AP1-CIII-2016-1-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – CÁLCULO III – 2016-1
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis. No entanto,
Polo e Data; as respostas deverão estar necessariamente à caneta;
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsável; Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1 Caso existam, calcule os seguintes limites:
(a) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
3
√
xy√
x2 + y2
;
(b) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
cos
(
1
x2 + y2
)
sen
(
x3
x2 + y2
)
.
Solução:
(a) Ponhamos
f(x, y) =
3
√
xy√
x2 + y2
para cada (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Observando que
lim
t→0
3
√
0 · t√
02 + t2
= 0
e
lim
t→0+
3
√
t · t√
t2 + t2
= lim
t→0+
1√
2t1/3
= +∞,
conclúımos que não existe lim
(x,y)→(0,0)
3
√
xy√
x2 + y2
.
(b) Como a função
(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} 7−→ x
2
x2 + y2
∈ R
é limitada e lim
(x,y)→(0,0)
x = 0, conclúımos que
lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x
(
x2
x2 + y2
)
= 0.
CÁLCULO III AP1 2
Como a função seno é cont́ınua, resulta que
lim
(x,y)→(0,0)
sen
(
x3
x2 + y2
)
= 0.
Portanto, uma vez que a função cosseno é limitada (lembre que cos t ∈ [−1, 1] para todo
t ∈ R!), obtemos
lim
(x,y)→(0,0)
cos
(
1
x2 + y2
)
sen
(
x3
x2 + y2
)
= 0.
Questão 2 Considere a função f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = 3√xy.
(a) (1,0 ponto) Caso existam, calcule as derivadas parciais de f no ponto (0, 0);
(b) (1,0 ponto) Utilizando a definição de diferenciabilidade, mostre que f não é diferenciável em
(0, 0).
Solução:
(a) Como
lim
h→0
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0
e
lim
h→0
f(0, 0 + h)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0,
conclúımos que fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0.
(b) Considere a função r : R2 −→ R, definida por
r(h, k) = f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− fx(0, 0)h− fy(0, 0)k.
Mais precisamente, pelo item (a), sabemos que r(h, k) = f(h, k) para todo (h, k) ∈ R2.
Assim, para demonstrar que f não é diferenciável em (0,0), devemos verificar que o limite
lim
(h,k)→(0,0)
r(h, k)√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
3
√
hk√
h2 + k2
não é igual a zero. De fato, este limite não existe, o que pode ser constatado no Gabarito da
Questão 1(a).
Questão 3 Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Caso uma afirmação seja
verdadeira, apresente uma justicativa baseada em algum teorema visto no decorrer da matéria.
Caso uma afirmação seja falsa, apresente um exemplo concreto que a invalida.
(a) (1,0 ponto) Se f : R2 −→ R e g : R2 −→ R são duas funções e
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0,
então lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)g(x, y) = 0.
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CÁLCULO III AP1 3
(b) (1,0 ponto) Toda função cont́ınua f : R2 −→ R é diferenciável;
(c) (1,0 ponto) Se f : R2 −→ R é uma função que tem todas as derivadas parciais em um
ponto P0 = (x0, y0), então f é diferenciável neste ponto;
(d) (1,0 ponto) A função vetorial
α : t ∈ [0, 2π] 7−→ (sen t, 2
√
2 cos t) ∈ R2
é uma parametrização de uma elipse E , que é percorrida no sentido anti-horário.
Solução:
(a) Esta afirmação é FALSA. De fato, consideremos a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = x2 + y2, para todo (x, y) ∈ R2. Sendo g : R2 −→ R, a função definida por
g(x, y) =
1
f(x, y)
,
se (x, y) ̸= (0, 0), e f(0, 0) = 0, temos
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0,
mas
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)g(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2)
(
1
x2 + y2
)
= 1.
(b) Esta afirmação é FALSA. De fato, seja f : R2 −→ R a função definida na Questão 2.
Como as funções
t ∈ R 7−→ 3
√
t ∈ R
e
(x, y) ∈ R2 7−→ xy ∈ R
são cont́ınuas, resulta que f é cont́ınua, exatamente por se exprimir como uma composição
de funções cont́ınuas. No entanto, pela Questão 2(b), f não é diferenciável em (0, 0).
(c) Esta afirmação é FALSA. Realmente, consideremos novamente a função f : R2 −→ R
definida na Questão 2. Pelo item (a) da Questão 2, sabemos que f possui as duas
derivadas parciais no ponto (0, 0), sendo ambas iguais a zero. No entanto, pelo item (b)
da Questão (2), f não é diferenciável em (0, 0).
(d) Esta afirmação é FALSA. Realmente, para cada t ∈
[
0, π
2
]
, α(t) é um ponto do primeiro
quadrante do plano. No entanto, α(0) = (0, 2
√
2) pertence ao eixo y e α
(
π
2
)
= (1, 0)
pertence ao eixo x, o que indica que E não é percorrida no sentido anti-horário, segundo
a parametrização α.
Questão 4 (2,0 pontos) Considere a função vetorial
r : λ ∈ R 7−→ (3− 4λ, 4 + 3λ) ∈ R2,
e seja C o ćırculo centrado na origem, que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta
parametrizada por r. Encontre uma parametrização de C.
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CÁLCULO III AP1 4
Solução:
Consideremos a > 0 e seja C : x2+y2 = a2 o ćırculo procurado. Ponhamos x = x(λ) = 3−4λ
e y = y(λ) = 4 + 3λ para cada λ ∈ R. Dáı, (x0, y0) ∈ R2 pertence à reta parametrizada por
r se, e somente se, existir λ0 ∈ R tal que
3− x0
4
= λ0 =
y0 − 4
3
,
isto é,
y0 =
25− 3x0
4
.
Em particular, supondo que (x0, y0) ∈ C, temos
x20 +
(
25− 3x0
4
)2
= a2,
que equivale a
25x20 − 150x0 + (625− 16a2) = 0.
Dáı, para que a reta parametrizada por r seja tangente à C no ponto (x0, y0), é necessário e
suficiente que o discriminante da equação de segundo grau acima, dado por
∆ = (−150)2 − 4 · 25(625− 16a2) = −40000 + 1600a2,
seja igual a zero. Como
∆ = 0 ⇐⇒ a2 = 40000
1600
= 25
e a > 0, resulta que a = 5, ou seja, C é o ćırculo centrado na origem que tem raio igual a 5.
Finalmente,
γ : t ∈ [0, 2π] 7−→ (5 cos t, 5sen t) ∈ R2
é uma parametrização de C.
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