Aula 1 - Tensões e Deformações

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Tensões e Deformações
MET 162 – Transformação Mecânica dos 
Metais
Universidade Federal de Ouro Preto 
Escola de Minas 
Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Materiais 
1
Solicitações externas 
em materiais metálicas
Deformações elástica e 
plástica
Solicitação Resposta
2
Solicitação Resposta
A resposta do material depende de:
• Forças e momentos internos gerados por forças e 
momentos aplicados; 
• Propriedades do material; 
• Geometria do material.
3
Solicitação Resposta
Torção de limas endodônticas 
Efeito da 
microestrutura
Efeito da geometria
R
es
p
o
st
a 
d
o
 m
at
er
ia
l
4
Solicitação Resposta
Torção de limas endodônticas 
Efeito da microestrutura
Efeito da geometria
R
es
p
o
st
a 
d
o
 m
at
er
ia
l
5
R
es
p
o
st
a 
d
o
 m
at
er
ia
l
Solicitação Resposta
Flexão de limas endodônticas 
6
R
es
p
o
st
a 
d
o
 m
at
er
ia
l
Solicitação Resposta
Flexão de limas endodônticas 
7
Solicitação Resposta
Forças
Entretanto, uma mesma força aplicada em 
dois corpos com seções transversais 
distintas terá respostas diferentes
A1 A2
F

F

F

F

Para descrever o nível de 
solicitação de um corpo, 
considera-se a força 
aplicada em relação à área 
sob o a qual a força age
8
Conceito de Tensão
Assim, define-se tensão como:
A1 A2
F

F

F

F
 Para descrever o nível de solicitação de um corpo, 
considera-se a força aplicada em relação à área sob o a 
qual a força age
A
F
 T


=
9
[Pa]
Conceito de Tensão
Assim, define-se tensão como:
A1 A2
F

F

F

F
 A tensão em um corpo varia de ponto para ponto, mas 
uma tensão média em relação a uma área pode ser 
considerada
A
F
 T


=
10
Tensão média
Conceito de Tensão
TENSÃO NORMAL: Tensão perpendicular à área de atuação
TENSÃO CISALHANTE: Tensão paralela à área de atuação
Uma tensão qualquer atuando em uma determinada 
área pode ser decomposta em uma componente normal 
e uma componente cisalhante
11
Tensões Normais
Tensão Normal em um Ponto
12
Ԧ𝐹
x
y
z
x
σ = lim
∆A→0
𝐹𝑋
∆A𝑥
Tensões Normais
Tensão Normal Média
13
Ԧ𝐹
σ𝑥𝑥 =
𝐹𝑥
𝐴𝑥
x
y
z
x
Tensões Normais
Convenção de Sinais
oTensões trativas - σ > 0
oTensões compressivas - σ < 0
14
Tensões Cisalhantes
Tensão Cisalhante em um Ponto
15
x
y
z ∆𝐴𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑧
σ𝑥𝑦 = lim
∆𝐴𝑥→0
𝐹𝑦
∆𝐴𝑥
σ𝑥𝑧 = lim
∆𝐴𝑥→0
𝐹𝑧
∆𝐴𝑥
Tensões Cisalhantes
Tensão Cisalhante Média
16
σ𝑥𝑦 =
𝐹𝑦
𝐴𝑥
σ𝑥𝑧 =
𝐹𝑧
𝐴𝑥
x
y
z ∆𝐴𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑧
Tensões Cisalhantes
Convenção de Sinais
• Faces positivas são aquelas cujas normais são positivas às direções 
dos eixos x, y e z. 
(As normais são sempre tomadas no sentido de dentro para fora do elemento tomado)
• Tensões cisalhantes positivas atuam em uma direção positiva de uma 
face positiva ou na direção negativa de uma face negativa.
17
Tensões Cisalhantes
Convenção de Sinais
18
Tensão em um Ponto
Dado um corpo genérico, submetido a várias forças:
5F

1F

2F

3F

4F

6F

7F

xP
Corta-se, imaginariamente, o 
corpo por um plano passando 
por um ponto genérico P.
5F

6F

x
P
DA
F

D
19
Tensão em um Ponto
Dado um corpo genérico, submetido a várias forças:
5F

1F

2F

3F

4F

6F

7F

xP
Corta-se, imaginariamente, o 
corpo por um plano passando 
por um ponto genérico P.
5F

6F

x
P
t
s
q
n
Tp = lim
∆A→0
∆F
∆A
20
Tensão em um Ponto
5F

6F

x
P
A
F
T
D
D
=


t
s
q
n A
F
D
qD
=
cos

s
A
F
D
qD
=t
sen

A tensão resultante pode ser 
decomposta em:
Tensão Normal:
Tensão Cisalhante:
θ é o ângulo entre a tensão resultante 
e a normal ao plano 21
Tensão em um Ponto
22
5F

6F

xP
A
F
T
D
D
=

t
s
q
n
Em P age uma força = 1500 kgf, aplicada 
uniformemente em uma área de 2 cm2, contida num 
plano cuja normal faz um ângulo θ = 30° com a força. 
Calcule s e t. 
F

D
A
F
D
qD
=
cos

s
A
F
D
qD
=t
sen

2cm2
0cos . kgf1500 
=
2cmkgf650
2cm2
0sen . kgf1500 
=
2cmkgf375=
Exemplo
Estado de Tensão Geral
23
x
y
z
dx
dy
dz
sxx
sxy
sxz
szx
szy
szz
syx
syy
syz
Um estado geral de tensões atuando em 
um elemento infinitesimal é descrito por 
9 componentes: 
3 componentes normais 
6 componentes cisalhantes
Estado de Tensão Geral
24
x
y
z
dx
dy
dz
sxx
sxy
sxz
szx
szy
szz
syx
syy
syz
Este conjunto de tensões pode ser 
descrito por um tensor de tensões 𝜎𝑖𝑗
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
sss
sss
sss
s =
Estado de Tensão Geral
25
Considerando o equilíbrio, 
σ𝐹 = 0 e σ𝑀 = 0
𝜎𝑥𝑦 = 𝜎𝑦𝑥
𝜎𝑥𝑧 = 𝜎𝑧𝑥
𝜎𝑧𝑦 = 𝜎𝑦𝑧
O tensor de tensões é simétrico
Estado de Tensão Geral
26
Significado físico da notação de duplo subscrito:
1. O subscrito i define a normal ao plano sobre o qual uma componente age, 
enquanto o subscrito j define a direção (x, y ou z) da componente;
2. Uma combinação de i e j em que ambos são positivos ou ambos são negativos 
define uma componente positiva;
3. Uma combinação de i e j em que um é positivo e o outro é negativo define uma 
componente negativa.
Estado de Tensão Geral
27
Além disso, no tensor de tensões, dois subscritos idênticos (xx) indicam uma 
tensão normal, enquanto dois diferentes (xy) indicam uma tensão cisalhante. 
Para simplificar, as tensões normais serão designadas com apenas um subscrito 
(σi) e as cisalhantes como τij. Além disso, o equilíbrio implica na ausência de 
efeitos rotacionais em torno de qualquer eixo, de modo que τij = τji .
Estado de Tensão Geral
28
Tensor de Tensões
zyzxz
yzyxy
xzxyx
ij
stt
tst
tts
s =
Casos Especiais 
Carregamento Uniaxial
29
30
Casos Especiais 
Carregamento Uniaxial – Ensaio de Tração
Casos Especiais 
Estado Plano de Tensões
31
x
y
𝜎𝑦
𝜎𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑥
τ𝑦𝑥
τ𝑦𝑥
τ𝑥𝑦
τ𝑥𝑦
𝜎𝑖𝑗 =
𝜎𝑥 τ𝑥𝑦
τ𝑥𝑦 𝜎𝑦
Casos Especiais 
Estado Triaxial de Tensões
32
y
x
z
Casos Especiais 
Estado de Tensões Hidrostático
33
𝜎1 = 𝜎𝐻
y
x
z
𝜎2 = 𝜎𝐻
𝜎3 = 𝜎𝐻
Casos Especiais 
Estado Geral de Tensões – Componentes Hidrostáticas e Desviadoras
34
https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/mechanical_testing_metals
/von_mises.php
https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/mechanical_testing_metals/von_mises.php
Variação da Tensão com o Plano de Corte
35
DA1
a
DA
F

D
F

D
0τ,0α,σ
A
F
11
1
===
D
D

Qual é a tensão atuando em um 
plano qualquer em uma dada 
inclinação?
Variação da Tensão com o Plano de Corte
36
DA1
a
a
n
DA
s
t
F

D
P
F

D
F

D
0τ,0α,σ
A
F
11
1
===
D
D

Em um plano genérico, cuja normal está inclinada a um 
ângulo α do eixo do cilindro e de aplicação da força: 
α cos
A
A,
A
F
T 1
D
=D
D
D
=


Variação da Tensão com o Plano de Corte
37
DA1
a
a
n
DA
s
t
F

D
P
F

D
F

D
αcos
A
F
cosα
A
αcosF
A
αcosF
σ 2
11 D
D
=
D
D
=
D
D
=

( )a+== 2cos1
2
σ
αcosσσ 121
Tensão normal 
Variação da Tensão com o Plano de Corte
38
DA1
a
a
n
DA
s
t
F

D
P
F

D
F

D
αcosαsen
A
F
cosα
A
senαF
A
senαF
τ
11 D
D
=
D
D
=
D
D
=

a== 2sen
2
σ
αcosαsenστ 11
Tensão cisalhante 
Variação da Tensão com o Plano de Corte
39
DA1
a
a
n
DA
s
t
F

D
P
F

D
F

D
a== 2sen
2
σ
αcosαsenστ 11
( )a+== 2cos1
2
σ
αcosσσ 121
Equações paramétricas de uma circunferência onde:
x = σ e y= τ
𝐑 =
𝛔𝟏
𝟐
e C (
𝛔𝟏
𝟐
,0)
Variação da Tensão com o Plano de Corte
40
Exercício:
Para o problema anterior, considere 𝜎1 = 20000𝑃𝑠𝑖 e plote σ vs τ para planos com 
diferentes inclinações. 
Questões
• Em quais planos a tensão normal será máxima? Qual será o valor da 
tensão cisalhante nestes planos?
• Em quais planos a tensão cisalhante será máxima? Qual será seu valor 
em função da tensão normal máxima?
a== 2sen
2
σ
αcosαsenστ 11
( )a+== 2cos1
2
σ
αcosσσ 121
41
Tensões Principais
É sempre possível encontrar 3 planos passando por um ponto P, 
mutuamente ortogonais,onde τ é nulo. Nestes planos, portanto, 
existem somente tensões normais. Pode se mostrar que uma dessas 
tensões é o maior valor de σ agindo em P, a outra é o menor valor e a 
terceira é um valor intermediário.
Os planos em que τ é nulo são chamados de planos principais e as 
tensões normais atuantes nestes planos são denominadas tensões 
principais.
42
xP
Planos principais s1
s3
s2
Os planos onde t = 0 recebem o nome 
de Planos Principais;
As tensões s1, s2 e s3 recebem o nome 
de Tensões Principais. 
Por convenção, s1  s2  s .
Tensões Principais
As tensões principais podem ser obtidas pela diagonalização do tensor de tensões 
ou pela utilização do círculo de Mohr e suas equações
43
Círculo de Mohr
É a representação gráfica da variação de tensões com o plano 
de corte. 
As equações do círculo de Mohr podem ser obtidas por meio de:
• Operação de rotação do tensor de tensões 
(lei da transformação de tensores)
• Relações algébricas e geométricas
44
Círculo de Mohr – 2D
s
t
s1s2
t m
ax
45
2a
A
t ( )sen2ασσ
2
1
21 −=
s
( )21 σσ
2
1
+ ( )cos2ασσ2
1
21 −
Círculo de Mohr – 2D
46
Círculo de Mohr – 2D
𝝈𝒙′ =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
+
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽) + 𝝉𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝝈𝒚′ =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
−
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
(𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽) − 𝝉𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝝉𝒙′𝒚′ = −
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 + 𝝉𝒙𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
47
Círculo de Mohr – 2D
𝝈𝒙′ −
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
=
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽) + 𝝉𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝝉𝒙′𝒚′ = −
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 + 𝝉𝒙𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
(I)
(II)
Fazendo:(I)2 + (II)2
48
Círculo de Mohr – 2D
Fazendo:(I)2 + (II)2
𝝈𝒙′ −
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙′𝒚′
𝟐 =
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐
𝑹 =
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
= 𝝈𝒂𝒗𝒈
49
Círculo de Mohr – 2D
Fazendo:(I)2 + (II)2
𝝈𝒙′ − 𝝈𝒂𝒗𝒈
𝟐
+ 𝝉𝒙′𝒚′
𝟐 = 𝑹𝟐
Equação paramétrica de um círculo com 
coordenadas 𝝈𝒙′ vs 𝝉𝒙′𝒚′
e centro (𝝈𝒂𝒗𝒈,0)
Este é o círculo de Mohr, e cada ponto nele corresponde ao estado de 
tensão em um plano 2α
50
Cálculo das Tensões Principais
𝝉𝒙′𝒚′ = −
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝐬𝐞𝐧𝟐𝜽 + 𝝉𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽 = 𝟎
Os planos principais serão aqueles nos quais:
𝒅𝝈𝒊′
𝒅𝜽
= 𝟎
51
Cálculo das Tensões Principais
Os planos principais serão aqueles nos quais:
tan 𝟐𝜽𝒑 =
𝟐𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐𝜽𝒑
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
52
Substituindo θ = 𝛉𝐩 na equação de 𝝈𝒙′: 
Cálculo das Tensões Principais
𝝈𝒙′ =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
+
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
(𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒑) + 𝝉𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒑
𝟐𝜽𝒑
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽𝒑 =
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐𝑹
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒑 =
𝝉𝒙𝒚
𝑹
53
Substituindo θ = 𝛉𝐩 na equação de 𝝈𝒙′: 
Cálculo das Tensões Principais
𝝈𝟏 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
+
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐 𝟏
𝑹
+
𝝉𝒙𝒚
𝟐
𝑹
Mas 𝑹 =
𝝈𝒙−𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐 → 𝑹𝟐 =
𝝈𝒙−𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐
𝝈𝒙′ =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
+
𝑹𝟐
𝑹
54
Resultando:
Cálculo das Tensões Principais
𝝈𝟏 =
𝝈𝒙+𝝈𝒚
𝟐
+
𝝈𝒙−𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐
𝝈𝟐 =
𝝈𝒙+𝝈𝒚
𝟐
−
𝝈𝒙−𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐
Como planos principais são ortogonais, 𝛉𝟐 = 𝛉𝐩 + 𝟗𝟎°
55
Nos planos em que a tensão cisalhante é máxima, temos:
Resolvendo esta igualdade, obtemos:
Cálculo das Tensões Cisalhantes Máximas
𝒅𝝉𝒊′𝒋′
𝒅𝜽
= 𝟎
tan 𝟐𝜽𝒔 =−
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐𝝉𝒙𝒚
56
Resolvendo esta igualdade, obtemos:
Cálculo das Tensões Cisalhantes Máximas
tan𝟐𝜽𝒔 =−
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐𝝉𝒙𝒚
𝟐𝜽𝒑
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
57
Resolvendo esta igualdade, obtemos:
Cálculo das Tensões Cisalhantes Máximas
tan𝟐𝜽𝒔 =−
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐𝝉𝒙𝒚
= − cot 𝟐𝜽𝒑 = tan 𝟐𝜽𝒑 ± 90°
𝟐𝜽𝒑
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
58
Resolvendo esta igualdade, obtemos:
Cálculo das Tensões Cisalhantes Máximas
tan𝟐𝜽𝒔 =−
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐𝝉𝒙𝒚
= − cot 𝟐𝜽𝒑 = tan 𝟐𝜽𝒑 ± 90°
tan 𝟐𝜽𝒔 = tan 𝟐𝜽𝒑 ± 90°
𝟐𝜽𝒔 =𝟐𝜽𝒑 ± 90°
𝜽𝒔 =𝜽𝒑 ± 45°
Os planos de tensão cisalhante máxima 
estão a 45° dos planos principais
59
Substituindo θ = 𝛉𝐩 na equação de 𝝉𝒙′𝒚′, obtemos:
Pode-se demonstrar também que: 
Cálculo das Tensões Cisalhantes Máximas
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝝈𝟏+𝝈𝟐
𝟐
60
plano1
plano3
plano2
x
P s1s
t m
a
x
A
s
t
0 s2
plano1
plano2
plano3
s2
s2
s s
s1
s1
2
31
max
s−s
=t
É possível demonstrar que os valores de s e t
para um plano com inclinação qualquer passando 
por P corresponderão sempre a pontos dentro
da região sombreada do círculo de Mohr. 
Círculo de Mohr – 3D
s1
tmax
s
t
0s2 = s =
s1
s1
TRAÇÃO PURA
Círculo de Mohr – 3D
s1s = s
t
0 s2
tmax
s2 s2
s1
s1
ESTADO PLANO DE TENSÕES
Círculo de Mohr – 3D
s1s
tmax
s
t
0 s2s2 s2
s1
s1
s
s
DIMINUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Círculo de Mohr – 3D
s1s
tmax
s
t
0 s2s2 s2
s1
s1
s
s
AUMENTO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Exercícios 1.9 e 1.10 
(Ref. 1)
Círculo de Mohr – 3D
s1
tmax = 0
s
t
0s2 s2
s1
s1
s
s
s2 = s =
ESTADO HIDROSTÁTICO DE TENSÕES
Círculo de Mohr – 3D
Analise as três aplicações apresentadas no item 1.6 da Ref. 1 e proponha mais uma
aplicação, diferente das exemplificadas. Descreva os estados de tensão
correspondentes e desenhe os respectivos círculos de Mohr.
Exercício Extra
Círculo de Mohr – 3D
Solicitação Resposta
68
DeformaçãoTambém estamos interessados em 
saber o quanto o corpo deformará 
ao ser solicitado por uma força
Alterações de forma? 
Alterações nas dimensões?
Deformação Linear
Dado um corpo submetido a uma tensão uniaxial, define-se 
deformação linear como:
69
𝑒 =
𝑙𝑓 − 𝑙0
𝑙0
=
∆𝑙
𝑙0
É uma medida do alongamento de um 
corpo sob carregamento uniaxial
[-]
Deformação de Engenharia
𝑒 =
𝑙𝑓 − 𝑙0
𝑙0
=
∆𝑙
𝑙0
70
Dl
Dl
lo
2Dl
s1’
s1
Alongamento
Calcular deformação total, considerando:
• Alongamento total;
• Incrementos do alongamento. 
Deformação Linear
Deformação real
Em processos de conformação, onde trabalha-se com grandes 
deformações, é mais útil trabalhar com a deformação real.
71
ε = න
𝑙0
𝑙𝑓 𝑑𝑙
𝑙
= 𝑙𝑛
𝑙𝑓
𝑙0
Deformação Linear
Em processos de conformação, onde trabalha-se com grandes 
deformações, é mais útil trabalhar com a deformação real.
72
𝑒 =
𝑙𝑓 − 𝑙0
𝑙0
=
𝑙𝑓
𝑙0
− 1
ε = 𝑙𝑛
𝑙𝑓
𝑙0
ε = ln(𝑒 + 1)
Deformação Linear
1) Um arame de comprimento inicial 200mm é estirado 20mm. Após esta 
operação, sofre um estiramento adicional de 50 mm, obtendo-se um valor 
total de 70mm. Calcular e e ε para cada etapa de deformação e comparar 
essa soma com os valores obtidos para deformação total. 
2) Calcule a razão entre a deformação de engenharia (e) e verdadeira (ε) para e 
= 0,001, 0,01, 0,1, 1 e 10.
Exercícios
3) Uma placa de 1,0 mm de espessura sofre uma redução sequencial
para as seguintes espessuras (em mm): 0,5; 0,2; 0,1. Calcule a
deformação linear no sentido da espessura da chapa em cada um dos
três passes, utilizando:
a) Deformação de engenharia (deformação convencional)
b) Deformação verdadeira
c) Calcule as deformações de engenharia e verdadeira considerando que
a redução 1 para 0,1 mm tenha ocorrido em um único passe.
d) Some os valores obtidos em cada passe nos itens (a) e (b) e compare
o resultado dessas somas com os valores calculados em (c). Explique a
razão das diferenças/semelhanças entre os valores.
Exercícios
Tensões cisalhantes produzem deformações por cisalhamento. 
Neste casos, os comprimentos não se alteram, apenas sofrem uma 
rotação
75
tan 𝜃 =
𝛿
𝑙
𝜃
2
Τ𝜃 2
θ
δ
Deformação Cisalhante
Tensor de Deformações
Válido apenas para pequenas deformações
Grandes deformações ⇒ distorções provocadas por um componente 
podem afetar as outras componentes ⇒ erros no cálculo tensorial
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
eee
eee
eee
e =
A deformação angular gxy é resultante da ação de duas tensões cisalhantes txy e tyx. 
Então:
2
γ xy
yxxy ee ==
z
y
x
ij
e
e
e
e
yzxz
yzxy
xzxy
2
γ
2
γ
2
γ
2
γ
2
γ
2
γ
=
Tensor de Deformações
Variaçãoda Deformação com a Direção
78
É sempre possível encontrar, para cada ponto de um corpo carregado, três
direções mutuamente perpendiculares, para as quais as deformações
angulares são nulas.
Em analogia com o caso de tensões, pode-se mostrar que as deformações
lineares que ocorrem normalmente aos planos em questão correspondem a
extremos, ou seja, uma delas (e1) é a maior de todas as deformações lineares,
outra (e3) é a menor, e a terceira apresenta um valor intermediário.
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Deformações Principais
Podem ser construídos círculos de Mohr para deformações:
x → deformações lineares (ε)
y → deformações por cisalhamento (g/2);
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Deformações Principais
As deformações ε1 e ε2 “deformações
principais” e são respecti-vamente
colineares com s1, s2 e s3 para
materiais isotrópicos.
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Deformações Principais
Podem ser construídos círculos de Mohr para deformações:
Deformações Volumétricas
s2
e2
s1
e1
s1
e1
s2
e2
s e3
s e3
l1
l2
l3
A deformação volumétrica é definida 
como:
o
of
V
VV
Δ
−
=
Deformações Volumétricas
s2
e2
s1
e1
s1
e1
s2
e2
s e3
s e3
l1
l2
l3
Vo = l1 l2 l3
l’1 = l1 (1+e1)
l’2 = l2 (1+e2)
l’3 = l3 (1+e3)
Vf = l1 l2 l3(1+e1)(1+e2)(1+e3) 
Vf = l1l2l3(1+e1+e2+e3+e1e2+e1e3+e2e3+e1e2e3)
Considerando um elemento no qual atuam as tensões principais s1, s2 e s3 :
Assim:
Se as deformações e1, e2 e e3 forem pequenas, 
pode-se escrever:
Vf = l1 l2 l3 (1+e1+e2+e3)
Assim, . 
321 eeeΔ ++=
Deformações Volumétricas
s2
e2
s1
e1
s1
e1
s2
e2
s e3
s e3
l1
l2
l3
Vo = l1 l2 l3
∆=
l1 l2 l3 (1+e1+e2+e3) − l1 l2 l3
l1 l2 l3
Substituindo os valores de Vo e Vf , temos:
1. Considerando um pequeno quadrado em torno do ponto P, com um de seus 
lados inicialmente na horizontal, desenhar sua forma final após as seguintes 
deformações angulares:
a) q1 = 0,1 ; q2 = 0,1 c) q1 = 0,1 ; q2 = −0,1
b) q1 = 0,2 ; q2 = 0 d) q1 = −0,1 ; q2 = −0,1
Calcular g em cada caso, comparando seu valor com as formas finais encontradas.
(Note que as variações de volume produzidas no cisalhamento são desprezíveis se 
comparadas às deformações lineares.)
2. Quando o volume de um corpo não é alterado pela deformação plástica, tem-se 
Δ=0. Para este caso, 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 ≈ 0. Provar que a soma ε1 + ε2 + ε3 é 
exatamente igual a 0.
Exercícios