lista4-3

Prévia do material em texto

Álgebra Linear Aplicada - 4a lista de exerćıcios
Prof. - Juliana Coelho
1 - Considere as transformações lineares abaixo:
T1 : R2 → R2
(x, y) 7→ (3x− y, 2x + y)
T2 : R2 → R3
(x, y) 7→ (x + 2y,−x, 2y)
T3 : R3 → R2
(x, y, z) 7→ (x− z, 2x + y)
T4 : R3 → R3
(x, y, z) 7→ (x + y + 2z, x + 2y + z, x + 3z)
(a) Encontre as matrizes canônicas destas transformações.
(b) Encontre as composições T2 ◦ T1, T1 ◦ T1, T3 ◦ T2 e T1 ◦ T3 ◦ T2.
(c) Os operadores lineares T1 e T4 são injetoras?
(d) Ache as inversas dos operadores T1 e T4, se eles forem inverśıveis.
2 - Encontre a mattiz canônica do operador linear de R2 dado pela composição de oper-
adores:
(a) Uma rotação de 90◦ seguida de uma reflexão em torno da reta x = y;
(b) Uma projeção sobre o eixo y seguida de uma contração por k = 1/3;
(c) Uma reflexão em torno do eixo x seguida de uma rotação de 30◦.
3 - Encontre o operador linear de R2 que faz a projeção sobre a reta de equação 3x−2y = 0.
4 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais,
explicitando a falha em alguma das propriedades.
(a) V = R2 com operações
{
(x, y)⊕ (x′, y′) = (x− x′, y − y′)
k ¯ (x, y) = (kx, ky) ;
(b) V = R2 com operações
{
(x, y)⊕ (x′, y′) = (x + x′, y + y′)
k ¯ (x, y) = (k + x, k + y) ;
(c) V = R3 com operações
{
(x, y, z)⊕ (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, 0)
k ¯ (x, y, z) = (kx, ky, 0) ;
(d) V = M2×2 com operações
{
A⊕ A′ = A · A′
k ¯ A = kA , onde A e A
′ são matrizes 2× 2;
1
(e) V = {(x, y) ∈ R2 | y = x2} com as operações
{
(x, y)⊕ (x′, y′) = (x + x′, y + y′)
k ¯ (x, y) = (kx, ky) ,
isto é, as operações usuais do R2.
5 - Considere o conjunto V = {(x, y) ∈ R2 | y = x2} com as operações
(x, y)⊕ (x′, y′) = (x + x′, y + y′ + 2xx′) e k ¯ (x, y) = (kx, k2y),
onde (x, y), (x′, y′) ∈ V e k ∈ R. O objetivo deste exerćıcio é mostrar que V é um espaço
vetorial com estas operações.
(a) (Propriedade EV3) Verifique (0, 0) está em V e satisfaz (x, y) ⊕ (0, 0) = (x, y) para
todo (x, y) ∈ V . Isso mostra que (0, 0) é o elemento neutro de V .
(b) (Propriedade EV4) Dado um vetor (x, y) ∈ V , verifique que (−x, y) está em V e que
(x, y)⊕ (−x, y) = (0, 0). Isso mostra que (−x, y) é o inverso aditivo de (x, y).
(Você precisará usar o fato de que (x, y) ∈ V e logo y = x2.)
(c) (Propriedade EV6) Dados (x, y) ∈ V e k, l ∈ R mostre que
(k + l)¯ (x, y) = (k ¯ (x, y))⊕ (l ¯ (x, y)).
(Aqui também você precisará usar o fato de que para (x, y) ∈ V temos y = x2.)
(d) Mostre que as propriedades EV1, EV2, EV5, EV7 e EV8 são válidas e conclua que V
é um espaço vetorial com as operações dadas.
6 - Determine se os conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial V
dado, onde V é considerado com suas operações usuais.
(a) V = R2 e W = {(x, y) ∈ R2 |x + 2y = 3};
(b) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3 |x = 3y, z = −y};
(c) V = M2×2 e W = {A ∈ M2×2 |A é matriz simétrica};
(Lembre que Mm×n é o espaço vetorial das matrizes de ordem m× n.)
(d) V = R2 e W = {(x, y) ∈ R2 | y = x2};
(e) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3 |x + y + z ≥ −1};
(f) V = P3 e W = {a3x3 + a2x2 + a1x + a0 ∈ P3 | a2 = 1};
(Lembre que Pn é o espaço vetorial dos polinômios com grau ≤ n.)
(g) V = P2 e W = {p(x) ∈ P2 | p(1) = 0};
(h) V = P2 e W = {p(x) ∈ P2 | p(0) = 1};
2
(i) V = M2×2 e W = {A ∈ M2×2 |A é inverśıvel}.
7 - Em cada caso abaixo determine se:
(a) v = (1, 2) é combinação linear dos vetores v1 = (0, 3) e v2 = (1, 1) em R2;
(b) v = (−1, 5, 2) é combinação linear dos vetores v1 = (0, 1, 1) e v2 = (1, 2, 0) em R3;
(c) v = (−1, 5, 2) é combinação linear dos vetores v1 = (0, 1, 1) e v2 = (−1, 3, 0) em R3;
(d) v = (−1, 5, 2) é combinação linear dos vetores v1 = (0, 1, 1), v2 = (−1, 3, 0) e v3 =
(1, 2, 0) em R3;
(e) v =
( −1 3
2 −1
)
é combinação linear dos vetores v1 =
(
1 1
1 1
)
, v2 =
(
0 1
3 1
)
e
v3 =
( −1 3
0 4
)
em M2×2;
(f) v = x2 − x− 2 é combinação linear dos vetores v1 = x2 + x e v2 = x + 1 em P2;
(g) v = −x2 + 2x + 3 é combinação linear dos vetores v1 = x2 + x e v2 = x + 1 em P2.
8 - Determine os seguintes subespaços vetoriais de V :
(a) W = 〈(2, 3)〉 subespaço de V = R2;
(b) W = 〈(2, 3), (1, 2), (1, 1)〉 subespaço de V = R2;
(c) W = 〈(0, 1, 1), (−1, 3, 0)〉 subespaço de V = R3; (Compare com o exerćıcio 7 (c).)
(d) W = 〈(0, 1, 1), (−1, 3, 0), (−1, 5, 2)〉 subespaço de V = R3; (Compare com o item
anterior e com o exerćıcio 7 (c).)
(e) W = 〈(1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1), (−2, 1, 4, 7)〉 subespaço de V = R4;
(f) W = 〈x2 + x, x + 1〉 subespaço de V = P2; (Compare com os exerćıcios 7 (f) e (g).)
(g) W = 〈x2 + x + 1, x + 1, x− 1〉 subespaço de V = P2;
(h) W =
〈(
1 1
1 1
)
,
( −1 3
0 4
)
,
(
0 4
1 5
)
,
(
0 2
3 0
)〉
subespaço de V = M2×2.
9 - Determine se os conjuntos abaixo são linearmente dependentes ou independentes:
(a) {(1, 0, 1), (0, 1, 3)} vetores de R3;
(b) {(62,−17), (21 · 10318, 3π)} vetores de R2;
3
(c) {x2 + 3x− 1, 2x2 − x, x2 − 4x + 1} vetores de P2;
(d)
{(
1 2 3
2 0 −1
)
,
(
0 1 −2
1 1 0
)
,
(
2 1 0
−2 3 1
)
,
(
3 2 5
−1 2 0
)}
vetores de M2×3;
(e) {(−1, 5, 2), (0, 1, 1), (1, 2, 0)} vetores de R3;
(f) {(−1, 5, 2), (0, 1, 1), (−1, 3, 0)} vetores de R3. (Compare com o exerćıcio 4 (c).)
10 - Seja V um espaço vetorial e sejam u, v, w vetores de V . Suponha que u é combinação
linear de v e w. Responda os itens abaixo justificando sua resposta:
(a) {u, v, w} é um conjunto linearmente independente?
(b) u pertence ao subespaço 〈v, w〉?
(c) 3u pertence ao subespaço 〈v, w〉?
(d) v − 3u + 2w pertence ao subespaço 〈v, w〉?
(e) supondo que v e w são linearmente independentes e que u = v + 2w, então u pertence
ao subespaço 〈v − 3u + 2w, w〉?
(f) supondo que v e w são linearmente independentes e que u =
1
3
v+2w, então u pertence
ao subespaço 〈v − 3u + 2w, w〉?
4
Gabarito:
1a QUESTÃO:
(a) As matrizes canônicas são
A1 =
(
3 −1
2 1
)
A2 =


1 2
−1 0
0 2


A3 =
(
1 0 −1
2 1 0
)
A4 =


1 1 2
1 2 1
1 0 3

 .
(b) A composição T2 ◦ T1 tem matriz canônica
A2 · A1 =


1 2
−1 0
0 2


(
3 −1
2 1
)
=


7 1
−3 1
4 2


e portanto é dada por
T2 ◦ T1 : R2 → R3
(x, y) 7→ (7x + y,−3x + y, 4x + 2y).
A composição T1 ◦ T1 tem matriz canônica
A1 · A1 =
(
3 −1
2 1
)(
3 −1
2 1
)
=
(
7 −4
8 −1
)
e portanto é dada por
T1 ◦ T1 : R2 → R2
(x, y) 7→ (7x− 4y, 8x− y).
A composição T3 ◦ T2 tem matriz canônica
A3 · A2 =
(
1 0 −1
2 1 0
) 

1 2
−1 0
0 2

 =
(
1 0
1 4
)
e portanto é dada por
T3 ◦ T2 : R2 → R2
(x, y) 7→ (x, x + 4y).
5
A composição T1 ◦ T3 ◦ T2 tem matriz canônica
A1 · A3 · A2 =
(
3 −1
2 1
)(
1 0 −1
2 1 0
) 

1 2
−1 0
0 2

 .
Como já calculamos A3 · A2 no item anterior, temos que
A1 · A3 · A2 =
(
3 −1
2 1
)(
1 0
1 4
)
=
(
2 −4
3 4
)
e portanto é dada por
T3 ◦ T2 : R2 → R2
(x, y) 7→ (2x− 4y, 3x + 4y).
(c) Para descobrir se os operadores T1 e T4 são injetores temos que saber se as matrizes
canônicas A1 e A4 são inverśıveis e para isso basta calcular seus determinantes:
det(A1) = 5 e det(A4) = 0.
Assim, como det(A1) 6= 0 vemos que A1 e inverśıvel e portanto T1 é injetor. Além
disso, como det(A4) = 0, então A4 não é inverśıvel e T4 não é injetor.
(d) O operador T1 é inverśıvel, pois sua matriz canônica A1 é inverśıvel. Como
A−11 =
1
det(A1)
(
1 1
−2 3
)
=
(
1/5 1/5
−2/5 3/5
)
então o operador inverso de T1 é
T−11 : R2 → R2
(x, y) 7→
(
x + y
5
,
−2x + 3y
5
)
.
O operador T4 não é inverśıvel pois sua matriz canônica A4 não é inverśıvel.
2a QUESTÃO:
(a) A matriz canônica do operador T que dá a rotação com ângulo de 90◦ é
A =
(
cos(90◦) −sen(90◦)
sen(90◦) cos(90◦)
)
=
(
0 −1
1 0
)
e a matriz canônica do operador S que dá a reflexão em torno da reta x = y é
B =
(
0 1
1 0
)
.
Portanto a composição pedida S ◦ T é
BA =
(
1 0
0 −1
)
.
(Pela matriz canônica, vemos que esta composição é a reflexão em torno do eixo x.)
6
(b) A matrizcanônica do operador T que dá a projeção sobre o eixo y é
A =
(
0 0
0 1
)
e a matriz canônica do operador S que dá a contração por k = 1/3 é
B =
(
1/3 0
0 1/3
)
.
Portanto a composição pedida S ◦ T é
BA =
(
0 0
0 1/3
)
.
(c) A matriz canônica do operador T que dá a reflexão em torno do eixo x é
A =
(
1 0
0 −1
)
e a matriz canônica do operador S que dá a rotação com ângulo de 30◦ é
B =
(
cos(30◦) −sen(30◦)
sen(30◦) cos(30◦)
)
=
( √
3/2 −1/2
1/2
√
3/2
)
Portanto a composição pedida S ◦ T é
BA =
( √
3/2 1/2
1/2 −√3/2
)
.
3a QUESTÃO: Para encontrar este operador temos que fazer a projeção de um vetor
w = (x, y) qualquer de R2 sobre a reta. Ora, fazer a projeção sobre a reta é o mesmo que
fazer a projeção sobre um vetor que dá a direção da reta. Como esta reta tem equação
Cartesiana 3x − 2y = 0 então tem como vetor normal n = (3,−2) e logo tem como vetor
direção v = (2, 3). Assim temos que calcular a projeção de w sobre v:
projv(w) =
(w · v
v · v
)
v =
(
2x + 3y
4 + 9
)
(2, 3) =
(
4x + 6y
13
,
6x + 9y
13
)
.
Portanto o operador de R2 procurado é
T : R2 → R2
(x, y) 7→
(
4x + 6y
13
,
6x + 9y
13
)
.
4a QUESTÃO:
7
(a) EV1 falha pois temos (x, y)⊕ (x′, y′) 6= (x′, y′)⊕ (x, y) em geral;
(b) EV8 falha pois 1 ¯ (x, y) = (1 + x, 1 + y) 6= (x, y). Além disso, as propriedades EV5,
EV6 e EV7 também falham;
(c) EV3 falha pois não existe elemento nulo, já que após qualquer soma a terceira coorde-
nada do vetor é zero;
(d) EV1 falha pois o produto de matrizes não é comutativo, isto é, A · A′ 6= A′ · A.
Vejamos que EV4 também falha. Para isso note primeiro que EV3 funciona, isto é,
existe um elemento nulo para a operação ⊕, já que I =
(
1 0
0 1
)
é tal que
A⊕ I = A · I = A e I ⊕ A = I · A = A.
Agora, como nem toda matriz é inverśıvel, isto é, dado A ∈ M2×2, nem sempre existe
uma matriz inversa A−1 tal que A · A−1 = I, vemos que nem sempre existe o inverso
aditivo de elementos de V com respeito a ⊕. Assim a propriedade EV4 falha.
(e) EV4 falha já que o inverso aditivo de um vetor (x, y) ∈ V deveria ser (−x,−y), que
não pertence a V .
5a QUESTÃO:
(a) É óbvio que (0, 0) está em V já que 02 = 0. Além disso, temos
(x, y)⊕ (0, 0) = (x + 0, y + 0 + 2 · x · 0) = (x, y);
(b) Dado (x, y) ∈ V temos que y = x2 por definição. Deste modo, vemos que (−x, y)
também está em V pois (−x)2 = x2 = y. Além disso, temos
(x, y)⊕ (−x, y) = (x− x, y + y + 2 · x · (−x))
= (0, 2y − 2x2)
= (0, 2(y − x2))
= (0, 0), pois y = x2.
(c) Para (x, y) ∈ V e k, l ∈ R temos
(k + l)¯ (x, y) = ((k + l)x, (k + l)2y)
= ((k + l)x, (k2 + l2 + 2kl)y)
e por outro lado, temos
(k ¯ (x, y))⊕ (l ¯ (x, y)) = (kx, k2y)⊕ (lx, l2y)
= (kx + lx, k2y + l2y + 2 · (kx) · (lx))
= ((k + l)x, k2y + l2y + 2klx2)
= ((k + l)x, k2y + l2y + 2kly), pois x2 = y
= ((k + l)x, (k2 + l2 + 2kl)y).
Assim vemos que (k + l)¯ (x, y) = (k ¯ (x, y))⊕ (l ¯ (x, y)).
8
(d) Para a (EV1) temos
(x, y)⊕ (x′, y′) = (x + x′, y + y′ + 2xx′) = (x′ + x, y′ + y + 2x′x) = (x′, y′)⊕ (x, y).
Para a (EV2) temos
(x, y)⊕ ((x′, y′)⊕ (x′′, y′′)) = (x, y)⊕ (x′ + x′′, y′ + y′′ + 2x′x′′)
= (x + x′ + x′′, y + y′ + y′′ + 2x′x′′ + 2xx′ + 2xx′′), e
((x, y)⊕ (x′, y′))⊕ (x′′, y′′) = (x + x′, y + y′ + 2xx′)⊕ (x′′, y′′)
= (x + x′ + x′′, y + y′ + y′′ + 2x′x′′ + 2xx′ + 2xx′′).
Para a (EV5) temos
k ¯ ((x, y)⊕ (x′, y′)) = k ¯ (x + x′, y + y′ + 2xx′)
= (k(x + x′′), k2(y + y′ + 2xx′)), e
(k ¯ (x, y))⊕ (k ¯ (x′, y′)) = (kx, k2y)⊕ (kx′, k2y′)
= (kx + kx′, k2y + k2y′ + 2(kx)(kx′))
= (k(x + x′), k2(y + y′ + 2xx′)).
Para a (EV7) temos
(kl)¯ (x, y) = (klx, (kl)2y)
= (klx, k2l2y), e
k ¯ (l ¯ (x, y)) = k ¯ (lx, l2y)
= (klx, k2l2y).
Para a (EV8) temos
1¯ (x, y) = (1 · x, 12 · y) = (x, y).
6a QUESTÃO:
(a) W não é subespaço linear de V pois o elemento nulo de V que é (0, 0) não está em W ;
(b) W é subespaço linear de V , pois é o conjunto solução de um sistema linear, a saber o
sistema {
x −3y = 0
y +z = 0
Outra forma de ver que W é subespaço de V é escrever W como
W = {(3t, t,−t) | t ∈ R}.
Assim, tomamos dois vetores de W , digamos w0 = (3t0, t0,−t0) e w1 = (3t1, t1,−t1) e
um escalar k ∈ R. Temos que:
* com t = 0 vemos que o elemento nulo (0, 0, 0) de V está em W ;
* w0 + w1 = (3(t0 + t1), t0 + t1,−(t0 + t1)) está em W com t = t0 + t1;
* k · w0 = (3(kt0), kt0,−kt0) está em W com t = kt0.
9
(c) W é subespaço vetorial de V . De fato, note primeiro que as matrizes simétricas de
ordem 2× 2 são da forma
(
a b
b c
)
com a, b, c ∈ R. Assim, temos:
* o elemento nulo de M2×2 que é
(
0 0
0 0
)
está em W , isto é, é uma matriz simétrica;
* tome A e A′ elementos de W , então estas matrizes são da forma
A =
(
a b
b c
)
e A′ =
(
a′ b′
b′ c′
)
.
Assim A + A′ =
(
a + a′ b + b′
b + b′ c + c′
)
é simétrica e logo está em W ;
* tome um escalar k ∈ R e um vetor A ∈ W , então temos A =
(
a b
b c
)
. Assim
k · A =
(
ka kb
kb kc
)
é simétrica e logo está em W .
(d) Já vimos no exerćıcio 1(e) que W não é espaço vetorial com as operaçoẽs usuais, logo
não pode ser subespaço de R2. Outra forma de ver isso é notar que w = (1, 1) ∈ W
mas com k = 2 temos k · (1, 1) = (2, 2) 6∈ W .
(e) W não é subespaço de V = R3 pois a soma de dois vetores w e w′ de W não nec-
essariamente está em W . Por exemplo tome w = (−1, 0, 0) e w′ = (0,−1, 0), temos
w,w′ ∈ W mas w + w′ = (−1,−1, 0) não está em W .
Outro modo de ver que W não é subespaço de V é notar que a multiplicação por
escalar de um vetor de W não necessariamente cai em W . Por exemplo tome w =
(−1, 0, 0) ∈ W , então com k = 2 temos k · w = (−2, 0, 0) 6∈ W .
(f) W não é subespço de V = P3 pois o vetor nulo de P3 que é o polinômio nulo 0 =
0x3 + 0x2 + 0x + 0 não está em W , já que seu termo de grau 2 não é 1;
(g) W é subespaço de V = P2. De fato:
* o vetor nulo de P2 é 0 = 0x
2 + 0x + 0 que está em W ;
* tome p(x) e q(x) em W , isto é, temos p(1) = q(1) = 0. Então a soma h(x) =
p(x) + q(x) satisfaz h(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0, e logo está em W ;
* tome um escalar k ∈ R e um vetor p(x) ∈ W , isto é, p(1) = 0. Então o produto
g(x) = k · p(x) está em W pois g(1) = k · p(1) = k · 0 = 0.
(h) W não é subespaço de V pois o vetor nulo de V que é 0x2 + 0x + 0 não está em W ;
(i) W não é subespaço de V = M2×2 já que o vetor nulo de M2×2, que é a matriz
(
0 0
0 0
)
,
não é inverśıvel e logo não está em W .
10
7a QUESTÃO:
(a) Sim, v = 1
3
v1 + v2;
(b) Não;
(c) Sim, v = 2v1 + v2;
(d) Sim, v = 2v1 + v2 + 0v3 (existem outras formas de escrever v);
(e) Não;
(f) Sim, v = v1 − 2v2;
(g) Sim, v = −v1 + 3v2.
8aQUESTÃO:
(a) W é a reta em R2 passando pela origem e com a direção do vetor v = (2, 3). Temos
W = {(x, y) ∈ R2 | 3x− 2y = 0} = {(2t, 3t)|t ∈ R};
(b) W = R2;
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3 | 3x + y − z = 0}. Usando esta informação é fácil ver que
v = (−1, 5, 2) ∈ W , já que este vetor satisfaz a equação de W , isto é, 3·(−1)+5−2 = 0;
(d) W = {(x, y, z) ∈ R3 | 3x + y − z = 0}. Como o vetor (−1, 5, 2) já estava em
〈(0, 1, 1), (−1, 3, 0)〉, os subespaços dos itens (c) e (d) devem realmente ser iguais;
(e) W = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 − 2x2 + x3 = 0 e 2x1 − 3x2 + x4 = 0};
(f) W = {a2x2 + a1x + a0 ∈ P2 | a1 = a0 + a2}. Usando esta informação é fácil ver que
x2 − x− 2 e −x2 + 2x + 3 são combinações lineares dos vetores x2 + x e x + 1 pois em
ambos os polinômios o termo de grau 1 é a soma dos termos de graus 0 e 2.
(g) W = P2;
(h) W =
{(
a b
c d
)
∈ M2×2 | a + 3b− 2c− 2d = 0
}
.
9a QUESTÃO:
(a) Os dois vetores são linearmente independentes (LI) já que não são múltiplos um do
outro;
(b) Os dois vetores são linearmente independentes (LI) já que não são múltiplos um do
outro;
11
(c) Escrevendo o vetor nulo de P2 como combinação linear dos três vetores do conjunto,
temos
0x2 + 0x + 0 = a(x2 + 3x− 1) + b(2x2 − x) + c(x2 − 4x + 1)
= (a + 2b + c)x2 + (3a− b− 4c)x + (−a + c),
com a, b, c ∈R. Por igualdade de polinômios, obtemos o sistema linear
(∗)



a +2b +c = 0
3a −b −4c = 0
−a +c = 0
Para determinar se o conjunto é linearmente dependente ou independente, precisamos
saber se o sistema (∗) tem infinitas ou uma única solução. Resolvendo o sistema, temos
M =


1 2 1 0
3 −1 −4 0
−1 0 1 0

 −→ M ′ =


1 2 1 0
0 −1 −1 0
0 0 0 0

 ,
onde realizamos as operações elementares: L2 7→ L2 − 3L1, L3 7→ L3 + L1, L2 7→ 17L2,
L3 7→ L3 + 2L2. Pela matriz M ′ vemos que o sistema tem infinitas soluções e logo o
conjunto é linearmente dependente (LD).
(d) Escrevendo o vetor nulo de M2×3 como combinação linear dos quatro vetores do con-
junto, temos
(
0 0 0
0 0 0
)
= a
(
1 2 3
2 0 −1
)
+ b
(
0 1 −2
1 1 0
)
+ c
(
2 1 0
−2 3 1
)
+ d
(
3 2 5
−1 2 0
)
=
(
a + 2c + 3d 2a + b + c + 2d 3a− 2b + 5d
2a + b− 2c− d b + 3c + 2d −a + c
)
com a, b, c, d ∈ R. Por igualdade de matrizes, obtemos o sistema linear
(∗)



a +2c +3d = 0
2a +b +c +2d = 0
3a −2b +5d = 0
2a +b −2c −d = 0
b +3c +2d = 0
−a +c = 0
Para determinar se o conjunto é linearmente dependente ou independente, precisamos
saber se o sistema (∗) tem infinitas ou uma única solução. Resolvendo o sistema, temos
M =


1 0 2 3 0
2 1 1 2 0
3 −2 0 5 0
2 1 −2 −1 0
0 1 3 2 0
−1 0 1 0 0


−→ M ′ =


1 0 2 3 0
0 1 −3 −4 0
0 0 −3 −3 0
0 0 0 −2 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0


,
12
onde realizamos as seguintes operações elementares: L2 7→ L2 − 2L1, L3 7→ L3 − 3L1,
L4 7→ L4−2L1, L6 7→ L6 +L1, L3 7→ L3 +2L2, L4 7→ L4−L2, L5 7→ L5−L2, L3 ↔ L4,
L4 7→ L4 − 4L3, L5 7→ L5 + 2L3 e L6 7→ L6 + L3.
Pela matriz M ′ vemos que o sistema tem uma única solução (que é a = b = c = d = 0)
e logo o conjunto é linearmente independente (LI).
(e) Como este conjunto consiste de três vetores em R3, para saber se é linearmente depen-
dente ou independente, basta calcular o determinante da matriz:
A =


−1 0 1
5 1 2
2 1 0


Ora, esta matriz tem determinante igual a
det(A) = −1(0− 2)− 0(0− 4) + 1(5− 2) = 2 + 0 + 3 = 5
e logo, como det(A) 6= 0, vemos que os três vetores são linearmente independentes
(LI).
(f) Como este conjunto consiste de três vetores em R3, para saber se é linearmente depen-
dente ou independente, basta calcular o determinante da matriz:
A =


−1 0 −1
5 1 3
2 1 0


Ora, esta matriz tem determinante igual a
det(A) = −1(0− 3)− 0(0− 6)− 1(5− 2) = 3 + 0− 3 = 0
e logo, como det(A) = 0, vemos que os três vetores são linearmente dependentes (LD).
(Note que verificamos no exerćıcio 4 itens (b) e (c) que o vetor (−1, 5, 2) é combinação
linear dos vetores (0, 1, 1) e (−1, 3, 0), mas não é combinação linear dos vetores (0, 1, 1)
e (1, 2, 0).)
10a QUESTÃO: Primeiro notamos que a hipótese de que u é combinação linear de v e w
significa que existem a, b ∈ R tais que
u = a · v + b · w.
(a) (Não.) Para ver se o conjunto {u, v, w} é linearmente dependente ou independente pre-
cisamos ver se existem outros modos de escrever o vetor nulo 0 ∈ V como combinação
linear de u, v, w
k1u + k2v + k3w = 0
13
além da combinação trivial (isto é, com todas os escalares k1, k2, k3 iguais a zero). Ora,
temos
u = av + bw ⇒ u− av − bw = 0
o que significa que, com k1 = 1, k2 = −a e k3 = −b, obtemos uma maneira de escrever
0 como combinação linear de u, v, w distinta da trivial. Assim {u, v, w} é um conjunto
linearmente dependente.
(b) (Sim.) Por definição o subespaço 〈v, w〉 é o conjunto de todas as combinações lineares
de v e w. Como por hipótese u é combinação linear de v e w, então u pertence a 〈v, w〉.
(c) (Sim.) Precisamos ver se 3u é combinação linear de v e w. Ora, temos que u = av+bw
e logo 3u = (3a)v + (3b)w, mostrando que 3u é combinação linear de v e w, ou seja,
que 3u pertence a 〈v, w〉.
(d) (Sim.) Aqui precisamos ver se v− 3u+2w é combinação linear de v e w. Agora, como
u = av + bw, temos que
v − 3u + 2w = v − 3(av + bw) + 2w = (1− 3a)v + (2− 3b)w
mostrando que v − 3u + 2w pode ser escrito como combinação linear de v e w.
(e) (Sim.) Precisamos ver se u é combinação linear de v − 3u + 2w e w, isto é, se existem
k, l ∈ R tais que
u = k · (v − 3u + 2w) + l · w.
Como u = v + 2w, substituindo na equação acima temos
v + 2w = k(v − 3(v + 2w) + 2w) + lw ⇒ v + 2w = −2kv − 4kw + lw
⇒ v + 2w + 2kv + 4kw − lw = 0
⇒ (1 + 2k)v + (2 + 4k − l)w = 0.
Agora, por hipótese v e w são linearmente independentes o que significa que o único
modo de escrever 0 como combinação linear de v e w é o modo trivial 0v + 0w = 0, ou
seja, temos que ter
1 + 2k = 0 e 2 + 4k − l = 0.
Então k = −1/2 e logo l = 4k − 2 = 0. Portanto u = −1/2(v − 3u + 2w) + 0w,
mostrando que u pertence a 〈v − 3u + 2w,w〉.
(f) (Não.) Como no item anterior, precisamos ver se u é combinação linear de v−3u+2w
e w, isto é, se existem k, l ∈ R tais que
u = k · (v − 3u + 2w) + l · w.
14
Como u =
1
3
v + 2w, substituindo na equação acima temos
1
3
v + 2w = k
(
v − 3
(
1
3
v + 2w
)
+ 2w
)
+ lw ⇒ 1
3
v + 2w = −4kw + lw
⇒ 1
3
v + 2w + 4kw − lw = 0
⇒
(
1
3
)
v + (2 + 4k − l)w = 0.
Agora, por hipótese v e w são linearmente independentes o que significa que o único
modo de escrever 0 como combinação linear de v e w é o modo trivial 0v + 0w = 0, ou
seja, deveŕıamos ter
1
3
= 0 e 2 + 4k − l = 0.
Como a primeira equação é obviamente falsa, vemos que é imposśıvel encontrar es-
calares k, l satisfazendo u = k(v − 3u + 2w) + lw, ou seja, u não é conbinação linear
de v − 3u + 2w e w e portanto u não pertence ao subespaço 〈v − 3u + 2w, w〉.
15