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Métodos Numéricos para cálculo de ‘zeros’ de funções 
 
 
Método da Bissecção 
 
Seja 𝑓 uma função contínua em 
[a,b], tal que 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0. O método 
consiste em, a partir de um intervalo [a, b], 
que contenha a raiz �̅�, determinar uma 
sequência de intervalos [𝑎! , 𝑏!], 𝑖 = 0,1,2, …. e 
𝑎" = 𝑎 e 𝑏" = 𝑏. 
 A amplitude do intervalo em uma 
iteração é a metade da amplitude do 
intervalo anterior, e ele sempre contém a 
raiz �̅�. 
A sequência de intervalos será 
calculada até que a amplitude do 
intervalo seja menor que a precisão ε 
requerida. 
 Vejamos o passo a passo: 
 
 
(i) Determinar um intervalo inicial 
(conforme orientações do Teorema 
de Bolzano); 
(ii) Calcular 𝑥! =
(#!$%!)
'
; 
(iii) 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑥) < 0, então você utiliza 𝑎, 
senão você utilizará 𝑥 nessa 
extremidade do intervalo; 
(iv) 𝑓(𝑏). 𝑓(𝑥) < 0, então você utiliza 𝑏, 
senão você utilizará 𝑥 nessa 
extremidade do intervalo; 
 
Concluído o processo, conforme critério 
de parada estabelecido, têm-se um 
intervalo [a, b] que contém uma 
aproximação �̅� para a raiz exata. 
 Método das cordas 
 
 Neste método, devemos considerar 
os seguintes elementos: 
 
n a b x 𝑓(𝑎!) 𝑓(𝑏!) 𝑓(𝑥!) 
0 a b Valor 
inicial 
f(a) f(b) f(valor 
inicial) 
1 
... 
 
Para definir o valor inicial e o ponto fixo: 
(i) Se 𝑓(𝑎). 𝑓"(𝑥) < 0, então 𝑎 é o valor 
inicial e 𝑏 é o ponto fixo; 
(ii) Se 𝑓(𝑎). 𝑓"(𝑥) > 0, então 𝑎 é o 
ponto fixo e 𝑏 é o valor inicial; 
(iii) Se 𝑓(𝑏). 𝑓"(𝑥) < 0, então 𝑏 é o valor 
inicial e 𝑎 é o ponto fixo; 
(iv) Se 𝑓(𝑏). 𝑓"(𝑥) > 0, então 𝑎 é o valor 
inicial e 𝑏 é o ponto fixo; 
 
Após definir valor inicial e ponto fixo, deve-
se aplicar o método: 
 
𝑥!"# = 𝑥! −
𝑓(𝑥!)
𝑓(𝑥!) − 𝑓(𝑝𝑓)
	 . (𝑥! − 𝑝𝑓) 
 
O processo é concluído, conforme o 
critério de parada estabelecido. 
 
 
Método de Newton 
 
O método de Newton é um eficiente 
método para se obter a aproximação de 
raízes de funções reais. Seja 𝑓: 𝐼 → ℝ uma 
função derivável. Assim, fica definida, para 
todo ponto de 𝐼 onde a derivada de 𝑓 não 
se anula, a seguinte função: 𝑥# = 𝑥#$% −
&((!"#)
&*((!"#)
. 
 Vejamos o passo a passo: 
 
(i) Determine o intervalo inicial 
(conforme orientações do 
Teorema de Bolzano); 
(ii) Determinar o valor de 𝑥 inicial; 
(iii) Determinar 𝑓(𝑥"); 
(iv) Calcule 𝑓′(𝑥"); 
(v) Utilizar o método para determinar 
o valor de 𝑥# 
 
O processo é concluído, conforme 
o critério de parada estabelecido. 
 
Exercícios 
 
Encontrar uma raiz em cada uma das funções, e 
seus respectivos intervalos, utilizando os três 
métodos estudados. Precisão: 0,01 
 
(a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+ − 5𝑥, − 6𝑥 − 8; [3,4]; 
(b) 𝑓(𝑥) = %
(
+ 𝑥, − 5; [1,3]; 
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥+ − 3𝑥 − 1; [-1,0]; 
(d) 𝑓(𝑥) = 𝑥,−3; [1,2]; 
(e) 𝑓(𝑥) = 𝑒$( − 3𝑥; [0,2].