VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA - UNIDADE 3

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EA
D
Vetores
3
1. ObjetivOs
•	 Conceituar	vetor	em	 2R 	e	 3R .
•	 Definir	módulo	e	as	operações	de	adição	e	subtração	de	
um	vetor.
•	 Definir	a	multiplicação	de	número	real	por	vetor.
•	 Representar	vetores	no	sistema	de	eixos	ortogonais.
•	 Definir	produto	escalar	e	interpretá-lo	geometricamente.
•	 Definir	produto	vetorial	e	interpretá-lo	geometricamente.
•	 Definir	produto	misto	e	interpretá-lo	geometricamente.
2. COnteúdOs
•	 Vetores	e	operações	com	vetores.
•	 Produto	escalar.
•	 Produto	vetorial.
•	 Produto	misto.
© Vetores e Geometria Analítica76
3. Orientações para O estudO da unidade
Antes	de	 iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	que	
você	leia	as	orientações	a	seguir:
1)	 Para	aprofundar	seus	conhecimentos	acerca	de	vetores	
e	seus	módulos,	assista	ao	vídeo	disponível	em:	<http://
www.youtube.com/watch?v=YPbw3mUUSqg>.	 Acesso	
em:	3	abr.	2013.
2)	 Verifique	o	esquema	de	Conceitos-chave	para	o	estudo	
de	todas	as	unidades	deste	CRC.	Isso	poderá	facilitar	sua	
aprendizagem	e	seu	desempenho.
3)	 Pesquise	em	livros	ou	na	internet	as	aplicações	do	con-
ceito	de	vetores	em	diversas	áreas	do	conhecimento	e	
nas	inúmeras	situações	práticas	e,	se	encontrar	algo	in-
teressante,	disponibilize	tal	 informação	para	seus	cole-
gas	na	Lista.	Lembre-se	de	que	você	é	protagonista	do	
processo	educativo.
4)	 Leia	os	livros	da	bibliografia	indicada	para	que	você	am-
plie	seus	horizontes	teóricos.
4. intrOduçÃO À unidade
A	ideia	de	vetor	é	bastante	intuitiva,	por	isso	é	preciso	com-
preender	e	 recordar	o	 significado	de	grandeza.	Grandeza	é	uma	
medida	para	um	objeto,	ou	seja,	é	tudo	o	que	se	pode	contar,	me-
dir	e	pesar.	A	massa	de	um	objeto,	o	comprimento	de	um	edifício,	
o	volume	de	um	tanque,	a	área	de	uma	sala	são	exemplos	de	gran-
dezas.	Existem	dois	tipos	de	grandezas:
•	 Escalares.
•	 Vetoriais.
As	grandezas	escalares	são	definidas	por	um	único	número	
real,	como,	por	exemplo,	o	peso,	a	área,	o	volume,	a	temperatura	
e	a	densidade.	As	grandezas	vetoriais	necessitam	de	mais	valores	
para	serem	completamente	caracterizadas	e	é	preciso	conhecer,	
além	de	seu	módulo	ou	comprimento,	a	sua	direção	e	seu	sentido.	
Vamos	esclarecer	o	que	significam	direção	e	sentido.
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77© U3 – Vetores
As	 retas	 r	 e	 s	 (Figura	 1)	 indicam	 direções	 diferentes:	 uma	
horizontal	e	outra	inclinada.
Figura	1	Reta r horizontal e reta s inclinada.
Para	entendermos	melhor,	tomemos	como	exemplo	um	ob-
jeto	que	se	desloca	sobre	a	reta	horizontal	r,	o	qual	pode	tomar	
dois	sentidos	diferentes:	para	a	direita	ou	para	a	esquerda	(Figura	
2).
Figura	2	Sentidos de deslocamento sobre a reta r.
A	representação	algébrica	e	geométrica	desses	conceitos	só	
é	possível	graças	à	ideia	de	sistema	de	eixos	cartesianos	imaginada	
por	 Fermat	 e	 Descartes	 que	 foi	 abordada	 na	 Unidade	 1.	 Nesta	
unidade,	utilizaremos	as	noções	de	pontos	no	plano	e	no	espaço	
para	estudar	os	vetores.
5. COnCeitO de vetOr
O	conceito	de	vetor	torna-se	mais	claro	quando	o	visualiza-
mos	em	um	exemplo	prático.	Considere,	então,	o	exemplo	de	Win-
terle	(2000,	p.	2):	um	avião	voa	com	uma	velocidade	constante	de	
400	km/h,	deslocando-se	para	o	nordeste	a	um	ângulo	de	40°	em	
relação	ao	norte.	A	velocidade	pode	ser	representada	por	um	seg-
mento	de	módulo	(comprimento)	4	cm,	em	que	cada	centímetro	
corresponde	a	100	km/h.	A	direção	é	indicada	pela	posição	inclina-
da	do	segmento	e	o	sentido	é	representado	pela	seta	na	extremi-
dade	do	segmento	(Figura	3).
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Figura	3	Representação do módulo, direção e sentido do avião.
Note	que	o	módulo	do	vetor	 indica	a	medida	da	grandeza	
que	queremos	descrever,	neste	caso,	a	velocidade.
Podemos	dizer	que	vetores	são,	portanto,	grandezas	repre-
sentadas	por	um	segmento	orientado.	 Segmentos	que	possuem	
mesmo	comprimento,	mesma	direção	e	mesmo	sentido	são	repre-
sentantes	de	um	mesmo	vetor	(Figura	4).
Figura	4	Representantes de um mesmo vetor.
Indicamos	 um	 vetor	 por	 =
 
v AB 	 (Figura	 5),	 em	que	A	 é	 a	
origem	do	segmento	orientado	e	B,	a	sua	extremidade.
Figura	5	Vetor =
 
v AB .
Os	vetores	possuem	algumas	características	que	devem	ser	
compreendidas	para	que	sejam	utilizados	de	forma	apropriada	nas	
situações	práticas.	Acompanhe:
1)	 O	módulo	 ou	 comprimento	de	um	vetor	

v 	 é	 indicado	
por	

v .
2)	 O	vetor	de	módulo	1	( 1v =

)	é	chamado	vetor	unitário.
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3)	 O	vetor	de	módulo	zero	(0)	é	chamado	vetor	nulo	e	in-
dicado	por	 0

	ou	 AA

.	Ele	tem	origem	e	extremidade	no	
mesmo	ponto,	isto	é,	qualquer	ponto	do	espaço	é	repre-
sentante	do	vetor	nulo.
4)	 Dois	vetores	u

	e	v

	são	iguais	(u v=
 
)	se	tiverem	módulo,	
direção	e	sentido	iguais.
5)	 Todo	vetor	não	nulo	 v

	tem	um	vetor	oposto	 v−

	(Figura	
6),	de	mesmo	módulo	e	direção,	mas	com	sentido	con-
trário.
Figura	6	Vetor v

 e seu oposto v−

.
6)	 Dois	vetores	u

	e	 v

	são	paralelos	( / /u v
 
)	se	seus	repre-
sentantes	tiverem	a	mesma	direção.	Os	vetores	 u

,	 v

	e	
w

	da	Figura	7	são	paralelos.
Figura	7	Vetores u

, v

 e w

 paralelos.
7)	 Dois	vetores	u

	e	 v

	são	ortogonais	( ⊥
 
u v )	(Figura	8)	se	
algum	representante	de	 u

	 formar	ângulo	reto	com	al-
gum	representante	de	 v

.
Figura	8	Vetores u

 e v

 ortogonais.
© Vetores e Geometria Analítica80
Definimos	até	aqui	o	conceito	 intuitivo	de	vetor,	e	 identifi-
camos	suas	principais	características.	Vamos	agora	realizar	opera-
ções	com	vetores,	começando	pela	adição.
6. Operações COM vetOres
Vimos	que	os	vetores	são	utilizados	para	representar	objetos	
que	necessitam	de	mais	de	uma	grandeza	para	serem	caracteriza-
dos.	Assim	como	as	medidas	das	grandezas	podem	ser	somadas	
ou	subtraídas,	também	podemos	somar	e	subtrair	vetores.	Vamos	
iniciar	pela	adição.
adição de vetores
Para	definirmos	a	adição	de	dois	vetores,	considere	o	vetor	
u ,	cujo	representante	é	

AB ,	e	o	vetor	
v ,	cujo	representante	é	

BC .	A	soma	 +
 u v 	é,	por	definição,	o	vetor	

AC ,	com	origem	em	
A	e	extremidade	em	C	(Figura	9).
Figura	9	Soma dos vetores 
u e 
v .
Se	os	vetores	são	paralelos,	a	soma	é	ainda	mais	simples	(Fi-
gura	10).	Se	
u 	e	
v 	têm	mesmo	sentido,	então	o	vetor	 +
 u v 	tem	
comprimento	igual	à	soma	dos	comprimentos	de	
u 	e	
v ,	e	mesma	
direção	e	sentido	de	
u 	e	
v .	Agora,	se	
u 	e	
v 	têm	sentidos	opos-
tos,	então	o	vetor	 + u v 	 tem	comprimento	 igual	à	diferença	dos	
comprimentos	de	
u 	e	
v ,	e	mesma	direção	e	sentido	do	maior	dos	
dois	vetores.
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Figura	10	Soma de vetores paralelos.
Você	 encontrará	 exemplos	 de	 soma	 de	 vetores	 quando	
estudar	 a	 representação	 de	 vetores	 no	 plano	 cartesiano,	 mais	
adiante	nesta	unidade.
subtração de vetores
Para	 definirmos	 a	 subtração	 de	 vetores,	 precisamos	 do	
conceito	de	vetor	oposto.	Considere,	então,	os	vetores	
u 	e	
v .	O	
vetor	oposto	de	
v ,	denotado	por	−
v ,	tem	mesmo	módulo	e	mesma	
direção	de	
v ,	mas	sentido	contrário	ao	de	
v .	A	subtração	 −
 u v 	
pode	ser	entendida	como	a	soma	de	
u 	com	 −
v :	 ( )− = + −   u v u v .	
Observe	a	Figura	11.
Figura	11	Soma e subtração de vetores.
Além	de	somar	e	subtrair	vetores,	podemos	também	alterar	
seu	módulo.	Para	 isso,	basta	multiplicar	o	vetor	por	um	número	
real.	Estudaremos	os	detalhes	dessa	operação	a	seguir.
Multiplicação de vetores
Ao	multiplicarmos	um	vetor	
v 	por	um	número	real	positivo,	
alteramos	 seu	módulo.	 Já	 se	multiplicarmos	 o	 vetor	 v 	 por	 um	
número	negativo,	alteramos	o	seu	sentido.	Observe	com	atenção	
os	exemplos	na	Figura	12.
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Figura	12	Multiplicação de número por vetor.
Ao	conhecermos	a	definição	de	vetor,	suas	características	e	
a	forma	como	operá-los,	podemos	estudar	a	representação	de	ve-
tores	no	sistema	cartesiano.Essa	forma	de	representar	vetores	é	
essencial	para	utilizá-los	nos	problemas	práticos.
7. vetOres nO pLanO CartesianO
Os	vetores	 são	desenhados	no	plano	 cartesiano	utilizando	
sua	extremidade	como	orientação.
exemplo
O	 vetor	 ( )3, 2v = 	 corresponde	 ao	 vetor	 que	 tem	 origem	
no	ponto	 ( )0, 0O 	 do	plano	 cartesiano	e	extremidade	no	ponto	
( )3, 2 .	Os	valores	3	e	2	são,	portanto,	as	coordenadas do ponto 
extremo	do	vetor	
v .	Observe,	na	Figura	13,	vários	exemplos	de	
vetores	no	plano.
Figura	13	Vetores representados no plano cartesiano.
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Mas,	por	que	utilizamos	as	coordenadas	do	ponto	extremo	
do	vetor	para	representá-lo?
Fazemos	 isso	 porque	 todo	 vetor	 pode	 ser	 escrito	 como	
soma	de	outros	dois	vetores.	Por	exemplo,	o	vetor	 ( )3, 2v = 	da	
Figura	13	pode	ser	escrito	como	soma	dos	múltiplos	de	 1

v 	e	 2

v :	
1 23 2= +
 
v v v .
Dizemos,	nesse	caso,	que	

v 	é	combinação linear	de	 1

v 	e	 2

v .
O	conjunto	 { }1 2,B v v=
 
	é	chamado	de	base	no	plano.
Quando	os	vetores	da	base	são	ortogonais	e	unitários,	dize-
mos	que	eles	formam	uma	base ortonormal.	No	exemplo	anterior,	
os	vetores	 1

v 	e	 2

v 	são	ortogonais	e	unitários;	logo,	formam	uma	
base	ortonormal.
E	mais!	Esses	vetores	também	determinam	o	sistema	carte-
siano,	e	por	isso	são	conhecidos	por	base canônica.	Essa	é	a	base	
que	utilizaremos	neste	Caderno de Referência de Conteúdo.
Veja	como	ficam	as	operações	definidas	até	agora,	utilizan-
do-se	pares	ordenados:
•	 adição:	 se	 ( )1 1,u x y=

	 e	 ( )2 2,v x y=

,	 então	
( )1 2 1 2,u v x x y y+ = + +
 
.	 Exemplo:	 considere	 os	
vetores	 ( )1, 5u =

	 e	 ( )3, 2v =

.	 A	 soma	 +
 
u v 	 é:	
( ) ( ) ( ) ( )1, 5 3, 2 1 3, 5 2 4,7u v+ = + = + + =
 
.
•	 subtração:	 se	 ( )1 1,u x y=

	 e	 ( )2 2,v x y=

,	 então	
( )1 2 1 2,u v x x y y− = − −
 
.	 Exemplo:	 considere	 os	
vetores	 ( )1, 5u =

	 e	 ( )3, 2v =

.	 A	 subtração	 − u v 	 é:	
( ) ( ) ( ) ( )1, 5 3, 2 1 3, 5 2 2, 3u v− = − = − − = −  .
•	 Multiplicação:	 se	 ( )1 1,u x y=

	 e	 α ∈ ,	 então	
( ) ( )1 1 1 1, ,a u a x y a x a y⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

.	 Exemplo:	 se	
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multiplicarmos	

u 	 por	 3,	 encontramos	 o	 vetor:	
( ) ( )3 3 1, 5 3, 15u = =

.	
vetores definidos por dois pontos
Um	 vetor	 pode	 ser	 definido	 por	 dois	 pontos	 no	 plano.	
Considere	 o	 vetor	 =

v AB 	 (Figura	 14),	 de	 origem	 no	 ponto	
( )1 1,A x y 	e	extremidade	em	 ( )2 2,B x y .	
Figura	14	Vetor =

v AB no plano.
Observando	 a	 Figura	 14,	 podemos	 concluir	 que	
+ =
  
OA AB OB .	Logo,	
( ) ( )
( )
2 2 1 1
2 1 2 1
, ,
,
AB OB OA
AB x y x y
AB x x y y
= −
= −
= − −
  


Essa	conclusão	nos	permite	afirmar	que	 = −

AB B A .
O	que	isso	significa?
Significa	que,	se	tivermos	um	vetor	com	origem	num	ponto	A	
e	extremidade	num	ponto	B,	o	vetor	

AB 	terá	coordenadas	B A− .
Exemplo
O	 vetor	 de	 origem	 no	 ponto	 (2, 1)A − 	 e	 extremidade	
no	 ponto	 (5, 4)B 	 terá	 as	 seguintes	 coordenadas:	
(5, 4) (2, 1) (3, 5)AB B A= − = − − =

.
O	 módulo	 ou	 comprimento	 de	 um	 vetor	 ( , )v x y=

	 é		
obtido	 utilizando-se	 o	 teorema	 de	 Pitágoras:	 2 2v x y= + .	
Por	 exemplo:	 o	 vetor	 ( 4, 3)v = −

	 (Figura	 15)	 tem	 módulo		
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2 2( 4) 3 16 9 25 5v = − + = + = = .	 Portanto,	 o	 vetor	 tem	 5	
unidades	de	comprimento.
Figura	15	Vetor ( 4, 3)v = −

.
vetor unitário
Um	 vetor	 v

	 pode	 ser	 transformado	 em	 um	 vetor	 de	
comprimento	unitário.	Isso	é	feito	dividindo-se	as	coordenadas	de	
v

	por	seu	módulo:	 v
v


.	Esse	vetor	é	chamado	versor	de	 v

.
Discutimos	até	aqui	a	representação	dos	vetores	no	plano.	
Agora	veremos	como	representar	os	vetores	no	espaço.	Para	isso,	
utilizaremos	três	coordenadas.
8. vetOres nO espaçO
Após	 a	 representação	 de	 pontos	 no	 plano	 utilizando	 o	
conjunto	 2R ,	 você	 verá	 como	 podemos	 representar	 pontos	 no	
espaço,	utilizando	o	conjunto	 3R .
Os	pontos	do	plano	são	representados	por	pares	ordenados	
de	números	 reais	 ( 2R ),	 isto	 é,	 pares	 de	números	 que	 têm	uma	
ordem:	primeiro	o	valor	do	eixo	x,	depois	o	valor	do	eixo	y.	Para	
representar	 pontos	 no	 espaço	 ( 3R ),	 precisamos	 acrescentar	
um	novo	eixo:	o	eixo	z.	Assim,	pontos	do	espaço	devem	ter	três	
coordenadas:	 (x,	 y,	 z).	 O	 ponto	 (3, 2, 4)A 	 da	 Figura	 16	 é	 um	
exemplo	de	ponto	no	espaço,	observe.
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Figura	16	Ponto A representado no sistema cartesiano tridimensional.
Os	três	eixos	cartesianos	dividem	o	espaço	em	oito	octantes:
1)	 O1:	x,	y	e	z	são	positivos.
2)	 O2:	x	e	z	positivos,	y	negativo.
3)	 O3:	x	e	y	negativos,	z	positivo.
4)	 O4:	y	e	z	positivos,	x	negativo.
5)	 O5:	x	e	y	positivos,	z	negativo.
6)	 O6:	x	positivo,	y	e	z	negativos.
7)	 O7:	x,	y	e	z	negativos.
8)	 O8:	y	positivo,	x	e	z	negativos.
Na	Unidade	1,	estudamos	a	identificação	de	pontos	no	espaço	
utilizando	três	coordenadas	(x,	y,	z)	de	 3R .	Assim	como	os	vetores	
no	plano,	representaremos	os	vetores	no	espaço	por	meio	de	seu	
ponto	extremo,	isto	é,	do	ponto	que	está	na	extremidade	do	vetor.	
Um	vetor	v

	de	coordenadas	(2,	4,	3),	por	exemplo,	é	representado	
no	espaço	com	origem	no	ponto	 (0, 0, 0)O 	e	extremidade	em	(2,	
4,	3).	Observe	a	Figura	17.
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Figura	17	Vetor ( )2, 4, 3v = no sistema cartesiano de três eixos.
O	espaço	 3R 	 possui,	 também,	uma	base canônica,	 isto	 é,	
um	 conjunto	 formado	 por	 três	 vetores	 ortogonais	 e	 unitários	
( ) ( ) ( ){ }1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1B = ,	 capazes	 de	 produzir	 qualquer	
outro	vetor	do	plano.
exemplo 1
O	vetor	 ( )2, 4, 3v = 	pode	ser	decomposto	como	uma	soma	
dos	vetores	da	base	canônica:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2, 4, 3
2, 0, 0 0, 4, 0 0, 0, 3
2 1, 0, 0 4 0, 1, 0 3 0, 0, 1
v
v
v
=
= + +
= ⋅ + ⋅ + ⋅



Veja	 como	 essa	 soma	 é	 interpretada	 geometricamente	 na	
Figura	18.
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Figura	18	Vetor v

 obtido pela soma dos vetores canônicos.
O	exemplo	nos	permite	concluir	que	a	soma	de	vetores	no	
espaço	é	semelhante	à	soma	de	vetores	no	plano.
exemplo 2
Considere,	 por	 exemplo,	 os	 vetores	 ( )2,3,1u = −

	 e	
( )1, 1,4v = −

.	Então:
( ) ( ) ( )2, 3, 1 1, 1, 4 1, 2, 5u v+ = − + − = − 
( ) ( ) ( )2, 3, 1 1, 1, 4 3, 4, 3u v− = − − − = − − 
( ) ( )7 7 2, 3, 1 14, 21, 7u = ⋅ − = −
( )1 1 1 11, 1, 4 , , 2
2 2 2 2
v  − = − ⋅ − = − − 
 

As	 propriedades	 de	 vetores	 no	 plano	 também	 são	 válidas	
para	vetores	no	espaço.	Observe	uma	aplicação	dessas	proprieda-
des	no	exemplo	a	seguir.
exemplo 3
No	paralelogramo	ABCD	da	Figura	19	sabe-se	que	 (1, 5, 3)A − ,		
(3, 4, 2)B 	e	 (0, 1, 4)C − .	Descubra	as	coordenadas	do	ponto	D.
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Figura	19	Paralelogramo ABCD.
Os	vetores	

AD 	e	

BC 	têm	mesmo	módulo,	direção	e	sentido.	
Logo,	
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1, 5, 3 0, 1, 4 3, 4, 2
1, 5, 3 3, 5, 2
3, 5, 2 1, 5, 3
2, 0, 1
AD BC
D A C B
D
D
D
D
=
− = −
− − = − −
− − = − −
= − − + −
= − −
 
Até	 aqui,	 estudamos	 as	 operações	 elementares	 entre	 dois	
ou	mais	vetores:	a	adição,	a	subtração	e	a	multiplicação	por	um	
número	real.	Introduziremos,	a	seguir,	três	novas	operações	entre	
vetores.	A	primeira	delas	é	o	produto	escalar.	Essa	é	uma	impor-
tante	ferramenta	no	estudo	de	várias	áreas,	como	a	Física.
9. prOdutO esCaLar
O	 produto	 escalar	 entre	 dois	 vetores	 ( )1 1 1, ,u x y z=

	
e	 ( )2 2 2, ,v x y z=

	 é	 um	 número	 real	 obtido	 pela	 expressão:	
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
 
	 (Lê-se:	

u 	 escalar	

v ).	 Por	 exemplo,	
considere	os	vetores	 ( )2, 5, 3u =

	e	 ( )1, 6, 4v = −

.
•	 ⋅
 u v
( ) ( )
( )
2, 5, 3 1, 6, 4
21 5 6 3 4 2 30 12 40
u v⋅ = ⋅ − =
= ⋅ − + ⋅ + ⋅ = − + + =
 
© Vetores e Geometria Analítica90
•	 ⋅
 u u
( ) ( )2, 5, 3 2, 5, 3
2 2 5 5 3 3 4 25 9 38
u u⋅ = ⋅ =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + =
 
•	 ( ) ( 2 )u v u v+ ⋅ −
   
.	Resolvemos	separadamente	cada	opera-
ção	entre	parênteses:
(2, 5, 3) ( 1, 6, 4) (1, 11, 7)
2 (2, 5, 3) 2( 1, 6, 4)
(2, 5, 3) ( 2, 12, 8) (4, 7, 5)
u v
u v
+ = + − =
− = − − =
= − − = − −
 
 
•	 Substituímos	os	valores	na	expressão	do	produto	escalar:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1, 11, 7 4, 7, 5
1 4 11 7 7 5
4 77 35 108
u v u v+ ⋅ − = ⋅ − − =
= ⋅ + ⋅ − + ⋅ − =
= − − = −
   
Assim	 como	 qualquer	 operação,	 o	 produto	 escalar	 possui	
propriedades	que	devem	ser	respeitadas	durante	os	cálculos.	Para	
conhecê-las,	considere	os	vetores	 u ,	 v 	e	 w ,	e	o	número	real	α :
1)	 ⋅ = ⋅   u v v u 	(comutativa).
2)	 ( )⋅ + = ⋅ + ⋅      u v w u v u w 	e	 ( )+ ⋅ = ⋅ + ⋅
      u v w u w v w 	(distri-
butiva).
3)	 ( ) ( ) ( )α α α⋅ = ⋅ = ⋅     u v u v u v 	(associativa).
4)	 0⋅ > u u 	se	 0≠

u ,	e	 0⋅ = u u 	se	 0=

u .
5)	
2⋅ =
  u u u .
Claretiano - Centro Universitário
91© U3 – Vetores
definição geométrica do produto escalar
Considere	dois	vetores	não	nulos	 u

	e	 v

,	e	suponha	que	θ 	
seja	o	ângulo	formado	entre	eles	( 180θ < ° ).	Então	o	produto	es-
calar	de	u

	e	 v

	é	definido	por:	u v u v cos θ⋅ = ⋅ ⋅
   
.
Exemplo
Sabendo	 que	 os	módulos	 dos	 vetores	 u

	 e	 v

	 são	 3=
u ,	
4=v ,	e	que	o	ângulo	entre	u

	e	 v

	é	igual	a	60°,	calcular:
•	 O	produto	escalar	u v⋅
 
.
Utilizando	uma	calculadora	científica	ou	uma	tabela	trigono-
métrica	(disponível	nos	materiais	didáticos	do	Ensino	Médio	e	em	
diversos	 sites	 da	 internet),	 descobrimos	 que	
160º
2
cos = .	 Logo,	
13 4 60º 12 6
2
u v u v cos cos θ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
   
.
•	 O	módulo	da	soma	de	u

	e	 v

:	 u v+
 
.
Para	resolver	esse	módulo,	devemos	elevar	a	expressão	ao	
quadrado.	Note	que	aparecerá	um	produto	escalar	u v⋅
 
:
2 2 2 2 22 3 2 6 4 9 12 16 37u v u u v v+ = + ⋅ + = + ⋅ + = + + =
   
 
Então:	 37+ =
 
u v .
•	 O	módulo	da	diferença	entre	u

	e	 v

:	 −
 u v .
Faremos	como	no	exemplo	anterior,	elevando	a	expressão	
ao	quadrado:
2 2 2 2 22 3 2 6 4 9 12 16 13u v u u v v+ = + ⋅ + = − ⋅ + = − + =
   
 
Então:	 13− =
 u v .
© Vetores e Geometria Analítica92
Sabendo	que	 180θ < ° ,	 o	 valor	 de	 cosθ 	 será	 igual	 a	 zero	
somente	 se	 90θ = ° .	 Podemos,	 então,	 afirmar	 que	 u

	 e	 v

	 são	
ortogonais	se,	e	somente	se,	 0u v⋅ =
 
.
A	 definição	 geométrica	 de	 produto	 escalar	 nos	 permite,	
também,	 determinar	 o	 ângulo	 entre	 dois	 vetores.	 Por	 exemplo,	
descubra	a	medida	do	ângulo	formado	entre	os	vetores	 (1, 1, 4)u =

	
e	 ( 1, 2, 2)v = −

.
Obteremos	 o	 ângulo	 desejado	 utilizando	 a	 fórmula:	
u v u v cos θ⋅ = ⋅ ⋅    .	Calculemos	o	produto	escalar	e	os	módulos	
separadamente:
( ) ( )1, 1, 4 1, 2, 2 1 2 8 9u v⋅ = ⋅ − = − + + = 
2 2 21 1 4 1 1 16 18 3 2= + + = + + = =u
( )2 2 21 2 2 1 4 4 9 3= − + + = + + = =v
Substituímos,	então,	os	resultados	na	fórmula:
9 3 2 3
9
9 2
2
2
u v u v cos 
cos 
cos 
cos 
θ
θ
θ
θ
⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
=
   
O	ângulo	cujo	cosseno	é	 2
2
é	 45θ = ° .	Você	pode	obter	esse	
ângulo	 calculando	o	arco	cosseno	de	 2
2
	 com	uma	calculadora	
científica,	ou	utilizando	uma	 tabela	 trigonométrica.	 Escrevemos:	
2 45
2
arccosθ
 
= = °  
 
.
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93© U3 – Vetores
Além	do	produto	escalar,	há	outras	duas	operações	definidas	
entre	vetores:	o	produto	vetorial	e	o	produto	misto.	Estudaremos,	
a	seguir,	o	produto	vetorial.
10. prOdutO vetOriaL
O	produto	vetorial	entre	dois	vetores	 u

	e	 v

	é	um	vetor,	e	
não	um	número,	como	acontece	no	produto	escalar.	Para	calcular	
o	produto	vetorial	(Notação:	 u v×
 
),	utilizamos	determinantes	de	
matrizes.	Por	isso,	será	útil	recordar	esse	assunto	nos	livros	do	En-
sino	Médio.
O	 produto	 vetorial	 dos	 vetores	 1 1 1( , , )u x y z=

	 e	
2 2 2( , , )v x y z=

	é	dado	pelo	determinante:
1 1 1
2 2 2
× =

 
 
i j k
u v x y z
x y z
Em	que	 i

,	 j

	e	 k

	indicam	os	vetores	da	base	canônica.
Observe	 o	 seguinte	 exemplo:	 sendo	 ( )1, 1, 2u = −

	 e	
( )3, 0, 5v =

,	calcule	u v×
 
.
( ) ( )
( )
1 1 2 5 3 0 3 0 5
3 0 5
5 2 3 5, 2, 3
i j k
u v i j k k i j
i j k
× = − = − + + − − + + =
= − − + = − −

 
 
   
 

 
No	produto	vetorial	são	observadas	duas	propriedades:
•	 ( )u v v u× = − ×
   
,	 isto	 é,	 os	 vetores	 u v×
 
	 e	 v u×
 
	 são	
opostos.
•	 0u v× =
  
	se,	e	somente	se,	 / /u v
 
.
© Vetores e Geometria Analítica94
O	vetor	resultante	do	produto	vetorial	possui	características	
específicas	de	direção,	sentido	e	módulo.	Acompanhe	as	explica-
ções	a	seguir.
direção de u v×
 
O	produto	vetorial	de	dois	vetores	
u 	e	
v 	resulta	num	vetor	
que	é	ortogonal	tanto	a	
u 	quanto	a	
v .	Observe	a	Figura	20.
Figura	20	Produtos vetoriais ×
 u v e ×
 v u .
sentido de u v×
 
Para	descobrir	o	sentido	de	u v×
 
	no	espaço,	usamos	a	regra	
da	mão	direita:	acompanhe,	na	Figura	21,	o	movimento	do	ângulo	
θ 	com	a	mão	direita,	partindo	do	vetor	u

	até	o	vetor	v

.	O	polegar	
indicará	o	sentido	de	u v×
 
.
Figura	21	Regra da mão direita.
Módulo de u v×
 
O	módulo	ou	comprimento	de	u v×
 
	é	 u v u v senθ× = ⋅ ⋅
   
,	
em	que	θ 	é	o	ângulo	entre	os	vetores.
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95© U3 – Vetores
Geometricamente,	podemos	 interpretar	o	módulo	do	pro-
duto	vetorial	como	a	área	do	paralelogramo	formado	por	
u 	e	
v .	
Observe	atentamente	a	Figura	22.
Figura	22	Paralelogramo determinado pelos vetores 
u e 
v .
A	 área	 de	 um	 paralelogramo	 é	 obtida	 pelo	 produto	 da	
medida	da	base	pela	altura.	Portanto,
(base) (altura)A u v sen u vθ= ⋅ = ⋅ ⋅ = ×
   
.
Já	aprendemos,	nesta	unidade,	o	conceito	de	vetor,	sua	re-
presentação	algébrica	e	geométrica,	as	operações	elementares	e	
os	produtos	escalar	e	vetorial.	Para	encerrar,	vamos	estudar	o	pro-
duto	misto.
11. prOdutO MistO
Considere	 os	 três	 vetores	 ( )1 1 1, ,u x y z=

,	 ( )2 2 2, ,v x y z=

	
e	 ( )3 3 3, ,w x y z=

.	O	produto	misto	desses	vetores	é	um	número	
real,	 representado	 por	 ( ), ,u v w   	 e	 obtido	 pela	 expressão	
( )u v w⋅ ×   .	Essa	expressão	pode	ser	 facilmente	calculada	com	o	
uso	de	determinante:
( )
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z
u v w x y z
x y z
⋅ × =
  
Assim	 como	 as	 demais	 operações	 com	 vetores,	 o	 produto	
misto	também	possui	algumas	propriedades.
© Vetores e Geometria Analítica96
1)	 O	produto	misto	muda	de	sinal	ao	trocarmos	a	posição	
de	dois	vetores.	Acompanhe	o	exemplo:
	 Dados	 os	 vetores	 (2, 3, 1)u =

,	 (1, 1, 4)v = −

	 e	
(5, 2, 2)w =

,	determine	 ( , , )u v w
  
	e	 ( , , )v u w
  
.
( ) ( ) ( )
2 3 1
, , 1 1 4 4 60 2 5 16 6 58 17 41
5 2 2
u v w = − = − + + − − + + = − =
  
( ) ( ) ( )
1 1 4
, , 2 3 1 6 5 16 60 2 4 17 58 41
5 2 2
v u w
−
= = − + − + − = − = −
  
2)	 ( ) ( ) ( ), , , , , ,u x v w u v w x v w+ = +         
( ) ( ) ( ), , , , , ,u v x w u v w u x w+ = +         
( ) ( ) ( ), , , , , ,u v w x u v w u v x+ = +         
3)	 ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,au v w u av w x v aw a u v w= = =
           
	 ( ), , 0u v w =
  
	se,	e	somente	se,	os	três	vetores	forem	co-
planares,	isto	é,	pertencerem	todos	a	um	mesmo	plano.
Qual	é	o	significado	geométrico	do	produto	misto?
O	produto	misto	corresponde	ao	volume	do	paralelepípedo	
formado	pelos	vetores	 u ,	 v 	e	 w 	(Figura	23).
Figura	23	Paralelepípedo obtido pelos vetores 
u , 
v e 
w .
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97© U3 – Vetores
Vimos,	nesta	unidade,	um	importante	conceito	para	o	estu-
do	da	Geometria	Analítica:	o	vetor.Estudamos	sua	representação	
algébrica,	 utilizando	 coordenadas,	 e	 também	 sua	 representação	
geométrica,	por	meio	do	sistema	cartesiano	de	duas	e	de	três	co-
ordenadas.	Aprendemos	as	operações	básicas	de	soma,	subtração	
e	multiplicação	por	um	número	real,	assim	como	os	produtos	en-
tre	vetores:	o	produto	escalar,	o	vetorial	e	o	misto.
Vimos	que	esses	produtos	têm	relação	direta	com	o	cálculo	
de	áreas	e	volumes.	Na	unidade	seguinte,	estudaremos	as	cônicas,	
figuras	do	plano	obtidas	a	partir	da	 interseção	de	um	cone	com	
um	plano.
12. Questões autOavaLiativas
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	
desempenho	no	estudo	desta	unidade:
1)	 No	 início	desta	unidade,	encontramos	um	exemplo	da	utilização	de	vetor	
para	representar	o	deslocamento	de	um	avião.	Você	é	capaz	de	criar	outras	
situações	práticas	em	que	se	usem	vetores?	Descreva-as.
2)	 Explique,	por	meio	de	desenhos,	os	seguintes	questionamentos:
a)	 Dois	vetores	que	possuem	o	mesmo	módulo	são	iguais?
b)	 Dois	 vetores	podem	 ter	mesma	direção	e	mesmo	 sentido,	mas	 serem	
diferentes?
c)	 Se	dois	vetores	são	ortogonais,	eles	sempre	se	interceptam?
d)	 Dois	vetores	paralelos	terão	sempre	o	mesmo	sentido?
3)	 O	 vetor	 ( )4, 1AB =

,	 de	 origem	 no	 ponto	 (0, 0)A 	 e	 extremidade	 no	
ponto	 (4, 1)B ,	possui	infinitos	representantes	no	espaço.	O	que	significa	
essa	afirmação?	Ilustre-a	com	um	desenho	no	plano	cartesiano.
4)	 Calcule	 o	 módulo,	 ou	 comprimento,	 dos	 seguintes	 vetores:	 (3, 1)u =

,	
( 2, 5)v = −

	e	 3 1,
2 2
w  =  
 

.	Depois,	determine	o	versor	de	cada	um,	isto	
é,	transforme-os	em	vetores	de	comprimento	unitário.
5)	 Sabendo	que	o	produto	escalar	é	uma	 ferramenta	para	determinarmos	o	
ângulo	formado	por	dois	vetores,	calcule	a	medida	do	ângulo	formado	pelos	
vetores	 ( )1, 1, 0u =

	e	 ( )0, 1, 0v =

.
© Vetores e Geometria Analítica98
Gabarito
Confira,	a	seguir,	as	respostas	corretas	para	as	questões	au-
toavaliativas	propostas:
1)	 A	 distância	 percorrida	 por	 um	objeto,	 a	 velocidade,	 a	 aceleração,	 a	 força	
aplicada	para	mover	o	objeto	etc.
2)	 a)	 Somente	se	possuírem	também	a	mesma	direção	e	o	mesmo	sentido.
b)	 Sim,	basta	terem	módulos	diferentes.
c)	 Não.	Eles	podem	possuir	representantes	no	espaço	que	se	interceptam.
d)	 Não.	Terão	a	mesma	direção,	mas	podem	ter	sentidos	opostos.
3)	 O	 vetor	 (4, 1)AB =

	 é	 um	 segmento	 orientado,	 começando	 no	 ponto	
(0, 0)A 	e	terminando	com	a	seta	no	ponto	 (4, 1)B .	Qualquer	outro	ve-
tor	que	possua	o	mesmo	comprimento,	a	mesma	direção	e	o	mesmo	sentido	
de	 AB

,	pode	representar	o	vetor	 AB

.
4)	 Módulos:	 10u =

,	 29v =

	
e	
10
2
w =

.
Versor	de	 (3, 1)u =

:	
3 1,
10 10
 
 
 
Versor	de	 ( 2, 5)v = −

:	
2 5,
29 29
− 
 
 
Versor	de	 3 1,
2 2
w  =  
 

:	
3 1,
10 10
 
 
 
.
5)	 	45° .
13. COnsiderações
Nesta	unidade,	 abordamos	os	 conceitos	de	vetores	e	 suas	
operações.	Aprendemos	a	representar	vetores	no	plano	e	no	es-
paço,	somá-los	e	subtraí-los,	além	de	alterar	seu	comprimento	por	
meio	da	multiplicação	por	um	número	real.
Claretiano - Centro Universitário
99© U3 – Vetores
Estudamos,	também,	três	novas	operações	com	vetores:	os	
produtos	escalar,	vetorial	e	misto.	O	produto	escalar	nos	permite,	
por	exemplo,	determinar	o	ângulo	entre	dois	vetores	no	espaço;	o	
produto	vetorial	permite-nos	calcular	áreas	de	polígonos	no	espa-
ço;	já	o	produto	misto	possibilita	o	cálculo	de	volumes	de	alguns	
sólidos	geométricos,	como	o	paralelepípedo.
Na	Unidade	4,	vamos	ampliar	nosso	aprendizado,	estudando	
as	 retas	e	os	planos.	 Tais	 temas	 são	 fundamentais	para	 sua	 for-
mação	docente,	pois	envolvem	conceitos	essenciais	abordados	no	
Ensino	Médio.
14. e-referências
BRASIL	 ESCOLA.	 Geometria Analítica.	 Disponível	 em:	 <http://www.brasilescola.com/
matematica/geometria-analitica.htm>.	Acesso	em:	8	abr.	2013.
NOÉ,	M.	Plano cartesiano.	Disponível	em:	<http://www.brasilescola.com/matematica/
plano-cartesiano.htm>.	Acesso	em:	8	abr.	2013.
SÃO	 PAULO	 (Cidade).	 Secretaria	 Municipal	 de	 Educação.	 Cadernos de apoio e 
aprendizagem:	Matemática	–	Programa	de	orientações	curriculares	–	9º	Ano.	São	Paulo:	
Fundação	Padre	Anchieta,	Prefeitura	de	São	Paulo,	2010.	Disponível	em:	<http://www.
portalsme.prefeitura.sp.gov.br/Projetos/BibliPed/Documentos/Publicacoes/Cad_Apoio/
Mt/Mt9/Mat_Cont_Aluno_9.pdf>.	Acesso	em:	8	abr.	2013.	
15. referências	BiBLiOGrÁficas
CAMARGO,	I.;	BOULOS,	P.	Geometria analítica:	um	tratamento	vetorial.	3.	ed.	rev.	e	ampl.	
São	Paulo:	Prentice	Hall,	2005.
WINTERLE,	P.	Vetores e Geometria Analítica.	São	Paulo:	Makron	Books,	2000.
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