Ellem Almeida Alves - Lista de Exercícios 1 - Geometria Analítica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
Geometria Anaĺıtica - Lista de Exerćıcios 1
1. Calcule o módulo de ~v e o módulo de ~u− ~v , sabendo que | ~u |= 3, | ~u+ ~v |= 7 e o ângulo
entre ~u e ~v é
π
3
radianos.
2. Calcule o ângulo entre os vetores ~v1 = (x
2 + 2x,−x− 1,−1) e ~v2 = (x, x2 + x− 2, x+ 2).
3. Ache a projeção do vetor ~w = (−1, 1, 1) na direção do ~v = (−2, 1, 2).
4. Dados os vetores ~u = (4, x, 0), ~v = (3,−2, 1) e ~w = (1, 1,−1), calcular o valor de x para
que o volume do paraleleṕıpedo determinado por ~u, ~v e ~w seja 24 unidades de volume.
5. Calcule a área do triângulo de vértices A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3,−2, 1) utilizando pro-
duto vetorial.
6. Demonstre que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.
7. Sendo ~u 6= ~0 e ~v 6= ~0, ~w = | v |
| u | + | v |
~u +
| u |
| u | + | v |
~v, prove que ~w forma ângulos
congruentes com ~u e com ~v.
8. Sejam ~u, ~v e ~w vetores arbitrários de R3 tal que ~u e ~v são não nulos e colineares. Então
(~u,~v, ~w) = 0. Mostre isso.
9. Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 30°, 45° e 60°? Justifique sua resposta.
10. Dados os ~u = (6,−9,−13), ~v = (−2, 2, 3), ~w = (1,−2,−3) e ~x = (13,−25,−35), determi-
nar α, β e γ tal que ~x = α~u+ β~v + γ ~w.