9_matematica_2_volume_01

Prévia do material em texto

249Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M é ponto médio de .
•	 Ângulo	raso: todo ângulo que mede 180º.
•	 Ângulo	reto: todo ângulo que mede 90º.
•	 Retas	perpendiculares: retas que se cortam formando 
ângulo reto.
•	 Mediatriz	de	um	segmento	de	reta: é a reta perpendi-
cular que passa pelo ponto médio do segmento.
ProPriedade da Mediatriz
Seja m a reta mediatriz do segmento AB.
•	 Ângulo	agudo: todo ângulo a tal que 0º < a < 90º
Resumo da Teoria
PrincíPio da deterMinação da reta
 Por dois pontos A e B passa uma única reta r.
•	 Retas	Coincidentes: retas iguais.
•	 Retas	Concorrentes: se cortam num único ponto.
•	 Retas	Paralelas:
r	//	s r e s não se cortam
PrincíPio da reta Paralela
Dada uma reta r e um ponto P fora dela, existe uma úni-
ca reta s que passa por P e é paralela a r.
•	 Semi-reta:
•	 Segmento	de	reta:
•	 Ponto	médio	de	segmento: é o ponto M que divide o 
segmento em duas partes iguais.
Geometria Plana
250 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
•	 Ângulo	obtuso: todo ângulo a tal que 90º < a < 180º
•	 Bissetriz: semi-reta que divide um ângulo ao meio.
ProPriedade da Bissetriz
Seja b a bissetriz de um ângulo.
a = b PA = PB
•	 Ângulos	Complementares:	são ângulos a e b tais que 
a + b = 90º.
•	 Ângulos	Suplementares: são ângulos a e b tais que 
a + b = 180º.
•	 Ângulos	Adjacentes: são ângulos que têm apenas uma 
semi-reta em comum.
•	 Ângulos	Opostos	pelo	Vértice	(opv): são ângulos a e b 
não-adjacentes formados por duas retas concorrentes.
•	 Ângulos	Correspondentes	e	Ângulos	Alternos-internos:
a e b são ângulos correspondentes
a e g são ângulos alternos-internos
t é uma reta transversal às retas r e s.
ProPriedade das Paralelas
Seja t uma reta transversal às retas r e s.
r // s a = b
teoreMa de tales
•	 Elementos	do	Triângulo:
 Vértices: A, B, C
 Lados: a, b, c
 Ângulos	internos: 
	 Ângulo	externo: e
 Altura	relativa	à	base	AC: h
 Perímetro: 2p = a + b + c
 Semi-perímetro: 
251Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
•	 Área	do	Triângulo teoreMa da soMa dos Ângulos do triÂngulo
Em qualquer triângulo ABC,
teoreMa do Ângulo externo
Em qualquer triângulo ABC,
01	 Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com 
r // s. Determine o valor, em graus, de 2x + 3y.
02	 Na figura abaixo, calcular a soma A + B + C + D + E + 
F + G + H dos ângulos indicados.
03	 Determine a soma das medidas dos ângulos A + B + C 
+ D + E.
04	 Observe a figura abaixo:
 Nessa figura, AB = AC, CD é bissetriz de BCD, CE é bis-
setriz do ângulo C e a medida do ângulo ACF é 140º. 
Determine a medida do ângulo DÊC.
252 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
01	 A figura abaixo é a representação de seis ruas de uma 
cidade. As ruas R1, R2 e R3 são paralelas entre si.
 Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a 
rua R2 até a posição B.
 Se a escala de representação for de 1 : 50 000, a distân-
cia, em metros, que Paulo vai percorrer será de, aproxi-
madamente:
a) 1333. b) 750.
c) 945. d) 3000.
e) 5000.
02	 (FuVEST) As retas t e s são paralelas. A medida do ângu-
lo x, em graus, é:
 
a) 30 
b) 40 
c) 50
d) 60
e) 70
03	 (uniFiCAdO)
 Na figura acima vemos uma “malha” composta de 55 re-
tângulos iguais. Em três dos nós da malha são marcados 
os pontos A, B e C, vértices de um triângulo. Consideran-
do-se a área S de cada retângulo, a área do triângulo ABC 
pode ser expressa por:
a) 24S
b) 18S 
c) 12S 
d) 6S
e) 4S
04	 A área de um triângulo de lados a, b e c é dada pela 
fórmula:
 onde p é o semiperímetro (2p = a + b + c).
 Qual a área de um triângulo de lados 5, 6 e 7?
a) 15
b) 21
c) 
d) 
e) 
05	 Dado o triângulo ABC, abaixo indicado, construímos a 
poligonal L	=	BCB1C1B2C2B3C3... O comprimento de L é:
 
a) 2c
b) a + b + c
c) 2 (a + b)
d) 2 (a + c)
e) 
01	 (EnEM-09)	Considere três circunferências com raios me-
dindo 5cm, 4cm e 3cm respectivamente. Se elas são tra-
çadas de forma que cada uma delas é tangentes exterior 
às outras duas, como mostra a figura abaixo, então po-
demos afirmar que o valor da área do triângulo formado 
pelos centros dessas circunferências é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
253Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
01 No triângulo ABC da figura ao lado, = 60° e = 20°. 
Qual o valor do ângulo HÂS formado pela altura e a 
bissetriz ?
 
02	 Na figura, determine a medida do ângulo a em função 
de m.
03	 Determinar a medida do ângulo do vérti-
ce A do triângulo isósceles ABC, sabendo 
que os segmentos , , , e são 
congruentes.
04	 Na figura abaixo, R é um ponto pertencente ao lado AB 
e S um ponto pertencente ao lado AC. Sejam b a medida 
de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medi-
da de AS.
 Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e 
ABC vale .
Geometria Plana
Triângulos	Semelhantes: são triângulos em que os ângu-
los de um triângulo são iguais aos ângulos do outro e os lados 
correspondentes são proporcionais. Denotamos DABC @ DDEF.
A constante é o fator de proporcio-
nalidade da semelhança.
PriMeiro caso de seMelhança
segundo caso de seMelhança
254 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
terceiro caso de seMelhança
ProPriedade da Área de triÂngulos seMelhantes
•	 Base	 média	 de	 triângulo:	 é o segmento que liga os 
pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer.
ProPriedade da Base Média do triÂngulo
Seja o segmento uma base-média do triângulo ABC, 
então:
•	 Triângulo	isósceles: todo triângulo que possui dois la-
dos iguais. Na figura, o lado BC é a base do triângulo.
ProPriedade do triÂngulo isósceles
•	 Triângulo	 retângulo: todo triângulo que possui um 
ângulo reto.
teoreMa de PitÁgoras
Em todo triângulo retângulo, a2 = b2 + c2.
relações Métricas no triÂngulo retÂngulo
ProPriedade do triÂngulo retÂngulo coM Ângulo de 60º
 
ProPriedade do triÂngulo retÂngulo coM Ângulo de 45º
 
255Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
•	 Triângulo	Equilátero:	todo triângulo que possui os três 
lados iguais.
ProPriedade do triÂngulo equilÁtero
 
desigualdade triangular
Num triângulo ABC qualquer, 
|b – c| < a < b + c
lei dos cossenos
Num triângulo ABC qualquer,
a2 = b2 + c2 – 2bc cosÂ
ProPriedade do Maior Ângulo e do Maior lado
Num triângulo qualquer, o maior ângulo opõe-se ao 
maior lado.
•	 Triângulo	 Acutângulo: todos os ângulos são menores 
que 90º.
ProPriedade do triÂngulo acutÂngulo
•	 Triângulo	Obtusângulo: possui um ângulo maior que 90º.
ProPriedade do triÂngulo oBtusÂngulo
 > 90º a2 > b2 + c2
•	 Mediana: é o segmento que liga um vértice ao ponto 
médio do lado oposto.
ProPriedade do Baricentro
Num triângulo ABC qualquer, as três medianas cortam-se 
num único ponto G (o baricentro do triângulo) de modo que 
.
ProPriedade da Mediana relativa à hiPotenusa
Seja ABC um triângulo retângulo.
•	 Triângulos	Congruentes:	são triângulos em que os ângulos 
de um triângulo são iguais aos ângulos do outro e os lados 
correspondentes são iguais. Denotamos DABC DDEF.
Obs:	DABC DDEF ar(DABC) = ar(DDEF)
256 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
PriMeiro caso de congruência - lal (lado, Ângulo, lado)
segundo caso de congruência - ala (Ângulo, lado, Ângulo)
terceiro caso de congruência - lll (lado, lado, lado)
quarto caso de congruência - laao
•	 Bissetriz	 interna	do	triângulo: bissetriz de um ângulo 
interno do triângulo.
teoreMa da Bissetriz interna
Num triângulo ABC qualquer,
 
ProPriedade do incentro
Num triângulo qualquer, as três bissetrizes cortam-se 
num único ponto i (o incentro	do	triângulo) e esse ponto é o 
centro do círculo inscrito no triângulo.
ar(DABC) = pr
•	 Mediatriz	de	triângulo: mediatriz de um lado do triângulo.
ProPriedade do circuncentro
Num triângulo qualquer, as três mediatrizes cortam-se 
num único ponto K (o circuncentro	do	triângulo) e esse pon-
to é o centro do círculo circunscrito ao triângulo.lei dos senos
Num triângulo ABC qualquer,
257Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
ProPriedade do ortocentro
Num triângulo qualquer, as três alturas cortam-se num 
único ponto H (o ortocentro	do	triângulo).
oBservações:
1. Num triângulo isósceles coincidem a altura, a mediana, a 
bissetriz e a mediatriz relativas à base.
2. Num triângulo equilátero coincidem o baricentro, o in-
centro, o circuncentro e o ortocentro.
01	 Calcule o valor de “x” na figura abaixo, sabendo que 
AB= 15 cm, BC= 20 cm e PC= 15 cm.
02	 No triângulo a seguir, o valor de x é:
03	 No triângulo, e os ângulos indicados valem 
A = 30º e B = 45º. Calcule b.
04	 Um triângulo ABC tem lados AB e BC que medem, res-
pectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a medida do lado 
AC, sabendo que o ângulo B mede 60º.
01	 Leia o trecho abaixo, relatando uma estória do matemá-
tico grego Tales, de Mileto, retirado do livro “O Teorema 
do Papagaio”: Após alguns dias de uma viagem inter-
rompida por numerosas escalas nas cidades à margem do 
rio, ele a avistou. Erguida no meio de um largo platô, a 
pirâmide de Queóps! Tales nunca tinha visto nada tão im-
ponente...”. “...Quaisquer que tenham sido os objetivos 
do faraó, uma coisa era certa: a altura da pirâmide era 
impossível de ser medida. Era a construção mais visível 
do mundo habitado e a única que não podia ser medi-
da. Tales resolveu enfrentar o desafio....” “...Lentamente, 
seu olhar foi de seu corpo à sua sombra, de sua sombra 
a seu corpo, depois voltou-se para a pirâmide...” “...Ta-
les compenetrou-se dessa idéia: a relação que mantenho 
com minha sombra é a mesma que a pirâmide mantém 
com a dela. Disso deduziu o seguinte: no instante em que 
minha sombra for igual à minha estatura, a sombra da pi-
râmide será igual à sua altura!...” “...Tales traçou na areia 
uma circunferência de raio igual à sua altura, postou-se 
no centro e ficou de pé, bem reto. Depois fixou com os 
olhos a ponta de sua sombra. Quando esta tocou a cir-
cunferência, isto é, quando o comprimento da sombra 
ficou igual à sua altura, deu o grito combinado. O egíp-
cio, que estava à sua espera, fincou imediatamente uma 
estaca no lugar atingido pela extremidade da sombra da 
pirâmide. Tales correu para a estaca. Juntos, com a ajuda 
de uma corda bem esticada, mediram a distância que 
separava a estaca da base da pirâmide. Quando calcula-
ram o comprimento da sombra, conheceram a altura da 
pirâmide!”. O conceito matemático envolvido no texto 
acima é:
a) o teorema angular de Tales.
b) o do ângulo inscrito em uma circunferência.
c) o teorema de Pitágoras.
d) o dos ângulos obtidos numa transversal a um par de retas 
paralelas.
e) a semelhança de triângulos.
258 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
02	 O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre 
dos teoremas da Matemática. Enunciado pela primeira 
vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos estabe-
lece uma relação simples entre o comprimento dos lados 
de um triângulo retângulo:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos qua-
drados dos catetos.
 Na figura plana seguinte estão desenhados um triângulo 
retângulo ABC e três quadrados, Q1, Q2 e Q3.
 Sabendo-se que a área do quadrado Q1 é 169cm
2 e que 
a área do quadrado Q2 é 25cm
2, a medida BC, em cm, é 
igual a:
a) 8 b) 9
c) 10 d) 11
e) 12
03	 (PuC)	 O maior dos segmentos desenhados na figura 
abaixo é:
a) b) 
c) d) 
e) 
04	 (unificado)
 Na figura anterior, os pontos B e C pertencem à reta r e 
os seg-mentos AB e CD são paralelos. Sabe-se ainda que 
a distância entre os pontos B e C é igual à metade da 
distância entre A e D, e a medida do ângulo ACD é 45º. 
O ângulo CAD mede:
a) 115º
b) 105º
c) 100º
d) 90º
e) 75º
05	 (uFF) Na figura abaixo, M e N são pontos médios dos 
lados PQ e PR do triângulo PQR.
 Sabendo que QR mede 18,0 cm e que a altura relativa 
a este lado mede 12,0 cm, a altura do triângulo MNT, 
relativa ao lado MN, mede:
a) 4,0 cm
b) 3,5 cm
c) 3,0 cm
d) 2,0 cm
e) 1,5 cm
06	 (uERJ) No triângulo ABC da figura abaixo, os pontos D 
e E dividem o lado AB em três partes iguais e os ponto F, 
G e H dividem o lado BC em quatro partes iguais.
 A razão entre as áreas dos triângulos DEF e ABC vale:
a) 1/3
b) 1/4
c) 1/7
d) 1/12
e) 1/15
259Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
01	 (EnEM)	 Em canteiros de obras de construção civil é 
comum perceber trabalhadores realizando medidas de 
comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por 
onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses 
canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi 
possível perceber que, das seis estacas colocadas, três 
eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três 
eram os pontos médios dos lados desse triângulo, con-
forme pode ser visto na figura, em que as estacas foram 
indicadas por letras.
 A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria 
ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser 
calçada corresponde
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
02	 (EnEM) A fotografia mostra uma turista aparentemente 
beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir 
mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera 
fotográfica, a turista e a esfinge.
 Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, 
verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça 
da turista é igual a 2/3 da medida do queixo da esfinge 
até o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas 
na realidade são representadas por d e d’, respectiva-
mente, que a distância da esfinge à lente da câmera 
fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da 
turista e da esfinge, é representada por b, e que a distân-
cia da turista à mesma lente, por a. A razão entre b e a 
será dada por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
01	 Demonstre que o perímetro do triângulo MNP é menor 
que o perímetro do triângulo ABC da figura ao lado.
02	 Terno pitagórico é a denominação para os três números 
inteiros que representam as medidas, com a mesma uni-
dade, dos três lados de um triângulo retângulo. Um terno 
pitagórico pode ser gerado da seguinte forma:
– escolhem-se dois números pares consecutivos ou dois nú-
meros ímpares consecutivos;
– calcula-se a soma de seus inversos, obtendo-se uma fra-
ção cujos numerador e denominador representam as me-
didas dos catetos de um triângulo retângulo;
– calcula-se a hipotenusa.
260 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
Geometria Plana
a) Utilizando o procedimento descrito, calcule as medidas 
dos três lados de um triângulo retângulo, considerando 
os números pares 4 e 6.
b) Considere x um número inteiro maior do que 1, e que 
(x – 1) e (x + 1) representam dois pares ou dois ímpares 
consecutivos. Demonstre que esses dois números geram 
um terno pitagórico.
03	 Em um casarão abandonado, um portão medindo 3 m 
de altura por 2 m de largura se abre bruscamente girando 
de 30º, conforme figura.
 Esse fato faz com que uma aranha, seguindo sua teia, 
se desloque da posição A para a posição B’, sendo A’ e 
B1, respectivamente, as extremidades superior e inferior 
do portão após a abertura. Calcule a distância percorrida 
pela aranha.
04	 (uFRJ) Três goiabas perfeitamente esféricas de centros e 
raios 2 cm, 8 cm e 2 cm estão sobre uma mesa tangen-
ciando-se como sugere a figura abaixo.
 Um bichinho que está no centro da primeira goiaba quer 
se dirigir para o centro da terceira pelo caminho mais 
curto. Quantos centímetros percorrerá?
eleMentos do quadrilÁtero:
 Ângulo	interno: i
 Ângulo	externo: e
	 Lados	ou	arestas: AB, BC, CD, DA
 diagonal: d
ProPriedade da soMa dos Ângulos
Num quadrilátero, sejam Si = Soma dos ângulos internos 
e Se = Soma dos ângulos externos. Então:
 Si = 360º e Se = 360º
•	 Paralelogramo: quadrilátero que possui lados opostos 
paralelos.
	 Altura: h
	 Base: bÁrea do ParalelograMo
ar(#	ABCd)	=	bh
ProPriedades dos ParalelograMos
São equivalentes para um quadrilátero ABCD:
1. #ABCD é um paralelogramo ( ).
2.	 #ABCD tem ângulos opostos iguais.
3. #ABCD tem lados opostos iguais. 
AB = CD e BC = DA
261Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
4. cortam-se nos pontos médios.
AM = MC e BM = MD
5.	 #ABCD tem dois lados opostos iguais e paralelos.
 e AB = CD
•	 Retângulo: todo paralelogramo cujos ângulos são todos 
ângulos retos.
 dimensões: a e b
	 Área: ar(# ABCD) = ab
	 diagonais	 do	 retângulo:	 são iguais e cortam-se nos 
pontos médios.
•	 Losango: todo paralelogramo cujos lados são todos 
iguais.
 diagonais	do	losango: são perpendiculares e cortam-se 
nos pontos médios.
•	 Quadrado: todo retângulo cujos lados são iguais.
 dimensão: l
 diagonal: 
 Área: ar(# ABCD) = l2
 diagonais	do	quadrado: são iguais, perpendiculares e 
cortam-se nos pontos médios.
•	 Trapézio: todo quadrilátero que possui exatamente dois 
lados paralelos.
 
 Bases: b e b’ (os lados paralelos)
 Altura: h
 Área: 
ProPriedade da Base Média do traPézio
•	 Trapézio	isósceles: todo trapézio cujos lados não-para-
lelos são iguais.
•	 Trapézio	retângulo: todo trapézio que possui um lado 
perpendicular às bases.
eleMentos do Polígono convexo:
 número	de	lados: n 
 Vértices: A1, A2, …, An
 Ângulos	internos:	i1, i2, …, in
 Soma	dos	ângulos	internos: Si = i1 + i2 + ... + in
 Ângulos	externos: e1, e2, …, en
 Soma	dos	ângulos	externos: Se = e1 + e2 + ... + en
 diagonal: d
ProPriedade dos Polígonos convexos
 Si = (n – 2) . 180º
 Se = 360º
 (número de diagonais)
262 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
•	 Polígono	regular: todo polígono com ângulos internos 
iguais e lados iguais.
 Centro	do	polígono: C 
 Apótema: a
 Área: S = pa
 Perímetro: 2p = nl
 Semi-perímetro: 
 Ângulo	interno: 
01	 (uFRJ) Na figura abaixo, o triângulo AEC é equilátero e 
ABCD é um quadrado de lado 2 cm.
 Calcule a distância BE.
02	 (uFRJ) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 
10 m × 10 m. Ele dividiu o salão em dois ambientes I e II 
através de um segmento de reta passando pelo ponto B e 
paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra 
a figura a seguir:
 A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambien-
te II. Calcule a distância entre os pontos A e B.
03	 Na figura ao lado, ABC é um triângulo equilátero e DEF-
GH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence 
ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao 
lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH.
04 Dado um decágono regular ABCDE...J, sendo O o centro 
do polígono, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono.
b) a medida de cada ângulo externo.
c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono.
d) a medida de cada ângulo interno.
e) a medida do ângulo obtuso formado pelos prolongamen-
tos dos lados BC e DE.
f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamen-
tos dos lados BC e EF.
g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais BI 
e AG.
01	 A figura ao lado mostra a trajetória de uma bola de bi-
lhar. Sabe-se que, quando ela bate na lateral da mesa 
(retangular), forma um ângulo de chegada que sempre é 
igual ao ângulo de saída. A bola foi lançada da caçapa 
A, formando um ângulo de 45 graus com o lado AD.
263Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
 Sabendo-se que o lado AB mede 2 unidades e BC mede 
3 unidades, a bola:
a) cairá na caçapa A.
b) cairá na caçapa B.
c) cairá na caçapa C.
d) cairá na caçapa D.
e) não cairá em nenhuma caçapa.
02	 O artista holandês Mauritius Cornelis Escher, que dedicou 
toda a sua vida às artes gráficas, criou uma grande série 
de litografias impregnadas de geometrismo, figurativis-
mo e ornamentalidade. Traduziu visualmente e de modo 
sugestivo problemas matemáticos e geométricos em seus 
edifícios inacabados ou em suas fabulações caracteriza-
das por uma relação impressionante entre superfície e es-
paço. Na figura dada, Verbum (Terra, Céu e Águia), julho 
de 1942, litografia de autoria de M. C. Escher, tem-se o 
hexágono regular ABCDEF com lado medindo 6 unida-
des de comprimento. 
 A área do hexágono, em unidades de área, é:
a) 9 b) 15
c) 24 d) 27
e) 54
03	 (FuVEST) Os quadrados da figura têm lados medindo 
10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o centro do 
quadrado de menor lado, o valor da área hachurada, em 
cm², é:
a) 25 b) 27
c) 30 d) 35
e) 40
04	 O tangran é um jogo chinês formado por uma peça qua-
drada, uma peça em forma de paralelogramo e cinco pe-
ças triangulares, todas obtidas a partir de um quadrado 
de lado ,como indica a figura a seguir.
 Três peças do tangran possuem a mesma área. Essa área é:
a) b) 
c) d) 
e) 
05	 (uFF) As manifestações da Geometria na natureza vêm 
intrigando muitas pessoas ao longo do tempo. Nas pro-
porções do corpo humano e na forma da concha de Nau-
tilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”, 
que pode ser obtida por meio da seguinte construção 
geométrica: No quadrado PQRS representado na figura 
abaixo, considere M o ponto médio do segmento PS. 
Construa um círculo com centro em M e raio MR, obten-
do o ponto T no prolongamento de PS. O retângulo de 
lados PT e QP é áureo e a razão entre esses lados é 
a razão áurea.
 O valor desta razão é:
a) b) 
c) d) 
e) 
264 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
06	 Na figura ao lado, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, 
e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono 
DEFGHI vale:
a) 1 + 
b) 2 + 
c) 3 + 
d) 3 + 2
e) 3 + 3
02	 (EnEM) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área 
retangular de sua fazenda para seu filho, que está indi-
cada na figura como 100% cultivada. De acordo com as 
leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área 
total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para com-
por a reserva para o filho, conforme a figura.
 De acordo com a figura acima, o novo terreno do filho 
cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura x 
metros contornando o terreno cultivado, que se destinará 
à reserva legal (filho). O dobro da largura x da faixa é:
a) 10% . (a + b)2
b) 10% . (a . b)2
c) – (a + b)2
d) + ab – (a + b)2
e) + (a + b)2
01	 (EnEM) Uma das expressões artísticas mais famosas as-
sociada aos conceitos de simetria e congruência é, talvez, 
a obra de Maurits Cornelis Escher, artista holandês cujo 
trabalho é amplamente difundido. A figura apresentada, 
de sua autoria, mostra a pavimentação do plano com ca-
valos claros e cavalos escuros, que são congruentes e se 
encaixam sem deixar espaços vazios.
 Realizando procedimentos análogos aos feitos por Escher, 
entre as figuras abaixo, aquela que poderia pavimentar 
um plano, utilizando-se peças congruentes de tonalida-
des claras e escuras é:
a) b) 
c) d) 
e) 
 
01	 (RuRAL) Na figura ao lado, determine o valor de h e a 
área do paralelogramo BDEF, quando = 2h.
 
265Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
02	 Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida 
do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e 
DE.
 
03	 Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e 
BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e 
U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, 
encontre o perímetro do quadrilátero RSTU.
04	 Na figura abaixo, ABCD é um quadrado onde BC + CE = 
AE. Sabendo que F é o ponto médio de DC, prove que o 
ângulo BAE = 2.FAD.
Geometria Plana
eleMentos da circunferência:
 Circunferência	de	centro	O	e	raio	r: g = {P| OP = r}
 Raio: 
 Corda: 
 diâmetro: , 2r
 Reta	secante: s
 Reta	tangente: t
 Ponto	de	tangência: T
coMPriMento e Área da circunferência
comp(g) = 2pr ar(g) = pr2
ProPriedade das cordas
M é ponto médio de 
ProPriedade da reta tangente
t é tangente a 
ProPriedade dos segMentos tangentes
Sejam A e B pontos de tangência.
Ângulos na circunferência
 
PA = PB
266 Volume 01 •3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
Arco	de	circunferência: 
Ângulo	inscrito	que	subtende	o	arco	
Ângulo	central	correspondente	ao	ângulo	inscrito	
Ângulo semi-inscrito que subtende o arco 
Ângulo central correspondente ao ângulo inscrito 
ProPriedade dos Ângulos inscrito e seMi-inscrito
 Mais ainda,
ProPriedade do triÂngulo retÂngulo inscrito
A hipotenusa é diâmetro da circunferência g.
ProPriedade dos Ângulos forMados Por cordas
 
 
ProPriedade da Potência de Ponto
WP = PA ∙ PB = PC ∙ PD = PE ∙ PF
WP = PT
2 = PA ∙ PB = PC ∙ PD
setor circular 
comprimento(arco AB) = qr
, q em readianos
•	 Coroa	Circular: região limitada por duas circunferências 
concêntricas.
ar(coroa) = p (R2 – r2)
267Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
Polígonos inscritíveis e circunscritíveis
1. Todo triângulo é inscritível e circunscritível.
2. Condição para que um quadrilátero seja inscritível:
3. Condição para que um quadrilátero seja circunscritível.
AB + CD = AD + BC
4. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.
triÂngulo equilÁtero inscrito:
 
quadrado inscrito:
 
hexÁgono regular inscrito:
 
01	 (uFF) Seja MNPQ um quadrado de lado igual a 2 cm. 
Considere C o círculo que contém os vértices P e Q do 
quadrado e o ponto médio do lado MN (ponto T). Veja a 
figura a seguir. Determine o raio do círculo C.
 
02	 Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência de 
centro O. Determinar a medida do ângulo ADC sabendo 
que o ângulo BAC mede 35º.
 
268 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
03	 No eneágono regular ABCD…I, determinar a medida do 
ângulo x formado pelas retas AG e DF.
04	 A figura abaixo representa um pentadecágono regular 
inscrito numa circunferência de centro O. Determinar o 
ângulo obtuso formado entre as diagonais MD e BI.
01	 Numa cidade do velho oeste, foi decidido que o xerife 
será homenageado por conta dos bons serviços prestados 
a seu povo. O conselho da cidade resolveu que no dia da 
cerimônia o xerife será condecorado com uma medalha 
em forma de “estrela de sete pontas” de ouro. As pontas 
da estrela são os pontos A, B, C, D, E, F e G, vértices de 
um heptágono regular. Assim o artesão que vai confeccio-
nar a “estrela de sete pontas” deverá fazer com que cada 
um dos ângulos q da figura tenha a medida aproximada-
mente igual a:
a) 26º
b) 51º
c) 77º
d) 103º
e) 129º
02	 Calcule o raio do círculo que passa pelo vértice C e é 
tangente aos lados do quadrado ABCD de lado 
1m.
a) ( – 1) m
b) (2 – ) m
c) (2 – 2) m
d) (2 + 1) m
e) (2 – 1) m
03	 (uniRiO) A área da região hachurada, na figura a seguir, 
onde ABCD é um quadrado e o raio de cada circunferên-
cia mede 5 cm, é igual a:
 
a) 25(4 – p) / 2 cm2
b) 25(p – 2) cm2
c) 25(4 – p) cm2
d) 25(p – 2) / 2 cm2
e) 25(4 – p) / 4 cm2
04	 (uniRiO)	Uma placa de cerâmica com uma decoração 
simétrica, cujo desenho está na figura acima, é usada 
para revestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que 
cada placa é um quadrado de 30 cm de lado, a área da 
região hachurada é:
a) 900 – 125p
b) 900 (4 – p)
c) 500p – 900
d) 500p – 225
e) 225 (4 – p)
05	 Na figura estão indicados três raios de sol, um CD de 
músicas (círculo com um furo circular no meio) paralelo 
ao chão e a sombra do CD projetada no chão.
 
269Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
 Sabendo-se que o diâmetro do CD mede 12 cm e que o 
diâmetro do furo mede 2 cm, adotando-se p = 3, a área 
da sombra, em cm2, é igual a:
a) 35 b) 105
c) 140 d) 420
e) 55
06	 ABCD é um quadrado cujo lado mede a e M é o ponto 
médio de AB. M é o centro da semicircunferência que 
contem o ponto A e A é o centro da semicircunferência 
que contém o ponto D.
 Se S1 for o valor da área da região hachurada e S2 a da 
região pontilhada, então:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
01	 (EnEM)	Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilín-
dricos. A figura mostra uma situação em que quatro tu-
bos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em 
um tubo com raio maior.
 Suponha que você seja o operador da máquina que pro-
duzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem 
ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos.
 Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for 
igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser 
ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base 
igual a
a) 12 cm. b) 12 cm.
c) 24 cm. d) 6 (1 + ) cm.
e) 12 (1 + ) cm.
02	 (EnEM)	Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, res-
pectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio 
R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região 
S de maior intensidade luminosa, conforme figura.
 Área do setor circular: , a em radianos.
 A área da região S, em unidades de área, é igual a:
a) b) 
c) d) 
e) 
01	 Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se uma cir-
cunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED 
sejam tangentes a essa circunferência, em B e em E, res-
pectivamente. Determine a medida,em graus, do menor 
arco BE dessa circunferência.
270 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
Trigonometria
02	 Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo 
equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscri-
tos numa mesma circunferência.
03	 A figura abaixo representa um retângulo e três circun-
ferências, sendo duas idênticas maiores e uma menor 
destacada. Determine a área da circunferência menor, 
sabendo que A, B, C, D e E são pontos de tangência.
04	 Na figura abaixo, as três circunferências maiores têm raio 
1 cm, tangenciam-se entre si e tangenciam uma circunfe-
rência menor. Determine o raio da circunferência menor.
Resumo da Teoria
unidades de Medida angular
a) grau: 
1º = medida do ângulo que corresponde a de um 
ângulo raso.
 Ângulo raso = 180º
B) radiano:
1 rad = medida do ângulo central que corresponde a um 
arco de comprimento igual a 1 raio (≈ 57,3º).
 Ângulo raso = π rad, π ≈ 3,14
fórMula de conversão:
 a0 = medida do ângulo A em graus
 ar = medida do ângulo A em radianos
 
relação entre os deslocaMentos dos Ponteiros do relógio
 DT = variação do ponteiro dos minutos
 Dt = variação do ponteiro das horas
 
círculo trigonoMétrico
271Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
seno, coseno e tangente
 cos q = coordenada-x de P
 sen q = coordenada-y de P
 
no triÂngulo retÂngulo
 
secante, cosecante e cotangente
sinal de sen q, cos q e tg q:
 1º Quadrante: sen q, cos q, tg q > 0
 2º Quadrante: sen q > 0, cos q, tg q < 0
 3º Quadrante: sen q, cos q < 0, tg q > 0
 4º Quadrante: sen q, tg q < 0, cos q > 0
relação fundaMental
 sen2 q + cos2 q = 1 ou 1 + tg2 q = sec2 q
alguns valores de sen q, cos q e tg q:
Periodicidade
1) sen q e cos q são periódicos de período 2p:
 sen(q + 2p) = sen q ou sen(q + 2p) = sen q
 cos(q + 2p) = cos q ou cos(q + 2kp) = cos q
2) tg q é periódica de período p:
 tg(q + p) = tg q ou tg(q + kp) = tg q
Paridade
1) cos q é função par:
 cos(–q) = cos q
2) sen q e tg q são funções ímpares:
 sen(–q) = –sen q
 tg(–q) = –tg q
fórMulas do arco suPleMentar
 arco suplementar de q
 sen(p – q) = sen q
 cos(p – q) = –cos q
 tg(p – q) = –tg q
fórMulas do arco coMPleMentar
 arco complementar de q
 
272 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
01	 Um pneu de automóvel, com 0,5m de raio, percorreu 
uma distância de 6280m. Quantas voltas deu o pneu? 
(Adote p = 3,14).
02	 Determine, em radianos, a medida do arco AMB (arco 
ABM = 7cm). 
03	 Determine o valor de x na figura. 
04	 (uFRJ) Na figura a seguir, os círculos de centro O1 e O2 
são tangentes em B e têm raios 1 cm e 3 cm.
 Determine o comprimento da curva ABC.
01	 (uERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
 
 Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 
cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm 
e 52 cm. De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o 
seguintevalor:
a) 10º b) 12º
c) 13º d) 14º
02	 (uniRiO) Ao ser indagado sobre o valor de sen 45º, um 
estudante pensou assim:
 Continuando nesse raciocínio, o estudante encontrou 
como resposta:
a) um valor menor que o correto, diferente da metade do 
correto.
b) o valor correto.
c) a metade do valor correto.
d) o dobro do valor correto.
e) um valor maior que o correto, diferente do dobro do cor-
reto.
03	 Se tg x = 3/4 e p < x < 3p/2, o valor de cos x – sen x é:
a) 7/5 b) –7/5
c) –2/5 d) 1/5
e) –1/5
04	 A expressão é equivalente a:
a) tg a . tg b b) cotg a . cotg b
c) 1 d) 2
e) sec a . sec b
05	 Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a 
rede elétrica de um novo bairro, precisa colocar dois pos-
tes em lados opostos de um córrego, como ilustra a figura 
a seguir:
 Para a realização dessa tarefa, era necessário saber a dis-
tância entre os postes, mas a presença do córrego im-
pedia a medição de maneira direta desta distância. O 
engenheiro, então, realizou o seguinte procedimento: 
273Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
posicionou-se ao lado do poste e caminhou 3 m em 
linha reta, de forma perpendicular à linha de direção dos 
postes A e B. Em seguida, mediu o ângulo da linha de 
visão dele do poste A e ao poste B, obtendo um ângulo 
de 60º. Sabendo que a distância de outra margem até o 
poste B era de 3m e de posse das demais informações ob-
tidas, ele conseguiu calcular a distância entre os postes. O 
desenho que melhor representa o procedimento utilizado 
pelo engenheiro para calcular a distância entre os postos 
e que mostra a largura do córrego é:
a) b) 
c) d) 
e) 
 
 
06	 (uniRiO) O valor numérico da expressão é:
a) (3 + )/6
b) –(3+ )/6
c) (3– )/6
d) –(3– )/6
e) 0
01	 (EnEM)	Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou 
como herança um terreno retangular com medidas de 
3km x 2km que contém uma área de extração de ouro 
delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a par-
tir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o 
maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acor-
daram em repartir a propriedade de modo que cada um 
ficasse com a terça parte da área de extração, conforme 
mostra a figura.
 Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcen-
tagem da área do terreno que coube a João corresponde, 
aproximadamente, a:
 (considere .)
a) 50% b) 43%
c) 37% d) 33%
e) 19%
02	 Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. 
Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o 
avistou sob um angulo de 60°; a outra estava a 5,5 km 
da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e 
no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou 
sob um angulo de 30°. Qual a altura aproximada em que 
se encontrava o balão?
a) 1,8 km b) 1,9 km
c) 3,1 km d) 3,7 km
e) 5,5 km
01	 Calcule o valor da expressão:
M = sen2 10º + sen2 20º + sen2 30º + sen2 40º + sen2 50º + sen2 60º + sen2 70º + sen2 80º
274 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
02	 Um teleférico deve unir os topos A e B de dois morros. 
Para calcular a quantidade de cabos de aço necessária 
para unir A e B, um engenheiro mediu as alturas dos mor-
ros em relação a um mesmo plano horizontal, obtendo 
108m e 144m. A seguir, mediu o ângulo que a reta AB 
forma com a horizontal, obtendo 32º. A figura mostra 
o esquema que representa essa situação. Calcule a dis-
tância entre os pontos A e B. (Dados: sen 32º = 0,52, 
cos 32º = 0,84 e tg 32º = 0,62)
03	 (uFRJ) A grande sensação da última ExposArte foi a es-
cultura “O.I.T.O.”, de 12 m de altura, composta por duas 
circunferências, que reproduzimos baixo, com exclusivi-
dade.
 Para poder passar por um corredor de apenas 9 metros 
de altura e chegar ao centro do Salão Principal, ela teve 
de ser inclinada. A escultura atravessou o corredor tan-
genciando o chão e o teto, como mostra a figura a seguir.
 Determine o ângulo de inclinação q indicado na figura.
04	 (uFRJ)	A figura mostra uma circunferência de 1 m de 
raio e centro O, à qual pertencem os pontos A, B e P, 
sendo perpendicular ; e são retas tangentes a 
essa circunferência.
 Determine o perímetro do polígono AOBSTA em função 
do ângulo q.
Trigonometria
fórMulas de adição de arcos
 sen(A ± B) = sen A cos B ± sen B cos A
 cos(A ± B) = cos A cos B ± sen A sen B
 
fórMulas de duPlicação de arcos
 arco duplo de q
 sen 2q = 2 sen q cos q
 cos 2q = cos2 q – sen2 q
 
 
 
equações trigonoMétricas BÁsicas:
a) cos x = a, –1 ≤ a ≤ 1
 
275Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
b) sen x = a, –1 ≤ a ≤ 1
 
c)	 tg x = a, –∞ ≤ a ≤ +∞
 
função Periódica
f(x) é periódica de período p > 0 se
f(x + p) = f(x) 
 ou, equivalentemente,
f(x + kp) = f(x) e k Z.
ProPriedade das funções Periódicas
Se f(x) é periódica de período p > 0, então f(ax) é perió-
dica de período p/|a| para todo a ≠ 0.
exeMPlos:
1)	 sen(ax) e cos(ax) têm período 2p/a, para todo a > 0
2)	 tg(ax) tem período p/a, para todo a > 0
01	 (uniFiCAdO) Se cos 2x = 1/4, então é igual a:
a) 3/5 b) 5/8
c) 8/5 d) 5/3
e) 8/3
02	 (uFF) O valor de (sen 22,5º + cos 22,5º)2 é:
a) (1 – )/2
b) (1 + )/2
c) (2 + )/2
d) (2 – )/2
e) 1
03	 O valor de sen 195° é:
a) ( – )/4
b) /4
c) –1/2 
d) ( – )/4
e) 1/2
04	 Se tg(x + y) = 33 e tg x = 3, então tg y é igual a:
a) 0,2 b) 0,3
c) 0,4 d) 0,5
e) 0,6
05	 Sabendo que , então cos 72º vale:
a) (1 + )/2 b) ( – 1)/4
c) ( – 1)/2 d) (1 – )/2
e) (1 – )/4
06	 (uniRiO) Assinale o gráfico que representa a função real 
definida por y – 2 – sen x.
a) b) 
c) d) 
e) 
01 Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter 
atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do 
centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e 
mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o peri-
geu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o 
valor de r em função de t seja dado por:
276 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
 Um cientista monitora o movimento desse satélite para 
controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, 
ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e 
no perigeu, representada por S.
 O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge 
o valor de:
a) 12765km
b) 12000km
c) 11730km
d) 10965km
e) 5865km
02	 Considere um ponto P em uma circunferência de raio r 
no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P 
sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o 
ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância 
d ≤ r sobre a circunferência.
 Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância 
dada por:
a) b) 
c) d) 
e) 
01	 (uniRiO) Determine o conjunto-solução da equação 
sen x = cos x, sendo 0 ≤ x < 2π.
02	 (uniRiO) determine o conjunto-solução da equação 
cos 2x = 1/2, onde x é um arco da primeira volta positiva.
03	 (uFRJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos 
os valores possíveis para sen 2x + cos 2x.
04	 (uFRJ) Na figura dada temos um semi-círculo de raio R 
e centro O. O ângulo entre o raio e o lado é q:
a) Calcule a área do retângulo ABCD em função de R e q.
b) Mostre que a área do retângulo ABCD é máxima para 
q = 45º.
Geometria Espacial
Resumo da Teoria
o esPaço
É composto de infinitos pontos, de infinitas retas e de 
infinitos planos.
PrincíPio da geoMetria Plana
Em cada plano do espaço vale toda a Geometria Plana.
seMi-reta
Todo ponto P de uma reta r divide esta reta em duas 
semi-retas opostas.
seMi-Plano
Toda reta r de um plano a divide este plano em 2 semi
-planos opostos.
277Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
seMi-esPaço
Todo plano a do espaço divide o espaço em dois semi-es-
paços opostos.
PrincíPio da deterMinação da reta
Por dois pontos distintos passa uma única reta.
Pontos colineares
Pontos pertencentes a uma mesma reta.
PrincíPio da deterMinação do Plano
Por três pontos não-colineares passa um único plano.
Pontos coPlanares
Pontos pertencentesa um mesmo plano.
Na figura abaixo, um tetraedro, os pontos A, B, C e D 
não são coplanares. Eles formam os vértices de um tetraedro.
Posições relativas entre duas retas distintas
a)	 retas	concorrentes: retas que se cortam num único ponto.
 
b)	 retas	paralelas: retas que não se cortam e são coplanares.
c)	 retas	 reversas:	 retas que não se cortam e não são 
coplanares.
PrincíPio das Paralelas
Por um ponto P fora de uma reta r passa uma única reta 
s paralela à reta r.
ProPriedades de deterMinação de Plano
a) Uma reta e um ponto fora dela determinam um único 
plano.
b) Duas retas paralelas determinam um único plano.
c) Duas retas concorrentes determinam um único plano.
PrincíPio da interseção de reta e Plano
Se uma reta e um plano têm dois pontos em comum, 
então a reta está contida no plano.
Posições relativas entre reta e Plano
a)	 reta	contida	no	plano: 
b)	 reta	e	plano	secantes: cortam-se num único ponto.
278 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
c)	 reta	e	plano	paralelos: não se cortam.
PrincíPio da interseção de dois Planos
Se dois planos têm um ponto em comum, então eles têm 
pelo menos uma reta em comum.
Posições relativas entre dois Planos distintos
a)	 planos	paralelos: planos que não se cortam.
b)	 planos	secantes: planos que se cortam, sua interseção é 
uma reta.
ProPriedades dos Planos Paralelos
a) Dados um plano a e um ponto P a, então existe um 
único plano b que passa por P e é paralelo a a.
b)	 Se um plano a contém duas retas concorrentes r e s, am-
bas paralelas a um plano b, então os planos a e b são 
paralelos.
ProPriedade de ParalelisMo entre reta e Plano
Se uma reta r, não contida num plano a, é paralela a uma 
reta s de a, então r é paralela a a.
retas PerPendiculares
Retas concorrentes que formam ângulo reto.
ProPriedade das retas reversas
Dadas duas retas reversas r e s, existe uma única reta t 
perpendicular a r e s.
279Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
retas oBlíquas
Retas concorrentes que não são perpendiculares.
retas ortogonais
Retas reversas r e s para as quais existe uma terceira reta 
s’ paralela a s e perpendicular a r.
reta e Plano PerPendiculares
Uma reta r e um plano a, que se cortam num ponto P, 
são perpendiculares se r é perpendicular a toda reta de a que 
passa pelo ponto P.
ProPriedade da reta PerPendicular ao Plano
Se uma reta r é perpendicular a duas retas concorrentes 
de um plano a, então r é perpendicular a a.
Planos PerPendiculares
Dois planos são perpendiculares quando um deles con-
tém uma reta perpendicular ao outro.
Planos oBlíquos
Planos secantes que não são perpendiculares.
ProPriedade dos Planos PerPendiculares
Se dois planos são perpendiculares e uma reta de um 
deles é perpendicular à interseção, então ela é perpendicular 
ao outro plano.
280 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
Projeção ortogonal
 é a projeção ortogonal de sobre a.
distÂncia entre Ponto e reta
distÂncia entre Ponto e Plano
distÂncia entre duas retas
a)	 retas concorrentes:
b)	 retas paralelas:
c)	 retas reversas:
distÂncia entre reta e Plano
a)	 reta e plano secantes:
b)	 reta e plano paralelos:
distÂncia entre dois Planos
a)	 planos secantes:
b)	 planos paralelos:
Ângulo entre duas retas
a)	 retas concorrentes: q = ang(r, s) 
b)	 retas paralelas: q = ang(r, s) = 0
281Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
c)	 retas reversas: q = ang(r, s) 
Ângulo entre reta e Plano
a)	 reta e plano secantes: q = ang(r, a) 
b)	 reta e plano paralelos: q = ang(r, a) = 0
Ângulo entre dois Planos
a)	 planos secantes: ângulo diedro.
b)	 planos paralelos: q = ang(a, b) = 0
01	 Defina retas reversas.
................................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
02	 (uEL-PR)	As retas r e s fo-
ram obtidas prolongando-se 
duas arestas de um cubo, 
como está representado na 
figura a seguir:
 Classifique esse par de retas.
01 (uniT-SE) Considere o prisma re-
gular pentagonal representado na 
figura a seguir.
 A análise das retas e planos deter-
minados pelos vértices desse prisma 
permite que se conclua corretamen-
te que:
a) os planos (AEF) e (CDH) são parale-
los entre si.
b) os planos (BCG) e (DEJ) são secan-
tes.
c) as retas e são paralelas entre si.
d) as retas e são perpendiculares entre si.
e) as retas e são reversas.
02 (uFRn) Na cadeira repre-
sentada na figura abaixo, o 
encosto é perpendicular ao 
assento e este é paralelo ao 
chão.
 Sendo assim:
a) os planos EFN e FGJ são para-
lelos.
b) HG é um segmento de reta 
comum aos planos EFN e 
EFH.
c) os planos HIJ e EGN são para-
lelos.
d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG.
282 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
03 (uFPB/PSS) Ao verificar que faltava uma semana para a 
prova de matemática, Maria e João foram à escola estu-
dar. Ao entrar na biblioteca, Maria percebeu que a mes-
ma tinha a forma da figura a seguir, onde ABDEJFGI é um 
paralelepípedo reto retângulo, BCDIGH é um prisma reto 
e BCD é um triângulo isósceles.
 João afirmou:
I – O plano do piso e o plano CDI são secantes.
II – As retas e são concorrentes.
III – As retas e são reversas.
 Está(ão) correta(s) apenas:
a) I. b) II.
c) III. d) I e II.
e) II e III.
04 (uFRGS-RS) A figura abaixo representa um cubo de cen-
tro O:
 Considere as afirmações abaixo:
I – O ponto O pertence ao plano BDE.
II – O ponto O pertence ao plano ACG.
III – Qualquer plano contendo os pontos O e E também con-
tém C.
 Quais estão corretas?
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas I e II.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
01 (CESGRAnRiO) A Determine O ângulo AFH formado pe-
las diagonais AF e FH de faces de um cubo de acordo 
com a figura.
02 (CESGRAnRiO) Na figura, cada aresta do cubo mede 
3 cm. Prolongando-se uma delas de 5 cm, obtemos o 
ponto M. Encontre a distância, em centímetros, de M ao 
vértice A.
Geometria Espacial
Poliedro convexo
Sólido formado por um número finito de polígonos con-
vexos (as faces do poliedro) que satisfazem:
a)	 cada aresta é comum a exatamente duas faces;
b)	 não existem duas faces contidas num mesmo plano;
c)	 todo plano que contém uma face divide o espaço de 
modo que as demais faces estão todas no mesmo semi
-espaço (ou seja, o plano não corta outras faces).
283Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
prisma hexagonal: poliedro convexo
tetraedro: poliedro convexo
relação de euler
Num poliedro convexo, se
 V = número de vértices,
 A = número de aresta,
 F = número de faces,
 então
 V – A + F = 2
oBservações:
 2A = soma das arestas de todas as faces.
 2A = soma das arestas que partem de todos os vértices
Poliedros de Platão
 São poliedros convexos em que:
•	 cada face tem o mesmo número de arestas (n);
•	 de cada vértice partem o mesmo número de arestas (m).
 Existem cinco tipos de poliedros de platão:
i.	 tetraedro (4 faces, n = 3, m = 3)
ii.	 hexaedro (6 faces, n = 4, m = 3)
iii.	 octaedro (8 faces, n = 3, m = 4)
iv.	 dodecaedro (12 faces, n = 5, m = 3)
v.	 icosaedro (20 faces, n = 3, m = 5)
Um poliedro de platão é chamado de poliedro regular 
quando as faces são polígonos regulares e os ângulos poliédri-
cos são iguais.
PrisMa
Poliedro convexo com duas faces paralelas e congruentes 
(as bases do prisma), e as demais faces são paralelogramos 
ligando as duas bases.
prisma pentagonal
eleMentos do PrisMa coM Base de n arestas
a) 2n vértices
b) 2n arestas de base
c) n arestas laterais
d) 3n arestas
e) n(n – 3) diagonais
f) bases, de área Ab 
g) n faces laterais
h) n + 2 faces
i) altura – distância h entre os planos das bases.
j) superfície lateral – união das faces laterais, de área lateral A
l
.
k) superfície total– união da superfície lateral com as bases, 
de área total At:
 At = 2Ab + Al
l) volume do prisma: vol = Ab . h
classificação de PrisMas
a)	 Prisma	reto: prisma cujas ares-
tas laterais são perpendiculares 
às bases.
284 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
b)	 Prisma	oblíquo: prisma que não é reto.
c)	 Prisma	 regular: prisma reto cujas bases são polígonos 
regulares.
prisma hexagonal regular
d)	 Paralelepípedo: prisma cujas bases são paralelogramos.
e)	 Ortoedro	ou	Paralelepípedo	Retângulo: paralelepípe-
do reto cujas bases são retângulos.
No ortoedro de dimensões a, b e c:
 diagonal 
 área total At = 2(ab + ac + bc) 
 volume vol = abc
No cubo de aresta a:
 diagonal 
 área total At = 6a
2
 volume vol = a3
seção do PrisMa
Interseção do prisma com um plano.
01	 Determine a soma dos ângulos das faces de um Icosaedro.
................................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
02	 Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e uma 
face pentagonal. Determine o número de arestas e o nú-
mero de vértices desse poliedro.
................................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
03	 (uFF)	As torneiras T1 e T2 enchem de água os reservató-
rios cúbicos R1 e R2 cujas arestas medem, em metros, a e 
2a conforme mostra a figura abaixo.
 A torneira T1 tem vazão de 1 litro por hora.
 Qual deve ser a vazão da torneira T2 para encher R2 na 
metade do tempo que T1 gasta para encher R1?
04	 Na figura abaixo tem-se a planificação de um prisma cuja 
base é um triângulo retângulo. 
 Determine:
a) a área da base.
b) a área lateral.
c) a área total.
d) o volume.
285Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
04	 A figura a seguir, com três cubos iguais de 30 metros de 
aresta cada, representa o esboço inicial de um projeto 
desenvolvido para programas de escalada artificial. Na 
versão final, as faces externas dos cubos terão pontos 
específicos para permitir que os praticantes de escalada 
subam pelas paredes. Nessas condições, qual o menor 
caminho possível que uma pessoa precisa percorrer para 
ir do ponto I ao ponto A, passando apenas pelas faces 
externas IDEH, HEFG, DCBE e EBFA dos cubos? Assuma 
 = 1,4.
a) 50 m
b) 67 m 
c) 84 m
d) 120 m
e) 123 m
05	 (uERJ)	 A embalagem de papelão de um determinado 
chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de 
um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
 Em relação ao prisma, considere:
– cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 
120º;
– as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
 Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a emba-
lagem custa R$10,00 por m2 e que = 1,73.
 Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, 
gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a:
a) 0,50 b) 0,95
c) 1,50 d) 1,85
06	 (uFRGS-RS)	Considere o trapézio ABCD da figura abaixo, 
obtido pela intersecção de um cubo de aresta 1 com um 
plano que passa por dois vértices opostos A e D de uma 
face e pelos pontos médios B e C de arestas da face não 
adjacente.
 A área do trapézio ABCD é:
a) b) 
c) d) 
e) 
01	 Para construir um dodecaedro regular, João recortou em 
papelão 12 pentágonos regulares, todos congruentes, 
conforme é mostrado abaixo:
 Ao terminar seu trabalho obteve o poliedro abaixo, que 
possui A arestas e V vértices.
 Pode-se concluir que A + V é igual a:
a) 120 b) 90
c) 80 d) 60
e) 50 
02	 (uFu-MG)	 Considere uma cruz formada por 6 cubos 
idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-
se que a área total da cruz é de 416cm2, pode-se afirmar 
que o volume de cada cubo é igual a:
a) 16 cm3
b) 64 cm3
c) 69 cm3
d) 26 cm3
e) 72 cm3
03	 Uma barra de chocolate, na forma de paralelepípedo re-
tângulo, de dimensões 60 cm, 40 cm e 5 cm, é derretida 
para fazer chocolate com crocante. Para isso, ao chocola-
te derretido é acrescentado 25% do seu volume em cas-
tanhas, nozes e açúcar caramelizado. Com essa mistura, 
quantas barrinhas na forma de prismas hexagonais, de 
aresta da base medindo 2 cm e altura 10 cm, podem ser 
feitas aproximadamente?
 (Considere = 1,73)
a) 144
b) 115
c) 114
d) 867
e) 864
286 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
01	 (EnEM) Considere um caminhão que tenha uma carro-
ceria na forma de um paralelepípedo retângulo, cujas di-
mensões internas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de 
largura e 2,1 m de altura. Suponha que esse caminhão foi 
contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo 
com 1 m de aresta cada uma e que essas caixas podem 
ser empilhadas para o transporte. Qual é o número míni-
mo de viagens necessárias para realizar esse transporte?
a) 10 viagens. 
b) 11 viagens. 
c) 12 viagens. 
d) 24 viagens. 
e) 27 viagens.
02	 (EnEM) Um porta-lápis de madeira foi construído no 
formato cúblico, seguindo o modelo ilustrado abaixo. O 
cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 
12cm e a docubo menor, que é interno, mede 8cm.
 O volume de madeira utilizado na confecção desse obje-
to foi de:
a) 12 cm3
b) 64 cm3
c) 96 cm3
d) 1216 cm3
e) 1728 cm3
01	 Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a des-
coberta de uma molécula tridimensional de carbono, na 
qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro conve-
xo cujas faces são 12 pentágonos regulares e 20 hexágonos 
regulares. Em homenagem ao arquiteto norte-americano 
Buckminster Fuller, a molécula foi denominada fulereno 
(veja figura). Determine o número de átomos de carbono 
nessa molécula e o número de ligações entre eles.
02	 (PuC) Considere um paralelepípedo retangular com la-
dos 2, 3 e 6cm. Calcule a distância máxima entre dois 
vértices deste paralelepípedo.
03	 A figura abaixo representa um prisma reto, cuja base 
ABCD é um trapézio isósceles, sendo que as suas arestas 
medem AB =10, DC = 6, AD = 4 e AE =10. O plano 
determinado pelos pontos A, H, G e B secciona o pris-
ma determinando um quadrilátero. Calcule a área desse 
quadrilátero.
04	 (uFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de 
leite, tem a forma de um paralelepípedo retângulo 
de dimensões internas a = 10cm, b = 7cm e c = 16cm. 
Inclina-se a caixa de 60º em relação ao plano horizontal 
de modo que apenas umas das menores arestas fique em 
contato com o plano, como mostra a figura.
 Calcule o volume do leite derramado.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
01	 Um piso plano é revestido de cerâmicas quadradas con-
gruentes cujos lados medem 20 cm, de modo que os vér-
tices comuns a dois quadrados coincidem com o ponto 
médio do lado do quadrado apoiado sobre eles . Na ilus-
tração abaixo, é mostrada uma parte desse piso.
 Uma formiga caminha em linha reta e faz o percurso de A 
para B e depois de B para C. A distância total percorrida por 
essa formiga é, em cm, igual a um número real d, tal que:
a) 80 < d < 90
b) 90 < d < 100
c) 110 < d < 120
d) 120 < d < 130 
e) 130 < d < 140
02	 No bilhar, a bola ricocheteia nas parteslaterais da mesa 
(bordas) como se estas fossem um espelho plano (sem 
nenhum outro efeito).
 Na trajetória que deve seguir a bola amarela (L) para 
chocar-se com a bola verde (V), ela toca a borda C no 
ponto P.
 A distância d do ponto P à borda B, em centímetros, é 
igual a:
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44
03	 Na figura abaixo, temos o hexágono regular ABCDEF 
cujos lados medem 4 cm. Ao ligarmos os vértices A, C e 
E, obtemos um triângulo eqüilátero cuja área é:
a) 48 cm2.
b) 12 cm2.
c) 48 cm2.
d) 12 cm2.
e) 4 cm2.
04	 O acelerador de partículas do Laboratório Nacional de 
Luz Síncrotron (LNLS) tem a forma de um dodecágono re-
gular inscrito em um círculo com diâmetro de 30 metros. 
Em cada um de seus vértices, está instalado um dipolo 
(eletroímã usado para defletir os elétrons de suas traje-
tórias nos vértices), conforme figura ao lado. A distância, 
em metros, entre dois dipolos adjacentes é:
Deflexão dos elétrons num vértice do acelerador.
a) b) 
c) d) 
e) 
05	 No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por 
terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com 
o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, 
seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a 
nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do 
tsunami após 13 minutos.
288 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
 Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que 
cos a = 0,934 , onde a é o ângulo Epicentro-Tóquio- 
Sendai, e que 28.3².93,4 = 215 100, a velocidade mé-
dia, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até 
a cidade de Sendai foi de:
a) 10. b) 50. 
c) 100. d) 250. 
e) 600.
06	 Na figura, o triângulo ABC é eqüilátero com baricentro 
em G, o arco PQ tem centro em A e raio AG, e PQ é um 
segmento de reta:
 Sendo 1 cm a medida do lado do triângulo ABC, a área 
do segmento circular PQG na figura, em cm², é igual a:
a) b) 
c) d) 
e) 
07	 Uma treliça é um sistema estrutural que se baseia na “ri-
gidez” dos triângulos.
 Na figura, está representada a estrutura de um telhado, 
feita de madeira, na qual M é o ponto médio do segmen-
to AB.
 A medida DM, em metros, é igual a:
a) b) 
c) d) 
e) 
08	 Para se calcular a distância entre duas árvores, represen-
tadas pelos pontos A e B, situados em margens opostas 
de um rio, foi escolhido um ponto C arbitrário, na mar-
gem onde se localiza a árvore A. As medidas necessárias 
foram tomadas, e os resultados obtidos foram os seguintes: 
AC = 70m, BÂC = 62º e ACB = 74º.
 Sendo cos 28º = 0,88, sen 74º = 0,96 e sen 44º = 0,70, 
podemos afirmar que a distância entre as árvores é:
a) 48m b) 78m
c) 85m d) 96m
e) 102m
09	 A London Eye é considerada um ponto turístico singu-
lar em Londres. Trata-se de uma belíssima roda gigante 
localizada à beira do rio Tâmisa. Suponha que um casal 
em lua de mel está passeando em uma das cabines da 
London Eye e que a altura da cabine em relação ao solo 
pode ser determinada a cada instante de tempo através 
da expressão:
 em que o tempo é medido em segundos e a altura, em 
metros.
 Qual a maior altura que uma pessoa pode ficar do solo na 
London Eye?
a) 80 m
b) 150 m
c) 200 m
d) 220 m
e) 300 m
289Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
10	 Dois espelhos formam um ângulo de 30o no ponto V. Um 
raio de luz, vindo de uma fonte S, é emitido paralela-
mente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho 
no ponto A, como mostra a figura. Depois de uma certa 
quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV 
têm 1 metro de comprimento, a distância percorrida pelo 
raio de luz, em metros, é:
a) 2 b) 2 + 
c) 1 + + d) (1 + )
e) 5
11	 Os símbolos abaixo foram encontrados em uma caverna 
em Machu Pichu, no Peru, e cientistas julgam que extra-
terrestres os desenharam.
 Tais cientistas descobriram algumas relações trigonomé-
tricas entre os lados das figuras, como é mostrado acima. 
Se a + b = p/6, pode-se afirmar que a soma das áreas 
das figuras é igual a:
a) p. b) 3.
c) 2. d) 1.
e) p/2.
12	 (uERJ)	Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu 
esquema no plano.
 O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que 
gira em torno do centro A.
 Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 pole-
gada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmen-
te para cima ou para baixo, variando a distância AC e o 
ângulo BÂC.
 Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a 
distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela 
seguinte equação:
a) y = 4 + sen(x)
b) y = 4 + cos(x)
c) y = sen(x) + 
d) y = cos(x) + 
13	 (uERJ) Uma embalagem em forma de prisma octogonal 
regular contém uma pizza circular que tangencia as faces 
do prisma.
 Desprezando a espessura da pizza e do material usado na 
embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a 
medida da aresta da base do prisma é igual a:
a) 2 b) 
c) d) 2( – 1)
 
14	 (uERJ) Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma 
pista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa 
pista, há seis cones de marcação indicados pelas letras A, 
B, C, D, E e F, que dividem a circunferência em seis arcos, 
cada um medindo 60 graus.
 Observe o esquema:
 O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em 
direção a cada um dos outros cones, sempre correndo em 
linha reta e retornando ao cone A. Assim, seu percurso 
correspondeu a ABACADAEAFA. Considerando = 1,7, 
o total de metros percorridos pelo atleta nesse treino foi 
igual a:
a) 1480
b) 2960
c) 3080
d) 3120
290 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
15	 (uERJ) A ilustração abaixo mostra um instrumento, em 
forma de V, usado para medir o diâmetro de fios elétricos.
 
 Para efetuar a medida, basta inserir um fio na parte in-
terna do V e observar o ponto da escala que indica a 
tangência entre esse fio e o instrumento. Nesse ponto, 
lê-se o diâmetro do fio, em milímetros.
 Considere, agora, a ilustração a seguir, que mostra a se-
ção reta de um fio de 4 mm de diâmetro inserido no 
instrumento.
 
 Se o ângulo BÂC do instrumento mede 12º, a distância 
d, em milímetros, do ponto A ao ponto de tangência P é 
igual a:
a) b) 
c) d) 
16	 (uERJ) A imagem mostra uma pessoa em uma asa-delta.
 
 O esquema abaixo representa a vela da asa-delta, que 
consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD con-
gruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corres-
ponde ao comprimento da quilha. Quando esticada em 
um plano, essa vela forma um ângulo CÂD = 2q.
 Suponha que, para planar, a relação ideal seja de 10 dm2 
de vela para cada 0,5 kg de massa total. Considere, ago-
ra, uma asa-delta de 15 kg que planará com uma pessoa 
de 75 kg.
 De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, 
em metros, é igual à raiz quadrada de:
a) 9 cos q b) 18 sen q
c) d) 
17	 (uERJ)
 No esquema acima estão representadas as trajetórias de 
dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultane-
amente pelo ponto A e rumam para o ponto B por ca-
minhos diferentes, com velocidades iguais e constantes. 
Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de 
centro O e raio 2R. O outro percorre duas semicircunfe-
rências cujos centros são P e Q.
 Considerando = 1,4, quando um dos atletas tiver 
percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância 
entre eles será igual a:
a) 0,4 R b) 0,6 R
c) 0,8 R d) 1,0 R
18	 (uERJ)	 Considere o icosaedro abaixo, construído em 
plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas 
as arestas estão marcados.
 A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros 
congruentes foram formados em cada face do icosaedro.
 Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos 
marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os 
lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, 
como ilustrado a seguir:
291Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
 Observe agora que, substituindo-se esses arcos por seg-
mentos de reta, obtém-seuma nova estrutura poliédrica 
de faces triangulares, denominada geodésica.
 O número de arestas dessa estrutura é igual a:
a) 90 b) 120
c) 150 d) 180
19	 (uERJ) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café 
em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos 
semelhantes. Se o volume do pacote maior é o dobro do 
volume do menor, a razão entre a medida da área total 
do maior pacote e a do menor é igual a:
 
a) 
b) 
c) 
d) 
20	 (uERJ) A figura abaixo representa uma piscina completa-
mente cheia de água, cuja forma é um prisma hexagonal 
regular.
 Admita que:
– A, B, C e D representam vértices desse prisma;
– o volume da piscina é igual a 450m3 e ;
– um atleta nada, em linha reta, do ponto A até o ponto 
médio da aresta , utilizando apenas glicose como fonte 
de energia para seus músculos.
 A velocidade média do atleta no percurso definido foi 
igual a 1,0 m/s.
 O intervalo de tempo, em segundos, gasto nesse percurso 
equivale a cerca de:
a) 12,2
b) 14,4
c) 16,2
d) 18,1
21	 (EnEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espé-
cie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triân-
gulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadra-
do. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado 
de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se to-
das as sete peças, é possível representar uma grande di-
versidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 
2 e 3.
 Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 
cm, então a área da figura 3, que representa uma “casi-
nha”, é igual a
a) 4 cm2. b) 8 cm2.
c) 12 cm2. d) 14 cm2.
e) 16 cm2.
22	 (EnEM)	
 Na figura acima, que representa o projeto de uma escada 
com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do 
corrimão e igual a:
a) 1,8 m. b) 1,9 m.
c) 2,0 m. d) 2,1 m.
e) 2,2 m.
03	 (EnEM	2004) Uma empresa produz tampas circulares 
de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas 
quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 
1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 
tampas pequenas.
292 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
 As sobras de material da produção diária das tampas 
grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, 
respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetua-
rem reciclagem do material. A partir dessas informações, 
pode-se concluir que:
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a entida-
de III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entida-
de III.
d) as entidade I e II recebem, juntas, menos material do que 
a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
24	 (EnEM) Na construção civil, é muito comum a utilização 
de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para 
o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são 
todas as combinações de polígonos que se prestam a pa-
vimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou 
superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: 
Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam
o plano (há falhas ou superposição).
 A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, 
com as respectivas medidas de seus ângulos internos. 
 Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois 
tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, 
sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá 
ter a forma de um: 
a) triângulo. 
b) quadrado. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
e) eneágono.
25	 (EnEM) Um marceneiro deseja construir uma escada tra-
pezoidal com 5 degraus, deforma que o mais baixo e o 
mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 
cm e a 30 cm, conforme a figura:
 Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de 
madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser:
a) 144. b) 180. 
c) 210. d) 225. 
e) 240.
26	 (EnEM)
 O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por 
rotações, em torno de seu centro, de:
a) 45º. b) 60º. 
c) 90º. d) 120º. 
e) 180º. 
27	 (EnEM) Uma pessoa de estatura mediana pretende fa-
zer um alambrado em torno do campo de futebol de seu 
bairro. No dia da medida do terreno, esqueceu de levar a 
trena para realizar a medição. Para resolver o problema, 
a pessoa cortou uma vara de comprimento igual a sua 
altura. O formato do campo é retangular e foi constatado 
que ele mede 53 varas de comprimento e 30 varas de 
largura. Uma região R tem área , dada em m², de mesma 
medida do campo de futebol, descrito acima. A expressão 
algébrica que determina a medida da vara em metros é:
a) Vara = b) Vara = 
c) Vara = d) Vara = 
e) Vara = 
293Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
28	 (EnEM)	 Para determinar a distância de um barco até a 
praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a 
partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo 
mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no 
mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que 
fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto 
sob um ângulo visual 2a. A figura ilustra essa situação: 
 
 Suponha que o navegante tenha medido o ângulo a = 30º 
e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia per-
corrido a distância AB = 2000m. Com base nesses dados 
e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do 
barco até o ponto fixo P será:
a) 1000 m b) 1000 m
c) 2000 /3 m d) 2000 m
e) 2000 m
29	 (EnEM) Eclusa é um canal que, construído em águas 
de um rio com grande desnível, possibilita a navegabi-
lidade, subida ou descida de embarcações. No esquema 
abaixo, está representada a descida de uma embarcação, 
pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio 
Paraná ate o nível da jusante.
 A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 
200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da 
água durante o esvaziamento da câmara e de 4.200 m3 
por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o 
nível da jusante, uma embarcação leva cerca de:
a) 2 minutos.
b) 5 minutos.
c) 11 minutos.
d) 16 minutos.
e) 21 minutos.
30	 (EnEM) Prevenindo-se contra o período anual de seca, 
um agricultor pretende construir um reservatório fecha-
do, que acumule toda a água proveniente da chuva que 
cair no telhado de sua casa, ao longo de um período 
anual chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as di-
mensões da casa, a quantidade média mensal de chuva 
na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser 
construído.
 
 Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana 
horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do 
reservatório deverá medir:
a) 4 m. b) 5 m.
c) 6 m. d) 7 m.
e) 8 m.
31	 Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, M, N, P e Q são 
pontos médios dos lados e a área pintada é igual a 20 
cm². Determine o lado do quadrado.
32	 (MACK) Na figura, a reta t é tangente à circunferência de 
centro 0 e raio . Determine a área do triângulo ABC.
33 Na figura estão representadas a circunferência C, de cen-
tro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:
294 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
1) O ponto O pertence ao segmento .
2) OP = 1, OQ = .
3) A e B são pontos da circunferência, .
 Assim sendo, determine:
a) a área do triângulo APO.
b) os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
c) a áera da região hachurada.
34	 Na figura abaixo, feita fora de escala, as duas circunferên-
cias, ambas de raio r, são tangentes entre si e tangenciam 
os lados do paralelogramo ABCD nos pontos indicados. 
O ângulo BÂD mede 28º.
 
 Assim, considerando que tg 76º = 4, determine a área 
do paralelogramo ABCD.
35	 Um fardo de alimentos será entregue para alguns habi-
tantes de uma região de difícil acesso na Floresta Amazô-
nica por um helicóptero, conforme a figura abaixo.
 No momento em que o fardo atinge o ponto P no solo, o 
cabo que sai do helicóptero e sustenta o fardo estáestica-
do e perpendicular ao plano que contém os pontos A, P e 
B Sabe-se que o helicóptero está a uma altura h do solo e 
é avistado do ponto A sob um ângulo de 30º e do ponto 
B sob um ângulo de 45º Sabe-se, também, que a medida 
de APB = 90º e que a distância entre A e B é 100 metros. 
Determine a medida de h, em metros. 
36	 (PuC)	Seja f(x) = R sen (x – a).
 Sabemos que f(p/4) = 0 e f(p/2) = 1.
a) Calcule f(0).
b) Encontre as soluções reais de .
c) Encontre as soluções reais de .
37 Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, 
estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas 
embarcações, pode-se abrir a ponto a partir de seu cen-
tro, criando um vão , conforme mostra a figura abaixo. 
Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não 
importando a posição na ponte, responda às questões 
abaixo:
 
a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1º equivalente 
a 30 segundos, qual será o tempo necessário para elevar 
os pontos A e B a uma altura de 12,5m, com relação à 
posição destes quando a ponto está abaixada?
b) Se a = 75º, quanto mede ?
38	 (uFRJ) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com a forma de 
um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo plano que 
contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na figura 
1. O sólido ABCDFG obtido foi cortado, mais uma vez, 
pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são, 
respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, 
CG e DF, como ilustrado na figura 2. Calcule a razão entre 
o volume do sólido CDMNPQ resultante desse segundo 
corte (ilustrado na figura 3) e o volume da barra de sabão 
original.
39	 A figura mostra um paralelepípedo reto retângulo ABC-
DEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 
2a, em centímetros.
 Determine a distância, em centímetros, do vértice A à 
diagonal BH.
295Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
40	 (FuVEST) Um bloco retangular (isto é, um paralelepí-
pedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4 cm e 
altura , com 2/3 de seu volume cheio de água, está 
inclinado sobre uma das arestas da base, formando um 
ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral abaixo). De-
termine a altura h do nível da água em relação ao solo.
Módulo 05
exercícios de fixação
01 2000 Voltas 02 4
03 10√3 cm 04 5p/3
questões oBjetivas
01 Letra C. 02 Letra A.
03 Letra E. 04 Letra A.
05 Letra B. 06 Letra B.
questões eneM
01 Letra E. 02 Letra C.
questões discursivas
01 M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
02 d = 900/13 m 03 30º
04 (2 + tan q + cot q + cossec q – sec q) m
Módulo 06
questões oBjetivas
01 Letra A. 02 Letra C.
03 Letra D. 04 Letra B.
05 Letra B. 06 Letra E.
questões eneM
01 Letra B. 02 Letra B.
questões discursivas
01 S = {p/4, 3p/4, 5p/4, 7p/4}
02 S = {30º, 150º} 03 –1 e 1
04 a) R2 sen 2q b) sen 20q (máx)
Módulo 07
questões discursivas
01 O triângulo é quilátero.
02 X = √82cm
Módulo 08
exercícios de fixação
01 3600º 02 A = 10; V = 6
03 16l/h
04 a) 24cm2 b) 480cm2
 c) 528cm2 d) 480cm2
questões oBjetivas
01 Letra E. 02 Letra B.
03 Letra A. 06 Letra E.
questões eneM
01 Letra C. 02 Letra D.
questões discursivas
01 V = 60 02 7cm
03 S = 32√7 u.a 04 
questões coMPleMentares
01 Letra D. 02 Letra B.
03 Letra B. 04 Letra E.
05 Letra E. 06 Letra B.
07 Letra A. 08 Letra D.
09 Letra B. 10 Letra B.
11 Letra D. 12 Letra D.
13 Letra C. 14 Letra B.
15 Letra D. 16 Letra D.
Módulo 01
exercícios de fixação
01 500º 02 360º
03 180º
questões oBjetivas
01 Letra A. 02 Letra E.
03 Letra D. 04 Letra D.
05 Letra E.
questões eneM
01 Letra C.
questões discursivas
01 x = 20º 02 6m
03 20º 04 cqd
Módulo 02
exercícios de fixação
01 45/4 02 x = 14
03 10cm 04 x2 = 39
questões oBjetivas
01 Letra E. 02 Letra E.
03 Letra D. 04 Letra B.
05 Letra D. 06 Letra D.
questões eneM
01 Letra E. 02 Letra D.
questões discursivas
01 g + h + i < a + b + c + d + e + f
02 a) 13 b) a2 = (x2 + 1)2
03 Demonstração. 04 16,8 m
Módulo 03
exercícios de fixação
01 02 5 m
03 48º 04 54º
questões oBjetivas
01 Letra B. 02 Letra E.
03 Letra A. 04 Letra C.
05 Letra B. 06 Letra C.
questões eneM
01 Letra D. 02 Letra D.
questões discursivas
01 225/32 02 x = 60º
03 11 04 DADF ≡ DABM
Módulo 04
exercícios de fixação
01 5/4 cm 02 125º
03 40º 04 40º
questões oBjetivas
01 Letra C. 02 Letra B.
03 Letra A. 04 Letra E.
05 Letra B. 06 Letra D.
questões eneM
01 Letra D. 02 Letra A.
questões discursivas
01 144º 02 √3/2
03 64/9 pcm2 04 4√3 – 3 / 2
296 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
17 Letra B. 18 Letra B.
19 Letra B. 20 Letra D.
21 Letra B. 22 Letra D.
23 Letra E. 24 Letra B.
25 Letra D. 26 Letra D.
27 Letra B. 28 Letra B.
29 Letra D. 30 Letra D.
31 L = 20cm 32 3√3 / 2
33 3√3 + 6 + 5p / 6 34 25R2 / 2
35 h = 50m
36 a) √3 b) x = 13p/2
 c) Impossível
37 a) a = 30º b) X = 25
38 1/8 39 a√30 / 6
40 21 cm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .