Solucionario - TEMA 4 - Comportamento de Vigas Continuas

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Comportamento de vigas contínuas 1 
 
Módulo 1 
 
 Mão na massa 
Questão 1 
A alternativa E está correta. 
Comentário: Se incluirmos a estrutura no Ftool, e plotarmos na opção “Rotation values”, 
teremos o seguinte resultado: 
 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Tendo em vista o gráfico acima, vemos que a resposta é 8,2 x 10-5rad. 
 
 
 
Questão 2 
A alternativa C está correta. 
Comentário: Se incluirmos a estrutura no Ftool, e plotarmos na opção “Vertical 
displacement values”, teremos o seguinte resultado: 
 
 
Giuseppe Miceli Junior 
Comportamento de vigas contínuas 2 
 
Tendo em vista o gráfico acima, vemos que a resposta é 0,37mm. 
 
 
Questão 3 
A alternativa E está correta. 
Comentário: Se incluirmos a estrutura no Ftool, e plotarmos na opção “Vertical 
displacement values”, teremos o seguinte resultado: 
 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Desta forma, tendo em vista o gráfico acima, vemos que a resposta é 0,23mm. 
 
 
Questão 4 
A alternativa D está correta. 
Comentário: Se incluirmos a estrutura no Ftool, e plotarmos na opção “Rotation values”, 
teremos a seguinte linha elástica: 
 
 
Ampliando os dois últimos vãos da direita, vemos os seguintes resultados: 
 
Comportamento de vigas contínuas 3 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Vemos. Assim. que a máxima rotação da linha elástica é 1,63 x 10-4 rad. 
 
 
Questão 5 
A alternativa B está correta. 
Comentário: Se incluirmos a estrutura no Ftool, e plotarmos na opção “Vertical 
displacement values”, teremos o seguinte resultado: 
 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Tendo em vista o gráfico acima, vemos que a resposta é 0,21mm. 
 
 
Questão 6 
A alternativa C está correta. 
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão. 
 
 
 Teoria na prática 
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão. 
 
 
 Verificando o aprendizado 
Questão 1 
A alternativa D está correta. 
Comportamento de vigas contínuas 4 
Comentário: A distância indicada acima é chamada de flecha. No caso particular, trata-
se da flecha máxima da viga. 
 
Questão 2 
A alternativa A está correta. 
Comentário: A rotação no engaste é sempre igual a zero. A rotação nos apoios simples 
é sempre diferente de zero. Nestes pontos, o deslocamento é sempre zero. A flecha 
máxima na viga está no vão da direita. A rotação nos pontos em que a flecha é máxima 
é igual a zero pois a flecha é máxima. 
 
 
Comportamento de vigas contínuas 5 
Módulo 2 
 
 Mão na massa 
Questão 1 
A alternativa D está correta. 
Comentário: Consultando a tabela de relação de carregamentos com as fórmulas da 
flecha máxima e da rotação nos apoios máxima, a fórmula para a obtenção da flecha é: 
 
𝑦 =
𝑞𝐿4
185 𝐸𝐼
 
 
Nossa incógnita é o momento de inércia. Sendo assim, substituímos: q= 1kN/m, L= 4m, 
E =30 x 106kN/m2 e flecha admissível de 1mm ou 10-3m. 
 
Substituindo na fórmula, temos: 
𝑦 =
𝑞𝐿4
185 𝐸𝐼
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎
→ 10−2 = 
103. 44
185 . 30. 106. 𝐼
 
 
Desenvolvendo-se a expressão, temos que: I = 4,61 x 10-4m4 = 0,000461m4. 
 
 
Questão 2 
A alternativa D está correta. 
Comentário: A fórmula da tensão normal devido à flexão também pode ser escrita como: 
𝝈𝒎á𝒙 =
|𝑴𝒎á𝒙|
𝑾
 
 
A situação em que o momento é máximo se encontra no engaste, em que sabemos que 
o momento de engastamento pode ser encontrado com 
𝑞𝐿2
8
. 
 
Nossa incógnita é a altura, que é derivada do cálculo do módulo resistente à flexão. 
Sendo assim, substituímos: q= 20kN/m, L= 4m, 𝝈𝒎á𝒙 = 45MPa. 
Então, temos: 
45x 106 =
𝑞𝐿2
8
𝑾
 
 
45x 106 W =
20 𝑥 103𝑥 42
8
 
 
 W =
20 𝑥 103𝑥 42
8𝑥 45x 106
 
 
Comportamento de vigas contínuas 6 
Para encontrarmos W, basta saber que é a divisão do momento de inércia pela distância 
da seção em que a tensão é máxima. No caso da peça, esta ocasião ocorre na 
extremidade da seção transversal. 
 
Então, se I = bh3/12 e c= h/2, então W = I/c = bh2/6! 
 
Se a altura é quatro vezes a base, então h = 4b. Substituindo isso na fórmula, temos: 
 
𝑏(4𝑏)2
6
=
20 𝑥 103𝑥 42
8𝑥 45x 106
 
 
16 𝑏3
6
=
20 𝑥 103𝑥 42
8𝑥 45x 106
 
 
𝑏3 =
6 𝑥 20 𝑥 103𝑥 42
16 𝑥 8𝑥 45x 106
 
 
b = 6,9 cm 
 
Se a altura é o quádruplo da base, então: h = 27,6cm. 
 
 
Questão 3 
A alternativa B está correta. 
Comentário: A fórmula da tensão normal devido à flexão também pode ser escrita como: 
𝝈𝒎á𝒙 =
|𝑴𝒎á𝒙|
𝑾
 
 
A situação em que o momento é máximo se encontra nos engastes, em que sabemos 
que o momento de engastamento pode ser encontrado com 
𝑞𝐿2
12
. 
 
Nossa incógnita é a altura, que é derivada do cálculo do módulo resistente à flexão. 
Sendo assim, substituímos: q= 20kN/m, L= 4m, 𝝈𝒎á𝒙 = 45MPa. 
Então, temos: 
45x 106 =
𝑞𝐿2
12
𝑾
 
 
45x 106 W =
20 𝑥 103𝑥 42
12
 
 
 W =
20 𝑥 103𝑥 42
12𝑥 45x 106
 
 
Para encontrarmos W, basta saber que é a divisão do momento de inércia pela distância 
da seção em que a tensão é máxima. No caso da peça, esta ocasião ocorre na 
extremidade da seção transversal. 
 
Então, se I = bh3/12 e c= h/2, então W = I/c = bh2/6! 
Comportamento de vigas contínuas 7 
 
Se a altura é quatro vezes a base, então h = 4b. Substituindo isso na fórmula, temos: 
 
𝑏(4𝑏)2
6
=
20 𝑥 103𝑥 42
12𝑥 45x 106
 
 
16 𝑏3
6
=
20 𝑥 103𝑥 42
12𝑥 45x 106
 
 
𝑏3 =
6 𝑥 20 𝑥 103𝑥 42
16 𝑥 12𝑥 45x 106
 
 
b = 6,05 cm 
 
Se a altura é o quádruplo da base, então: h = 24,2cm. 
 
 
Questão 4 
A alternativa B está correta. 
Comentário: Você pode utilizar qualquer método de resolução de estruturas 
hiperestáticas para conseguir desenvolver o DMF (Diagrama do Momento Fletor) da 
viga. Então, temos o seguinte DMF: 
 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Apontando para o momento máximo na estrutura: 21,0kNm. 
 
Nossa incógnita é o lado da seção transversal, que é derivada do cálculo do módulo 
resistente à flexão. Sendo assim, substituímos: 𝝈𝒎á𝒙 = 45MPa e M = 21,0kNm. 
Então, temos: 
45x 106 =
21𝑥103
𝑾
 
 
 W =
21 𝑥 103
 45x 106
= 4,67𝑥 10−4 𝑚3 
 
Para encontrarmos W, basta saber que é a divisão do momento de inércia pela distância 
da seção em que a tensão é máxima. 
 
Comportamento de vigas contínuas 8 
Então, se I = L4/12 e c= L/2, então W = I/c = L3/6! Substituindo isso na fórmula, temos: 
𝐿3
6
= 4,67𝑥 10−4 
 
L = 14,09 cm 
 
L = 14,1 cm 
 
 
Questão 5 
A alternativa C está correta. 
Comentário: Você pode utilizar qualquer método de resolução de estruturas 
hiperestáticas para conseguir desenvolver o DMF da viga. Então, temos o seguinte DMF: 
 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
Apontando que o momento máximo na estrutura é de 26,4kNm. 
 
Nossa incógnita é o lado da seção transversal, que é derivada do cálculo do módulo 
resistente à flexão. Sendo assim, substituímos 𝝈𝒎á𝒙 = 30MPa. 
Então, temos: 
30x 106 =
26,4𝑥103
𝑾
 
 
 W =
26,4 𝑥 103
 30x 106
= 0,00088 𝑚3 
 
Para encontrarmos W, basta saber que é a divisão do momento de inércia pela distância 
da seção em que a tensão é máxima. 
 
Então, se I = L4/12 e c= L/2, então W = I/c = L3/6! Substituindo isso na fórmula, temos: 
𝐿3
6
= 0,00088 
 
L = 17,41 cm 
 
 
Assim, L = 17,41cm. 
 
Comportamento de vigas contínuas 9 
 
Questão 6 
A alternativa E está correta. 
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão. 
 
 
 
 Teoria na prática 
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão. 
 
 
 Verificando o aprendizado 
Questão 1 
A alternativa B está correta. 
Comentário: Quanto maior a altura de uma seção transversal, a peça se torna mais 
resistente, pois seu módulo resistente à flexão aumenta. 
 
 
Questão 2 
A alternativa D está correta. 
Comentário: Quanto maior seu momento de inércia, sua flecha máxima diminui, pois seu 
módulo resistente à flexão aumenta. O contrário também é verdadeiro: quanto menor 
seu momento de inércia, sua flecha máxima aumenta, pois seu módulo resistente à 
flexãodiminui. 
 
 
 
Comportamento de vigas contínuas 10 
Módulo 3 
 
 Mão na massa 
Questão 1 
A alternativa E está correta. 
Comentário: Recomenda-se que a altura seja calculada pela seguinte fórmula: 
ℎ𝑛 =
𝑙𝑒𝑓,𝑛
12
 
 
Para o caso deste problema, teremos: 
 
ℎ𝑛 =
𝑙𝑒𝑓,𝑛
12
=
10
12
= 83,3 𝑐𝑚 
 
Como é a prática, vamos arredondar este valor para o próximo múltiplo de 5cm. Desta 
forma, teremos 85cm. 
 
 
Questão 2 
A alternativa C está correta. 
Comentário: Recomenda-se que a altura seja calculada pela seguinte fórmula: 
 
ℎ𝑛 =
𝑙𝑒𝑓,𝑛
12
 
Para o caso deste problema, teremos: 
 
ℎ𝑛 =
𝑙𝑒𝑓,𝑛
12
=
12
12
= 1 𝑚 
 
Devemos arredondar este valor para o próximo múltiplo de 5cm, o que não será 
necessário neste problema. 
 
 
Questão 3 
A alternativa D está correta. 
Comentário: Calculemos os vãos efetivos da viga contínua apresentada: 
 
𝑎1 =
𝑡1
2
=
40
2
= 20 𝑐𝑚 
Comportamento de vigas contínuas 11 
 
𝑎2 =
𝑡2
2
=
40
2
= 20 𝑐𝑚 
 
𝑙 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 = 500 + 20 + 20 = 540 𝑐𝑚 
 
 
Questão 4 
A alternativa C está correta. 
Comentário: Calculemos os vãos efetivos da viga contínua apresentada: 
 
𝑎1 =
𝑡1
2
=
20
2
= 10 𝑐𝑚 
 
𝑎2 =
𝑡2
2
=
20
2
= 10 𝑐𝑚 
 
Vamos calcular o vão efetivo referente ao comprimento de 4,00m: 
 
𝑙 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 = 400 + 10 + 10 = 420 𝑐𝑚 
 
Vamos calcular o vão efetivo referente ao comprimento de 3,00m: 
 
𝑙 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 = 300 + 10 + 10 = 320 𝑐𝑚 
 
 
Questão 5 
A alternativa A está correta. 
Comentário: Calculemos os vãos efetivos da viga contínua apresentada, considerando 
também sua altura. 
𝑎1 ≤ {
𝑡1
2
0,3 ℎ
 
 
𝑎2 ≤ {
𝑡2
2
0,3 ℎ
 
 
Vamos calcular o vão efetivo referente ao comprimento central de 4,00m: 
 
 
Comportamento de vigas contínuas 12 
Giuseppe Miceli Junior 
 
𝑎1 ≤ {
𝑡1
2
=
30
2
= 15 𝑐𝑚
0,3 ℎ = 0,3 𝑥 60 = 18 𝑐𝑚
 
 
𝑎2 ≤ {
𝑡2
2
=
30
2
= 15 𝑐𝑚
0,3 ℎ = = 0,3 𝑥 60 = 18 𝑐𝑚
 
 
Assim, temos: 
𝑙 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 = 400 + 15 + 15 = 430 𝑐𝑚 
 
Vamos calcular o vão efetivo referente ao comprimento central de 4,00m: 
 
 
Giuseppe Miceli Junior 
 
𝑎1 ≤ {
𝑡1
2
=
30
2
= 15 𝑐𝑚
0,3 ℎ = 0,3 𝑥 60 = 18 𝑐𝑚
 
 
𝑎2 ≤ {
𝑡2
2
=
30
2
= 15 𝑐𝑚
0,3 ℎ = = 0,3 𝑥 60 = 18 𝑐𝑚
 
 
Por fim, temos: 
𝑙 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 = 400 + 15 + 15 = 430 𝑐𝑚 
 
 
Questão 6 
A alternativa B está correta. 
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão. 
 
 
 Teoria na prática 
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão. 
 
Comportamento de vigas contínuas 13 
 
 Verificando o aprendizado 
Questão 1 
A alternativa C está correta. 
Comentário: Vamos calcular os vãos efetivos da viga contínua apresentada: 
𝑎1 =
𝑡1
2
=
20
2
= 10 𝑐𝑚 
 
𝑎2 =
𝑡2
2
=
20
2
= 10 𝑐𝑚 
 
𝑙 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 = 500 + 10 + 10 = 520 𝑐𝑚 
 
 
 
Questão 2 
A alternativa E está correta. 
Comentário: Recomenda-se que a altura seja calculada pela seguinte fórmula: 
 
ℎ𝑛 =
𝑙𝑒𝑓,𝑛
12
 
 
Para o caso deste problema, teremos: 
 
ℎ𝑛 =
𝑙𝑒𝑓,𝑛
12
=
6
12
= 50 𝑐𝑚 
 
 
Comportamento de vigas contínuas 14 
Módulo 4 
 
 Mão na massa 
Questão 1 
A alternativa C está correta. 
Comentário: Se a carga distribuída é de 6kN/m, calculemos o momento de 
engastamento perfeito: 
 
𝑀 =
𝑞𝑙2
12
=
6𝑥42
12
= 8 𝑘𝑁𝑚 
 
 
 
Questão 2 
A alternativa E está correta. 
Comentário: Se a carga distribuída é de 9kN/m, calculemos o momento de 
engastamento perfeito. Primeiro, façamos para a carga distribuída: 
 
𝑀 =
𝑞𝑙2
12
=
9𝑥42
12
= 12 𝑘𝑁𝑚 
 
Para a carga concentrada no vão da esquerda de 2 kN, por outro lado, temos: 
 
𝑀 =
𝑃𝑙
8
=
2𝑥4
8
= 1 𝑘𝑁𝑚 
 
Somando as duas parcelas, temos: M= 12 + 1 = 13kNm. 
 
 
Questão 3 
A alternativa A está correta. 
Comentário: Para a carga concentrada no vão da esquerda de 10kN, por outro lado, 
temos: 
𝑀 =
𝑃𝑙
8
=
10𝑥4
8
= 5 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Comportamento de vigas contínuas 15 
Questão 4 
A alternativa C está correta. 
Comentário: A fórmula da rigidez da mola é dada por: 
 
𝐾 =
8𝐸𝐼
𝑙𝑒
 
 
Entretanto, se o pilar que serve como apoio chega até a cobertura, então devemos 
considerar tanto o lance inferior como o lance superior do pilar, para só então aplicar a 
fórmula: 
 
𝐾 =
8𝐸𝐼
𝑙𝑒
2
=
16𝐸𝐼
𝑙𝑒
 
 
 
 
Questão 5 
A alternativa B está correta. 
Comentário: O momento fletor Mlig que age na viga é calculado a partir do momento de 
engastamento perfeito, por meio da equação: 
 
𝑀𝑙𝑖𝑔 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 (
𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑣𝑖𝑔 + 𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
) 
 
Se a carga distribuída é de 6kN/m2, calculemos o momento de engastamento perfeito: 
 
𝑀 =
𝑞𝑙2
12
=
6𝑥42
12
= 8 𝑘𝑁𝑚 
 
Calculemos agora a rigidez da viga e do pilar: 
 
𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 =
𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎
𝐿𝑖
=
0,44
12
4
=
0,44
12
4
= 5,33𝑥 10−4 
 
𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 =
𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
𝐿𝑖
=
𝑏ℎ3
12
4
=
0,2 0,43
12
4
= 2,67 𝑥 10−4 
 
Substituindo na equação para encontrarmos os momentos de ligação a partir das 
rigidezes da viga e do pilar, temos: 
 
𝑀𝑙𝑖𝑔 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 (
𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑣𝑖𝑔 + 𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
) 
 
 
Comportamento de vigas contínuas 16 
𝑀𝑙𝑖𝑔 = 8(
2,67 𝑥 10−4
(2,67 + 5,33) 𝑥 10−4
) 
 
𝑀𝑙𝑖𝑔 = 3,38 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Questão 6 
A alternativa C está correta. 
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão. 
 
 
 Teoria na prática 
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão. 
 
 
 Verificando o aprendizado 
Questão 1 
A alternativa A está correta. 
Comentário: 
 
Giuseppe Miceli Junior 
Comportamento de vigas contínuas 17 
 
Como vemos, o fato de a dimensão do pilar ser igual a le/2, e assim, ser maior que le/4, 
faz com que o pilar seja visto como um engaste, tanto de um vão como de outro. Neste 
caso, podemos apontar a alternativa A como correta. 
 
 
Questão 2 
A alternativa C está correta. 
Comentário: Se a carga distribuída é de 20 kN/m, calculemos o momento de 
engastamento perfeito: 
 
𝑀 =
𝑞𝑙2
12
=
20 × 42
12
= 27,66… 𝑘𝑁𝑚 ≈ 27𝑘𝑁𝑚 
 
O que equivale à letra C.