ALGA - LISTA 4

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Prof. Dr. Raimundo Alves Leitão Júnior
Lista 4
MATRIZES E DETERMINANTE
1. Sejam
A =
(
1 2 3
2 1 −1
)
, B =
(
−2 0 1
2 1 −1
)
, C =
 −12
4
 .
e D =
(
2 −1
)
Calcule:
a. A+B. b. B · C.
c. D ·A. d.−A.
2. Seja A =
(
2 x2
2x− 1 0
)
. Se A = AT , determine x.
3. Suponha que A é uma matriz triangular superior. O que podemos
dizer sobre AT ? Justifique.
4. Verdadeiro ou falso? Justifique.
a. (−A)T = −AT .
b. Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
c. (λ1A) (λ2B) = (λ1λ2)AB.
d. Se A e B são simétricas, então AB = BA.
e. Se podemos efetuar o produto AA significa que A é uma matriz qua-
drada.
1
5. Mostre que em geral temos (A+B)2 ̸= A2+2AB+B2 e (A+B) (A−B) ̸=
A2 −B2.
6. Calcule det
 2 0 −13 0 −1
4 −3 7
.
7. Dadas as matrizes A =
(
1 2
1 0
)
e B =
(
3 −1
0 1
)
, calcule:
a. detA+ detB.
b. det (A+B).
8. Seja A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
 calcule:
a. A23. c. (MA)23.
b. detA23. d. detA.
9. Calcule detA, onde
a. A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
.
b. A =

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 π −5 3 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1
.
10. Encontre A−1, onde
a. A =
 −1 2 10 1 −3
4 0 2
.
b. A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
.
2
11. Calcule
∣∣∣∣∣∣
a− b b− c c− a
m− n n− p p−m
x− y y − z z − x
∣∣∣∣∣∣ usando as propriedades elementares.
12. Sejam
A =
 0 −2 22 1 −1
0 −1 −2
 , B =
 −1 1 32 2 −1
1 1 −3

e C =
 −1 −2 20 3 −1
5 1 −5
 .
Determine X tal que
2(X −A−B) = 1
3
(X − C).
13. Resolva os sistemas matriciais a seguir:
a.
{
X − 2Y = 3A,
2X + Y = O
b.

X + Y = A,
Y + Z = B,
X + Z = C.
14. Seja A uma matriz quadrada n×n. Definimos traço de A como sendo
a soma dos termos que constituem sua diagonal principal e denotamos
por tr(A). Verifique que dadas duas matrizes n× n e x ∈ R temos
a. tr(A+B) = tr(A) + tr(B). b. tr(xA) = xtr(A).
c. tr(AB) = tr(BA).
15. Verifque que o determinante de matrizes triangulares (superior e infe-
rior) 3× 3 (ou 4× 4) é o produto dos termos de sua diagonal. O que
podemos dizer sobre matrizes diagonais 3×3 (ou 4×4)? Os resultados
anteriores valem em geral, ou seja, para matrizes n× n?
16. Se detAB = 17, calcule detBA e det(BABA).
17. Calcule o posto das matrizes abaixo:
A =
(
2 1 5
6 3 15
)
e B =
 1 2 3 0−1 0 1 5
1 −2 1 1
 .
3