Semelhança de Triângulos

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-Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas 
distintas de um plano, paralelas entre si. 
-Transversal ao feixe de retas paralelas é uma 
reta do plano do feixe que intersecta todas as retas 
do feixe. 
Exemplo 
-As retas r, s e t da figura abaixo constituem um 
feixe de retas paralelas. 
 
-Na figura, as retas a e b são transversais ao feixe. 
▪ A e A’ são pontos correspondentes; 
▪ Também são correspondentes os pontos B 
e B’, C e C’; 
▪ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ são segmentos de reta 
correspondentes. Igualmente, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ , 
assim como 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅. 
Se duas transversais intersectam um feixe de 
retas paralelas, então a razão entre dois 
segmentos de reta quaisquer de uma transversal 
é igual à razão entre os segmentos de reta 
correspondentes da outra. 
-Tomando como base a figura anterior, temos: 
𝑨𝑩
𝑪𝑫
=
𝑨′𝑩′
𝑪′𝑫′
 
-Em decorrência das propriedades das proporções, 
valem também as igualdades: 
 
 
𝑨𝑪
𝑨𝑩
=
𝑨′𝑪′
𝑨′𝑩′
 𝒐𝒖 
𝑨𝑪
𝑩𝑪
=
𝑨′𝑪′
𝑩′𝑪′
 
 
-Podemos também enunciar o teorema de Tales 
assim: 
Um feixe de paralelas determina, em duas 
transversais quaisquer, segmentos de retas 
proporcionais. 
 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente 
se, possuem os três ângulos ordenadamente 
congruentes e os lados homólogos* 
proporcionais. 
*Que têm a mesma posição relativa; correspondentes. 
-Observe os triângulos ABC e A’B’C’: 
 
∆𝑨𝑩𝑪 < ∆𝑨′𝑩′𝑪′ ↔ {
�̂� ≥ �̂�′
�̂� ≥ 𝑩′̂
�̂� ≥ 𝑪′̂
 
e 
𝒂
𝒂′
=
𝒃
𝒃′
=
𝒄
𝒄′
= (𝒓𝒂𝒛ã𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒍𝒉𝒂𝒏ç𝒂) 
 
 
 
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-Verificando apenas algumas informações sobre 
dois triângulos podemos garantir a semelhança 
entre eles. Esses são os chamados casos de 
semelhança de triângulos. 
 1º caso: critério AA (ângulo, ângulo) 
-Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos 
de um são congruentes a dois ângulos do outro. 
 
 
 2º caso: LLL (lado, lado, lado) 
-Dois triângulos são semelhantes se os lados de um 
são proporcionais aos lados do outro. 
 
 
 3º caso: LAL (lado, ângulo, lado) 
-Dois triângulos são semelhantes se possuem um 
ângulo congruente compreendido entre lados 
proporcionais. 
 
 
 
 
 
Toda reta paralela a um lado de um triângulo que 
intersecta os outros dois lados em pontos 
distintos, determina outro triângulo semelhante 
ao primeiro. 
 
1. (Cefet/MG) Considere a figura em que r // s // t 
 
O valor de x é: 
(a) 3 
(b) 4 
(c) 5 
(d) 6 
(e) 7 
2. (CDPII) Para melhorar a qualidade do solo, 
aumentando a produtividade do milho e da soja, em 
uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a 
área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área 
produtiva da fazenda foi dividida em três partes 
conforme a figura. 
 
 
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Considere que 
▪ os pontos A, B, C e D estão alinhados; 
▪ os pontos H, G, F e E estão alinhados; 
▪ os segmentos são, dois 
a dois, paralelos entre si; 
▪ AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m e HE 
= 1980 m. 
Nessas condições, a medida do segmento é, 
em metros, 
(a) 665 
(b) 660 
(c) 655 
(d) 650 
(e) 645 
3. (PUC) Na figura a seguir, as retas r, s e t são 
paralelas entre si 
 
Se AC = x, BC = 8, DE = 15, EF = x - 10, GI = y e HI 
= 10, então x + y é um número 
(a) maior que 47 
(b) entre 41 e 46 
(c) menor que 43 
(d) quadrado perfeito 
(e) cubo perfeito 
 
 
4. (Cefet/PR) O jardineiro Sr. Artur fez um canteiro 
triangular composto por folhagens e flores onde as 
divisões são todas paralelas à base. 
 
Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de 
flores são, respectivamente: 
(a) 30 cm e 50 cm. 
(b) 28 cm e 56 cm. 
(c) 50 cm e 30 cm. 
(d) 56 cm e 28 cm. 
(e) 40 cm e 20 cm. 
5. (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte 
mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente 
ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 
3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A 
distância em metros que o paciente ainda deve 
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é 
(a) 1,16 metros. 
(b) 3,0 metros. 
(c) 5,4 metros. 
(d) 5,6 metros. 
(e) 7,04 metros. 
6. Qual o valor de x nos triângulos a seguir? 
 
 
 
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(a) 48 cm 
(b) 49 cm 
(c) 50 cm 
(d) 24 cm 
(e) 20 cm 
7. Na imagem a seguir, é possível perceber dois 
triângulos que compartilham parte de dois lados. 
Sabendo que os segmentos BA e DE são paralelos, 
qual a medida de x? 
 
(a) 210 m 
(b) 220 m 
(c) 230 m 
(d) 240 m 
(e) 250 m 
8. Na figura abaixo considere que a medida da 
altura da árvore é 10 m, a distância entre ela e o 
observador é de 50 m e a distância da árvore ao 
ponto M é de 70 m. Considerando que o olho do 
observador, o topo da árvore e o topo da torre estão 
alinhados, qual é, aproximadamente, a medida da 
altura da torre? 
 
(a) 20 m 
(b) 22 m 
(c) 24 m 
(d) 26 m 
(e) 28 m 
 
 
9. (Unesp) A sombra de um prédio, em um terreno 
plano, em uma determinada hora do dia, mede 15 m. 
Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra 
de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do 
prédio, em metros, é: 
 
(a) 25 
(b) 29 
(c) 30 
(d) 45 
(e) 75 
10. (PUC) Considere a imagem abaixo, que 
representa o fundo de uma piscina em forma de 
triângulo com a parte mais profunda destacada 
 
O valor em metros da medida “x” é: 
(a) 2 
(b) 2,5 
(c) 3 
(d) 4 
(e) 6