Cálculo de pilares Exercicios resolvidos

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16.2.2 Exemplo 2
Este exemplo é também semelhante àquele encontrado em FUSCO (1981, p. 311), com a diferença
da alteração do concreto, de C15 para C20, e da largura do pilar, de 25 cm para 20 cm (Figura 45). São
conhecidos:
UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado
47
N k = 1.110 kN
M1d,A,x = – M1d,B,x = 3.260 kN.cm
seção transversal 20 x 70 (Ac = 1.400 cm2)
comprimento equivalente ou de flambagem:
ex = ey = 460 cm
coeficientes de ponderação:
γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15
h = 20 cm
x h = 70 cm
y
Nd x
y
e1,x
- 3260 kN.cm
3.260 kN.cm
M1d,A,x
+
-
M1d,B,x
Figura 45 – Dimensões da seção transversal, arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma
e momentos fletores de primeira ordem na direção x.
RESOLUÇÃO
a) Esforços solicitantes
A força normal de cálculo é: Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1110 = 1.554 kN, com n da Tabela 4.
Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nas extremidades (topo
e base) do pilar (M1d,A,x = – M1d,B,x = 3.260 kN.cm), que solicitam o pilar na direção x, em função de existir
uma viga não contínua sobre o pilar na direção x (Figura 46). Este momento fletor, ou seja, todas as ações
aplicadas no pilar, devem ser majoradas por n , igual a 1,0 neste caso.
b) Índice de esbeltez
22,7
70
3,46 460
h
3,46
x
ex
x 

  

79,6
20
3,46 460
h
3,46
y
ey
y 

  

c) Momento fletor mínimo
M1d,mín = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor mínimo, em cada direção, é:
Dir. x: M1d,mín,x = 1554 (1,5 + 0,03 . 70) = 5.594,4 kN.cm ; e1x,mín = 
1554
5594,4
3,60 cm
Dir. y: M1d,mín,y = 1554 (1,5 + 0,03 . 20) = 3.263,4 kN.cm ; e1y,mín = 
1554
3263,4
2,10 cm
UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado
48
460 460
3260 kN.cm
+
- 3260 kN.cm
-
- 3260 kN.cm
3260 kN.cm
+
-
2,10 cm
- 2,10 cm
- 2,10 cm
-
+
-
+
2,10 cm
Figura 46 – Momentos fletores de cálculo de 1a ordem e excentricidades
no topo e na base do pilar, na direção x.
d) Esbeltez limite
b
1
1
h
e
25 12,5


  , com 35 ≤ λ1 ≤ 90
Dir. x: A excentricidade de 1a ordem na direção x (e1x) é 2,10 cm. Os momentos fletores de 1a
ordem na direção x (M1d,A,x = – M1d,B,x = 3.260 kN.cm) são menores que o momento fletor mínimo nesta
direção (M1d,mín,x = 5.594,4 kN.cm), o que leva a b = 1,0. Assim:
25,4
1,0
70
2,10
25 12,5
1,x 

   35   1,x = 35
Dir. y: Na direção y não ocorrem momentos e excentricidades de 1a ordem, portanto e1y = 0 e b =
1,0. Assim:
25,0
1,0
20
0
25 12,5
1,y 

   35   1,y = 35
Desse modo:
x = 22,7 < 1,x  não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x;
y = 79,6 > 1,y  são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y.
e) Momento de 2a ordem
O momento de 2a ordem será avaliado pelos métodos do pilar-padrão com curvatura aproximada e
do pilar-padrão com rigidez  aproximada.
e1) Método do pilar-padrão com curvatura aproximada



   
1d,mín
1d,A
2
e
d,tot b 1d,A d M
M
r
1
10
M .M N

, e M1d,A  M1d,mín
UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado
49
A força normal adimensional e a curvatura (na direção y, sujeita a momentos fletores de 2a ordem)
são os mesmos do exemplo anterior:  = 0,78 e 1/r = 1,953 . 10-4 cm-1.
A excentricidade máxima de 2a ordem na direção y é:
 
r
1
10
e
2
e
2y

1,953 .10 4,13
10
460 4
2
  cm
Fazendo M1d,A  M1d,mín em cada direção, tem-se o momento fletor total máximo:
Dir. x:
Md,tot,x = 3.260,0 kN.cm  M1d,mín,x = 5.594,4 kN.cm  Md,tot,x = 5.594,4 kN.cm
Dir. y:
Md,tot,y = 1,0 . 3263,4 +  4
2
1,953 .10
10
460
1554 9.685,4  M1d,mín,y = 3.263,4 kN.cm  ok!
Md,tot,y = 9.685,4 kN.cm
Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 47. As situações de projeto e de
cálculo estão mostradas na Figura 48 (seções de extremidade) e Figura 49 (seção intermediária C).
3.260
M1d,A,x
OU
6.422
M1d,mín,y
5.594,4 3.263,4
M1d,mín,x
Dir. x Dir. y
M 2 d,máx,y
+
Figura 47 – Momentos fletores atuantes no pilar, nas direções x e y.
S.P.
Nd
y
1 s.c.
3,60
e
N
x
d
e 1x 1x,mín
a
2,10
e = 2,10
2 s.c. a
1y,mín
Nd
Figura 48 – Situação de projeto e situações de cálculo nas seções de extremidade (topo e base do pilar).
UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado
50
A excentricidade inicial na seção intermediária C é calculada com a Eq. 53, que corresponde à Eq.
49, em função da excentricidade inicial (e1x), nas extremidades submetidas aos momentos fletores de 1a
ordem (M1d,A e M1d,B):




1A
1A 1B
1C 0,4 e
0,6 e 0,4 e
e 




 
    

0,4 e 0,4 . 2,10 0,84 cm
0,6 e 0,4 e 0,6 . 2,10 0,4 . ( 2,10) 0,60 cm
e
1x,A
1x,A 1x,B
1x,C
 e1x,C = 0,84 cm
Nd
e
e = 6,23
e = 2,10
e = 4,13
Nd
3,60
1 s.c. a 2 s.c. a
1y,mín
1x,mín
y
2y
S.P.
Nd
y
x
e 1x,C
0,84
Figura 49 – Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária.
Na análise das situações de cálculo fica claro que a 2a s.c. da seção intermediária C é que resultará
na maior armadura longitudinal do pilar, porque tem o maior valor de excentricidade, na direção de menor
rigidez do pilar. A título de exemplo são verificadas as duas situações da seção intermediária.
Com  = 0,78 e utilizando-se os ábacos de VENTURINI (1987) para Flexão Reta:
Dir. x:
 =
x c cd
d,tot,x
h . A . f
M
= 0,04
1,4
2,0
70 .1400
5594,4
 ou 0,04
70
3,60
0,78
h
e
x
   x  
x
x
h
d'
=
70
4,0
= 0,06  0,05  Ábaco A-24: ω = 0,08
Dir. y:
 =
y c cd
d,tot,y
h . A . f
M
= 
1,4
2,0
20 .1400
9685,4
0,24 ou 0,24
20
6,23
0,78
h
e
y
y
    
y
y
h
d'
=
20
4,0
= 0,20  Ábaco A-4: ω = 0,79
As =
yd
c cd
f
 A f
= 36,34
1,15
50
1,4
2,0
0,79 .1400
 cm2
e2) Método do pilar-padrão com rigidez  aproximada
O momento fletor total na direção y, sujeita a momentos de 2a ordem, é:
19200 M (3840 h N h Nd 19200 b M1d,A)Md, tot 3840 b h Nd M1d,A 0
2
d
2
d, tot        
   d,tot 
2 2
19200 Md,tot (3840 . 20 .1554 79,6 . 20 .1554 19200 .1,0 .3263,4)M
 3840 .1,0 . 20 .1554 . 3263,4  0
UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado
51
19200 M 140237933 Md,tot 3894776524 80 0
2
d,tot   
M 7304,1Md,tot 20285294 0
2
d,tot   
A raiz positiva da equação de 2o grau é:
Md,tot = 9.450,6 kN.cm  M1d,mín,y = 3.263,4 kN.cm  ok!
Com  = 0,78 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para Flexão Reta:
 =
cdc y
d,tot,y
f . A. h
M
=
1,4
2,0
1400 . 20
9450,6
= 0,24
y
y
h
' d
=
20
0, 4
= 0,20 Ábaco A-4 (ω = 0,79)
As =
yd
cd c
f
f A 
= 36,34
1,15
50
1,4
2,0
0,79 .1400
 cm2
16.2.3 Exemplo 3
São conhecidos (Figura 50):
Nk = 500 kN
M1d,A,y = M1d,B,y = 7.000 kN.cm
(e1y,A = e1y,B = 10,0 cm)
seção 20 x 40 (Ac = 800 cm2)
ex = ey = 280 cm
γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15
e
h = 40 cm
h = 20 cm
y
x
1,y
d N
x
y
+
7000 kN.cm
M1d,A,y
7.000 kN.cm
M1d,B,y
7.000 kN.cm
+
Figura 50 – Dimensões da seção transversal e momentos fletores de 1a ordem na direção y.
RESOLUÇÃO
a) Esforços solicitantes
A força normal de cálculo é: Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 500 = 700 kN, (n na Tabela 4). Além da
força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nas seções de topo e base do pilar (M1d,A,y
= M1d,B,y = 7.000 kN.cm), que solicitam o pilar na direção y (Figura 50).
b) Índice de esbeltez
48,4
20
3,46 280
h
3,46
x
ex
x 

  

UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado
52
24,2
40
3,46 280
h
3,46
y
ey
y 

  

c) Momento fletor mínimo
M1d,mín = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. Assim, o momento mínimo, em cada direção é:
Dir. x: M1d,mín,x = 700 (1,5 + 0,03 . 20) = 1.470,0 kN.cm ; e1x,mín = 
700
1470,0
2,10 cm
Dir. y: M1d,mín,y = 700 (1,5 + 0,03 . 40) = 1.890,0 kN.cm ; e1y,mín = 
700
0,0 189
2,70 cm
d) Esbeltez limite
b
1
1
h
e
25 12,5


  , com 90351 
Dir. x: Nesta direção não ocorrem momentos e excentricidades de 1a ordem, portanto e1x = 0 e b =
1,0. Assim:
25,0
1,0
20
0
25 12,5
1,x 

   35   1,x = 35
Dir. y: A excentricidade de 1a ordem nesta direção (e1y) é 10,0 cm, e os momentos fletores de 1a
ordem são M1d,A,y = M1d,B,y = 7.000 kN.cm, maiores que o momento fletor mínimo nesta direção (M1d,mín,y =
1.890,0 kN.cm), o que leva ao cálculo de b e de 1,y :
1,0
7000
7000
0,6 0,4
M
M
0,6 0,4
A
B
b     
28,1
1,0
40
10,0
25 12,5
1,y 

   35   1,y = 35
Desse modo:
x = 48,4 > 1,x  são consideradosos efeitos locais de 2ª ordem na direção x;
y = 24,2 < 1,y  não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y.
e) Momento de 2a ordem pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada




   
1d,mín
1d,A
2
e
d,tot b 1d,A d M
M
r
1
10
M .M N

, e M1d,A  M1d,mín
Força normal adimensional: 0,61
1,4
2,0
800
700
A . f
N
c cd
  d  
Dir. x:
Curvatura na direção x sujeita a momentos fletores de 2a ordem:
UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado
53
   
-1 -1 0,00025 cm
20
0,005
0,0002252 cm
20 0,61 0,5
0,005
h 0,50
0,005
r
1
  


 

A excentricidade máxima de 2a ordem na direção x é:
 
r
1
10
e
2
e
2x

0,0002252 1,77
10
2802
 cm
Md,tot,x = 1,0 . 1470,0 + 0,0002252 
10
280
700
2
2.705,9 kN.cm  M1d,mín,x = 1.470,0 kN.cm  ok!
Md,tot,x = 2.705,9 kN.cm
Dir. y: Nesta direção o pilar deve ser dimensionado para o máximo momento fletor que ocorre nas
extremidades do topo e da base, sem se acrescentar o momento mínimo.
Md,tot,y = 7.000,0 kN.cm  M1d,mín,y = 1.890,0 kN.cm  ok!
Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 51. A situação de projeto e as
situações de cálculo estão mostradas na Figura 52 e Figura 53.
7.000
M1d,A,y
OU
1.235,9
M1d,mín,y
1.470,0 1.890,0
M1d,mín,x
Dir. x Dir. y
M 2 d,máx,x
+
Figura 51 – Momentos fletores atuantes no pilar, nas direções x e y.
e = 10,00
S.P.
Nd
y
x
e = 10,00
x
Nd
y
2 s.c.
1y y
a
2,10
e 1x,mín
1 s.c. a
Nd
Figura 52 – Situação de projeto e situações de cálculo da seção de extremidade (base e topo do pilar).
A direção crítica do pilar é a direção x, correspondente à largura do pilar de seção retangular.
Geralmente é a direção que proporciona a armadura final do pilar, no entanto, neste caso, na direção y
(relativa ao comprimento do pilar) ocorre uma excentricidade com valor significativo (ey = 10,00 cm), e
UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado
54
que pode resultar na armadura final. O cálculo das armaduras para a 1a e 2a s.c. é que vai indicar a
armadura maior, a ser aplicada no pilar.
A excentricidade inicial na seção intermediária C é calculada com a Eq. 53, que corresponde à Eq.
49, em função da excentricidade inicial (e1y), nas extremidades submetidas aos momentos fletores de 1a
ordem (M1d,A e M1d,B):




1A
1A 1B
1C 0,4 e
0,6 e 0,4 e
e 




 
   

0,4 e 0,4 .10,00 4,00 cm
0,6 e 0,4 e 0,6 .10,00 0,4 .10,00 10,00 cm
e
1y,A
1y,A 1y,B
1y,C
 e1y,C = 10,00 cm
y e = 10,00 e = 10,00 1y,C
S.P.
x
Nd
y
Nd
Nd
1 s.c.
2,10
a
1x,mín e
1,77
2x e
e
3,87
x
2 s.c. a
Figura 53 – Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária.
Com  = 0,61 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta:
Dir. x:
 =
x c cd
d,tot,x
h . A . f
M
= 0,12
1,4
2,0
20 . 800
2705,9
 ou 0,12
20
3,87
0,61
h
e
x
   x  
x
x
h
d'
=
20
4,0
= 0,20  Ábaco A-29: ω = 0,20
Dir. y:
 =
y c cd
d,tot,y
h . A . f
M
= 
1,4
2,0
40 . 800
7000,0
0,15 ou 0,15
40
10,00
0,61
h
e
y
y
    
y
y
h
d'
=
40
4,0
= 0,10  Ábaco A-27: ω = 0,28
A armadura final resulta da maior taxa de armadura (ω = 0,28), relativa à 2a s.c., com
excentricidade na direção do comprimento do pilar.
As =
yd
c cd
f
 A f
= 7,36
1,15
50
1,4
2,0
0,28 . 800
 cm2__