AV 2 - Álgebra Linear II

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Universidade Federal do Cariri - UFCA
Álgebra Linear II Lista 3 Matemática Computacional 2021.2
Plácido Andrade
1. Teorema Se A ∶ Rn → R3 é um operador normal, então ∣∣A(v)∣∣ = ∣∣At(v)∣∣ para todo v ∈ Rn.
Mostre as afirmações utilizando o Teorema acima mostrado em sala.
(a) Afirmação A O operador A ∶ R3 → R3 cuja matriz numa base ortonormal β é [A]ββ não
é normal, em que
[A]ββ =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
√
3
√
3 0
1 2 1√
2 1 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
(b) Afirmação B Se A é normal, então Nuc(A) =Nuc(At).
2. Considere o operador U ∶ R3 → R3, U(x,y, z) = (y, z,x).
(a) Verifique que U é um operador ortogonal.
(b) Mostre que U tem um único autovalor λ1 = 1.
(c) Ache uma base β1 ortonormal para o autoespaço Vλ1 e verifique ele tem dimensão 1.
(d) Mostre que o subespaço W constitúıdo pelos vetores que são ortogonais a todos vetores
de Vλ1 é invariante por U, ou seja, U(W) ⊂W.
(e) Dê uma base ortonormal β2 de W e verifique que β = β1 ∪β2 é uma base de R3.
(f) Calcule a matriz [U]ββ.
(g) Mostre que a restrição U0 ∶ S3 → S3 está bem definida e existe um ponto (x0,y0, z0) ∈ S3
tal que U(x0,yo, z0) = (x0,y0, z0), em que S3 é a esfera canônica unitária,
S2 = {(x,y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = 1}.
3. Considere as semi-circunferências
S1 = {(x,y) ∈ R2; (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1 e y ≥ x}
S1 = {(x,y) ∈ R2; (x + 4)2 + (y + 1)2 ≤ 1 e y ≥ −1}
Construa um movimento ŕıgido (isometria) F ∶ R2 → R2 tal que F(S2) = S!.
Valor 1, 0pt cada questão.