AD1-MB-2005-1-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito de Matemática Básica - AD 1 - 2005
Exercício 1 Determine o resultado da expressão 80,666... + (−32)0,2 .
Solução: Observe que:
0, 666... =
6
9
=
2
3
(1)
e
0, 2 =
2
10
=
1
5
(2)
Substituindo (1) e (2) na expressão dada temos:
80,666... + (−32)0,2 = 8
2
3 + (−32)
1
5 =
(
23
)
2
3
+ (−25)
1
5 = 2
3×
2
3 − 25×
1
5 = 22 − 21 = 4 − 2 = 2 .
Exercício 2 Sabendo que a + 1
a
= S, calcule a3 + 1
a3
.
Solução: Vamos elevandar ambos os membros ao quadrado da equação a + 1
a
= S:
(
a +
1
a
)2
= S2 ⇒ a2 + 2 × a × 1
a
+
(
1
a
)2
= S2 ⇒ a2 + 2 + 1
a2
= S2 ⇒ a2 + 1
a2
= S2 − 2 .
Relembrando produtos notáveis:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
que aplicando em a3 + 1
a3
obtemos:
a3 +
1
a3
= a3 +
(
1
a
)3
=
(
a +
1
a
)(
a2 − 1 + 1
a2
)
= S
(
S2 − 2 − 1
)
= S
(
S2 − 3
)
.
Exercício 3 Se x =
√
2 e y =
√
98 −
√
32 −
√
8 , determine a relação entre x e y.
Solução: Vamos simplificar o segundo membro da equação y =
√
98 −
√
32 −
√
8:
y =
√
98 −
√
32 −
√
8 =
√
2 × 72 −
√
2 × 24 −
√
2 × 22 = 7
√
2 − 4
√
2 − 2
√
2 .
Logo, concluimos que x = y.
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Exercício 4 Determine a interseção de todos os inteiros múltiplos de 6 com o conjunto de todos os
inteiros múltiplos de 20.
Solução:
m(6) = {0,±6,±12,±18,±24,±30, · · · ,±60, · · · }
m(20) = {0,±20,±40,±60, · · · }
Logo, m(6) ∩ m(20) = {0,±60, · · · } = m(60).
Exercício 5 Uma cidade com 1000 habitantes possui dois clubes de futebol, A e B. Nessa pesquisa
feita com todos os habitantes, constatou-se que 120 pessoas não apreciam a nenhum dos dois clubes,
130 pessoas apreciam ao clube A e ao clube B e 450 pessoas apreciam ao clube A. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas apreciam o clube B?
b) Quantas pessoas apreciam o clube A e não apreciam o clube B?
Solução: Seja x o número de pessoas que apreciam o clube B e não aprecia o clube A.
450−130=
130320
x
A B
120
Observando o diagrama anterior temos:
320 + 130 + x + 120 = 1000 ⇒ x = 1000 − 570 ⇒ x = 430 .
Portanto:
a) O número de pessoas que apreciam o clube B é 430 + 130 = 560
b) O número de pessoas que apreciam o clube A e não apreciam o clube B é 320.
Exercício 6 Sejam Z o conjunto dos números inteiros e N∗ = {n ∈ Z | n ≥ 1}. Considere a função
f : N∗ −→ Z definida por f(n) = x1 + ... + xn onde xk = (−1)k, para cada k = 1, ..., n. Determine
a imagem da função f .
Solução:
f(1) = x1 = (−1)1 = −1
f(2) = x1 + x2 = (−1)1 + (−1)2 = −1 + 1 = 0
f(3) = x1 + x2 + x3 = (−1)1 + (−1)2 + (−1)3 = −1 + 1 − 1 = −1
...
Logo, a imagem de f é: Im(f) = {0,−1}.
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Exercício 7 Considere f : R −→ R e s : R −→ R sendo f(x) = x + 1 e g(x) = x − 2. Determine:
a) g ◦ f(0)
b) f ◦ g(2)
Solução:
a)
g ◦ f(0) = g(f(0)) = g(0 + 1) = g(1) = 1 − 2 = −1
b)
f ◦ g(2) = f(g(2)) = f(2 − 2) = f(0) = 0 + 1 = 1
Exercício 8 Dada a função f de R em R definida por f(x) = −2x + 3, se f−1 é a função inversa de f
determine f−1(2) + f−1(−4).
Solução: Vamos determinar f−1(x).
f(x) = −2x + 3
y = −2x + 3
Trocando x por y e y por x temos:
−2y + 3 = x .
Agora vamos achar y em função de x:
−2y = x − 3
y =
3 − x
2
Concluimos que f−1(x) =
3 − x
2
. Portanto:
f−1(2) =
3 − 2
2
=
1
2
e f−1(−4) = 3 − (−4)
2
=
3 + 4
2
=
7
2
Logo,
f−1(2) + f−1(−4) = 1
2
+
7
2
=
8
2
= 4 .
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Exercício 9 Determine o conjunto solução de cada uma das inequações:
a)
(2 + x)(1 − x)
3 + x
≤ 0
b)
(2x + 6)5(4 − 2x)6
(1 + x)20
> 0
Solução:
a) Façamos a análise do sinal, isto é, 2 + x = 0, 1 − x = 0 e 3 + x = 0.
−3 −2 1
_ _ + + + + + +
+ + + + + +
+ + + +
_ _
_ _ _ _
_ _
++
Daí, o conjunto solução é
(−3,−2] ∪ [1, +∞) .
b) Analogamente, façamos a análise do sinal, isto é, 2x + 6 = 0, 4 − 2x = 0 e 1 + x = 0.
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + +_ _ + +
+ +
+ +
+ + +_ −3 −1 2
Daí, o conjunto solução é
(−3,−1) ∪ (−1, 2) ∪ (2, +∞) .
Exercício 10 Sendo f a função quadrática definida por f(x) = mx2 − 2mx + 1, se o valor máximo
dessa função é 3. Determine f(−1).
Solução: Façamos mx2 − 2mx + 1 = 0. Então, temos que −∆
4a
= 3. Logo:
−(4m2 − 4m)
4m
= 3 =⇒ −(m − 1)
1
= 3 =⇒ −m + 1 = 3 =⇒ m = −2 .
Logo,
f(−1) = −2(−1)2 − 2(−2)(−1) + 1 = −2 − 4 + 1 = −5 .
Exercício 11 Determine o conjunto solução da equação
|x − 3| + |x − 2| = 5 .
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Solução: Analisando os respectivos módulos temos:
|x − 3| =
{
x − 3 se x ≥ 3
3 − x se x < 3
e
|x − 2| =
{
x − 2 se x ≥ 2
2 − x se x < 2
Utilizaremos a figura a seguir para nos ajudar a fazer a análise de cada caso.
3
x−3
x−2
+
_ _
_ _ _ _
+ + +
+ +
2
1o caso: x < 2
|x − 3| + |x − 2| = 5
(3 − x) + (2 − x) = 5
−2x + 5 = 5
x = 0
2o caso: 2 ≥ x ≥ 3
|x − 3| + |x − 2| = 5
(3 − x) + (x − 2) = 5
3 − 2 = 5 Absurdo!
3o caso: x > 3
|x − 3| + |x − 2| = 5
(x − 3) + (x − 2) = 5
2x = 10
x = 5
Logo, a solução da equação modular é:
S = {0, 5} .
Exercício 12 Sendo f(x) = 3x−1, g(x) = 3x e s(x) = f(x) + g(x), determine o valor de x tal que
s(x) = 4.
Solução:
3x−1 + 3x = 4
3x
3
+ 3x = 4
Seja 3x = y. Então:
3x
3
+ 3x = 4 ⇒ y
3
+
y
1
=
4
1
⇒ y + 3y = 12 ⇒ 4y = 12 ⇒ y = 3 .
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Substituindo y = 3 em 3x = y temos:
3x = 3 ⇔ 3x = 31 ⇔ x = 1 .
Exercício 13 Considere x > 0. Determine
log
x√
1 + x2 + 1
− log
√
1 + x2 − 1
x
.
Solução:
log
x√
1 + x2 + 1
− log
√
1 + x2 − 1
x
= log
[
x√
1+x2 +1
√
1+x2 −1
x
]
= log
[
x√
1 + x2 + 1
· x√
1 + x2 − 1
]
= log
[
x2
1 + x2 − 1
]
= log
x2
x2
= log 1
= 0 .
Exercício 14 Determine o produto das raízes da equação 2 log2 x − 5 log x − 3 = 0, em que log x é o
logaritmo decimal de x.
Solução: Fazendo log x = y e lembrando que log2 x = (log x)2 temos:
2y2 − 5y − 3 = 0
que resolvendo obtemos:
y =
5 ±
√
25 + 24
4
=⇒ y = 5 ± 7
4
=⇒ y1 = −
1
2
ou y2 = 3 .
Logo,
log x1 = −
1
2
=⇒ x1 = 10
−
1
2
log x2 = 3 =⇒ x2 = 103
Concluimos que:
x1 · x2 = 10
−
1
2 · 103 = 10
5
2 =
√
105 = 100
√
10 .
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Exercício 15 Determine o valor das seguintes expressões:
a)
1
1
2
+ 1
3
+ 1
5
b)
1 −
(
1
6
− 1
3
)
(
1
6
+ 1
2
)2
+ 3
2
Solução:
a)
1
1
2
+ 1
3
+ 1
5
=
1
15+10+6
30
=
1
31
30
=
30
31
.
b)
1 −
(
1
6
− 1
3
)
(
1
6
+ 1
2
)2
+ 3
2
=
1 −
(
1−2
6
)
(
1+3
6
)2
+ 3
2
=
1 + 1
6
16
36
+ 3
2
=
7
6
16+54
36
=
7
6
70
36
=
7
6
× 36
70
=
3
5
.
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