura total e a pressão total, ao longo da câmara de combustão de 
um veículo scramjet, onde a temperatura total é dada pela equação abaixo? 
 
TM
2
1
1T 2
total 




 −
+=
 
 (9) 
 
Espaço destinado à Resposta da Questão 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Continuação do espaço destinado à Resposta da Questão 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 8 
15 
Questão 9 (1,0 Ponto) 
Explique, a partir da Figura 3, a curva de θ-β-Mach 
( ) 







++
−
=
22cos
1
 cotg2
2
1
22
1



M
senM
tg
 
em relação ao posicionamento da onda de choque e das propriedades termodinâmicas, nas 
seguintes condições: 
 
A) θ menor que θmax, porém para choque fraco (weak shock), considerando M 2>1 (linha inferior 
tracejada); 
 
B) θ menor que θmax , porém para choque forte (strong shock), linha superior tracejada; 
 
C) θ maior que θmax . 
 
 
Figura 3 
 
 
Espaço destinado à Resposta da Questão 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Continuação do espaço destinado à Resposta da Questão 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 9 
17 
Questão 10 (1,0 ponto) 
Comente a relação de área-velocidade 
( )
u
du
 1M
A
dA 2 −=
, considerando: 
 
A. 𝑀 → 0 
B. 0 ≤ 𝑀 < 1 
C. 𝑀 = 1 
D. 𝑀 > 1 
 
 
 
Espaço destinado à Resposta da Questão 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Continuação do espaço destinado à Resposta da Questão 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim do Espaço destinado à Resposta da Questão 10 
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