Apostila_nivelamento_2022 - GEOMETRIA

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CAPÍTULO 
08 CONCEITOS PRIMITIVOS 
 
 
1. Noções primitivas 
 
A construção da Geometria se baseia em três noções iniciais, das quais temos um conhecimento intuitivo, 
decorrente da observação do mundo concreto. Essas noções são as de ponto, reta e plano. 
Vamos convencionar como representá-las da seguinte forma: 
 
 
 
 
2. Ponto 
 
O ponto não possui forma nem dimensão. Isso significa que o ponto é um objeto adimensional. Um dos usos mais 
importantes do ponto refere-se à localização geográfica. Os pontos são os objetos que melhor representam as 
localizações porque oferecem precisão 
 
 
 
 
3. Reta 
 
As retas são conjuntos de pontos que não fazem curvas. Elas são infinitas para as duas direções. Como esses 
pontos não estão no mesmo lugar, é possível medir a distância entre eles. Entretanto, como os pontos continuam 
não tendo dimensão ou forma, não é possível medir sua largura. Sendo assim, dizemos que a reta possui apenas 
uma dimensão ou que é unidimensional. 
 
 
 
 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
 
 
116 
4. Plano 
 
O que é plano? Trata-se de uma noção geométrica para a qual não existe definição, apenas a ideia de uma superfície 
que não descreve curva alguma. 
 
 
 
 
5. Proposições primitivas (ou iniciais) 
 
O estudo lógico da Geometria se apoia em algumas propriedades relacionadas a pontos, retas e planos. Essas 
propriedades são aceitas como verdadeiras, sem necessidade de demonstração lógica, e são chamadas 
proposições iniciais, proposições primitivas ou postulados. 
 
6. Postulados da existência 
 
 Numa reta e fora dela existem infinitos pontos. 
 
 
 
 Num plano e fora dele existem infinitos pontos. 
 
 
 
 
7. Postulados da determinação 
 
• Dois pontos distintos determinam uma única reta. 
 
 
 
IMPORTANTE: 
De outra forma, podemos dizer que: dados dois pontos distintos A e B, existe uma só reta que 
tem A e B como seus elementos (ou uma só reta que passa por eles). 
 
 
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 Três pontos não colineares determinam um único plano. 
 
 
 
IMPORTANTE: 
De outra forma, podemos dizer que: dados três pontos A, B e C não pertencentes a uma mesma 
reta, existe um só plano que tem A, B e C como seus elementos (ou um só plano que passa 
por eles). 
 
 
8. Postulado da inclusão 
 
• Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, ela está contida nesse plano. 
 
 
 
 
9. Postulado das paralelas (ou postulado de Euclides) 
 
• Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada. 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
De outro modo, podemos dizer que, dado um ponto P não pertencente a uma reta r, por P 
podemos traçar uma única reta s paralela a r. No caso de o ponto P pertencer a r, também é 
única a paralela, pois é a própria reta r. 
 
 
10. Posições relativas de duas retas 
 
Vamos analisar as posições relativas de duas retas observando inicialmente se elas têm ou não ponto em comum. 
Podem ocorrer quatro situações: 
 
 As duas retas têm em comum dois pontos distintos; nesse caso, conforme o postulado da determinação, as 
retas são coincidentes. 
 
 
 
 
118 
 As duas retas têm em comum um único ponto; nesse caso, elas são concorrentes e existe um único plano 
que as contém. 
 
 
 
 As duas retas não têm nenhum ponto em comum, mas existe um plano que as contém; nesse caso, elas são 
paralelas. 
 
 
 
 As duas retas não têm nenhum ponto em comum e não existe plano que as contenha; nesse caso, elas são 
reversas. 
 
 
 
 
 
 
11. Posições relativas de dois planos 
 
Dois planos são concorrentes ou secantes se tem uma única reta em comum. 
 
 
 
 
119 
12. Planos paralelos 
 
Dois planos são paralelos se não têm ponto comum ou são coincidentes. 
 
 
 
 
 
13. Posições relativas de uma reta e um plano 
 
Considerando o paralelepípedo da figura a seguir, observamos que: 
 
 
 
• o plano determinado pela face EFGH contém as retas , EH,,HG, , FG e , EF; 
 
• as retas, BF, ,CG, ,AE e, DH intersectam o plano determinado pela face EFGH, “furando-o”; 
 
• as retas, BC, ,CD, ,AD e, AB são paralelas ao plano determinado pela face EFGH. 
 
Estas são as três posições possíveis, no espaço, de uma reta em relação a um plano: 
 
 
 
 
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14. Projeções ortogonais 
 
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o ponto de interseção entre a reta perpendicular ao plano 
conduzida pelo ponto e o plano 
 
 
 
Projeção ortogonal de uma figura plana, ou não plana, sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos 
pontos da figura sobre esse plano 
 
 
 
 
15. A projeção ortogonal de uma reta r sobre um plano α é assim definida: 
 
 Se r é perpendicular a α, a projeção de r sobre a é o ponto P em que r intersecta α 
 
 
 
 
 
121 
 Se r não é perpendicular a α, a projeção de r sobre a é a reta r', interseção de α com o plano β, perpendicular 
a α conduzido por r 
 
 
 
 
16. A projeção ortogonal de um segmento de reta AB sobre um plano α é assim definida 
 
Se AB é perpendicular a α, a projeção de AB sobre α é o ponto P em que a reta AB intersecta α 
 
 
 
Se AB não é perpendicular a α, a projeção de AB sobre a é o segmento A'B' tal que A' e B' são, respectivamente, 
as projeções de A e B sobre α 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
É importante que se saiba também que as retas e os planos podem também estar no espaço, 
portanto os quadros abaixo resumem com clareza como as retas e os planos podem se 
comportar no espaço. 
 
 
 
122 
 
 
 
 
 
 
 
 
01. O iglu é uma construção utilizada como moradia pelos povos esquimós. Sua 
estrutura é basicamente formada por uma semiesfera e um semicilindro, 
ambos ocos, sendo que este último serve de entrada para essa moradia. A 
imagem a seguir ilustra um exemplo de iglu: 
Um pesquisador estava estudando a estrutura dos iglus e utilizou um drone 
para fazer imagens aéreas da vista superior de um iglu, esboçando, em 
seguida, a imagem em um papel. O esboço mais próximo do formato de um 
iglu na vista superior feito por esse pesquisador foi o: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
Exercitando 
 
 
123 
02. (ENEM) Um grupo de países criou uma instituição responsável por organizar o Programa Internacional de 
Nivelamento de Estudos (PINE) com o objetivo de melhorar os índices mundiais de educação. Em sua sede foi 
construída uma escultura suspensa, com a logomarca oficial do programa, em três dimensões, que é formada por 
suas iniciais, conforme mostrada na figura. 
 
Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o mesmo, 
todas têm igual espessura e ficam dispostas em posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir. 
 
Ao meio-dia, com o sol a pino, as letras que formam essa escultura projetam ortogonalmente suas sombras sobre 
o solo. A sombra projetada no solo é 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
e) 
 
 
03. Durante uma festa de aniversário, um chapéu de festa com formato de cone circular 
reto foi deixado sobre uma mesa plana. Entre as estampas presentes nesse chapéu, 
destaca-se uma faixa que percorre a superfície cônica do adereço desde a base até a 
ponta, ligando os pontos A, B, C e D, conforme a figura a seguir. Sabe-se que 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝑒 
𝐶𝐷 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅são geratrizes do cone e que B e C pertencem a um plano paralelo à base do 
chapéu. 
A projeção ortogonal dessa faixa e da base do chapéu sobre o plano da mesa pode 
ser representada por: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
04. Uma escultura foi produzida a partir de um bloco retangular de madeira com 
dimensões 30 cm x 30 cm x 40 cm, adquirindo a forma apresentada na imagem a 
seguir. 
A peça recebeu uma pintura de modo a exibir algumas faces claras e outras 
escuras. A única figura que representa uma vista posterior possível dessa escultura 
é 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
124 
 
05. Uma empresa de design de móveis criou uma cadeira – cuja vistasuperior é mostrada 
na figura ao lado – com três pernas e com assento translúcido e escuro 
A cadeira não balança porque 
a) três pontos não colineares determinam um plano. 
b) as pernas formam um triângulo equilátero. 
c) dois pontos determinam uma reta. 
d) as retas se encontram no infinito. 
e) as pernas de apoio são radiais 
 
 
06. Em competições de aeromodelismo, é requisitada aos participantes a realização de manobras 
com seus aeromodelos, sendo que em cada setor de uma pista deve-se realizar uma manobra 
diferente. As figuras a seguir apresentam o desenho de um aeromodelo e a pista plana na qual 
ele sobrevoa uma trajetória retilínea. Também são apresentados os pontos A e C nas pontas 
das asas e os pontos B e D que representam, respectivamente, o bico e a cauda do aeromodelo. 
Ademais, mostrasse os setores 1, 2 e 3 da pista e o ponto de partida indicado pelo aeromodelo. 
Sabe-se que um aeromodelo realizou as manobras enquanto sobrevoava a pista, mantendo o eixo BD sempre 
paralelo ao chão. As asas do aeromodelo rotacionaram em torno do eixo BD, fazendo ângulos de 90° e 180° 
com o solo em cada manobra feita, respectivamente, uma no setor 2 e a outra no setor 3, sempre retornando à 
posição inicial (setor 1) após cada manobra. 
 
As projeções ortogonais dos pontos A, B, C e D do aeromodelo sobre o solo são representadas por: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
125 
 
07. Uma luminária é fixada no teto de um cômodo e tem a forma de uma espiral, como 
representado na figura ao lado: 
A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), 
da sombra dessas lâmpadas que estão posicionadas nessa luminária é: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
08. (ENEM) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um 
deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse 
deslocamento no plano da base da pirâmide. 
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do 
ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. 
O desenho que Bruno deve fazer é 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
09. (ENEM) O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada 
circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o 
corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. 
Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até 
o ponto D 
 
A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do 
caminho percorrido pela mão dessa pessoa é: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
126 
10. (ENEM 2021) O Atomium, representado na imagem, é um dos 
principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construido em 
1958 para a primeira grande exposição mundial depois da 
Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas. 
Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um 
cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma 
base paralela ao plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo 
esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices 
desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra 
esfera foi construída centrada no ponto de interseção das 
diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são 
interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta 
a elas pelas diagonais do cubo. 
Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que 
possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. 
Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por uni elevador, que permite o deslocamento entre as 
esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central. 
Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor 
trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo A projeção ortogonal 
sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representado por 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
11. Uma formiga move-se sobre um castiçal de vidro transparente, do ponto 
A para B em linha reta, percorre o arco circular BCD, sendo C localizado 
na parte da frente do castiçal, e desce o arco DE, como representado 
na figura. 
 
Os pontos A, B, D e E estão sobre um mesmo plano perpendicular à 
mesa sobre a qual se encontra o castiçal. A projeção ortogonal, sobre o 
plano da mesa, do trajeto percorrido pela formiga, do ponto A até o ponto 
E, é melhor representada por 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
127 
12. Considere os planos α e β, paralelos entre si, e os segmentos e contidos no plano α, com os pontos A, B e C 
não colineares, conforme mostra a figura 
 
 
 
Projetando-se ortogonalmente os segmentos e sobre o plano β, obtém-se 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
13. A figura a seguir mostra parte do mapa da cidade de Campo Grande – MS, no qual se leem os nomes de 
algumas ruas e avenidas. 
 
 
Fazendo uma análise das vias como segmentos de retas, são paralelas e concorrentes, respectivamente: 
a) R. Tupã e R. Anhanguera, R. Gabinete e R. Arica. 
b) R. Bertioga e R. das Guianas, R. Tupã e R. Caiçara. 
c) R. Tupã e R. Nove de Julho, R. Bertioga e R. Pasteur. 
d) R. Bertioga e R. Pasteur, R. Bertioga e R. das Guianas. 
e) R. Bertioga e R. Nove de Julho, R. Tupã e R. Nove de Julho. 
 
14. Um helicóptero sobrevoa uma ilha afetada por um terremoto, 
com a missão de entregar pacotes de suprimentos. A figura 
representa o momento em que a aeronave entregou um pacote 
com mantimentos em uma região de planície da ilha, o qual 
era suficientemente pesado para não ter sua trajetória durante 
a queda afetada pelo vento ou por massas de ar. No instante 
representado, a velocidade do helicóptero era nula, e o pacote 
foi abandonado no ar, em queda livre.Qual figura melhor 
representa a projeção ortogonal da trajetória do pacote sobre 
o plano dessa região da ilha, do momento em que ele foi 
abandonado até atingir o chão? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
128 
15. Analice ganhou, de presente de aniversário, uma caixa de madeira feita por 
seu avô, com o formato de um paralelepípedo. Essa caixa contém alguns 
parafusos – identificados na figura a seguir por A, B, C e D – e apresenta 
como decoração três linhas: r, s e t. 
Supondo que a caixa esteja fechada e que, por analogia, pudéssemos 
chamar esses parafusos de pontos e as linhas decorativas de retas, de 
acordo com o postulado da determinação, os entes geométricos que 
determinam o plano β são 
a) as retas r, s e t. 
b) os pontos A e B. 
c) a reta s e os pontos C e D. 
d) os pontos B, C e D. 
e) a reta r e o ponto C. 
 
16. Uma pessoa cortou um limão em oito pedaços quase idênticos fazendo cortes determinados 
por apenas três planos distintos. 
O formato que melhor representa um ponto de vista de um dos pedaços obtidos é 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
17. O sistema de abastecimento de água de um condomínio é composto por quatro tanques circulares, sendo três 
pequenos e um grande. Sabe-se que os tanques pequenos se localizam nos vértices de um triângulo. O tanque 
grande, por sua vez, é conectado aos demais por canos de mesmo comprimento, e o seu centro se localiza no 
incentro desse triângulo. 
 
 
Dessa maneira, a configuração do sistema de abastecimento desse condomínio está mais bem representada 
em: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
18. Um marceneiro está construindo um caixote para armazenar alimentos. A figura mostra o momento em que ele 
anexa a peça P na estrutura. 
 
Considerando que a peça P, após anexada à estrutura, é representada pela reta r e a peça Q, vista na imagem, 
é representada pela reta s, as retas r e s, da maneira que são representadas nocaixote, são 
a) concorrentes. 
b) coincidentes. 
c) coplanares. 
d) paralelas. 
e) reversas. 
 
 
129 
19. Considere os seguintes padrões formados pela junção(*) de quatro padrões simples, A, B, C e D. 
 
Assinale a alternativa em que o padrão formado pela junção A * D está corretamente representado. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
20. Em uma aula de Educação Física, dezenove alunos 
representados na figura a seguir pelos pontos A, B, C, D, E, F, 
G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R e S estão se preparando para a 
aula, que terá como tema um jogo de vôlei. Enquanto uma parte 
dos alunos irá assistir ao jogo da arquibancada (representada por 
um único plano β), a outra parte que está na quadra participará 
da partida. 
Com base na figura, três pontos não colineares que podem 
determinar o plano β são 
a) Q, R e K. 
b) I, L e O. 
c) D, H e S. 
d) B, G e M. 
e) A, C e J. 
 
21. Na figura a seguir, o paralelepípedo ABCDEFGH representa um quarto com janela na 
parede externa da casa. Um passarinho entra por essa janela, passando pelo ponto P, 
centro do retângulo CDHG, e vai até o ponto A. Em seguida, vai até o ponto E e, na 
sequência, até o ponto B. 
Por fim, a ave sai do quarto passando pelo mesmo ponto por onde entrou. Considere 
que todos os movimentos do passarinho no interior do quarto são retilíneos. 
Ao coincidir a face EFGH do paralelepípedo com o plano desta página, qual é a melhor 
representação para a projeção ortogonal do movimento do passarinho sobre o chão do quarto? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
22. Na entrada de uma instituição de ensino, estão dispostas três bandeiras, sendo uma de seu país, outra de seu 
estado e outra de sua cidade. Recentemente, as bandeiras foram trocadas, e os mastros colocados 
perpendicularmente ao solo, como representado na figura a seguir: 
 
Imaginando esses mastros (país, estado e cidade) como partes das retas r, s e t, respectivamente, sabe-se que 
essas retas, em relação ao plano α do solo, são 
a) secantes e não perpendiculares. 
b) secantes e perpendiculares. 
c) paralelas e não contidas. 
d) incidentes e contidas. 
e) paralelas e contidas. 
 
 
130 
23. Uma grande árvore de Natal, com formato semelhante a um cone reto, será 
colocada na entrada de um shopping com luzes pisca-piscas, interligadas por um 
mesmo fio, que contornará a superfície lateral dela, conforme ilustra a figura a 
seguir. 
Ao observar essa árvore exatamente de cima, uma pessoa verá as luzes dos pisca-
piscas a partir de qual formato? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
24. Durante uma partida de tênis, um saque foi realizado ao meio-dia, com o sol a pino. A figura ilustra a trajetória 
da bola observada por um espectador situado no nível da quadra, em uma posição alinhada com a rede 
 
Em 1, a bola encontra-se na mão do jogador que faz o saque. Em 2, a bola encontra-se na posição em que 
ocorre o contato com a raquete do sacador, após ter sido arremessada verticalmente para cima a partir da 
posição 1. Em 3, a bola faz contato com a quadra do jogador adversário. Por fim, em 4, a bola encontra-se na 
posição em que a raquete do jogador adversário rebate o saque. Considere que a bola de tênis apresenta 
pequenas dimensões. Considere ainda que esse saque tenha sido invalidado por ter sido desferido 
paralelamente às laterais da quadra, o que não é permitido pelas regras da modalidade. 
Qual é a melhor representação para a trajetória descrita pela sombra da bola a quadra durante o movimento 
realizado pelo objeto entre as posições 1 e 4? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
25. Uma criança parou de brincar com seus blocos de montar, cujos formato e posição estão indicados na figura a 
seguir, formados, cada um, por seis cubos idênticos de 2 cm de aresta. 
 
O sólido cuja projeção ortogonal no solo é um retângulo de dimensões 8 cm × 2 cm é o 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V 
 
 
 
 
 
131 
26. O domingo de Carnaval deste ano começou com um 
espetáculo nos céus: o primeiro eclipse Solar do ano, visível 
em parte da América do Sul, África e Antártida. A figura a 
seguir ilustra um eclipse solar visto por um observador no 
ponto P da superfície da Terra. 
 
Considere que a região escura, nas alternativas a seguir, 
represente o bloqueio da luz Solar provocado pela Lua. Qual 
alternativa melhor representa a visão do observador em P? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
27. Uma torneira do tipo ¼ de volta é mais econômica, já que seu registro abre e fecha 
bem mais rapidamente do que o de uma torneira comum. A figura de uma torneira do 
tipo ¼ de volta tem um ponto preto marcado na extremidade da haste de seu registro, 
que se encontra na posição fechado, e, para abri-lo completamente é necessário girar 
a haste ¼ de volta no sentido anti-horário. Considere que a haste esteja paralela ao 
plano da parede. 
Qual das imagens representa a projeção ortogonal, na parede, da trajetória traçada 
pelo ponto preto quando o registro é aberto completamente? 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
28. Um mágico, de posse de um baralho cuja disposição das cartas era conhecida por ele, chamou seus filhos e 
seus sobrinhos para lhes apresentar o seguinte truque: O mágico embaralhava, sem rotações, as cartas. Em 
seguida, com as faces das cartas voltadas para baixo e para a horizontal, pedia que alguém escolhesse uma 
delas, retirasse a carta do baralho, observasse qual delas era e a retornasse ao baralho na mesma posição. O 
segredo do truque dava-se quando o mágico, disfarçadamente, rotacionava o baralho horizontalmente em 180°, 
em torno do seu centro, para então colocar a carta tirada pelo participante, e embaralhava, sem rotações, as 
cartas novamente. 
Feito isso, o mágico conseguia, ao olhar as cartas do baralho, “adivinhar” qual era aquela escolhida pelo 
participante, uma vez que a disposição dela, após a rotação das demais cartas, era diferente da inicialmente 
determinada por ele. De acordo com essas informações, qual das cartas a seguir deve estar fora desse baralho 
para que o truque funcione? 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
132 
29. A épura é uma representação geométrica de objetos tridimensionais muito usada em Geometria Descritiva e em 
Desenho Técnico. Essa representação é obtida a partir de projeções ortogonais em planos α e β, como mostrado 
na figura a seguir 
 
É possível representar, nesses planos, uma trajetória (um caminho percorrido entre alguns pontos). Assim, 
traçando os segmentos de reta AE, EH, HB e BG, serão formadas, segundo o observador mostrado, 
respectivamente, nos pontos α e β, as seguintes projeções: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
133 
30. A roda-gigante ou roda panorâmica é um brinquedo típico de parques de diversão. É formada por duas rodas 
paralelas que giram em torno do mesmo eixo, suspensas em duas torres verticais e que sustentam em suas 
circunferências bancos oscilantes para duas ou mais pessoas. 
Considere a roda gigante da figura abaixo. 
 
 
 
A melhor representa ação de projeção ortogonal do ponto A, em relação ao chão, quando a roda gigante dá 
uma volta completa, é: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO – CONCEITOS PRIMITIVOS 
01. E 02. E 03. A 04. E 05. A 06. E 07. A 08. C 09. C 10. E 
11. C 12. D 13. E 14. C 15. D 16. C 17. A 18. E 19. A 20. E 
21. D 22. B 23. C 24. D 25. A 26. E 27. A 28. E 29. E 30. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
134 
CAPÍTULO 
09 ÂNGULOS 
 
1. Ângulos 
 
Traçamos no plano duas semirretas de mesma origem, dividindo o plano em duas regiões. Cada uma dessas regiões 
é um ângulo. 
 
 
 
Os lados do ângulo representado são as semirretas OA e OB. A origem comum às duas semirretas é o ponto 
O, chamado vértice do ângulo 
Podemos nomear este ângulo: 
AÔB (lemos ângulo AOB) ou  (lemos ângulo A) 
 
 
 
 
1.2. Medida de ângulos 
 
Para medir um ângulo, escolhemos outrocomo unidade de medida e verificamos quantas vezes ele “cabe” no ângulo 
a ser medido. 
A unidade de medida mais usada para ângulos é o grau, cujo símbolo é º. O ângulo de 1 volta tem 360 graus (360º). 
Obtemos o ângulo de 1º dividindo o ângulo de 1 volta em 360 ângulos de mesma medida. O transferidor é o 
instrumento usado para medir ângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
135 
1.3. Como registraremos a medida de um ângulo? 
 
Observe a ilustração ao lado para lembrar como posicionamos o transferidor para medir um ângulo. A medida do 
ângulo AÔB é 60º. Escreveremos: med(AÔB) 60º ou med(Ô) 60º 
 
 
 
1.4. Grau e subdivisões do grau 
 
Há ângulos cujas medidas não correspondem a um número inteiro de graus. 
Nos transferidores comuns, a menor divisão é 1º. No entanto, existem instrumentos capazes de registrar medidas 
como 43,5º (quarenta e três graus e cinco décimos, ou quarenta e três graus e meio) ou 87,25º (oitenta e sete graus 
e vinte e cinco centésimos). 
Além de o grau poder ser subdividido em décimos, centésimos etc., ele tem submúltiplos particulares, que não são 
decimais: 
Se dividirmos 1º em 60 partes iguais, cada parte é chamada de 1 minuto. 
 
 
 
SEGUE OS EXEMPLOS ABAIXO 
 
Usando essas unidades podemos escrever: 
 
• 43,5º como 43º30’, pois se 1º = 60’ então 0,5º = 30’ 
• 87,25º como 87º15’, pois 0,25º = 
1
4
 de grau = 
1
4
 de 60’ = 15’ 
• 4,8º = 4º + 0,8º = 4º + 
8
10
 de grau = 4º + 
8
10
 . 60’ = 4º48’ 
 
Qual seria a medida da quarta parte de um ângulo reto? 
 
Observe: 
90º : 4 = 22,5º 
Como 0,5º = 30’, temos 22,5º = 22º30’ 
Logo, a quarta parte de um ângulo reto tem 22º30’. 
 
 
IMPORTANTE: 
SISTEMA DECIMAL 
Grado é uma unidade de medida de ângulos planos equivalente 
a π⁄200 do radiano ou 9⁄10 do grau,[1] ou seja a 1⁄400 de uma rotação completa (revolução). 
A partir desse conceito é que dizemos que 360º = 400 gr(grados) 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade_de_medida
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_plano
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pi
https://pt.wikipedia.org/wiki/Radiano
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grado_(%C3%A2ngulo)#cite_note-1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Volta_(geometria)
 
 
136 
2. Bissetriz de um ângulo 
 
Na figura, a semirreta OC, interna ao ângulo AOWB, tem origem no vértice do ângulo AOB e o divide em dois 
ângulos congruentes. Observe: 
 
 
 
Como os ângulos AOC e COB são congruentes, a semirreta OC é a bissetriz do ângulo AOB. 
 
 
 
 
3. Classificação de ângulos 
 
De acordo com sua medida, um ângulo pode ser classificado em: 
 
 Ângulo nulo: é o ângulo que mede 0°. 
 
 
 
 Ângulo reto é todo aquele que mede 90°. 
 
 
 
• Ângulo raso ou de meia-volta é todo aquele que mede 180° 
 
 
 
• Ângulo agudo é todo aquele cuja medida é menor que 90°. 
 
 
 
 
 
137 
• Ângulo obtuso é todo aquele cuja medida é maior que 90° e menor que 180° 
 
 
 
 
De acordo com sua medida relativa, um ângulo pode ser classificado em: 
 
 
3.1 Ângulos complementares 
 
Observe os ângulos AOB e BOC na figura a seguir e veja que a soma de suas medidas é igual a 90°. 
 
 
 
 
3.2 Ângulos suplementares 
 
Ângulos Suplementares Dois ângulos são conhecidos como suplementares quando o resultado da soma dos dois é 
igual a 180º, ou seja, juntos eles formam um ângulo raso. 
 
 
 
3.3 Ângulos Replementares 
 
Estes ângulos são aqueles que, quando somados, irão resultar em um ângulo giro, com valor igual a 360°. 
 
 
 
 
 
 
 
138 
3.4 Ângulos opostos pelo vértice 
 
Traçamos duas retas que se intersectam no ponto O. Os ângulos BÔA e CÔD têm o mesmo vértice (ponto O), e 
seus lados são semirretas opostas. 
BÔA e CÔD são ângulos opostos pelo vértice 
 
med(AÔB) = med(CÔD) = 130° 
med(AÔC) = med(BÔD) = 50° 
 
 
 
 
4. Retas paralelas interceptadas por uma transversal 
 
Quando duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal t, dois ângulos quaisquer determinados por t e 
r ou t e s têm medidas iguais ou são suplementares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
139 
Resumo teórico 
 
 
 
 
 
 
 
01. As ruas de um bairro de uma determinada cidade foram representadas em um mapa pela figura 1 e transcritas 
para um esboço na figura 2. O arquiteto responsável pelo projeto constatou que a rua Java é paralela à rua 
Havaí, calculou os ângulos formados por algumas ruas no esboço e precisou mensurar o valor do ângulo 𝛽 da 
figura 2 
 
Depois de alguns cálculos, o arquiteto chegou à conclusão que 𝛽 é igual a 
a) 60º. 
b) 65º. 
c) 70º. 
d) 80º. 
e) 85º. 
 
2. (FAMERP/2021) A figura indica cinco retas, dois pares de ângulos congruentes, dois pontos nas intersecções de 
três retas e um ponto na intersecção de duas retas. 
 
Nas condições da figura, as retas r e s serão paralelas se, e 
somente se, 
a) α for igual a .β 
b) t e u forem perpendiculares em C. 
c) a medida de AC for igual à de BC. 
d) α ou β for igual a 45 . 
e) o triângulo ABC for equilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercitando 
 
 
140 
 
3. (FMJ 2021) Em um hexágono regular foram traçadas duas diagonais e um 
segmento de reta, cujas extremidades são um ponto sobre um dos lados e um 
ponto sobre uma das diagonais traçadas, conforme mostra a figura. 
 
O valor de α β é igual a 
a) 230 
b) 220 
c) 235 
d) 225 
e) 215 
 
4. Especialistas indicam que a qualidade do ambiente de trabalho tem influência direta na produtividade de uma 
empresa. Questões relacionadas ao bem-estar dos colaboradores são essenciais para um melhor desempenho 
laboral. Ciente disso, o diretor de uma empresa de desenvolvimento de software investiu em uma reforma dos 
escritórios, visando ao aprimoramento do mobiliário, levando em conta aspectos ergonômicos e estéticos. Uma 
das alterações mais valorizadas pelos funcionários foi a aquisição de cadeiras com encostos reclináveis, como 
ilustra a figura 1. A figura 2 descreve uma situação em que uma dessas cadeiras é posicionada na inclinação 
máxima e encostada na parede. 
 
 
 
Com base nas informações, a medida do menor ângulo formado entre o assento e o encosto quando a cadeira 
se encontra com inclinação máxima é 
a) 110 
b) 120 
c) 130 
d) 140 
 
5. O projeto de madeiramento é fundamental para a 
construção de um bom telhado em uma residência. 
Na figura, temos a vista frontal do madeiramento 
de um telhado. O triângulo ABC é isósceles de 
base BC, tal que �̂� = 120°. Observa-se também que 
os segmentos DE e FG são perpendiculares à 
base. De acordo com os dados acima, a medida do 
ângulo 𝐵�̂�𝐷 é 
a) 30º. 
b) 45º. 
c) 60º. 
d) 75º. 
e) 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
141 
6. Na confecção de uma estante de madeira, foram agrupadas várias peças de um 
único formato, conforme a figura. O encaixe perfeito dessas peças forma um 
dodecaedro regular. 
 
O responsável pelo projeto calculou as medidas dos ângulos A, B, C e D, em 
graus, com base nas propriedades apresentadas na tabela. 
O responsável pelo projeto calculou as medidas dos ângulos A, B, C e D, em 
graus, com base nas propriedades apresentadas na tabela. 
 
Propriedade 
A medida do ângulo B é 30º maior do que a medida do ângulo A. 
A soma das medidas dos ângulos A e B é 210º. 
Os ângulos B e C são suplementares 
 
O valor encontrado pelo responsável do projeto para a medida do ângulo C foi de 
a) 30°. 
b) 45°. 
c) 60°. 
d) 90°. 
e) 120°. 
 
7. Um pintor, para criar efeitos de profundidade em sua pintura, desenhou um 
esboço, conforme ilustrado a seguir, em que ED // FC // AB, A, F e D estão 
alinhados, EAB = 76º e DFC = 63º 
Para especificar, em seu esboço, quais áreas seriam pintadas para gerar 
o efeito de profundidade, foi necessário calcular o valor do ângulo 
EÂD = x, que, em grau, é igual a 
a) 76. 
b) 63. 
c) 41. 
d) 14. 
e) 13. 
 
 
 
8. (Encceja 2020) O logotipo de uma empresa foi desenhado, obedecendo aos seguintes critérios:- o lado NP é paralelo ao lado LK; 
- o lado MK é paralelo ao lado OQ; 
- o triângulo KLM é equilátero. 
 
Observou-se que os ângulos ˆPNL e ˆQOM, nesse logotipo, têm medidas iguais. 
A medida de cada um desses ângulos é 
a) 30° 
b) 60° 
c) 120° 
d) 300° 
 
 
 
 
 
 
142 
9. Dependendo da inclinação do terreno, pode ocorrer o tombamento lateral de tratores. A figura a seguir ilustra a 
situação de não tombamento (a), a iminência de tombamento (b) e o tombamento (c), tomando como referência 
a linha de ação força-peso. 
Se a linha de ação da força-peso passa entre os pontos de contato das rodas com o chão, o trator não tomba. 
No caso de a linha de ação da força-peso passar no ponto de contato de uma das rodas com o chão, o trator 
está na iminência de tombar. 
Mas se a linha de ação da força-peso passar fora do ponto de contato da roda com o chão, então o trator está 
tombando. 
 
Sabe-se que as linhas de contato das rodas dos tratores com a linha do chão são perpendiculares nos casos (a) 
e (b). Para um determinado tipo de trator na iminência de tombamento, o valor do ângulo que a linha de ação 
força peso faz com o chão mede x e o valor do ângulo que a linha de ação força-peso faz com a linha de contato 
da roda com o chão mede um terço de x. De acordo com as informações, a medida do ângulo x é 
a) 67,5°. 
b) 54,0°. 
c) 45,0°. 
d) 38,6°. 
e) 30,0°. 
 
10. Em uma rua plana inclinada, há uma árvore cujo comprimento de sua 
sombra, em determinado momento do dia, é igual à sua altura. 
Passado um tempo, a altura da árvore passa a ser igual à distância 
entre a extremidade da sombra não coincidente com a base e o topo 
da árvore. Nesse intervalo de tempo, o movimento aparente do sol no 
céu descreveu um arco de 30° em um plano que contém a árvore e é 
perpendicular ao plano da rua. A imagem a seguir ilustra essa situação 
Considerando as informações, é possível concluir que a inclinação da 
rua, ou seja, o ângulo formado entre o plano da rua e a horizontal, é 
de 
a) 10° 
b) 15° 
c) 20° 
d) 25° 
e) 30° 
 
11. Em um laboratório de protótipos inteligentes de uma universidade, eram feitos testes com um robô motorizado. 
O grupo que aplicava um desses testes precisava descobrir qual a medida segura para que o robô pudesse subir 
uma rampa. Eram utilizadas uma superfície e uma rampa planas para o experimento. Supondo que o ângulo β 
que a rampa forma com a horizontal tenha seu suplemento excedendo a 3o o quádruplo de seu complemento, 
então β medirá 
a) 33o. 
b) 49o. 
c) 61o. 
d) 70o. 
e) 84o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
143 
12. Uma pessoa instalou um fio, paralelo ao chão, em duas paredes paralelas perpendiculares ao chão de sua 
varanda para pendurar um bebedouro para passarinhos, conforme a figura a seguir, que retrata o fio antes e 
depois de colocar o bebedouro 
 
Após a instalação do bebedouro, houve uma deformação no fio de maneira que o ângulo α, indicado na imagem, 
é cinco sétimos de β. De acordo com as informações, o ângulo α, em grau, é igual a 
a) 45. 
b) 60. 
c) 75. 
d) 105. 
e) 120. 
 
13. Um motorista estaciona seu carro com o auxílio da câmera 
de ré do veículo, utilizando como guia um obstáculo 
próximo. A imagem mostra os pontos que correspondem 
aos limites do ângulo de visão da câmera à direita e à 
esquerda do carro; o obstáculo está posicionado sobre a 
bissetriz do ângulo de visão da câmera. 
Considere que o ângulo agudo formado entre o ponto D, a 
câmera e o obstáculo é dado pela expressão 
𝑋
5
 + 63° e que 
o ângulo agudo formado entre o ponto E, a câmera e o 
obstáculo é dado pela expressão 
𝑋
17
 + 75°. O ângulo de 
visão da câmera de ré do veículo mede 
a) 80°. 
b) 85°. 
c) 138°. 
d) 160°. 
e) 170° 
 
14. Na construção de uma luminária, os ângulos 
dispostos no suporte são calculados para facilitar o 
corte dos materiais, como exposto na ilustração a 
seguir: 
 
No projeto, a razão entre as medidas dos ângulos x 
e y, nessa ordem, é: 
a) 143/53 
b) 131/51 
c) 100/50 
d) 51/131 
e) 13/50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
144 
15. A física de partículas estuda os constituintes elementares da matéria 
e da radiação, a interação entre eles e suas aplicações. O bárion (Λ0) 
é uma das partículas estudadas por esse ramo da física, que 
descobriu que essa partícula pode se desintegrar em um próton (p) e 
um píon (π–) . Em um experimento em uma câmara de bolhas, foi 
possível visualizar esse fenômeno, cuja trajetória das partículas está 
representada a seguir: 
 
Nesse experimento, o ângulo formado entre a linha de trajetória do 
bárion e a bissetriz do menor ângulo formado entre as linhas de 
trajetória do píon e do próton é de: 
a) 5,5° 
b) 10,0° 
c) 12,5° 
d) 15,5° 
e) 25,5° 
 
16. Em viagens aéreas, os aviões realizam diferentes rotas, dependendo de seu 
destino, a partir de um determinado aeroporto. O esquema a seguir representa as 
rotas de 5 viagens aéreas distintas, todas partindo do mesmo aeroporto. 
 
Considere que o menor ângulo entre as rotas C e E mede 45°, conforme o esquema 
anterior. O menor ângulo entre a rota B e a rota E é o dobro do menor ângulo entre 
a rota A e a rota C, e a rota B está na bissetriz do menor ângulo entre a rota A e a 
rota C. Qual é o menor ângulo entre as rotas A e C? 
a) 15° 
b) 25° 
c) 30° 
d) 35° 
e) 60° 
 
17. Nos processos de içamentos de cargas, a engenharia busca estabelecer todos os comprimentos e ângulos para 
garantir a estabilidade do processo. Observe na ilustração um dos procedimentos para o içamento de uma carga 
em uma escavação, sendo necessária a determinação de todos os ângulos do esquema projetado. 
 
O engenheiro responsável pelo projeto encontrou como medida do ângulo x, em graus, o valor de: 
a) 120. 
b) 125. 
c) 130. 
d) 135. 
e) 140. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
145 
18. Uma ponte levadiça possui dois trechos de comprimentos diferentes, conforme a imagem. Quando um navio 
mais alto do que a ponte se aproxima, a parte da esquerda (trecho A) e a parte da direita (trecho B) rotacionam 
em sentido anti-horário e horário, respectivamente, possibilitando a passagem do navio. 
 
Ao avistar um navio se aproximando, o operador da ponte acionou sua abertura 5 minutos antes de o navio 
atravessar por baixo dela, sabendo que esse era o tempo necessário para a ponte abrir o suficiente para o navio 
passar. Sabe-se que o trecho A rotaciona a uma velocidade angular de 9° por minuto e o trecho B rotaciona a 
uma velocidade angular de 6° por minuto, em torno de seus eixos de fixação. A posição em que a estrutura da 
ponte estava quando o navio iniciou sua passagem por ela, ou seja, 5 minutos depois de ser acionada, é 
representada pela figura: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
146 
19. Entre os modelos de pontos de ônibus que foram instalados na cidade de São Paulo em maio de 2013, há um 
cuja estrutura de sustentação é composta por quatro peças de metal, representadas pelos segmentos A B, CD, 
E F e G H na figura a seguir. 
 
 
O designer responsável pelo projeto, Guto Índio da Costa, definiu as seguintes medidas para os menores ângulos 
formados por esses segmentos com o plano horizontal da calçada. 
 
 
 
Assim, as medidas x, y e z dos ângulos indicados na figura, formados nos cruzamentos entre os segmentos de 
reta que compõem a estrutura de sustentação do ponto de ônibus, são, respectivamente, iguais a 
a) 116°, 88° e 98°. 
b) 74°, 102° e 92°. 
c) 64°, 92° e 82°. 
d) 74°, 88° e 82°. 
e) 64°, 88° e 92°. 
 
20. Laser é um dispositivo que produz radiação eletromagnética, 
emitindo um feixe de luz, e cuja aplicação se dá de inúmeras 
formas, desde em cirurgias médicas até em aparelhos que 
fazem leitura de CD. 
Em uma aplicação industrial, para constatar o correto 
posicionamento de uma peça na linha de produção, são 
usadas máquinas com aplicações para lasers. 
Para esse feito, é necessário que, na máquina, dois lasers se 
cruzem ortogonalmente; existindo, na máquina, duas hastes 
que emitem esse laser com um ângulo de 120°, como mostraa figura ao lado. 
 
Os suportes das hastes são paralelos, e uma delas já está fixada perpendicularmente ao suporte. A medida do 
ângulo x para que os lasers se cruzem da maneira esperada é: 
a) 80° 
b) 90° 
c) 100° 
d) 110° 
e) 120° 
 
21. Um jardineiro comprou uma nova tesoura de jardinagem, cujo modelo simplificado pode ser mostrado a seguir: 
 
Na embalagem, havia a informação de que, para o melhor funcionamento da tesoura para 
o corte de um tipo específico de planta com o caule mais duro, o ângulo a não devia superar 
dois sétimos de seu suplemento. 
Dessa forma, para o corte do tipo de planta especificado na embalagem, garantindo o 
melhor funcionamento da tesoura, o maior valor, em graus, para o ângulo a é igual a 
a) 20. 
b) 30. 
c) 40. 
d) 50. 
e) 60. 
 
 
 
147 
 
22. Um artista pintou o quadro abaixo e o batizou com nome Simetria, pois há uma 
perfeita simetria em seus traços. Desse modo, qual a medida x do ângulo mostrado 
na figura? 
a) 25º. 
b) 30º. 
c) 35º. 
d) 40º. 
e) 45º 
 
 
 
 
 
 
 
23. A empresa Cromalux criou uma luminária inusitada, em madeira, determinada de Abajur Woody, que pode ser 
modelada para várias posições. Observe as figuras ilustrativas as seguir: 
 
Os ângulos formados pelo segmento AB e a reta 𝑡2 e o segmento CD e a reta 𝑡3 são retos. Ao remanejar a 
posição da reta 𝑡2, foram estabelecidos os ângulos x e 140º, descritos na figura 2. O valor do ângulo x para essa 
configuração, em graus, será: 
a) 100 
b) 110 
c) 120 
d) 130 
e) 140 
 
24. Para a produção de uma grade para janela com molde quadrado, 
um artesão está utilizando o seguinte padrão: 
Para determinar o ângulo x na imagem, ele realizou alguns 
cálculos, encontrando um valor, em graus, igual a 
a) 50. 
b) 60. 
c) 70. 
d) 80. 
e) 90. 
 
 
 
148 
25. Em um shopping center, estavam ocorrendo colisões 
com carros estacionados nas áreas destinadas a 
estacionamento, pois não havia área de manobra 
suficiente para os veículos de maior porte. Para 
resolver esse problema, foi solicitada à equipe de 
manutenção que sinalizasse as regiões nas quais os 
carros não poderiam estacionar, facilitando a manobra 
dos demais. A figura a seguir mostra o 
estacionamento e as regiões, em cinza, que foram 
pintadas pela equipe de manutenção, sendo que as 
regiões ímpares possuem a mesma área e as regiões 
pares possuem a mesma área. 
Sabe-se que as ruas A, B e C dentro do 
estacionamento são paralelas e não é possível 
estacionar nelas nem na rua D, pois são para trânsito 
de veículos e pedestres. A região 1 faz, com as ruas 
A e D, um ângulo de 60°; e a região 4 faz, com as ruas 
C e D, um ângulo de 120°. Considerando que para 
pintar as regiões 1 e 2 foram gastas três latas de tinta, o número de latas que foram utilizadas na sinalização de 
todas as regiões cinzas foi 
a) 12. 
b) 13. 
c) 15. 
d) 16. 
e) 18. 
 
26. O mosaico na figura a seguir é composto de 14 triângulos: 10 triângulos 
equiláteros congruentes (5 cinzas e 5 brancos) e 4 triângulos retângulos 
congruentes (2 cinzas e 2 brancos) 
 
Para que seja possível a construção de um mosaico desse tipo, as 
medidas dos ângulos internos agudos dos triângulos retângulos devem 
ser iguais a 
a) 45º e 45º. 
b) 35º e 55º. 
c) 30º e 60º. 
d) 25º e 65º. 
e) 20º e 70º 
 
27. (FAMEMA 2021) Considere o logotipo da Famema. 
 
Admita que esse logotipo seja feito a partir da figura a seguir, sendo r e s retas paralelas, 
assim como as retas t e u. 
 
 
Se 380 ,α β γ    então α é igual a 
a) 140 
b) 110 
c) 130 
d) 120 
e) 100 
 
 
149 
28. Em um bairro de uma cidade, um agrimensor foi incumbido 
de refazer o desenho de um trecho de ruas para o projeto de 
reurbanização da prefeitura. Em seu projeto, duas ruas 
paralelas, A e B, são interceptadas por uma transversal, como 
demonstrado na figura a seguir: 
 
Sabendo que os ângulos indicados são suplementares, o 
valor de x é 
a) 35° 
b) 45° 
c) 55° 
d) 65° 
e) 95° 
 
29. Em uma academia, na esteira de caminhada, podem 
ser reguladas tanto a inclinação da base quanto a do 
apoio para as mãos. A esteira se encontrava 
inicialmente na posição I (sendo o apoio para as mãos 
paralelo à base), e após as regulagens feitas por um 
usuário, passou para a posição II. Os ângulos dessas 
posições, entre a base da esteira e a parte inferior da 
estrutura, e entre o apoio para as mãos e a parte 
superior da estrutura, além do ângulo de inclinação da 
base, estão indicados na figura ao lado. 
Conforme indicado, o usuário adotou uma inclinação de 8° para a base e girou o apoio para as mãos 10° no 
sentido anti-horário, ampliando o ângulo entre a parte superior e o apoio para as mãos para 40°, sendo mantido 
o ângulo entre a base e a parte inferior. Com essas mudanças, ângulo x entre as partes superior e inferior da 
estrutura na posição I foi alterado para y na posição II. 
Com base nessas informações, a medida do ângulo y entre as partes superior e inferior da estrutura da esteira 
na posição II é igual a 
a) 82°. 
b) 92°. 
c) 100°. 
d) 108°. 
e) 118° 
 
30. A artista Ana Holck cria estruturas oriundas de um plano 
arquitetônico, e a estruturação dos elementos que ela utiliza é feita 
de forma a leva-los para fora de seu contexto e funções. Com isso, 
ela cria estruturas cujos elementos-base são subvertidos de sua 
função natural. Observe, na figura a seguir, uma de suas obras, que 
possui os suportes superior e inferior paralelos. Para garantir o 
arranjo paralelo almejado pela artista, é necessário determinar as 
medidas de seus ângulos, como indicado na figura: O valor do ângulo 
x, em graus, é 
a) 75. 
b) 73. 
c) 70. 
d) 68. 
e) 65 
 
 
 
GABARITO - ÂNGULOS 
01. D 02. B 03. B 04. D 05. C 06. C 07. E 08. B 09. A 10. A 
11. C 12.C 13. D 14. D 15. C 16. C 17. D 18. D 19. C 20. E 
21. C 22. C 23. E 24. D 25. C 26. C 27. B 28. B 29. B 30. C 
 
 
 
 
 
150 
 
CAPÍTULO 
10 POLÍGONOS 
 
 
1. POLIGONOS 
 
Os polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam a não ser em suas 
extremidades. 
 Esses segmentos de reta nos polígonos são chamados de lados, assim, outra definição, mais comum que a 
primeira, é a seguinte: polígonos são figuras geométricas inteiramente formadas por lados. 
Os polígonos dividem o plano em duas regiões sem pontos comuns: a interior e a exterior. 
 
 
 
 
1.1 Elementos de um polígono 
 
Podemos identificar os seguintes elementos no polígono ABCDE ao lado: 
 
 
 
lados — segmentos de reta que formam o contorno do polígono; 
 
 
 
vértices — pontos de encontro de dois lados consecutivos; 
 
 
 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta.htm
 
 
151 
diagonais — segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos; 
 
 
 
ângulos internos — ângulos formados por dois lados consecutivos; 
 
 
 
ângulos externos — ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado consecutivo a ele. 
 
 
 
1.2 Classificação dos polígonos 
 
Quando às medidas dos lados 
 
Um polígono é classificado de acordo com o número de lados, que é igual ao número de ângulos internos. Observe 
o nome de alguns polígonos: 
 
 
 
 
Quando às medidas dos lados e ângulos: 
 
 Polígono equilátero: dizemos que um polígono é equilátero quando tem todos os lados com mesma medida. 
 Polígono equiângulo: dizemos que um polígono é equiângulo quando tem todos os ângulos internos com 
mesma medida. 
 Polígono regular: dizemos que um polígono é regular quando é equiângulo e equilátero. 
 
Diagonais de um polígono 
 
 
 
 
 
152 
Note que o número de diagonais traçadas por um de seus vértices (o vértice A) é igual ao número de lados menos 
3. 
 
Assim, em um polígono de n lados, podemos traçar, por um dos vértices, (n - 3) diagonais. 
 
Como o polígono tem n vértices, podemos traçar n.(n - 3) diagonais. 
 
Esse produto, porém, representa o dobro do número de diagonais, pois cada diagonal foi contada duas vezes (porexemplo, a diagonal AC e a diagonal CA ). 
 
Então, para calcular o número total de diagonais d de um polígono de n lados, podemos empregar a fórmula: 
 
 
 
Ângulos internos e ângulos externos de um polígono 
 
IMPORTANTE: soma das medidas dos ângulos internos de um polígono 
 
Observe o triângulo ABC, cujos ângulos internos medem a, b e c. 
Traçamos uma reta r, paralela à reta suporte do lado BC, passando pelo vértice A. 
 
 
Como ângulos alternos internos formados por paralelas são congruentes, temos x = b e y = c. 
 
A soma das medidas dos três ângulos de vértice A forma um ângulo raso com lados em r; logo, x + a + y = 180°. 
 
Substituindo x por b e y por c, obtemos: b + a + c = 180° 
 
Portanto: 
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180° 
 
Agora, observe as figuras abaixo, em que cada polígono foi decomposto em triângulos a partir das diagonais que 
partem de um vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
153 
Note que o número de triângulos é duas unidades menor que o número de lados. 
Como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é 180°, podemos afirmar que a soma das medidas 
dos ângulos internos (Si) de um polígono de n lados corresponde a: 
 
 
 
 
IMPORTANTE: Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n Lados 
 
Para comprovar nossa estimativa, observe ao lado polígono de n lados. Nele, vemos que em cada vértice a soma 
das medidas do ângulo interno (Si ) com a do ângulo externo (Se ) é igual a 180°. 
 
 
 
Como o polígono de n lados tem n vértices, então a soma das medidas de todos os ângulos externos com a de 
todos os ângulos internos é igual a n. 180°. Veja. 
 
 
 
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono qualquer é 360°. 
 
IMPORTANTE: 
Um polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes entre si e todos os seus 
ângulos internos são congruentes entre si. 
 
Representando por ai a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados e por ae a medida do ângulo 
externo, temos: 
 
 
 
 
 
154 
 
 
01. Para participar de um concurso no qual serão escolhidos mosaicos para a 
calçada de uma igreja, um artista construiu seu mosaico usando pentágonos 
regulares e losangos dispostos conforme figura a seguir: 
 
Sabe-se que â e b̂ são ângulos do pentágono regular e do losango, 
respectivamente. 
Se a soma ˆâ b equivale a x graus, então, quanto ao valor de x pode-se afirmar 
que é um número 
a) primo. 
b) quadrado perfeito. 
c) divisível por 7. 
d) múltiplo de 10. 
 
02. (Enem 2020) Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada e/ou esmaltada usada, sobretudo, no revestimento 
de paredes. A origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua expansão pela Europa traz 
consigo uma diversificação de estilos, padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e arquitetônicos. 
Disponível em: www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012. 
 
Azulejos no formato de octógonos regulares serão utilizados para cobrir 
um painel retangular conforme ilustrado na figura. 
 
Entre os octógonos e na borda lateral dessa área, será necessária a 
colocação de 15 azulejos de outros formatos para preencher os 15 
espaços em branco do painel. Uma loja oferece azulejos nos seguintes 
formatos: 
 
1 – Triângulo retângulo isósceles; 
2 – Triângulo equilátero; 
3 – Quadrado. 
 
Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são os de formato 
a) 1. 
b) 3. 
c) 1 e 2. 
d) 1 e 3. 
e) 2 e 3. 
 
03. Em determinado ano, as moedas de R$ 0,25 tinham, numa de suas faces, um polígono 
regular com 7 lados, como se pode ver na figura. 
 
Quanto vale a soma dos ângulos internos desse polígono de 7 lados? 
a) 1.160º 
b) 900º 
c) 1.180º 
d) 1.260º 
e) 1.620º 
 
04. O projeto de um molde utilizado para a produção de um brinquedo de plástico está em fase final de 
desenvolvimento, restando apenas calcular o ângulo A D B, indicado por a, conforme a figura a seguir. Sabe-se 
que os segmentos AD e BD são bissetrizes, respectivamente, dos ângulos C A B e CBA. O ângulo a, indicado 
na figura, mede 
a) 95º. 
b) 100º. 
c) 120º. 
d) 130º. 
e) 140º. 
 
Exercitando 
 
 
155 
05. As lutas de UFC acontecem num ringue com formato de um octógono regular, 
conforme a figura abaixo. 
 
Para a montagem das laterais do ringue, o responsável pelo serviço precisaria da 
medida do ângulo interno formado entre dois lados consecutivos, de modo que 
pudesse montar sem erros. Consultando o manual do ringue, ele verificou que o 
ângulo que precisava media 
a) 100 . 
b) 120 . 
c) 140 . 
d) 135 . 
e) 150 . 
 
06. Uma faixa de azulejos decorativos será colocada no meio das paredes da cozinha de um restaurante chamado 
Del’a Hull. Eles serão encaixados de dois em dois, sendo o primeiro um hexágono regular, e o segundo um 
octógono regular, conforme a figura a seguir. 
 
Com base nos dados apresentados, assinale a alternativa que indica o valor correto de x. 
a) 90° 
b) 105° 
c) 120° 
d) 135° 
e) 255° 
 
07. Uma exposição artística oferece ao público uma experiência em 
um circuito fechado no qual os visitantes percorrem, 
sequencialmente, seis corredores contendo obras de arte 
expostas nas paredes. A figura representa o circuito percorrido 
por um visitante, que entre pelo portão A, percorre outro corredor 
até o portão C, e assim sucessivamente, até o portão F. Ao 
passar pelo portão F, o visitante percorre o último corredor, em 
direção ao portão A, onde também fica a saída da exposição. 
 
Considere que todos os corredores do circuito são retilíneos e que os corredores 𝐵𝐶 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝑒 𝐷𝐸 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ são paralelos, assim 
como os corredores 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑒 𝐸𝐹 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. 
O menor ângulo formado entre os corredores 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑒 𝐵𝐶 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, indicado por 𝛼, mede 
a) 45º 
b) 50º 
c) 55º 
d) 60º 
 
08. A figura a seguir mostra uma circunferência e dois polígonos. Um dos polígonos é inscrito nessa circunferência 
e outro, circunscrito a ela. 
 
Se M é o número de diagonais do polígono inscrito e N é o número de diagonais 
do polígono circunscrito, a razão entre M e N é igual a 
a) 
7
.
5
 
b) 
5
.
7
 
c) 
14
.
5
 
d) 
5
.
14
 
 
 
156 
09. As formas geométricas aparecem em vários objetos do nosso cotidiano. Observe, na imagem 
abaixo, um relógio octogonal, objeto que fascina qualquer admirador de relógios. 
 
A soma das medidas dos ângulos internos de um octógono como o da imagem acima é 
a) 1.080 . 
b) 900 . 
c) 1.440 . 
d) 360 . 
e) 180 . 
 
 
10. Alguns polígonos regulares, quando postos juntos, 
preenchem o plano, isto é, não deixam folga, espaço entre 
si. Por outro lado, outras combinações de polígonos não 
preenchem o plano. A seguir, exemplos desse fato: a 
Figura 1, formada por hexágonos regulares, preenche o 
plano; a Figura 2, formada por pentágonos e hexágonos 
regulares, não preenche o plano. 
 
Na Figura 2, a medida do ângulo é igual a x 
a) 14 . 
b) 12 . 
c) 10 . 
d) 8 . 
 
11. Um porta-retratos tem a forma de um octógono regular conforme imagem a seguir. A 
medida de cada ângulo interno desse octógono é 
a) 45 . 
b) 60 . 
c) 90 . 
d) 135 . 
e) 30 . 
 
12. Em um hexágono regular foram traçadas duas diagonais e um segmento de reta, cujas 
extremidades são um ponto sobre um dos lados e um ponto sobre uma das diagonais 
traçadas, conforme mostra a figura. 
O valor de 𝛼 + 𝛽 é igual a 
a) 230° 
b) 220° 
c) 235° 
d) 225° 
e) 215° 
 
13. Uma designer de interiores projetou, em uma parede, uma estrutura em 
formato de flor feita de caixas cúbicas regularmente dispostas, conforme 
mostra a imagem ao lado. 
Observando os pontos em destaque na parte central dessa estrutura, 
identifica-se um polígono regular de 12 pontas em forma de estrela. A soma 
dosângulos agudos internos desse polígono é 
a) 540°. 
b) 720°. 
c) 1 440°. 
d) 1 800°. 
e) 3 960°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
157 
14. Origami é uma palavra japonesa composta do verbo dobrar (ori) e do substantivo 
papel (kami), portanto, significa, literalmente, dobrar papel. [...] A inspiração dos 
origamistas (pessoas que se dedicam à arte do origami) está, principalmente, nos 
elementos da natureza e nos objetos do dia a dia. [...] 
Assim, o ser humano passou a transformar a planta em folha de papel, cortando-a 
em quadrados e dobrando-a em várias formas geométricas, que representam 
animais, plantas ou objetos. [...] 
Considerando que as pontas de uma folha de papel quadrada foram dobradas para 
fazer um origami na forma de um polígono convexo, conforme a figura anterior, qual 
é a medida do ângulo 𝜃? 
a) 71º 
b) 80º 
c) 96º 
d) 104º 
e) 119º 
 
15. Os vértices L e J de um octógono estão sobre os lados de um heptágono, 
conforme a figura. 
 
Sendo reto o ângulo que o lado JH forma com um lado do heptágono, o valor de 
α + β + θ é igual a 
a) 447° 
b) 443° 
c) 435° 
d) 431° 
e) 439° 
 
16. O geoplano circular consiste em um tabuleiro de madeira com pinos ou pregos 
fixados de modo que um deles se encontre no centro, e os demais, igualmente 
espaçados, formem um círculo. Essa ferramenta nos permite, entre outras 
coisas, construir polígonos regulares e suas diagonais. A figura a seguir mostra 
um geoplano circular de 24 pinos. 
Quantas diagonais terá o maior polígono regular construído nesse geoplano? 
a) 20 
b) 40 
c) 54 
d) 252 
e) 504 
 
17. Os equinodermos são, via de regra, animais marinhos de vida livre, 
destacando-se dentre eles a estrela-do-mar; normalmente, essa 
espécie apresenta cinco braços, como representado na figura, os 
quais irradiam a partir do centro de seu corpo. 
Considerando que esse animal apresenta um padrão geométrico 
regular, estima-se que o ângulo 
a) α meça 72°. 
b) β meça 36°. 
c) α meça 108° 
d) β meça 108°. 
e) α meça 36° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
158 
 
18. (INSPER) De acordo com o teorema de Pick, se os vértices de um polígono 
simples estão sobre uma grade de pontos de coordenadas inteiras, sua área 
será igual a 
 
sendo i o número de pontos de coordenadas inteiras no interior do polígono 
e p o número de pontos de coordenadas inteiras no perímetro do polígono. 
Por exemplo, a área A do polígono INSPER, indicado na figura, é: 
 
Um polígono simples possui área igual a 40 unidades e vértices sobre uma grade de pontos de coordenadas 
inteiras. 
Sabe-se que o número de pontos de coordenadas inteiras no perímetro desse polígono supera seu número de 
lados em 8, e que o número de pontos de coordenadas inteiras no interior do polígono supera seu número de 
lados em 22. A soma dos ângulos internos desse polígono é igual a: 
a) 1620º 
b) 1800º 
c) 1980º 
d) 1440º 
e) 1260º 
 
19. Um engenheiro projetou o sistema de irrigação de um jardim em função da 
necessidade de quantidades diferentes de água em cada um de seus setores. 
Assim, os canos que levam água para esse jardim tomaram as formas de um 
pentágono regular ABCDE, de um triângulo equilátero ABF e de um triângulo 
retângulo isósceles ABG, conforme a figura a seguir. 
 
Com base nas informações dadas, m(FÂG) e m(EFA) são, respectivamente, 
a) 15° e 45°. 
b) 48° e 45°. 
c) 15° e 61°. 
d) 60° e 15°. 
e) 15° e 66° 
 
20. Uma das sinalizações de trânsito mais comuns é a representada pela placa a seguir, 
em que o comando “PARE” está escrito em uma placa no formato de um octógono 
regular. 
Considere que os vértices consecutivos desse octógono possam ser nomeados por 
ABCDEFGH. Sendo assim, qual a medida do menor ângulo formado pela diagonal 
AC e pela diagonal AG? 
a) 22°30’ 
b) 45° 
c) 80° 
d) 90° 
e) 112°30 
 
21. Atualmente, há uma grande variedade de pisos disponível no mercado. Alguns desses 
pisos exploram simetrias, e outros exibem desenhos bem menos simétricos, como o 
ilustrado na figura ao lado: 
No caso do piso quadrado mostrado na figura, sendo P o vértice comum aos quatro 
triângulos, se a soma das medidas dos ângulos internos dos triângulos de cor cinza, com 
vértice em P, é 150º, então a medida do maior ângulo interno dos triângulos brancos, com 
vértice em P, é 
a) Igual a 90º. 
b) Igual a 110º. 
c) Maior que 110º e menor que 150º. 
d) Maior que 105º. 
e) Menor que 90º 
 
 
 
159 
22. Um designer, utilizando figuras planas, desenhou um painel 
com formas geométricas. Nesse painel, RSTPQ é um 
pentágono regular, ABCP é um quadrado e BED é um triângulo 
equilátero, todos com lados de mesma medida. 
O painel foi construído de forma que os pontos S, T, A e D são 
colineares. Para verificar que todas as formas estavam 
corretamente posicionadas, o designer calculou o ângulo 𝐶�̂�𝐸, 
encontrando a medida: 
a) 57° 
b) 60° 
c) 63° 
d) 66° 
e) 69° 
 
23. Uma nova marca de sabonetes tem um polígono regular de 12 lados, o 
dodecágono, como logotipo, conforme mostra a figura ao lado. 
A estampagem dessa marca na superfície do sabonete será feita por uma 
ferramenta com o mesmo formato do logotipo, prensada sobre o material. Para a 
construção dessa ferramenta, a empresa responsável pela marca de sabonetes 
enviou uma imagem com as característica do polígono. A medida do ângulo 𝛼 dessa 
ferramenta, que foi enviada pela marca de sabonetes, é 
a) 15° 
b) 30° 
c) 120° 
d) 150° 
e) 165° 
 
24. Para a construção de um mosaico, triângulos equiláteros foram justapostos às quatro 
faces de um quadrado. Em seguida, várias cópias da imagem gerada pela junção 
desses elementos são dispostas de modo que os espaços vazios entre elas 
resultem em losangos, conforme mostra a figura ao lado. 
O menor ângulo interno de cada um desses losangos mede 
a) 10°. 
b) 15°. 
c) 30°. 
d) 45°. 
e) 60° 
 
 
 
 
 
 
GABARITO - POLÍGONOS 
01. B 02. D 03. B 04. A 05. D 06. B 07. B 08. B 09. A 10. B 
11. D 12. B 13. B 14. C 15. E 16. D 17. E 18. D 19. E 20. D 
21. D 22. D 23. D 24. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
160 
CAPÍTULO 
11 TRIÂNGULOS 
 
 
1. TRIANGULOS 
 
O triângulo é o polígono de três lados. Baseado nisso temos que determinar seus 
elementos para que possamos fazer um estudo mais aprofundado para melhor 
entendimento. 
 
 Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo ABC. 
 Os segmentos AB,BC e AC são os lados desse triângulo. 
 O triângulo tem 3 ângulos internos: A,B e C. 
 O perímetro de um triângulo é a soma das medidas de seus 3 lados. 
 
 
1.1 Classificação dos triângulos: 
 
 
 
 
Condição de existência de um triângulo 
 
Nem sempre é possível construir um triângulo, mesmo sendo conhecidas 
três medidas de segmentos. 
Vamos construir um triângulo com lados medindo 30 cm, 20 cm e 16 cm. 
Repare que o maior lado desse triângulo (de 30 cm) tem medida menor 
que a soma das medidas dos outros dois lados (20cm + 16cm). Isso 
também ocorre com os outros dois lados desse triângulo: a medida de 
cada um deles é menor que a soma das medidas dos outros dois: 
 
20cm < 16cm + 30cm 
16cm < 20cm + 30cm 
 
Essa é a condição de existência de qualquer triângulo. 
 
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
161 
1.2 Teorema do ângulo externo 
 
Prolongando o lado BC do triângulo ABC ilus trado, determinamos um ângulo externo ao triângulo. 
Marcamos esse ângulo na figura e denotamos sua medida por x. 
 
Observe que o ângulo externo é adjacente ao ângulo c, mas não é adjacente aos ângulos a e b. 
Vamos descobrir uma propriedade. 
Os ângulos x e c são suplementares, portanto x + c = 180 ou c = 180 – x 
 
 
 
Também sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo é 180º. 
Daí: 
a+ b + c = 180º 
 
Substituindo c por 180º - x nessa igualdade, temos: 
 
a - b - 180º - x = 180º subtraindo 180º de ambos os membros: 
 
a - b - x = 0 ou, finalmente, a + b = x 
 
 
 
Mostramos que, em todo triângulo, a medida do ângulo externo é igual à soma dosângulos internos não adjacentes 
a ele. 
 
1.3 Pontos notáveis de um triângulo 
 
Há quatro pontos em um triângulo que apresentam propriedades importantes e, por isso, são denominados pontos 
notáveis: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro. Vamos estudar um pouco sobre cada um desses pontos. 
 
1.4 Mediana 
 
Considerando um triângulo ABC qualquer, podemos determinar o ponto médio M do lado BC . 
O segmento AM é chamado de mediana relativa ao lado BC . 
 
 
 
 
162 
 
Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto a ele. 
 
Todo triângulo possui três medianas que se encontram em um ponto chamado 
de baricentro. 
 
No triângulo ABC ao lado, temos: 
 
 AM é a mediana relativa ao lado BC ; 
 BN é a mediana relativa ao lado AC 
 CP é a mediana relativa ao lado AB 
 
As três medianas se encontram no ponto G(gravidade), que é o baricentro do triângulo 
 
IMPORTANTE: 
O baricentro divide cada mediana na razão de 1 para 2 no sentido do lado para o 
vértice. 
 
Olhando a figura acima temos: 
 
AG = 2GM 
CG = 2GP 
BG = 2GN 
 
 
 
1.5 Bissetrizes 
 
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que divide ao meio um dos ângulos internos do triângulo cujos 
extremos são o vértice desse ângulo e o ponto de intersecção com o lado oposto a ele. 
 
 
 
 Observe que a bissetriz de A intersecta o lado BC num ponto D. 
 O segmento AD está contido na bissetriz de A. 
 A medida de AD é a medida da bissetriz relativa ao vértice A deste triângulo. 
 
Intersecção das bissetrizes: incentro 
 
s bissetrizes de um triângulo são os segmentos que dividem os seus ângulos internos em dois ângulos congruentes 
e têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra no lado oposto a esse vértice. 
 
 
 
 
163 
 
1.6 Circunferência inscrita a um triângulo 
 
Já vimos que a bissetriz equidista dos lados que formam o ângulo; então, como o 
incentro é a intersecção das bissetrizes, esse ponto é equidistante dos três lados 
do triângulo, ou seja, a distância é sempre a mesma entre o incentro e qualquer 
um dos lados do triângulo. 
 
Sabendo que I é o incentro do triângulo ABC, pelo que foi mencionado no texto 
acima temos que: 
 
IR ≅ IP≅ IQ 
 
Altura 
 
Considerando um triângulo ABC qualquer, podemos traçar pelo ponto A um segmento perpendicular ao lado BC . 
O segmento AH é a altura relativa ao lado BC . 
 
 
 
Altura de um triângulo é o segmento que une perpendicularmente um dos vértices ao seu lado oposto (ou ao seu 
prolongamento). 
 
Em qualquer triângulo, as retas suportes das três alturas se cruzam em um ponto, denominado ortocentro (H ). 
 
 
 
IMPORTANTE: 
1 No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao 
triângulo. 
 
 
 
 
 
164 
IMPORTANTE: 
2 No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do 
ângulo reto. 
 
IMPORTANTE: 
3 No triângulo obtusângulo, o ortocentro é externo ao 
triângulo. 
 
 
 
2. Congruência de triângulos 
 
Como qualquer polígono pode ser dividido ou decomposto em triângulos, o estudo da congruência de triângulos 
pode nos auxiliar em problemas mais complicados que envolvam a congruência de polígonos. 
 
Agora, vamos estudar, em particular, os triângulos congruentes. 
 
Dois triângulos são congruentes quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes forem 
congruentes. 
 
 
Observe que, se dois triângulos são congruentes, então: 
 
• os lados correspondentes opostos a ângulos congruentes são congruentes; 
• os ângulos correspondentes opostos a lados congruentes são congruentes. 
 
Casos de congruência de triângulos 
 
Vimos que dois triângulos são congruentes quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes são, 
respectivamente, congruentes. No entanto, em algumas situações, é possível reconhecer a congruência de dois 
triângulos quando são conhecidos apenas três de seus elementos. Isso é feito por meio dos casos de congruência, 
que vamos estudar a seguir 
 
 
 
 
165 
Caso lado-lado-lado (LLL) 
 
Dois triângulos são congruentes quando têm os três lados respectivamente congruentes. 
 
 
 
Caso lado-ângulo-lado (LAL) 
 
Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente 
congruentes 
 
 
 
Caso ângulo-lado-ângulo (ALA) 
 
Dois triângulos são congruentes quando têm dois ângulos e o lado adjacente a esses ângulos respectivamente 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
166 
Caso lado-ângulo-ângulo oposto (LAAo) 
 
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, o ângulo adjacente a esse lado e um ângulo oposto a esse 
lado respectivamente congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
01. O telhado da cantina no CMRJ, com formato retangular, será reformado. A figura 
abaixo mostra o desenho de sua vista superior. As vigas de madeira do telhado, 
representadas na figura pelos segmentos AB, AC e AD, serão substituídas. O 
comprimento, em metros, da maior viga que será substituída é igual a 
a) 4,0 
b) 4,5 
c) 5,0 
d) 6,5 
e) 7,0 
 
 
02. Considere uma chapa de madeira representada pelo retângulo ABCD. 
A fim de fazer o encosto de uma cadeira, um marceneiro precisa realizar 
um corte nessa peça no formato do arco circular GLF, tangente ao lado 
𝐴𝐷 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ em L, ponto médio desse segmento. Além disso, após o corte ser 
concluído, o centro do arco GLF deverá pertencer ao eixo de simetria do 
encosto. Considere AD = 30 cm e AG = DF = 3 cm. O raio, em centímetro, 
do arco GLF é igual a 
a) 26 
b) 27 
c) 36 
d) 37 
e) 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercitando 
 
 
167 
03. (ENEM REAPLICAÇÃO 2021) Um brinquedo muito comum em parques 
de diversão é o balanço. O assento de um balanço fica a uma altura de 
meio metro do chão, quando não está em uso. Cada uma das correntes 
que o sustenta tem medida de comprimento, em metros, indicada por x. 
A estrutura do balanço é feita com barras de ferro, nas dimensões, em 
metro, conforme a figura. 
Nessas condições, o valor, em metro, de x é igual a 
a) √2 – 0,5 
b) 1,5 
c) √8 – 0,5 
d) √10 – 0,5 
e) √8 
 
 
04. A seguiu atentamente a resolução de um exercício complexo de 
geometria sobre o qual o professor a dado a dica da construção do ∆BCE 
equilátero. Ao chegar em casa e rever suas notas da aula, percebeu que 
havia esquecido de copiar a parte final do exercício. Porém, ela se 
lembrava de que deveria encontrar uma congruência de triângulos para 
encontrar o ângulo ACD indicado por x 
 
lembrando-se de que AB = CD, Paula encontrou a congruência de 
triângulos e pôde concluir que o ângulo x vale 
a) 10º. 
b) 20º. 
c) 30º. 
d) 40º. 
e) 50º. 
 
05. Duas cordas foram ligadas da rua até o ponto mais alto de um poste de luz 
vertical, o ponto D, representado na figura a seguir. A base do poste é 
equidistante ao ponto D e ao ponto em que a corda maior está ligada ao chão 
(ponto A), e o ângulo formado entre o chão e a corda menor foi medido e vale 
60 
 
Sabendo que as cordas estão totalmente esticadas e que as duas cordas e 
o poste são coplanares, a medi da, em graus, do ângulo x que as cordas 
formam entre si no ponto D é de 
a) 10°. 
b) 15°. 
c) 20°. 
d) 35°. 
e) 40°. 
 
06. (UEA 2020) Na figura, uma circunferência de centro A intercepta um triângulo equilátero 
ABC nos pontos médios dos lados AC e AB. Se a altura do triângulo ABC vale 
5√3
2
 cm, o 
comprimento da circunferência, em centímetros, é igual a 
a) 10√3𝜋 
b) 10𝜋 
c) 5𝜋 
d) 5√3𝜋 
e) 5√2𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
168 
 
07. (FAMEMA 2021) A figura representa uma 
arquibancada com degraus de mesma altura (x metros) 
e mesma extensão (y metros). 
 
O valor de x + y será igual a 
a) 1,90 m. 
b) 1,85 m. 
c) 1,95 m. 
d) 1,80 m. 
e) 1,75 m. 
 
08. (FASM 2020) A figura mostra 4 triângulos retângulos, cada um deles possuindo um ângulo destacado de 30º. A 
hipotenusa de cada um dos 3 triângulos de menor perímetro coincide com o cateto oposto ao ângulo de 30º de 
um triângulo de maior perímetro. 
 
Se a hipotenusa BC do triânguloABC mede 3,4 m, o 
cateto EF mede 
a) 33,15 cm. 
b) 21,25 cm. 
c) 24,48 cm. 
d) 27,30 cm. 
e) 30,30 cm. 
 
 
09. Em uma aula do curso de Design Gráfico, Franceli recebeu a tarefa de 
construir o rosto de uma personagem digital, utilizando apenas figuras 
geométricas bidimensionais e básicas. Então, Franceli desenhou um círculo 
maior de raio R e duas circunferências (A e B) tangentes internamente à 
circunferência maior e tangentes entre si. Desenhou, também, duas linhas 
diametrais, perpendiculares entre si e tangentes a A e B. Inseriu, nessas 
circunferências, dois círculos para representar a íris dos olhos e fez um 
retângulo (C) com dois lados alinhados a essas íris, conforme a figura 
 
Com base nas informações anteriores, conclui-se que o raio da 
circunferência A e o maior lado do retângulo C medem, respectivamente, 
a) R (√2 + 1) e 2R (√2 + 1) 
b) R (√2 - 1) e 2R (√2 - 1) 
c) (R + 1) √2 e 2(R + 1) √2 
d) (R – 1) √2 e 2(R – 1) √2 
e) R√2 e 2R √2 
 
10. (UNICAMP 2021) A figura abaixo exibe três círculos tangentes dois a dois e os três tangentes a uma mesma 
reta. Os raios dos círculos maiores têm comprimento R e o círculo menor tem raio de comprimento r. 
 
 
 
A razão R r é igual a 
a) 3. 
b) 10. 
c) 4. 
d) 2 5. 
 
 
 
169 
11. No ano de 1999, o Banco Central Espanhol emitiu uma moeda comemorativa de prata de 1.500 pesetas (unidade 
monetária espanhola em 1999), que tinha o formato de um octógono regular com 1cm de lado. 
 
 
Um colecionador armazenará esta moeda em uma caixa de base quadrada. Para isso, precisará determinar a 
distância entre os vértices A e D da representação a seguir. 
 
 
 
Considerando 2 1,4, a medida do segmento AD, em centímetros, que o colecionador precisará calcular é 
igual, aproximadamente, a 
a) 1,6. 
b) 2,0. 
c) 2,4. 
d) 3,0. 
 
12. (ENEM 2021) O instrumento de percussão conhecido como 
triângulo é composto por uma barra fina de aço, dobrada em 
um formato que se assemelha a um triângulo, com uma 
abertura e uma haste, conforme ilustra a Figura 1. 
Uma empresa de brindes promocionais contrata uma fundição 
para a produção de miniaturas de instrumentos desse tipo. A 
fundição produz, inicialmente, peças com o formato de um 
triângulo equilátero de altura h, conforme ilustra a Figura 2. 
Após esse processo, cada peça é aquecida, deformando os 
cantos, e cortada em um dos vértices, dando origem à 
miniatura, Assuma que não ocorram perdas de material no 
processo de produção, de forma que o comprimento da barra utilizada seja igual ao perímetro do triângulo 
equilátero representado na Figura 2. Considere 1,7 como valor aproximado para 3. 
Nessas condições, o valor que mais se aproxima da medida do comprimento da barra, em centímetro, é 
a) 9,07. 
b) 13,60. 
c) 20,40. 
d) 27,18. 
e) 36,24. 
 
 
 
 
 
 
 
 
170 
13. Em uma aula de Geometria, uma professora aplicou um jogo educativo semelhante ao jogo da memória. O jogo 
apresentado pela professora é formado por oito cartas, indicadas a seguir, cada uma contendo a imagem de um 
triângulo (não necessariamente em escala). 
 
 
 
Para a aplicação do jogo, a professora disponibilizou um minuto para que os estudantes observassem o conjunto 
de cartas, até então desviradas. Em seguida, as cartas foram postas para baixo, de modo que as imagens ficaram 
ocultadas. O objetivo de cada participante era desvirar duas cartas que formassem um par de triângulos 
congruentes entre si. 
Sabendo que a ordem das cartas de um mesmo par é irrelevante, a quantidade mínima de opções distintas que 
cada estudante possuía inicialmente para atingir o objetivo era 
a) 4. 
b) 6. 
c) 8. 
d) 10. 
e) 28. 
 
14. As bebidas de uma festa serão servidas em taças de base hexagonal e borda circular de 8 cm de diâmetro, e 
estas serão transportadas em bandejas retangulares com capacidade máxima para quatro taças. As figuras 1 e 
2 a seguir apresentam o formato das taças e a vista superior de uma bandeja com ocupação máxima. 
 
O hexágono que dá forma à base das taças é regular e inscritível ao círculo que dá forma à borda delas. Conforme 
indica a figura 2, a borda de uma taça tangencia a borda de duas outras, e um dos lados do polígono da base da 
taça coincide com um dos lados da bandeja. Utilize 1,7 como aproximação para √3. Nessas condições, as 
dimensões, em cm, das bandejas que serão utilizadas nessa festa são 
a) 14,8 × 14,8. 
b) 14,8 × 16,0. 
c) 16,0 × 16,0. 
d) 21,6 × 21,6. 
e) 29,6 × 32,0. 
 
15. Na figura abaixo, ABCD e PQRS são dois quadrados cujos centros coincidem 
no ponto O.Se PT mede 1cm, então a área do círculo de centro O inscrito 
nesses quadrados, em 2cm , é igual a 
a) (1 2 2)π  
b) 2 (1 2 2)π  
c) (3 2 2)π  
d) 2 (2 2)π  
 
 
 
 
 
 
171 
16. A figura a seguir representa o projeto de um teleférico que 
será construído para transportar pessoas entre os topos de 
duas montanhas. Para simplificar o projeto, considerou-se 
que as duas montanhas têm formato triangular regular; as 
medidas de suas bases e a distância que as separa estão 
indicadas na figura. Os topos das montanhas estão 
representados pelos pontos A e B, e a extensão do cabo que 
sustentará o teleférico corresponde ao comprimento do 
segmento AB. 
 
A extensão, em metro, do cabo de sustentação do teleférico é igual a 
a) 100√73 
b) 1100 
c) 100√133 
d) 1300 
e) 100√185 
 
17. Para incentivar o turismo, o prefeito de uma cidade decide 
criar uma tirolesa ligando duas montanhas do Parque 
Ecológico Municipal. Um engenheiro foi contratado para 
projetar a atração e precisa saber quantos metros de cabo 
de aço necessitará para ligar os topos dessas duas 
montanhas. 
Para facilitar esses cálculos, o engenheiro criou, em seu 
projeto, os triângulos equiláteros ABC e DEF pertencentes 
a um mesmo plano vertical, em que A e D representam os topos das montanhas e os pontos B, C, E e F estão 
alinhados no plano horizontal. Observe a figura com a situação descrita: 
 
Sabendo que os triângulos equiláteros ABC e DEF têm, respectivamente, 32 metros e 16 metros de lado; e 
que a distância entre os pontos C e E é de 23 metros, a medida de cabo de aço (AD), em metros, que o 
engenheiro encontrará será de 
a) 47. 
b) 49. 
c) 51. 
d) 53. 
 
18. O tripé é um equipamento utilizado por fotógrafos e cinegrafistas para estabilizar 
a câmera e, assim, contribuir para a qualidade das imagens registradas. 
A figura apresenta um projeto de tripé para câmeras fotográficas, em que as 
extremidades das pernas do equipamento encontram-se à maior distância 
possível uma da outra. Nessa posição, os pontos A, B, C e D do tripé formam os 
vértices de uma pirâmide reta, cuja base ABC corresponde a um triângulo 
equilátero com 30√3 cm de lado. Além disso, AD = BD = CD = 78 cm. 
Quando o tripé é posicionado da forma mostrada na figura, a base da câmera 
sustentada pelo equipamento permanece a uma altura do solo, em centímetro, 
igual a 
a) 45. 
b) 54. 
c) 60. 
d) 64. 
e) 72. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
172 
19. (UEL 2020) A icônica obra Mona Lisa, de Leonardo Da Vinci, exposta no Museu 
do Louvre, possibilita pôr à prova as proporções matemáticas nela presentes. 
Partindo de um quadrado ABCD de lado 1, que delimita uma região abaixo da 
cabeça, pode-se obter um retângulo, que contém a cabeça da Mona Lisa, por 
meio da construção geométrica descrita a seguir. 
Seja O o ponto médio do segmento AB. Tome a circunferência de centro O e 
raio OD. Encontre o ponto E dado pela intersecção da circunferência com a 
semirreta BA. Considere o ponto F de modo a obter o retângulo de vértices 
EADF, como ilustrado na figura a seguir. 
Com base na construção geométrica fornecida e na figura, assinale a alternativa 
que apresenta, corretamente, o comprimento do segmento EA. 
a) 
1 5
2

 
b) 
3 5
2

 
c) 
5 1
2

 
d) 
5 1
2

 
e) 
5 2
2

 
 
20. (UEL 2019) Convenciona-se