38 - Exercícios Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes)

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Exercícios resolvidos de 
Álgebra Linear 
(Matrizes e Determinantes) 
 
T
es
te
s 
e 
Se
b
en
ta
s 
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Índice: 
1. Matrizes 
1.1. Igualdade de matrizes … 3 
1.2. Transposta de uma matriz … 3 
1.3. Multiplicação por um escalar … 3 
1.4. Produto entre matrizes … 4 
1.5. Propriedades do produto entre matrizes … 5 
1.6. Matrizes invertíveis … 6 
1.7. Operações elementares sobre uma matriz … 7 
1.8. Forma escalonada de uma matriz … 7 
1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes … 8 
 
2. Determinantes 
2.1. Cálculo de determinates … 9 
2.2. Propriedades dos determinantes … 10 
2.3. Resolução de sistemas … 10 
2.4. Sistemas de Cramer … 12 
2.5. Sistemas Homogéneos … 12 
2.6. Característica da matriz … 13 
2.7. Discussão de sistemas … 14 
 
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1. Matrizes 
 
1.1. Igualdade de matrizes: 
Para que valores de e de as matrizes A e B são iguais? 
A = 
 
B = 
Resolução: 
A = B  =   
 
 
1.2. Transposta de uma matriz: 
Considere as matrizes A, B e C. Calcule se possível: 
1. AT + B 
2. ( C – AT )T 
A = B = 
C = 
 
Resolução: 
1. AT + B  Não é possível porque as matrizes têm ordens diferentes. 
Ordem: AT (3 2) B (3 2) 
 
2. ( C – AT )T = CT – A = – = 
 
 
1.3. Multiplicação por um escalar: 
Considere as matrizes A e C. Calcule: 
3A – ½ CT 
A = 
 
B = 
Resolução: 
 
3A – ½ CT = – = 
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1.4. Produto entre matrizes: 
 
1. Considere as matrizes A e B. Calcule o produto: 
a. AB 
b. BA 
A = 
 
B = T 
Resolução: 
a. AB = [1 5 + 0 3 + ( 2) 4] = [ 3] 
 
b. BA = = 
 
 
2. Calcule todos os produtos possíveis (com 2 factores) com as seguintes 
matrizes: 
A = 
3 
B = C = 
D = 
E = I = 
 
Resolução: 
CD = = 
IB = = 
CA = = = 
BC = = = 
DE = = 
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EA = = = 
 
BI = = = 
 
1.5. Propriedades do produto entre matrizes: 
 
1. Simplifique: A(BC – 2CB) + A(2C – B)C + (BA – AB)C 
 
Resolução: 
 
A(BC – 2CB) + A(2C – B)C + (BA – AB)C = 
ABC – 2ACB + (2AC – AB)C + BAC – ABC = 
ABC – 2ACB + 2ACC – ABC + BAC – ABC = 
−2ACB + 2ACC – ABC + BAC 
 
2. Sendo A = e AB = , determine a 1ª e 2ª colunas 
de B 
 
Resolução: 
 
 = 
 
 
 
 
3. Considere A = e B = ; resolva a seguinte equação 
matricial: BA + 5X = A 
 
Resolução: 
 
BA + 5X = A  5X = A – BA  X = 1/5(A – BA) 
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BA = = 
 
A – BA = – = 
 
X = 1/5(A – BA) = 1/5 
 
4. Dizemos que uma matriz M é simétrica se M’ = M. Supondo que A e B são 
matrizes simétricas tais que AB = BA, prove que AB também é simétrica. 
 
Resolução: 
 
Hipótese: 
– A é simétrica: AT = A 
– B é simétrica BT = B 
– AB = BA 
Tese: AB é simétrica: (AB)T = AB 
(AB)T = BTAT = BA = AB ⇒ AB é simétrica, c.q.d. 
 
1.6. Matrizes Invertíveis 
 
1. Simplifique CTB(AB) –1(C–AT)T 
 
Resolução : 
 
CTB(AB) –1(C–AT)T = 
CTBB–1A–1(AT)T(C–1)T = 
CTIA–1A(C–1)T = 
CTII(C–1)T = 
CT(C–1)T = 
CT(CT)–1 = I 
 
2. Sejam A e B matrizes invertíveis; resolva as seguintes equações matriciais: 
a. AX + A2 = B 
b. B–1X–1 = AB2 
 
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Resolução: 
 
a. AX + A2 = B  A–1AX = A–1(B+A2)  X = A–1B – A–1AA  
 X = A–1B – A 
 
b. B–1X–1 = AB2  BB–1X–1 = BAB2  (X–1) –1 = (BAB2) –1  
 X = (B2) –1A–1  X = B–2A–1B–1 
 
3. Determine X tal que: 
(X–1 – 3I)T = 2 
 
Resolução: 
 
(X–1 – 3I)T = 2  [(X–1 – 3I)T]T = T  
 X–1 – 3I =  X–1 = + 3  
 X–1 = +  (X–1) –1 = –1  
 X = –1 
 
 
1.7. Operações elementares sobre uma matriz : 
 
Efectue operações elementares sobre a matriz A = de modo a 
obter uma matriz do “tipo” triangular superior. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
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1.8. Forma escalonada de uma matriz: 
 
Calcule a forma escalonada da seguinte matriz: 
 
A = 
 
Resolução: 
 
A = 
 
 
 
 
1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes: 
 
Calcule a inversa da matriz A = e da matriz B = 
 
Resolução: 
 
[ A | I ] = 
 
 = [ I | A–1 ] 
 
A–1 = 
 
[ B | I ] = 
forma 
escalonada de A 
forma escalonada 
reduzida de A 
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 = [ I | B–1 ] 
 
B–1 = 1/2 
 
 
 
2. Determinantes 
 
2.1. Cálculo de determinantes: 
 
1. Calcule os seguintes determinantes: 
a) A = 
b) B = 
c) C = 
 
Resolução: 
 
a. = 3×(−2)−4×1 = −6−4 = −10 
 
b. Pela Regra de Sarrus: 
 = 1×0×6+4×8×3+2×0×(−1)−3×0×2− 
 
(−1)×8×1−6×0×4 = 104 
 
c. det B = 0×C11 + 1×C21 + 0×C31 + 0×C41 = −M21 = 
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= − = −(−1×C11 + 0×C21 + 1×C31) = 
= C11 – C31 = M11 – M31 = − = 
= (0−24) – (3−9) = −24 + 6 = −18 
 
 
2.2. Propriedades dos determinantes: 
Sejam A, B ∈ ℳ3×3 (ℝ) tais que det A = −2 e det B = ¼ 
Calcule: 
1. det (2A) 
2. det (A4BT) 
3. det (−B) 
4. det (5ATB) 
5. det (AB–1AT) 
6. det (B–1A2B) 
7. det [1/2 (B–1)T] 
Resolução: 
1. det (2A) = 23×det A = 8×det A = 8×(−2) = −16 
2. det (A4BT) = det (A4)×det (BT) = det(A4)×det B = 
= det A×det A×det A×det A×det B = (det A)4×det B = (−2)4 ×1/4 = = 4 
3. det (−B) = −13×det B = − det B = −1/4 
4. det (5ATB) = 53×det (ATB) = 53×det(AT)×det B = 
= 53×det A×det B = 125×(−2)×(1/4) = −125/2 
5. det (AB–1AT) = det A×det (B−1)×det (AT) = det A×(1/det B)×det A = 
= −2×4×(−2) = 16 
6. det (B–1A2B) = det (B−1)×det (A2)×det (B) = 
= (1/det B)×(det A)2×det B = (−2)2 = 4 
7. det [1/2 (B–1)T] = (1/2)3×det[(B−1)T] = (1/8)×det (B−1) = 
= (1/8)×(1/det B) = ½ 
 
2.3. Resolução de sistemas : 
 
Resolve os seguintes sistemas: 
 
1. 
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2. 
3. 
 
Resolução: 
 
1. ↝ 
 
 
 ↝ 
C.S. = 
2. ↝ 
 
 ↝ 
 ↝ SIST. IMP. 
C.S. = ∅ 
3. ↝ 
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 ↝ 
C.S. = 
 
2.4. Sistemas de Cramer: 
 
Verifique se os seguintes sistemas são de Cramer: 
 
1. 
2. 
 
Resolução: 
 
1. A = 
 
det A = 2×(−2)−3×1 = −4−3 = −7 ≠ 0 ⇒ É sistema de Cramer. 
 
2. A = 
 
det A = 1×C11 = M11 = = 2−2 = 0 ⇒ Não é sistema de Cramer. 
 
 
 
2.5. Sistemas homogéneos: 
Considere o sistema 
 
1. Mostre que (-2, 1, 0) é a solução do sistema dado. 
2. Determine o conjunto solução desse sistema. 
 
 
 
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Resolução: 
1.  AX = B onde A = , X = e B = 
 
X1 = AX1 = B 
 
AX1 = × = = = B 
 
2. Pela alínea anterior, X1 = 
Sistema homogéneo associado: AX = 0 
 
 ⟶ SIST. POSS. E INDET. (grau de ind. = 1) 
 
C.S.M = 
C.S. = = 
 
 
2.6. Característica da matriz: 
Diga qual a característica das seguintes matrizes: 
A = 
SIST. IMP. 
B = 
SIST. POSS. E IND. 
C = 
SIST. POSS. E DET. 
 
Resolução: 
A) car A = 2 
Car (A|B) = 3 
B) car A = 2 
car (A|B)=2 
n.º inc. = 3 
C) car A = 3 
 car(A|B) = 3 
 n.º inc. = 3 
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2.7. Discussão de Sistemas: 
Discute os sistemas em função dos parâmetros: 
1. 
 
2. 3. 
 
1. ↝ 
 
 
 
Caso 1: se (3−5k)/2 = 0  k = 3/5 
 car A = 2 car(A|A) = 2 n.º inc. = 3 
Se k = 3/5 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−2 = 1) 
 
 Caso 2: se (3−5k)/2 ≠ 0  k ≠ 3/5 
 car A = 3 
 car (A|B) = 3 
 n.º inc. = 3 
Se k∈ℝ\ então SIST. POSS. E DET. 
 
2. ↝ 
 
 = 
 
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Caso 1: se a−1 = 0  a = 1 então 
= car A = 1 car(A|B) = 1 n.º inc. = 3 
 
Se a = 1 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−1 = 2) 
 
Caso 2: se a−1 ≠ 0  a ≠1 então 
 Caso 2.1: se 2−a− = 0  a = 1 ∨ a = −2 
= car A = 2 car(A|B) = 3 
Se a = −2 (a ≠ 1) então SIST. IMP. 
 Caso 2.2: se 2−a− ≠ 0  a ≠ 1 ⋀ a ≠ −2 
car A = 3 car(A|B) = 3 n.º inc.= 3 
Se a ≠ 1 e a ≠ −2 então SIST. POSS. E DET. 
 
3. ↝ = 
 
Caso 1: se c = 0 então: 
= 
 Caso 1.1: se 1 + (d/2) = 0  d = −2 então 
 car A = 2 car(A|B) = 2 n.º inc. = 3 
 
Se c = 0 e d = −2 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−2 = 1)