aula 2

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Disciplina: EN07049 - ESTATISTICA
Professor: Raimundo de Souza 
Aula 2: Estatística Descritiva.
2. Estatística Descritiva
Ao estudar sobre estatística descritiva e inferencial, você perceberá que, enquanto a estatística descritiva, como indica o nome, tem por objetivo descrever o comportamento de determinado fenômeno ou evento por meio dos dados observados, a estatística inferencial, por outro lado, objetiva a generalização dos resultados. Em outras palavras, consiste em considerar os resultados de amostra como válidos para toda a população. Prepare-se para este novo conteúdo.
Com o advento da informática, o volume de dados cresceu significativamente. Isso fez com que a análise de um conjunto completo de dados, devido ao seu tamanho, se tornasse em muitos casos trabalhosa. Como alternativa, tem-se a opção de, ao invés de analisar todo o conjunto de dados, utilizar apenas uma parte representativa para avaliar e, da escolhida, fazer-se a generalização para todo o conjunto.
A estatística descritiva é o ramo que trata da organização, do resumo e da apresentação dos resultados, e é responsável pelo estudo das características de uma dada população.
Enquanto que a estatística inferencial, também conhecida como estatística indutiva, é o ramo que trata de tirar conclusões sobre uma população a partir de uma amostra de uma dada população ou universo.
2.1 TÉCNICA DE SOMATÓRIO
TÉCNICAS DE SOMATÓRIO são as técnicas que auxiliam na soma dos xi valores de uma variável x em uma sequência ou em um rol de dados.
VARIÁVEL é o conjunto de valores possíveis que representam um fenômeno.
· SEQÜÊNCIA: é uma função cujo domínio é o conjunto de números positivos que indicam a posição.
Ex.: X = {x1, x2, x3, ..., xn} ⇒ {1, 2, 3, ..., n} é o conjunto das posições.
· Rol: É um conjunto de dados que não possuem uma relação de função ou sucessão.
Ex: R = {1.2, 4.3, 7, 8, 9.2}, perceba que é possível organiza-los em certa ordem, porém não há uma lei que defina suas sucessões de posição.
Para indicarmos a soma dos xi (x índice i) valores de uma variável x, isto é, a soma de x1 + x2 + x3 + ... + xn, utilizamos o símbolo grego sigma (Σ), denominado, em Matemática, SOMATÓRIO.
Assim, a soma x1 + x2 + x3 + ... + xn pode ser representado por (somatório de xi, onde i varia de 1 a n).
Ex.: x = {0, 1, 2, 3, ..., 10}
x = variável
i = índice ou ordem que o elemento ocupa na sequência.
x1 = 0 
x2 = 1
x3 = 2
x4 = 3, 
e assim por diante.
Exercício: Sendo o conjunto X = {1, 3, 5, 6, 8, 9}, faça:
a) 
b) 
c) 
· PROPRIEDADES:
P1: , sempre K seja uma constante.
Ex.: 
P2 = kx1 + kx2 + kx3 + kx4 + ...+ kxn = , onde k é uma constante real.
Ex.: Sendo o conjunto x = {1, 3, 5, 6, 8, 9}, determine: 
P3: Quando estamos querendo somar os elementos de uma tabela ou uma matriz, podemos usar a somatório dupla, fazendo variar linhas e colunas.
Ex.: Seja a matriz , determine .
Ex.: Usando a tabela
	linhas
	Colunas
	
	altura
	peso
	idade
	Salário pretendido
	total
	1
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
2.2 Distribuição de Frequência
Constitui-se no tipo de tabela mais importante para a estatística descritiva. Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o comportamento dessa variável, analisando a ocorrência de suas possíveis realizações. Veremos uma maneira de se dispor um conjunto de realizações, para se ter uma ideia global sobre elas, ou seja, de sua distribuição.
Distribuição de frequência é constituída por uma tabela resumida, na qual os dados são organizados em grupos de classe ou categorias convenientemente estabelecidas e numericamente ordenadas. Constitui-se num tipo de apresentação que condensa uma coleção de dados conforme as frequências ou repetições de seus valores.
As distribuições de frequências são séries heterógradas, isto é, séries na qual o fenômeno ou fato apresenta graduações ou subdivisões. Embora fixo, o fenômeno varia de intensidade.
A construção da distribuição de frequência depende do tipo de dados com os quais se está lidando: contínuos ou discretos.
2.2.1 Frequência
É quantidade de vezes que um certo dado aparece em uma sequência ou rol de dados, ou seja, é a repetição de determinado dado.
Alguns procedimentos comuns devem ser adotados para a representação da distribuição de frequência, que representa diferentes maneiras de sumarizar os valores de uma variável discreta ou contínua
Exemplo: No conjunto de dados X = {0, 3 ,5, 0, 1, 0, 3}, o número zero aparece 3 vezes e o número 3 aparece 2 vezes, ou seja, zero tem frequência 3 e 3 tem frequência 2.
2.2.2 Tabela Primitiva
É a tabela cujos elementos não foram numericamente organizados. Por vezes chamados de Dados Brutos, são o conjunto dos dados numéricos obtidos após a crítica dos valores coletados.
Exemplo: Os valores das idades de uma turma de engenharia sanitária:
21, 23, 22, 28, 35, 21, 23, 33, 34, 24, 21, 25, 36, 26, 22, 30,
32, 25, 26, 33, 34, 21, 31, 25, 31, 26, 25, 35, 33, 31.
2.2.3 Rol
É a tabela obtida após a ordenação dos dados. Ou seja, corresponde ao arranjo dos dados brutos em ordem de frequência crescente ou decrescente.
21, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28,
30, 31, 31, 31, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 35, 36.
No exemplo dado, a variável em questão, será observada e estudada muito mais facilmente quando dispusermos valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o número de vezes que aparece repetido. Denominamos frequência o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de frequência:
2.2.4 Construindo uma tabela de distribuição de frequência
A Distribuição de Frequência representa o arranjo dos valores e suas respectivas frequência.
Vamos construir a tabela de frequência!
2.2.5 Amplitude Total ou Range (R)
É representada pela diferença entre o maior e o menor valor observado.
– Ex.: R = 36 – 21 = 15.
2.2.6 Frequência Absoluta (Fi)
Representa o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe.
– Ex.: F (21) = 3; F (22) = 2; F (36) = 1.
O processo de construção da tabela de frequência exige muito espaço, mesmo quando o número de valores da variável (n) é de tamanho razoável. A solução mais aceitável, pela própria natureza da variável contínua, é o agrupamento dos valores em vários intervalos.
Deste modo, estaremos agrupando os valores da variável em intervalos, sendo que, em estatística, preferimos chamar os intervalos de classes.
Chamando de frequência de uma classe o número de valores da variável pertencentes à classe, os dados da tabela anterior podem ser dispostos em uma tabela denominada distribuição de frequência com intervalos de classe.
2.2.7 Intervalos de Classe (Frequência Relativa)
Criando intervalos de classe, ao resumir os dados referentes a uma variável, perde-se alguma informação. Por exemplo, não sabemos quais são os valores de idade que estão inseridos no meio de uma classe amenos que investiguemos na tabela original.
Sem perda de muita precisão, poderíamos supor que todos os valores daquela classe fossem iguais ao ponto médio da referida classe. Note que estamos usando a notação para o intervalo de números contendo o extremo a, mas não contendo o extremo b. Podemos também usar a notação [a, b) para designar o mesmo intervalo .
A escolha dos intervalos é arbitrária e a familiaridade do pesquisador com os dados é que lhe indicará quantas e quais classes (intervalos) devem ser usadas. Entretanto, deve-se observar que, com um pequeno número de classes, perde-se informação, e com um número grande de classes, o objetivo de resumir os dados fica prejudicado.
Exemplo de tabela usando a frequência de classes.
	tabela de frequência de classes das idades da turma
	Idade em anos
	frequência
	21 Ͱ 25
	9
	25 Ͱ 30
	7
	30 Ͱ 35
	11
	35 Ͱ 40
	3
	Total 
	30
	Fonte: dados fictícios.
Exemplo usando Distribuição de Frequência para Dados Contínuos.
Ex.: Seja Xi o peso de 100 indivíduos.
Comoantes mencionado para o Número de Classes (K), não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. Porém, apresentaremos, aqui, duas soluções:
1)
2) Fórmula de Sturges
Exemplo: considere uma amostra com tamanho 49, ou seja, n= 49.
Solução:
a) Usando o primeiro método: Como 49 é maior que 25, então buscamos a raiz de n=49.
 
b) Usando a fórmula de Sturges: Aqui temos que calcular o logaritmo de 49 na base 10.
Obs.: o número de classes (K) deve ser aproximada para o maior inteiro.
Exercício: As notas de Estatística de uma turma de 50 alunos estão anotadas na tabela a seguir. Faça uma tabela de frequência (absoluta e relativa) para essas notas.
2.2.8 Elementos De Uma Distribuição De Frequência
1) Classe: Classes de frequência ou, simplesmente, classes são intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., K, (onde K é o número total de classes da distribuição).
2) Limites de classe: Determinamos limites de classe os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior da classe (Li) e o maior número, o limite superior da classe (Ls).
3) Amplitude de um intervalo de classe: Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe é a medida do intervalo que define a classe. Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por hi. Assim:
4) Amplitude total da distribuição: Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo).
Decidido o número de classes (k) que deve ter a distribuição, resta-nos resolver o problema da determinação da amplitude do intervalo de classe (h), o que conseguimos dividindo a amplitude total pelo número de classes:
Ex.: h = 15 / 6 = 2,5 ≈ 3. Sempre se arredonda para o maior valor.
5) Amplitude amostral: Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra.
6) Ponto médio de uma classe (Xi): é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a semissoma dos limites da classe (média aritmética):
Ex.: se a classe for 10 |― 12 teremos. 
2.3 Tipos de Frequência
1) Frequência simples ou absoluta (fi): Frequências simples ou absolutas (fi) são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das frequências simples é igual ao número total dos dados:
2) Frequência relativa (fri): são os valores das razões entre as frequências simples e a frequência total. A frequência relativa de um valor é dada pela porcentagem que ele representa na amostra.
O propósito das frequências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as comparações.
3) Frequência acumulada (Fk): é o somatório de todas as classes anteriores da referida classe.
4) Frequência acumulada relativa (Frk): de uma classe é a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição.
2.3.1 Distribuição de frequência sem Intervalo de Classe
Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe e, nesse caso, a distribuição é chamada distribuição sem intervalo de classe, tomando a seguinte forma:
	i
	xi
	fi
	1
	X1
	f1
	2
	X2
	f2
	3
	X3
	f3
	4
	X4
	f4
	.
.
.
	.
.
.
	.
.
.
	n
	Xn
	fn
Exemplo:
Seja X a variável “número de cômodos das casas ocupadas por vinte famílias entrevistadas”:
	Número de cômodos por casas
	ordem
	Qtd
	freq
	Freq. rela
	Freq. acum
	Freq. Acum. relativa
	i
	Xi
	fi
	fri
	Fi
	Fri
	1
	2
	4
	4/20 =0,2
	
	
	 2
	3
	7
	
	
	
	3
	4
	5
	
	
	
	4
	5
	2
	
	
	
	5
	6
	1
	
	
	
	6
	7
	1
	
	
	
	
	20
	
	
	
Exercícios:
1) Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos:
64 78 66 82 74 103 78 86 103 87 73 95 82 89 73 92 85 80 81 90
78 86 78 85 98 75 73 90 86 101 86 84 86 76 76 83 86 84 85 103
76 80 92 73 87 70 85 79 93 102 82 90 83 81 85 72 81 96 81 85
68 96 86 70 72 74 84 99 81 89 71 73 63 74 98 78 78 83 96 105
95 94 88 62 91 83 98 93 83 76 94 75 67 95 708 98 71 92 72 73
Forme uma distribuição de frequência.
Determine: 
Determine:
a) Σ fi b) fr c) Fi d) Fri
2) Sejam as alturas (em centímetros) de 25 alunos de uma determinada classe:
150 159 157 151 152 156 153 163 159 175 162 162 164 158 159 164 168 166 160 162
a) Calcule a amplitude do rol.
b) Calcule a amplitude para cada intervalo de classe.
c) Ache a distribuição de frequência com intervalos de classe, a frequência relativa, a frequência acumulada e a frequência acumulada relativa.
3) Complete os dados que faltam na distribuição de frequência:
4) Dado o rol de 50 notas dos alunos de Estatística Básica.
33 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 – 42 – 45 – 47 – 48
50 – 52 – 53 – 54 – 55 – 55 - 57 – 59 – 60 – 60
61 – 64 – 65 – 65 – 65 – 66 – 66 – 66 – 67 – 68
69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 – 76 – 77 – 77 – 78
80 – 81 – 84 – 85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 - 97
Calcule:
– a) Amplitude Total (AT ou R).
– b) Número de Classes (K).
– c) Amplitude da Classe (h).
– d) Monte as Tabelas de Frequências Absoluta, frequência Acumulada e frequência Relativa.
– e) Faça os Histogramas, Polígono de frequência e Polígono de frequência Acumulada.
5) Os dados a seguir representam o tempo (em minutos) que 45 operadores de máquina demoraram para fazer o setup de uma máquina.
6,5 4,0 7,1 8,3 5,4 7,6 9,0 15,7 16,7 6,4 5,0 8,5 5,7 7,7 7,2 12,4 7,1 5,5 9,7 4,4 7,0 6,3 8,3 6,9 5,7 7,6 7,9
7,9 6,0 8,2 10,4 9,9 3,9 9,8 8,2 5,6 7,9 6,4 7,4 7,0 13,0 8,7 6,4 6,7 7,4
 Calcule:
– a) Amplitude Total (R).
– b) Número de Classes (K).
– c) Amplitude da Classe (h).
– d) Monte as Tabelas de Frequências Absoluta, frequência Acumulada e frequência Relativa.