Formulação de Molas - Elementos Finitos

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Prof. Me. Thiago França
Aula 05: Formulação de Molas
CCE1612 / CCE0264 – Elementos Finitos
2
HIPÓTESES BÁSICAS:
✓ Lei de Hooke ( f = k . u )
✓ Carregamento axial
✓ Massa Desprezível
✓ Deslocamento unitário!
Mola 1D – 1 mola
𝑓 = 𝑘 × 𝑢 1
𝑓 = 𝑘
3
UNIDADES (SI)
f ( força ) = Newton ( N )
u ( deslocamento ) = metro ( m )
k ( rigidez ) = N / m
Mola 1D – 1 mola
𝑘 =
𝑓
1
RIGIDEZ
É a força necessária para produzir um 
deslocamento unitário ( 1 m )
Ex.: 1000 N / m
4
CARREGAMENTO AXIAL
Eixo X
GRAUS DE LIBERDADE DOS NÓS
U1, U2 = 2
MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO
2 pontos x 2 deslocamentos (4 coeficientes k)
2 linhas x 2 colunas
Quadrada = 2 x 2
Mola 1D – 1 mola
2 x 2 
5
1ª CONDIÇÃO (EIXO X)
DESLOCAMENTO NO PONTO 1 → k
TRAVAMENTO DO PONTO 2 → -k
O ponto 2 precisa estar travado
para haver deslocamento no ponto 1!
Mola 1D – 1 mola
6
Mola 1D – 1 mola
2ª CONDIÇÃO (EIXO X)
TRAVAMENTO NO PONTO 1 → -k
DESLOCAMENTO DO PONTO 2 → k
O ponto 1 precisa estar travado
para haver deslocamento no ponto 2!
7
MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO
✓ Quadrada
✓ Simétrica
✓ Singular ( det = 0)
✓ Diagonal positiva
Mola 1D – 1 mola
COMPATIBILIDADE DE DESLOCAMENTOS
✓ U1 = compressão na mola 1, mola 2 inerte
✓ U2 = tração na mola 1 e compressão na mola 2
✓ U3 = tração na mola 2, mola 1 inerte
Mola 1D – 2 molas
-k 2k -k
k -k 0
0 -k k
p1
p2
P3
u
1
u
2
u
3
3 x 3 8
9
10
11
12
13
14
𝐾 ∆
15
Deslocamentos U2 - U3
450
0
= 10.000 ×
3 −2
−2 3
∗
𝑈2
𝑈3
𝐾 ∆
−1
=
1
det 𝐾 ∆
× 𝑐𝑜𝑓 𝐾 ∆
𝑡
𝑈2
𝑈3
=
30𝐸3 −20𝐸3
−20𝐸3 30𝐸3
−1
∗
450
0
16
Deslocamentos U2 - U3
det 𝐾 ∆ =
30𝐸3 −20𝐸3
−20𝐸3 30𝐸3
= 900E6 – 400E6 = 500E6
Cof k11 = (-1)
1+1 x 30E3 = 30E3
30𝐸3 −20𝐸3
−20𝐸3 30𝐸3
30𝐸3 −20𝐸3
−20𝐸3 30𝐸3
30𝐸3 −20𝐸3
−20𝐸3 30𝐸3
30𝐸3 −20𝐸3
−20𝐸3 30𝐸3
Cof k22 = (-1)
2+2 x 30E3 = 30E3
Cof k12 = (-1)
1+2 x - 20E3 = 20E3
Cof k21 = (-1)
2+1 x - 20E3 = 20E3
17
Deslocamentos U2 - U3
𝐾 ∆
−1
=
1
500𝐸6
×
30𝐸3 20𝐸3
20𝐸3 30𝐸3
𝑡
𝐾 ∆
−1
=
1
det 𝐾 ∆
× 𝑐𝑜𝑓 𝐾 ∆
𝑡
𝐾 ∆
−1
= 6 ∗ 10
−5 4 ∗ 10−5
4 ∗ 10−5 6 ∗ 10−5
𝑡
18
Deslocamentos U2 - U3
𝑈2
𝑈3
= 6 ∗ 10
−5 4 ∗ 10−5
4 ∗ 10−5 6 ∗ 10−5
∗
450
0
U2 = 6E-5 * 450 + 4E-5 * 0
U3 = 4E-5 * 450 + 6E-5 * 0
U2 = 0,027 m
U3 = 0,018 m
19
20
Reações de Apoio R1 - R4
R1 = – 10.000 * 0,027 + 0 * 0,018
R4 = 0 * 0,027 – 10.000 * 0,018
R2 = – 270 N 
R4 = – 180 N
𝑅1
𝑅4
= 10.000 ×
−1 0
0 −1
×
𝑈2
𝑈3
𝑅1
𝑅4
=
−10.000 0
0 −10.000
×
0,027
0,018
21
Métodos Numéricos Modelagem e Simulação
K1 = 200 kgf/mm
K2 = 100 kgf/mm
K3 = 150 kgf/mm
K4 = 300 kgf/mm
K5 = 400 kgf/mm
K6 = 500 kgf/mm
FB = 400 kgf
FC = 300 kgf
FD = 500 kgf
Individual (2 pontos extras na NF)
Resolver no Word e enviar no formato PDF
ENVIAR ATÉ DIA 10/04/23 - 23:59
E-mail: thiagofranssa@gmail.com
ENUNCIADO:
Determine os deslocamentos 
(UB, UC & UD) e as 
reações de apoio (FA & FE)
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