Noções+de+limites+e+derivadas

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Ensino Médio
MATEMÁTICA
Alexandre Correia Fernandes
Graduado em Matemática
Mestre em Matemática e Estatística - Área 
de concentração : Geometria Diferencial
Ex-professor do Ensino Fundamental 
e do Ensino Médio de escolas públicas 
e privadas de Minas Gerais.
Professor do Ensino Superior desde 2004.
T
A
M
noçõES DE lIMITES E DErIvADAS
CréDIToS
Ficha Catalográfica
Fernandes, Alexandre Correia.
Matemática : noções de limites e derivadas :
ensino médio / Alexandre Correia Fernandes. --
Belo Horizonte : Editora Educacional, 2010.
44p. Ilust.
 ISBn 978-85-7932-159-7
1. Matemática (Ensino médio) I. Título.
09-09385 CDD-510.7
Dados internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do livro, SP, Brasil)
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valéria Cardoso
Aline Paula de oliveira
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Júnia Kelle Teles Martins
luana Félix da Silva
Magali luciene dos Santos
Miriam Carla Martins
Cornélia Cristina S. Brandão
Gustavo Celso de Magalhães
Aldeir Antonio neto rocha 
Aparecida Costa de Almeida
lydston rodrigues de Carvalho 
Marinette de Cácia Freitas 
raquel Cristina dos Santos Faria
rogério Fernandes
Greco Design ltda.
Studio link
Idea Info Design
letra por letra ltda. 
e Só letra
Idea Info Design
Xxxxxxxx
T
A
M
SUMÁrIo
Capítulo 1 ― Limite e Continuidade ............................................................. 6
 noção intuitiva de limite ...........................................................................7
 limites laterais ................................................................................... 7
 Propriedades dos limites .......................................................................... 8
 limite de uma função polinomial ................................................................ 9
 limite de uma função racional .................................................................. 10
 Cálculo de limites quando o numerador e o denominador tendem a zero ............... 10
 Cálculo de limites por meio de fatoração ................................................... 10
 Cálculo de limites por meio de racionalização .............................................. 11
 Cálculo de limites por meio de mudança de variável ..................................... 12
 Continuidade ....................................................................................... 12
 Limites infinitos .................................................................................... 14
 Limites de funções quando x tende ao infinito ............................................... 14
 limite da função polinomial quando x→±∞ ................................................ 15
 Teorema do confronto ............................................................................ 17
 limite trigonométrico fundamental ........................................................... 18
 limite exponencial fundamental ............................................................... 19
Capítulo 2 — Derivada ............................................................................ 23
 Taxa de variação .................................................................................. 24
 Taxa média de variação ......................................................................... 24
 Taxa instantânea de variação ................................................................. 24
 Interpretação geométrica da derivada ......................................................... 25
 A derivada como uma função ................................................................... 27
 regras de derivação .............................................................................. 28
 Derivada da função constante ................................................................ 28
 Derivada da função potência .................................................................. 28
 Derivada do produto de uma constante por uma função ................................. 28
 Derivada da soma e da diferença de duas funções ........................................ 29
 Derivada da função f(x) = sen x ............................................................... 30
 Derivada da função f(x) = cos x ............................................................... 31
 Derivada do produto de funções .............................................................. 31
 Derivada do quociente de funções ........................................................... 31
 A regra da cadeia ............................................................................... 32
 Derivada da função exponencial f(x) = ax ................................................... 33
 Derivada da função logarítmica .............................................................. 33
 Derivadas de ordem superior ................................................................... 35
 Análise do comportamento de funções ........................................................ 36
 Funções crescentes e funções decrescentes ................................................ 36
 Extremos relativos e absolutos ............................................................... 38
 Aplicações de máximos e mínimos .............................................................. 41
limite e Derivada
ConHEçA SEU lIvro
Para que vou estudar este assunto? Onde ele se aplica? Como ele se relaciona com outros tópicos da 
Matemática e com outras Ciências? na introdução de cada capítulo, propomos uma situação-problema, 
que você vai retomar mais tarde. Em seguida, descrevemos sinteticamente o conteúdo a ser abordado, 
listamos suas aplicações mais imediatas e seus aspectos históricos.
Por que isso acontece? Como isso se explica? O que ocorreria se esse detalhe mudasse? Permeando todo 
o texto, você vai encontrar perguntas e questionamentos sobre a teoria apresentada. Com base em suas 
reflexões, você vai produzir, individualmente ou em grupo, pequenos textos matemáticos. 
Como isso funciona? Será que isso sempre ocorre? Que hipóteses essa regularidade sugere? Posso inferir regras 
gerais a respeito? Por meio da experimentação, da investigação e da pesquisa, você vai analisar situações novas, 
fazer conjecturas, formular hipóteses, testá-las e, com base em suas conclusões, construir novos conceitos e 
estabelecer leis gerais relacionadas ao conteúdo. Finalmente, você vai sintetizar suas conclusões por escrito.
Por que os números obedecem a essas regularidades? Posso estabelecer uma lei geral? Qual é a lógica desse 
raciocínio? Por meio dele, a que conclusões posso chegar? Propomos, nesta seção, vários problemas de lógica 
e de raciocínio numérico, explorando relações lógicas, além de regularidades e curiosidades que envolvem, 
principalmente, os números inteiros. 
Questões resolvidas aparecem toda vez que há necessidade de manter situações de aplicação de um 
conteúdo, de uma regra ou de uma fórmula. 
Esta seção aparece a todo momento, sempreque um pequeno segmento se encerra. o objetivo é que você 
explore conceitos, resolva problemas práticos e explore situações novas sobre o conteúdo trabalhado.
nesta seção, a maioria das questões são extraídas de exames vestibulares e das provas do Exame nacional 
do Ensino Médio (Enem). é uma oportunidade para você se familiarizar com as tendências dos concursos 
vestibulares de todo o Brasil, além de possibilitar um aprofundamento do conteúdo, em questões que 
apresentam um nível de dificuldade crescente. 
Introdução 
Questões propostas
Refletindo
Investigando
Questões resolvidas
Questões de revisão 
e aprofundamento
Raciocínio lógico
e numérico
LIMITE E DERIVADA
Fabio Rodrigues Pozzebo / Folha imagem
Bolsa de valores
Apresentamos uma nova ferramenta 
com a qual será possível fazer-se 
um estudo mais detalhado acerca 
do comportamento de funções, tais 
como a função usada para descrever 
a oscilação do valor de ações.
Trata-se do conceito de Limite de 
uma função, que também é empregado 
na determinação de tangentes e 
curvas, o que, naturalmente, nos 
conduz ao conceito de Derivada e 
suas múltiplas aplicações.
Tais conceitos permitiram a 
sistematização de um ramo da 
Matemática considerado por muitos 
como um dos mais importantes 
pilares da ciência moderna: o cálculo 
diferencial e integral, objeto de estudo 
de vários cursos do Ensino Superior.
Limite e Continuidade
Capítulo 1
6
Introdução 
Aníbal, poupador inveterado, resolveu aplicar 
R$ 10 000,00 em regime de juros compostos, a uma 
taxa de 12% ao ano, durante dois anos.
Ansioso por saber quanto ele teria acumulado 
ao fim desse período, resolveu utilizar a fórmula 
 para calcular o montante M, gerado pelo 
capital c, aplicado à taxa i, por um período de tem-
po n.
Como os juros seriam capitalizados anualmente, 
ele concluiu que o montante seria 
Frustrado com o rendimento, ele recorreu ao ge-
rente, que lhe ofereceu outra opção de capitaliza-
ção: a capitalização semestral.
Os juros seriam capitalizados a cada 6 meses, a 
uma taxa semestral proporcional a 12% ao ano, ou 
seja, uma taxa de 6%, pois o ano tem 2 semestres. 
Photos.com Photos.com
Nessas condições, o montante acumulado ao longo 
de 4 semestres (2 anos) seria 
Não satisfeito, Aníbal insistiu com o gerente 
que, dessa vez, lhe propôs a opção de capitali-
zação mensal: os juros seriam capitalizados mês a 
mês, a uma taxa mensal proporcional a 12% ao ano, 
isto é, 1% ao mês. Dessa forma, o montante acumu-
lado ao fim de 24 meses seria dado por 
Foi o suficiente para o ganancioso Aníbal pensar 
em capitalizações diárias, por hora, minutos, segun-
dos ... 
Qual seria, porém, o montante acumulado se o 
número de capitalizações assumisse um valor muito 
alto? Além disso, é possível ficar rico se o número de 
capitalizações tender ao infinito?
Essas respostas podem ser obtidas por meio do 
conceito de Limite, que estudaremos a seguir.
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
7
Noção intuitiva de limite 
Seja a função f: IR→ IR definida por f(x) = x2 − 1, 
representada graficamente a seguir.
Vamos atribuir a x valores arbitrários, próximos 
de 2, e calcular os correspondentes valores de y, para 
que possamos saber como essa função se comporta 
nas vizinhanças de 2.
x f(x)
1,900Aproximação pela 
esquerda de 2
Aproximação 
pela direita de 2
2,610000
1,990 2,960100
1,999
2,000
2,001
2,010
2,100
2,996001
3,000000
3,004001
3,040100
3,410000
f(x) = x2 − 1
3
y
x
2
1
1−1−2 2 3
−1
0
Podemos perceber que, quando x tende para 2 (seja 
por valores maiores, seja por valores iguais ou menores 
que 2), y tende para 3, o que nos leva a escrever
lim( )
x
x
→
− =
2
2 1 3 ,
que será lido da seguinte forma:
O limite da função f(x) = x2 − 1, quando x tende 
a 2, é igual a 3.
De forma geral, se a função f(x) fica 
arbitrariamente próxima de um único número real L 
para os infinitos valores de x próximos do número c, 
então dizemos que a função f tem limite L quando 
x → c, e escrevemos
lim ( )
x c
f x L
→
=
Vale ressaltar que, no estudo do comportamento 
de f(x) quando x tende a um certo valor c, não é 
necessário que f(x) esteja definida em x = c. 
Questões resolvidas
Seja a função R1. f x
x se x
se x
( )
,
,
=
+ ≠
=



1 1
1 1
. Calcule lim ( )
x
f x
→1
.
Resolução:
 y
3
2
1
0−1 1 2 3 x
Com base no gráfico de f(x), podemos perceber que 
y→2 quando x→1.
Determine, caso exista, R2. lim ( )
x
f x
→2
 para a função 
f x
x se x
x se x
( )
,
,
=
≤
+ >




2 2
1 2
.
Resolução:
y
1
10−1−2−3−4 2 3 4
2
3
4
5
6
x
A construção do gráfico de f nos permite notar que 
f(x) se aproxima de 4 à medida que x se aproxima de 
2 pela esquerda e que f(x) se aproxima de 3 quando 
x se aproxima de 2 pela direita.
Uma vez que f(x) se aproximou de valores diferentes 
quando x se aproximou de 2 (pela esquerda e pela 
direita), podemos dizer que lim ( )
x
f x
→2
 não existe.
Limites laterais 
Esse último exemplo serviu para nos mostrar que, 
em certos casos, uma função tende para valores 
diferentes quando x tende a c por valores maiores 
ou menores que c.
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
8
Se x se aproximar de c por valores maiores que c, 
isto é, pela direita de c, podemos utilizar a notação 
lim ( )
x c
f x
→ +
para indicar o limite lateral à direita de c.
De modo análogo, se x se aproximar de c por 
valores menores que c, isto é, pela esquerda de c, 
podemos utilizar a notação lim ( )
x c
f x
→ −
 para indicar o 
limite lateral à esquerda de c.
Refletindo
Para que lim ( )
x c
f x
→
 exista, qual deve ser a relação 
existente entre lim ( )
x c
f x
→ −
 e lim ( )
x c
f x
→ +
?
Questões propostas
Seja y = f(x) a função cujo gráfico se encontra a Q1. 
seguir. Quais das seguintes afirmativas são corretas?
lim ( )
x
f x
→
=
8
3a) 
lim ( )
x
f x
→
=
8
5b) 
lim ( )
x
f x
→ −
=
8
3c) 
lim ( )
x
f x
→ +
=
8
5d) 
f(8) = f(9) = 5e) 
lim ( )
x
f x
→ +
=
9
5f) 
lim ( )
x
f x
→
=
9
5g) 
y
5
3
8 9
y = f(x)
x
Em relação à função y = f(x), representada a seguir, Q2. 
quais das seguintes afirmativas são corretas?
f[f(-1)] = 1a) 
1 < f[f(1)] < 2b) 
f[f(3)] = 2c) 
lim ( ) lim ( ) ( )
x x
f x f x f
→ →− +
= =
1 1
3d) 
lim ( )
x
f x
→
=
3
1e) 
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
→ →− +
=
3 3
f) 
y
3
2
1
10−1 2 3
Propriedades dos limites 
Sejam b e c dois números reais e n um inteiro 
positivo. Sejam, ainda, f e g funções para as quais 
se têm lim ( ) ( )
x c
f x g x L M
→
± = L e lim ( ) ( )
x c
f x g x L M
→
±g = M. São válidas as 
seguintes propriedades:
1.ª) Limite de uma constante
O limite de uma constante é a própria 
constante, isto é, 
lim
x c
b b
→
=
2.ª) Limite da soma ou diferença
O limite da soma (ou diferença) de duas funções 
é igual à soma (ou diferença) dos limites dessas 
funções, isto é,
lim ( ) ( )
x c
f x g x L M
→
±
3.ª) Limite do produto
O limite do produto de duas funções é igual ao 
produto dos limites dessas funções, isto é,
lim[ ( ). ( )] .
x c
f x g x L M
→
=
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
9
4.ª) Limite do quociente
O limite do quociente de duas funções é o 
quociente dos limites dessas funções, desde 
que o limite presente no denominador seja 
diferente de zero, isto é,
 lim ( )x c
g x
→
≠ 0lim ( )
( )
;
x c
f x
g x
L
M→





 =
 
5.ª) Limite de uma potência
O limite da n-ésima potência de uma função 
é igual à n-ésima potência do limite dessa 
função (desde que esta última potência seja 
um número real),isto é, 
lim ( ) lim ( )
x c
n
x c
n
nf x f x L
→ →
  =




=
6.ª) Limite de uma raiz
O limite da raiz n-ésima de uma função é a raiz 
n-ésima do limite da função (desde que esta 
última raiz seja um número real), isto é, 
lim ( ) lim ( ) ;
x c
n
x c
n
nf x f x L
→ →
= = n ∈ IN* e L ≥ 0.
(Se L < 0, n deve ser ímpar)
7.ª) Limite do logaritmo
O limite do logaritmo de uma função é igual ao 
logaritmo do limite dessa função,desde que o 
limite da função seja positivo, isto é,
limlog [ ( )] log [lim ( )] log ;
x c
b b
x c
bf x f x L→ →
= =
(0<b≠1 e L > 0)
8.ª) Limite do seno
O limite do seno de uma função é o seno do 
limite da função, isto é,
lim [ ( )] [lim ( )]
x c x c
sen f x sen f x
→ →
=
9.ª) Limite do cosseno
O limite do cosseno de uma função é o cosseno 
do limite da função, isto é,
lim cos[ ( )] cos[lim ( )]
x c x c
f x f x
→ →
=
10.ª) Limite da função exponencial de base e 
lim ( )
lim ( )
x c
f x f xe e x c
→
= →
Questão resolvida
Aplicando as propriedades dos limites, calcule:R3. 
lim( )
x
x x
→
− +
1
43 2 5a) 
lim sen (2x)
x → 
4
p
b) 
lim( ).
x
xx e
→
++
1
11
3c) 
lim
cos
x
x
x→ +0 43 1
d) 
Resolução:
a) 
 
lim( ) lim lim lim
. .
x x x x
x x x x
→ → → →
− + = − +
= − +
=
1
4
1
4
1 1
4
3 2 5 3 2 5
3 1 2 1 5
6
 b) lim ( ) lim( )
x x
sen x sen x sen
→ →
=








= 




 =p p
p
4 4
2 2
2
1
p p
p
 c) lim( ). lim( ).lim
( ).
lim(
x
x
x x
x
x
x e x e
ex
→
+
→ →
++ = +
= + →
1
1
1 1
11 1
1 1
3 3
1
3 ++
=
1
22
)
.e
 d) 
lim
cos limcos
lim( )
cos lim
.x
x
x
xx
x
x
x
x
→
→
→
→
+
=
+
=
( )
+0 4
0
0
4
0
43 1 3 1 3 0 1
== 1
Limite de uma função 
polinomial 
Se P é uma função polinomial e c é um número 
real, então lim ( ) ( )
x c
P x P c
→
= .
Questão resolvida
Calcule R4. lim( )
x→ 1
2x 54 3
Resolução:
lim ( ) =
x
x x 2x
→−1
54 3
3. (−1)4 − (−1)3 + 2.(−1) + 5 = 7
―
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
10
Limite de uma função 
racional 
Se P(x) e Q(x) são funções polinomiais e Q(c) ≠ 0, 
então lim ( )
( )
( )
( )x c
P x
Q x
P c
Q c→
= .
Questões propostas
Calcule:Q3. 
lim( )
x
x x
→
+ −
1
23 2 5a) 
lim( )
x
x x x
→−
− + −
1
3 2 1b) 
lim
x
x
x→
+
−6
2
5
c) 
lim
x
x
x→−
+
+4 2
4
4
d) 
lim( )( )
x
x x
→
− −
3
1 4e) 
lim( )
x
x x
→−
+ − −
1
17 63f) 
lim
x
x xe
→
+
1
32g) 
lim
cosx
x
x→
+
+0
2 1
1
h) 
lim(log log )
x
x x
→
−
1 2 1
3
8 27i) 
Determine Q4. lim ( )
x
f x
→2
 em cada caso:
li
x→2a) 
li
x→2b) 
lim
( )x
x
f x→
=
2
4 12
5
c) 
Cálculo de limites quando o 
numerador e o denominador 
tendem a zero 
Se f e g forem funções para as quais 
lim ( ) lim ( )
x c x c
f x g x
→ →
= = 0 , nada poderemos dizer, a 
princípio, sobre lim
( )
( )x c
f x
g x→
.
Dependendo das funções f e g, esse limite pode 
assumir um valor real qualquer ou pode até não 
existir. 
Dizemos que 0
0
 é uma forma indeterminada, 
pois ela nada nos diz sobre tal limite.
Nesses casos, podemos nos valer de certos 
artifícios algébricos, apresentados a seguir.
Cálculo de limites por meio 
de fatoração
Se, no cálculo do limite de uma função racional, 
o numerador e o denominador da função tenderem 
a zero quando x tender a um certo valor c, devemos 
fatorar e simplificar a referida função (se for possível) 
antes de fazermos a substituição de x por c.
Questão resolvida
Calcule R5. lim
x
x
x→
−
−1
3
2
1
1
.
Resolução:
Como 1 é raiz do polinômio x3 −1, vamos utilizar o 
dispositivo prático de Briot-Ruffini:
1 1 0 0 −1
1 1 1 0
Logo:
 x3 −1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
 
Portanto:
= = =lim
x
x
x→
−
−1
3
2
1
1
lim
( )( )
( )( )x
x x x
x x→
− + +
− +1
21 1
1 1
lim
x
x x
x→
+ +
+1
2 1
1
3
2
Refletindo
A função 
x
x
3
2
1
1
−
− está definida para x = 1? Por 
que pudemos cancelar o fator (x − 1), comum ao 
numerador e ao denominador? O que se pode 
dizer a respeito de lim
x
x
x→
−
−1
3
2
1
1
? 
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
11
Questão resolvida
Calcule R6. lim
x
x x
x x→
− +
−2
4
3 2
10 4
2
Resolução:
Uma vez que 2 é raiz do polinômio x4−10x + 4, 
podemos, novamente, utilizar o dispositivo prático 
de Briot-Ruffini e escrever que
x4 −10x + 4 = (x − 2)(x3 + 2x2 + 4x − 2).
Além disso, evidenciando o fator comum x2 no 
polinômio x3 − 2x2, notamos que x3 − 2x2 = (x − 2)x2.
Portanto:
lim
x
x x
x x→
− +
−2
4
3 2
10 4
2
lim
( )( )
( )x
x x x x
x x→
− + + −
−2
3 2
2
2 2 4 2
2
lim
x
x x x
x→
+ + − =
2
3 2
2
2 4 2 11
2
= =
Questão proposta
Calcule os seguintes limites:Q5. 
lim
x
x
x→−
−
+1
2 1
1
a) 
lim
x
x
x→
−
−3
2 9
3
b) 
lim
x
x x
x x→
+ −
+ −1
2
2
2
2 3
c) 
lim
x
x x
x→
− −
−5
2
2
2 9 5
3 75
d) 
lim
x
x x x
x x→ −
+ − −
+ +1
3 2
2
2 2
7 6
e) 
lim
x
x x
x x x→
− +
+ − +2
3 2
3 2
3 4
16 20
f) 
lim
x
x
x→
−
−1
7
3
1
1
g) 
lim
x
x x
x x x→
− −
− − −5
3
3 2
19 30
2 13 10
h) 
Cálculo de limites por meio 
de racionalização
Questões resolvidas
Calcule R7. lim
x
x x
x→
− +
−1
2 1
1
.
Resolução:
Em virtude da indeterminação 
0
0
, vamos recorrer 
ao artifício da racionalização do numerador:
lim
x
x x
x→
− +
−1
2 1
1
=
lim .
x
x x
x
x x
x x→
− +( )
−( )
+ +( )
+ +( )










1
2 1
1
2 1
2 1
 =
lim
( )
x
x x
x x x→
− +
−( ) + +( )1
2 1
1 2 1 =
lim
( )
x
x
x x x→
−
−( ) + +( )1
1
1 2 1
=
lim
x x x→ + +( )1
1
2 1 =
1
2 2
2
4
=
Calcule R8. lim
x
x
x→
+ −
− −4
2 1 3
2 2
.
Resolução:
Vamos multiplicar o numerador e o denominador 
pelo “conjugado” do numerador e também pelo 
“conjugado” do denominador:
lim
x
x
x→
+ −
− −4
2 1 3
2 2
 = 
lim . .
x
x
x
x
x
x
x→
+ −( )
− −( )
+ +( )
+ +( )
− +( )
− +( )





4
2 1 3
2 2
2 1 3
2 1 3
2 2
2 2





lim
x
x x
x x→
+ −( ) − +( )
− −( ) + +( )










4
2 1 9 2 2
2 2 2 1 3 
=
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
12
lim
x
x x
x x→
−( ) − +( )
−( ) + +( )










4
2 4 2 2
4 2 1 3
 =
2 2 2
9 3
2 2
3
( )+
+( ) =
Cálculo de limites por meio de 
mudança de variável
Questão resolvida
Calcule R9. lim
x
x
x→
−
−1
3 1
1
.
Resolução:
Faremos a mudança de variáveis x y y= ≥6 0, para 
facilitar os cálculos.
Se x →1, então y6 →1 e y→1, pois estamos 
considerando y ≥ 0.
A escolha do expoente 6, para a nova variável y, é 
justificada pelo fato de mmc (2,3) ser igual a 6.
lim lim lim
x y y
x
x
y
y
y
y→ → →
−
−
=
−
−
= −
−
=
1
3
1
63
6 1
2
3
1
1
1
1
1
1
lim
( )( )
( )( )y
y y
y y y→
− +
− + +
=
1 2
1 1
1 1
lim
( )
( )y
y
y y→
+
+ +
=
1 2
1
1
2
3
Questão proposta
Calcule os seguintes limites:Q6. 
lim
x
x
x→
−
+ −2 2
2
5 3
a) 
lim
x
x
x→
+ −
−8
1 3
8
b) 
lim
x
x x
x→
+ − −
0
1 1
c) 
lim
x
x
x→
− +
− −4
3 5
1 5
d) 
lim
x
x x
x x x→
− −
− −3 2
6
6
e) 
lim
x
x x x
x x→
+ − + −
−2
2 2
2
5 4 3
2
f) 
lim
x
x
x→
+ −
0
3 3g) 
lim
x
x
x→
+ −
− −2
4 1 3
3 2 2
h) 
lim
x
x
x→
−
+ −1 3
1
2 6 2
i) 
lim
x
x
x→
−
−1
3
4
1
1
j) 
lim
x
x
x→
−
−64 3
8
4
k) 
lim
x
x
x→
+ −
+ −0
3 32 2
2 2
l) 
lim
( )
x
x
x→
+ −
0
42 16
m) 
Continuidade 
Uma função f é dita contínua num ponto x = c de 
seu domínio se, e somente se, as condições a seguir 
forem satisfeitas:
1.ª) existe f(c)
2.ª) existe lim ( )
x c
f x
→
3.ª) lim ( ) ( )
x c
f x f c
→
=
Caso uma ou mais condições acima não forem 
satisfeitas, dizemos que a função é descontínua em 
x = c.
Se a continuidade puder ser verificada em todos 
os pontos do domínio de uma função, esta será 
denominada função contínua.
São funções contínuas:
I) as funções polinomiais (contínuas para todo 
número real);
II) as funções racionais (contínuas em todos os 
pontos de seus domínios);
III) as funções raízes (contínuas em todos os pontos 
de seus domínios);
IV) as funções exponenciais (contínuas para todo 
número real);
V) as funções logarítmicas (contínuas em todos os 
pontos de seus domínios);
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
13
VI) as funções trigonométricas f(x) = senx e 
f(x) = cosx (contínuas para todo número real) e 
as demais funções trigonométricas (contínuas 
em todos os números de seus domínios).
Refletindo
Verifique se as funções representadas graficamente 
a seguir são contínuas em x = c. Em caso negativo, 
informe qual (ou quais) condição(ões)não foi(foram) 
satisfeita(s).
Questões resolvidas
Verifique a continuidade da função R10. 
f x
x x x
x x
( )
,
,
=
+ ≥
− <




2 4 0
2 0
 em x = 0.
Resolução:
Cálculo de f(0):
f(0) = 02+4.0 = 0
Cálculo de lim ( )
x
f x
→0
:
lim ( )
x
f x
→ −
= −
0
2 e lim ( )
x
f x
→ +
=
0
0
Uma vez que os limites laterais foram diferentes, 
podemos afirmar que não existe lim ( )
x
f x
→0
.
Como somente a 1.ª condição foi satisfeita, podemos 
concluir que essa função é descontínua em x = 0.
Seja R11. λ ∈ IR e f: IR→ IR a função definida por 
f x
x se x
x se x
( )
,
,
= − >
− ≤




3 3
2 3lλ
. Calcule o valor de λ 
para que f(x) seja contínua em x = 3.
Resolução:
Para que a 2.ª condição seja satisfeita, é necessário 
que lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
→ →− +
=
3 3
.
Logo, podemos afirmar que 2 3 3 3 6. − = − ⇒ =l lλ λ .
Questões propostas
Para cada uma das funções a seguir, calcule f(xQ7. o), 
lim ( )
x xo
f x
→ −
 e lim ( )
x xo
f x
→ +
. Em seguida, diga se essas 
funções são contínuas ou descontínuas em x = xo.
f x
x
x
x
x
( ) ,
,
= ≠
=




0
0 0
a) , xo = 0
f x
x x
x
x x
( )
,
,
,
=
− <
=
− >





1 3
5 3
8 3
b) , xo = 3
f x
x x
x
x x
( )
,
,
,
=
+ >
=
− <





2 1 2
5 2
7 9 2
c) , xo = 2.
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
14
Determine os valores de a e b para os quais a função Q8. 
f x
x x
ax b x
x x
( )
,
,
,
=
− < −
+ − ≤ <
− ≥





2
2
4 1
1 2
4 2
 é contínua, qualquer que 
seja x ∈ IR.
Seja a função Q9. f: IR →IR definida por 
f x
x se x
kx se x
( )
( ),
,
=
− <
≥



2 2 1
1 . Determine k, de 
modo que f seja contínua em x = 1.
Seja Q10. λ ∈ IR e seja f: IR →IR a função definida por 
f x
x se x
se x
( )
,
,
=
− ≠
=



2 4 3
2 3lλ
. Calcule λ para que f(x) 
seja contínua em x =3.
Seja a função Q11. f x
x
x
se x
k se x
( ) ,
,
=
+ −
−
≠
=




2 2
2
2
3 2
.
Determine k para que f(x) seja contínua em x =2.
Limites infinitos 
Há funções para as quais os valores de f(x) 
aumentam ou diminuem ilimitadamente quando a 
variável independente se aproxima de um número 
real c. 
Vejamos alguns exemplos:
Consideremos a função f: IR → IR − {2} definida por 
f x
x
( )
( )
=
−
1
2 2
, representada graficamente a seguir:
y
x20
Notemos que, quando x tende a 2, seja pela 
esquerda, seja pela direita, a função assume 
valores arbitrariamente grandes, o que nos permite 
escrever:
lim ( )
x
f x
→
= +∞
2
Vale ressaltar que +∞ e − ∞ não são números 
reais. Dessa forma, o limite acima não existe. O 
símbolo ∞ apenas indica como a função se comporta 
quando x fica cada vez mais próximo de 2.
Consideremos, também, a função f: IR → IR − {1} 
definida por f x
x
x
( )
( )
=
−
2
1
, cujo gráfico se encontra 
esboçado a seguir:
y
1
2
x
Observemos que, quando x tende a 1 
pela esquerda, a função f(x) assume valores 
arbitrariamente pequenos. Para indicarmos que 
f(x) diminui ilimitadamente quando x tende a 1 por 
valores menores que 1, escrevemos:
lim ( )
x
f x
→ −
= − ∞
1
Por outro lado, quando x tende a 1 por valores 
maiores que 1, percebemos que f(x) aumenta ilimi-
tadamente, o que indicaremos da seguinte forma:
lim ( )
x
f x
→ +
= +∞
1
Constatamos, neste caso, que lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
→ →− +
≠
1 1
.
Limites de funções quando x 
tende ao infinito 
Podemos estar interessados em estudar o 
comportamento das funções quando a variável 
independente cresce ou diminui indefinidamente.
Vejamos alguns exemplos:
Comecemos pela função f: IR* → IR definida por 
f x
x
( ) = 1 :
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
15
y
x0
É fácil perceber que, quando x → +∞ (x tende 
para o infinito), o valor da função f(x) se aproxima 
cada vez mais de 0. 
O que acabamos de afirmar pode ser expresso da 
seguinte maneira:
lim ( )
x
f x
→+∞
= 0
De modo análogo concluímos que, quando 
x → –∞ (x tende para menos infinito), o valor da 
função f(x) também se aproxima cada vez mais de 
zero, ou seja:
lim ( )
x
f x
→−∞
= 0
Analisamos, anteriormente, o comportamento 
da função f: IR → IR − {1} definida por f x
x
x
( )
( )
=
−
2
1
, 
quando x tendia a 1, por valores menores e maiores 
que 1.
Agora estamos interessados em saber como esta 
função se comporta quando x → +∞ e quando x → –∞.
y
x1
2
O gráfico acima nos permite afirmar que 
lim ( )
x
f x
→−∞
= 2 e lim ( )
x
f x
→+∞
= 2
Refletindo
Considerando a função f: IR*→IR definida por 
f x
xn
( ) = 1 , com n ∈ IN*, existe algum valor para o 
qual se tenha f(x) = 0? O que podemos afirmar, 
neste caso, a respeito de lim ( )
x
f x
→+∞
e lim ( )
x
f x
→−∞
?
Limite da função polinomial quan-
do x→±∞
Seja a função polinomial f(x), de grau n, com 
an ≠ 0, definida por:
f x a x a x a x a x an
n
n
n( ) ...= + + + + +−
−
1
1
2
2
1 0
Evidenciando o fator xn, obtemos:
f x x a
a
x
a
x
a
x
a
x
n
n
n
n n n
( ) ...= + + + + +





− − −
1 2
2
1
1
0
Quando x → ±∞ , os termos 
 tendem todos a zero.
Por conseguinte, temos que:
lim ( ) lim ...
lim
x x
n
n
n
n n
x
f x x a
a
x
a
x
a
x→±∞ →±∞
−
−
→±
= + + + +






=
1 1
1
0
∞∞
a xn
n
Concluímos, então, que o limite de uma função 
polinomial, quando x → ±∞ , é igual ao limite de 
seu termo de maior grau.
Analogamente, se h x
f x
g x
( )
( )
( )
= é uma função racional 
com f x a x a x a x a x an
n
n
n( ) ...= + + + + +−
−
1
1
2
2
1 0 
e g x b x b x b x b x bm
m
m
m( ) ...= + + + + +−
−
1
1
2
2
1 0 , 
temos:
lim
( )
( )
lim
x x
n
n
m
m
f x
g x
a x
b x→±∞ →±∞
=
a
x
a
x
a
x
a
x
n
n n n
−
− −
1 2
2
1
1
0,..., , ,
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
16
Questão resolvida
Calcule os limites a seguir:R12. 
lim
x
x x
→+∞
−5 33 2a) 
lim
x
x x
→−∞
− + +3 4 3b) 
lim
x
x x
x→+∞
+ −
−
2 6 5
4 2
3
5c) 
lim
x
x x x
x x→+∞
+ − +
+ −
6 3 2 1
3 5 2
4 2
4d) 
lim
x
x x x
x→−∞
− + − +
−
4 2 3
3 7
3 2
e) 
lim
x
x x x
→+∞
+ + −( )2 4 3f) 
Resolução:
lim lim
x x
x x x
→+∞ →+∞
− = = +∞5 3 53 2 3a) 
Observação: Não podemos escrever 
lim
lim lim
x
x x
x x
x x
→+∞
→+∞ →+∞
− =
− =
+∞ − ∞
5 3
5 3
3 2
3 2
devido ao fato de ∞ não ser número. Consideramos 
+∞ − ∞ uma forma indeterminada.
lim lim
x x
x x x
→−∞ →−∞
− + + = − = +∞3 34 3b) 
lim lim lim
x x x
x x
x
x
x x→+∞ →+∞ →+∞
+ −
−
= = =2 6 5
4 2
2
4
2
4
0
3
5
3
5 2c) 
Obs.: Conforme já fora dito anteriormente, ∞ não é 
número. Portanto, não podemos escrever
lim
lim
lim
x
x
x
x x
x
x x
x
→+∞
→+∞
→+∞
+ −
−
=
+ −
−
= ∞
∞
2 6 5
4 2
2 6 5
4 2
3
5
3
5
Consideramos 
∞
∞
 um outro tipo de forma 
indeterminada.
lim lim lim
x x x
x x x
x x
x
x→+∞ →+∞ →+∞
+ −
+ −
= = =6 3 2
3 5 2
6
3
2 2
4 2
4
4
4d) 
lim lim
lim
x x
x
x x x
x
x
x
x
→−∞ →−∞
→−∞
− + − +
−
= −
= −




 = −
4 2 3
3 7
4
3
4
3
3 2 3
2 ∞∞
e) 
Devido à presença daf) forma indeterminada do 
tipo +∞ − ∞ , para calcularmos este limite, vamos 
multiplicar o numerador e o denominador pelo 
“conjugado” de x x x2 4 3+ + −( ) .
lim
lim .
x
x
x x x
x x x
x x x
x x x
→+∞
→+∞
+ + −( ) =
+ + −( ) + + +( )
+ + +
2
2
2
2
4 3
4 3
4 3
4 3(( )










=
+
+ + +( ) =
+
+ +
→+∞
→+∞
lim
lim
x
x
x
x x x
x
x
x x
4 3
4 3
4 3
1
4 3
2
2
2




+






=
x
Uma vez que x x2 = , se x ≥ 0, obtemos:
lim
lim
x
x
x
x
x
x x
x
→+∞
→+∞
+



+ +



+






=
+

4
3
1
4 3
1
4
3
2


+ +



+






=
1
4 3
1
2
2x x
Questões propostas
A função Q12. f x
x
( ) =
−
1
12
 encontra-se representada 
graficamente a seguir. Observando seu gráfico, 
determine, se existir:
x
y
1
10−1−2−3 2 3
−1
−2
−3
−4
2
3
4
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
17
lim ( )
x
f x
→−∞
a) 
lim ( )
x
f x
→+∞
b) 
lim ( )
x
f x
→− −1
c) 
lim ( )
x
f x
→− +1
d) 
lim ( )
x
f x
→−1e) 
lim ( )
x
f x
→ +0
f) 
lim ( )
x
f x
→ −0
g) 
lim ( )
x
f x
→0
h) 
lim ( )
x
f x
→ −1
i) 
lim ( )
x
f x
→ +1
j) 
Os esboços dos gráficos da função f:IR Q13. →IR*+ definida 
por f(x) = ax, para os casos em que a > 1 e 0<a<1, 
encontram-se registrados a seguir.
y y = a
x
a > 1 0 < a < 1
y = ax y
x x
Observando-os, determine o valor dos seguintes limites:
lim
x
x
→−∞
10a) 
lim ,
x
x
→−∞
0 5b) 
lim
x
xe
→−∞
c) 
lim
x
x
→−∞






p
4
pd) 
lim
x
x
→+∞
2e) 
lim
x
x
→+∞






1
3
f) 
lim
x
x
→+∞
( )2g) 
A seguir encontram-se esboçados os gráficos da Q14. 
função f: IR*+→IR definida por f(x) = log a x.
0 < a < 1a > 1
y
y = loga x y = loga x
y
x x
Observando-os, encontre o valor dos seguintes limites:
lim log
x
x
→ +0
a) 
lim log
x
x
→ +0
1
5
b) 
lim ln
x
x
→+∞
c) 
lim log
x
x
→+∞ 3
2
d) 
Construa o gráfico da função Q15. 
f: IR − 
p
p
2
+




kp p →IR (k ∈ Z) 
definida por f(x) = tg x. Em seguida, determine:
lim
x
tgx
→
−p
2
p
a) 
lim
x
tgx
→
+p
2
p
b) 
Calcule os limites a seguir:Q16. 
lim
x
x
x x→ +
−
− +4 2
1
5 4
a) 
lim ( )
x
x x
→−∞
+ −2 1004 2b) 
lim ( )
x
x x
→−∞
+ +5 2 173c) 
lim
x x x→+∞ + +
2
12
d) 
lim
x
x x
x x→+∞
+ +
+ +
5 4 3
7 5 1
2
2e) 
lim
x
x x
x→−∞
+ −
+
2 3 7
2 1
f) 
lim
x
x x
x→+∞
+ −
+
2 3 7
2 1
g) 
lim
x
x x
x x→−∞
− + +
− +
3 3 1
4 7
2
2h) 
lim
x
x x
x x x→+∞
+ +
+ + −
4 2 3
5 3 4
2
3 2i) 
lim
x
x x x
x x x→−∞
− + +
+ − +
9 4 1
5 2 7
3 2
5 3j) 
lim
x
x x x
→+∞
− + −( )2 1k) 
Teorema do confronto 
Certos limites não podem ser obtidos, facilmente, 
de forma direta. Todavia, tais limites podem ser 
calculados, de forma indireta, se fizermos uso do 
importante teorema que enunciaremos a seguir e que 
também é conhecido como “teorema do sanduíche”.
Se f, g e h são funções que estão definidas em 
algum intervalo aberto I que contém c, exceto, 
possivelmente, no próprio c, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para 
todo x em I, tal que x ≠ c e lim ( ) lim ( )
x c x c
f x h x L
→ →
= = , 
então lim ( )
x c
g x L
→
= .
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
18
Questão resolvida
Utilizando o teorema do confronto, calcule R13. 
lim
x
x sen
x→0
2 1 .
Resolução:
Não podemos simplesmente substituir x por 0 porque 
lim
x
sen
x→
=
0
1
0 não existe.
Como − ≤ ≤ ∀1 1senq q, ,q q podemos afirmar que
− ≤ ≤1 1 1sen
x
Multiplicando a desigualdade acima por x², 
obtemos
− ≤ ≤x x sen x x
f x
g x
h x
2 2 21
( )
( )
( )
/    
Visto que lim lim
x x
x x
→ →
− = =
0
2
0
2 0 , concluímos que 
lim
x
x sen
x→
=
0
2 1 0 , que pode ser comprovado pelo 
gráfico a seguir.
0.05
0.05
0.1−0.1−0.2−0.3−0.4 0.2 0.3 0.4
0.1
0.1
0.15
0.15
Limite trigonométrico 
fundamental 
Seja a função f: IR* → IR definida por 
f x
sen x
x
( ) = .
Embora saibamos que tal função não está 
definida para x = 0, podemos desejar saber como 
ela se comporta à medida que x assume valores 
arbitrariamente próximos de zero.
Como, porém, calcular lim
x
sen x
x→0
?
O resultado deste importante limite será a con-
clusão da demonstração apresentada na sequência.
Consideremos um círculo de raio unitário e 
x um arco (medido em radianos), de modo que 
0
2
< <x pp , como representado na figura a seguir:
Seno Tangente
Cosseno
T
tg x
P
HO
x
A
Pela figura, verificamos que é verdade que 
Área DOPH < Área do setor OAP < Área do DOAT.
Como PH sen x= ; OA = 1 e AT tg x= , temos que:
Área DOPH = sen x x.cos
2
,
Área setor OAP = x.1
2
 e
Área DOAT = 1
2
.tg x
Logo, sen x x.cos
2
 < x.1
2
< 1
2
.tg x .
Dividindo todos os membros da desigualdade 
acima por sen x.
2
 (>0), obtemos:
cosx < x
sen x
< 1
cosx
.
Uma vez que todos os termos desta última 
desigualdade são positivos, podemos escrever:
1
cosx
> sen x
x
> cosx
Visto que 1
cosx
 e cosx tendem a 1, quando x 
tende a 0, pelo Teorema do Confronto, concluímos 
y = x2
y = x2 sen 1 
 x
y = ―x2
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
19
que 
sen x
x
→ 1 quando x → 0 .
De maneira análoga, provamos também para x < 0.
Logo, 
lim
x
sen x
x→
=
0
1
O gráfico a seguir, correspondente à função 
f x
sen x
x
( ) = , ilustra este resultado.
y
x105−5
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−10
x
y = sen x
x
Questão resolvida
Calcule os seguintes limites:R14. 
lim
x
sen x
x→0
5
a) 
lim
x
sen x
sen x→0
3
5
b) 
lim
cos
x
x
x→
−
0 2
1
c) 
lim
x
tg x
x→0
d) 
Resolução:
lim lim
.
.lim
.
x x x
sen x
x
sen x
x
sen x
x→ → →
= = =
=
0 0 0
5 5 5
5
5
5
5
5 1 5
a) 
lim lim
.
.
lim .
x x
xsen x
sen x
sen x
x
sen x
x
sen x
x
→ →
→
= =

0 0
03
5
3
3
3
5
5
5
3
3
3






=




→
→
→
lim .
.
lim
lim
x
x
x
sen x
x
sen x
x
se
0
0
0
5
5
5
3
5
3
3
nn x
x
5
5
3
5
1
1
3
5



= =.
b) 
Uma vez que c) ( cos )( cos )1 1 2− + =x x sen x , vamos 
multiplicar tanto o numerador quanto o denominador 
de 1
2
− cos x
x
 por ( cos )1+ x . Assim:
lim
cos
lim
cos cos
cos
lim
x x
x
x
x
x x
x x
sen
→ →
→
− =
−( ) +( )
+( ) =0 2 0 2
0
2
1 1 1
1
xx
x x
sen x
x xx x2 0
2
01
1
1
1
1
2
1
2
+( ) =





 +( ) =
=
→ →cos
lim .lim
cos
.
d) lim lim
cos
lim
.cos
lim .li
x x x
x
tg x
x
sen x
x
x
sen x
x x
sen x
x
→ → →
→
= = =
0 0 0
0
mm
cos
.
x x→
= =
0
1
1 1 1
Questão proposta
Calcule os seguintes limites:Q17. 
lim
x
sen x
x→0
2
3
a) 
lim
x
sen x
sen x→0
4
8
b) 
lim
cos
.x
x
x sen x→
−
0
1
c) 
lim
sec
x
x
x→
−
0 2
1
d) 
lim
cosx
tg x
x→
−
4
1
2p
e) 
lim
x k
sen x senk
x k→
−
−
f) 
Use a identidade 
senm senn sen
m n m n− = − +2
2 2
cos
lim
cosx
tg x
sen x x→
−
−
4
1
g) 
Limite exponencial 
fundamental 
Seja a função f x
x
x
( ) = +




1
1
, cujo domínio é 
dado por x x x∈ < − >{ }IR ou| 1 0 . 
p
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
20
Fazendo uso de uma calculadora científica, 
podemos construir a tabela 
x f x
x
x
( ) = +




1
1
−10000 2,7184
−1000 2,7196
−100 2,7320
−10 2,8680
−1,1 13,9808
0,1 1,2710
1 2
10 2,5937
100 2,7048
1000 2,7169
10000 2,7181
100000 2,7183
com base na qual o seguinte gráfico pode ser 
construído: y
0
1
−1
−2 2 4−4−6
2
3
4
5
x
Tanto a tabela quanto o gráfico acima nos 
sugerem, intuitivamente, que, à medida que 
x→ ±∞, f x e( ) → , em que e é o número de Euler 
(2,7182818...).
De fato, é possível provar que:
lim
x
x
x
e
→±∞
+




 =1
1
Refletindo
O número de Euler é um número irracional que pode 
ser obtido a partir de 1 1
0
1
1
1
2
1
30 nn ! ! ! ! !
...
=
∞
∑ = + + + + .
Questão resolvida
Calcule os seguintes limites:R15. 
lim
x
x
x→∞
+




1
3
2
a) 
lim
x
xx
→
+( )
0
4
1 4b) 
lim
x
x
x
x→∞
+
−






1
1
c) 
Resolução:
Vamos substituir a) 3
x
 por 
1
y
 e, consequentemente, 
x por 3y.
Neste caso, observamos que x → ∞ e que, portanto, 
y também tenderá a ∞.
Logo, 
lim lim
lim
.
x
x
y
y
y
x
x y
y
→∞ →∞
→∞
+




 = +





 =
+







1
3
1
1
1
1
2 2 3







= +














=
→∞
6 6
61
1
lim
y
y
y
e
Fazendo b) 4
1
x
y
= e, consequentemente, x
y
= 1
4
, 
notamos que, quando y → ±∞, x → 0.
Logo, 
lim lim
lim
x
x
y
y
y
y
x
y
y
→ →±∞
→±∞
+( ) = +




 =
+










0
4 16
1 4 1
1
1
1 



=
16
16e
Fazendo c) x
x t
+
−
= +1
1
1
1 , por meio de manipulação 
algébrica, notamos que x t= +2 1.
Notamos que, quando x →∞ , t →∞ também.
Logo,
lim
x
x
x
x→∞
+
−






1
1
= lim
t
t
t→∞
+
+




1
1
2 1
 = lim .
t
t
t t→∞
+




 +














1
1
1
1
2 1
 
= lim .lim .
t
t
tt t
e e
→∞ →∞
+













+



 = =1
1
1
1
1
2
2 2
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
21
Questão proposta
Calcule os seguintes limites:Q18. 
lim
x
x
x→∞
+




1
7a) 
lim
x
x
x→∞
−




1
6b) 
lim
x
x
x→∞
+




1
3
5
c) 
lim
x
x
x→∞
+




1
5
2
d) 
lim
x
x
x→∞
+




1
2 4e) 
lim
x
xx
→
+( )
0
1
1 4f) 
lim
x
x
x
x→−∞
+





8g) 
lim
x
x
x
x→∞
+
−






1
1
h) 
Questões de revisão 
e aprofundamento
(UF-PA) Dado o gráfico da função y = f(x), podemos Q19. 
afirmar que:
y
xa
b
c
y = f(x)
lim ( )
x a
f x b
→
=a) 
lim ( )
x a
f x c
→
=b) 
lim ( )
x a
f x
→
= 0c) 
lim ( )
x a
f x c
→ −
=d) 
lim ( )
x a
f x b
→ −
=e) 
(UF-PA) Seja f definida por Q20. f x
x se x
se x
( ) =
+ ≠
=



3 1
2 1
. 
Qual o valor de lim ( )
x
f x
→1
?
1a) 
2b) 
3c) 
4d) 
5e) 
(Mack-SP) Q21. lim
x x
x
x x→ −
+ −
+ −



2 2
1
2
7
6
 é igual a:
0a) 
2
5
b) 
3
5
c) 
1d) 
5
2
e) 
(UF-PR) O Q22. lim
x
x x
x x→
− +
+ −2
2
2
2 12 16
3 3 18
 é igual a:
− 4
15
a) 
− 2
5
b) 
− 1
2
c) 
− 3
2
d) 
− 5
2
e) 
(UF-PA) Qual o valor de Q23. lim
x
x
x→
−
−2
2
2
?
 0a) 
1
4
b) 
1
2
c) 
2
4
d) 
1
2
e) 
(PUC-SP) Q24. lim
x
x
x→
+ −
+ −0 3
1 1
1 1
 é igual a:
1
3
a) 
2
5
b) 
3
5
c) 
2
3
d) 
3
2
e) 
T
A
M
L
I
M
I
T
E
E
C
O
N
T
I
N
U
I
D
A
D
E
22
(Mack-SP) O valor de Q25. lim
.
x
x x
x→
− +
−0
22 4 2 3
2 1
 é:
–1a) 
–2b) 
c) ∞
0c) 
1d) 
(UFU) A função Q26. f x
x
x
( ) = −
−
2
3
1
1
 não está definida para 
x = 1. Para que a função f(x) seja contínua no ponto 
x = 1, devemos completá-la com f(1) =
−a) ∞
2
3
b) 
1
3
c) 
+d) ∞
0e) 
(Q27. PUCMinas) Se L = lim
x
x
x→ −∞
−
+
2 8
1
3 , o valor de L é:
−2a) 
−1b) 
0c) 
1d) 
2e) 
(UF-PA) Qual o valor de Q28. lim
x
x x
x x→ +∞
+ +
+ −
2 1
4 5
2
3 ?
0a) 
2b) 
4c) 
−d) ∞
+e) ∞
(PUC-SP) Q29. lim
x
x x
x→∞
+ +
−
4 6 3
5
2
2 é igual a:
−2a) 
−1b) 
0c) 
1d) 
2e) 
(UF-PA) Calcular Q30. lim
x
x x x
→∞
− + −( )2 5 7 .
− 5
2
a) 
− 2
5
b) 
1c) 
2
5
d) 
5
2
e) 
(PUC-SP) Q31. lim
x
sen x
sen x→0
5
4
 é igual a:
2a) 
1
2
b) 
5
4
c) 
3
4
d) 
2
3
e) 
(PUC-SP) O valor de Q32. lim
x
tgx x
x→
+
0
 é igual a:
0a) 
1b) 
2c) 
−d) ∞
+e) ∞
(PUC-SP) Se Q33. lim
x
x
x
e
→∞
+




 =1
1
, então, para k real e 
não nulo, o limite lim
x
kx
x→∞
+




1
1
 vale:
kea) 
eb) k
kc) e
e + kd) 
e/ke) 
(Cescem) Q34. lim
n
n
n→∞
+ +













5 1
1
 vale:
5ea) 
eb) 5
5 – ec) 
5 + ed) 
5e) e
Derivada
Capítulo 2
Introdução 
Suponhamos que o lucro mensal de uma rede 
de sorveterias possa ser modelado pela função 
, em que x 
corresponde ao número de bolas de sorvete vendidas 
durante o mês . 
Quando do estudo das funções quadráticas, vimos 
que o valor máximo ou mínimo sempre ocorre na orde-
nada do vértice da parábola correspondente à função.
Sendo assim, para o problema apresentado 
acima, se desejássemos saber qual o lucro máximo 
que essa rede de sorveterias poderia obter, ou então, 
a quantidade ideal de bolas de sorvete que ela 
deveria vender, poderíamos nos valer, apenas, das 
coordenadas do vértice da parábola correspondente 
a tal função do 2.º grau.
Entretanto, há um outro caminho, que pode 
ser considerado melhor do que o que acabamos de 
descrever por não estar restrito apenas a funções 
quadráticas.
Trata-se da aplicação das derivadas em problemas 
de otimização, conforme você poderá perceber no 
fi m deste capítulo.
23
T
A
M
24
D
E
R
I
V
A
D
A
Taxa de variação 
Taxa média de variação
Consideremos o gráfi co a seguir, correspondente à 
função y = f(x), cuja lei estabelece o relacionamento 
entre as grandezas x e y.
y
∆y
f(x)f(x1)
f(x0)
x0 x1 x
Expressando a variação de x, de xo para x1, por 
∆x (∆x = x1 − xo) e a consequente variação de y, de 
f(xo) para f(x1), por ∆y (∆y = f(x1) − f(xo)), podemos 
defi nir a taxa média de variação de y em relação a 
x, no intervalo [xo, x1] pelo quociente
∆
∆
y
x
ou seja, por
f x f x
x x
o
o
( ) ( )1
1
−
−
chamado de razão incremental.
Da Geometria Analítica, sabemos que o quociente 
acima pode ser interpretado como a inclinação 
(ou coefi ciente angular) da reta secante à curva 
correspondente à função y = f(x), que passa pelos 
pontos (xo, f(xo)) e (x1, f(x1)). 
y y = f(x)
f(x1)
f(x0)
x0 x1 x
P
Q
Refl etindo
O que nos informa o coefi ciente angular de uma 
reta? Qual a unidade para a taxa média de variação? Se 
y é uma distância e x é o tempo, que nome podemos 
dar à taxa média de variação de y em relação a x?
Questão resolvida
Num estudo sobre a maneira como o corpo humano R1. 
metaboliza o cálcio, um pesquisador injetou uma 
pequena quantidade de cálcio, quimicamente 
marcada, na corrente sanguínea de um paciente e 
mediu a rapidez com que a substância foi removida 
do sangue. A concentração C de cálcio marcado, 
medida em mg/Ml de sangue, foi monitorada em 
intervalos de 1 hora, durante 4 horas, após a injeção, 
dando origem à tabela a seguir. 
t 0 1 2 3 4
C 0,026 0,015 0,0052 0,0026 0,001
Determine a taxa média de variação para os 
intervalos:
[0, 1]a) 
[1, 3]b) 
Resolução:
∆
∆
C
t
C C
mg ml
= −
−
= −
−
=( ) ( ) , ,
, /min
1 0
0 015 0 026
1 0
0 011 por
a) 
∆
∆
C
t
C C
mg ml
= −
−
= −
−
=
= −
( ) ( ) , ,
, /min
3 1
3 1
0 0026 0 015
3 1
0 0062 por
b) 
Taxa instantânea de 
variação
Se fi xarmos xo, a taxa média de variação de y em 
relação a x dependerá apenas de x1.
Dessa forma, à medida que tomarmos valores de 
x1 cada vez mais próximos de xo, poderemos vir a 
perceber que a taxa média de variação pode estar 
tendendo a certo valor (o que não ocorre sempre).
Chamamos esse valor, para o qual a taxa média de 
variação tende, quando x1 → xo , de taxa instantânea 
de variação no ponto xo.
∆
∆
y
x
T
A
M
D
E
R
I
V
A
D
A
25
A taxa instantânea de variação de y = f(x), em 
relação a x, no ponto x= xo é dada por
Uma vez que x1 = xo + ∆x, também podemos 
escrevê-la como
 
 
 
lim
( ) ( )
∆
∆
∆x
o of x x f x
x→
+ −
0
A taxa instantânea de variação da função 
y = f(x) no ponto xo pode ser chamada de derivada 
da função f, em relação à variável x, no ponto xo, 
que vamos indicar por
f xo'( ) .
Portanto, a derivada da função f, em relação à 
variável x, em um número xo, é dada por
f x
f x x f x
xo x
o o'( ) lim
( ) ( )
=
+ −
→∆
∆
∆0
desde que este limite exista.
Diante do que apresentamos acerca de taxa 
instantânea de variação, podemos defi nir a 
velocidade, no instante t to= , de uma partícula que 
se move ao longo de uma linha reta como sendo a 
taxa instantânea de variação da posição em relação 
ao tempo, isto é, se desejarmos calcular a velocidade 
de um corpo num instante t to= , basta calcularmos 
s to'( ) , ou seja, a derivada da sua função posição em 
relação à variável tempo, no instante t to= .
Questão resolvida
Um vaso de fl or cai da sacada de um apartamento, R2. 
situada a 19 metros de altura, em relação à rua. 
Sua altura, após t segundos, é dada pela função 
, para 0 2≤ ≤t , em que h é a 
altura medida em metros. Nessas condições, calcule 
a velocidade do vaso de fl or, 1 segundo após o início 
da queda.
Resolução:
v h
v
h t h
t
v
t
t
t
( ) '( )
( ) lim
( ) ( )
( ) lim
, (
1 1
1
1 1
1
4 9 1
0
0
= ⇒
= + −
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆(( ) +  − − + 
=
−
→
2 2
0
19 4 9 1 19
1
4 9 9 8 4 9
, .
( ) lim
, , , (
∆
∆ ∆
∆
t
v
t
t
tt
t
v
t t
t
m s
t
) ,
( ) lim
, ,
, /
2
0
19 4 9 19
1
9 8 4 9
9 8
+ + − 
=
− −( )
= −
→
∆
∆ ∆
∆∆
Interpretação geométrica 
da derivada 
Seja uma curva y = f(x) defi nida no intervalo 
aberto a b,  . Consideremos dois pontos distintos 
P (xo, f(xo)) e Q (x1, f(x1)), pertencentes à curva 
correspondente à função y = f(x), conforme indicado 
na fi gura a seguir.
y
y = f(x)
reta 
secante
reta 
tangente
f(x1)
f(x0)
x0 x1 x
P
Q
∆y
Já afi rmamos, anteriormente,que a razão 
incremental ∆
∆
y
x
 nos fornece a inclinação da reta 
que passa pelos pontos P e Q, secante ao gráfi co de 
y = f(x).
Tomando o ponto P como fi xo e imaginando o ponto 
Q movendo-se sobre a curva de modo a aproximar-
se de P, podemos perceber que a inclinação da reta 
secante PQ variará.
É fácil se convencer de que, à medida que o ponto 
Q vai se aproximando indefi nidamente do ponto P, 
a inclinação da secante pode vir a variar cada vez 
menos, tendendo a um valor limite, haja vista que 
∆x , dado pela diferença entre x1 e xo, tenderá a 
zero.
lim
∆
∆
∆x x
y
→0
∆
∆
y
x
m/s
T
A
M
26
D
E
R
I
V
A
D
A
Diante do que acabamos de afi rmar, podemos 
interpretar, geometricamente, a derivada da função 
y = f(x) no ponto xo como o coefi ciente angular da 
reta tangente à curva correspondente a y = f(x), no 
ponto (xo, yo), ou seja, 
f x tgo'( ) = aα
Cabe ressaltar que, se a reta tangente for uma 
reta vertical, ela não possuirá coefi ciente angular e, 
portanto, não haverá derivada no referido ponto.
Outras condições sob as quais a derivada de 
uma função não existe num ponto específi co de 
abscissa xo encontram-se também representadas 
grafi camente a seguir:
y y
x0
x0
x0
x0
x
Tangente
vertical
Cúspide
Quina ou nó Descontinuidade
x
x
x
y y
Refl etindo
Por que retas verticais não possuem coefi ciente angular?
Questões resolvidas
Determinar o coefi ciente angular da reta tangente à R3. 
curva f x x x( ) = −2 no ponto P(1,0).
Resolução:
Como o coefi ciente angular da reta tangente à 
curva f x x x( ) = −2 no ponto (1,0) é dado por f '( ),1 
temos:
m
f x f
x
x x
x
x
x
= + −
+ − +  − −
→
→
lim
( ) ( )
lim
( ) ( ) ( )
l
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
0
0
2 2
1 1
1 1 1 1
iim
.
lim
( )
∆
∆
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
x
x
x x x
x
x x
x
→
→
+ + ( ) − −
+ =
0
2
0
1 2 1
1
1
Encontre a equação reduzida da reta tangente à R4. 
curva y x= 2 no ponto de abscissa 3.
Resolução:
Para x = 3, temos que y = 32, donde concluímos que 
o ponto de tangência é (3,9).
Cálculo do coefi ciente angular da reta:
m
x
x
x x
x
x
x
x
x
= + −
= + + −
=
→
→
→
lim
( ) ( )
lim
( )
lim
(
∆
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
0
2 2
0
2
0
3 3
9 6 9
6 ++
=
∆
∆
x
x
)
6
Da Geometria Analítica sabemos que a equação de 
uma reta da qual conhecemos o coefi ciente angular 
e um ponto é dada por y y m x xo o− = −( ) .
Portanto, temos:
y x− = −9 6 3( )
Ou seja, y x= −6 9 .
y
x
P
1−1
10
−10
−20
20
−2 0 2 3 4 5
Encontre a equação geral da reta tangente à curva R5. 
y x= , paralela à reta x y− − =2 5 0 .
Resolução:
Sabemos que retas paralelas têm coefi cientes 
angulares iguais.
y x= −6 9
y=x²
−3−4
T
A
M
D
E
R
I
V
A
D
A
27
Portanto, a reta procurada tem coefi ciente angular 
igual a 1
2
.
Fazendo lim
( ) ( )
∆
∆
∆x
o of x x f x
x→
+ −
=
0
1
2
, obtemos a 
abscissa do ponto de tangência. Assim:
lim
( )
∆
∆
∆x
o ox x x
x→
+ −
=
0
1
2
O desenvolvimento do limite acima nos permite 
afi rmar que 1
2
1
2xo
= , donde concluímos que 
xo = 1 e, consequentemente, f xo( ) também é igual 
a 1.
Utilizando a equação da reta, obtemos:
y y m x x
y x
y x
x y
o o− = −
− = −
− = −
− + =
( )
( )1
1
2
1
2 2 1
2 1 0
Portanto, a reta procurada é a reta de equação 
x y− + =2 1 0 .
y
x10
−1
1
2
−2
2
x
x − 2y − 5 = 0
x − 2y + 1 = 0
3 4
y = x√
Refl etindo
Qual a relação existente entre os coefi cientes 
angulares de retas ortogonais?
Questões propostas
A população de uma cidade foi monitorada, de 1991 Q1. 
a 1997, conforme podemos perceber na tabela a 
seguir, em que P é dado em milhares de habitantes:
ANO 1991 1993 1995 1997
P 793 820 839 874
Encontre a taxa média de crescimento, em cada 
caso:
de 1991 a 1995a) 
de 1993 a 1995b) 
de 1995 a 1997c) 
Encontre o coefi ciente angular da reta tangente à Q2. 
parábola y x x= +2 2 , no ponto (−3,3).
Determine a equação da reta tangente à curva dada Q3. 
por f x x x( ) = − −1 2 3 2 , no ponto (−2,−7).
A derivada como 
uma função 
A derivada de uma função y = f(x) é a função 
denotada por f’(x), (pronuncia-se f linha de x), tal 
que seu valor para todo x ∈ D(f) é dado por
f x
f x x f x
xx
'( ) lim
( ) ( )= + −
→∆
∆
∆0
,
caso esse limite exista.
Podemos utilizar outras notações além de f’(x) 
e y’, que foram introduzidas por Joseph-Louis 
Lagrange (1736−1813) para denotar a função 
derivada, a saber:
f x ou y
• •
( )
Notação introduzida por Isaac Newton (1642−1727).
dy
dx
ou
df x
dx
( )
Notação utilizada por Gottfried Wilhelm Leibniz 
(1646-1716).
D f xx ( )
Notação introduzida por Augustin-Louis Cauchy 
(1789-1857).
T
A
M
28
D
E
R
I
V
A
D
A
Questão resolvida
Utilizando a defi nição, encontre a derivada da R6. 
função f x x x( ) = −3 2 e, em seguida, calcule f '( ).2
Resolução:
f x'( ) = lim
( ) ( )
∆
∆
∆x
f x x f x
x→
+ − =
0
lim
( ) ( ) ( )
∆
∆ ∆
∆x
x x x x x x
x→
+ − + − − =
0
3 32 2
 
lim
( ) ( )
∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆x
x x x x x x x x x x
x→
+ + + − − − +
0
3 2 2 3 33 3 2 2 2
= lim
( )
∆
∆ ∆ ∆
∆x
x x x x x
x→
+ + − 
0
2 23 3 2
 = 3 22x −
Como f x x'( ) = −3 22 , temos que f '( ) .2 3 2 2 102= − = .
Questão proposta
Aplicando a defi nição, calcule as derivadas das Q4. 
funções a seguir:
y x= 3a) 
y x x= − +2 5 6b) 
y
x
= 1c) 
Regras de derivação 
O cálculo de derivadas de funções por meio da 
defi nição é, em alguns casos, bastante extenso 
e demorado.
Para que não tenhamos de recorrer a esse 
processo, vamos, na sequência, apresentar algumas 
regras que nos permitirão obter, de forma mais 
fácil, a derivada de uma função f(x).
Utilizaremos a notação proposta por Leibniz 
na enunciação de tais regras. Algumas delas 
estarão acompanhadas de suas respectivas 
demonstrações.
Derivada da função constante
A derivada de uma função constante é zero, isto é,
d
dx
c  = 0 , c ∈ IR.
Demonstração:
f x
f x x f x
x
c c
x
x
x x
'( ) lim
( ) ( )
lim lim
= + − =
− = =
→
→ →
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
0
0 0
0 0
Derivada da função potência
Seja n um número real e f(x) = xn ; a derivada da 
função f(x) é dada por
d
dx
x n xn n

 =
−. 1
Demonstração:
f’ (x) = lim
 = lim
f (x + ∆x) − f (x)
(x + ∆x)n − x n
∆x
∆x
∆x → 0
∆x → 0
Utilizando os conhecimentos adquiridos acerca do 
Binômio de Newton, podemos desenvolver ( )x x n+ ∆ 
e obter
lim
( )
( ) ... ( )
li
∆
∆ ∆ ∆
∆x
n n n n nx nx x
n n
x x x x
x→
− −+ + − + +



−
=
0
1 2 21
2
mm
( )
... ( )
∆
∆ ∆ ∆
∆x
n n n
n
x nx
n n
x x x
x
nx
→
− − −
−
+ − + +


 =
0
1 2 1
1
1
2
Derivada do produto de uma
constante por uma função
Seja f uma função derivável de x, e c 
uma constante.
A derivada da função g(x) = c.f(x) é dada por
d
dx
c f x c f x. ( ) . '( )  =
T
A
M
D
E
R
I
V
A
D
A
29
Demonstração:
f x
f x x f x
x
cf x x cf x
x
x
x
x
'( ) lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
lim
= + − =
+ − =
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0
00
0
c
f x x f x
x
c
f x x f x
xx
( ) ( )
. lim
( ) ( )
+ −



=
+ −







→
∆
∆
∆
∆∆ 
= c f x. '( )
Questão resolvida
Calcule a derivada R7. f x'( ) das seguintes funções:
f x( ) = 7a) 
f x( ) = p
4
πb) 
f x x( ) = 9c) 
f x x( ) = −3d) 
f x x( ) = 4e) 
f x x( ) = 1
6
18f) 
f x
x
( ) = 65g) 
Resolução:
f x f x( ) '( )= ⇒ =7 0a) 
f x f x( ) '( )= ⇒ =π
4
0b) 
f x x f x x x( ) '( ) .= ⇒ = =−9 9 1 89 9c) 
f x x f x x
x
( ) '( )= ⇒ = − = −− − −3 3 1 43
3
d) 
f x x x f x x x
f x
x
( ) '( )
'( )
= = ⇒ = =
∴ =
− −4
1
4
1
4
1
3
4
34
1
4
1
4
1
4
e) 
f x x f x x x( ) '( ) .= ⇒ = =−1
6
1
6
18 318 18 1 17f) 
f x
x
x f x x
f x x
( ) . '( ) .( )
'( )
= = ⇒ = −
∴ = −
− − −
−
6
6 6 5
30
5
5 5 1
6
g) 
Derivada da soma e da diferença 
de duas funções
A derivada da soma (ou da diferença) de duas 
funções f e g, deriváveis, é igual à soma (ou 
diferença) das derivadas de f e g, isto é,
d
dx
f x g x f x g x( ) ( ) '( ) '( )±  = ±
Demonstração:
Faremos a demonstraçãopara a derivada da soma 
de duas funções, mas desde já informamos que, de 
modo análogo, podemos demonstrar a regra para a 
derivada da diferença de duas funções.
Seja h x f x g x( ) ( ) ( )= +
h x
h x x h x
x
f x x g x x f x g
x
x
'( ) lim
( ) ( )
lim
( ) ( ) [ ( )
= + −
= + + + − +
→
→
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
0
0
(( )]
lim
( ) ( ) ( ) ( )
lim
( )
x
x
f x x f x g x x g x
x
f x x
x
x
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
= + − + + −
= + −
→
→
0
0
ff x
x
g x x g x
x
f x x f x
xx x
( ) ( ) ( )
lim
( ) ( )
lim
∆
∆
∆
∆
∆∆ ∆
+ + −



= + − +
→ →0 0
gg x x g x
x
f x g x
( ) ( )
'( ) '( ).
+ −
= +
∆
∆
Observação: Embora tenhamos apresentado as 
regras para as derivadas da soma e da diferença 
de duas funções, elas permanecem válidas para 
qualquer número fi nito de funções.
Questões resolvidas
Dada a função R8. f x x x x( ) = − + −3 84 2 , calcule f '( )1 .
Resolução:
f x x x x
f x x x x
f x x
( )
'( ) . . .
'( )
= − + − ⇒
= − + ⇒
= −
− − −
3 8
3 4 1 2 1 1
12 2
4 2
4 1 2 1 1 1
3 xx
f f
+
∴ = − + ⇒ =
1
1 12 1 2 1 1 1 113'( ) . . '( )
T
A
M
30
D
E
R
I
V
A
D
A
Encontre a equação da reta tangente ao gráfi co R9. 
da função f x x x( ) = − +2 6 5 no ponto de abscissa 
x = 0.
Resolução:
Ponto de tangência : , ( ) ( , )
'( ) .
'( )
0 0 0 5
2 6
2
2 1 1 1
f
f x x x
f x x
( ) =
= − ⇒
=
− −
−−
= = − = −
6
0 2 0 6 6m f '( ) .
Equação da reta tangente:
y y f x x x
y x
x y
o o o− = − ⇒
− = − −
+ − =
'( )( )
( )5 6 0
6 5 00
Questões propostas
Calcule as derivadas das funções a seguir:Q5. 
f x x( ) = 5 3a) 
f x x( ) = 2b) 
f x
x
( ) = 54c) 
f x
x
( ) = 3
3
d) 
f x x( ) = +7 12e) 
f x
x x x
( ) = + − +2
9
3
4 3
2
5
3 2
f) 
f x x x( ) = − +4 33 7g) 
f x
x
x( ) = +23
2h) 
Encontre, em cada caso, uma equação da reta Q6. 
tangente ao gráfi co da função f(x), no ponto xo 
especifi cado:
f x
x
xo( ) ,= =
1
1a) 
f x x xo( ) ,= = 4b) 
f x x xo( ) ,= =
23 2 2c) 
Descubra o ponto pertencente ao gráfi co da função Q7. 
y x x= − +2 5 tal que a reta tangente à curva, que 
passa por ele, forme, com o eixo das abscissas, um 
ângulo de 45º.
Determine a equação da reta tangente ao gráfi co Q8. 
da função f x x x( ) = − +2 4 1, sabendo que ela é 
perpendicular à reta de equação 2 5 0y x+ − = .
Encontre os pontos da curva correspondente à função Q9. 
f x x( ) = −3 1, de forma que as retas tangentes a ela, 
neles, sejam paralelas à reta y x= +12 1
Derivada da função f(x) = sen x
A derivada da função f(x) = sen x é a função 
f(x) = cos x, isto é,
d
dx
sen x x( ) cos=
Demonstração:
Seja a função f x sen x( ) = ( ) .
d
dx
sen x
sen x x sen x
xx
( )  =
+( ) − ( )






→
lim
∆
∆
∆0
Empregando a identidade trigonométrica 
sen sen cos senA B
A B A B− = +





−




2 2 2
, temos:
d
dx
sen x
sen x x sen x
xx
x
( )  =
+( ) − ( )







=
→
→
lim
lim
co
∆
∆
∆
∆0
0
2 ss
lim
cos
x x x
sen
x x x
x
x
+ +





+ −

















=
→
∆ ∆
∆
∆
2 2
2
2
0
xx x
sen
x
x
sen
x
x
+























=






→
∆ ∆
∆
∆
∆
2 2
2
0
lim
∆∆
∆
∆
∆∆
x
x x
sen
x
xx
2
2
2
2
2
0
.cos
lim . li
+

















=






→
mm cos
.cos cos
∆
∆
x
x x
x x
→
+




 =
=
0
2
2
1
T
A
M
D
E
R
I
V
A
D
A
31
Derivada da função f(x) = cos x
A derivada da função f(x) = cos x é a função 
f(x) = −sen x, isto é,
d
dx
x sen x(cos ) = −
A demonstração desta regra pode ser feita com 
base no emprego da identidade trigonométrica 
cos( ) cos .cos .a b a b sena senb+ = − desde que nos 
valhamos do fato de que lim
cos
∆
∆
∆x
x
x→
− ( )
=
0
1
0
Derivada do produto de funções
Se u e v são funções deriváveis de x e f é a função 
defi nida por f(x) = u(x).v(x), então,
d
dx
u x v x u x v x u x v x( ). ( ) '( ). ( ) ( ). '( )  = +
A fi m de simplifi car a escrita e a memorização da 
regra, podemos escrever:
y u v y u v u v= ⇒ = +. ' '. . '
Derivada do quociente de funções
Se u e v são funções deriváveis de x, v ≠ 0 e f é a 
função defi nida por f(x) = u(x)/v(x), então,
d
dx
u x
v x
u x v x u x v x
v x
( )
( )
'( ). ( ) ( ). '( )
( )





 =
−
 
2
Novamente, para simplifi car, podemos escrever:
y
u
v
y
u v u v
v
= ⇒ =
−
'
'. . '
2
Questões resolvidas
Calcule a derivada das seguintes funções:R10. 
f x x x( ) .cos= 5a) 
f x x x x( ) ( )( )= − −3 22 1b) 
f x
x
x
x( ) =
+
≠ −





2
2 1
1
2
c) 
Resolução:
a) f x x x
u x x u x x
v x x v x sen x
Logo
u v
( ) .cos
( ) '( )
( ) cos '( )
=
= ⇒ =
= ⇒ = −
5
5 45
 
::
'( ) '. . '
'( ) cos
f x u v u v
f x x x x sen x
= +
= −5 4 5
Como b) u x x= −3 2 e v x= −2 1, temos que 
u x' = −3 22 e v x' = 2 .
Logo, 
y x x x x x
x x x x x
x x
' ( )( ) ( ).= − − + −
= − − + + −
= − +
3 2 1 2 2
3 3 2 2 2 4
5 9
2 2 3
4 2 2 4 2
4 2 22
c) 
f x
x
x
u x x u x x
v x x v x
Logo
f x
u
v
( )
( ) '( )
( ) '( )
:
'( )
=
+
= ⇒ =
= + ⇒ =
2
2
2 1
2
2 1 2


== −
= + −
+
= +
+ +
u v uv
v
f x
x x x
x
f x
x x
x x
' '
'( )
( ) .
( )
'( ) ,
2
2
2
2
2
2 2 1 2
2 1
2 2
4 4 1
xx ≠ − 1
2
Mostre que a derivada da função R11. f x tg x( ) = é 
f x x'( ) sec= 2 .
Resolução:
Começaremos reescrevendo a função f x tg x( ) = 
como f x
sen x
x
( )
cos
= .
u x sen x u x x( ) '( ) cos= ⇒ = 
v x x v x sen x( ) cos '( )= ⇒ = −
f x
u x v x u x v x
v x
f x
x x sen x
'( )
'( ). ( ) ( ). '( )
( )
'( )
cos .cos .
= −
 
⇒
=
−
2
−−( )
= +
=
sen x
x
x sen x
x
x
(cos )
cos
cos
cos
2
2 2
2
2
1
Como sec
cos
,x
x
= 1 temos que f x x'( ) sec= 2 .
T
A
M
32
D
E
R
I
V
A
D
A
Utilizando a derivada do quociente de funções, R12. 
prove que a derivada da função f x x( ) sec= é 
f x x tg x'( ) sec .= .
Resolução:
Começaremos reescrevendo a função f x x( ) sec= 
como f x
x
( )
cos
= 1 .
u x u x( ) '( )= ⇒ =1 0 v x x v x sen x( ) cos '( )= ⇒ = −
f x
u x v x u x v x
v x
f x
x sen x
'( )
'( ). ( ) ( ). '( )
( )
'( )
.cos .
= −
 
⇒
=
− −(
2
0 1 ))
=
=
(cos )
cos
cos
.
cos
x
sen x
x
x
sen x
x
2
2
1
Como sec
cos
x
x
= 1 e tg x sen x
x
=
cos
, temos que 
f x x tg x'( ) sec .= .
Questões propostas
Demonstre que, se Q10. f x g x( ) cot= , então 
f x ec x'( ) cos= − 2 .
Demonstre que, se Q11. f x ec x( ) cos= , então 
f x ec x g x'( ) cos .cot= − .
Encontre a derivada de cada uma das funções Q12. 
seguintes:
f x x x( ) ( )( )= + −1 1a) 
f x
x
x
( ) = +
−
1
1
b) 
f x
x
x
( ) =
+
3
2 1
2
c) 
f x
x
x
( ) = + 2
3
d) 
f x
x
x x
( ) =
+
−2
1
1
2
e) 
f x
x x
x
( ) = + +
+
2 1
1
f) 
A regra da cadeia
A regra da cadeia é a regra que utilizamos para 
obter a derivada da função composta g f x( ( )) em 
termos das derivadas de f e g.
Se y g u= ( ) , u f x= ( ) e as derivadas dy
du
 e du
dx
 
existem, então a derivada da função composta 
y g f x= ( ( )) é dada por
dy
dx
dy
du
du
dx
= .
Questões resolvidas
Encontre a derivada da função R13. y sen x= +( )2 3 .
Resolução:
Na função y sen x
u
= +( )2 3  , fazendo y senu= e 
u x= +2 3 , temos:
dy
dx
dy
du
du
dx
u
x
=
= ( )
= +
.
cos .
cos( )
2
2 2 3
Portanto, a derivada da função y sen x= +( )2 3 é 
y x' .cos( )= +2 2 3 .
Encontre R14. y ' se y x= −3 2 .
Resolução:
Podemos reescrever a função acima como 
y x
u
= −( )3
1
22 .
Se tomarmos y u=
1
2 e u x= −3 2 , com o uso da 
regra da cadeia, encontraremos:
dy
dx
dy
du
du
dx
u x
x
u
x
x
=
= = =
−
−
.
.( )
1
2
3
3
2
3
2 2
1
2 2
2 2
3
Logo, y
x x
x
' = −
−
3 2
2 4
2 3
3 .
T
A
M
D
E
R
I
V
A
D
A
33
Derivada da função 
exponencial f(x) = ax
Consideremos a função exponencial f x ax( ) = , com 
a > 0, a ≠ 1 e x ∈ IR. É possível demonstrar-se que
d
dx
a a ax x

 = .ln
Como caso particular da regra acima, temos:
d
dx
e ex x
 =
Derivada da função logarítmica
Seja a função f x xa( ) log= , com a > 0, a ≠ 1 e x ∈ IR. 
É possível demonstrar-se que 
d
dx
x
x aa
log
.ln
  =
1
Em especial, se a = e (número de Euler), temos:
d
dx
x
x
ln  =
1
Refl etindo
Por que pudemos particularizar as regras das 
derivadas das funções exponenciais e logarítmicas 
somente para o caso (a = e)?
Questões resolvidas
Determine a derivada das seguintes funções:R15. 
f x x( ) = 5a) 
f x x( ) log=b) 
Resolução:
f x a a f xx x'( ) .ln '( ) .ln= ⇒ = 5 5a) 
f x
x a
f x
x
'( )
.ln
'( )
.ln
= ⇒ =1 1
10
b) 
A combinação da regra da cadeia com as demais 
regras de derivação apresentadas nos permite fazer 
as seguintes generalizações, que apresentaremos 
na forma de uma tabela de derivadas, que será 
amplamente utilizada doravante:
Sejam u e v funções deriváveis de x, c, n e a 
constantes reais. Consideremos, ainda, y ' como 
notação para a derivada da função y em relação à 
variável x. 
São válidas as seguintes regras:
FUNÇÃO DERIVADA
1 y = c (c ∈ IR) y’=0
2 y = un y’ = n.un-1 . u’
3 y = c . u y’ = c . u’
4 y = u + u y’= u’ + v’
5 y = u − v y’ − u’ 
6 y = u.v y’ = u’ . v + u.v’ 
7 y
u
v
=
 (v ≠ 0)
y
u v u v
v
'
'. . '
=
−
2
8 y a
u= 
(a >0 e a ≠ 1)
y a u au' . '.ln=
9 y eu= y e uu' . '=
10
y ua= log 
(a >0 e a≠1)
y
u
u a
'
'
.ln
=
11 y u= ln y
u
u
'
'
=
12 y senu= y u u' cos . '= ( )
13 y u= cos y senu u' . '= −( )
14 y tgu= y u u' sec . '= ( )2
15 y gu= cot y ec u u' cos . '= −( )2
16 y u= sec y u tgu u' sec . . '= ( )
17 y ecu= cos y ecu gu u' cos .cot . '= −( )
T
A
M
34
D
E
R
I
V
A
D
A
Questão resolvida
Determine a derivada das seguintes funções:R16. 
y x= +2 1a) f) y x x= +cos ( )3 2 2
y ex x= +
2 3b) g) y g x x= + +cot ( )3 22 3
y x= +ln( )2 1c) h) y sen x
x
= 3
4cos
y x x= +3
2 5d) i) y
x
x
= −
+






3 1
32
2
y sen x x= + +( )5 3 22e) 
Resolução: 
Fazendo a) y x
n
u
= +( )2 1
1
2

  
, com o auxílio da regra (2) 
obtemos:
 
y x
x
' ( ) .= + =
+
−1
2
2 1 2
1
2 1
1
2
Logo, y
x
' =
+
1
2 1
.
y e x x
u
= +
2 3

b) 
Utilizando a regra (9), obtemos:
y e xx x' .( )= ++
2 3 2 3
Logo, y x ex x' ( )= + +2 3
2 3
y x
u
= +ln( )2 1
 
c) , Então,
utilizando a regra (11), obtemos: y
x
x
' =
+
2
12
y x x
u
= +3
2 5

d) 
Utilizando a regra (8), obtemos: 
y xx x' .( ).ln= ++3 2 5 3
2 5
y sen x x
u
= + +( )5 3 22
  
e) 
Utilizando a regra (12), obtemos:
y x x x' ( ).cos( )= + + +10 3 5 3 22
A função f) y x x= +cos ( )3 2 2 pode ser reescrita como 
y x x= + cos( )
2 32 .
Utilizando as regras (2) e (13), obtemos:
y x x sen x x x' cos ( ) ( ) ( )= +  − +  +3 2 2 2 2
2 2 2
Logo, 
y x x x sen x x' ( )cos ( ). ( )= − + + +6 1 2 22 2 2
y g x x
u
= + +cot ( )3 22 3
  
g) 
Utilizando a regra (15), obtemos:
y ec x x x x' cos ( ) .( )= − + +  +
2 3 2 22 3 3 4
Logo, y x x ec x x' ( )cos ( )= − + + +3 4 2 32 2 3 2
y
sen x
x
u
v
= 3
4

cos
h) 
Utilizando as regras (7), (12) e (13), obtemos:
y
x x sen x sen x
x
'
cos .cos( ) ( ) ( )
cos
=
( )  
( ) 
3 3 4 4
4
2
Logo, 
y
x x sen x sen x
x
'
cos .cos( ) ( ) ( )
cos
=
( ) +
( )
3 3 4 3 4
42
y
x
x
= −
+






3 1
32
2
i) 
Utilizando as regras (2) e (7), obtemos:
y
x
x
x x x
x
' .
( ) ( ).
( )
= −
+






+ − −
+
−
2
3 1
3
3 3 3 1 2
32
2 1 2
2 2
Com o desenvolvimento da expressão acima,
concluímos que
y
x x x
x
'
( )( )
( )
= − − + +
+
6 2 3 2 9
3
2
2 3
Refl etindo
Para a função f x
x
( )
( )
=
−
5
2 3 3
, qual processo 
nos permite obter a derivada de forma mais fácil? A 
aplicação da regra do quociente ou das regras (2) e 
(3) da tabela de derivadas que apresentamos, com 
base em f x x( ) .( )= − −5 2 3 3 ? Ambos os processos nos 
conduzem ao mesmo resultado?
T
A
M
D
E
R
I
V
A
D
A
35
Questões propostas
Calcule a derivada de cada uma das funções a seguir:Q13. 
f x x x( ) ( )= + +2 43 5a) i) f x x ex( ) .= 3
f x x x( ) ( )= + −2 32 8b) j) f(x) = e(x - x )
2
f x x x( ) = −23c) k) f x x x( ) = +3
2 5
f x x x( ) ( )= + −3 6 22 23d) l) f x
x
x( ) =
+
+10
2 1
1
f t
t
t
( ) = +
−
2 1
1
e) m) f x x x( ) ln( )= − +2 3 1
f x x e x xx( ) .ln= +2f) n) f x x x( ) log ( )= + +10
2 1
f x x senx x( ) .cos( )= +3 2g) o) f x
x
x
( ) ln= +





2 1
2
f x e x x( ) .= + −5 4 5 7
3
h) p) f x x( ) (log )= 2 3
Para cada uma das funções a seguir, determine Q14. 
f’(x):
f x sen x x( ) ( )= + +5 3 22a) g) f x
x
sen x
( )
cos= −
−
1 2
3
f x sen x x( ) ( ).cos( )= + −2 2b) h) f x tg x( ) = −1
f x x x( ) cos ( )= +3 2 2c) i) f x
tg x
x
( )
sec
= −1
f x
4x
sen 3 x( )
cos
=d) j) f x xx( ) .cos( )= 5 2
f x
tg x
( ) = +1
2
e) k) f x g x( ) cot ( )= −5 3 2
f x x tg x( ) .= 2f) 
Derivadas de ordem 
superior 
Seja y=f (x) uma função derivável.
Vimos, anteriormente, que a derivada primeira de 
f pode ser representada, por exemplo, por f’ ou 
dx
.
Caso a derivada de f’ exista, ela será chamada de 
derivada segunda de f e poderá ser representada 
por f’’ ou d y
dx
2
2
.
De maneira análoga, se a derivada de f’’ existir, 
ela será chamada de derivada terceira de f e poderá 
ser indicada por f’’’ ou d y
dx
3
3
 .
Seguindo essa linha de raciocínio, poderemos 
determinar a derivada quarta, a derivada quinta, 
(...), enfi m, a derivada de ordem n da função f 
(desde que elas existam).
Questões resolvidas
Encontre as três primeiras derivadas da função R17. 
f x x x x( ) = − +5 32 .
Resolução:
f x x x x
f x x x
( )
'( )
= − +
= − +
5 3
4 2
2
5 6 1
f x x x
f x x
''( )
'''( )
= −
= −
20 12
60 12
3
2
Considerando-se a função R18. f x x x( ) = −3 184 2, resolva 
a equação f x''( ) = 0 .
Resolução:
f x x x
f x x x
f x x
f x
x
( )
'( )
''( )
''( )
= −
= −
= −
= ⇒
− =
3 18
12 36
36 36
0
36 36
4 2
3
2
2 00
1 1
1 1
⇒
= − =
∴ = −{ }
x x
S
ou
;
AR19. aceleração de um corpo é defi nida como a taxa 
de variação da velocidade em relação ao tempo; 
isto é, se y s t= ( ) é a função posição do corpo, a 
aceleração do corpo é dada por a s t= ''( ) . Nessas 
condições, considerando uma partícula que se move 
segundo a função posição s t t t t t( ) ,= − + ≥3 212 36 0
, em que t está medido em segundos e s em metros, 
encontre a função velocidade e a função aceleração 
e, em seguida, calcule-as para t = 3.
Resolução:
v s t v t t t= ⇒ = − +'( ) ( ) 3 24 362 e 
a s t a t v t t= ⇒ = = −''( ) ( ) '( ) 6 24
Logo, no instante t = 3, temos:
v m s( ) . . /3 3 3 24 3 36 92= − + =− e 
a(3) = 6.3 − 24 = −6m/s2.
T
A
M
36
D
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R
I
V
A
D
A
Questões propostas
Considerando a função Q15. f x sen x( ) = , calcule o valor 
de f f f f'( ) '' ''' ( )0
2
3
2
4+ 




 + ( ) + 





p
p
pπ
π
π .
A função posição de um corpo que está se movendo Q16. 
retilineamente é s t t t( ) = − −3
3
24 2 , em que s é 
dada em metros. Calcule a sua velocidade e a sua 
aceleração para t = 4 segundos.
Dada a função Q17. f x x x x( ) = + − +4 2 5 23 2 , calcule 
f f f'( ) ''( ) '''( ).0 0 0+ +
Análise do comportamento 
de funções 
Entre as várias aplicações das derivadas está a 
análise do comportamento de funções.
Com o auxílio das derivadas podemos, por 
exemplo, determinar os intervalos de crescimento 
e decrescimento de uma função e também podemos 
encontrar seus valores máximos ou mínimos (quando 
eles existirem).
Essas informações, associadas ao conhecimento 
prévio dos pontos de interseção do gráfi co 
correspondente à função com o eixo y e com o eixo 
x (raízes reais), permitem-nos esboçar o gráfi co de 
uma vasta gama de funções.
Funções crescentes e funções 
decrescentes
É sabido que uma função f é dita crescente em 
um intervalo a b,  de seu domínio se
x x f x f x1 2 1 2< ⇒ <( ) ( )
para quaisquer valores de x1 e x2 ema b,  .
Dito de outra forma, à medida que aumenta o 
valor de x dentro do intervalo a b,  , as imagens 
correspondentes também aumentam, o que pode 
ser facilmente verifi cado no gráfi co a seguir.
y
xx1
f(x2)
f(x1)
x2 b
y = f(x)
a
A observação do gráfi co nos permite concluir que, 
para todo ponto pertencente ao intervalo a b,  , a 
derivada é positiva, uma vez que as retas tangentes 
à curva correspondente a y=f(x), que passam por 
tais pontos, formam, com o eixo x, ângulos agudos.
Isso nos permite tirar a seguinte conclusão:
Analogamente, uma função f é dita decrescente 
em um intervalo a b,  de seu domínio se
x x f x f x1 2 1 2< ⇒ >( ) ( )
para quaisquer valores de x1 e x2 em a b,  , o 
que signifi ca dizer que, à medida que aumentam 
os valores de x dentro do intervalo, as imagens 
correspondentes diminuem.
y
0 a x1 x2 b x
f(x2)
f(x1)
f(x)
Se f’(x) > 0 para todo x ∈ a b,  , então a 
função f(x) é crescente em a b,  .
T
A
M
D
E
R
I
V
A
D
A
37
A análise do gráfi co anterior nos permite constatar 
que, neste caso, para todo ponto pertencente ao 
intervalo a b,  , a derivada é negativa, haja vista 
que as retas tangentes à curva correspondente a 
y=f(x), que passam por tais pontos, formam, com o 
eixo x, ângulos obtusos.
Isso nos permite tirar a seguinte conclusão:
 
Além disso, sabemos que uma função f é 
denominada constante em um intervalo a b,  de 
seu domínio se, para quaisquer valores de x1 e x2 em 
a b,  , temos que f x f x( ) ( )1 2= .
 
y
0 a x1 x2 b x
f(x1) = f(x2)
f(x)
Notemos, neste último gráfi co, que a função 
é constante em a b,  e que a reta tangente ao 
gráfi co de y = f(x), por qualquer ponto pertencente 
a a b,  , é horizontal e, portanto, possui coefi ciente 
angular nulo.
Logo, 
As conclusões que acabamos de tirar, associadas 
ao fato de que, para funções contínuas, a derivada 
f x'( ) só pode mudar de sinal em valores de x para os 
quais f x'( ) = 0 ou em valores de x para os quais f x'( ) 
não está defi nida, permite-nos determinar intervalos 
de crescimento e decrescimento de funções.
Os valores de x que têm a propriedade acima men-
cionada são denominados pontos críticos da função.
Questões resolvidas
Mostre que a função R20. f x x x( ) = +3 2 é crescente para 
qualquer valor real de x .
Resolução:
A derivada de f é a função f x x'( ) = +3 22 .
Ao fazermos o estudo do sinal de f x'( ) , concluímos 
que f x'( )> 0 ∀ x∈ IR, por tratar-se de uma função 
do 2º grau para a qual se observa ∆<0 e gráfi co na for-
ma de parábola com concavidade voltada para cima.
Portanto, f x x x( ) = +3 2 é crescente x∈ IR, o 
que pode também ser comprovado por meio de seu 
gráfi co, apresentado na sequência.
y
x1
5
−5
−10
10
−1−2 2
Dada a função R21. f x x x x( ) = + +3 12 153 2 , faça o que 
se pede:
Encontre os intervalos abertos nos quais a) f x( ) é 
crescente ou decrescente.
Determine os pontos nos quais a reta tangente ao b) 
gráfi co de f x( ) é horizontal.
Faça um esboço do gráfi co de c) f x( ) .
Resolução:
f x x x x
f x x x
( )
'( )
= + + ⇒
= + +
3 12 15
9 24 15
3 2
2
a) 
Fazendo f x'( ) = 0 , encontramos as raízes − 5
3
 e −1 , 
que nos permitem fazer o estudo do sinal de f x'( ) :
+ +−
x−1− 53
Concluímos, portanto, que:
Se f’(x) = 0 para todo x ∈ a b,  , então a 
função f(x) é constante em a b,  .
Se f’(x) < 0 para todo x ∈ a b,  , então a 
função f(x) é decrescente em a b,  .
Se f(x) está defi nida em xo, então xo é um 
ponto crítico de f se f’(xo) = 0 ou se f’ não está 
defi nida em x=xo.
T
A
M
38
D
E
R
I
V
A
D
A
Se x ou x
f x é crescente
Se x
∈ −∞ −



∈ − +∞  ⇒
∈ − −

, ,
'( ) .
,
5
3
1
5
3
1


⇒ f x é decrescente( ) .
Nos pontos em que a reta tangente ao gráfi co de b) f x( ) 
é horizontal, devemos ter f x'( ) = 0 .
Substituindo em f x( ) , encontramos:
f −




 = −
5
3
50
9
 e f −( ) = −1 6
Logo, os pontos em que a tangente ao gráfi co de 
f x( ) é horizontal são − −





5
3
50
9
, e − −( )1 6, .
c) y
x0,5
−5
5
10
−0,5−1−1,5−2−2,5
Questão proposta
Determine os intervalos de crescimento e Q18. 
decrescimento das seguintes funções:
f x x x( ) = + +2 6 5a) c) f x x x x( ) = − + − +3 26 9 5
f x
x
x x( ) = − + +
3
2
3
3
2
2 4b) 
Extremos relativos e absolutos
Consideremos a função y f x= ( ) , cujo gráfi co 
está esboçado na fi gura a seguir.
0
y
f(x2)
f(x1)
x1 x2 x
x = f(x)
Podemos dizer que x = x1 é um ponto de mínimo 
relativo de f(x) e que f(x1) é um mínimo relativo 
de f(x).
Da mesma forma, podemos afi rmar que x=x2 é 
um ponto de máximo relativo de f(x) e que f(x2) é 
um máximo relativo de f(x).
Que propriedades podemos verifi car em x1 e x2 
para podermos dar a eles essas denominações?
Para respondermos a essa pergunta, vamos 
recorrer à defi nição de extremos relativos, vista 
na sequência:
É possível demonstrar-se que:
 
 
y
y y
y
x
x x
xa
a a
a
tangente 
horizontal
tangente horizontal
f’(xo)
xo
xo xo
xob
b b
b
∃
f’(xo)∃
 
Vale ressaltar que a recíproca não é verdadeira, 
pois é possível que f’(xo) seja nula sem, no entanto, 
xo ser um ponto de máximo ou mínimo relativo.
Seja f uma função defi nida em xo.
I) f(xo) é um máximo relativo de f se existe 
um intervalo aberto a b,  , que contém xo, tal 
que f(x) ≤ f(xo), para todo x ∈ a b,  .
II) f(xo) é um mínimo relativo de f se existe 
um intervalo aberto a b,  , que contém xo, tal 
que f(x) ≥ f(xo), para todo x ∈ a b,  .
Se f tem mínimo relativo ou máximo relativo 
quando x = xo, então xo é um ponto crítico de f.
T
A
M
D
E
R
I
V
A
D
A
39
De fato, tomemos como exemplo a função 
f x x( ) = 5 .
Podemos verifi car que ela é crescente para todo 
x real, haja vista que sua derivada f x x'( ) = ≥5 04 , 
x ∈ IR e que x = 0 é o seu único ponto crítico (pois 
0 anula f x'( ) ; entretanto, x = 0 não é nem ponto de 
máximo nem ponto de mínimo relativo, conforme 
podemos perceber por meio de seu gráfi co:
Concavidade 
para cima
Ponto de 
inflexão
Concavidade 
para baixo
y
x
y=x5
Este ponto constitui um exemplo de ponto 
de infl exão.
É correto afi rmar que, se a tangente a um gráfi co 
existe em um ponto no qual a sua concavidade muda 
de sentido, então este é um ponto de infl exão.
Para que possamos determinar e classifi car os 
extremos relativos de uma função, podemos nos 
valer do seguinte critério, conhecido por teste da 
derivada primeira para extremos relativos: 
 
 
x
x
x
x
y y
f’(xo) > 0
f(xo) é máximo
relativo
f(xo) não é nem máximo, 
nem mínimo relativo
f(xo) não é nem máximo, 
nem mínimo relativo
f(xo) é mínimo
relativo
f’(xo) > 0
f’(xo) < 0 f’(xo) < 0
xo
xo xo
xo
Uma função defi nida num certo intervalo pode 
apresentar vários pontos extremos relativos.
Chamamos de máximo absoluto da função f 
num certo intervalo o maior valor apresentado por 
f nesse intervalo.
Analogamente, denotamos por mínimo absoluto 
da função f, num certo intervalo, o menor valor 
apresentado por f nesse intervalo.
Sugerimos que você, leitor, observe a ilustração a 
seguir e refl ita sobre os comentários feitos sobre ela.
x
a b
Máximo relativo
Mínimo
relativo
Mínimo
relativo
Máximo absoluto. É o 
maior valor de f. Também 
é um máximo relativo.
Mínimo absoluto. 
É o menor valor 
de f. Também 
é um mínimo 
relativo.
c ed
Questões resolvidas
Determine os pontos de máximo ou de mínimo R22. 
relativos da função f:IR→IR defi nida por 
f x x x( ) = − +4 28 5 . Em seguida, faça um esboço de 
seu gráfi co.
Resolução:
f x x x f x x x( ) '( )= − + ⇒ = −4 2 38 5 4 16
Como f x'( ) está defi nida para todo x real, para 
encontrarmos os pontos críticos de f, basta 
encontrarmos as raízes de f x'( ) .
f x x x
x x e x
'( )
,
= ⇒ − = ⇒
= − = =
0 4 16 0
2 0 2
3
Utilizando os pontos críticos obtidos, podemos 
(a) (b)
(d)(c)
y
x x
y
y
y
f’(xo) > 0
f’(xo) > 0
f(xo) é máximo
relativo
f(xo)