1)1 Estágio

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologia - CCT
Cálculo III - UAMat
Professores: Marcelo e Marco Aurelio Peŕıodo 2017.1
14/05/2018
ALUNO(A): ——————————————————–
Prova de Primeiro Estágio
(1) (Valor 1,5) Encontre e esboce o domı́nio, e esboce as curvas de ńıvel das
seguintes funções
(a) f(x, y) =
√
4x2 − y;
(b) g(x, y) = 1√
x2+y2−1
.
(2) (Valor 2,5) Resolva os seguinte limites:
(a) lim
(x,y)→(0,0)
5xy2
x2 + y2
;
(b) lim
(x,y)→(1,0)
√
x cos y
x2 − y
;
(c) lim
(x,y)→(0,0)
2xy
x2 + y2
.
(3) (Valor 1,0) Encontre
∂z
∂x
implicitamente na equação yz+ez = x2+y. Calcule
∂z
∂x
(1, 0).
(4) (Valor 1,5) Mostre que a função g(s, t) = f(s2− t2, t2−s2), f com derivadas
parciais, satisfaz a equação: t
∂g
∂s
+ s
∂g
∂t
= 0 (para isto use a regra da cadeia
para x = s2 − t2 e y = t2 − s2);
(5) (Valor 1,0) Escreva a equação do plano tangente à superf́ıcie x2+y2−z2 = 1
no ponto Po(1, 1, 1).
(6) (Valor 1,0) Dê a direção no plano onde a função f(x, y) = x3 − 3 cos y + xy
cresce mais rápido a partir do ponto (−1, 0).
(7) (Valor 1,5) Ache os pontos cŕıticos das funções abaixo, classificando-os como
máximo local, mı́nimo local ou ponto de sela:
(a) f(x, y) = 3x2 + y2 + 12x− 2y − 1;
(b) g(x, y) = y2 − x2 − 2xy + 8x.
Boa Prova
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