Resolução - Lista 5

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Resoluções da Lista 5 
 
1 - Equações Lineares são da forma: )()( xQyxP
x
y



 
b) 
x
xy
dx
dy 42 
 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear, por isso devemos separar o segundo termo. 
x
xy
dx
dy 42 
  3
2
x
x
y
dx
dy
 
A equação obtida é uma equação linear, com 
3)(
2
)(
xxQ
x
xP


 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência. 
32 x
x
zt
x
z
t
x
t
z 





 3
2
x
x
z
t
x
t
x
t
z 











 
 Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
1º 0
2



x
t
x
t

x
t
x
t 2



 
Multiplica-se a equação cruzado e deixando na 
forma de variável separável, temos: 
x
t
x
t 2



 xttx  2 xt 
x
x
t
t 

 2
 




x
x
t
t
2  xLntLn 2  2 xLntLn 
 
2
1
x
t  
2º 3x
x
z
t 


 
Substituindo t pelo valor encontrado no 
primeiro passo, temos: 
3x
x
z
t 



3
2
1
x
x
z
x



 
Multiplicando cruzado e integrando, temos: 
xxz  5    xxz
5
 z = C
x

6
6
 
 
Após descobrimos o valor de t e z, já podemos descobrir o valor de y , visto que zty  : 
 
zty   





 C
x
x
y
6
1 6
2
 




 

6
61 6
2
Cx
x
y 
2
6
6x
Kx
y

 ou 
  





 C
x
x
y
6
1 6
2
 
2
4
6 x
Kx
y  
Resposta Final: 
2
6
6x
Kx
y

 ou
2
4
6 x
Kx
y  
c) 
x
ytgx
x
y
cos
1



; 0)0( y 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y

 . 
A equação já está na forma de 
x
y

 . 
Segundo Passo: 
Escrever a equação na forma de uma equação linear. 
A equação já se encontra nesse formato., para melhorar a visualização, podemos escrevê-la assim: 
 
 

x
ytgx
x
y
cos
1



 xytgx
x
y
sec

 . 
A equação obtida é uma equação linear, com 
xxQ
tgxxP
sec)(
)(


 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência. 
xytgx
x
y
sec


 xzttgx
x
z
t
x
t
z sec





 x
x
z
ttgx
x
t
z sec











 
 
 Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
1º 0


tgx
x
t
 tgx
x
t



 
Multiplica-se a equação cruzado e deixando na 
forma de variável separável, temos: 
tgx
x
t



 xtgxt  
  xtgxt  xLntLn sec  xt sec 
 
2º x
x
z
t sec


 
Substituindo t pelo valor encontrado no 
primeiro passo, temos: 
x
x
z
t sec


 x
x
z
x secsec 


 
Multiplicando cruzado e integrando, temos: 
xxxzx secsecsec     xz  z= cx 
Após descobrimos o valor de t e z, já podemos descobrir o valor de y , visto que zty  : 
 
zty   )(sec Cxxy    Cx
x
y 
cos
1
 
x
Cx
y
cos

  Expressão geral. 
No início da questão foi dado que 0)0( y , logo devemos substituir o valor de x e y na solução geral, 
com o objetivo de encontrar o valor da constante C 
 
x
Cx
y
cos

  
0cos
0
0
C
  
1
0
C
  0C , depois substituímos na solução geral o valor de C. 
Resposta Final: 
x
x
y
cos
 
 
 
d) 0 xey
dx
dy
x ; bay )( 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y

 . 
A equação já está na forma de 
x
y

 . 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear, por isso devemos dividir tudo por x. 
 
 )(0 xey
dx
dy
x x   0
x
e
x
y
dx
dy x

x
e
x
y
dx
dy x
 . 
A equação obtida é uma equação linear, com 
x
e
xQ
x
xP
x


)(
1
)(
 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência. 
x
e
x
zt
x
z
t
x
t
z
x






 
x
e
x
z
t
x
t
x
t
z
x












 
 Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
1º 0


x
t
x
t

x
t
x
t



 
Multiplica-se a equação cruzado e deixando na 
forma de variável separável, temos: 
x
t
x
t



 xttx  xt 
x
x
t
t 


 




x
x
t
t
 xLntLn   1 xLntLn 
 
x
t
1
 
 
2º 
x
e
x
z
t
x



 
Substituindo t pelo valor encontrado no 
primeiro passo, temos: 
x
e
x
z
t
x




x
e
x
z
x
x


1
 
Multiplicando cruzado e integrando, temos: 
x
xxe
z
x
    xez
x
 z= Ce x 
Após descobrimos o valor de t e z, já podemos descobrir o valor de y , visto que zty  : 
 
zty   )(
1
Ce
x
y x   
x
Ce
y
x 
  Expressão geral. 
 
No início da questão foi dado que bay )( , logo devemos substituir o valor de x e y na solução geral, 
com o objetivo de encontrar o valor da constante C. 
 
x
Ce
y
x 
  
a
Ce
b
a 
  Ceab a   Ceab a  
 
Resposta final: 
x
eabe
y
ax 
 
 
e) y
x
y
5

 
Escrever a equação na forma 
x
y

 . 
A equação já está na forma de 
x
y

 . 
 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear, por isso devemos mudar y5 de lado. 
y
x
y
5


 05 


y
x
y
 
A equação obtida é uma equação linear, com 
0)(
5)(


xQ
xP
 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência. 
05 





zt
x
z
t
x
t
z  05 











x
z
tt
x
t
z 
 
 Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
1º 05 


t
x
t
 t
x
t
5


 
Multiplica-se a equação cruzado e deixando na 
forma de variável separável, temos: 
t
x
t
5


  x
t
t


5 
 

x
t
t
5  xtLn 5  xet 5 
2º 0


x
z
t 
Substituindo t pelo valor encontrado no 
primeiro passo, temos: 
0


x
z
t  05 


x
z
e x 
Multiplicando cruzado e integrando, temos: 
0z    0z  Cz  
 
Após descobrimos o valor de t e z, já podemos descobrir o valor de y , visto que zty  : 
 
zty   )(
5 Cey x  
xCey 5 
Resposta Final: 
xCey 5 
 
f) 4123 


y
x
y
 
Escrever a equação na forma 
x
y

 . 
A equação já está na forma de 
x
y

 . 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear, por isso devemos multiplicar tudo por 
3
1
. 
4123 


y
x
y







3
1
 
3
4
4 


y
x
y 
A equação obtida é uma equação linear, com 
3
4
)(
4)(


xQ
xP
 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência. 
3
4
4 





zt
x
z
t
x
t
z  
3
4
4 











x
z
tt
x
t
z 
 
 Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
1º 04 


t
x
t
 t
x
t
4


 
Multiplica-se a equação cruzado e deixando na 
forma de variável separável, temos: 
t
x
t
4


  x
t
t


4 
 

x
t
t
4  xtLn 4  xet 4 
2º 
3
4



x
z
t 
Substituindo t pelo valor encontrado no 
primeiro passo, temos: 
3
4



x
z
t 
3
44 


x
z
e x 
Multiplicando cruzado e integrando, temos: 
xez x 4
3
4
   xez
x4
3
4
 C
e
z
x

3
4
 
Após descobrimos o valor de t e z, já podemos descobrir o valor de y , visto quezty  : 
zty   






  C
e
ey
x
x
3
4
4
 xCey 4
3
1  
Resposta Final: xCey 4
3
1  
g) 02 


y
x
y
 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
A equação já está na forma de uma equação linear. 
 
A equação é uma equação linear, com 
0)(
2)(


xQ
xP
 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência. 
02 





zt
x
z
t
x
t
z  02 











x
z
tt
x
t
z 
 
 Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
1º 02 


t
x
t
 t
x
t
2


 
Multiplica-se a equação cruzado e deixando na 
forma de variável separável, temos: 
t
x
t
2


  x
t
t


2 
 

x
t
t
2  xtLn 2  xet 2 
2º 0


x
z
t 
Substituindo t pelo valor encontrado no 
primeiro passo, temos: 
0


x
z
t  02 


x
z
e x 
Multiplicando cruzado e integrando, temos: 
0z    0z  Cz  
 
Após descobrimos o valor de t e z, já podemos descobrir o valor de y , visto que zty  : 
 
zty   )(
2 Cey x  
xCey 2 
Resposta Final: 
xCey 2 
 
h) 32 


y
x
y
x 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear, por isso devemos multiplicar tudo por 
x
1
. 
32 


y
x
y
x 






x
1
 
xx
y
x
y 32



 
A equação obtida é uma equação linear, com 
13)(
2
)(


xxQ
x
xP
 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência. 
13
2 





x
x
zt
x
z
t
x
t
z  
13
2 











x
x
z
t
x
t
x
t
z 
 
 Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
1º 0
2



x
t
x
t

x
t
x
t 2


 
Multiplica-se a equação cruzado e deixando na 
forma de variável separável, temos: 
x
t
x
t 2


 
x
x
t
t 

 2 




x
x
t
t
2  xLntLn 2  2 xt 
2º 
xx
z
t
3



 
Substituindo t pelo valor encontrado no 
primeiro passo, temos: 
xx
z
t
3




xx
z
x
32 

  2x 
Multiplicando cruzado e integrando, temos: 
xxz  3    xxz 3  C
x
z 
2
3 2
 
Após descobrimos o valor de t e z, já podemos descobrir o valor de y , visto que zty  : 
zty   






  C
x
xy
2
3 22
 2
2
3  Cxy 
 
Resposta Final: 2
2
3  Cxy 
 
k) 1cos 


ysenx
x
y
x R  xCsenxy cos 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear, por isso devemos dividir tudo por xcos . 
 
 1cos 


ysenx
x
y
x xcos 
xx
ysenx
x
y
cos
1
cos



 xytgx
x
y
sec


. 
A equação obtida é uma equação linear, com 
xxQ
tgxxP
sec)(
)(


 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência. 
xytgx
x
y
sec


 xzttgx
x
z
t
x
t
z sec




 x
x
z
ttgx
x
t
z sec











 
 
 Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
1º 0


tgx
x
t
 tgx
x
t


 
Multiplica-se a equação cruzado e deixando na 
forma de variável separável, temos: 
tgx
x
t



 xtgxt  
  xtgxt  xLntLn sec  
x
t
sec
1
 
 
 
2º x
x
z
t sec

 
Substituindo t pelo valor encontrado no 
primeiro passo, temos: 
x
x
z
t sec


 x
x
z
x
sec
sec
1


 
Multiplicando cruzado e integrando, temos: 
xxz  2sec    xxz
2sec  z= Ctgx
 
Após descobrimos o valor de t e z, já podemos descobrir o valor de y , visto que zty  : 
 
zty 
 )(
sec
1
Ctgx
x
y   





 C
x
senx
xy
cos
)cos(  )cos()( xCxseny   Expressão geral. 
 
Resposta Final: )cos()( xCxseny  
 
l) 0cos)1(  xdydxsenxy 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
 0cos)1(  xdydxsenxy  xdydxsenxy cos)1(   
x
senxy
x
y
cos
1



. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
 

x
senxy
x
y
cos
1




xx
senx
x
y
x
y
cos
1
coscos



 xtgxxy
x
y
secsec 


. 
A equação obtida é uma equação linear, com 
xtgxxQ
xxP
sec)(
sec)(


 
 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência 
 
Obs: 
 
x
x
sec
cos
1

x
senx
tgx
cos
 
 
 
 
 
 
 xtgxxzt
x
z
t
x
t
z secsec 





  xtgx
x
z
txt
x
t
z secsec 











 
 
Quinto Passo 
Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
1º 0sec 


xt
x
t
  xt
x
t
sec


 
Multiplica-se a equação por 




 
t
x
 
xt
x
t
sec







 

t
x
 
 

xx
t
t
sec  xtgxLntLn sec 
 xtgxt sec 
 
 
 
 
 
 
2º xtgx
x
z
t sec


 
Substituindo t pelo valor encontrado no primeiro 
passo, temos: 
xtgx
x
z
t sec


 xtgx
x
z
xtgx secsec 


 
Multiplicando cruzado e tirando o termo que não 
termo que não pertence a variável certa , temos: 
x
xtgx
xtgx
z 



sec
sec
  

 x
xtgx
xtgx
z
sec
sec
 
Para resolvermos essa integração, devemos 
primeiro racionalizar os denominadores, visto 
que não existe nenhuma integral própria para 
essa expressão. 
  

 x
xtgx
xtgx
z
sec
sec
 
  
  



 x
xtgxxtgx
xtgxxtgx
z
secsec
secsec
 

 
  



 x
xtgxxtgx
xtgx
z
secsec
sec
2
 
Devemos as expressões da segunda integral, obtemos: 
  

 x
xxtg
xxtgxxtg
z
22
22
sec
secsec2
   

 x
xxtg
xxtgxxtg
z
22
22
sec
secsec2
 
Fazendo as devidas substituições e agrupando os termos semelhantes, temos: 
 
 

 x
xxtgxx
z
1
secsec21sec 22
   xxtgxxz )sec21sec2(
2 
Agora, basta apenas resolver as integrais: 
 
Cxxtgxz  sec22 
 
Sexto Passo: 
 
Sabemos que zty  , fazendo as mudanças pelos valores encontrados, temos: 
 
)2sec2)(sec( Cxtgxxxtgxy  
 
Resposta Final: )2sec2)(sec( Cxtgxxxtgxy  
m) xytgx
dx
dy
cos 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear, por isso devemos dividir tudo por x. 
 
 xytgx
dx
dy
cos  xytgx
dx
dy
cos 
A equação obtida é uma equação linear, com 
xxQ
tgxxP
cos)(
)(


 
 
Terceiro Passo: 
Devemos fazer a mudança da variável y por tz e derivar a nova função em relação a x 

x
z
t
x
t
z
x
y
zty









 
 
Quarto Passo: 
Fazemos as mudanças na equação original e colocamos z em evidência. 
xzttgx
x
z
t
x
t
z cos





 x
x
z
tttgx
x
t
z cos











 
Obs: 
 
1sec
1sec
sec1
22
22
22



xxtg
xxtg
xxtg
 
 
 
 
 
 
Obs: 
 
x
x
sec
cos
1

x
senx
tgx
cos
 
 
 
 
 
 
 Devemos agora analisar a equação de duas maneiras: 
 
1º 0


ttgx
x
t
 ttgx
x
t



 
Multiplica-se a equação cruzado e deixando na formade variável separável, temos: 
ttgx
x
t



 xttgxt  t  xtgx
t
t


 
 

xtgx
t
t
 xLntLn sec 
 xt sec 
 
2º x
x
z
t cos


 
Substituindo t pelo valor encontrado no primeiro passo, temos: 
x
x
z
t cos


 x
x
z
x
cos
cos
1



 
Multiplicando cruzado e integrando, temos: 
xxz  2cos    xz
2cos*   z   xx)2cos1(2
1
 Cxsen
x
z  2
4
1
2
 
 
Após descobrimos o valor de t e z, já podemos descobrir o valor de y , visto que zty  : 
 
zty   





 Cxsen
x
xy 2
4
1
2
sec 
Resposta final: 





 Cxsen
x
xy 2
4
1
2
sec 
 
Obs: 
x
x
cos
1
sec  
  xxx )2cos1(2
1
cos* 2