Aula-8

Prévia do material em texto

3- Autovalores e Autovetores.
3.1- Autovetores e Autovalores de uma 
Matriz.
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores 
e Autovetores de uma Matriz.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Dada a matriz considere a transformação linear: 
onde e são vetores de um espaço n-dimensional.
Definição: Um vetor é dito ser autovetor da matriz 
se a transformação linear deste vetor é colinear a este vetor. Ou 
seja, se O escalar é chamado de autovalor da 
matriz correspondente ao autovetor .
Teorema: Toda transformação linear (matriz) em um espaço 
vetorial complexo tem, pelo menos, um autovetor (real ou 
complexo).
Note que esta equação tem solução diferentes 
da nula ( ) se e somente se, seu determinante é zero 
. Esta equação é chamada equação 
característica e o polinômio em definido por ela se chama 
polinômio característico. As raízes deste polinômio são os 
=y Axn n×A
yx
n n×A≠x 0
.n n λ× =A x x λ
n n×A x
( )n n λ× − =A E x 0≠x 0
det( ) ( )n n λ× − =A E 0 1 λ
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
autovalores da matriz e o conjunto de autovalores se 
chama espectro da matriz. As soluções não nulas de (1) para 
cada autovalor são os autovetores que correspondem a este 
autovalor .
Pode ser provado que o número linearmente independente de 
autovetores correspondentes a um autovalor não pode ser 
maior que a multiplicidade deste autovalor (raiz do polinômio 
característico). Consequentemente, se todos os autovalores são 
distintos (não tem multiplicidade), então a cada autovalor 
corresponde apenas um único autovetor, sendo as outras 
possíveis soluções de linearmente dependente 
deste único autovetor. 
Teorema: Os autovetores de uma matriz correspondentes a 
dois autovalores distintos são linearmente independente.
n n×A
( )n n iλ× − =A E x 0
iλ
( )n n iλ× − =A E x 0
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Corolário: Se todos os autovalores de uma matriz de ordem n
são diferentes, então os correspondentes autovetores desta 
matriz formam uma base no espaço n-dimensional.
Exemplo: Encontre os autovalores e autovetores da matriz
( )n n iλ× − =A E x 0
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A
2 1
1 2
Primeiro devemos encontrar os autovalores solução 
do polinômio característico: det( )n n λ× − =A E 0
det ( ) e 
λ λ λ λλ
−⎡ ⎤ = ⇒ − − = ⇒ = =⎢ ⎥−⎣ ⎦
2
1 2
2 1
0 2 1 0 1 3
1 2
Dados os autovalores, os autovetores devem ser encontrados 
subtituindo cada autovalor na equação:
Para segue ou onde
0 é uma constante arbitrária. O autovetor correspondente a 
x
x x x x
x
x c
λ
λ
⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⇒ + = = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ≠ x
1
1 1 2 2 1
2
1
1 1
1 1
1 0 0
1 1
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Note que e são linearmente independente e formam uma 
base no espaço vetorial bidimensional. 
Duas matrizes são dita ser similares se elas pode ser obtidas a 
partir da outra, através de uma transformação efetuada por 
alguma matriz não singular. 
é se .
c
c c
c
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦x
1 1 1 1
1 1
Para segue ou onde
0 é uma constante arbitrária. O autovetor correspondente a 
é se .
x
x x x x
x
x c
c
c c
c
λ
λ
− ⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⇒ − = =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ≠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x
x
1
2 1 2 2 1
2
2
1 2
2
1 1
3 0 0
1 1
1 1
1
1 1
x1 x2
1 1 , onde det( ) 0− −= ⇔ = ≠A BS S A SBS S
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Teorema: Matrizes similares possuem o mesmo polinômio 
característico.
Corolário: Matrizes similares possuem os mesmos autovalores 
incluindo a multiplicidade deles.
Corolário: Um vetor é autovetor de uma transformação linear 
independentemente da escolha da base.
Teorema: Se uma matriz quadrada de ordem n tem n
autovetores linearmente independente, então escolhendo estes 
autovetores como base obtemos uma matriz diagonal similar à
matriz .
Corolário: Toda matriz quadrada com autovalores distintos 
pode ser reduzida a uma matriz diagonal através da 
transformação de similaridade.
n n×A
n n×A
λ
λ
λ
×
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Λ
1
3 3 2
3
0 0
0 0
0 0
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Exemplo: Reduza a matriz a sua forma diagonal.⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A
2 1
1 2
Já conhecemos os autovalores e autovetores desta matriz.
As matrizes e são similares se existe uma matriz tal que
 λ λ
λ λ
⎡ ⎤= → = → =⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤= → = → =⎢ ⎥⎣ ⎦
x Ax x
x Ax x
1 1 1
1 1
2 2 2
2 2
1
1
1
1
3
1
 é similar a 
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦AΛ
1 0
0 3
2 1
1 2
, onde det( ) . 
Construa com os autovetores de , det
e .
− −
− −
= ⇔ = ≠
⎡ ⎤= ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−
−
A SΛS Λ S AS S
S A S S
S AS S AS Λ
1 1
1 1
1
0
1
2
1
1 3 1 01
1 1 1 3 0 32
1
1 1
A Λ S
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Chamamos forma bi-linear da matriz real quadrada ao 
produto escalar:
Corolário: Se é real e simétrica ( ), então
Teorema: Todos os autovalores de uma matriz real simétrica 
são reais.
Ou seja, as raízes da equação característica de uma matriz real 
simétrica são todas reais.
Teorema: Os autovetores correspondentes a distintos 
autovalores de uma matriz real simétrica são ortogonais entre si 
mesmos.
( ) * *
1 11 1
ao espaço complexo
, , ,
 dimensional
n n n
j j kj j k
j j k
n
n n k k
k
y a x
n
a yx×
== = =
⎧= = ∈⎨⎩∑ ∑∑∑ x yA x y
n n×A
n n×A = TA A
( ) ( ), , .n n n n× ×=A x y x A y
( ), , onde , e i j i ji j i jλ λ λ λ= → → ≠x x x x0
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Os autovetores de uma matriz real simétrica podem ser 
assumidos reais.
Teorema: Toda matriz real simétrica pode ser reduzida a sua 
forma diagonal através de transformações de similaridade.
Corolário: Para toda transformação linear definida por uma 
matriz real simétrica existe uma base ortogonal na qual a matriz 
de transformação é diagonal.
Note que a base ortogonal é formada pelos auovetores da 
matriz e que todos são reais.
Corolário: Se a matriz é simétrica, então a todo autovalor está
associado um número de autovetores linearmente independente 
igual à multiplicidade deste autovalor.
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Teorema (propriedade extremal dos autovalores): Seja 
uma matriz real simétrica e todos seus autovalores 
Seja , então para 
todo vetor se verifica:
Corolário: O menor e o maior autovalor de uma matriz real 
simétrica , são respectivamente o menor e maior valor da 
forma quadrática na esfera unitária .
Uma matriz real simétrica é chamada positiva definida se sua 
correspondente forma quadrática é positiva definida. Isto é,
Teorema: Uma matriz real simétrica é definida positiva se e 
somente se todos seus autovalores são positivos.
n n×A
, , , .nλ λ λ1 2 "
min( , , , ) e max( , , , )m n M nλ λ λ λ λ λ λ λ= =1 2 1 2" "
x ( ) ( ) ( )., , ,m n n Mλ λ×≤ ≤x x A x x x x
( ), =x x 1( ),n nu ×= A x xn n×
A
( ) *se , , .n nn n ij i j
i j
u a x x×
= =
∀ ≠ = = >∑∑x 0 A x x
1 1
0
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Para uma matriz real quadrada de ordem n os coeficientes do 
polinômio característico são reais. Em geral, as raízes 
(autovalores) deste polinômio são conjugados em pares, se eles 
são complexos. Ou seja, dado um autovalor seuconjugado é
também autovalor da matriz com a mesma multiplicidade.
Pode ser que uma matriz real quadrada não tenha nenhum 
autovalor real. Entretanto, se todos os elementos da matriz são 
positivos , então existe pelo menos um autovalor real (o 
maior numericamente) e o autovetor associado a ele é formado 
por coordenadas positivas.
A seguir, métodos para encontrar autovalores e autovetores!
, , , nλ λ λ1 2 "
ija > 0
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e 
Autovetores de uma Matriz
Dividimos o problema em duas partes:
1- Encontrar os autovalores de uma matriz consiste em 
determinar as raízes do polinômio característico:
2- Encontrar os autovetores associados a cada autovalor 
consiste em determinar os vetores que são solução do 
sistema linear homogêneo:
Abordaremos duas técnicas para resolver a primeira parte:
1.1- expandir o determinante em 
polinômios de grau n e encontramos suas raízes usando algum 
método aproximado,
≠x 0
n n×A
det( ) .n n λ× − =A E 0
( ) .n n iλ× − =A E x 0
( ) det( )n n nP λ λ×= − =A E 0
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e 
Autovetores de uma Matriz
1.2- aproximar as raízes da equação característica pelo Método 
da Iteração sem expandir o determinante.
Técnica 1.1- Expansão do determinante em polinômios
Determinar os coeficientes é equivalente a calcular 
determinantes de varias ordens, que é uma tarefa trabalhosa 
quando n é grande. Existem métodos (Danilevsky, Krylov, 
Leverrier, etc) que contornam o calculo destes determinantes. O 
método de Danilevsky exige menos operações aritméticas.
( )
( )
( ) det( )
( )
n
n
n n n
n n nn
a a a
a a a
P
a a a
λ
λλ λ
λ
×
−
−= − = =
−
A E
11 12 1
21 22 2
1 2
0
"
"
" " " "
"
( ) ( ) ( )n n n n n n n nn nP λ λ σ λ σ λ σ λ σ λ− − − −⎡ ⎤= − − + − + + − =⎣ ⎦1 2 31 2 31 1 0"
iσ
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e 
Autovetores de uma Matriz
Técnica 1.2- Encontrar aproximadamente o maior autovalor 
em valor absoluto e seu autovetor sem expandir o 
determinante
Caso 1. Entre todos os autovalores existe apenas um (sem 
multiplicidade) com maior valor absoluto. Suponha que é o 
primeiro: . Lembre que para uma matriz 
real com todos os elementos positivos seu maior autovalor é
real.
Seja um vetor arbitrário representado como combinação 
linear da base formada pelos autovetores da matriz :
nλ λ λ λ> ≥ ≥ ≥1 2 3 "
, onde , , , são autovetores de 
e são coeficientes constantes.
n
j n
j n n
j
j
c
c
×
=
= ∑y x x x x A1 2
1
"
y
n n×A
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e 
Autovetores de uma Matriz
Já que segue
Chamamos de uma iteração do vetor e formamos uma 
sucessão de iterações , onde
Escolha uma base (não necessariamente unitária) e 
descomponha os autovetores de e o vetor nesta base: 
.
n n
j j
n n j j j
j j
c c λ×
= =
= =∑ ∑A y Ax x
1 1
( ) jn n jλ× − =A E x 0
Ay y
, , , , m=Ay AAy A y A y A y2 3 "
.
n
m m m j
j j
j
c λ
=
= =∑y A y x
1
, , , ne e e1 2 "
A y
 e logo, 
 e 
similarmente temos e construimos .
j
n n
j i m m i
ij i
i i
n n n n n
m m i i m m m
j j ij j ij j i j ij j
j i i j j
mn
m m i
i j ij j m
j i
x y
c x c x y c x
yy c x
y
λ λ λ
λ
= =
= = = = =
+
+ +
=
= =
= = =
=
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
x
x e y e
y e e
1 1
1 1 1 1 1
1
1 1
1
�	
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e 
Autovetores de uma Matriz
Se e podemos transformar a expressão anterior na 
forma:
n
m
j ij jm m m
ji i n in n
nm m m
mi i n in n
j ij j
j
c x
y c x c x
y c x c xc x
λ λ λ
λ λλ
+
+ + +=
=
+ += = + +
∑
∑
1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1
"
"
c ≠1 0 ix ≠1 0
N
m m
n
i i n inm m
i
m mm m
i n
i i n in
c x c x c x
y
y
c x c x c xλ
λλ
λ λλ
λ λλ
λ λ
+
+
=
+
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1
1 1
2
1 1 2 21 1
1 11
1 2
1 1 2 2
1 1
"
"
m m
i n in n
m
i ii
m mm
i i n in n
i i
c x c x
c x c xy
y c x c x
c x c x
λλ
λ λλ λλ
λ λ
+ +
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1
2 2 2
1
1 1 1 1 1 1
1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1
1
"
"
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e 
Autovetores de uma Matriz
Note que para garantir que e é suficiente fazer uma 
escolha apropriada do vetor e da base . Note que 
Consequentemente, se passamos ao limite no processo 
iterativo obtemos:
, , , ne e e1 2 "y
c ≠1 0 ix ≠1 0
 já que e o maior autovalor de . Logo lim .
m
j j
m
j
λ λλλ λ→∞
⎛ ⎞< ∀ > =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
A1
1 1
1 1 0
lim lim ,
m m
i n in n
m
i ii
m mmm m
i i n in n
i i
c x c x
c x c xy
y c x c x
c x c x
λλ
λ λλ λλ
λ λ
λ
+ +
+
→∞ →∞
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
1 1
2 2 2
1
1 1 1 1 1 1
1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1
1
1
"
"
ou ( , , , ). ( )
mm m
i i
m m
i i
y yO i n
y y
λλ λλ
+ +⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= + ≈ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
1 1
2
1 1
1
1 2 2"
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e 
Autovetores de uma Matriz
Se o número de iterações m é suficientemente grande, o 
processo iterativo (2) proporciona o autovalor de maior valor 
absoluto da matriz , com a precisão desejada. Para fazer isto 
devemos escolher o vetor inicial . 
Nos casos que a escolha de não é adequada o processo 
iterativo (2) pode não convergir. Esta não convergência pode 
ser observada quando os valores do cociente oscilam. Neste 
caso devemos fazer uma nova escolha do vetor inicial .
Note que o autovetor associado ao autovalor é
aproximadamente , já que
A
y
y
y
x1 λ1m m≈ =x y A y1
m
n n n
j jm m j m m j m j
j j j j
j j j
c
c c c c
c
λλ λ λ λ λ= = =
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= = + = + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑ ∑A y x x x x x1 11 1 1 1
1 2 2 1 1
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e 
Autovetores de uma Matriz
Como , consequentemente . 
Ou seja, para uma iteração m suficientemente grande se 
diferencia do autovetor apenas por um fator (são paralelos). 
Lembrando o Corolário: Um vetor é autovetor de uma 
transformação linear independentemente da escolha da base.
Exemplo: Encontre o maior autovalor e seu autovetor da matriz?
Feito com Excel
x1
mA y
m mc λ≈A y x11 1lim 
m
j
m
j
λ
λ→∞
⎛ ⎞ = ∀ >⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠1
0 1
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A
2 1
1 2
Frase do Dia
“Since a general solution must be judged 
impossible from want of analysis, we must 
be content with the knowledge of some 
special cases, and that all the more, since 
the development of various cases seems to 
be the only way to bringing us at last to a 
more perfect knowledge.”
Leonhard Euler