Livro Didático Introdução à álgebra linear

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INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, você aprenderá sobre as matrizes, uma maneira de representar um conjunto de dados. Você
também aprenderá a realizar operações envolvendo as matrizes, incluindo o cálculo da matriz inversa. Além
disso, você aprenderá os determinantes, que é um número real associado a uma matriz quadrada.
Ao �nal desta abordagem, espera-se que você seja capaz de identi�car e de realizar operações envolvendo as
matrizes, de encontrar uma matriz inversa e de realizar o cálculo do determinante de uma matriz quadrada.
Também que saiba utilizar tais conceitos em aplicações relacionadas à sua pro�ssão. Eles são amplamente
utilizados em processamento computacional de imagens, em modelos construtivos de estruturas 3D e em
outras áreas da engenharia.
Bons estudos!
Aula 1
MATRIZES
Além das matrizes, uma maneira de representar um conjunto de dados, nesta aula você aprenderá a
realizar operações em que elas são envolvidas, incluindo o cálculo da matriz inversa e, também
aprenderá, os determinantes, que é um número real associado a uma matriz quadrada.
20 minutos
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
 Aula 1 - Matrizes
 Aula 2 - Sistemas de equações lineares
 Aula 3 - Espaços vetoriais
 Aula 4 - Autovalores e autovetores
 Aula 5 - Revisão da unidade
 Referências
113 minutos
11/10/2024, 14:29 wlldd_232_u1_met_mat
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MATRIZES
Uma matriz pode ser de�nida como a representação de um conjunto de dados em uma tabela, organizada em
linhas e colunas. Veja sua de�nição a seguir.
Matriz
Dados dois números naturais não nulos m e n, uma matriz real M de ordem m por n (indica-se m x n) é uma
tabela de números reais, dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplo 1:
a. 
b. 
c. 
Cada elemento de uma matriz é indicado por , de modo que o índice i indica a linha e o índice j indica a coluna
às quais o elemento pertence.
Algumas matrizes recebem um nome especial de acordo com as características que possuem. Veja a seguir.
Matriz linha
Uma matriz linha é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, possui uma única linha.
Exemplo 2:  
Matriz coluna
Uma matriz coluna é toda matriz do tipo m x 1, ou seja, possui uma única coluna.
Exemplo 3:  
Matriz nula
Uma matriz nula é toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero.
Exemplo 4:
a. 
b. 
A =
⎡⎢⎣ 1 2 4
5 3 −1
−3 0 −2
⎤⎥⎦B =  [ ]0 1
2
C =  [ ]
−5
1
M =
⎛⎜⎝a11 … a1n
⋮ ⋱ ⋮
am1 ⋯ amn
⎞⎟⎠D = [ ]1 −2 2 −1
E =
⎡⎢⎣ 0
20
−5
⎤⎥⎦F = [ ]0 0 0
G = [ ]0 0
0 0
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Matriz quadrada
Uma matriz quadrada de ordem n é toda matriz do tipo n x n, ou seja, uma matriz que possui o mesmo
número de linhas e colunas.
Exemplo 5:
a.  é uma matriz quadrada de ordem 2.
b.  é uma matriz quadrada de ordem 3.
Em uma matriz quadrada, chama-se de diagonal principal o conjunto de elementos que possuem os índices i e
j iguais, isto é,   .
Em uma matriz quadrada, chama-se de diagonal secundária o conjunto de elementos que possuem que
possuem a soma dos índices i e j igual a n + 1, isto é,   .
Matriz diagonal
Uma matriz diagonal é toda matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais zero.
Exemplo 6:
a. 
b. 
Matriz identidade
Uma matriz identidade é toda matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
Indica-se uma matriz identidade por , em que n indica a ordem da matriz.
Exemplo 7:
a.  é uma matriz identidade de ordem 2.
b.  é uma matriz identidade de ordem 3.
Desse modo você pode aprender a identi�car matrizes que serão utilizadas nos conceitos seguintes.
M = [ ]
3 −3
5 10
N =
⎡⎢⎣ 92 0 5
3
7 33 −2
−20 7 4
⎤⎥⎦{aij/i = j} = {a11, a22, a33,...,ann}
{aij/i + j = n + 1} = {a1n, a2,n−1, a3,n−2,...,an1}
H =  [ ]
−2 0
0 6
J =  
⎡⎢⎣4 0 0
0 −7 0
0 0 5
⎤⎥⎦I2 =  [ ]1 0
0 1
I3 =  
⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦11/10/2024, 14:29 wlldd_232_u1_met_mat
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OPERAÇÕES COM MATRIZES
Vamos aprender a realizar operações envolvendo as matrizes.
Igualdade entre matrizes
Sejam duas matrizes A e B que pertencem ao conjunto das matrizes  , ou seja, possuem o mesmo
tamanho. As matrizes A e B são iguais se apresentam todos os elementos correspondentes iguais, isto é, 
 , ∀ i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.
Exemplo 1: Sejam as matrizes   e  . Sabendo que A = B, vamos determinar
os valores de x, y, z e w.
Como as matrizes A e B são iguais, temos que seus elementos correspondentes são iguais. Assim:
Adição de matrizes
Sejam as matrizes A, B e C que pertencem ao conjunto das matrizes  , ou seja, possuem o mesmo
tamanho. Tem-se que a soma das matrizes A e B é uma matriz C na qual cada elemento é resultado da soma
dos elementos correspondentes em A e B, isto é,   , ∀ i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.
Exemplo 2: Determine a matriz C sabendo que ela é a soma das matrizes A e B, que são   e 
 .
Multiplicação de uma matriz por um escalar
Sejam duas matrizes A e B que pertencem ao conjunto das matrizes   , ou seja, possuem o mesmo
tamanho; e o escalar α. Ao multiplicar a matriz A pelo escalar α obtém-se a matriz B, cujos os elementos são o
elementos da matriz A multiplicados pelo escalar α, isto é,   , ∀ i = 1, ..., m; j = 1, ...,
n.
Exemplo 3: Dada a matriz   , calcule -2D.
Produto (ou multiplicação) entre matrizes
Mmxn ∈ R
A = B ⇔ aij = bij
A = [ ]
2x 3y
z + w 6
B =  [ ]
4 −9
1 2z
2x = 4 ⇔ x = 2
3y = −9 ⇔ y = −3
6 = 2z ⇔ z = 3
z + w = 1 ⇔ 3 + w = 1 ⇔ w = −2
Mmxn ∈ R
C = A + B ⇔ cij = aij + bij
A =
⎡⎢⎣ 3
−1
7
⎤⎥⎦B =
⎡⎢⎣ 2
7
−3
⎤⎥⎦C = A + B = + = =
⎡⎢⎣ 3
−1
7
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 2
7
−3
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 3 + 2
−1 + 7
7 + (−3)
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣564⎤⎥⎦ Mmxn ∈ R
B = α ⋅ A ⇔ bij = α ⋅ aij
D = [ ]5 −3 10 1
−2D = −2 ⋅ [ ] = [ ] = [ ]5 −3 10 1 −2 ⋅ 5 −2 ⋅ (−3) −2 ⋅ 10 −2 ⋅ 1 −10 6 −20 −2
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Dadas as matrizes   ,    e    temos que o produto da matriz A pela
matriz B resulta na matriz C de modo que  
.
É importante veri�car que nem sempre é possível realizar a multiplicação entre duas matrizes, já que nem
sempre a condição relacionada ao tamanho dessas matrizes é satisfeita. Logo, o primeiro passo é veri�car se a
multiplicação pode ou não ocorrer, o que pode ser feito por meio de um procedimento simples (Figura 1).
Basta veri�car se o número de colunas da primeira matriz é o mesmo que o número de linhas da segunda
matriz. Se estes forem iguais, a multiplicação existe, e a matriz resultante possui o mesmo número de linhas
da primeira matriz e de colunas da segunda matriz. Caso contrário, a multiplicação não pode ser realizada.
Figura 1 | Veri�cação se existe a multiplicação entre duas matrizes
Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo 4: Sejam as matrizes   e   . Calcule, se possível:
a. 
b. 
Vamos resolver cada item.
a. Primeiramente, vamos veri�car se a multiplicação pode ocorrer.
Temos   , em que o número de colunas da matriz A é igual ao número
de linhas da matriz B.
Então a multiplicação pode ser realizada e a matriz resultante será  .
b. Primeiramente, vamos veri�car se a multiplicação pode ocorrer. Temos   , em que o número
de colunas da matriz B não é igual ao número de linhas da matriz A. Com isso, essa multiplicação não
pode ser realizada.
Desse modo, você aprendeu a realizar operações que envolvem as matrizes. 
CÁLCULO DO DETERMINANTE
Agora que você aprendeu o que são as matrizes, vamos estudar os determinantes. Veja a de�nição a seguir.
A ∈ Mmxn(R) B ∈ Mnxp(R) C ∈ Mpxq(R)
C = A ⋅ B ⇔ cik = ai1 ⋅ b1k + ai2 ⋅ b2k + ... + ain ⋅ bnk = ∑n
j=1 aij ⋅ bjk
A = [ ]1 2 0
0 3 4
B =
⎡⎢⎣567⎤⎥⎦A ⋅ B
B ⋅ A
A2x3 ⋅ B3x1  = [ ]  ⋅  1 2 0
0 3 4
⎡⎢⎣567⎤⎥⎦ C2x1
C = [ ] = [ ] = [ ]
c11
c21
1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6 + 0 ⋅ 7
0 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 7
17
46
B3x1 ⋅ A2x3
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Determinante
O determinante é uma função que transforma uma matriz quadrada em um número real. Desse modo, para
uma matriz A, indicamos seu determinante como det(A). Observe que apenas matrizes quadradas possuem
determinantes.
Cálculo do determinante de uma matriz de ordem n = 1
Se uma matriz M é de ordem n = 1, então o determinante de M é o único elemento de M.
Exemplo 1: Seja a matriz   . Então,   .
Cálculo do determinante de uma matriz de ordem n = 2
Se uma matriz M é de ordem n = 2, então o determinante de M é a subtração entre o produto dos elementos
de sua diagonal principal e o produto dos elementos de sua diagonal secundária.
Exemplo 2: Seja a matriz   . Então,   .
Determinante de uma matriz de ordem n = 3 (Regra de Sarrus)
Se uma matriz M é de ordem n = 3, cujos elementos são de�nidos como   , para calcular o determinante de
M realizamos um procedimento prático da seguinte forma.
i. Repete, ao lado direito da matriz, suas duas primeiras colunas.
ii. Realiza-se o produto dos elementos da diagonal principal e das demais que seguem sua direção,
somando os resultados (Figura 2).
iii. Realiza-se o produto dos elementos da diagonal secundária e das demais que seguem sua direção,
subtraindo os resultados (Figura 2).
iv. Ao �nal, obtemos o resultado do determinante da matriz.
Figura 2 | Procedimento para determinar o determinante de uma matriz de ordem 3
A = [−2] det(A) = −2
B = [ ]
5 −1
4 3
det(B) = 5 ⋅ 3 − (−1 ⋅ 4) = 15 − (−4) = 19
aij
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Fonte: IEZZI; HAZZAN (2004).
Exemplo 3: Calcule o determinante da matriz   .
Você pode perceber que o procedimento para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 2 e de
ordem 3 é parecido. Com isto, podemos generalizar o procedimento do cálculo do determinante para
qualquer matriz quadrada de ordem 2 ou superior por meio  do Teorema de Laplace. Para isso, é preciso
entender algumas de�nições que serão usadas pelo teorema. Veja a seguir.
Menor complementar
Seja uma matriz M de ordem   . O menor complementar do elemento   , indicado por   , é o
determinante da matriz que se obtém quando retiramos a linha i e a coluna j de M.
Exemplo 4: Seja   . Calcule   .
Para calcular    retiramos a linha 2 e a coluna 3 da matriz M.
Assim,  
É possível calcular o menor complementar de qualquer elemento de uma matriz quadrada.
E =
⎡⎢⎣1 4 3
2 −1 −3
0 5 −2
⎤⎥⎦det E = =
= [1 ⋅ (−1) ⋅ (−2)] + [4 ⋅ (−3) ⋅ 0] + [3 ⋅ 2 ⋅ 5] − [4 ⋅ 2 ⋅ (−2)] − [1 ⋅ (−3) ⋅ 5] − [3 ⋅ (−1) ⋅ 0] =
= 2 + 0 + 30 + 16 + 15 + 0 =
= 63
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ∣1 4 3
2 −1 −3
0 5 −2∣120 4
−1
5
n ≥ 2 aij Dij
M =
⎡⎢⎣ 2 3 4
5 2 1
−3 7 1
⎤⎥⎦ D23
D23
D23 = = 2 ⋅ 7 − 3 ⋅ (−3) = 14 + 9 = 23∣ 2 3
−3 7∣11/10/2024, 14:29 wlldd_232_u1_met_mat
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Cofator
Seja uma matriz M de ordem   . O cofator do elemento   , indicado por   , é tal que 
 .
Exemplo 5: Para a mesma matriz    do Exemplo 4, calcule   .
É possível calcular o cofator de qualquer elemento de uma matriz quadrada.
Desse modo, podemos de�nir o Teorema de Laplace para o cálculo de determinante de qualquer matriz
quadrada de ordem   .
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz M de ordem    é a soma dos produtos dos elementos de uma �la
qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Exemplo 6: Calcule o determinante da matriz    através do Teorema de Laplace.
Escolhendo a coluna 2 temos  .
Observe que, os cofatores que são multiplicados por 0 não precisam ser calculados, pois o resultado da
multiplicação será 0. Com isso, precisamos calcular, apenas, o cofator   .
Portanto,  
Ao fazer a escolha da �la (linha ou coluna) da matriz para aplicar o Teorema de Laplace, é vantajoso escolher a
�la que for composta por mais zeros.
Na maioria das vezes, quando se estudam matrizes, dá-se maior importância para o cálculo de determinantes,
pois é a partir deste que se adquire conhecimento para a resolução de sistemas lineares, um tópico também
muito aplicado na matemática e engenharia.
VIDEO RESUMO
Neste vídeo, você verá o resumo dos conceitos abordados sobre as matrizes, envolvendo a identi�cação das
matrizes especiais e suas operações; e sobre o cálculo do determinante de uma matriz quadrada, além de
alguns exemplos para ajudar a �xação do conteúdo.
 Saiba mais
n ≥ 2 aij Aij
Aij = (−1)i+j ⋅ Dij
M =
⎡⎢⎣ 2 3 4
5 2 1
−3 7 1
⎤⎥⎦ A23
A23 = (−1)2+3 ⋅ D23 = (−1)5 ⋅ 23 = −1 ⋅ 23 = −23
n ≥ 2
n ≥ 2
V =
⎡⎢⎣ 5 0 2
3 −3 1
−2 0 8
⎤⎥⎦det(V ) = 0 ⋅ A12 + (−3) ⋅ A22 + 0 ⋅ A32
A22
A22 = (−1)2+2 ⋅ =
= (−1)4 ⋅ [5 ⋅ 8 − 2 ⋅ (−2)] =
= 1 ⋅ 44 = 44 ∣5 2
−2 8∣det(V ) = 0 ⋅ A12 + (−3) ⋅ A22 + 0 ⋅ A32 = 0 + (−3) ⋅ 44 + 0 = −132
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Para saber mais sobre as matrizes e os determinantes, você pode acessar os links: Toda Matéria e
Matemática Básica. Nestas páginas, você encontrará exemplos dos conceitos abordados nesta aula.
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, você aprenderá sobre os sistemas de equações lineares, uma maneira de representar um
conjunto de dados que também pode ser expresso na forma de uma matriz. Você aprenderá a identi�car
quando um sistema de equações lineares é classi�cado como homogêneo ou não-homogêneo e a aplicar a
fatoração LU nestes sistemas.
Ao �nal desta aula, espera-se que você seja capaz de identi�car e realizar operações envolvendo os sistemas
de equações lineares, e saiba utilizar tais conceitos em aplicações relacionadas à sua pro�ssão. Estes
conceitos serão amplamente utilizados na disciplina de Métodos Matemáticos e em outras disciplinas ao
longo do curso.
Bons estudos!
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Uma equação linear é toda equação do tipo   , na qual    são as
incógnitas;    são chamados de coe�cientes; e   é chamado de termo independente
da equação.
Exemplo 1: São exemplos de equações lineares:
a. 
b. 
Podemos diferenciar as incógnitas de uma equação linear por meio da variação de seu índice ou pela
mudança do nome.
Exemplo 2: Não são exemplos de equações lineares:
a. Item 1
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b x1,x2,...,xn
a11, a12,...,a1n ∈ R b ∈ R
3x1 + 2x2 − 15x3 = −1
−2x + 7y = 0
Aula 2
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Os sistemas de equações lineares são uma maneira de representar um conjunto de dados que também
pode ser expresso na forma de uma matriz.
21 minutos
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https://www.todamateria.com.br/matrizes-e-determinantes/
https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/
Neste exemplo, as equações são ditas não-lineares pois existe a multiplicação entre as incógnitas da equação.
(Lembrete: ).
A solução de uma equação linear é uma sequência de n números reais  que satisfaz a equação linear.
Exemplo 3:
a. Para a equação temos que uma solução é (-1, 1, 0), pois .
b. Para a equação temos que uma solução é (7, 2), pois .
Observe que, em alguns casos, uma equação linear pode ter mais que uma solução possível.
Desse modo, podemos de�nir o que é um sistema de equações lineares. Veja a seguir.
Sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares (ou apenas sistema linear) é um conjunto com m equações lineares, cada
uma delas com n incógnitas.
Exemplo 4: são exemplos de sistemas lineares:
a. 
b. 
Quando todos os termos independentes são iguais a zero, ou seja,   , tem-se um sistema
linear homogêneo.
Exemplo 5:    é um sistema linear homogêneo.
Da mesma maneira que temos a solução da equação linear, tem-se a solução de um sistema linear. Para o
sistema, a solução é uma sequência de n números reais    que deve satisfazer todas as
equações do sistema simultaneamente.
Exemplo 6: para o sistema linear    temos como única solução S = {(6, 4)}, pois    e 
 .
Exemplo 7: Para o sistema linear    temos como algumas soluções possíveis S= {(1, 0, 1); (0, 1,
1);(9, -8, 1); ...}.
Observe que este sistema linear possui in�nitas soluções. As soluções apresentadas são apenas algumas que
satisfazem todas as suas equações.
,
,
⎧⎪⎨⎪⎩ a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
⋮
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
{x1 − 3x2 = 20
−2x1 + x2 = 4
⎧⎪⎨⎪⎩x + 2y − 3z = 9
−x − 3y + 2z = 0
5x + y − z = −3
b1, b2,...,bn = 0
{x + y + z = 0
2x − y − z = 0
(α1,α2,...,αn)
{x + y = 10
3x − 4y = 2
6 + 4 = 10
3 ⋅ 6 − 4 ⋅ 4 = 2
{x + y − z = 0
4y + 2z = 6
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Exemplo 8: Para o sistema linear    não existe um conjunto solução que satisfaça todas as
equações simultaneamente, pois a soma de dois números reais é única, não podendo resultar em valores
distintos. Neste caso, indicamos por S = ∅ ou S = { }.
Nos exemplos anteriores, você pode observar que um sistema de equações lineares pode resultar em três
tipos de solução distintas: solução única, in�nitas soluções e solução vazia (ou seja, nesse caso, não existe
solução). Desse modo, podemos classi�car um sistema linear de acordo com sua solução.
Classi�cação de um sistema linear
I. Sistema possível e determinado: é aquele que possui uma única solução.
II. Sistema possível e indeterminado: é aquele que possui in�nitas soluções.
III. Sistema impossível: é aquele que não possui solução.
Desse modo, você pode identi�car um sistema linear de acordo com sua solução.
SOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE UM SISTEMA LINEARES
Como você viu, um sistema de equações lineares pode ter três tipos distintos de solução, sendo classi�cado
de acordo com ela como um sistema possível e determinado, um sistema possível e indeterminado ou um
sistema impossível. Durante nossos estudos, você vai aprender a interpretação geométrica de um sistema
linear e como identi�car sua solução por meio dos grá�cos das equações que compõem o sistema. Veja a
seguir.
Exemplo 1: seja o sistema linear   . A seguir, a Figura 1 apresenta a solução grá�ca para o
sistema linear, em que a primeira equação se encontra na cor verde; e a segunda equação encontra-se na cor
azul.
Figura 1 | Resolução geométrica do sistema linear do Exemplo 1
{
x + y = 3
x + y = 4
{
x + 2y = 3
−2x + y = −1
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Fonte: elaborada pela autora.
Observe que o ponto S = (1, 1), em vermelho, indica a intersecção das duas retas que compõem o sistema. A
intersecção das retas de um sistema linear é a solução desse sistema.
Desse modo temos que:  e   .
Portanto, esse sistema é um sistema possível e determinado cuja solução é S = {(1, 1)}.
Exemplo 2: seja o sistema linear   . A seguir, a Figura 2 apresenta a solução grá�ca para o
sistema linear, em que a primeira equação se encontra no lado esquerdo da �gura; e a segunda equação
encontra-se no lado direito da �gura.
Figura 2 | Resolução geométrica do sistema linear do Exemplo 2
x + 2y = 3 ⇔ 1 + 2 ⋅ 1 = 3 −2x + y = −1 ⇔ −2 ⋅ 1 + 1 = −1
{
x + y = 2
2x + 2y = 4
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Fonte: elaborada pela autora.
Observe na Figura 2 que, ao traçarmos as retas que compõem o sistema linear, elas �cam dispostas uma em
cima da outra. Desse modo, vemos que todos os pontos pertencentes a ambas as retas são soluções do
sistema.
Portanto, esse é um sistema possível e indeterminado cujas soluções são in�nitas.
Exemplo 3: seja o sistema linear   . A seguir, a Figura 3 apresenta a solução grá�ca para o
sistema linear, em que a primeira equação é representada pela reta mais à esquerda na �gura; e a segunda
equação é representada pela reta mais à direita na �gura.
Figura 3 | Resolução geométrica do sistema linear do Exemplo 3
{
−7x + 2y = 1
−21x + 6y = −2
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Fonte: elaborada pela autora.
Observe na Figura 3 que, ao traçarmos as retas que compõem o sistema linear, não há intersecção entre elas.
Assim, o sistema linear não possui solução. Portanto, este é um sistema impossível cuja solução é S = ∅.
Desse modo, você aprendeu que pode encontrar a solução de um sistema de equações lineares a partir de
sua resolução geométrica. Porém, imagine que o sistema que você precisa resolver possua um número
grande de incógnitas. Neste caso, sua resolução grá�ca se torna inviável.
Mais adiante, você vai aprender a encontrar a solução de um sistema de equações lineares sem a necessidade
de utilizar a ferramenta geométrica, por meio de um método prático de resolução algébrica. 
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ATRAVÉS DA DECOMPOSIÇÃO LU
Vamos aprender a encontrar a solução de um sistema a partir de um método prático chamado de
decomposição LU. Antes disso, vamos conhecer o conceito de matriz triangular.
Matriz triangular superior
Uma matriz triangular superior é uma matriz quadrada na qual os elementos abaixo da diagonal principal são
todos nulos.
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Matriz triangular inferior
Uma matriz triangular inferior é uma matriz quadrada na qual os elementos acima da diagonal principal são
todos nulos.
Exemplo 1:
a.  é uma matriz triangular superior.
b.  é uma matriz triangular inferior.
A partir da de�nição do produto entre matrizes, podemos reescrever um sistema linear na forma matricial.
Temos então a equação Ax = b, em que A é a matriz dos coe�cientes, x é o vetor das variáveis do sistema e b é
o vetor dos termos independentes.
Exemplo 2: O sistema    pode ser representado matricialmente por 
 .
Decomposição LU
Para que o método da decomposição LU possa ser aplicado, a matriz A de ordem n deve ter o determinante
de todas as suas matrizes principais de menor ordem diferentes de zero; ou seja, as matrizes   , 
 , ..., até a matriz de ordem n-1.
O método de decomposição LU pode ser dividido em dois passos:
I. Passo de decomposição: a matriz A é fatorada em duas matrizes triangulares: uma matriz triangular
inferior L com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1; e uma matriz triangular superior U, de
modo que, realizando a multiplicação entre as matrizes   , obtemos a matriz A.
II. Resolução do sistema: as matrizes Le U são usadas para determinar a solução do sistema por meio do
processo Ax = b.
Vamos aplicar o passo a passo da decomposição LU no próximo exemplo.
Exemplo 3: seja o sistema   , que pode ser representado matricialmente por 
  , de forma que    ,    e    .
B =
⎡⎢⎣4 7 −1
0 −6 3
0 0 1
⎤⎥⎦C =  
⎡⎢⎣−1 0 0
−5 4 0
8 −3 3
⎤⎥⎦ ⇔ ⋅ = ⇔ Ax = b
⎧⎪⎨⎪⎩ a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
⋮
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
⎡⎢⎣a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
⋮
am1 am2 ... amn
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣x1
x2
⋮
xn
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ b1
b2
⋮
bm
⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩x + y + z = 2
x − y − z = −3
3x + 2y + 3z = 3
⋅ =
⎡⎢⎣1 1 1
1 −1 −1
3 2 3
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣x
y
z
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 2
−3
3
⎤⎥⎦ A1 = [a11]
A2 = [ ]
a11 a12
a21 a22
L ⋅ U
⎧⎪⎨⎪⎩3x + 2y + 4z = 1
x + y + 2z = 2
4x + 3y − 2z = 3
⋅ =
⎡⎢⎣3 2 4
1 1 2
4 3 −2
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣x
y
z
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣123⎤⎥⎦ A =
⎡⎢⎣3 2 4
1 1 2
4 3 −2
⎤⎥⎦ x =
⎡⎢⎣x
y
z
⎤⎥⎦ b =
⎡⎢⎣123⎤⎥⎦11/10/2024, 14:29 wlldd_232_u1_met_mat
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Primeiro, precisamos veri�car se os determinantes de todas as matrizes principais de menor ordem de A são
diferentes de zero:
Com isso o método da decomposição LU pode ser aplicado.
Vamos agora decompor a matriz A em duas matrizes: uma triangular inferior L e uma triangular superior U.
Vamos obter a matriz   .
Os elementos da matriz L são os múltiplos do primeiro elemento da linha de A a ser zerado, dividido pelo pivô
acima na mesma coluna. Assim:
Para zerar o primeiro elemento da segunda linha de A, calculamos    e fazemosa substituição
na matriz   , obtendo   .
Para zerar o primeiro elemento da terceira linha de A, calculamos    e fazemos a substituição
na matriz   , obtendo   .
Para zerar o segundo elemento da terceira linha de A, calculamos    e fazemos a
substituição na matriz   , obtendo   .
Após esse processo, a matriz triangular superior obtida é a nossa matriz U. Desse modo temos 
  e   .
Uma veri�cação possível da validade das matrizes L e U é realizar a operação 
 .
Agora que decompomos a matriz A nas matrizes L e U, podemos usá-las para obter a solução do sistema
linear  .
Usaremos o vetor de incógnitas auxiliar y, de modo que, de�nindo Ux=y, temos que Ly=b, ou seja, 
 .
det(A1) = |3| = 3 ≠ 0
det(A2) = = 3 − (2) = 1 ≠ 0∣3 2
1 1∣ L =
⎡⎢⎣ 1 0 0
l21 1 0
l31 l32 1
⎤⎥⎦ l21 =
a21
a11
= 1
3
A2 = A2 − l21 ⋅ A1 A =
⎡⎢⎣3 2 4
0 1
3
2
3
4 3 −2
⎤⎥⎦ l31 =
a31
a11
= 4
3
A3 = A3 − l31 ⋅ A1 A =
⎡⎢⎣3 2 4
0 1
3
2
3
0 1
3
−22
3
⎤⎥⎦ l32 =
a32
a22
=
1
3
1
3
= 1
A3 = A3 − l32 ⋅ A2 A =
⎡⎢⎣3 2 4
0 1
3
2
3
0 0 −8
⎤⎥⎦L =
⎡⎢⎣1 0 0
1
3 1 0
4
3 1 1
⎤⎥⎦ U =
⎡⎢⎣3 2 4
0 1
3
2
3
0 0 −8
⎤⎥⎦L ⋅ U = A ⇔ ⋅ =
⎡⎢⎣1 0 0
1
3 1 0
4
3 1 1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣3 2 4
0 1
3
2
3
0 0 −8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣3 2 4
1 1 2
4 3 −2
⎤⎥⎦Ax = b ⇔ LU ⋅ x = b ⇔ ⋅ ⋅ =
⎡⎢⎣ 1 0 0
1
3 1 0
4
3 1 1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣3 2 4
0 1
3
2
3
0 0 −8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣x
y
z
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣123⎤⎥⎦Ly = b ⇔ ⋅ = ⇔
⎡⎢⎣1 0 0
1
3 1 0
4
3 1 1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣y1
y2
y3
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣123⎤⎥⎦ y1 = 1
y2 = 5
3
y3 = 0
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De volta à relação Ux=y, temos   .
Portanto, a solução do sistema linear é S = {(-3, 5, 0)}.
Desse modo, você pode obter a solução de um sistema linear com n incógnitas e sem a necessidade do apelo
geométrico. 
VÍDEO RESUMO
Neste vídeo, você verá o resumo dos conceitos abordados na aula sobre os sistemas de equações lineares,
como a identi�cação de um sistema linear e dos sistemas homogêneos e não-homogêneos, e a resolução de
tais sistemas, utilizando a fatoração LU, além de alguns exemplos para ajudar a �xação do conteúdo.
 Saiba mais
Para saber mais sobre os sistemas de equações lineares e a decomposição LU, você pode acessar o livro
Geometria Analítica e Álgebra Vetorial, páginas de 39 a 52, e o site Enigmus Academy. Nessas fontes, você
encontrará exemplos dos conceitos abordados nesta aula. 
Ux = y ⇔ ⋅ = ⇔
⎡⎢⎣3 2 4
0 1
3
2
3
0 0 −8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣x
y
z
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 1530⎤⎥⎦ x = −3
y = 5
z = 0
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, você aprenderá sobre os espaços vetoriais, uma coleção de vetores com operações de�nidas.
Também aprenderá sobre a base e a dimensão de um espaço e um subespaço vetorial. Além disso, estudará
as transformações lineares, um tipo particular de função entre os espaços vetoriais.
Ao �nal deste estudo, espera-se que você seja capaz de identi�car os espaços e os subespaços vetoriais, assim
como suas respectivas bases e dimensões; além de identi�car e realizar transformações lineares entre eles.
Também que saiba utilizar tais conceitos em aplicações relacionadas à sua pro�ssão.
Bons estudos!
Aula 3
ESPAÇOS VETORIAIS
Os espaços vetoriais são uma coleção de vetores com operações. Já as transformações lineares, um tipo
particular de função entre os espaços vetoriais.
19 minutos
11/10/2024, 14:29 wlldd_232_u1_met_mat
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https://biblioteca-virtual-cms-serverless-prd.s3.us-east-1.amazonaws.com/ebook/867-geometria-analitica-e-algebra-vetorial.pdf
https://enigmusacademy7.wordpress.com/2021/08/01/decomposicao-lu-e-ldu/
ESPAÇO VETORIAL
Um conjunto    (ou seja, não é vazio) é um espaço vetorial do conjunto dos números reais (  ) se para
todo vetor u e v do conjunto V (  ), estes atendem às seguintes propriedades para a adição e a
multiplicação:
i. Para   em V:
A1.   ,    (para todos os vetores do conjunto V, vale a propriedade
associativa em relação à adição; ou seja, a forma com que os vetores são associados para realizar a adição
não altera o resultado).
A2.   ,    (para todos os vetores do conjunto V, vale a propriedade comutativa em
relação à adição; ou seja, a ordem em que é realizada a adição não altera o resultado).
A3.   ,    (existe um vetor nulo tal que, para todo vetor do conjunto V, a
soma entre eles resulta no próprio vetor).
A4.    (para todo vetor do conjunto V, existe um vetor
oposto cuja soma entre eles resulta no vetor nulo).
ii. Para   em V, com   :
M1.    e   ,    (para todos os números reais e para todo vetor do conjunto V,
vale a propriedade associativa em relação à multiplicação; ou seja, a ordem em que é realizada a multiplicação
não altera o resultado).
M2.    e   ,    (para todos os números reais e para todo vetor do
conjunto V, vale a propriedade distributiva em relação à adição de números reais; ou seja, realizar a adição
dos números reais e depois multiplicar pelo vetor ou multiplicar o vetor por cada número real e depois
realizar a adição não altera o resultado).
M3.    e   ,    (para todo número real e para todos os vetores do
conjunto V, vale a propriedade distributiva em relação à adição de vetores; ou seja, realizar a adição dos
vetores e depois multiplicar pelo número real ou multiplicar o número real por cada vetor e depois realizar a
adição não altera o resultado).
M4.   ,    (existe um número real tal que, para todo vetor do conjunto V, a
multiplicação entre eles resulta no próprio vetor).
Notação de um espaço vetorial:  
Exemplo 1: vamos provar que o conjunto    é um espaço vetorial. Para isso, sejam 
  e   . Vamos provar que os vetores satisfazem todas
as propriedades da adição e da multiplicação.
A1.  
A2.  
V ≠ ∅ R
∀u, v ∈ V
(u, v) → u + v
∀u, v,w ∈ V u + (v + w) = (u + v) + w
∀u, v ∈ V u + v = v + u
∃0 ∈ V /∀u ∈ V u + 0 = 0 + u = u
∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V /u + (−u) = (−u) + u = 0
(α, v) → α ⋅ v α ∈ R
∀α,β ∈ R u ∈ V α(βu) = (αβ)u
∀α,β ∈ R u ∈ V (α + β)u = αu + βu
∀α ∈ R u, v ∈ V α(u + v) = αu + αv
∃1 ∈ R/∀u ∈ V 1(u) = u
⟨V , +, ⋅⟩
R2
u = (x1, y1), v = (x2, y2),w = (x3, y3) ∈ R2 α,β ∈ R
u + (v + w) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] =
= (x1 + [x2 + x3], y1 + [y2 + y3]) =
([x1 + x2] + x3, [y1 + y2] + y3) = (u + v) + w
u + v = (x1, y1) + (x2, y2) =
= (x1 + x2, y1 + y2) =
= (x2 + x1, y2 + y1) = v + u
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A3. Seja  
A4. Seja  
M1.  
M2.  
M3.  
M4.  
Assim, �ca provado que o   é um espaço vetorial, ou seja,   .
Exemplo 2: seja conjunto   , com   ,    e as operações de�nidas por 
  e   .
A não é um espaço vetorial, pois a propriedade M4 não é satisfeita. Veja a seguir.
Seja   ;   .
Observe que, se o vetor u for o vetor nulo, ou seja,   ,a propriedade M4 seria válida. Porém, todas as
propriedades devem ser válidas para qualquer vetor do conjunto, e não para apenas um deles.
Observe que, para um conjunto ser um espaço vetorial, todas as propriedades devem ser satisfeitas. Já para
um conjunto não ser um espaço vetorial, basta que uma propriedade não seja validada.
BASE E DIMENSÃO
Agora que você aprendeu a identi�car quando um conjunto é um espaço vetorial, vamos aprender a
encontrar uma base e uma dimensão para um espaço vetorial. Primeiro, vamos relembrar as de�nições sobre
vetores linearmente dependentes e vetores linearmente independentes.
Vetores linearmente dependente (LD)
Dizemos que os vetores    são linearmente dependentes se a expressão 
  é verdadeira somente se pelo menos um    for não nulo;
ou seja, a combinação linear que resulta no vetor nulo só acontece se um dos escalares não for zero.
o = (0,0)
u + o = (x1, y1) + (0,0) = (x1 + 0,y1 + 0) = (x1, y1) = u
o + u = (0,0) + (x1, y1) = (0 + x1,0 + y1) = (x1, y1) = u
−u = (−x1, −y1)
u + (−u) = (x1, y1) + (−x1, −y1) =
= (x1 + [−x1], y1 + [−y1]) =
= (0,0) = o
α(βu) = α[β(x1, y1)] =
= α(βx1,βy1) =
= (αβx1,αβy1)= (αβ)u
(α + β)u = (α + β)(x1, y1) =
= ([α + β]x1, [α + β]y1) =
= (αx1 + βx1,αy1 + βy1) =
= (αx1,αy1) + (βx1,βy1) = αu + βu
α(u + v) = α[(x1, y1) + (x2, y2)] =
= α(x1 + x2, y1 + y2) =
= (α [x1 + x2],α [y1 + y2]) =
= (αx1 + αx2,αy1 + αy2) =
= (αx1,αy1) + (αx2,αy2) = αu + αv
1(u) = 1 (x1, y1) = (1x1,1y1) = (x1, y1) = u
R2 ⟨R2, +, ⋅⟩
A ⊂ R (a, b) ∈ A α ∈ R
+ : (a, b) → a + b ⊙ : (α, a) → α ⊙ a = 0
u = (a, b) ∈ A 1 ⊙ u = 1 ⊙ (a, b) = (1 ⊙ a,1 ⊙ b) = (0,0) ≠ u
u = (0,0)
v1, v2,...,vn
−→−→−→
α1v1 + α2v2 + ... + αnvn =
→
O
−→−→−→
α1,α2,...,αn ∈ R
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Vetores linearmente independente (LI)
Dizemos que os vetores    são linearmente independentes se a expressão 
  é verdadeira somente se todos    forem nulos; ou seja, a
combinação linear que resulta no vetor nulo só acontece se todos os escalares forem zero.
Exemplo 1: veri�car a dependência linear dos vetores   ,    e   .
Vamos encontrar quais escalares fazem com que a combinação linear entre os vetores resulte no vetor nulo.
Ao resolver o sistema linear, conclui-se que este é um sistema possível e indeterminado. Com isso, uma
solução possível é   , mas não é a única.
Portanto   são LD.
Exemplo 2: veri�car a dependência linear dos vetores   ,    e   .
Vamos encontrar quais escalares fazem com que a combinação linear entre os vetores resulte no vetor nulo.
Ao resolver o sistema linear, conclui-se que este é um sistema possível e determinado, cuja única solução é 
 .
Portanto    são LI.
Base de um espaço vetorial
Seja    um espaço vetorial. Um subconjunto   é chamado de base do espaço vetorial se satisfaz
as condições:
i. B é um conjunto linearmente independente (LI).
ii.  , ou seja, B gera V.
Desse modo, dizer que um conjunto    gera o espaço V signi�ca que qualquer vetor 
  é escrito como uma combinação linear dos vetores de B; ou seja, existem escalares  
  tais que   .
Exemplo 3: veri�car se   , com    e   , é base do   .
Para um conjunto ser base de um espaço vetorial, ele deve satisfazer às duas condições.
v1, v2,...,vn
−→−→−→
α1v1 + α2v2 + ... + αnvn =
→
O
−→−→−→
α1,α2,...,αn ∈ R
→
u = (1,1, − 2) →
v = (2,0,3) →
w = (8,2,5)
α
→
u + β
→
v + γ
→
w =
→
O ⇔ α(1,1, − 2) + β(2,0,3) + γ(8,2,5) = (0,0,0) ⇔
⇔
⎧⎪⎨⎪⎩ α + 2β + 8γ = 0
α + 2γ = 0
−2α + 3β + 5γ = 0
α = β = δ = 0
{→u,→v,→w}
→
u = (1,1, − 2) →
v = (2,0,3)
→
t = (−1,2,3)
α
→
u + β
→
v + γ
→
t =
→
O ⇔ α(1,1, − 2) + β(2,0,3) + γ(−1,2,3) = (0,0,0) ⇔
⇔
⎧⎪⎨⎪⎩ α + 2β − γ = 0
α + 2γ = 0
−2α + 3β + 3γ = 0
α = β = δ = 0
{→u,→v,
→
t}
⟨V , +, ⋅⟩ B ⊂ V
V = [B]
B = {v1, v2,...,vn}−→−→−→
→
u ∈ V α1,α2,...,αn ∈ R
α1v1 + α2v2 + ... + αnvn =→
u
−→−→−→
B = {→u,→v} →
u = (1,0) →
v = (0,1) R2
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i. 
Portanto B é LI.
ii. Seja   .
  ; ou seja, o sistema é possível e determinado.
Então   .
Portanto B é base do   .
Processo prático para determinar uma base de um espaço vetorial
Podemos encontrar uma base para um espaço vetorial utilizando as operações elementares a seguir, de
modo a se obter vetores geradores na forma escalonada que, por de�nição, formam um conjunto LI.
A permuta de dois vetores.
A substituição de um vetor por uma combinação linear dele com outros do conjunto.
Exemplo 4: determinar uma base para o conjunto   .
Primeiro, reescrevemos o conjunto de vetores na forma de uma matriz, de modo que cada vetor represente
uma linha dela. Depois, realizamos as operações elementares de forma a se obter uma matriz escalonada.
Cada linha da matriz escalonada é um vetor que compõe a base do espaço vetorial.
Ao realizar o escalonamento, eliminam-se as linhas nulas da matriz. Desse modo temos:
Portanto,    é base de V.
Algumas observações importantes:
i. As operações elementares realizadas para escalonar a matriz não são únicas.
ii. Com isso, a base de um espaço vetorial não é única, ou seja, diferentes bases podem gerar o mesmo
espaço vetorial.
Dimensão de um espaço vetorial
Dado um espaço vetorial V, denominamos dimensão de V (dim(V)) o número de vetores de uma base desse
espaço.
Exemplo 5: retornando ao exemplo anterior, em que temos o espaço vetorial 
  e encontramos sua base   .
α
→
u + β
→
v =
→
O ⇔ α(1,0) + β(0,1) = (0,0) ⇔ {
α = 0
β = 0
→
w = (x, y) ∈ R2
→
w = γ
→
u + λ
→
v ⇔ (x, y) = γ(1,0) + λ(0,1) ⇔ {x = γ
y = λ
∃γ,λ ∈ R/→w = γ
→
u + λ
→
v
R2
V = {(2,1,1,0), (1,0,1,2), (0, − 1,1,4)} ⊂ R4
= [ ]
⎡⎢⎣200 1
1
0
1
−1
0
0
−4
0
⎤⎥⎦ 2
0
1
1
1
−1
0
−4
B = {(2,1,1,0), (0,1, − 1, − 4)}
V = {(2,1,1,0), (1,0,1,2), (0, − 1,1,4)} ⊂ R4 B = {(2,1,1,0), (0,1, − 1, − 4)}
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Assim, dim(V) = 2.
Desse modo, você pode aprender a encontrar uma base e a dimensão de um espaço vetorial. 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Avançando mais um pouco nos estudos sobre os espaços vetoriais, você vai aprender sobre as
transformações lineares. Uma transformação linear é um tipo particular de função, que opera entre os
espaços vetoriais. Veja a de�nição a seguir.
Transformação linear
Sejam dois espaços vetoriais reais V e U. Uma função T (ou aplicação) é denominada transformação linear de
U em V se são satisfeitas as seguintes condições.
i.  ,   ; ou seja, fazer a soma de dois vetores e depois aplicar a
transformação linear resulta no mesmo que primeiramente aplicar a transformação linear em cada um
dos vetores e depois somar os resultados.
ii.  ,   e   ; ou seja, multiplicar o vetor por um número real e depois
aplicar a transformação linear resultado no mesmo que primeiramente aplicar a transformação linear no
vetor e depois multiplicar seu resultado pelo número real.
Veja os exemplos a seguir.
Exemplo 1: veri�car se    (uma aplicação que transforma um vetor do    em um vetor do   )
tal que   ,    é uma transformação linear.
Vamos, primeiramente, entender que tipo de aplicação T realiza. Observe que T pega um vetor do    e o
transforma em um vetor do   ; porém, não em qualquer vetor, mas sim em um que segue a regra segundo
a qual sua primeira componente é o próprio x e sua segunda componente é obtida por meio da operação 2x –
z.
Para exempli�car, imagine que temos o vetor    e vamos aplicar T nele. Assim, 
 .
Vamos voltar ao exemplo e veri�car se T é uma transformação linear.
Para que T seja uma transformação linear, é preciso que as duas condições sejam satisfeitas.
Sejam    e   .
i. 
ii. 
Portanto, T é uma transformação linear.
Exemplo 2: veri�car se    tal que   ,   , é uma transformação linear.
T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2) ∀u1,u2 ∈ U
T (αu1) = αT (u1) ∀α ∈ R ∀u1 ∈ U
T : R3 → R2 R3 R2
T (x, y, z) = (x,2x − z) ∀(x, y, z) ∈ R3
R3
R2
(1,2,3) ∈ R3
T (1,2,3) = (1,2 ⋅ 1 − 3) = (1, − 1)
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 α ∈ R
T (u + v) = T (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) =
= (x1 + x2,2(x1 + x2) − (z1 + z2)) =
= (x1,2x1 − z1) + (x2,2x2 − z2) = T (u) + T (v)
T (αu) = T (αx1,αy1,αz1) =
= (αx1,2αx1 − αz1) =
= α(x1,2x1 − z1) = αT (u)
F : R → R F(x) = x2 ∀x ∈ R
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Vamos veri�car se F satisfaz as duas condições para ser uma transformação linear.
Sejam    e   .
i. 
Portanto, F não é uma transformação linear.
Observe que, para ser uma transformação linear, a função deve satisfazer às duas condições. Já para não ser
uma transformação linear, basta que a função não satisfaça uma das condições.
Além disso, quando temos uma transformação linear que leva um vetor de um conjunto e outro vetor desse
mesmo conjunto, esta transformação é chamada de operador linear.
Exemplo 3: veri�car se    tal que   ,    é uma
transformação linear.
Sejam    e   .
i. 
ii. 
Portanto, T é um operador linear, ou seja, uma transformação linear aplicada em um mesmo conjunto.
Uma transformação linear também pode ser utilizada envolvendo asmatrizes, já que estas podem ser uma
maneira de representar os vetores de um espaço vetorial.
Exemplo 4: veri�car se   (uma transformação que torna um vetor do    em uma matriz
quadrada de ordem dois) tal que   ,   , é uma transformação linear.
Sejam    e   .
i. 
ii. 
Portanto, P é uma transformação linear.
Durante nossos estudos, você vai aprender vários conceitos relacionados aos espaços vetoriais.
u = x1, v = x2 ∈ R α ∈ R
F(u + v) = F(x1 + x2) = (x1 + x2)
2 = x2
1 + 2x1x2 + x2
2 ≠ x2
1 + x2
2 = F(u) + F(v)
T : R3 → R3 T (x, y, z) = (x,2y,0) ∀(x, y, z) ∈ R3
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 α ∈ R
T (u + v) = T (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) =
= (x1 + x2,2(y1 + y2),0) =
= (x1,2y1,0) + (x2,2y2,0) = T (u) + T (v)
T (αu) = T (αx1,αy1,αz1) =
= (αx1,2αy1,0) =
= α(x1,2y1,0) = αT (u)
P : R2 → M2(R) R2
P(x, y) = [ ]2x x − y
−y x
∀(x, y) ∈ R2
u = (x1, y1), v = (x2, y2) ∈ R2 α ∈ R
P(u + v) = P(x1 + x2, y1 + y2) =
= [ ] =
= [ ] + [ ] = P(u) + P(v)
2(x1 + x2) (x1 + x2) − (y1 + y2)
−(y1 + y2) x1 + x2
2x1 x1 − y1
−y1 x1
2x2 x2 − y2
−y2 x2
P(αu) = P(αx1,αy1) =
= [ ] =
= α[ ] = αP(u)
2αx1 αx1 − αy1
−αy1 αx1
2x1 x1 − y1
−y1 x1
11/10/2024, 14:29 wlldd_232_u1_met_mat
https://www.avaeduc.com.br/mod/url/view.php?id=3340514 24/38
VIDEO RESUMO
Neste vídeo, você verá o resumo dos conceitos abordados na aula sobre os espaços vetoriais e subespaços
vetoriais: os conceitos e a identi�cação de sua base e sua dimensão, e a realização de uma transformação
linear, além de alguns exemplos para ajudar a �xação do conteúdo.
 Saiba mais
Para saber mais sobre os conceitos relativos aos espaços vetoriais vistos nesta aula, você pode acessar o
site Phylos.net e o livro Geometria Analítica e Álgebra Vetorial, (páginas de 183 a 188).
Bons estudos!
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, você aprenderá sobre os autovalores e autovetores associados a uma transformação linear, um
tipo de função entre os espaços vetoriais. Também aprenderá como realizar a ortogonalização e a
diagonalização de uma matriz.
Ao �nal desta aula, espera-se que você seja capaz de calcular os autovalores e autovetores associados a uma
transformação linear, assim como realizar a ortogonalização e a diagonalização de matrizes. Também que
saiba utilizar tais conceitos em aplicações relacionadas à sua pro�ssão.
Bons estudos! 
MATRIZ ORTOGONAL
Vamos continuar o estudo de conceitos relacionados à álgebra linear. Você aprenderá sobre a matriz
ortogonal. Primeiramente, vamos ver aprender sobre a matriz transposta e a matriz inversa, conceitos
relacionados às matrizes que serão utilizados durante a aula.
Aula 4
AUTOVALORES E AUTOVETORES
Os autovalores e autovetores associados a uma transformação linear, um tipo de função entre os
espaços vetoriais. Nesta aula, aprenderemos a calcular os autovalores e autovetores associados a uma
transformação linear, assim como realizar a ortogonalização e a diagonalização de matrizes.
20 minutos
11/10/2024, 14:29 wlldd_232_u1_met_mat
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https://phylos.net/2018-06-06/espacos-vetoriais
https://biblioteca-virtual-cms-serverless-prd.s3.us-east-1.amazonaws.com/ebook/166-geometria-analitica-e-algebra-vetorial.pdf
Matriz transposta
Chamamos de matriz transposta de   , com elementos de A na forma   , a matriz  
tal que   , ∀ i = 1, ..., m; j = 1, ..., n. Em outras palavras, a matriz transposta inverte as linhas com as
colunas da matriz; ou seja, os elementos que constituem as linhas se transformam em elementos da coluna, e
vice-versa.
Exemplo 1:
a. Para   , então   .
Observe que a primeira linha da matriz A se torna a primeira coluna da matriz transposta   , e assim por
diante para todas as linhas e colunas.
b. Para   , então   .
Neste exemplo, a matriz B é uma matriz linha. Já sua matriz transposta    é uma matriz coluna.
Matriz inversa
Uma matriz    é dita inversível, ou seja   , se   . Ou
seja, independentemente de qual seja a ordem da multiplicação entre a matriz quadrada A e sua inversa, esta
sempre resultará na matriz identidade de mesma ordem de A.
Vale ressaltar que a inversa de uma matriz é única.
Exemplo 2: para   , vamos encontrar   .
Seja   .
Portanto,   .
Observe que encontrar a matriz inversa da maneira que foi resolvido no Exemplo 2 se torna cada vez mais
trabalhoso à medida que o tamanho da matriz aumenta, já que ambas as multiplicações,    e  
 , devem resultar na matriz identidade.
Outra maneira de encontrar a matriz inversa é através do uso do seguinte teorema.
Teorema: uma matriz A é inversível se e somente se a matriz A é equivalente à matriz identidade, isto é, 
 .
A ∈ Mmxn ∈ R aij B = AT
bij = aji
A =
⎡⎢⎣ 1 2 4
5 3 −1
−3 0 −2
⎤⎥⎦ AT =
⎡⎢⎣1 5 −3
2 3 0
4 −1 −2
⎤⎥⎦ AT
B = [ ]0 1
2 BT = [ ]
0
1
2
BT
A ∈ Mn ∈ R ∃A−1 ∈ Mn(R) A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = In
C = [ ]2 1
5 3
C−1
C−1 = [ ]x y
z t
C ⋅ C−1 = I2 ⇔ [ ]. [ ] = [ ] ⇔ [ ] = [ ] ⇔
2 1
5 3
x y
z t
1 0
0 1
2x + z 2y + t
5x + 3z 5y + 3t
1 0
0 1
x = 3
y = −1
z = −5
t = 2
C−1 ⋅ C = I2 ⇔ [ ] ⋅ [ ] = [ ] ⇔ [ ] = [ ] ⇔
x y
z t
2 1
5 3
1 0
0 1
2x + z 2y + t
5x + 3z 5y + 3t
1 0
0 1
x = 3
y = −1
z = −5
t = 2
C−1 = [ ]3 −1
−5 2
C ⋅ C−1 C−1 ⋅ C
In ≈ A
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Desse modo, temos que a mesma sucessão de operações elementares que transformam a matriz 
  na matriz   , transformam a matriz   na matriz inversa   . (As operações
elementares citadas são as mesmas que você utilizou no processo prático para encontrar uma base para um
espaço vetorial.)
Retornando ao Exemplo 2, agora vamos encontrar a matriz inversa da matriz C através da aplicação do
teorema. Para isso, escrevemos a matriz que queremos inverter e a identidade lado a lado, de maneira a
aplicar as operações elementares em ambas as matrizes simultaneamente.
Portanto,  .
Agora que você aprendeu a encontrar a matriz transposta e a matriz inversa, podemos de�nir a matriz
ortogonal.
Matriz ortogonal
Uma matriz quadrada    é chamada de ortogonal se sua inversa é igual a sua transposta, ou
seja,   .
Exemplo 3: a matriz    é uma matriz ortogonal pois    e   , pois
Desse modo, você aprendeu a encontrar a matriz transposta e a matriz inversa de uma matriz e, com ambas
as de�nições, a conceituar uma matriz ortogonal.
AUTOVALOR E AUTOVETOR
Agora você vai aprender sobre autovalores e autovetores, conceitos que estão relacionados a uma
transformação linear para um espaço vetorial.
Podemos de�nir como    o conjunto de transformações lineares T entre dois
espaços vetoriais reais. Assim,     é o conjunto de operadores lineares sobre o espaço
vetorial U.
Autovalor e autovetor
A ∈ Mn ∈ R In In A−1 ∈ Mn(R)
C−1 = [ ]3 −1
−5 2
A ∈ Mn ∈ R
A−1 = AT
D = [ ]
1 0
0 −1
DT = [ ]
1 0
0 −1
D−1 = [ ]
1 0
0 −1
L(U ,V ) = {T : U → V }
L(U) = {T : U → U}
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Seja U um espaço vetorial real e   , ou seja, T é uma transformação do conjunto de operadores
lineares de U. Um vetor   , com    (u não é o vetor nulo), é um autovetor (ou vetor próprio) de T se 
 ; ou seja, existe um número real    de modo que, ao aplicar a transformação T no vetor
u, seu resultado é a multiplicação de    por u. Neste caso,    é chamado de autovalor (ou valor próprio).
Exemplo 1: seja    tal que   ,   . Calcule o(s) autovalor(es) e o(s)
autovetor(es) de T, se existirem.
Primeiramente, encontramos o(s) autovalor(es) de T.
Seja   .
Substituindo    em   :   . (Lembre-se de que,
quando temos    queremos encontrar quais números que, elevados ao quadrado, resultam em 1).
Portanto,    e    são autovalores de T.
Vamos, agora, encontrar os autovetores associados aos autovalores já encontrados.
Para   :  
Portanto, o conjunto de autovetores associado ao autovalor    é   .
Para   :  
Portanto, o conjunto de autovetores associado ao autovalor    é   .
Observe que, para cada autovalor, existeum conjunto de autovetores associado a ele.
Polinômio característico
Denominamos de polinômio característico da transformação linear T o polinômio dado por 
 , ou seja, o polinômio característico de T em relação ao autovalor    é dado pelo
determinante da matriz obtida por meio da transformação T subtraída do autovalor  multiplicado pela matriz
identidade I. A equação característica é dada por   .
Exemplo 2: seja    tal que   ,   . Calcule o(s) autovalor(es) e o(s)
autovetor(es) de T, se existirem. 
Primeiramente, encontramos o(s) autovalor(es) de T.
Seja   .
Substituindo    em   :   . (Não existe um
número real que, quando elevado ao quadrado, resulte em um número negativo).
T ∈ L(U)
u ∈ U u ≠ 0
∃λ ∈ R/T (u) = λu λ
λ λ
T : R2 → R2 T (x, y) = (y,x) ∀(x, y) ∈ R2
u = (x, y)
T(u) = λu ⇔ T(x, y) = λ(x, y)⇔ (y,x) = (λx,λy)⇔ {
y = λx
x = λy
i
ii
i ii x = λ(λx) ⇔ x = λ2x ⇔ λ2 = x
x
⇔ λ2 = 1 ⇔ λ = ±1
λ2 = 1
λ = −1 λ = 1
λ = −1
T(u) = λu ⇔ T(x, y) = −1(x, y) ⇔ (y,x) = (−x, −y) ⇔ { ⇔ y = −x
y = −x
x = −y
λ = −1 V (−1) = {(x, −x)/x ∈ R}
λ = 1 T(u) = λu ⇔ T(x, y) = 1(x, y) ⇔ (y,x) = (x, y) ⇔ { ⇔ y = x
y = x
x = y
λ = 1 V (−1) = {(x,x)/x ∈ R}
PT (λ) = det(T − λI) λ
PT (λ) = det(T − λI) = 0
T : R2 → R2 T (x, y) = (−y,x) ∀(x, y) ∈ R2
u = (x, y)
T(u) = λu ⇔ T(x, y) = λ(x, y)⇔ (−y,x) = (λx,λy)⇔ {
−y = λx
x = λy
i
ii
ii i −y = λ(λy) ⇔ −y = λ2y ⇔ λ2 = −y
y
⇔ λ2 = −1 ∉ R
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Portanto, não existe autovalor de T. Logo, também não existe autovetor.
Exemplo 3: seja    tal que   . Encontre o polinômio característico
de T em relação à base canônica, seus autovalores e seus subespaços próprios, ou seja, os conjuntos de
autovetores associados aos seus autovalores.
Através dos conhecimentos que você adquiriu durante os nossos estudos, a base canônica do    é dada por 
 . Desse modo, podemos escrever a transformação T em relação a base B:
O polinômio característico é dado por:
A equação característica é dada por   . Resolvendo a equação do segundo grau, temos que 
  e    são autovalores de T.
Agora vamos encontrar os autovetores.
Para   :  
Portanto, o conjunto de autovetores associado ao autovalor    é   .
Para   :  
Portanto, o conjunto de autovetores associado ao autovalor    é   .
Assim, você pode encontrar o(s) autovalor(es) e o(s) autovetor(es) associado(s) a uma transformação linear
para um espaço vetorial. 
DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES
A partir dos conhecimentos que você adquiriu sobre as matrizes, as transformações lineares com seus
autovalores e autovetores, vamos agora aprender sobre a diagonalização de uma matriz.
Matriz diagonalizável
Dizemos que uma matriz é diagonalizável se ela é diagonal com os elementos não nulos sendo seus
autovalores. Logo, uma matriz diagonalizável é a representação de uma transformação linear e seus
autovalores.
Os autovetores associados aos autovalores são elementos da base canônica do   .
Transformação linear diagonalizável
Dizemos que uma transformação linear é diagonalizável se e somente se existe uma base de autovetores para
o domínio da transformação linear.
T : R2 → R2 T (x, y) = (x + 2y, −x + 4y)
R2
B = {(1,0), (0,1)}
⇒ [T ]B = [ ]
T (1,0) = (1, − 1)
T (0,1) = (2,4)
1 2
−1 4
PT (λ) = det(T − λI) = = = (1 − λ) ⋅ (4 − λ) − (−2) = λ2 − 5λ∣[ ] −λ [ ]
1 2
−1 4
1 0
0 1 ∣ ∣1 − λ 2
−1 4 − λ∣λ2 − 5λ + 6 = 0
λ = 2 λ = 3
λ = 2 T(x, y) = λ(x, y) ⇔ (x + 2y, −x + 4y) = 2(x, y) ⇔ { ⇔ y = x
2
x + 2y = 2x
−x + 4y = 2y
λ = 2 V (2) = {(x, x
2 )/x ∈ R}
λ = 3 T(x, y) = λ(x, y) ⇔ (x + 2y, −x + 4y) = 3(x, y) ⇔ { ⇔ y = x
x + 2y = 3x
−x + 4y = 3y
λ = 3 V (3) = {(x,x)/x ∈ R}
Rn
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Exemplo 1: veri�car que a transformação linear    tal que    é
diagonalizável e exibir a matriz da transformação linear T em relação à base de autovetores; ou seja, a matriz
diagonalizável resultante de T.
A base canônica do    é   . Desse modo, podemos escrever a transformação T em
relação a base C.
O polinômio característico é dado por:
A equação característica é dada por   . Resolvendo a equação do segundo grau, temos que 
  e    são autovalores de T.
Vamos encontrar os autovetores associados aos autovalores.
Para   :  
O conjunto de autovetores associado ao autovalor    é  
Para   :  
O conjunto de autovetores associado ao autovalor    é  
Portanto, temos   , mas B é base do   ? (Lembre-se de que, para um conjunto ser base
de um espaço vetorial, ele deve satisfazer as duas condições.)
Sejam    e   .
i. 
ii. Seja  
Substituindo    em   :  
Substituindo    em   :  
Ou seja, o sistema é possível e determinado. Então   .
Portanto, B é base do   .
Com isso, T é uma transformação linear diagonalizável tal que   .
T : R2 → R2 T (x, y) = (x + 4y,2x + 3y)
R2 C = {(1,0), (0,1)}
⇒ [T ]C = [ ]
T (1,0) = (1,2)
T (0,1) = (4,3)
1 4
2 3
PT (λ) = det(T − λI) = [ ] − λ[ ] = = (1 − λ) ⋅ (4 − λ) − (−2) = λ2 − 4λ − 5∣ 1 4
2 3
1 0
0 1 ∣ ∣1 − λ 4
2 3 − λ∣λ2 − 4λ − 5 = 0
λ = −1 λ = 5
λ = −1
T(x, y) = λ(x, y) ⇔ (x + 4y,2x + 3y) = −1(x, y) ⇔ { ⇔ x = −2y
x + 4y = −x
2x + 3y = −y
λ = −1
V (−1) = {(−2y, y)/y ∈ R} = {y (−2,1)/y ∈ R} ⇒ {(−2,1)}
λ = 5 T(x, y) = λ(x, y) ⇔ (x + 4y,2x + 3y) = 5(x, y) ⇔ { ⇔ x = y
x + 4y = 5x
2x + 3y = 5y
λ = 5
V (5) = {(x,x)/x ∈ R} = {x (1,1)/x ∈ R} ⇒ {(1,1)}
B = {(−2,1), (1,1)} R2
u = (−2,1) v = (1,1)
αu + βv = 0 ⇔ α(−2,1) + β(1,1) = (0,0) ⇔ { ⇔
−2α + β = 0
α + β = 0
α = 0
β = 0
w = (x, y)
w = αu + βv ⇔ (x, y) = α(−2,1)+ β(1,1)⇔ {
−2α + β = x
α + β = y ⇔ β = y − α
i
ii
ii i −2α + y − α = x ⇔ α = −x+y
3
α ii β = y − ( −x+y
3 ) ⇔ β = x+2y
3
∃α,β ∈ R/w = αu + βv
R2
[T ]B = [ ]
−1 0
0 5
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(Observação: a ordem dos autovalores na matriz segue a mesma ordem dos autovetores resultantes dele que
estão na base B.)
Exemplo 2: veri�car que a transformação linear    tal que 
  não é diagonalizável.
A base canônica do    é   . Desse modo, podemos escrever a transformação
T em relação à base C.
O polinômio característico é dado por:
A equação característica é dada por   . Resolvendo a
equação do terceiro grau, temos que   , com multiplicidade 2, e   , com multiplicidade um, são
autovalores de T.
Vamos encontrar os autovetores associados aos autovalores.
Para   :  
O conjunto de autovetores associado ao autovalor    é  
Para   :  
O conjunto de autovetores associado ao autovalor    é  
Portanto, temos   , mas B é base do   ? (Lembre-se de que, para um conjunto ser
base de um espaço vetorial, ele deve satisfazer as duas condições.)
Sejam    e   .
i. 
ii. Seja 
T : R3 → R3
T (x, y, z) = (2x + y, y − z,2y + 4z)
R3 C = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
⇒ [T ]C =
T (1,0,0) = (2,0,0)
T (0,1,0) = (1,1,2)
T (0,0,1) = (0, − 1,4)
⎡⎢⎣2 1 0
0 1 −1
0 2 4
⎤⎥⎦PT λ = det T − λI = − λ = = −λ3 + 4λ2 − 16λ + 12
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ∣⎡⎢⎣2 1 0
0 1 −1
0 2 4
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦∣ ∣2 − λ 1 0
0 1 − λ −1
0 2 4 − λ∣−λ3 + 4λ2 − 16λ + 12 = 0 ⇔ (λ − 3)(λ − 2)2 = 0
λ = 2 λ = 3
λ = 2
T (x, y, z) = λ(x, y, z) ⇔ (2x + y, y − z,2y + 4z) = 2(x, y, z) ⇔
⇔ ⇒
⎧⎪⎨⎪⎩2x + y = 2x
y − z = 2y
2y + 4z = 2z
x = x
y = 0
z = 0
λ = 2
V (2) = {(x,0,0)/x ∈ R} = {x (1,0,0)/x ∈ R} ⇒ {(1,0,0)}
λ = 3
T (x, y, z) = λ(x, y, z) ⇔ (2x + y, y − z,2y + 4z) = 3(x, y, z) ⇔
⇔ ⇒
⎧⎪⎨⎪⎩2x + y = 3x
y − z = 3y
2y + 4z = 3z
x = y
z = −2y
λ = 3
V (3) = {(y, y, −2y)/y ∈ R} = {y (1,1, − 2)/y ∈ R} ⇒ {(1,1, − 2)}
B = {(1,0,0), (1,1, − 2)} R3
u = (1,0,0) v = (1,1, − 2)
αu + βv = 0 ⇔ α 1,0,0 + β 1,1, − 2 = 0,0,0 ⇔ ⇒
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎧⎪⎨⎪⎩α + β = 0
β = 0
−2β = 0
α = 0
β = 0
w = (x, y, z)
w = αu + βv ⇔ x, y, z = α 1,0,0 + β 1,1, − 2 ⇔
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎧⎪⎨⎪⎩x = α + β
y = β
z = −2β
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Ou seja, o sistema é possívele indeterminado.
Portanto B não é base do   .
Com isso, T não é uma transformação linear diagonalizável.
Assim, você pode aprender como calcular a matriz diagonalizável, que é resultante de uma transformação
linear. 
VIDEO RESUMO
Neste vídeo, você verá os conceitos abordados neste estudo, sobre a álgebra linear, como a ortogonalização
de matrizes, os autovalores e os autovetores e a diagonalização de matrizes, além de alguns exemplos para
ajudar a �xação do conteúdo. 
 Saiba mais
Para saber mais sobre os conceitos relativos à álgebra linear, você pode acessar os livros Álgebra Linear e
Vetorial (páginas de 192 a 206) e Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (páginas de 193 a 196). Nessas
páginas, você encontrará exemplos dos conceitos abordados até aqui. 
R3
ÁLGEBRA LINEAR
Olá, estudante! Você aprendeu sobre vários conceitos relacionados às matrizes, aos sistemas lineares e aos
espaços vetoriais. Vamos relembrar os principais.
Operações com matrizes
a. Igualdade: sejam    ,   .
b. Adição: sejam   ,   .
c. Multiplicação por um escalar: sejam  e   ,    .
d. Multiplicação: sejam  ,    e    , 
 .
A,B ∈ Mmxn ∈ R Q = { p
q  ;  p, q ∈ Z,  q ≠ 0}
A,B,C ∈ Mmxn ∈ R C = A + B ⇔ cij = aij + bij
A,B ∈ Mmxn ∈ R α ∈ R B = α ⋅ A ⇔ bij = α ⋅ aij
A ∈ Mmxn(R) B ∈ Mnxp(R) C ∈ Mpxq(R)
C = A ⋅ B ⇔ cik = ai1 ⋅ b1k + ai2 ⋅ b2k + ... + ain ⋅ bnk = ∑n
j=1 aij ⋅ bjk
Aula 5
REVISÃO DA UNIDADE
30 minutos
11/10/2024, 14:29 wlldd_232_u1_met_mat
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https://biblioteca-virtual-cms-serverless-prd.s3.us-east-1.amazonaws.com/ebook/555-algebra-linear-e-vetorial.pdf
https://biblioteca-virtual-cms-serverless-prd.s3.us-east-1.amazonaws.com/ebook/555-algebra-linear-e-vetorial.pdf
https://biblioteca-virtual-cms-serverless-prd.s3.us-east-1.amazonaws.com/ebook/166-geometria-analitica-e-algebra-vetorial.pdf
Determinantes
a. Matriz de ordem 1: o determinante é o único elemento de M.
b. Matriz de ordem 2: o determinante é a subtração entre o produto dos elementos de sua diagonal
principal e o produto dos elementos de sua diagonal secundária.
c. Matriz de ordem 3 (Regra de Sarrus):
i. Repete, ao lado direito da matriz, suas duas primeiras colunas.
ii. Realiza-se o produto dos elementos da diagonal principal e das demais que seguem sua direção,
somando os resultados.
iii. Realiza-se o produto dos elementos da diagonal secundária e das demais que seguem sua direção,
subtraindo os resultados.
iv. Ao �nal, obtemos o determinante.
d. Teorema de Laplace: se M de ordem  , o determinante é a soma dos produtos dos elementos de
uma �la qualquer pelos seus respectivos cofatores   , com   o determinante da
matriz que se obtém quando retiramos a linha i e a coluna j de M.
Sistemas de equações lineares
Classi�cação de acordo com sua solução
i. Sistema possível e determinado: possui uma única solução.
ii. Sistema possível e indeterminado: possui in�nitas soluções.
iii. Sistema impossível: não possui solução real.
Solução através da decomposição LU
i. A é fatorada em uma matriz triangular inferior L,com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1;
e uma matriz triangular superior U, onde   .
ii. Le U são usadas para determinar a solução do sistema através do processo Ax = b.
Para aplicar a decomposição LU, a matriz deve ter o determinante de todas as suas matrizes principais de
menor ordem diferentes de zero.
Espaço vetorial
Um conjunto  é um espaço vetorial do    se  , com   e   , 
:
A1.  ,  
A2.   , 
A3.   , 
A4. 
n ≥ 2
Aij = (−1)i+j ⋅ Dij Dij
L ⋅ U = A
V ≠ ∅ R ∀u, v ∈ V (u, v) → u + v (α, v) → α ⋅ v
α ∈ R
∀u, v,w ∈ V u + (v + w) = (u + v) + w
∀u, v ∈ V u + v = v + u
∃0 ∈ V /∀u ∈ V u + 0 = 0 + u = u
∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V /u + (−u) = (−u) + u = 0
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M1.    e   , 
M2.   e   , 
M3.    e   , 
M4.   , 
Base
Seja   .    é base de V:
i. B é LI
ii. 
Processo prático para determinar uma base
A permuta de dois vetores.
A substituição de um vetor por uma combinação linear dele com outros do conjunto.
Transformação linear
Sejam U e V espaços vetoriais reais. Uma função  é transformação linear se:
I.    ,  
II.  ,    e  
Autovalor e autovetor
Seja U um espaço vetorial real e   .  , com  , é um autovetor de T se  
.   é chamado de autovalor.
Diante disso, espera-se que você consiga aplicar tais conceitos em situações do dia a dia. 
REVISÃO DA UNIDADE
Neste vídeo, você verá o resumo dos conceitos abordados neste estudo , como as matrizes e os
determinantes; os sistemas de equações lineares, sua classi�cação de acordo com a solução e como encontrar
a solução de um sistema linear; os espaços vetoriais e as transformações lineares, assim como os demais
conceitos relacionados a eles.
ESTUDO DE CASO
Para contextualizar sua aprendizagem sobre o uso dos sistemas de equações lineares e as matrizes em
situações do dia a dia, veja a seguinte situação:
∀α,β ∈ R u ∈ V α(βu) = (αβ)u
∀α,β ∈ R u ∈ V (α + β)u = αu + βu
∀α ∈ R u, v ∈ V α(u + v) = αu + αv
∃1 ∈ R/∀u ∈ V 1(u) = u
⟨V , +, ⋅⟩ B ⊂ V
V = [B]
T : U → V
T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2) ∀u1,u2 ∈ U
T (αu1) = αT (u1) ∀α ∈ R ∀u1 ∈ U
T ∈ L(U) u ∈ U u ≠ 0
∃λ ∈ R/T (u) = λu λ
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Imagine que você trabalha em uma empresa do ramo da construção civil e que seja o responsável pelo setor
que contrata a mão de obra. Dentre as atribuições, você precisa designar os locais e por quanto tempo cada
funcionário vai atuar de acordo com as necessidades da empresa, de modo que o trabalho seja desenvolvido
dentro do prazo e sem prejuízos �nanceiros.
A empresa em que você trabalha possui, hoje, três obras em andamento que estão atrasadas com o
cronograma de andamento inicial, e que correm risco de serem entregues após o prazo combinado com os
clientes. Por isso, a empresa precisa contratar, com urgência, três tipos de trabalhadores para completar o
seu quadro de funcionários: um pedreiro, um eletricista e um hidráulico. Todas as três obras possuem um
prazo de 10 dias para serem �nalizadas e você, como responsável pela designação dos trabalhadores,
precisou contabilizar quantos dias cada um dos três novos contratados precisa permanecer em cada obra
para que todas sejam �nalizadas dentro do prazo. A distribuição do novo quadro de funcionários para as três
obras de acordo com a quantidade de dias foi realizada de acordo com a Quadro 1.
Quadro 1 | Designação dos funcionários por dia
Pedreiro Eletricista Hidráulicos
Obra 1 2 1 6
Obra 2 4 5 1
Obra 3 4 4 3
Fonte: elaborado pela autora.
Cada novo contratado recebe um salário diário de, aproximadamente, R$ 100,00. De acordo com as
negociações, foi estabelecido um critério para ajustar os salários dos contratados de modo que o total pago
por cada obra seja igual ao total recebido por cada um desses funcionários. Desse modo, a empresa consegue
cumprir os prazos estabelecidos com seus clientes, mesmo que sem atingir os patamares de lucros
estabelecidos, mas também sem prejuízo �nanceiro e contratual já que, em alguns casos, os atrasos podem
ocasionar multas para a empresa.
Desse modo, determine qual será o salário de cada um dos três novos contratados. 
 Re�ita
Este Estudo de caso é um exemplo prático de como os sistemas de equações lineares e,
consequentemente, as matrizes, podem auxiliar, tanto em situações do dia a dia, como em situações da
sua vida pro�ssional.
Observe que, a partir do quadro de distribuição dos trabalhadores de acordo com os dias e o critério de
pagamento estabelecido pela empresa, você pode escrever o problema na forma de um sistema de
equações e, consequentemente, na forma matricial. Assim, pode encontrar a solução: que será o salário
de cada um dos novos contratados.
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Lembre-se de queos sistemas de equações são muito utilizados nesses casos, nos quais as variáveis de
decisão em questão devem obedecer a critérios em comum. Lembre-se também de que reescrever o
sistema na forma matricial facilita tanto a sua resolução manual, como também é a maneira com que o
computador interpreta os dados.
Desse modo, veja como podemos calculas os salários dos novos contratados. 
RESOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO
Para resolver o problema vamos utilizar os conceitos sobre os sistemas de equações lineares.
Primeiro, precisamos escrever o problema na forma de um sistema. Desse modo, considere as variáveis de
decisão, que são os salários diários que cada novo contratado vai receber, como   o salário do pedreiro, 
 o salário do eletricista, e  o salário do hidráulico.
Para satisfazer a condição de equilíbrio, ou seja, que o total pago por cada obra seja igual ao total recebido
por cada um desses funcionários, temos o seguinte sistema de equações:
Essas são as equações de equilíbrio para o pedreiro, o eletricista e o hidráulico, respectivamente. Observe
que, para todas as equações, temos a igualdade como sendo 10 vezes o salário de um dos trabalhadores, já
que todos vão trabalhar 10 dias e seus salários devem ser iguais ao valor gasto por cada obra.
Podemos reescrever o sistema como sendo  . Na teoria econômica, a matriz
dos coe�cientes associada a este sistema é denominada de entrada e a matriz coluna   é o resultado ou
produto �nal. Note também que, neste sistema, a soma de cada coluna da matriz dos coe�cientes associada
ao sistema é igual a 1, correspondendo ao fato de que o resultado do trabalho de cada contratado está
distribuído entre eles nas proporções dadas pelas colunas da matriz de entrada.
Para resolver o sistema você pode utilizar as operações elementares que aprendeu durante os nossos
estudos. Assim, tem-se que o sistema é um sistema possível e indeterminado, ou seja, possui in�nitas
soluções.
Obtemos através das operações elementares que   e  . Isso signi�ca que, de acordo com
o salário diário do hidráulico   é possível calcular os salários diários do pedreiro   e do eletricista  ,
fazendo com que todas as condições do problema sejam atendidas.
Como, no início, foi dito que o salário diário de cada é de aproximadamente R$100,00 por dia, podemos
considerar que    . Com isso, temos   e   . Desse modo, o
pedreiro deve receber R$86,11/dia, o eletricista deve receber R$88,88/dia e o hidráulico deve receber
R$100,00/dia.
s1 s2
s3
⎧⎪⎨⎪⎩2s1 + s2 + 6s3 = 10s1
4s1 + 5s2 + s3 = 10s2
4s1 + 4s2 + 3s3 = 10s3
⎧⎪⎨⎪⎩0,2s1 + 0,1s2 + 0,6s3 = s1
0,4s1 + 0,5s2 + 0,1s3 = s2
0,4s1 + 0,4s2 + 0,3s3 = s3
⎡⎢⎣s1
s2
s3
⎤⎥⎦s1 =
31s3
36 s2 =
8s3
9
s3 s1 s2
s3 = 100 s1 = 31⋅100
36 = 86,11 s2 = 8⋅100
9 = 88,88
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Observe que tais valores para os salários diários foram obtidos através da informação do problema de que
estes seriam próximos a R$100,00 e, com isso, foi adotado  ; mas esta é uma das soluções
possíveis. É possível obter outras soluções variando o valor de  e que também satisfazem o sistema de
equações lineares. 
RESUMO VISUAL
Fonte: elaborada pela autora.
s3 = 100
Aula 1
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, matrizes, determinantes,
sistemas. São Paulo: Atual, 2004.
MIRANDA, D.; GRISI, R.; LODOVICI, S. Geometria Analítica e Vetorial. Santo André: Universidade Federal do
ABC, 2015.
PORTES, L. A.; FARIAS, C. M. de O. Geometria analítica e álgebra linear. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2016. 
Aula 2
REFERÊNCIAS
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Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, matrizes, determinantes,
sistemas. São Paulo: Atual, 2004.
MIRANDA, D.; GRISI, R.; LODOVICI, S. Geometria Analítica e Vetorial. Santo André: Universidade Federal do
ABC, 2015.
PORTES, L. A.; FARIAS, C. M. de O. Geometria analítica e álgebra linear. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2016.
Aula 3
BONI, K. T.; KIRNEV, D. C. B. Geometria Analítica e Álgebra Vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2016.
CERVELIN, B. H. Álgebra Linear e Vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2018.
GONÇALVES, E. M.; CRUZ, L. F.; CHUEIRI, V. M. M. Introdução ao estudo da álgebra linear. São Paulo: Cultura
Acadêmica, 2012.
Aula 4
BONI, K. T.; KIRNEV, D. C. B. Geometria Analítica e Álgebra Vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2016.
CERVELIN, B. H. Álgebra Linear e Vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2018.
GONÇALVES, E. M.; CRUZ, L. F.; CHUEIRI, V. M. M. Introdução ao estudo da álgebra linear. São Paulo: Cultura
Acadêmica, 2012. 
Aula 5
BONI, K. T.; KIRNEV, D. C. B. Geometria Analítica e Álgebra Vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2016.
CERVELIN, B. H. Álgebra Linear e Vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2018.
GONÇALVES, E. M.; CRUZ, L. F.; CHUEIRI, V. M. M. Introdução ao estudo da álgebra linear. São Paulo: Cultura
Acadêmica, 2012.
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, matrizes, determinantes,
sistemas. São Paulo: Atual, 2004.
MIRANDA, D.; GRISI, R.; LODOVICI, S. Geometria Analítica e Vetorial. Santo André: Universidade Federal do
ABC, 2015.
PORTES, L. A.; FARIAS, C. M. de O. Geometria analítica e álgebra linear. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2016. 
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