SEGUNDA PROVA - Parte 1

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Séries De Potências 
 Uma série de potências, é uma série do tipo: 
∑𝐶𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=1
 
onde 𝐶𝑛 é uma sequência e 𝑎 é um número real fixo. No caso particular em 
que 𝑎 = 0⏟ , temos que: 
∑𝐶𝑛𝑥
𝑛
∞
𝑛=1
 
Derivação De Séries De Potências 
 
 Seja uma série de potências, e R o seu raio de convergência: 
∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0
(𝑥 − 𝑎)𝑛 
temos que, para todo 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) a série converge. Logo, 
podemos escrever uma função, na forma de séries de potências: 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0
(𝑥 − 𝑎)𝑛 ∊ ℝ 
 
 
Exemplos ilustrativos: 
(𝑎) ∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 
1
1 − 𝑥
 𝑠𝑒 |𝑥| < 1 
 
(𝑏) ∑(−1)𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= ∑(−𝑥)𝑛
∞
𝑛=0
=
1
1 − (−𝑥)
= 
1
1 + 𝑥
 𝑠𝑒 |−𝑥| < 1 
 
(𝑐) ∑ 𝑥2𝑛
∞
𝑛=0
= ∑(𝑥2)𝑛
∞
𝑛=0
= 
1
1 − 𝑥2
 𝑠𝑒 |𝑥2| < 1 
 
(𝑑) ∑ 𝑥3𝑛
∞
𝑛=0
= ∑(𝑥3)𝑛
∞
𝑛=0
= 
1
1 − 𝑥3
 𝑠𝑒 |𝑥3| < 1 
 
TEOREMA: Seja ∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0 (𝑥 − 𝑎)
𝑛 uma série de potências cujo 
raio de convergência é R>0, se 𝑓(𝑥) = ∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0 (𝑥 − 𝑎)
𝑛 para 
todo 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅), então 𝑓′(𝑥) = ∑ 𝑛. 𝐶𝑛
∞
𝑛=1 (𝑥 − 𝑎)
𝑛−1 
para todo 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅). 
Integração De Séries De Potências 
 
 Seja uma série de potências, e R o seu raio de convergência: 
∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0
(𝑥 − 𝑎)𝑛 
temos que, para todo 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) a série converge. Logo, 
podemos escrever uma função, na forma de séries de potências 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0
(𝑥 − 𝑎)𝑛 ∊ ℝ 
 
 
TEOREMA: Seja ∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0 (𝑥 − 𝑎)
𝑛 uma série de potências cujo 
raio de convergência é R>0, se 𝑓(𝑥) = ∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0 (𝑥 − 𝑎)
𝑛 para 
todo 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅), então: 
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
𝑎
= ∑
𝐶𝑛
𝑛 + 1
∞
𝑛=0
(𝑥 − 𝑎)𝑛+1