Módulo 13- Integração Numérica

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Métodos 
Numéricos para 
Engenharia
MÓDULO 13– INTEGRAÇÃO NUMÉRICA – TRAPÉZIOS E SIMPSON
PROFESSOR LUCIANO NEVES DA FONSECA
Definições
 Métodos Numéricos podem ser usados para integrar funções definidas 
tanto na forma tabular quanto na forma analítica.
➢ Método dos Trapézios
➢ Regra de Simpson 1/3
➢ Regra de Simpson 3/8
➢ Newton Cotes Fechado
➢ Newton Cotes Aberto
➢ Quadratura de Gauss
A
a b x
y
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) อ
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑓(𝑥)
Regra dos Trapézios
 Se conhecermos somente 2 pontos de uma função 𝑓(𝑥) no intervalo [a, b] ( f(a) e f(b) ), podemos 
utilizar a regra do trapézio para integrar 𝑓(𝑥) no intervalo . Nesta regra, aproximamos a função f(x) no 
intervalo [a,b] por uma reta 𝑝(𝑥) que une os pontos (𝑎, 𝑓(𝑎)) 𝑒 (𝑏 𝑓(𝑏)). Com isso a área A sob a curva 
𝑓(𝑥) pode ser aproximada pela área sob a reta.
A
= 𝑓 𝑎 + ℎ
0 2
2 −ℎ
+ 𝑓 𝑎
ℎ 2
2 −ℎ
− 𝑓 𝑎 + ℎ
−ℎ 2
2 ℎ
− 𝑓(𝑎)
0 2
2 ℎ
=
ℎ
2
(𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑎 + ℎ
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎 − ℎ
−ℎ
+ 𝑓 𝑎 + ℎ
𝑥 − 𝑎
ℎ
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥
𝐴 =
ℎ
2
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑎 + ℎ + Et Onde Et = −
1
12
ℎ 3𝑓′′ ҧ𝑥 ҧ𝑥 ∈ [𝑎, 𝑎 + ℎ]
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ න
𝑎
𝑎+ℎ
𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎 − ℎ 2
2 −ℎ
+ 𝑓(𝑎 + ℎ)
𝑥 − 𝑎 2
2 −ℎ
+ ቮ
𝑎 + ℎ
𝑎
f(x)
x
y
ℎ
Regra de Simpson 1/3
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ න
𝑎
𝑎+2ℎ
𝑝 𝑥 𝑑𝑥 =
ℎ
3
𝑓 𝑎 + 4𝑓 𝑎 + ℎ + 𝑓 𝑎 + 2ℎ
𝑝(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎 − ℎ 𝑥 − 𝑎 − 2ℎ
−ℎ −2ℎ
+ 𝑓 𝑎 + ℎ
𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 − 2ℎ
ℎ −ℎ
+ 𝑓(𝑎 + 2ℎ)
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎 − ℎ)
(2ℎ)(ℎ)
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2
𝐴 =
ℎ
3
𝑓 𝑎 + 4𝑓 𝑎 + ℎ + 𝑓 𝑎 + 2ℎ + Et
Onde Et =
1
90
ℎ 5𝑓′′ ҧ𝑥 ҧ𝑥 ∈ [𝑎, 𝑎 + 2ℎ]
 Se conhecermos 3 pontos equiespaçados de uma função 𝑓(𝑥) no intervalo [a, b] ( f(a), f(a+h) e f(b) ), 
podemos usar a regra de Simpson 1/3 para integrar 𝑓(𝑥) no intervalo . Nesta regra, aproximamos a 
função f(x) no intervalo 𝑎, 𝑏 por uma parábola. Com isso a área A sob a curva 𝑓(𝑥) pode ser 
aproximada pela área sob a parábola.
A
f(x)
x
y
ℎ ℎ
Regra de Simpson 3/8
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ න
𝑎
𝑎+3ℎ
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3
𝐴 = 3
ℎ
8
𝑓 𝑎 + 3𝑓 𝑎 + ℎ + 3𝑓 𝑎 + 2ℎ + 𝑓 𝑎 + 3ℎ + Et
Onde Et ≈ ℎ
5
𝑝 𝑥 = 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎 − ℎ 𝑥 − 𝑎 − 2ℎ (𝑥 − 𝑎 − 3ℎ)
−ℎ −2ℎ (−3ℎ)
+ 𝑓 𝑎 + ℎ
𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 − 2ℎ (𝑥 − 𝑎 − 3ℎ)
ℎ −ℎ (−2ℎ)
+
𝑓 𝑎 + 2ℎ
𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 − ℎ (𝑥 − 𝑎 − 3ℎ)
2ℎ ℎ (−ℎ)
+ 𝑓(𝑎 + 3ℎ)
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎 − ℎ)(𝑥 − 𝑎 − 2ℎ)
(3ℎ)(2ℎ)(ℎ)
 Se conhecermos 4 pontos equiespaçados de uma função 𝑓(𝑥) no intervalo [a, b] ( f(a), f(a+h), 
f(a+2h) e f(b) ), podemos usar a regra de Simpson 3/8 para integrar 𝑓(𝑥) no intervalo . Nesta regra, 
aproximamos a função f(x) no intervalo 𝑎, 𝑏 por um polinômio cúbic0. Com isso a área A sob a 
curva 𝑓(𝑥) pode ser aproximada pela área sob polinômio cúbico.
A
f(x)
x
y
ℎ ℎℎ
Regra de Boole
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ න
𝑎
𝑎+4ℎ
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 + 𝑎4𝑥
4
𝐴 = 2
ℎ
45
7𝑓 𝑎 + 32𝑓 𝑎 + ℎ + 12𝑓 𝑎 + 2ℎ + 32𝑓 𝑎 + 3ℎ + 7𝑓(𝑎 + 4ℎ) + Et Onde Et ≈ ℎ
7
𝑝 𝑥 = 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 + 𝑎4𝑥
4 - Lagrange 5 pontos
 Se conhecermos 5 pontos equiespaçados de uma função 𝑓(𝑥) no intervalo [a, b] ( f(a), f(a+h), 
f(a+2h), f(a+3h) e f(b) ), podemos usar a regra de Boole para integrar 𝑓(𝑥) no intervalo . Nesta 
regra, aproximamos a função f(x) no intervalo 𝑎, 𝑏 por um polinômio cúbico. Com isso a área A 
sob a curva 𝑓(𝑥) pode ser aproximada pela área sob polinômio cúbico.
A
f(x)
x
y
ℎℎℎℎ
Tabela Newton Cotes
𝐼 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝛼𝑛෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 𝑤𝑛,𝑖
 Se conhecermos n pontos equiespaçados de uma função 𝑓(𝑥) no intervalo [a, b], podemos usar a 
regra geral a tabela de Newton Cotes para integrar 𝑓(𝑥) no intervalo . Nesta regra, aproximamos a 
função f(x) no intervalo 𝑎, 𝑏 por um polinômio de orden n-1. Com isso a área A sob a curva 
𝑓(𝑥) pode ser aproximada pela área sob o polinômio.
Notar que Newton-Cotes engloba a regra do Trapézio (n=2), Simpson 1/3 (n=3), Simpson 3/8 (n=4) e Boole
(n=5). Utilizamos raramente para n>10, por conta do wiggling gerado pelo ajuste do polinômio .
Exemplo Simpson 1/3– Função na Forma Tabular
𝐼 = න
1
4
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
6 pontos
𝑓 𝑥 = 5 −
𝑥
2
+ 𝑠𝑖𝑛 8𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 12𝑥 𝑒−𝑥
Newton Cotes – Função na 
Forma Analítica
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 10 cos 𝑥 + 20
𝐼 = න
0
10
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Exemplo 1: Função com poucas oscilações 
(máximos e mínimos) no intervalo.
𝑓 𝑥 = 𝑥 + sin 3 𝑥 + 1
𝐼 = න
0
11.8
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Exemplo 2: Função com muitas oscilações 
(máximos e mínimos) no intervalo.
𝑎 𝑎 + ℎ 𝑎 + 2ℎ 𝑎 + 3ℎ 𝑎 + 4 𝑎 + 5ℎ 𝑎 + 6ℎ
x
y
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥
Regra dos Trapézios Estendida
 Se tivermos n pontos equiespaçados no intervalo [𝑎, 𝑏], o espaçamento h será
 Podemos ajustar uma reta 𝑝(𝑥) a cada dois pontos, e com isso aplicar a regra dos trapézios a cada dois 
pontos.
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑎+ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න
𝑎+ℎ
𝑎+2ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න
𝑎+2ℎ
𝑎+3ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න
𝑎+3ℎ
𝑎+4ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න
𝑎+4ℎ
𝑎+5ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න
𝑎+5ℎ
𝑎+6ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝐴 =
ℎ
2
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑎 + ℎ +
ℎ
2
𝑓 𝑎 + ℎ + 𝑓 𝑎 + 2ℎ +
ℎ
2
𝑓 𝑎 + 2ℎ + 𝑓 𝑎 + 3ℎ +
ℎ
2
𝑓 𝑎 + 3ℎ + 𝑓 𝑎 + 4ℎ +
ℎ
2
𝑓 𝑎 + 4ℎ + 𝑓 𝑎 + 5ℎ + +
ℎ
2
𝑓 𝑎 + 5ℎ + 𝑓 𝑏
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛 − 1
Et =
1
12
𝑏 − 𝑎 ℎ3 𝑓′′
𝐴 =
ℎ
2
𝑓 𝑎 + 2𝑓 𝑎 + ℎ + 2𝑓 𝑎 + 2ℎ + 2𝑓 𝑎 + 3ℎ + 2𝑓 𝑎 + 4ℎ + 2𝑓 𝑎 + 5ℎ + 𝑓 𝑎 + 6ℎ
𝑁𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
𝑛 = 7
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛 − 1
=
4 − 1
6
= 0.5
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ
Exemplo Trapézios – Função na Forma Tabular
𝑒𝑟𝑟𝑜 ≈ 100ℎ3/𝐼 = 2.9%
𝐼 = න
0.0
10.0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Exemplo Trapézios – Função na 
Forma Analítica
𝑓 𝑥 = 𝑥 + sin 3𝑥 + 1
𝐴 = න
0
10
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑟𝑟𝑜 = 100
𝐼 − 𝐼𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎
𝐼𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎
= 0.9%
Evolução do Erro Trapézios com 2,3,4,5,7,9 15,20 e 50 pontos
𝑓 𝑥 = 𝑥 + sin(3𝑥)
𝐴 = න
0
10
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Trapézio pode ser aplicado para qualquer n
Regra de Simpson 1/3 Estendida
Se tivermos n pontos equiespaçados no intervalo [a,b], podemos Ajustar um parábola p(x) a 
cada 3 pontos
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑎+2ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න
𝑎+2ℎ
𝑎+4ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න
𝑎+4ℎ
𝑏=𝑎+6ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2
𝐴 =
ℎ
3
𝑓 𝑎 + 4𝑓 𝑎 + ℎ + 𝑓 𝑎 + 2ℎ +
ℎ
𝟑
𝑓 𝑎 + 2ℎ + 4𝑓 𝑎 + 3ℎ + 𝑓 𝑎 + 4ℎ +
ℎ
3
𝑓 𝑎 + 4ℎ + 4𝑓 𝑎 + 5ℎ + 𝑓 𝑎 + 6ℎ
𝐴 =
ℎ
3
𝑓 𝑎 + 4𝑓 𝑎 + ℎ + 2𝑓 𝑎 + 2ℎ + 4𝑓 𝑎 + 3ℎ + 2𝑓 𝑎 + 4ℎ + 4𝑓 𝑎 + 5ℎ + 𝑓 𝑎 + 6ℎ
Et ≈ ℎ
5
Precisamos de um número ímpar de pontos
𝑎 𝑎 + ℎ 𝑎 + 2ℎ 𝑎 + 3ℎ 𝑎 + 4 𝑎 + 5ℎ 𝑎 + 6ℎ
x
y
ℎ ℎ ℎ
𝑁𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
𝑛 = 7
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛 − 1
=
4 − 1
6
= 0.5
Exemplo Simpson 1/3– Função na Forma Tabular
𝐼 = න
0.0
10.0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Exemplo – Simpson 1/3 
Forma Analítica
𝑓 𝑥 = 𝑥 + sin 3𝑥 + 1
𝐴 = න
0
10
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑒𝑟𝑟𝑜 = 100
𝐼 − 𝐼𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎
𝐼𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎
= 1.67%
Evolução do Erro Simpson 1/3, com 3,5,7,9,11,13,15, 21e 51 pontos
𝑓 𝑥 = 𝑥 + sin 3𝑥 + 1 𝐴 = න
0
10
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Simpson 1/3 pode ser aplicado para n ímpar
Τ1 3 Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
3
8
Combinação Simpson 1/3 + Simpson 3/8 (Newton-Cotes 4 pontos)
Como Simpson 1/3 só pode ser aplicado a um número N ímpar de pontos, precisamos de uma cominação de métodos para
podemos aplicar o método a um número par de pontos.
Se N for par, podemos aplicar Simpson 1/3 aos primeiros N-3 pontos e Simpson 3/8 aos últimos 4 pontos.
Notar que, se tivermos somente 4 pontos, aplicamos somente o método Simpson 3/8
Evolução do Erro Simpson 1/3 + 3/8, com 3,4,5,6,7,8,10,12 e 14 pontos
𝑓 𝑥 = 𝑥 + sin 3𝑥 + 1 𝐴 = න
0
10
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Τ1 3 Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
3
8 Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
3
8Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
1
3 Τ
3
8
Τ1 3 Τ
1
3 Τ
3
8
Τ1 3 Τ
1
3 Τ
1
3Τ
1
3 Τ
3
8
ൗ1 3 ൗ
1
3
ൗ3 8ൗ
1
3
Quadratura de Gauss
• É um método muito eficiente, pois conseguimos calcular a integralde uma função 𝑓(𝑥) no intervalo
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 com alta precisão utilizando poucos pontos no intervalo.
• Se baseia na análise das raízes dos polinômios de legengre (raízes reais no intervalo −1 <= 𝑥 <= 1 )
• A função 𝑓 𝑥 que se quer integrar no intervalo [a,b] deve ser fornecida na forma analítica .
• A função 𝑓 𝑥 não será calculada em pontos equiespaçados, mas sim em pontos relacionados às raízes
de um polinômio de Legendre
A função 𝑓 𝑥 que se quer integrar deve ser
fornecida na forma analítica (não serve lista
de pontos equiespaçados)
Para aproximarmos a integral da função 𝑓 𝑥
no intervalo [a,b] com n pontos, primeiro
precisamos encontrar as n raízes 𝑧𝑖 do
polinômio de Legendre de ordem n, e os n
pesos 𝑤𝑖
Estes valores ( 𝑧𝑖 e 𝑤𝑖 ) são normalmente
tabelados, e referenciados ao intervalo [-1,1].
Estes valores devem ser então normalizados
para o intervalo [a,b] no qual iremos integrar a
função 𝑓 𝑥
𝑥𝑖 =
𝑏 − 𝑎
2
𝑧𝑖 +
𝑏 + 𝑎
2
𝑤′𝑖 =
𝑏 − 𝑎
2
𝑤𝑖
𝐼 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ ෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 𝑤′𝑖
Com esta tabela, podemos calcular a integral com até 11 pontos.
Conteúdo Opcional
Cálculo dos Coeficientes da Quadratura de Gauss (Opcional) 
 O cálculo parte dos polinômios de Legendre 𝑃𝑛(𝑥) , que possui n raízes reais . Este polinômios aparecem como 
solução da seguinte equação diferencial:
 1 − x2 y′′ − 2xy′ + n n + 1 y = 0
 A solução desta equação diferencial é a série de polinômios de Legendre 𝑦 = 𝑃𝑛 𝑥 , que pode ser obtida pela 
seguinte equação de recorrência:
𝑃0 𝑥 = 1
𝑃1 𝑥 = x
𝑃𝑛 𝑥 =
2𝑛 − 1 𝑥𝑃𝑛−1 𝑥 − 𝑛 − 1 𝑃𝑛−2 𝑥
𝑛
• Começamos com um vetor contendo as n
estimativa inicial 𝑧𝑜para as n raízes (𝑘 = 1: 𝑛) ,
utilizando a aproximação de Tricomi:
𝑧𝑜 = 1 −
1
8𝑛2
+
1
8𝑛3
cos 𝜋
𝑛 − 𝑘 + ൗ3 4
𝑛 + ൗ1 2
• Então utilizamos o método de Newton Raphson para melhorar a aproximação das raízes.
𝑤 =
2
1 − 𝑧2 𝑃𝑛
′2 𝑧
𝑃𝑛 𝑥 =
2𝑛 − 1 𝑥𝑃𝑛−1 𝑥 − 𝑛 − 1 𝑃𝑛−2 𝑥
𝑛
Cálculo das Raízes de Legendre por 
Newton Rapshon
• Utilizamos a fórmula de recorrência para encontrar o polinômio de legendre 𝑃𝑛 𝑥 de ordem n, e o
programa scilab derivat para avaliar a sua derivada 𝑃𝑛´(x).
𝑧1 = 𝑧𝑜 −
𝑃𝑛 𝑧𝑜
𝑃𝑛´ 𝑧𝑜
𝑃′𝑛 𝑥 = derivat 𝑃𝑛 𝑥
• O algoritmo de Newton Rapson irá convergir para o vetor z contendo as n raízes do polinômio de 
Lagrange de ordem n . O vetor w com n pesos necessários para a quadratura podem ser calculados 
diretamente através da seguinte fórmula:
𝐼 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ ෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 𝑤′𝑖
Com Quadratura 2, podemos calcular a integral com mais 
de 11 pontos.
Quadratura – 𝑍𝑖 𝑒 𝑊𝑖 calculados diretamente através das raízes dos 
polinômios de Legendre
Evolução do Erro da Quadratura, com 3,4,5,6,7,8,9,10,11,15, 20 e 25 pontos
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 10𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝐴 = න
0
8
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
	Slide 1: Métodos Numéricos para Engenharia 
	Slide 2: Definições
	Slide 3: Regra dos Trapézios
	Slide 4: Regra de Simpson 1/3
	Slide 5: Regra de Simpson 3/8
	Slide 6: Regra de Boole
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12: Regra dos Trapézios Estendida
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16: Regra de Simpson 1/3 Estendida
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22: Quadratura de Gauss 
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25: Conteúdo Opcional Cálculo dos Coeficientes da Quadratura de Gauss (Opcional) 
	Slide 26: Cálculo das Raízes de Legendre por Newton Rapshon
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30