Questão Pilares - Ex. 9.12 - Apostila de Pilares - UFPR

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Solução: 
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠:
ℎ𝑥 = 14 𝑐𝑚;
ℎ𝑦 = 40 𝑐𝑚.
 
 Comprimento efetivo: 
𝑙𝑒𝑓𝑥 = 0,7 𝑥 3,5 = 2,45 𝑚 → 𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑎𝑑𝑜
𝑙𝑒𝑓𝑦 = 2 𝑥 3,5 = 7𝑚 → 𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒
 
 Esforços: 
Pilar 14cm < 19 cm, 𝛾𝑎 = 1,25 
𝑁𝑑 = 1,25 𝑥 1144 = 1430 𝑘𝑁 → 𝑗á 𝑣𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑁𝑑 
𝑀𝑑𝑥𝐴 = 1,25 𝑥 46,2 = 57,75 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝑑𝑥𝐵 = 1,25 𝑥 22,6 = 28,25 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝑑𝑦 = 0 𝑘𝑁. 𝑚 
 Excentricidades: 
 Inicial: 
X: 
𝑒𝑖𝑥,𝑡𝑜𝑝𝑜 =
57,75
1430
= 4𝑐𝑚 
𝑒𝑖𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 =
28,25
1430
= 1,97 𝑐𝑚 
𝑒𝑖𝑥,𝑚𝑒𝑖𝑜 = 0,4(4)
= 1,6 𝑐𝑚 
Y: 
𝑒𝑖𝑦,𝑡𝑜𝑝𝑜 = 𝑒𝑖𝑦,𝑏𝑎𝑠𝑒
= 𝑒𝑖𝑦,𝑚𝑒𝑖𝑜 = 0 𝑐𝑚 
 
 Acidental: 
X: 
𝜃𝑖𝑥 =
1
100 𝑥 √2,45
= 0,0063
≅ 0,005 𝑟𝑎𝑑 
𝑒𝑎𝑥
= 0,005 𝑥 (
2,45
2
)
= 0,6125 𝑐𝑚 
Y: 
𝜃𝑖𝑥 =
1
100 𝑥 √2,45
= 0,0063
≅ 0,005 𝑟𝑎𝑑 
𝑒𝑎𝑥 = 0,005 𝑥 (7)
= 3,5 𝑐𝑚 
 Mínima: 
𝑒𝑚𝑖𝑛𝑥 = 0,015 + 0,03(0,14) = 1,92 𝑐𝑚
𝑒𝑚𝑖𝑛𝑦 = 0,015 + 0,03(0,40) = 2,7 𝑐𝑚
 
 Momento Mínimo: 
𝑀𝑚𝑖𝑛𝑥 = 0,0192 𝑥 1430 = 𝟐𝟕, 𝟒𝟔 𝒌𝑵. 𝒎
𝑀𝑚𝑖𝑛𝑥 = 0,0270 𝑥 1430 = 𝟑𝟖, 𝟔𝟏 𝒌𝑵. 𝒎
 
 1 ordem: 
X: 
 𝑒𝑖𝑥 𝑒𝑎𝑥 𝑒𝑚𝑖𝑛𝑥 𝑒1𝑥 
Topo 4 - 1,92 4 
Meio 1,6 0,61 1,92 4 
Base 1,97 - 1,92 4 
 
Y: 
 𝑒𝑖𝑦 𝑒𝑎𝑦 𝑒𝑚𝑖𝑛𝑦 𝑒1𝑦 
Topo 0 - 2,7 3,5 
Meio 0 3,5 2,7 3,5 
Base 0 - 2,7 3,5 
 
 Momento de 1ª ordem: 
𝑀𝑑𝐴𝑥 = 0,04 𝑥 1430 = 𝟓𝟕, 𝟐 𝒌𝑵. 𝒎 → 𝑢𝑠𝑎 𝑛𝑎 2𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚
𝑀𝑑𝐴𝑦 = 0,035 𝑥 1430 = 𝟓𝟎, 𝟎𝟓 𝒌𝑵. 𝒎 → 𝑢𝑠𝑎 𝑛𝑎 2𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚
 
 Esbeltez: 
X: 
𝜆𝑥 =
√12 𝑥 245
14
= 60,62 
Y: 
𝜆𝑦 =
√12 𝑥 700
40
= 60,62 
 
 Esbeltez Limite: 
X: 
𝛼𝑥
= 0,6 − 0,4 (
28,25
57,75
)
= 0,4 
𝜆𝑖𝑥
=
25 + 12,5 𝑥 (
4
14)
0,4
= 71,42 
𝜆𝑥 = 60,62 < 𝜆𝑖𝑥
= 71,42 
Não necessita 2ª 
ordem. 
Y: 
𝛼𝑦 = 1 
𝜆𝑖𝑥
=
25 + 12,5 𝑥 (
0
40)
1
= 25 ≅ 35 
𝜆𝑥 = 60,62 > 𝜆𝑖𝑥
= 35 
 
Necessita 2ª ordem. 
 2ª ordem: 
Y: 
𝑀𝑑𝐴𝑦 = 0,035 𝑥 1430 = 50,05 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑎 = 1 
𝑏 = 0,2 𝑥 0,40 𝑥 1430 − 
60,622𝑥 0,40 𝑥 1430
19200
− 1 𝑥 50,05 = −45,13 
𝑐 = −0,2 𝑥 1 𝑥 0,40 𝑥 1430 𝑥 50,05 = −5725,72 
𝑀𝑑𝑦𝑇𝑂𝑇 =
−(−45,13) + √(−45,13)2 − 4(1)(−5725,72)
2(1)
= 101,52 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝑑𝑦𝑇𝑂𝑇 > {
𝑀𝑚𝑖𝑛𝑦 = 38,61 𝑘𝑁. 𝑚
𝑀𝑑𝐴𝑦 = 50,05 𝑘𝑛. 𝑚
→ 𝑂𝐾! 
 Excentricidade final: 
𝒆𝑻𝒐𝒕𝒙 = 𝟒 𝒄𝒎
𝑒𝑇𝑂𝑇𝑦 =
101,52
1430
= 𝟕, 𝟎𝟗 𝒄𝒎