Lista2-Álgebra

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Universidade Federal do Ceará
Campus Quixadá
Monitora: Anny Caroline
Álgebra Linear
Lista 3
Nos problemas de 1 a 3, apresenta-se, em cada um deles, um conjunto com as operações de adição e
multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não
são, citar os axiomas que não se verificam.
1. {(x, 2x, 3x);x � R} com as operações usuais.
2. R2 , com as operações:
(a, b) + (c, d) = (a, b)
α(a, b) = (αa,αb).
3. A =
�
(x, y) � R2/y = 5x
�
com as operações usuais
Nos problemas 4 a 7 são apresentados subconjuntos do R2. Verificar quais deles são subespaços
vetoriais do R2 relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
4. S = {(x, y)/y = −x}
5. S =
�
(x, x2);x � R
�
6. S = {(x, y)/x+ 3y = 0}
7. S = {(x, y)/y = x+ 1}
Os problemas de 8 e 9 se referem aos vetores µ = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4)doR3
8. Escrever o vetor ω = (7,−11, 2) como combinação linear de µ e v.
9. Para que valor k o vetor v = (−8, 14, k) é combinação linear de µ e v?
10. Seja o espaço vetorial uma matriz M2x2 e os vetores v1 =
�
1 0
1 1
�
, v2 =
�
−1 2
0 1
�
e v3 =
�
0 −1
2 1
�
, escreva o vetor v =
�
1 8
0 5
�
como combinação linear de v1, v2 e v3.
11. Dado o conjunto A={v1 = (−1, 3,−1), v2 = (1,−2, 4)} ⊂ R3, determine o subespaço G(A).
12. Classificar os seguintes subconjuntos do R3 em LI ou LD:
a){(1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 2, 0)}
b){(1,−1, 1), (−1, 1, 1)}
c){(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3,−4, 0)}
d){(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)}
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13. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R3
a){(1, 2), (−1, 3)}
b){(1, 0, 1), (0,−1, 2), (−2, 1,−4)}
c){(2, 1,−1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1)}
d){(1, 2, 3), (4, 1, 2)}
14. Considerar,no R3, as bases A= {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B={(1, 0,−1), (0, 1,−1), (−1, 1, 1)}.
a)Determinar a matriz M de mudança de base de A para B.
b)Calcular vB sabendo que vA = (1, 2, 3).
c)Calcular vA sabendo que vB = (7,−4, 6).
15. Sabendo que vB = (3,−2, 0), calcular vA, sendo
M=


0 1 0
1 1 0
1 1 1

 a matriz mudança de base de A para B.
16. Sabendo que A={(1, 3), (2,−4)} é base do R2 e que a matriz M de mudança de base de A para B
é
�
−7 6
−11 8
�
, determine a base B.
Os problemas 17 e 18 referem-se aos seguintes subespaços do R4:
S1 = {(a, b, c, d)/a+ b+ c = 0} e
S2 = {(a, b, c, d)/a− 2b = 0 e c = 3d}
17. Determinar dim S1 e uma base de S1
18. Determinar dim S2 e uma base de S2