Resolução - Lista 4

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Resoluções Lista 4 
 
1) Equações Exatas são da forma 0 yNxM 
 
a) 0)2()14( 2  yxxxyxy 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
14  yxyM xxN  22 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
14 


x
y
M
 14 


x
x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(24 2 ygxxyyxxxyxxy    )(22
22 xgxyyxyxyx   
 
Resposta final: Cxxyyx 22 
 
b) 0)110()203( 4232  yyxxyxx 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
232 203 yxxM  110 4  yxN 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
yx
y
M 340


 yx
x
N 340


, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(5203 243322 ygyxxxxyxx   )(510
244 xgyyxyyyx   
 
Resposta final: Cyyxx  243 5 
 
c) 0)()(  dyyxdxyx 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yxM  yxN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(
2
2
ygxy
x
xyxx   )(2
2
xg
y
xyyyyx   
 
Resposta final: Cxy
yx

22
22
  2  Kxyyx  222 
 
d) 0)2()3( 322  dyxeyxdxyeyx xyxy 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
xyyeyxM  223 xyxeyxN  32 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x
. 
 
xyxy exyeyx
y
M


 26 xyxy exyeyx
x
N


 26 , 
logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x
e N em função de y . 
 
)(3 2322 ygeyxxeyxxy xyxy   )(2
233 xgeyxyexyyx xyxy   
 
Resposta final: Ceyx xy 23 
 
e) 0)()12sec( 22  dyxtgxdxxyxy 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
12sec2  xyxyM 2xtgxN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
xx
y
M
2sec2 


 xx
x
N
2sec2 


, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de Ceue
u
u  

 e N em função de 
y . 
 
 ygxyxytgxxxxyxxy  
22 2sec  xgyxytgxyxytgx  
22 
 
Resposta final: Cxyxytgx  2 
 
f) 02)(cos 2  xydydxyxsenxx 1)( y 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
2cos yxsenxxM  xyN 2 
Obs: 
C
e
ue
u
u  


 
 
xy
xy
xy e
y
e
yxey  . 
xy
xy
xy e
x
e
xyex  .
 
 
 
 
 
Resposta final: 
 
 
Obs: derivada xyye , 
usamos a regra da 
derivação do 
produto. 
  ''. uvvuuv  
yu   1'u 
xyev   xyxev ' 
  ''. uvvuuv  
  xyxyxy xyeeye  .1 
De maneira análoga 
com xyxe em função 
de x 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
y
y
M
2


 y
x
N
2


, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de Ceue
u
u  

 e N em função de 
y . 
)(cos)()cos(cos 222 ygxyxxygxysenxxxsenxxyxxsenxxx  
)(2 2 xgxyyyx  
 
Logo a solução geral é Cxyxx  2cos . 
No início da questão foi dado um ponto 1)( y , ou seja, quando x , 1y . Substituindo esses 
valores na solução geral, temos: 
    0)1.(coscos 22  CCCCxyxx  
 
Resposta final: 0cos 2  xyxx 
 
g) 0)73()12(  yyxx 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
12  xM 73  yN 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
0


y
M
 0


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
 ygxxxxx  
22  xgyyyyy   72
3
73 2 
 
Solução Geral: Cyyxx  7
2
3 22
 )2(  Kyyxx  14322
22 
Resposta Final: Kyyxx  14322 22 
 
h) 0)84()45( 3  yyxxyx 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yxM 45  384 yxN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
4


y
M
 4


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
1cos  
 ygxyxxyxx   42
5
45 2  xgyxyyyyx  
43 2484 
 
Solução Geral: Cyxyx  42 24
2
5
 )2(  Kyxyx 
42 485 
Resposta Final: Kyxyx  42 485 
 
j) 0)cos23()( 223  yxyxyxxsenxyy 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
xsenxyyM  23 xyxyN cos23 2  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
ysenxy
y
M
23 2 


 ysenxy
x
N
23 2 


, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 yg
x
xyxyxxxsenxyxy   2
cos
2
2323  xgxyxyyyxyyx   coscos23
232 
Solução Geral: C
x
xyxy 
2
cos
2
23
 )2(  Kxxyxy 
223 cos22 
Resposta Final: Kyxyx  42 485 
 
k) 262' xyxexy x  
 
Primeiro devemos escrever a equação na forma de uma equação exata 0 yNxM . 
262 xyxe
x
y
x x 


x  0)62( 2  yxxxyxe x 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
262 xyxeM x  xN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(22262 32 ygxxyexexxxyxxe xxx    )(xgxyyx   
 
Resposta final: Cxxyexe xx  3222 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
  uvuvvu 
 
 xxe
x
 
 

xxx evxevdxev
xuxu
 
  uvuvvu    xexexxe
xxx
 
xxx exexxe  
 xxe
x2 =2.( xx exe  )= xx exe 22  
 
l) 0)31()31( 11   yxyxyx 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yxM  131 xyN  131 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 ygxyxxxy
x
x
x 

  ln33  xgxyyyyxy
y
y 

  ln33 
Solução Geral: Cyyxyxx  ln3ln3 , observamos que podemos colocar 3 em evidência. Logo 
teremos:   Cyxyxyx  lnln3 . Agora podemos aplicar a propriedade de logaritmos com os 
termos entre colchetes. 
  Cyxnyxyx  ln3  Cxyyxyx  ln3 
 Cxyyxyx  ln3 
Resposta Final: Cxyyxyx  ln3 
 
m) 0)12()( 22  yxxyxyx 1)1( y 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
2)( yxM  12 2  xxyN 
Devemos desenvolver o quadrado da soma que está representado por M. 
222 2)( yxyxyxM  12 2  xxyN 
 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
yx
y
M
22 


 xy
x
N
22 


, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
    )(3
2 22
3
22 ygxyyx
x
xyxxyxx 
    )(2
222 xgyyxxyyyxyyx 
 
Solução geral: Cyyxxy
x
 22
3
3
 . 
Multiplicamos a expressãotoda por 3 para eliminar o denominador. 
Cyyxxy
x
 22
3
3
3  Cyyxxyx 3333 223  . Como C3 é constante, podemos mudá-lo 
para K . 
Solução Geral: Kyyxxyx  333 223 
 
Substituindo os valores dados na solução geral, temos: 
1)1( y 
K )1(3)1()1(3)1)(1(3)1( 223  4K . 
Resposta final: 4333 223  yyxxyx 
 
n) 0)2()(  yyexxye yx 1)0( y 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yeM x  yyexN  2 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(ygxyexyxe xx   )(22 ygeyexyyyyeyxy
yyy    
 
Solução geral: Ceyeyxye yyx  2 
Substituindo os valores dados na solução geral, temos: 
1)0( y 
 
Ceee  110 )1()1(2)1)(0(  Cee  201  3C 
 
Resposta final: 32  yyx eyeyxye 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Equações Exatas são da forma 0 yNxM 
 
2) Pesquisando o fator de Integração: 













yyR
e
y
M
x
N
M
yR
)(
1
)(

 ou 













xxR
e
x
N
y
M
N
xR
)(
1
)(

 
 
a) 0)6( 2  yyxxy 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
Obs: 
  uvuvvu 
 
 yye
y
 
 

yyy evyevdyev
yuyu
 
  uvuvvu    yeyeyye
yyy
 
yyy eyeyye  
 
yM  26yxN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. A escolha lógica é o valor 
de M, pois temos um termo sozinho, enquanto que N é composto por uma diferença. Por isso, 
escolhemos )(yR 
 
y
yR
y
yR
y
yR
y
M
x
N
M
yR
2
)(
2
)(11
1
)(
1
)( 










 
Encontrado o valor de )(yR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o fator de integração. 
2
2lnln2
2)( 12
y
yeeee
yyy
y
yyR


 


 
 
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
     060)6( 2122   yxyxyyyxxyy 
 
1 yM 62  xyN 
Derivando os valores: 
 
2


y
y
M
 2


y
x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(1 yg
y
x
xy 
 )(662 xgy
y
x
yyyx   
 
Resposta final: CyyxyCy
y
x
 26)(6 
b) 0)2( 3  yxxyx 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yxM  32 xN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. A escolha lógica é o valor 
de N, pois temos um termo sozinho, enquanto que M é composto por uma soma. Por isso, escolhemos 
)(xR 
 
x
xR
x
xR
x
N
y
M
N
xR
2
)(11
1
)(
1
)( 












 
Encontrado o valor de )(xR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o fator de integração. 
2
2lnln2
2)( 12
x
xeeee
xxx
x
xxR


 


 
 
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
  020)2(1
2
3
2





 







x
y
x
x
y
xyxxyx
x
 
 
2
2
x
y
xM  
x
N
1
 
Derivando os valores: 
 
2
1
xy
M



 
2
1
xx
N



, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(2 2
2
yg
x
y
x
x
x
yxx 

  )(
1
xg
x
y
y
x
  
 
Resposta final: C
x
y
x 2 )(x  Cxyx 3 
 
c) 0)5( 2  yxxyx 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yxM  25 xN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. A escolha lógica é o valor 
de M, pois temos um termo sozinho, enquanto que N é composto por uma diferença. Por isso, 
escolhemos )(yR 
 
x
xR
x
xR
x
N
y
M
N
xR
2
)(11
1
)(
1
)( 










 
Encontrado o valor de )(xR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o fator de integração. 
2
2lnln2
2)( 12
x
xeeee
xxx
x
xxR


 


 
 
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
    0)5(0)5( 1222   yxxyxyxxyxx 
 
yxM 25  1 xN 
Derivando os valores: 
 
2


x
y
M
 2


x
x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(55 2 yg
x
y
xxxyx  
 )(1 xg
x
y
yx 
 
Resposta final: C
x
y
x 5  x  Cxyx 25  25xCxy  
 
d) 0)(  ytgxxyx 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yxM  tgxN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
1


y
M
 x
x
N 2sec


, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. A escolha lógica é o valor 
de N, pois temos um termo sozinho, enquanto que M é composto por uma soma. Por isso, escolhemos 
)(xR 
  tgxxRxtg
tgx
xRx
tgx
xR
x
N
y
M
N
xR 










 )()(
1
)(sec1
1
)(
1
)( 22 
Encontrado o valor de )(xR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o 
fator de integração. 
xeee
xxtgxxxR
cos
cosln)(


 
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
    0)coscos(0)(cos  ysenxxxyxxytgxxyxx 
 
xyxxM coscos  senxN  
Derivando os valores: 
 
x
y
M
cos


 x
x
N
cos


, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Obs: 
 
xtgx
xxtg
22
22
sec1
sec1


x
senx
tgx
cos
 
 
 
 
 
 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(coscoscos ygysenxxxsenxxxyxxx   )(xgysenxysenx  
 
Resposta final: Cysenxxxsenx  cos 
e) 0)12( 32  yxxyx 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
12 2  yxM 3xN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
22x
y
M



 23x
x
N



, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. A escolha lógica é o valor 
de M, pois temos um termo sozinho, enquanto que N é composto por uma diferença. Por isso, 
escolhemos )(yR 
 
x
xRxx
x
xR
x
N
y
M
N
xR
1
)(32
1
)(
1
)( 22
3











 
Encontrado o valor de )(xR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o fator de integração. 
x
xeeee
xxx
x
xxR 11lnln)(
1


 


 
 
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
    0)2(0)12( 21321   yxxxxyyxxyxx 
 
12  xxyM 2xN  
Derivando os valores: 
 
x
y
M
2


 x
x
N
2


, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemosintegrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(2 2 ygxLnyx
x
x
xxy 

  )(
22 xgyxyx  
Resposta final: CxLnyx 2 
 
f) 0)1(2  yxyxy 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
2yM  1 xyN 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
y
y
M
2


 y
x
N



, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. A escolha lógica é o valor 
de M, pois temos um termo sozinho, enquanto que N é composto por uma diferença. Por isso, 
escolhemos )(yR 
 
y
yR
y
y
yRyy
y
yR
y
M
x
N
M
yR
1
)()(2
1
)(
1
)(
22











 
Encontrado o valor de )(yR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o fator de integração. 
y
yeeee
yyy
y
yyR 11lnln)(
1


 


 
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
  010)1(1 2 











 y
y
xxyyxyxy
y
 
yM  
y
xN
1
 
Derivando os valores: 
 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(ygxyxy  )(ln xgyxyy
y
yx 

  
Resposta final: Cyxy  ln 
 
g) 0)2(  yxxxy 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
xxyM  2 1N 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
x
y
M
2


 0


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. A escolha lógica é o valor 
de N, pois temos um termo sozinho, enquanto que M é composto por uma diferença. Por isso, 
escolhemos )(xR 
  xxRxxR
y
N
x
M
N
xR 2)(02
1
1
)(
1
)( 












 
Encontrado o valor de )(xR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o fator de integração. 
22)( xxxxxR eee 

  
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
    0)2(0)2( 2222   yexxexyeyxxxye xxxx 
 
22
2 xx xexyeM   
2xeN  
Derivando os valores: 
 
2
2 xxe
y
M 


 
2
2 xxe
x
N 


, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(
2
2
2
222
yg
e
yexxexxey
x
xxx 


 )(
22
xgyeye xx    
Solução geral: C
e
ye
x
x 


2
2
2
)2(  Keye
xx  
22
2 
Resposta final: Keye xx  
22
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 0)1(  yxxy 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
1 yM xN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. A escolha lógica é o valor 
de M, pois temos um termo sozinho, enquanto que N é composto por uma diferença. Por isso, 
escolhemos )(yR 
 
x
xR
x
xR
x
N
y
M
N
xR
2
)(11
1
)(
1
)( 












 
Obs: 
 
 xxe x
2
 
22
2
22
2
22
xux ye
x
u
xeyxxey
x
u
xx
x
u
xu
 




 







 
22
2x
u e
x
u
xe






 
 
Encontrado o valor de )(xR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o fator de integração. 
2
2lnln2
2)( 12
x
xeeee
xxx
x
xxR


 


 
 
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
    0)(0)1( 1222   yxxxyxyxxyx 
 
22   xyxM 1 xN 
Derivando os valores: 
 
2


x
y
M
 2


x
x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(
122 yg
xx
y
xxxxy  
 )(1 xg
x
y
yx  
 
Resposta final: C
xx
y

1  1  C
xx
y

1  x  Cxy 1  1 Cxy 
 
i) 02  yxxy 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yM  xN 2 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
1


y
M
 2


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. Podemos escolher ambos 
os termos. Fazendo a escolha pelo valor de M, devemos usar )(yR 
 
y
yR
y
yR
x
M
y
N
M
yR
3
)(12
1
)(
1
)( 










 
Encontrado o valor de )(yR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o fator de integração. 
3lnln3
3)( 3 






yeeee yyy
y
yyR
 
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
    02002 323   yxyxyyxxyy 
 
2 yM 32  xyN 
Derivando os valores: 
 
32 


y
y
M
 32 


y
x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(22 ygxyxy    )(2
23 xgxyyyx   
Solução geral: Cxy 2  C
y
x

2
 
 
j) 02  yxyxy 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
2yM  xyN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
y
y
M
2


 y
x
N



, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, teremos que pesquisar o fator de integração. Podemos escolher ambos 
os termos. Fazendo a escolha pelo valor de M, devemos usar )(yR 
 
y
yRyy
y
yR
x
M
y
N
M
yR
1
)(2
1
)(
1
)(
2











 
Encontrado o valor de )(yR , devemos agora encontrar o valor de  , que é o fator de integração. 
1lnln)( 1 






yeeee yyy
y
yyR
 
 
Agora, basta apenas multiplicar toda a equação pelo fator de integração e verificar se a equação 
tornou-se exata. 
 
    00021  yxxyyxyxyy 
 
yM  xN  
Derivando os valores: 
 
1


y
M
 1


x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(ygxyxy  )(xgxyyx  
Solução geral: Cxy  
x
C
y  
 
3 - 0)()cos6( 223  yxsenyykxxyxy 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yxyM cos6 3  xsenyykxN  22 
 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
senyxy
y
M


 218 senykxy
x
N


 22 . 
Como foi dito no enunciado da questão que a equação é exata, temos que ter 
x
N
y
M





. 
Para isso, devemos comparar esses dois valores: 
x
N
y
M





  senykxysenyxy  22 218 , logo o valor de K será igual a 9. 
 
4 - 0)()( 222  dyxyxdxybxxy  0)()( 2322  dyyxxdxybxxy 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
ybxxyM 22  yxxN 23  
 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
22 bxxy
y
M



 xyx
x
N
23 2 


. 
Como foi dito no enunciado da questão que a equação é exata, temos que ter 
x
N
y
M





. 
Para isso, devemos comparar esses dois valores: 
x
N
y
M





  xyxbxxy 232 22  , logo o valor de b será igual a 3. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y e substituindo b pelovalor encontrado. 
 
)(
2
3 3
22
22 ygyx
yx
xxyxxy   )(2
22
323 xg
yx
yxyyxyx   
 
Resposta: 3b e Cyxyx  2232 
 
5 – Determine o valor de a para que a equação 0)cos9()cos63( 332  yaxyxxyx , seja exata. 
 
0)cos9()cos63( 332  yaxyxxyx 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
xyxM cos63 32  3cos9 axyN  
 
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
229 yx
y
M



 23ax
x
N



 
Como foi dito no enunciado da questão que a equação é exata, temos que ter 
x
N
y
M





. 
Para isso, devemos comparar esses dois valores: 
x
N
y
M





  222 39 axyx  , logo o valor de a será igual a 23y . 
 
6 - Determine  sabendo que 
x
y
  é fator integrante da equação 0)ln( 2  dyxxxyydx e, de 
seguida, resolva-a para 3)1( y . 
 
Primeiro devemos provar que a equação 0)ln( 2  dyxxxyydx , não é exata. 
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
yM  xxxyN ln2  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
1


y
M
 12 


xLny
x
N
, logo 
x
N
y
M





 Equação não é exata 
 
Como a equação não é exata, devemos multiplicar a equação toda pelo fator de integração 
x
y
yx

 ),( que foi dado. 
 
  0)ln( 2  dyxxxyydx
x
y
 0)ln(
2
1
 

dyxyydx
x
y 

, mas uma vez destacando os valores 
de M e N, temos respectivamente: 
x
y
M
1


 xyyN ln2    
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
x
y
y
M 
 )1( 


 
x
y
x
N 



, quando multiplicamos uma equação por um fator integrante 
),( yx qualquer, tornamos a equação diferencial em uma equação diferencial exata, logo 
x
N
y
M





 é 
exata. Dessa forma podemos encontrar o valor de  . 
 
x
N
y
M





 
x
y
x
y 
  )1(  11   2 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
)(12 yg
y
xLn
x
x
y 


 )(222 xg
y
xLn
yyyxLnyy  
 
01 Ln 
Solução Geral: C
y
xLn
y  
Como estamos querendo o valor da solução particular, devemos encontrá-la sobre o ponto 3)1( y
que foi dado na questão. 
 
Substituindo: 
 
C
y
xLn
y   C
Ln



)3(
1
3  C3 
 
Substituindo na solução geral. 
033)(3 22  xLnyyyxLnyy
y
xLn
yC
y
xLn
y