Resumo | Equações algébricas

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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 
Definição 
Equação algébrica (ou polinomial) de grau 𝑛 é toda 
igualdade que pode ser escrita na forma 𝑃(𝑥) = 0, 
onde 𝑃(𝑥)	é um polinômio de grau 𝑛. Exemplo: 
• 5𝑥! − 4𝑥" + 7𝑥 − 8 = 0. 
 
Rebaixamento de grau 
Do estudo de polinômios, sabemos que 𝑃(𝑥) é 
divisível por (𝑥 − 𝑟) se 𝑟 for uma de suas raízes. Ou 
seja, podemos escrever 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑟)𝑄(𝑥), onde 
𝑄(𝑥) é um polinômio com grau uma unidade menor 
que o grau de 𝑃(𝑥). Então, conhecendo uma raiz 𝑟 
de 𝑃(𝑥), basta dividí-lo por (𝑥 − 𝑟) para obter o 
polinômio 𝑄(𝑥) cujas raízes são as demais raízes 
de 𝑃(𝑥). Exemplo: 
• Resolva a equação 𝑥! − 2𝑥" − 𝑥 + 2 = 0 
sabendo que 𝑥 = 1 é uma raiz. 
 
Dividindo 𝑥! − 2𝑥" − 𝑥 + 2 para 𝑥 − 1, obtemos o 
quociente 𝑥" − 𝑥 − 2. Devemos então resolver a 
equação 𝑥" − 𝑥 − 2 = 0. Como é uma equação do 
segundo grau ela pode ser resolvida facilmente, 
fornecendo as raízes −1 e 2. Logo, as raízes da 
equação 𝑥! − 2𝑥" − 𝑥 + 2 = 0 são −1, 1 e 2. 
 
Quantidade de raízes 
Toda equação algébrica de grau 𝑛 possui no 
máximo 𝑛 raízes distintas. Mas as raízes podem não 
ser todas distintas, nesse caso, a quantidade de 
vezes que uma raiz aparece chama-se a 
multiplicidade dessa raiz. Exemplo: 
• Resolva a equação 𝑥! − 3𝑥" + 3𝑥 − 1 = 0 
 
Note que 𝑥! − 3𝑥" + 3𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)! = 0. 
Logo, 𝑥 = 1 é a única raiz distinta da equação, 
apresentando multiplicidade 3. 
 
Relações de Girard 
Seja 𝑎#𝑥# + 𝑎#$%𝑥#$% +⋯+ 𝑎%𝑥 + 𝑎& = 0, com 
𝑎# ≠ 0 e raízes 𝑟%, 𝑟", . . ., 𝑟#. Então: 
𝑟% +⋯+ 𝑟# = −
𝑎#$%
𝑎#
𝑟% ∙ 𝑟" ∙ ⋯ ∙ 𝑟# = (−1)# ∙
𝑎&
𝑎#
 
𝑟%𝑟" + 𝑟%𝑟! +⋯+ 𝑟#$%𝑟# =
𝑎#$"
𝑎#
 
Pesquisa de raízes racionais 
Se o número 𝑝 𝑞⁄ , com 𝑝 e 𝑞 primos entre si, é uma 
raiz da equação polinomial com coeficientes inteiros 
𝑎#𝑥# + 𝑎#$%𝑥#$% +⋯+ 𝑎%𝑥 + 𝑎& = 0, 𝑎# ≠ 0, 
então 𝑝 é divisor de 𝑎& e 𝑞 é divisor de 𝑎#. Exemplo: 
• Encontre as raízes racionais da equação 
𝑥' − 5𝑥! + 5𝑥" + 5𝑥 − 6 = 0 
 
Buscamos um número 𝑝 𝑞⁄ tal que 𝑞	 = ±1 e 
𝑝 = {±1,±2,±3,±6}. Logo, os possíveis valores 
de 𝑝 𝑞⁄ são os próprios possíveis valores de 𝑝. Para 
verificar quais são de fato as raízes, testamos na 
equação para conferir se o resultado é zero, ou 
verificamos se o polinômio é divisível por 𝑥 − 𝑝. 
Dessa maneira obtemos as raízes −1, 1, 2 e 3. 
 
Raízes complexas 
Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é uma raiz de 
uma equação algébrica de coeficientes reais, então 
o o número complexo 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 também é raiz 
dessa equação. 
 
Raízes irracionais 
Se uma equação polinomial de coeficientes 
racionais admite como raiz o número irracional 
E𝑎 + √𝑏G,	com 𝑎 e 𝑏 racionais e 𝑏 não quadrado 
perfeito, então o número E𝑎 − √𝑏G também é raiz 
da equação. 
 
Exemplo: 
• Resolva, no conjunto dos complexos, a 
equação 𝑥' − 4𝑥! + 2𝑥" − 4𝑥 + 1 = 0, 
sabendo que uma das raízes é 2 + √3. 
 
Se uma raiz é 2 + √3, sabemos que 2 − √3 é outra 
raiz da equação. Pelas relações de Girard, 
buscamos as outras duas raízes 𝑟! e 𝑟' tais que: 
(2 + √3) + (2 − √3) + 𝑟! + 𝑟' = 4 ⟹ 𝑟! + 𝑟' = 0 
(2 + √3)(2 − √3)𝑟!𝑟' = 1 ⟹ 𝑟!𝑟' = 1 
 
Portanto, 𝑟! = −𝑖 e 𝑟' = 𝑖, e as quatro raízes são: 
2 + √3, 2 − √3, −𝑖, 𝑖. 
 
Teorema de Bolzano 
Seja 𝑃(𝑥) um polinômio de coeficientes reais e 
]𝑎, 𝑏[	um intervalo real qualquer. 
• Se 𝑃(𝑎)𝑃(𝑏) < 0, então 𝑃(𝑥) possui um 
número ímpar de raízes reais no intervalo 
]𝑎, 𝑏[;	 
• Se 𝑃(𝑎)𝑃(𝑏) > 0, então 𝑃(𝑥) possui um 
número par de raízes reais no intervalo 
]𝑎, 𝑏[. 
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