Solucionario - TEMA 5 - Comportamento de Pórticos Planos

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Se incluirmos essa estrutura no Ftool e a plotarmos na opção “Rotation values” 
no programa, teremos o seguinte resultado: 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
 
Dessa forma, tendo em vista o gráfico apresentado, vemos que a resposta é 3,0 x 10-5 rad.
 
Se incluirmos essa estrutura no Ftool e a plotarmos na opção “Vertical 
displacement values” no programa, teremos o seguinte resultado: 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Dessa forma, tendo em vista o gráfico apresentado, vemos que a resposta da flecha que 
encontramos é 0,14mm.
 
Se incluirmos essa estrutura no Ftool e a plotarmos na opção “Rotation values”, 
teremos o seguinte resultado: 
 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Dessa forma, tendo em vista o gráfico apresentado, vemos que a resposta é 0,86 x 10-4 rad.
 
Se incluirmos essa estrutura no Ftool e a plotarmos na opção “Bending 
moment”, ilustrada pelo botão no programa, teremos o seguinte DMF (diagrama do 
momento fletor): 
 
 
Giuseppe Miceli Junior 
Por outro lado, se plotarmos na opção “Shear force”, ilustrada pelo botão no Ftool, 
teremos o seguinte DMF: 
Giuseppe Miceli Junior 
 
 
Vemos, então, que os valores máximos de momentos fletores e de esforços cortantes são, 
respectivamente, 29kNm e 19,8kN, em módulo.
Se incluirmos essa estrutura no Ftool e a plotarmos na opção “Transversal 
displacement values” no programa, teremos o seguinte resultado: 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Dessa forma, tendo em vista o gráfico apresentado, vemos que a resposta é 0,76mm.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão, acompanhado 
desse documento.
 
Giuseppe Miceli Junior 
Destacando o pilar da esquerda, vemos que:
 
Dessa forma, tendo em vista o gráfico apresentado, vemos que a resposta é 2,35 x 10-4 rad, 
que está localizado na barra identificada como A. Portanto, letra A é a resposta correta. 
 
 
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão, acompanhado 
desse documento. 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Aplicando os valores, temos que a maior flecha é de 0,21mm na metade da porção da esquerda 
do vão da viga superior, como vemos a seguir. 
 
Deslocamentos 
Giuseppe Miceli Junior 
 
 
 
Plotando agora o valor da rotação com seus valores respectivos, temos: 
Rotações 
Giuseppe Miceli Junior 
A rotação máxima encontrada, a partir do que pode ser visto na figura apresentada, é 
de 0,93 x 10-4 rad.
 
 
A distância indicada é chamada de flecha. Neste caso, trata-se da flecha máxima 
do trecho horizontal do pórtico.
A rotação nos engastes é sempre igual a zero. A rotação em apoios simples é 
sempre diferente de zero. Nesses pontos, o deslocamento é sempre zero. A flecha máxima na 
viga está no vão da esquerda. A rotação nos pontos em que a flecha é máxima é igual a zero, 
pois a flecha é máxima.
 
O comprimento equivalente le pode ser determinado por meio de uma destas 
quantidades: 
 
𝑙 ≤
𝑙 + ℎ
𝑙
 
 
Sabendo disso, calculemos seu comprimento equivalente: 
 
𝑙 ≤ 𝑙 + ℎ = 400 + 40 = 440 𝑐𝑚
 
O comprimento equivalente le pode ser determinado por meio de uma destas 
quantidades: 
 
𝑙 ≤
𝑙 + ℎ
𝑙
 
 
Sabendo disso, calculemos seu comprimento equivalente: 
 
𝑙 ≤ 𝑙 + ℎ = 300 + 30 = 330 𝑐𝑚 
O comprimento equivalente le pode ser determinado por meio de uma destas 
quantidades: 
 
𝑙 ≤
𝑙 + ℎ
𝑙
 
 
Sabendo disso, calculemos seu comprimento equivalente: 
 
𝑙 ≤ 𝑙 + ℎ = 600 + 50 = 650 𝑐𝑚
O comprimento equivalente le pode ser determinado por meio de uma destas 
quantidades: 
 
𝑙 ≤
𝑙 + ℎ
𝑙
 
 
Sabendo disso, calculemos seu comprimento equivalente: 
 
𝑙 ≤ 𝑙 + ℎ = 250 + 15 = 265 𝑐𝑚
 
Para este último caso, o momento fletor Mlig que age na viga é calculado a partir 
do momento de engastamento perfeito, por meio da seguinte equação: 
𝑀 = 𝑀 
𝑟 + 𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
Se a carga distribuída é de 9kN/m2, calculemos o momento de engastamento perfeito: 
𝑀 =
𝑞𝑙
12
=
9𝑥4
12
= 12 𝑘𝑁𝑚 
 
Calculemos agora a rigidez da viga e do pilar: 
𝑟 =
𝐼
𝐿
=
0,4
12
4
=
0,4
12
4
= 5,33𝑥 10 
𝑟 =
𝐼
𝐿
=
𝑏ℎ3
12
4
=
0,2 0,4
12
4
= 2,67 𝑥 10 
 
Substituindo na equação para encontrarmos os momentos de ligação a partir das rigidezes da 
viga e do pilar, temos: 
𝑀 = 𝑀 
𝑟 + 𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
𝑀 = 12
2,67 𝑥 10
(2,67 + 5,33) 𝑥 10
 
𝑀 = 4,00 𝑘𝑁𝑚
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão, acompanhado desse 
documento.
Se a carga distribuída é de 12kN/m2, calculemos o momento de engastamento perfeito: 
𝑀 =
𝑞𝑙
12
=
12𝑥4
12
= 16 𝑘𝑁𝑚 
 
Calculemos agora a rigidez da viga e do pilar: 
𝑟 =
𝐼
𝐿
=
0,4
12
4
=
0,4
12
4
= 5,33𝑥 10 
 
𝑟 , =
𝐼 ,
𝐿
=
𝑏ℎ3
12
4
=
0,2 0,4
12
4
= 2,67 𝑥 10 
𝑟 , =
𝐼 ,
𝐿
=
𝑏ℎ3
12
4
=
0,2 0,4
12
4
= 2,67 𝑥 10 
 
Substituindo na equação para encontrarmos os momentos de ligação a partir das rigidezes da 
viga e do pilar, temos: 
𝑀 = 𝑀 
𝑟 + 𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
𝑀 = 16
(2,67 + 2,67) 𝑥 10
(2,67 + 2,67 + 5,33) 𝑥 10
 
𝑀 = 8 𝑘𝑁𝑚
 
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão, acompanhado 
desse documento. 
 
Inicialmente vamos calcular o momento de engastamento perfeito da viga do pórtico, em que 
q = 24kN/m e l = 4,90m: 
𝑀 =
𝑞𝑙
12
=
24𝑥4,90
12
= 48,02 𝑘𝑁𝑚 
 
Calculemos agora a rigidez da viga e do pilar: 
𝑟 =
𝐼
𝐿
=
0,15𝑥0,4
12
4,90
=
0,15𝑥0,4
12
4,90
= 1,63𝑥 10 𝑐𝑚 
𝑟 , =
𝐼 ,
𝐿
=
𝑏ℎ3
12
2,65
2
=
0,45𝑥0,15
12
2,65
2
= 0,95 𝑥 10 𝑐𝑚3 
𝑟 , =
𝐼 ,
𝐿
=
𝑏ℎ3
12
2,65
2
=
0,45𝑥0,15
12
2,65
2
= 0,95 𝑥 10 𝑐𝑚3 
Substituindo na equação para encontrarmos os momentos de ligação a partir das rigidezes da 
viga e do pilar, temos: 
Na viga: 
𝑀 = 𝑀 
𝑟 + 𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
𝑀 = 48,02
(0,95 + 0,95) 𝑥 10
(0,95 + 0,95 + 1,63) 𝑥 10
 
 
𝑀 = 25,84 𝑘𝑁𝑚 
 
 
No tramo superior do pilar: 
𝑀 = 𝑀 
𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
𝑀 = 48,02
(0,95) 𝑥 10
(0,95 + 0,95 + 1,63) 𝑥 10
 
 
𝑀 = 12,92 𝑘𝑁𝑚 
No tramo inferior do pilar: 
 
𝑀 = 𝑀 
𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
𝑀 = 48,02
(0,95) 𝑥 10
(0,95 + 0,95 + 1,63) 𝑥 10
 
 
𝑀 = 12,92 𝑘𝑁𝑚 
 
A situação ilustrada refere-se a um pilar de centro ou intermediário. Dessa 
forma, é provável que esteja sofrendo compressão simples, pois, nesse caso, os momentos nas 
extremidades se compensam.
Com relação a pilares de canto, é provável que estejam sofrendo flexão oblíqua, 
pois, nesse caso, a cabeça do pilar está sujeita tanto a momentos no eixo Y como no eixo X.
 
 
O índice de esbeltez λ é um parâmetro que busca avaliar o quão suscetível a barra 
comprimida é em relação ao efeito de flambagem, conforme a fórmula a seguir: 
𝝀 =
𝒍
𝒓
 
 
O raio de giração da peça, determinado pela fórmula a seguir: 
𝑟 =
𝐼
𝐴
 
 
Temos que calcular os momentos de inércia referentes aos dois eixos, conforme mostrado se 
seguir: 
𝑰𝒛 =
𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐
=
𝟐𝟎𝒙𝟒𝟎𝟑
𝟏𝟐
= 𝟏𝟎𝟔𝟔𝟔𝟕 𝒄𝒎𝟒 
 
𝑰𝒚 =
𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐
=
𝟒𝟎𝒙𝟐𝟎𝟑
𝟏𝟐
= 𝟐𝟔𝟔𝟔𝟕 𝒄𝒎𝟒 
 
Dessa fórmula, temos, para o raio de giração: 
𝑟 =
𝐼
𝐴
=
26667
20𝑥40
= 5,77 𝑐𝑚 
 
Calculando o índice de esbeltez do pilar: 
𝝀 =
𝒍
𝒓
=
𝟒𝟎𝟎
𝟓, 𝟕𝟕
= 𝟔𝟗, 𝟑𝟐
O índice de esbeltez λ é um parâmetro que busca avaliar o quão suscetível a barra 
comprimida é em relação ao efeito de flambagem, conforme a fórmula a seguir: 
 
𝝀 =
𝒍
𝒓
 
Em que: 
 
 L é o comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são presas por pinos; 
 R é o raio de giração da peça, determinada pela fórmula a seguir: 
𝑟 =
𝐼
𝐴
 
 
Temos que calcular os momentos de inércia referentes aos dois eixos, conforme mostrado a 
seguir: 
𝑰𝒛 =
𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐
=
𝟏𝟓𝒙𝟑𝟎𝟑
𝟏𝟐
= 𝟑𝟑𝟕𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟒 
 
𝑰𝒚 =
𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐
=
𝟑𝟎𝒙𝟏𝟓𝟑
𝟏𝟐
= 𝟖𝟒𝟑𝟕, 𝟓 𝒄𝒎𝟒 
 
Dessa fórmula, temos, para o raio de giração: 
 
𝑟 =
𝐼
𝐴
=
8437,5
15𝑥30
= 4,33 𝑐𝑚 
 
Calculando o índice de esbeltez do pilar: 
𝝀 =
𝒍
𝒓
=
𝟔𝟎𝟎
𝟒, 𝟑𝟑
= 𝟏𝟑𝟖, 𝟓𝟔 = 𝟏𝟑𝟖, 𝟔
O índice de esbeltez λ é um parâmetro que busca avaliar oquão suscetível a barra 
comprimida é em relação ao efeito de flambagem, conforme a fórmula a seguir: 
 
𝝀 =
𝒍
𝒓
 
O raio de giração da peça, determinado pela fórmula a seguir: 
𝑟 =
𝐼
𝐴
 
 
Temos que calcular os momentos de inércia referentes aos dois eixos, conforme mostrado a 
seguir: 
𝑰𝒛 =
𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐
=
𝟐𝟎𝒙𝟔𝟎𝟑
𝟏𝟐
= 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟒 
 
𝑰𝒚 =
𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐
=
𝟔𝟎𝒙𝟐𝟎𝟑
𝟏𝟐
= 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟒 
 
Dessa fórmula, temos, para o raio de giração: 
 
𝑟 =
𝐼
𝐴
=
40000
20𝑥60
= 5,77 𝑐𝑚 
 
Calculando o índice de esbeltez do pilar: 
𝝀 =
𝒍
𝒓
=
𝟔𝟎𝟎
𝟓, 𝟕𝟕
= 𝟏𝟎𝟑, 𝟗𝟖 
 
Esse índice de esbeltez corresponde à classificação de pilar esbelto.
Vimos que a carga crítica pode ser definida pela fórmula a seguir: 
𝑃 =
𝜋 𝐸𝐼
𝐿
 
 
Calculando a carga crítica a partir da menor inércia da peça, temos: 
𝐼 =
𝑏ℎ
12
=
0,6𝑥0,2
12
= 40000 𝑐𝑚 = 0,0004 𝒎𝟒 
 
O que nos dá, a partir do cálculo de sua carga crítica: 
𝑃 =
𝜋 𝐸𝐼
𝐿
=
3,14 𝑥 0,0004 𝑥 25000000
10
= 985,96 𝑘𝑁
Calculemos os vãos efetivos da viga contínua que nos foi apresentada, 
considerando também sua altura. 
𝑎 ≤
𝑡
2
0,3 ℎ
 
𝑎 ≤
𝑡
2
0,3 ℎ
 
 
Vamos calcular, então, o vão da esquerda efetivo referente ao comprimento de 5,0m: 
 
𝑎 ≤
𝑡
2
=
40
2
= 20 𝑐𝑚
0,3 ℎ = 0,3 𝑥 80 = 24 𝑐𝑚
 
 
 
𝑎 ≤
𝑡
2
=
80
2
= 40 𝑐𝑚
0,3 ℎ = = 0,3 𝑥 80 = 24 𝑐𝑚
 
 
Daí, temos: 
𝑙 = 𝑙 + 𝑎 + 𝑎 = 500 + 20 + 24 = 544 𝑐𝑚
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão, acompanhado desse 
documento. 
 
Calculemos os vãos efetivos da viga contínua que nos foi apresentada, considerando também 
sua altura. 
𝑎 ≤
𝑡
2
0,3 ℎ
 
𝑎 ≤
𝑡
2
0,3 ℎ
 
 
Vamos calcular, então, o vão da direita efetivo referente ao comprimento de 6,0m: 
 
𝑎 ≤
𝑡
2
=
80
2
= 40 𝑐𝑚
0,3 ℎ = 0,3 𝑥 80 = 24 𝑐𝑚
 
 
𝑎 ≤
𝑡
2
=
60
2
= 30 𝑐𝑚
0,3 ℎ = = 0,3 𝑥 80 = 24 𝑐𝑚
 
 
Daí, temos: 
𝑙 = 𝑙 + 𝑎 + 𝑎 = 800 + 24 + 24 = 848 𝑐𝑚
 
 
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão, acompanhado desse 
documento. 
É dado o comprimento equivalente do pilar que é igual a 𝑙 = 265 𝑐𝑚. 
 
Vamos calcular o momento de engastamento perfeito da viga do pórtico, em que q = 24kN/m e 
l=4,90m: 
𝑀 =
𝑞𝑙
12
=
24𝑥4,90
12
= 48,02 𝑘𝑁𝑚 
 
Calculemos agora a rigidez da viga e do pilar, para a situação em que a maior dimensão do pilar 
é paralela à direção da viga: 
 
𝑟 =
𝐼
𝐿
=
0,2𝑥0,4
12
4,90
=
0,2 𝑥0,4
12
4,90
= 2,17 𝑥 10 𝑐𝑚 
𝑟 , =
𝐼 ,
𝐿
=
𝑏ℎ3
12
2,65
2
=
0,2𝑥0,4
12
2,65
2
= 8,05 𝑥 10 𝑐𝑚3 
𝑟 , =
𝐼 ,
𝐿
=
𝑏ℎ3
12
2,65
2
=
0,2𝑥0,4
12
2,65
2
= 8,05 𝑥 10 𝑐𝑚3 
Substituindo na equação para encontrarmos os momentos de ligação a partir das rigidezes da 
viga e do pilar, temos: 
Na viga: 
𝑀 = 𝑀 
𝑟 + 𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
𝑀 = 48,02
(8,05 + 8,05) 𝑥 10
(8,05 + 8,05 + 2,17) 𝑥 10
 
 
𝑀 = 42,31 𝑘𝑁𝑚 
 
No tramo superior do pilar: 
𝑀 = 𝑀 
𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
𝑀 = 48,02
(8,05) 𝑥 10
(8,05 + 8,05 + 2,17) 𝑥 10
 
 
𝑀 = 21,15 𝑘𝑁𝑚 
No tramo inferior do pilar: 
 
𝑀 = 𝑀 
𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
 
𝑀 = 48,02
(8,05) 𝑥 10
(8,05 + 8,05 + 2,17) 𝑥 10
 
 
𝑀 = 21,15 𝑘𝑁𝑚 
 
Calculemos agora a rigidez da viga e do pilar para a situação em que a maior dimensão do pilar 
é transversal à direção da viga: 
 
𝑟 =
𝐼
𝐿
=
0,4𝑥0,2
12
4,90
=
0,4 𝑥0,2
12
4,90
= 0,54 𝑥 10 𝑐𝑚 
𝑟 , =
𝐼 ,
𝐿
=
𝑏ℎ3
12
2,65
2
=
0,4𝑥0,2
12
2,65
2
= 2,01 𝑥 10 𝑐𝑚3 
𝑟 , =
𝐼 ,
𝐿
=
𝑏ℎ3
12
2,65
2
=
0,4𝑥0,2
12
2,65
2
= 2,01 𝑥 10 𝑐𝑚3 
Substituindo na equação para encontrarmos os momentos de ligação a partir das rigidezes da 
viga e do pilar, temos: 
Na viga: 
𝑀 = 𝑀 
𝑟 + 𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
𝑀 = 48,02
(2,01 + 2,01) 𝑥 10
(2,01 + 2,01 + 0,54) 𝑥 10
 
 
𝑀 = 42,33 𝑘𝑁𝑚 
 
No tramo superior do pilar: 
𝑀 = 𝑀 
𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
𝑀 = 48,02
(8,05) 𝑥 10
(8,05 + 8,05 + 2,17) 𝑥 10
 
 
𝑀 = 21,17 𝑘𝑁𝑚 
No tramo inferior do pilar: 
 
𝑀 = 𝑀 
𝑟
𝑟 + 𝑟 + 𝑟
 
 
𝑀 = 48,02
(8,05) 𝑥 10
(8,05 + 8,05 + 2,17) 𝑥 10
 
 
𝑀 = 21,17 𝑘𝑁𝑚
 
 
A fórmula da carga crítica é a seguinte: 
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿2
 
Vejamos as possibilidades: 
• A carga crítica é diretamente proporcional ao módulo de elasticidade. 
• A carga crítica é inversamente proporcional ao comprimento. 
A carga crítica é diretamente proporcional ao momento de inércia.
A classificação de pilares quanto à sua esbeltez é: 
 pilares robustos ou pouco esbeltos → λ ≤ 40. 
 pilares de esbeltez média → 40 < λ ≤ 90. 
 pilares esbeltos ou muito esbeltos → 90 < λ ≤ 140. 
 pilares excessivamente esbeltos → 140 < λ ≤ 200. 
 Não podem ser considerados pilares → λ > 200. 
 
Para o caso deste problema, temos que o pilar se mostra como robusto ou pouco esbelto.