CINEMATICA ANGULAR

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FÍSICA I
PRÉ-VESTIBULAR 267SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
10 CINEMÁTICA ANGULAR
GRANDEZAS ANGULARES
No estudo da cinemática angular, os conceitos fundamentais 
como espaço, velocidade e aceleração serão redefinidos para 
adaptação à realidade angular.
ESPAÇO ANGULAR (θ)
Suponha que o ponto P da figura a seguir esteja realizando um 
movimento circular. Sua posição pode ser determinada através do 
espaço S que ele percorreu.
Como se trata de um movimento circular, também podemos 
obter sua localização através do ângulo percorrido, que consiste no 
ângulo central da circunferência correspondente ao arco S.
As unidades do espaço angular serão as mesmas utilizadas 
na medição de ângulos, basicamente, graus e radianos. Será mais 
frequentemente encontrada e utilizada a unidade radiano (rad), 
pois se relaciona mais simplesmente com metros (m).
Radiano 
Um radiano é a medida do ângulo central θ, tal que determina 
sobre a circunferência um arco AB de comprimento igual ao raio da 
circunferência. 
Dessa forma, com base na figura abaixo, concluímos que o 
ângulo θ será igual a 1 rad caso o arco AB seja igual a R.
1rad R
S
=
∆θ ∆
O espaço angular pode ser obtido em função do espaço S, por 
uma expressão matemática. Sendo S o arco correspondente do 
ângulo ϕ e R o raio da circunferência, teremos:
�
S
R
ϕ =
 
Logo:
∆S = ∆θ · R
VELOCIDADE ANGULAR: MÉDIA (ΩM) E 
INSTANTÂNEA (Ω)
Na cinemática escalar definimos a velocidade média como 
sendo a variação do espaço angular sobre a variação do tempo. 
A velocidade angular média se refere à variação do ângulo central. 
Dessa forma, a velocidade angular média consiste em:
m t
∆θ
ω =
∆
Unidade no S.I.: rad/s
Ao fazer uma analogia com a cinemática escalar, veremos que 
a velocidade angular instantânea será dada pela fórmula:
m lim t
∆θ
ω =
∆t 0∆ →
Pode-se tirar uma relação que envolva a velocidade linear e a 
velocidade angular:
S Rv
t t
∆ ∆θ⋅
= =
∆ ∆
Como
 t
∆θ
ω =
∆
, teremos
v R= ω⋅
ACELERAÇÃO ANGULAR: MÉDIA (∆M) E 
INSTANTÂNEA (∆)
A aceleração angular média é definida como:
m t
∆ω
α =
∆
Unidade no S.I.: rad/s2
Já a aceleração angular instantânea, seguindo a regra, é dada por:
lim
t
∆ω
α =
∆
t 0∆ → 
Como pôde ser verificado, todas as grandezas angulares 
podem ser obtidas através dos valores das grandezas lineares, 
sendo que basta dividir essa pelo raio da circunferência.
PRÉ-VESTIBULAR268
FÍSICA I 10 CINEMÁTICA ANGULAR
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
Resumo das Relações
Grandeza Linear = Grandeza Angular x Raio
S = θ · r
V = ω · r
a = γ · r
PERÍODO (T) E FREQUÊNCIA (F)
A maioria dos problemas de movimento circular mencionam 
dois conceitos importantes: período e frequência. Certos 
fenômenos são chamados de periódicos, pois se repetem sempre 
em intervalos de tempo iguais. Em um movimento periódico, define-
se como período (T) o menor tempo para que esse fenômeno se 
repita. No caso mais específico do movimento circular, o período 
será o tempo necessário para que a partícula complete uma volta. 
A unidade do período, no SI, é o segundo (s).
o
tT
n de voltas
∆
=
A frequência (f) de um movimento consiste no número de 
vezes que um dado fenômeno ocorre em uma unidade de tempo. O 
valor da frequência depende da unidade de tempo escolhida. No SI, 
a unidade de frequência é o hertz (Hz), que é o inverso do segundo 
(s-1), e que no movimento circular também recebe a denominação 
de rps (rotações por segundo). Outra unidade muito utilizada é 
o rpm (rotações por minuto). Para a conversão de rpm para Hz 
podemos utilizar uma regra de três:
on de voltasf
t
=
∆
Nº DE VOLTAS TEMPO (s)
1 Hz 1
1 rpm 60
A relação entre período e frequência também pode ser obtida a 
partir de uma regra de três:
Nº DE VOLTAS TEMPO
1 T
f 1
f ⋅ T = 1 T = 1/f
Logo: 1f
T
=
A frequência é dada pelo inverso do período.
Para exemplificar período e frequência lembre-se do movimento 
de rotação do planeta Terra. A Terra leva em torno de 24 horas para 
completar 1 volta em torno do seu eixo, e repete periodicamente 
essa rotação. Logo o período de rotação da Terra é de 24 horas 
(T = 24 h) e a frequência é 1 volta a cada 24 horas ( 1(volta)f
24(horas)
= )
ACELERAÇÃO CENTRÍPETA
Para que um movimento circular possa existir é necessário 
que a direção da velocidade varie, isso é claro, pois se a direção 
permanecesse constante o movimento seria retilíneo. A aceleração 
centrípeta (direção radial apontando para o centro) provoca 
mudança na direção da velocidade, seu módulo é calculado por:
2
cp
va
R
=

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 
(MCU)
É todo movimento de trajetória circular em que o módulo da 
velocidade é constante, percorrendo arcos de comprimentos iguais 
e varrendo ângulos iguais em iguais intervalos de tempo.
V constante 0 e constante 0= ≠ ω = ≠

Direção do vetor velocidade: Sempre tangente à trajetória. 
Como todo movimento, o MCU possui a função horária do 
movimento que apresenta duas formas: linear e angular. A forma 
linear é a mesma da cinemática escalar:
S = S0 + V · t
Partindo desta expressão e dividindo cada termo pelo raio da 
circunferência, teremos a forma angular:
0
0
SS v t t
R R R
= + ⋅ → θ = θ + ω⋅
t
∆θ
ω =
∆ 
Existem expressões que relacionam a velocidade angular com o 
período e a frequência. A velocidade angular é dada pela expressão:
2
T
π
ω = e 2 fω = π⋅
Considerando uma volta completa, sabe-se que ∆θ = 2π em 
radianos, e o tempo (T) é o período.
PRÉ-VESTIBULAR
10 CINEMÁTICA ANGULAR
269
FÍSICA I
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Gráficos no MCU
Sinal de ω Gráfico de θ x t Gráfico de ω x t
Por convenção anti-horário: positivo 
� > 0
�
t
tg(�) = �
�
+ �
 �
t
Área = |��|
������
��
Por convenção sentido horário: negativo
� < 0
�
t
tg(�) = |�|
�����
�
 �
- �
t
Área = |��|
������
��
MOVIMENTO CIRCULAR 
UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V.)
O MCUV é um movimento circular cujo módulo da velocidade 
varia a uma taxa constante, essa variação é indicada pela 
aceleração tangencial. Não consiste em um movimento periódico 
e, dessa forma, os conceitos de período e frequência não podem 
ser aplicados. A aceleração resultante passa a ser a soma vetorial 
da aceleração tangencial e centrípeta.
As equações utilizadas podem ser obtidas ao se fazer uma 
analogia com a cinemática escalar, substituindo cada grandeza 
linear pela grandeza angular correspondente.
Exemplo:
0 0
(forma linear) (forma angular)
v v a t t= + ⋅ → ω = ω + α ⋅
2 2
0 0 0 0
at tS S v t t
2 2
α
= + + → θ = θ +ω +
2 2 2 2
0 0v v 2a S 2= + ∆ → ω = ω + α∆θ
TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO
ACOPLAMENTO TANGENCIAL
Em uma bicicleta, duas rodas dentadas são ligadas por 
uma corrente com o objetivo de que ambas possuam a mesma 
velocidade linear, isto é, que percorram arcos iguais em tempos 
iguais para o bom funcionamento da bicicleta. Na Física, 
chamamos este fenômeno de transmissão de movimento. Ele 
ocorre quando duas circunferências (rodas, discos, polias etc.) 
estão juntas ou ligadas por uma corrente ou correia. Em ambos 
os casos, exemplificados nas figuras a seguir, a velocidade linear é 
igual em todas as rodas interligadas.
Apesar das velocidades lineares serem iguais em módulo as 
velocidades angulares são diferentes, isso ocorre pois os raios dos 
discos são diferentes, veja abaixo a relação entre essas grandezas:
VA = VB
A A B BR Rω ⋅ = ω ⋅
Como 2 fω = π⋅ e 2
T
π
ω = , teremos:
A B
A B
R R
T T
= e A A B Bf R f R⋅ = ⋅
ACOPLAMENTO COAXIAL
Quando dois discos estão presos pelos seus centros, o 
movimento é transmitido de maneira sincronizada, com os dois 
executando as voltas simultaneamente, portanto:
A Bω = ω
A B
A B
A B
A B
f f
T T
V V
R R
=
=
=
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FÍSICA I 10 CINEMÁTICA ANGULAR
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
O funcionamento de uma bicicleta segue o princípio básico da 
transmissão de movimento entre duas polias. Este é o mesmo 
princípio do funcionamento de engrenagens dentadas, como 
as de uma máquina de relógio. Neste caso, a relação entre o 
raio e a frequência de girodeve ser considerada.
01. Duas polias, A e B ligadas por uma correia têm 20 cm e 5 
cm de raio, respectivamente. A polia A efetua 20 rpm. Assinale 
a alternativa que indica a frequência da polia B.
a) 40 rpm
b) 60 rpm
c) 80 rpm 
d) 120 rpm
e) 160 rpm
Resolução: C
Temos um acoplamento por polias
Dados: ƒA = 20 rpm; RA = 20 cm; RB = 5 cm
ƒA RA = ƒB RB
20 ⋅ 20 = ƒB ⋅ 5
ƒB 
20.20 400
5 5
= =
ƒB = 80 rpm
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. (UNICAMP) As máquinas cortadeiras e colheitadeiras de 
cana-de-açúcar podem substituir dezenas de trabalhadores 
rurais, o que pode alterar de forma significativa a relação de 
trabalho nas lavouras de cana-de-açúcar. A pá cortadeira 
da máquina ilustrada na figura abaixo gira em movimento 
circular uniforme a uma frequência de 300 rpm. A velocidade 
de um ponto extremo P da pá vale. (Considere π ≈ 3)
a) 9 m/s.
b) 15 m/s.
c) 18 m/s.
d) 60 m/s.
e) 120 m/s.
Resolução: C
Dados: � = 300 rpm = 5 Hz; �= 3; R = 60 cm = 0,6 m.
 ��60
 ��60
rpm Hz
 x�60
A velocidade linear do ponto P é:
V = ω ⋅ R = 2 π ƒ R → V = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 .⋅ 0,6
v = 18 m/s
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Um avião, antes de aterrissar no Aeroporto Internacional 
do Rio de Janeiro (Galeão), faz uma curva no ar, mostrando aos 
passageiros a bela vista da Cidade Maravilhosa. Suponha que essa 
curva seja um círculo de raio 3000 m e que a aeronave trace essa 
trajetória com velocidade de módulo constante igual a 432,0 km·h-1 
em relação ao solo.
Aplicando seus conhecimentos sobre aceleração centrípeta calcule 
a aceleração da aeronave, em relação ao solo, em m/s²
02. Considere um carro que viaja em trajetória retilínea. Cada pneu 
desse veículo tem raio de 0,3 metros e gira em uma frequência de 
900 rotações por minuto. Aplicando seus conhecimentos de M.C.U 
calcule a velocidade desse automóvel, aproximadamente.
(Dados: considere π = 3.)
03. Um disco, do tipo DVD, gira com movimento circular uniforme, 
realizando 60 rpm. Calcule a velocidade angular dele, em rad/s.
Resposta: ω = 2 · π rad/s
04. As engrenagens estão associadas conforme imagem abaixo:
Sendo RA = 1,5 RB = 2RC a relação entre os raios de A, B e C e 
ƒA = 300 rpm a frequência de A, calcule a frequência de B e C, em Hz. 
PRÉ-VESTIBULAR
10 CINEMÁTICA ANGULAR
271
FÍSICA I
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
05. O esquema abaixo representa uma bicicleta convencional.
Considere os raios de A, B e R, respectivamente, iguais a 15,0 cm, 
3,75 cm e 30 cm.
Sabendo que um ciclista gira o pedal uma vez a cada segundo 
aplique seus conhecimentos sobre transmissão de movimento e 
calcule a velocidade dessa bicicleta, em m/s.
(Dados: considere π = 3.)
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (ENEM) Na madrugada de 11 de março de 1978, partes de um 
foguete soviético reentraram na atmosfera acima da cidade do Rio 
de Janeiro e caíram no Oceano Atlântico. Foi um belo espetáculo, 
os inúmeros fragmentos entrando em ignição devido ao atrito com 
a atmosfera brilharam intensamente, enquanto “cortavam o céu”. 
Mas se a reentrada tivesse acontecido alguns minutos depois, 
teríamos uma tragédia, pois a queda seria na área urbana do Rio de 
Janeiro e não no oceano.
De acordo com os fatos relatados, a velocidade angular do foguete 
em relação à Terra no ponto de reentrada era
a) igual à da Terra e no mesmo sentido. 
b) superior à da Terra e no mesmo sentido. 
c) inferior à da Terra e no sentido oposto. 
d) igual à da Terra e no sentido oposto. 
e) superior à da Terra e no sentido oposto. 
02. (ENEM) Visando a melhoria estética de um veículo, o vendedor 
de uma loja sugere ao consumidor que ele troque as rodas de 
seu automóvel de aro 15 polegadas para aro 17 polegadas, o que 
corresponde a um diâmetro maior do conjunto roda e pneu.
Duas consequências provocadas por essa troca de aro são: 
a) Elevar a posição do centro de massa do veículo tornando-o 
mais instável e aumentar a velocidade do automóvel em 
relação à indicada no velocímetro. 
b) Abaixar a posição do centro de massa do veículo tornando-o 
mais instável e diminuir a velocidade do automóvel em relação 
à indicada no velocímetro. 
c) Elevar a posição do centro de massa do veículo tornando-o 
mais estável e aumentar a velocidade do automóvel em relação 
à indicada no velocímetro. 
d) Abaixar a posição do centro de massa do veículo tornando-o 
mais estável e diminuir a velocidade do automóvel em relação 
à indicada no velocímetro. 
e) Elevar a posição do centro de massa do veículo tornando-o 
mais estável e diminuir a velocidade do automóvel em relação 
à indicada no velocímetro. 
03. (ENEM) Um professor utiliza essa história em quadrinhos 
para discutir com os estudantes o movimento de satélites. Nesse 
sentido, pede a eles que analisem o movimento do coelhinho, 
considerando o módulo da velocidade constante.
Desprezando a existência de forças dissipativas, o vetor aceleração 
tangencial do coelhinho, no terceiro quadrinho, é 
a) nulo. 
b) paralelo à sua velocidade linear e no mesmo sentido. 
c) paralelo à sua velocidade linear e no sentido oposto. 
d) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido para o centro 
da Terra. 
e) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido para fora da 
superfície da Terra. 
04. (UFRGS) A figura apresenta esquematicamente o sistema de 
transmissão de uma bicicleta convencional.
PRÉ-VESTIBULAR272
FÍSICA I 10 CINEMÁTICA ANGULAR
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
Na bicicleta, a coroa A conecta-se à catraca B através da correia P. 
Por sua vez, B é ligada à roda traseira R, girando com ela quando o 
ciclista está pedalando.
Nesta situação, supondo que a bicicleta se move sem deslizar, as 
magnitudes das velocidades angulares, ωA, ωB, e ωR, são tais que
a) ωA < ωB = ωR
b) ωA = ωB < ωR
c) ωA = ωB = ωR
d) ωA < ωB < ωR
e) ωA > ωB = ωR
05. (ENEM) Para serrar ossos e carnes congeladas, um açougueiro 
utiliza uma serra de fita que possui três polias e um motor. O 
equipamento pode ser montado de duas formas diferentes, P e Q. 
Por questão de segurança, é necessário que a serra possua menor 
velocidade linear.
Por qual montagem o açougueiro deve optar e qual a justificativa 
desta opção? 
a) Q, pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais 
em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor 
frequência. 
b) Q, pois as polias 1 e 3 giram com frequências iguais e a que 
tiver maior raio terá menor velocidade linear em um ponto 
periférico. 
c) P, pois as polias 2 e 3 giram com frequências diferentes e a 
que tiver maior raio terá menor velocidade linear em um ponto 
periférico. 
d) P, pois as polias 1 e 2 giram com diferentes velocidades 
lineares em pontos periféricos e a que tiver menor raio terá 
maior frequência. 
e) Q, pois as polias 2 e 3 giram com diferentes velocidades 
lineares em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá 
menor frequência. 
06. (UNICAMP) As agências espaciais NASA (norte-americana) e 
ESA (europeia) desenvolvem um projeto para desviar a trajetória 
de um asteroide através da colisão com uma sonda especialmente 
enviada para esse fim. A previsão é que a sonda DART (do inglês, 
“Teste de Redirecionamento de Asteroides Duplos”) será lançada 
com a finalidade de se chocar, em 2022, com Didymoon, um pequeno 
asteroide que orbita um asteroide maior chamado Didymos. 
O asteroide satélite Didymoon descreve uma órbita circular em 
torno do asteroide principal Didymos. O raio da órbita é r = 1,6 km e 
o período é T = 12 h. A aceleração centrípeta do satélite vale
a) 8,0 × 10-1 km/h2
b) 4,0 × 10-1 km/h2
c) 3,125 × 10-1 km/h2
d) 6,667 × 10-2 km/h2
07. (UECE) Considere um carrossel que gira com velocidade 
angular tal que cada cavalo percorre duas voltas completas em 
4π/3 segundos. Assim, a velocidade angular do carrossel, em 
radianos/s, é 
a) 4/3 
b) 4π/3 
c) 2π/3 
d) 3 
08. (FUVEST) Em uma fábrica, um técnico deve medir a velocidade 
angular de uma polia girando. Ele apaga as luzes do ambiente e 
ilumina a peça somente com a luz de uma lâmpada estroboscópica, 
cuja frequênciapode ser continuamente variada e precisamente 
conhecida. A polia tem uma mancha branca na lateral. Ele observa 
que, quando a frequência de flashes é 9 Hz, a mancha na polia 
parece estar parada. Então aumenta vagarosamente a frequência 
do piscar da lâmpada e só quando esta atinge 12 Hz é que, 
novamente, a mancha na polia parece estar parada. Com base 
nessas observações, ele determina que a velocidade angular da 
polia, em rpm, é 
a) 2.160 
b) 1.260 
c) 309 
d) 180 
e) 36 
09. (UERJ) Em um equipamento industrial, duas engrenagens, 
A e B, giram 100 vezes por segundo e 6.000 vezes por minuto, 
respectivamente. O período da engrenagem A equivale a TA e o da 
engrenagem B, a TB. 
A razão A
B
T
T é igual a: 
a) 1
6
 b) 3
5
 c) 1 d) 6 
10. (UECE) Um disco, do tipo DVD, gira com movimento circular 
uniforme, realizando 30 rpm. A velocidade angular dele, em rad/s, é
a) 30
b) 2
c) π
d) 60π
11. (UFRGS) Em voos horizontais de aeromodelos, o peso do 
modelo é equilibrado pela força de sustentação para cima, 
resultante da ação do ar sobre as suas asas.
Um aeromodelo, preso a um fio, voa em um círculo horizontal de 
6 m de raio, executando uma volta completa a cada 4 s. 
Sua velocidade angular, em rad/s, e sua aceleração centrípeta, em 
m/s2, valem, respectivamente,
a) π e 6π2 
b) π/2 e 3π2/2
c) π/2 e π2/4
d) π/4 e π2/4
e) π/4 e π2/16
12. (UNICAMP) Anemômetros são instrumentos usados para 
medir a velocidade do vento. A sua construção mais conhecida é 
a proposta por Robinson em 1846, que consiste em um rotor com 
quatro conchas hemisféricas presas por hastes, conforme figura 
abaixo. Em um anemômetro de Robinson ideal, a velocidade do 
vento é dada pela velocidade linear das conchas. Um anemômetro 
em que a distância entre as conchas e o centro de rotação é 
r = 25 cm, em um dia cuja velocidade do vento é v = 18 km/h, teria 
uma frequência de rotação de
Se necessário, considere π ≈ 3.
a) 3 rpm 
b) 200 rpm 
c) 720 rpm 
d) 1200 rpm 
PRÉ-VESTIBULAR
10 CINEMÁTICA ANGULAR
273
FÍSICA I
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
13. (ESPCEX) Duas polias, A e B, ligadas por uma correia inextensível 
têm raios RA = 60 cm e RB = 20 cm, conforme o desenho abaixo. 
Admitindo que não haja escorregamento da correia e sabendo que 
a frequência da polia A é fA = 30 rpm, então a frequência da polia B é
 
a) 10 rpm 
b) 20 rpm 
c) 80 rpm 
d) 90 rpm 
e) 120 rpm 
14. (EEAR) Duas polias estão acopladas por uma correia que não 
desliza. Sabendo-se que o raio da polia menor é de 20 cm e sua 
frequência de rotação f1 é de 3.600 rpm, qual é a frequência de 
rotação f2 da polia maior, em rpm, cujo raio vale 50 cm? 
a) 9.000 
b) 7.200 
c) 1.440 
d) 720 
15. (ENEM) A invenção e o acoplamento entre engrenagens 
revolucionaram a ciência na época e propiciaram a invenção de várias 
tecnologias, como os relógios. Ao construir um pequeno cronômetro, 
um relojoeiro usa o sistema de engrenagens mostrado. De acordo 
com a figura, um motor é ligado ao eixo e movimenta as engrenagens 
fazendo o ponteiro girar. A frequência do motor é de 18 rpm, e o 
número de dentes das engrenagens está apresentado no quadro.
Engrenagem Dentes
A 24
B 72
C 36
D 108
A frequência de giro do ponteiro, em rpm, é 
a) 1
b) 2
c) 4
d) 81
e) 162
16. (MACKENZIE) 
As engrenagens A, B e C, de raios RA, RB e RC, acima desenhadas, 
fazem parte de um conjunto que funciona com um motor acoplado 
à engrenagem de raio RA = 20 cm, fazendo-a girar com frequência 
constante de 120 rpm, no sentido horário. Conhecendo-se o raio 
RB = 10 cm e RC = 25 cm, pode-se afirmar que no SI (Sistema 
Internacional de Unidades) a aceleração de um ponto da periferia 
da engrenagem C, tem módulo igual a
(Considere π2 = 10) 
a) 1,6 
b) 16,0 
c) 25,6 
d) 32,0 
e) 2560 
17. (UNESP) Um pequeno motor a pilha é utilizado para movimentar 
um carrinho de brinquedo. Um sistema de engrenagens transforma 
a velocidade de rotação desse motor na velocidade de rotação 
adequada às rodas do carrinho. Esse sistema é formado por quatro 
engrenagens, A, B, C e D, sendo que A está presa ao eixo do motor, B 
e C estão presas a um segundo eixo e D a um terceiro eixo, no qual 
também estão presas duas das quatro rodas do carrinho.
Nessas condições, quando o motor girar com frequência fM, as 
duas rodas do carrinho girarão com frequência fR. Sabendo que as 
engrenagens A e C possuem 8 dentes, que as engrenagens B e D 
possuem 24 dentes, que não há escorregamento entre elas e que 
fM = 13,5 Hz, é correto afirmar que fR, em Hz, é igual a
a) 1,5
b) 3,0
c) 2,0
d) 1,0
e) 2,5
18. (UNESP) A figura representa, de forma simplificada, parte de 
um sistema de engrenagens que tem a função de fazer girar duas 
hélices, H1 e H2. Um eixo ligado a um motor gira com velocidade 
angular constante e nele estão presas duas engrenagens, A e B. Esse 
eixo pode se movimentar horizontalmente assumindo a posição 1 
ou 2. Na posição 1, a engrenagem B acopla-se à engrenagem C e, 
na posição 2, a engrenagem A acopla-se à engrenagem D. Com 
as engrenagens B e C acopladas, a hélice H1 gira com velocidade 
angular constante ω1 e, com as engrenagens A e D acopladas, a 
hélice H2 gira com velocidade angular constante ω2.
 
Considere rA, rB, rC, e rD, os raios das engrenagens A, B, C e D, 
respectivamente. Sabendo que rB = 2 ⋅ rA e que rC, = rD, é correto 
afirmar que a relação 1
2
ω
ω
 é igual a
a) 1,0
b) 0,2
c) 0,5
d) 2,0
e) 2,2
PRÉ-VESTIBULAR274
FÍSICA I 10 CINEMÁTICA ANGULAR
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada 
dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no 
eixo da roda traseira, como mostra a figura.
O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada 
depende do tamanho relativo destas coroas. 
19. (ENEM) Em que opção a seguir a roda traseira dá o maior 
número de voltas por pedalada?
a)  d) 
b)  e) 
c) 
20. (ENEM)
Quando se dá uma pedalada na bicicleta da figura acima (isto é, 
quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual 
é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o 
comprimento de um círculo de raio R é igual a 2πR, onde π  3?
a) 1,2 m
b) 2,4 m
c) 7,2 m
d) 14,4 m
e) 48,0 m
APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UERJ) Para um teste, um piloto de caça é colocado em um 
dispositivo giratório. A partir de determinado instante, o dispositivo 
descreve um movimento circular e uniforme, com velocidade 
constante de 64,8 km/h. 
Admitindo que o raio da trajetória corresponde a 6 m, calcule, em 
m/s², o módulo da aceleração a que está submetido o piloto. 
02. (UERJ) Uma pequena pedra amarrada a uma das extremidades 
de um fio inextensível de 1 m de comprimento, preso a um galho de 
árvore pela outra extremidade, oscila sob ação do vento entre dois 
pontos equidistantes e próximos à vertical. Durante 10 s, observou-
se que a pedra foi de um extremo ao outro, retornando ao ponto de 
partida, 20 vezes.
Calcule a frequência de oscilação desse pêndulo. 
03. (UERJ) Dois móveis, A e B, percorrem uma pista circular em 
movimento uniforme. Os dois móveis partiram do mesmo ponto 
e no mesmo sentido com as velocidades de 1,5 rad/s e 3,0 rad/s, 
respectivamente; o móvel B, porém, partiu 4 segundos após o A.
Calcule o intervalo de tempo decorrido, após a partida de A, no qual 
o móvel B alcançou o móvel A pela primeira vez. 
04. (UFRJ) No dia 10 de setembro de 2008, foi inaugurado o mais 
potente acelerador de partículas já construído. O acelerador tem 
um anel, considerado nesta questão como circular, de 27 km de 
comprimento, no qual prótons são postos a girar em movimento 
uniforme.
Supondo que um dos prótons se mova em uma circunferência de 27 km 
de comprimento, com velocidade de módulo v = 240.000 km/s, 
calcule o número de voltas que esse próton dá no anel em uma hora. 
05. (UFPE) Uma bicicleta possui duas catracas, uma de raio 
6,0 cm, e outra de raio 4,5 cm. Um ciclista move-se comvelocidade 
uniforme de 12 km/h usando a catraca de 6,0 cm. Com o objetivo 
de aumentar a sua velocidade, o ciclista muda para a catraca de 
4,5 cm mantendo a mesma velocidade angular dos pedais.
Determine a velocidade final da bicicleta, em km/h.
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. B
02. A
03. A
04. A
05. A
06. B
07. D
08. A
09. C
10. C
11. B
12. B
13. D
14. C
15. B
16. C
17. A
18. D
19. A
20. C
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. aC = 54 m/s²
02. f = 2 Hz
03. t = 8 s
04. 32.000.000 voltas
05. 16 km/h
ANOTAÇÕES