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Física Quântica - 2021.3 - QS
- Lista 4 -
Tema: Uma nova interpretação da matéria (dualidade
onda-partícula)
GABARITO
Questões:
a. Enuncie as relações de de Broglie para a frequência e comprimento de onda das ondas
associadas a elétrons e mostre que, juntamente com a condição de onda estacionária, elas
são coerentes com a quantização do momento angular no átomo de hidrogênio (modelo de
Bohr).
Resp: De Broglie propôs que a frequência e o comprimento de onda do elétrons seriam
dados por:
λ =
h
p
f =
E
f
No caso da onda estacionária em uma orbita circular do elétron, temos como condição de
quantização que 2πr = nλ, ou seja, o comprimento de onda deve ser um múltiplo inteiro
do perímetro do circunferência. Dessa forma, podemos escrever:
2πr =
nh
p
→ rp = n~
em que (rp) é o módulo do momento angular (L), ou seja, obtemos que L = n~. Logo a
hipótese de De Broglie reforça o argumento de quantização de momento angular postulado
por Bohr para seu modelo atômico.
b. Discuta os experimentos de Davisson e Germer e de Thomson que mostraram o caráter
ondulatório dos elétrons.
Resp: O experimento Davisson-Germer verificou experimentalmente a difração de elé-
trons, que é um experimento característico de ondas. Um feixe de elétrons incidia em
um alvo de níquel cristalino, como mostrado na Figura ??. Observou-se no espalhamento
destes elétrons um padrão formado por máximos e mínimos, de acordo com o ângulo de
espalhamento, que é dado pela relação de Bragg: nλ = dsen(θ), onde d é o espaçamento
na rede cristalina e θ é o ângulo de espalhamento. No experimento, Davisson e Germer
obtiveram um comprimento de onda λ = 0, 165nm, valor muito próximo do esperado pela
hipótese de De Broglie, λ = 0, 167nm, essa diferença ocorreu devido a erros experimentais,
que posteriormente foram corrigidos. O experimento de Thomson consistia do envio de um
feixe intenso de elétrons relativísticos (velocidades próximas a da luz) e a observação do
padrão de interferência de círculos concêntricos depois dos elétrons interagirem com o alvo.
O comprimento de onda associado a este padrão era compatível com a predição para o
comportamento ondulatório de elétrons, esses resultados estão representados na Figura 1.
Estes resultados deram respaldo experimental para a hipótese de De Broglie da dualidade
onda-partícula, que é um dos conceitos centrais da física quântica atualmente.
Figura 1: Resultados do experimento de Thomson. A esquerda para uma difração de raios X e
a direita para difração de elétrons.
c. Como você definiria o que é pacote de ondas? Explique qual é a diferença entre velocidade
de fase e velocidade de grupo.
Resp: Pacote de onda é uma onda localizada no espaço e no tempo,que pode ser descrita
pela superposição (somatória) de diversas ondas harmônicas de frequências distintas:
y(x, t) =
∑
i
Aisin(kix− ωit)
A velocidade de fase é a velocidade associada a cada uma das componentes harmônicas,
dada por vp = νλ = ω/k.
A velocidade de grupo, por sua vez, está associada ao "envelope"(envoltória) do pacote
de onda, sendo a mesma para o pacote de onda como um todo, dada por vg = dωdk =
vp + k
dvp
dk . A velocidade de grupo (velocidade com que se propaga a energia, informação)
é sempre igual ou menor que a da luz, como esperado pela teoria da relatividade.
d. Como podemos justificar o fato de que o quadrado da função de onda de um elétron é
proporcional à probabilidade de detecção de um elétron na unidade de volume? [Dica:
Pense em qual a contribuição que a descrição do experimento de fenda dupla com luz e
com partículas para esta discussão.]
Resp: A interpretação de que o módulo do quadrado da função de onda corresponde a
densidade de probabilidade de encontrar a partícula é um postulado de Born, que pode ser
justificada considerando o comportamento de fótons no experimento de interferência da
fenda dupla. Neste experimento, luz incide em um padrão com duas aberturas com larguras
da onde do comprimento de onda da luz, após as fendas, podemos observar um padrão de
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interferência com regiões mais brilhantes intercaladas com regiões completamente escuras
(padrão de claros e escuros). Essa observação reflete o comportamento ondulatório coletivo
(ou médio) dos fótons, considerando o modelo ondulatório, vemos que a intensidade destas
regiões claras é proporcional ao módulo quadrado da amplitude do campo elétrico ((E0).
Entretanto, quando o mesmo experimento é repetido com uma intensidade de luz muito
baixa, ou seja, poucos fótons por unidade de tempo, por um curto período não se observa
padrão de interferência, mas sim pontos dispersos, devido ao comportamento corpuscular
dos fótons. Caso esse último experimento seja mantido por longos períodos, os diversos
pontos medido passam a formar o padrão de interferência, como esperado pelo princípio
da correspondência. Assim, podemos dizer que a probabilidade de um fóton ser medido
em um dado ponto (dele ser “encontrado nesse ponto”) é proporcional a intensidade da
luz naquele ponto. Por analogia, podemos dizer que o quadrado da função de onda do
elétron é proporcional a probabilidade de medir o elétron naquele ponto (“de encontrá-lo
lá”). No caso do elétron e da física quântica no geral, a função de onda pode ser uma
função complexa, mas o seu módulo quadrado é sempre positivo e real. Essas funções são
normalizáveis (fazer com que a área total sob a curva do módulo ao quadrado da função de
onda seja igual a 1, o que corresponde a probabilidade total). Assim, é uma interpretação
consistente e adequada para as predições que são realizadas na física quântica.
e. Enuncie o princípio da incerteza de Heisenberg e discuta suas consequências.
Resp: O princípio da incerteza foi formulado em 1927 por Werner Heisenberg. Tal prin-
cípio estabelece um limite na precisão com que certos pares de propriedades de uma dada
partícula quântica, conhecidas como variáveis complementares (tais como posição e mo-
mento linear ou a energia e o tempo), podem ser conhecidos. Heisenberg propôs que em
nível quântico quanto menor for a incerteza na medida da posição de uma partícula, maior
será a incerteza de seu momento linear e vice-versa, isto pode ser expresso matematica-
mente, por ∆p∆x ≥ ~/2. Assim, estabelecendo um limite mínimo para o produto das
incertezas destas duas propriedades da partícula.
É importante salientar que estas incertezas não estão relacionadas a limitações de instru-
mentos de medida, mas são intrínsecas da teoria quântica e estão associadas ao carácter
ondulatório dos entes quânticos. Dessa forma, se for de interesse em experimento aumentar
a precisão na medida do momento (ou seja, obter uma incerteza menor), então isso fará
com com a incerteza na medida da posição aumente. Obviamente, o princípio da incerteza
se aplica para objetos macroscópicos, porém quando calculamos os valores limites dados
pelo equação deste princípio, vemos que os valores limites são ordens de grandeza menores
que as incertezas típicas dos instrumentos de medida, assim não sendo possível observar
os seus efeitos nas medidas usuais do cotidiano. Contudo, em experimentos físicos, como
em aceleradores de partículas, em que estamos estudando efeitos em escala subatômicas,
as consequências do principio da incerteza são mensuráveis e devem ser levadas em conta
para a predição correta dos fenômenos físicos que estão sendo estudados.
Questões:
1. Considerando estes diferentes casos, determine o comprimento de onda de de Broglie
i) Para uma bola de futebol (m = 0, 5 kg) se movimentando com uma velocidade de 5 m/s.
ii) Para um elétron com energia cinética de 100 eV.
iii) Para uma partícula subatômica que se move com velocidade próxima a da luz e tem
energia total E = 1J . [Dica: Para determinar o momento no caso de uma partícula que se
move a uma velocidade próxima a da luz (energia cinética muito maior que a energia de
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repouso), pode-se considerar a aproximação relativística na qual o momento é determinado
como p = E/c].
Baseado nos seus resultado vistos acima, explique se é possível observarmosefeitos de
difração e interferência para tais objetos utilizando fendas ou outros experimentos que
evidenciam o seu caráter ondulatório?
Resp: O comprimento de onda de de Broglie pode ser determinado pela expressão: λ = hp .
Veremos que devemos ter cuidado com qual a forma adequada de obter o momento linear
para cada situação:
i) Bola de futebol : Neste caso, podemos usar mecânica Newtoniana, isto é, p = m.v, assim:
λ =
h
p
=
h
m.v
→ λ = 2, 65× 10−34m
ii) Elétron não relativístico: Neste caso, também podemos usar mecânica Newtoniana,
pois Ek < E0, onde E0 é a energia de repouso. Assim, podemos escrever o momento como
p =
√
2mEk, então:
λ =
h
p
=
h√
2mEk
→ λ = 1, 23× 10−10m = 123pm
iii) Partícula relativística: Neste caso, podemos usar a aproximação p = E/c, assim:
λ =
h
p
=
hc
E
→ λ = 1, 99× 10−25m
Nota: A relação entre energia e momento para uma partícula relativística é dada para:
E =
√
(m0c2)2 + (pc)2, onde m0c2 é a energia de repouso da partícula. Para partículas
com alta energia cinética em que m0c2 << pc, podemos fazer a aproximação de que
E ≈ pc→ p ≈ E/c.
O comprimentos de onda de objetos macroscópicos com as velocidades usuais são muito
pequenos e seriam necessárias fendas de tamanhos comparáveis a estes comprimentos de
onda. Por exemplo, para o caso da bola de futebol, ela deveria passar passar por uma
fenda da ordem de 10−34m, uma bola possui cerca de 11 cm de raio, ou seja, tal experi-
mento seria impossível. Dessa forma, não observamos estes efeitos quântico sem situações
de nosso dia-a-dia.
2. Num experimento projetado para se tentar observar a difração de partículas microscópi-
cas elétrons com energia cinética de 1, 24 eV serão direcionados a um objeto que atuará
efetivamente como uma parede com uma fenda de largura d = 3 nm. Após atravessar
a fenda os elétrons são registrados em um anteparo após percorrerem uma distância de
alguns metros.
a) Determine o comprimento de onda de Broglie dos elétrons direcionados à fenda.
b) Dada a largura da fenda e o comprimento de onda de Broglie obtido no item anterior,
seria possível observar o fenômeno de difração nesse experimento? Explique sua resposta.
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Resp: a) Como sabemos a energia cinética dos elétrons, podemos determinar o seu mo-
mento e, consequentemente, o seu comprimento de onda de matéria como:
p =
√
2mE =
√
2× 9, 1× 10−31kg × 1, 24× 1, 6× 10−19 J
=
√
2× 9, 1× 1, 24× 1, 6× 10−25kg.m/s
≈ 6× 10−25kg.m/s
λ =
h
p
=
6, 63× 10−34J · s
6× 10−25kg.m/s
= 1, 105 nm
b) Sim, pois a largura da fenda e o comprimento de onda de Broglie dos elétrons tem
a mesma ordem. Vemos isso da expressão d sinθ = nλ, onde para n = 1 o ângulo é
mensurável.
3. Num aparelho de televisão os elétrons são acelerados por um potencial de 20 kV. Qual é o
comprimento de onda de de Broglie destes elétrons?
Resp: Um potencial de V = 20kV equivale a uma energia cinética de Ek = 20keV =
3, 2 × 10−15J . Como essa energia cinética é bem menor que a energia de repouso do
elétron (E0 = 511kEV ), podemos usar mecânica Newtoniana para determinar o momento
da partícula. Dessa forma, o comprimento de onda de de Broglie é dado por:
λ =
6.62 ∗ 10−34J.s√
2 ∗ 9.1 ∗ 10−31kg ∗ 3.2 ∗ 10−15J
= 8, 2× 10−12m = 8, 2pm
4. Uma massa de 1 micrograma tem uma velocidade de 1 cm/s. Se a velocidade tem uma
incerteza de 1%, qual é a ordem de grandeza da incerteza mínima na sua posição?
Resp: A massa é m = 1µg = 10−9kg, v = 10−2m/s, ∆v = 10−4m/s, logo ∆p = m∆v =
10−13kg.m/s. Assim, pelo principio de incerteza de Heisenberg, a incerteza mínima da
posição é dada por:
∆x =
~
2∆p
= 5, 25× 10−22m.
5. A energia de um certo estado nuclear pode ser medida com incerteza da ordem de 1 eV.
Qual é o mínimo tempo de vida desse estado?
Resp: ∆E = 1eV = 1, 6 × 10−19J , usando o principio de incerteza obtemos o tempo de
vida mínimo do estado, dado por:
∆t =
~
2∆E
= 3, 28× 10−16s.
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6. Os núcleos atômicos são também sistemas quânticos com níveis de energia discretos. Um
estado excitado de um certo núcleo tem uma meia vida de 0, 5.10−9s, aproximadamente.
Considerando que este tempo é a incerteza ∆t para a emissão de um fótons, use a relação
∆E∆t ≥ ~/2 para calcular a menor incerteza na frequência, ∆ν, do fóton emitido. Calcule
a incerteza relativa, ∆νν , quando o comprimento de onda dos fótons emitidos é λ = 0, 01nm.
Resp: Considerando a meia vida como a incerteza no tempo ∆t = 0, 5 × 10−9s. Para a
energia podemos escrever:
∆E = h∆ν,
pelo princípio da incerteza a menor incerteza é dada por, ∆E∆t = h/4π, ou seja,
h∆ν∆t = h/4π∆ν =
1
4π∆t
= 0, 16× 109Hz.
Uma onda de comprimento igual a 0, 01nm possui uma frequência de ν = c/λ = 3×1019Hz
e, portanto, a incerteza relativa nesse caso é de ∆νν = 5, 3× 10
−12.
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