AULA 02 - Plano de Tensão e Deformação

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 2
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Eimi Suzuki
CONVERSA INICIAL
Aqui, vamos aprender sobre estado plano de tensão e deformação e como transformar as tensões e
deformações de um corpo para diferentes orientações dentro de um sistema de coordenadas.
TEMA 1 – ESTADO PLANO DE TENSÃO
Para mostrar as tensões que ocorrem em um elemento, pegamos uma pequena porção dele e indicamos as
tensões σx, σy, σz, τxy, τyz e τxz (Figura 1).
Figura 1 – Estado geral de tensão
Fonte: Hibbeler, 2015.
Se uma das faces tiver tensão nula, σz = 0; τyz = 0 e τxz = 0, na face oposta os valores também serão nulos e
sobrarão as tensões σx, σy e τxy, como pode ser visto na Figura 2.
Figura 2 – Estado plano de tensões
Fonte: Hibbeler, 2015.
No estado plano de tensões, apenas as faces x e y possuem tensões. Essa situação é muito presente na
engenharia e pode aparecer em vigas e chapas.
1.1 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO
No estado plano de tensões, caso seja necessário mudar a orientação dos eixos x e y para x’ e y’ (Figura 3),
são utilizadas algumas equações específicas.
Figura 3 – Transformação de tensão no plano
Fonte: Hibbeler, 2015.
(2.1)
(2.2)
 
(2.3)
O sentido positivo das tensões é o mostrado na Figura 3, ou seja, tração positiva e compressão negativa.
Para as tensões de cisalhamento nas faces positivas com sentido positivo de x e y, a tensão é positiva, assim
como nas faces negativas com sentido negativo de x e y. A posição do ângulo θ também pode ser vista na
Figura 3.
1.2 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO
A pequena porção que pegamos para demostrar as tensões pode ser girada de acordo com o valor de θ.
Para fins de dimensionamento temos que achar as tensões máximas tanto normais quanto de cisalhamento e
também a tensão normal mínima. Usando a equação abaixo descobre-se o ângulo θ para o qual temos a tensão
normal máxima.
(2.4)
As tensões normais máximas e mínimas são chamadas de tensões principais e são separadas por um ângulo
de 90º. Os ângulos das tensões principais, ângulos principais ou planos principais, são indicados por θp e são 2
separados por 90°.
Após encontrarmos o valor de θp substituímos o ângulo nas equações (2.1) e (2.2) para acharmos as
tensões principais.
Já para a tensão de cisalhamento máxima no plano os ângulos θs estão orientados a 45º dos ângulos
principais.
1.3 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Beer et al., 2015). Para o estado de tensão dado determine (a) os planos principais e (b) as
tensões principais.
Solução. Pela convenção de sinais temos:
Para acharmos os planos principais usamos a equação (2.4).
Para acharmos as tensões principais usamos as equações (2.1) e (2.2).
Exemplo 2 (elaborado com base em Hibbeler, 2015). A viga tem seção transversal retangular e está sujeita
às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano
desenvolvidas no ponto A. Esse ponto está imediatamente à esquerda da carga de 10 kN.
Solução. Reações de apoio:
Vamos fazer uma seção em AB e achar as forças internas resultantes.
Força normal:
Força cortante:
Momento fletor:
Resultantes:
Tensões principais:
Tensão de cisalhamento máxima no plano:
TEMA 2 – CÍRCULO DE MOHR
O círculo de Mohr é uma maneira gráfica de representar as equações de transformação para o estado plano
de tensões.
Para desenhar o círculo de Mohr desenham-se os eixos x e y; x representa as tensões normais (σ) e y as
tensões de cisalhamento (τ). Se pegarmos um pedaço quadrado infinitesimal do elemento estudado (Figura 4) e
acharmos os valores de σx, σy e τxy, podemos montar o círculo de Mohr conforme mostra a Figura 5.
Figura 4 – Pedaço quadrado infinitesimal do elemento estudado e seu plano principal
Fonte: Beer et al., 2015.
Figura 5 – Círculo de Mohr
Fonte: Beer et al., 2015.
Primeiro achamos o ponto X com as coordenadas do ponto (σx; - τ xy); o ponto Y tem como coordenadas
(σy; τ xy). Ligando esses dois pontos com uma reta achamos o ponto C, que é onde essa reta cruza o eixo
horizontal. Esse ponto C, também chamado de σméd, será .
Com centro e C e passando por X e Y pode ser traçado um círculo que terá raio R, raio esse que pode ser
achado por trigonometria. A Figura 5 também mostra que A e B representam os planos principais e que por
trigonometria pode ser achado o plano principal.
A tensão de cisalhamento máxima será o valor τ máximo possível no círculo.
2.1 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Hibbeler, 2015). Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no
plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
Solução. Da figura tiramos que:
Colocando as coordenadas em um diagrama:
Com o diagrama podemos tirar os dados pedidos:
Exemplo 2 (Beer et al., 2015). Para o estado plano de tensão mostrado, determine o intervalo de valores de
θ para os quais a tensão normal σx’ é igual ou menor que 100 MPa.
Solução. Da figura tiramos que:
Colocando as coordenadas em um diagrama:
Agora vamos achar o ponto C, o raio R e o ângulo θp.
Marcamos onde a tensão é σx’ = 100 MPa e achamos os ângulos:
A tensão normal σx’ será igual ou menor que 100 MPa para o intervalo:
TEMA 3 – ESTADO TRIPLO DE TENSÕES
No estado plano de tensões tínhamos sempre σz = 0; τyz = 0 e τxz = 0, mas quando essa condição não
ocorre temos o estado triplo de tensões, no qual temos a tensão normal e as duas tensões de cisalhamento em
cada face do elemento (Figura 6).
Figura 6 – Estado triplo de tensões
Fonte: Hibbeler, 2015.
Se o elemento da Figura 6 rotacionar em torno de um dos eixos x, y ou z a transformação de tensão pode
ser feita usando-se o círculo de Mohr (Figura 7). Os pontos σmín, σint e σmáx são as tensões principais nos planos
principais.
Figura 7 – Círculo de Mohr para estado triplo de tensões
Fonte: Hibbeler, 2015.
3.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ABSOLUTA
Na Figura 7 podemos ver que o ponto mais acima do círculo maior é chamado de τabs máx, ou seja, aquele
é o ponto da tensão máxima absoluta.
Para o estado plano de tensões, que tem σz = 0, pode ser construído o círculo de Mohr tridimensional. O
eixo z é o eixo que estaria saindo do plano na origem dos eixos, perpendicular aos eixos x e y.
Para construir o círculo de Mohr nesse caso existem duas opções:
1. As tensões principais no estado plano têm o mesmo sinal.
O primeiro círculo é formado pelas tensões principais do estado plano e o segundo círculo com uma das
tensões principais e a origem O (Figura 8).
Figura 8 – Círculo de Mohr para tensões principais no estado plano de mesmo sinal
Fonte: Beer et al., 2015.
2. As tensões principais no estado plano têm sinais diferentes.
Os dois círculos são formados com uma das tensões principais e a origem O (Figura 9).
>Figura 9 – Círculo de Mohr para tensões principais no estado plano com sinais diferentes
Fonte: Beer et al., 2015.
O valor da tensão de cisalhamento máxima absoluta corresponde ao ponto D’ na Figura 8 e ao ponto D na
Figura 9.
3.2 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Beer et al., 2015). Para o estado plano de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento
máxima quando (a) σy = 40 MPa e (b) σy = 120 MPa.
Solução. (a) Da figura e do enunciado tiramos que:
Construindo o círculo de Mohr:
Para achar a tensão normal em C:
Para achar o raio usamos o teorema de Pitágoras:
Construindo o círculo de Mohr tridimensional:
Com isso pode-se concluir que:
(b) Da figura e do enunciado tiramos que:
Construindo o círculo de Mohr:
Para achar a tensão normal em C:
Para achar o raio usamos o teorema de Pitágoras:
Construindo o círculo de Mohr tridimensional:
Para achar o raio do círculo maior vamos achar a tensão máxima principal.
Exemplo 2 (Hibbeler, 2015). A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões
principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
Solução. Observando as tensões vamos observar o plano yz:
Desenhando o círculo de Mohr:
Achando o centro:
Achando o raio:
Portantoas tensões principais serão:
Quanto à outra tensão principal, vamos pegá-la no elemento original:
Construindo o círculo de Mohr tridimensional:
TEMA 4 – DEFORMAÇÃO PLANA
Na deformação plana, o elemento estará sujeito apenas às deformações εx, εy e a γxy. Lembramos que as
deformações normais variam e que os comprimentos do corpo e a deformação por cisalhamento causam uma
variação nos ângulos.
Figura 10 – Deformações normais εx, εy e deformação por cisalhamento γxy de um elemento
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
Deformações normais positivas alongam em seu eixo e as deformações por cisalhamento positivas são
aquelas em que o ângulo interno (do vértice O da Figura 10) é menor que 90° depois da deformação.
As deformações em um ponto de um elemento vão variar segundo a orientação dos eixos. Para a
transformação no plano de deformação usaremos as seguintes equações:
 
(2.5)
(2.6)
 
(2.7)
4.1 DEFORMAÇÃO PRINCIPAL
Podemos encontrar a orientação das deformações normais máximas e mínimas com a equação:
(2.8)
As deformações normais principais aparecem a cada 90º e nesses pontos a deformação por cisalhamento
será nula.
4.2 DEFORMAÇÕES POR CISALHAMENTO MÁXIMAS
A deformação por cisalhamento máxima tem uma orientação de 45° das deformações principais e a
deformação por cisalhamento mínima tem a mesma intensidade da máxima, mas possui sinal negativo.
4.3 EXEMPLOS
Exemplo 1 (elaborado com base em Gere; Goodno, 2017). Um elemento de material submetido ao estado
plano de deformações (veja a figura) apresenta as seguintes deformações: εx = 280 x 10
-6, εy = 420 x 10
-6 e a
γxy= 150 x 10
-6.
Calcule as deformações para um elemento orientado em um ângulo θ = 35°.
Solução. Para achar as deformações no ângulo pedido vamos utilizar as equações (2.5), (2.6) e (2.7).
Exemplo 2 (Hibbeler, 2015). As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave de
porca são εx = 260(10
-6), εy = 320(10
-6) e γxy = 180(10
-6). Use as equações de transformação da deformação
para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e
a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as
deformações distorcem o elemento no plano x-y.
Solução. (a) Para achar as deformações principais devemos achar o plano principal primeiro:
Substituindo nas equações (2.5) e (2.6):
Portanto as deformações principais são:
(b) A deformação por cisalhamento máxima no plano tem uma orientação de 45° das deformações
principais, portanto:
Substituindo na equação (2.7):
A deformação normal média será a média entre ε1 e ε2. E é a deformação quando a deformação por
cisalhamento é máxima.
TEMA 5 – CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES
O círculo de Mohr para o estado plano de deformações é construído de maneira semelhante ao círculo de
Mohr para o estado plano de tensões.
Para construir o círculo deve-se construir dois eixos: o horizontal será o eixo ε, positivo para a direita, e o
vertical será o eixo γ/2, positivo para baixo. Marcamos o ponto A (εx, γxy/2) e o ponto B (εy, -γxy/2), ligamos os
dois pontos e achamos o ponto C, que é onde cruza o eixo ε; esse ponto será a εmédia. Desenhamos um círculo
que passe por A e B e tenha centro em C (Figura 11).
Figura 11 – Círculo de Mohr para o estado plano de deformações
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
As deformações principais serão P1 e P2 e as deformações de cisalhamento máximas, S1 e S2. Para achar as
deformações para um ângulo θ, o ponto D, gira-se 2θ, a partir de A no sentido anti-horário.
5.1 Exemplos
Exemplo 1 (Beer et al., 2015). Para o estado plano de deformação dado, use o círculo de Mohr para
determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x’ e y’ que sofreram uma rotação do ângulo θ
dado.
εx = -800μ εy = +450μ γxy = 200μ θ = 25°
Solução. Marcando os pontos A e B e achando o círculo:
O ponto C será a εmédia:
Para achar o raio usamos o teorema de Pitágoras:
A partir de A rotaciona 2θ = 50° no sentido horário:
Vamos achar agora as coordenadas de D e D’:
D (-653,34 μ, -828,997 μ)
D’ (303,346 μ, 828,997 μ)
Exemplo 2 (elaborado com base em Gere; Goodno, 2017). Um elemento de material em estado plano de
deformações (veja a figura) está submetido às deformações εx = 480 x 10
-6, εy = 70 x 10
-6 e a γxy= 420 x 10
-6.
Determine as quantidades a seguir: (a) as deformações para um elemento orientado em um ângulo θ = 75°,
(b) as deformações principais e (c) as deformações de cisalhamento máximas.
Resolva o problema usando o círculo de Mohr para o estado plano de deformações.
Solução. Temos os dados:
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
Marcando o ponto A (480 x 10-6, 210 x 10-6) e o ponto B (70 x 10-6, -210 x 10-6), ligamos os pontos e
traçamos o círculo. O ponto C será a εmédia:
Para achar o raio usamos o teorema de Pitágoras:
(a)  2θ = 150°
Saindo de A e girando 150° no sentido anti-horário achamos o ponto D.
Com trigonometria pode ser achado o ângulo θp1:
Pelo desenho podemos tirar que:
Com trigonometria pode ser achada a coordenada do ponto D e D’:
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
(b)
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
(c)
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
FINALIZANDO
Nesta etapa, aprendemos sobre estado plano de tensões. Vimos como transformar a tensão para diferentes
orientações dentro de um sistema de coordenadas.
Aprendemos também sobre o estado plano de deformações. Foram apresentados exemplos dos assuntos
abordados, mas para melhor fixar o conteúdo faça mais exercícios envolvendo tais assuntos.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Education, 2015.