Álgebra - Caderno 07

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ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA ÁLGEBRA
7
CAPA_SER_CAD7_MP_MAT_Algebra.indd 1 7/8/15 10:54 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
1
MATEMÁTICA ÁLGEBRA
Luiz Roberto Dante
 DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
1 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Determinante de matriz quadrada de ordem 1 . . . . . . . . .4
Determinante de matriz quadrada de ordem 2 . . . . . . . . .4
Determinante de matriz quadrada de ordem 3 . . . . . . . .5
Regra de Chió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
Propriedades dos determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Teorema de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Justificativas das propriedades dos determinantes. . . . .22
Cálculo da matriz inversa usando matriz adjunta . . . . . .26
2 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
A igualdade ax 5 b, com incógnita real x, 
a [ R e b [ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
Sistemas lineares 2 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Sistemas lineares 3 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Escalonamento de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . .47
Determinante da matriz incompleta . . . . . . . . . . . . . . . .49
Sistemas lineares equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
Discussão de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
Resolução de sistemas pela regra de Cramer . . . . . . . .57
Sistemas lineares homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
Sistemas lineares n 3 n, n > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672124596 (PR)
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O robô “Asimo” caminha durante demonstração 
de suas novas funções na sede da empresa, em Tóquio, 
Japão (2007).
MÓDULO
determinantes e 
sistemas lineares
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ReFletindo soBRe a imagem
Na Robótica os determinantes de matrizes 
são utilizados nos cálculos que possibilitam sua 
movimentação no espaço.
Você sabe o que é determinante de uma matriz? 
Sabe se é possível calcular o determinante de 
qualquer tipo de matriz?
www.ser.com.br
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4 Determinantes e sistemas lineares
CAPÍTULO
1 Determinantes
Objetivos:
c Reconhecer 
determinantes e suas 
propriedades.
c Aplicar a regra de 
Sarrus para o cálculo 
de determinantes.
c Aplicar a regra de 
Chió para o cálculo de 
determinantes.
c Aplicar o Teorema de 
Laplace para o cálculo 
de determinantes.
c Calcular a matriz 
inversa de uma matriz 
dada usando a matriz 
adjunta.
Embora a noção de determinante estivesse presente entre os chineses como ferramenta para 
resolver problemas que podiam ser expressos por sistemas lineares, foi somente em 1683 que o 
maior matemático japonês do século XVII, Seki Kowa, deixou clara essa noção, quando sistematizou 
o procedimento utilizado pelos antigos chineses. Tratava-se de duas equações a duas incógnitas, 
formando sistemas de equações lineares.
A teoria dos determinantes que conhecemos hoje se deve a Carl Gustav Jacobi (1804-1851), 
matemático alemão que acreditava entusiasticamente nas potencialidades da notação dos determi-
nantes como uma ferramenta eficaz para resolver problemas em várias áreas, como Física, Economia 
e, mais recentemente, Robótica.
Toda matriz quadrada tem, associada a ela, um número chamado de determinante da matriz, 
obtido por meio de operações que envolvem todos os elementos da matriz. Os determinantes 
apareceram há cerca de 300 anos (apesar de já existirem “esboços” do que seriam determinantes na 
Matemática chinesa 2 mil anos antes), associados à resolução de equações lineares. Atualmente, junto 
com as matrizes, são uma importante ferramenta matemática, com diversas aplicações.
Há um detalhe sobre este assunto que deve ser lembrado sempre: Não existe determinante 
de matriz que não seja quadrada.
 deteRminante de matRiz QuadRada de oRdem 1
Seja a matriz quadrada de ordem 1, indicada por A 5 [a
11
].
Por definição, o determinante de A é igual ao número a
11
.
Indicamos assim: det A 5 a
11
.
Por exemplo, dadas as matrizes A 5 [4] e B 5 [22], escrevemos det A 5 4; det B 5 22; 
det A 1 det B 5 4 1 (22) 5 2.
 deteRminante de matRiz QuadRada de oRdem 2
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante fazendo o produto dos 
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
Dada a matriz A 5 








a a
a a
11 12
21 22
, indicamos seu determinante assim: 
det A 5 a
11
 ? a
22
 2 a
12
 ? a
21
 ou 
a a
a a
11 12
21 22
 5 a
11
 ? a
22
 2 a
12
 ? a
21
Por exemplo, o determinante da matriz A (det A), sendo A 5 




6 3
2 42
 é dado por:
det A 5 
6 3
2 42
 5 6 ? (24) 2 2 ? 3 5 224 2 6 5 230
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
É errado escrever 






6 3
2 42
 5 
5 230, pois não é a matriz, e sim 
seu determinante, que é 230. 
O correto é det A 5 230 ou 
6 3
2 42
 5 230.
PaRa
ReFletiR
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Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
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A
 
 
Á
L
G
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B
R
A
5
eXeRCÍCios Resolvidos
 deteRminante de matRiz QuadRada de oRdem 3
Consideremos a matriz genérica de ordem 3:
A 5 












a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Define-se o determinante da matriz de ordem 3 ao número:
det A 5 
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 5 a
11
a
22
a
33
 1 a
12
a
23
a
31
 1 a
13
a
21
a
32
 2 a
13
a
22
a
31
 2 a
11
a
23
a
32
 2 a
12
a
21
a
33
Podemos obter esses seis produtos de uma forma prática, conhecida como regra de Sarrus, 
fazendo o seguinte:
 repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações como 
indicado:
(a
13
 ? a
22 
? a
31
) (a
11
 ? a
23 
? a
32
) (a
12
 ? a
21 
? a
33
) (a
11
 ? a
22 
? a
33
) (a
12
 ? a
23 
? a
31
) (a
13
 ? a
21 
? a
32
)
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
a
32
? (21) ? (21) ? (21)
 os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal;
 os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal;
 o determinante é a soma dos valores assim obtidos.
Exemplo:
O determinante da matriz A 5 










2
2 2
3 1 5
2 0 2
1 4 3
 é dado por:
3 1 5 3 1
2 0 22 2 0
21 4 23 21 4
1240 16 0 12 140
Logo, det A 5 0 1 2 1 40 1 0 1 24 1 6 ⇒ det A 5 72.
Quando se diz determinante 
de ordem n, deve-se entender 
determinante de uma matriz de 
ordem n.
PaRa
ReFletiR
Os três produtos da esquerda já 
estão com o sinal trocado.
PaRa
ReFletiR
1 Se a 5 
1 3
2 52
, b 5 
2 6
3 10
 e c 5 
2 8
0 12
, calcule o valor de a2 1 3b 2 2c.
ResoluÇÃo:
a 5 
1 3
2 52
 5 1 ? 5 2 3 ?(22) 5 5 1 6 5 11
b 5 
2 6
3 10
 5 2 ? 10 2 6 ? 3 5 20 2 18 5 2
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6 Determinantes e sistemas lineares
c 5 
2 8
0 12
 5 2 ? (21) 2 0 ? 8 5 22
Daí:
a2 1 3b 2 2c 5 112 1 3 ? 2 2 2 ? (22) 5 121 1 6 1 4 5 131
2 Resolva a equação 
5 2
x 1 x 32 1
 5 21.
ResoluÇÃo:
Vamos calcular o determinante:
5 2
x 1 x 32 1
 5 5(x 1 3) 2 2(x 2 1) 5 5x 1 15 2 2x 1 2 5 3x 1 17
A equação a ser resolvida é:
3x 1 17 5 21 ⇒ 3x 5 21 2 17 ⇒ 3x 5 218 ⇒ x 5 26
S 5 {26}
3 Usando a regra de Sarrus, calcule o determinante da matriz A 5 








2 3 1
5 2 0
1 4 3
2
2
.
ResoluÇÃo:
2 3 21 23
5 2 0 5 2
1 4 23 1 4
012 145 212 0 220 
147 2 32 5 15 [ det A 5 15
4 Dadas as matrizes 





A
2 x
3 9
5 e 










B
1 1 0
2 3 x
1 2 1
5
2
2
, determine o valor de x para que se tenha det A 5 det B.
ResoluÇÃo:
 A é matriz de ordem 2: det A 5 2 ? 9 2 3x 5 18 2 3x
 B é matriz de ordem 3; usamos a regra de Sarrus:
1 21 0 1 21
2 3 x 2 3
21 2 1 21 2
22x0 12 13 1x 0 
 
⇒ − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
det B x 5
det A det B 18 3x x 5 3x x 5 18 2x 13 2x 13 x
13
2
Logo, x
13
2
5 2 1
5 52 1 2 1 5 2 2 5 2 5 5
5
Observa•‹o: Podemos ter A Þ B com det A 5 det B. 
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Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
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T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
7
PaRa ConstRuiR
1 Se A 5 




2 1
3 4
 e B 5 




4 2
3 12
 determine o nœmero real 
x tal que det (A 2 xB) 5 0.
A 2 xB 5 




2 1
3 4
 2 




4x 2x
3x x2
 5 




2 4x 1 2x
3 3x 4 x
2 2
2 1
 
det (A 2 xB) 5 (2 2 4x)(4 1 x) 2 (1 2 2x)(3 2 3x)5 8 1 2x 2 16x 2 
2 4x2 2 (3 2 3x 2 6x 1 6x2) 5 8 2 14x 2 4x2 2 6x2 1 9x 2 3 5 
210x2 2 5x 1 5 5 0 ⇒ 2x2 1 x 2 1 5 0
Δ 5 1 2 4 ? 2 ? (21) 5 1 1 8 5 9
x 5 
21 3
4
±
 ⇒ x 5 
1
2
 ou x 5 21
2 (Udesc) Se AT e A21 representam, respectivamente, a trans-
posta e a inversa da matriz 





A
2 3
4 8
5 , ent‹o o determi-
nante da matriz B 5 AT 2 2A21 Ž igual a: b
a) 
111
2
2
. 
b) 
83
2
2
. 
c) 2166. 
d) 
97
2
. 
e) 62. 
O determinante de A é igual a 
2 3
4 8
2 8 4 3 45 ? 2 ? 5 . Logo, 
























5
2
2
5
2
2
2A
8
4
3
4
4
4
2
4
2
3
4
1
1
2
1 . Daí, 










5
2
2
22A
4
3
2
2 1
1 . 
Portanto:


























B
2 4
3 8
4
3
2
2 1
2
11
2
5 7
5 2
2
2
5
2
.
O resultado pedido é:
2
5 2 ? 2 ? 5 2
2
11
2
5 7
2 7
11
2
5
83
2
. 
3 (Vunesp) Determine os valores de u, 0 < u < 2p de maneira 
que o determinante 












cos 0 sen
sen 1 cos
cos sen sen
u u
u u
u u u
 seja nulo.
u u
u u
u u u
u
u
u u
cos 0 sen
sen 1 cos
cos sen sen
cos 0
sen 1
cos sen
 5 sen cosu ? u 1 sen3 u 2 
2 sen cosu ? u 2 sen u ? cos2 u 5 0 ⇒ sen3 u 2 sen u ? cos2 u 5 0 ⇒ 
⇒ sen u ? (sen2 u 2 cos2 u) 5 0 ⇒ 2sen u ? (cos2 u 2 sen2 u) 5 0 ⇒ 
⇒ 2sen u ? cos 2u 5 0
 sen u 5 0 ⇒ u 5 0 ou u 5 p ou u 5 2p
ou
 cos 2u 5 0 ⇒ 2u 5 
2
p
 1 kp ⇒ u 5 
4
k
2
p
1
p
k 5 0 ⇒ u 5 
4
p
 
k 5 1 ⇒ u 5 
4 2
2
4
3
4
p
1
p
5
p 1 p
5
p
 
k 5 2 ⇒ u 5 
4
4
4
5
4
p
1 p 5
p 1 p
5
p
k 5 3 ⇒ u 5 
4
3
4
6
4
7
4
p
1
p
5
p 1 p
5
p
k 5 4 ⇒ u 5 
4
2
8
4
9
4
p
1 p 5
p 1 p
5
p
 (não pertence ao intervalo)
{ }S 0, 4 ,
3
4
, ,
5
4
,
7
4
, 25
p p
p
p p
p
4 (PUC-RS) Dadas as matrizes  A 1 2 35 e 










B
4
5
6
5 , 
o determinante ( )det A B? Ž igual a: c
a) 18. 
b) 21. 
c) 32. 
d) 126. 
e) 720. 
[ ] [ ]A B 1 4 2 5 3 6 32? 5 ? 1 ? 1 ? 5 e det (A B) 32? 5
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade 
deste “selo” é indicar o número da(s) competência(s) e da(s) habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores 
(Linguagens: laranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem 
está disponível no portal.
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8 Determinantes e sistemas lineares
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 10 Para aprimorar: 1
5 (PUC-PR) Sendo 0 < x < 
2
p
, o valor de x para que o determinante da matriz 










cos x cos x 1
tg x sen x 1
sen x cos x 1
 seja nulo Ž: d
a) 
2
p
. b) 
3
p. c) 
6
p . d) 
4
p. 
cos x cos x 1
tg x sen x 1
sen x cos x 1
 5 0 ⇒ cos x ? sen x 1 cos x ? sen x 1 tg x ? cos x 2 sen2 x 2 cos2 x 2 tg x ? cos x 5 0 ⇒ 2 ? cos x ? sen x 2 (sen2 x 1 
1 cos2 x) 5 0 ⇒ 2 ? cos x ? sen x 5 1 ⇒ sen 2x 5 1 ⇒ 2x 5 
2
p
 ⇒ x 5 
p
4
 
 RegRa de Chió
Veremos agora uma regra que nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n 
usando uma matriz de ordem n 2 1. Essa regra, conhecida como regra de Chió, Ž muito pr‡tica se 
o elemento a
11
 for igual a 1. Assim:
 Sendo a
11 
5 1, suprime-se a 1a linha e a 1a coluna da matriz.
 De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos dois elementos suprimidos que est‹o na 
mesma coluna e na mesma linha desse elemento.
 Com os resultados dessas subtra•›es obtŽm-se uma matriz de ordem menor que a anterior, porŽm 
com mesmo determinante.
Observe as passagens no exemplo com a matriz M 5 












1 2 0 1
1 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
2
2 2
 de ordem 4. 












1 2 0 1
1 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
2
2 2










3 2 1 6 0 1 9 ( 1) 1
1 2 4 2 0 4 0 ( 1) 4
2 2 ( 2) 3 0 ( 2) 4 ( 1) ( 2)
2 ? 2 ? 2 2
2 ? 2 ? 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2










1 6 10
7 2 4
6 3 6
2
2
 
A matriz 










1 6 10
7 2 4
6 3 6
2
2
 tem o mesmo determinante que a matriz 












1 2 0 1
1 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
2
2 2
. 
A diferen•a Ž que, usando a matriz de ordem 3, ele pode ser calculado facilmente pela regra de Sarrus.
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 8 7/8/15 11:24 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
9
PaRa ConstRuiR
eXeRCÍCio Resolvido
5 Encontre o valor do determinante 
1 3 2 1
0 4 2 3
3 1 1 2
1 0 4 5
2 2
2
 fazendo uso da regra de Chió.
ResoluÇÃo:
 →
1 3 2 1
0 4 2 3
3 1 1 2
1 0 4 5
4 0 3 2 0 2 3 0 1
1 3 3 1 3 2 2 3 1
0 ( 1) 3 4 ( 1) 2 5 ( 1) 1
4 2 3
8 7 5
3 6 6
Chió
2 2
2
2 ? 2 ? 2 ?
2 ? 2 2 ? 2 2 ?
2 2 ? 2 2 ? 2 2 ?
5 2 2 2 5  →Sarrus det 5 263
6 Encontre o valor de cada determinante:
a) 
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
 
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
1 1 1
1 2 2
1 2 3
1 1
1 2
2 1 15 5 5 2 5
b) 
1 2 0 0
2 3 0 0
0 0 3 1
0 0 1 1
1 2 0 0
2 3 0 0
0 0 3 1
0 0 1 1
1 0 0
0 3 1
0 1 1
( 1)
1 0 0
0 3 1
0 1 1
( 1)
3 1
1 1
( 1)(3 1) 2
5
2
5 2 ? 5
5 2 ? 5 2 2 5 2
c) 
1 1 0 0
x 1 x 0
x x 1 0
x 1 0 1
 
5
2
2
5
2
5
5
2
2
5 2
1 1 0 0
x 1 x 0
x x 1 0
x 1 0 1
1 x x 0
0 1 0
1 x 0 1
1 x 0
1 1 0
1 x 0 1
1 x 0
x x 1
1 x
(1)
2
1
d) 
1 1 1 1
2 3 4 1
4 9 16 1
8 27 64 1
 
5
2
2
2
5 5
5 2 5 2
1 1 1 1
2 3 4 1
4 9 16 1
8 27 64 1
1 2 1
5 12 3
19 56 7
2 2
18 12
24 36 12
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 9 7/8/15 11:24 AM
10 Determinantes e sistemas lineares
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 11 a 13 Para aprimorar: 2
 PRoPRiedades dos deteRminantes
O estudo das propriedades dos determinantes nos permite mais agilidade em alguns cálculos 
de determinantes.
1 apropriedade: fila de zeros
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a 
zero, seu determinante será nulo, isto é, det M 5 0.
Exemplos:
1o) 
0 48
0
1
3
2
 5 0
a
e) 
1 0 4 1 0
0 1 1 1 1
3 2 10 2 4
0 0 1 6 1
2 1 5 0 5
2 2
2 2
2
2
 
2 2
2 2
2
2
5
2
5
2
2 5
5 1 1 2 1 1 5 2
1 0 4 1 0
0 1 1 1 1
3 2 10 2 4
0 0 1 6 1
2 1 5 0 5
1 1 1 1
2 2 1 4
0 1 6 1
1 3 2 5
0 1 2
1 6 1
2 1 4
0 2 2 24 0 4 16
7 Uma matriz quadrada A, de ordem n > 2, é chamada de ma-
triz de Vandermonde quando tem a seguinte forma:
O
…
…
…
…


















5
2 2 2 2
A
1 1 1 1
a a a a
a a a a
a a a a
1 2 3 n
1
2
2
2
3
2
n
2
1
n 1
2
n 1
3
n 1
n
n 1
: : : :
Nesse caso, é possível encontrar o determinante fazendo:
det A 5 (a
2
 2 a
1
)(a
3
 2 a
1
)(a
3
 2 a
2
) ? … ? 
 ? (a
n
 2 a
1
)(a
n
 2 a
2
)(a
n
 2 a
3
) ? … ? (a
n
 2 a
n 2 1
)
Dentre as matrizes seguintes,determine qual é a de Van-
dermonde e, com ela, calcule o determinante pela regra de 
Sarrus ou de Chió e depois pela regra indicada anteriormente:
A 5 










1 1 1
3 5 2
6 10 4
2
2
 
B 5 










1 1 1
1 0 1
2 0 1
2 
C 5 










1 1 1
2 3 5
4 9 25
2 
A matriz de Vandermonde é a C.
Calculando det C pela regra de Sarrus, temos: det C 5 75 2 18 1 
1 20 2 12 2 45 1 50 5 70
Calculando det C pela regra indicada, temos:
det C 5 (3 1 2)(5 1 2)(5 2 3) 5 5 ? 7 ? 2 5 70
Matriz C; det C 5 70
8 (UFC-CE) Determine a soma das raízes da equação 
1
2
5
1 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 2 1
1 1 1 x 4
0. 
 →
1 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 2 1
1 1 1 x 4
0
x 1 0 0
0 x 1 0
0 0 x 5
Chió
1
2
5
2
1
2
5 
5 det de matriz triangular
Portanto: 
(x 2 1)(x 1 1)(x 2 5) 5 0 ⇒ x 5 1 ou x 5 21 ou x 5 5
Soma das raízes 5 1 2 1 1 5 5 5
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
Observa•‹o: usaremos “fila” 
para caracterizar linha e coluna 
de uma matriz.
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 10 7/8/15 11:24 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
11
2o) Se A 5 










1 4 9
2 8 3
0 0 0
2 2
, então det A 5 0.
2 propriedade: filas iguais
Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada 
M forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det M 5 0.
Exemplos:
1o) 
4 5 5 9
6 2 2 8
7 3 3 0
1 8 8 6
2 2
2
5 0 (2a e 3a colunas são iguais)
2o) Se A 5 










x 2 4
8 6 9
x 2 4
2 , então det A 5 0, pois a 1a e a 3a linhas são iguais.
3 propriedade: filas proporcionais
Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu deter-
minante será nulo, isto é, det M 5 0.
Exemplos:
1o) 








3 7
9 21
 5 0 (2a linha é o triplo da 1a)
2o) 
1 0 2 4
4 2 8 7
3 8 6 9
5 6 10 6
2
2 2
 5 0 (3a coluna é o dobro da 1a)
4 propriedade: troca de filas paralelas
Se trocarmos de posição duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M, o deter-
minante da nova matriz obtida será o oposto do determinante da matriz anterior.
Exemplo:
A 5 










1 2 3
4 5 6
7 8 9
2
2
 e B 5 










2 1 3
5 4 6
8 7 9
2
2
 
A matriz B foi obtida a partir de A, trocando a 1a e a 2a colunas.
 det A 5 2 45 2 84 1 96 2 105 2
272 2 48 5 96 2 354 5 2258
 det B 5 72 1 48 1 105 2 96 1
1 84 1 45 5 2 96 1 354 5 258
números 
opostos
a
a
a
A 2a propriedade Ž um caso par-
ticular da 3a.
PaRa
ReFletiR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 11 7/8/15 11:24 AM
12 Determinantes e sistemas lineares
Observação: 
Quando se quiser usar a regra de Chió, mas o elemento a
11
 não for 1, se existe algum elemento 
igual a 1 em algum outro lugar da matriz é possível obter uma matriz com determinante equivalente 
usando no máximo duas vezes a 4a propriedade, ou seja, trocando-se a posição de linhas e colunas.
2
2 2
52
2
2 2
5
2
2 2
3 2 0 1
2 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
4 1 2 0
2 3 6 9
3 2 0 1
2 2 3 4
1 4 2 0
3 2 6 9
2 3 0 1
2 2 3 4
Primeiro troca-se a 1a linha com a 3a linha; depois troca-se a 2a coluna com a 1a.
5 propriedade: multiplicação de uma fila por uma constante
Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multi-
plicados por um mesmo número real k, então seu determinante também é multiplicado por k.
Exemplos:
1o) 
21 35
4 9
7
3 5
4 9
2
5
2
2o) Se A 5 










3 6 7
9 8 5
4 2 9
2
2
2
 e B 5 










3 3 7
9 4 5
4 1 9
2
2
2
, então det B 5 
1
2
 det A ou 
det A 5 2 ? det B.
Observação: 
Essa propriedade pode ser usada para criar o elemento “1” na matriz, e que depois será colocado 
na posição a
11
, possibilitando o uso da regra de Chió.
Por exemplo:
2
2 2
2
5 ?
2
2 2
2
5 2 ? ?
2
2 2
2
4 6 2 0
3 3 5 2
4 5 3 3
6 7 2 4
2
2 3 1 0
3 3 5 2
4 5 3 3
6 7 2 4
( 1) 2
1 3 2 0
5 3 3 2
3 5 4 3
2 7 6 4
5a propriedade 4a propriedade
6 propriedade: multiplicação da matriz por uma constante
Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu deter-
minante fica multiplicado por kn, isto é:
det (kM
n
) 5 kn ? det M
n
Exemplos:
1o) A 5 








3 4
2 5
 ⇒ det A 5 15 2 8 5 7
a
a
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 12 7/8/15 11:24 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
13
5A 5 








15 20
10 25
 ⇒ det (5A) 5 375 2 200 5 175 5 52 ? 7
2o) B 5 










1 2 1
5 3 0
2 2 5
2
2
 ⇒ det B 5 15 1 0 1 10 1 6 1 0 2 50 5 219
2B 5 










2 4 2
10 6 0
4 4 10
2
2
 ⇒ det (2B) 5 120 1 0 1 80 1 48 1 0 2 400 5 2152 5 23(219)
Observa•‹o: 
Não devemos confundir 






2
3
5 4
1 2
 com 3
5 4
1 22
Observe para A 5 






5 4
1 22
 














3
5 4
1 2
15 12
3 62
5
2
 → 3A é uma matriz
⋅
↓
3
5 4
1 2
3(10 4) 42 ou 3
5 4
1 2
15 12
1 2
30 12 42
3 det A é um número
2
5 1 5
2
5
2
5 1 5
7 propriedade: determinante da transposta
O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua transposta, isto 
é, det M 5 det (Mt).
Por exemplo:
A 5 








2 3
4 5
 e At 5 






2 4
3 5
 ⇒ det A 5 22 e det At 5 22 ⇒ det A 5 det At
8 propriedade: determinante da matriz triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal.
Exemplos:
1o) A 5 








5 3
0 2
 ⇒ det A 5 5 ? 2 1 0 ? 3 5 
↓
10
5 2?
 
2o) B 5 










5 0 0
1 2 0
3 1 4
2 ⇒ det B 5 5 ? 2 ? 4 1 0 ? 0 ? 3 1 0 ? (21) ? 1 2 0 ? 2 ? 3 2 0 ? 1 ? 5 2 
2 4 ? (21) ? 0 5 
↓
40
5 2 4? ?
 
a
a
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 13 7/8/15 11:24 AM
14 Determinantes e sistemas lineares
Como consequência dessa propriedade, podemos ainda afirmar:
 o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal;
 se I
n
 é a matriz identidade, então det I
n
 5 1, para qualquer n.
Exemplos:
1o) 
2 0 0
0 1 0
0 0 5
2 5 2(21)5 5 210
2o) I
4
 5 












1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 ⇒ det I
4
 5 1
9 propriedade: teorema de Binet
Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então 
det (AB) 5 (det A)(det B) (teorema de Binet).
Exemplo:
A 5 








3 2
5 12
, B 5 








0 2
3 4
 
AB 5 








6 14
3 62 ⇒ det (AB) 5 36 1 42 5 78
det A ? det B 5 (23 2 10)(0 2 6) 5 (213)(26) 5 78
10 propriedade: teorema de jacobi
Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) 
pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha 
(ou coluna), formando a matriz B, então det A 5 det B (teorema de Jacobi).
Exemplos:
1o) A 5 








1 5
4 9
 ⇒ det A 5 9 2 20 5 211
Multiplicando a 1a linha por 22 e somando os resultados à 2a linha, obtemos:
B 5 






1 5
2 12
 ⇒ det B 5 21 2 10 5 211, ou seja, det A 5 det B
Vamos indicar assim:
 5
2
5 2
2 1 5
4 9
1 5
2 1
11
( 2)
1
2o) 










A
1 2 5
1 4 10
3 3 4
5
2
2 2
2
 
a
a
Toda matriz diagonal é matriz 
triangular.
PaRa
ReFletiR
Calcule e compare: det (A 1 B) e 
det A 1 det B.
PaRa
ReFletiR
A partir de A do 1o exemplo, mul-
tiplique a 2a coluna por 5 e some 
à 1a coluna, obtendo B. Calcule 
det A e det B para confirmar a 
propriedade.
PaRa
ReFletiR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 14 7/8/15 11:24 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
15
Vamos obter a matriz B multiplicando a 2a coluna por 3 e somando os resultados ˆ 3a coluna:
B 5 










1 2 1
1 4 2
3 3 5
2 2
2 
Usando a regra de Sarrus, verificamos:
}5 2 1 2 2 1 1 55 2 1 1 2 25 5
det A 16 60 15 60 8 30 7
det B 20 12 3 12 10 6 7
det A det B
Veja como podemos indicar:
2
2 2
2
5
2 2
2 5
?
1
1 2 5
1 4 10
3 3 4
1 2 1
1 4 2
3 3 5
7
3
Observa•‹o: 
Podemos usar o teorema de Jacobi (10a propriedade) para possibilitar o uso da regra de Chi—. 
Por exemplo, se o elemento a
11
 n‹o for 1 e n‹o houver nenhum elemento igual a 1 na matriz, pode-se 
usar a 10a propriedade (teorema de Jacobi) para criar elementos iguais a 1 na matriz:
2
2 2
5
2 2 2
2 2
3 2 0 1
2 3 6 9
4 5 2 0
2 2 3 4
1 1 6 10
2 3 6 9
4 5 2 0
2 2 3 4
21
Existem muitas maneiras de criar Ò1Ó nessa matriz. Por exemplo, multiplicando a 2a linha por 
(21) e somando esse resultado ˆ 1a linha.
11 propriedade: determinante da inversa
Seja A uma matriz quadrada invert’vel e A21 sua inversa. Ent‹o, det A21 5 
1
det A
Exemplo:
Observe que:










































1 1
2 0
0
1
2
1
1
2
0
1
2
1
1
2
1 1
2 0
1 0
0 1
2
?
2
5
2
?
2
5
Ent‹o, se A 5 






1 1
2 0
2
, temos:












A
0
1
2
1
1
2
1
5
2
2
 
a
A partir de A do 2o exemplo, faça 
o mesmo com outra linha ou co-
luna e obtenha B. Depois, confir-
me que det A 5 det B.
PaRa
ReFletiR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 15 7/8/15 11:24 AM
16 Determinantes e sistemas lineares
eXeRCÍCios Resolvidos
Assim, det A 5 0 1 2 5 2 e det A21 5 0 1 
1
2
 5 
1
2
, ou seja, det A21 5 
1
det A
.
Essa propriedade sugere um fato importante: A é invertível se e somente se det A Þ 0.
12 propriedade: adição de determinantes (ou decomposição de 
uma fila)
Se cada elemento de uma linha (ou coluna) de uma matriz é a soma de duas parcelas, então 
o determinante dessa matriz é a soma de dois determinantes, em cada um dos quais aquela 
linha (ou coluna) tem seus elementos substituídos por uma das parcelas.
Exemplos:
1o) A 5 










1 0 1
2 3 1
4 2 0
2
2
 ⇒ det A 5 18
 B 5 










1 5 1
2 1 1
4 1 0
2
 ⇒ det B 5 21
 C 5 




















1 0 5 1
2 3 1 1
4 2 1 0
1 5 1
2 4 1
4 1 0
1 2
1
2 1
5
5
2
2
2o) A 5 






0 3
4 2
 B 5 






0 1
4 1
C 5 














0 3 1
4 2 1
0 4
4 3
1
1
5
det C 5 216 5 det A 1 det B
det A 5 212 det B 5 24
a
⇒ det C 5 39 5 det A 1 det B
Justifique a afirma•‹o de que 
uma matriz Ž invert’vel se e so-
mente se seu determinante n‹o 
for nulo.
PaRa
ReFletiR
Observe que os determinantes 
de duas matrizes de ordem n s— 
podem ser somados se as matri-
zes tiverem n 2 1 linhas (ou colu-
nas) respectivamente iguais.
PaRa
ReFletiR
6 Encontre o valor do determinante:
2 1 0 3 2
2 3 2 0 2
3 2 1 5 4
1 3 2 2 0
0 4 2 1 3
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
 
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 16 7/8/15 11:24 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
17
ResoluÇÃo:
Usando o teorema de Jacobi (10a propriedade), podemos somar a 2a coluna com a 1a coluna. Depois, podemos usar a regra 
de Chió:
 →
 →  →
 →
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1 0 3 2
2 3 2 0 2
3 2 1 5 4
1 3 2 2 0
0 4 2 1 3
1 1 0 3 2
1 3 2 0 2
1 2 1 5 4
2 3 2 2 0
4 4 2 1 3
4 2 3 4
1 1 2 6
5 2 8 4
8 –2 13 5
Jacobi
Jacobi Chió
Chió
1
Agora, trocando as posições da linha 1 com a linha 2 (4a propriedade), podemos novamente aplicar Chió:
1 1 2 6
4 2 3 4
5 2 8 4
8 2 13 5
6 5 28
7 2 34
6 3 53
trocou
Chió Sarrus
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
 →  → det 5 2559
7 Resolva a equação 
x x x x
x 3 3 3
x 3 2 2
x 3 2 1
05 .
ResoluÇÃo:
Usando a 5a propriedade, colocamos x em evidência na 1a linha e usamos a regra de Chió:
 →x
1 1 1 1
x 3 3 3
x 3 2 2
x 3 2 1
x
3 x 3 x 3 x
3 x 2 x 2 x
3 x 2 x 1 x
Chió
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Usando novamente a 5a propriedade, colocamos (3 2 x) em evidência na 1a linha e usamos a regra de Chió:
 →2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
5 2 2 5 2x(3 x)
1 1 1
3 x 2 x 2 x
3 x 2 x 1 x
x(3 x)
1 1
1 2
x(3 x)(2 1) x(3 x)Chió
Assim: x(3 2 x) 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 5 3
Logo, S 5 {0, 3}.
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 17 7/8/15 11:24 AM
18 Determinantes e sistemas lineares
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 14 a 21 Para aprimorar: 3 e 4
PaRa ConstRuiR
9 Entre as seis matrizes seguintes, cinco têm o determinante 
igual a zero. Descubra quais s‹o elas, usando as propriedades 
dos determinantes. Justifique.
A 5 












5 4 10 1
3 9 6 6
1 5 2 3
2 3 4 2
2 2
2
 
B 5 












3 2 9 6
2 9 1 8
6 7 4 0
6 7 4 0
2
2
 
C 5 












8 0 0 0
1 4 0 0
2 1 3 0
3 2 1 5
2
 
D 5 












3 0 2 4
2 0 6 8
1 0 3 6
4 0 1 5
2 2
 
E 5 












2 9 3 4
0 5 2 2
0 0 0 3
0 0 0 7
2
2
 
F 5 












4 5 0 2
3 1 2 5
4 5 0 2
6 8 3 5
2
2
2 2
2
 
• det A 5 0, pois a 1a e a 3a colunas são proporcionais (3a coluna 5 2 ?
 ?1a coluna).
• det B 5 0, pois a 3a e a 4a linhas são iguais.
• det D 5 0, pois a 2a coluna tem todos os elementos iguais a zero.
• det E 5 0, pois a matriz é triangular e um dos elementos da
diagonal principal é zero.
• det F 5 0, pois a 1a e a 3a linhas são proporcionais (1a linha 5 21? 
? 3a linha).
10 (Uece) Se os nœmeros reais x, y, z, m, n, p, u, v, w formam, 
nesta ordem, uma progress‹o geomŽtrica de raz‹o q, ent‹o 
o valor do determinante da matriz 










M
x y z
m n p
u v w
5 Ž: b
a) 1. b) 0. c) xnw. d) q3. 










M
x y z
m n p
u v w
x xq xq
xq xq xq
xq xq xq
0
2
3 4 5
6 7 8
5 5 5 , pois as duas primeiras 
colunas são proporcionais.
x q
x
x q
x q
x q
x q
q
4
3
7
6
?
5
?
?
5
?
?
5
11 Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. 
Sabendo que det A 5 6 e det B 5 4, calcule det (AB). 
det (AB) 5 det A ? det B 5 6 ? 4 5 24
12 (Cefet-PR) Se 
4 3 1
x y z
1 3 4
 5 25, ent‹o 
x y z
4 3 1
1 3 4
 vale: c
a) 7. b) 6. c) 5. d) 4. e) 3.
4 3 1
x y z
1 3 4
55 2
Trocando a 1a e 2a linha, temos:
det' 5 2det ⇒ det' 5 5
13 Considere a matriz 
θ θ
θ θ










A
cos 2 sen
3 1 3
sen 0 cos
5
2
. Sabendo-se 
que θ θsen cos5 2 , em que θ0 2< < p, o determinante 
da matriz inversa de A, indicado por det A21, vale: c
a) 21.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 25.
Calculando o determinante de A, temos: 
θ θ θ θdet (A) cos 6 sen sen 6 cos2 25 2 ? 1 2 ? .
Considerando que θ θ5 2sen cos , temos det (A) 5 1 e 
det (A )
1
det (A)
11 5 52 .
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
1
a) 
En
em
C-5
H-2
1
que 
En
em
C-5
H-1
9
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 18 7/8/15 11:24 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
19
 teoRema de laPlaCe
O teorema de Laplace permite o c‡lculo de determinantes de ordens quaisquer a partir de uma 
linha ou coluna da matriz. Para enunci‡-lo, precisaremos de algumas defini•›es preliminares.
menor complementar
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n > 2, denomina-se menor complementar de A 
pelo elemento a
ij
 o determinante D
ij
 associado ˆ matriz quadrada que se obtŽm de A ao se suprimir 
a linha e a coluna que cont•m o elemento a
ij
 considerado. Esse determinante Ž indicado por D
ij
.
Observe:
A
n 3 n
 5 
…
…
…
…
















O
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
n1 n2 n3 nn
: : : :
 
O menor complementar de A pelo elemento a
23
 Ž um nœmero que indicamos assim:
D
23
 5 
…
…
…
…
O
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 14 1n
31 32 34 3n
41 42 44 4n
n1 n2 n4 nn
: : : :
 
Exemplo:
Se A 5 








2 5 3
1 6 4
0 1 10
2
2
, temos:
 menor complementar de A pelo elemento a
21
:
D
21
 5 
5 3
1 10
50 3 53
2
5 1 5 (foram suprimidas a 2a linha e a 1a colunade A)
 menor complementar de A pelo elemento a
33
:
D
33
 5 
2 5
1 6
12 5 75 2 5 (foram suprimidas a 3a linha e a 3a coluna de A)
Cofator
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n > 2, denomina-se cofator do elemento a
ij
 de A o 
nœmero real A
ij
 5 (21)i 1 j ? D
ij
, em que D
ij
 Ž o menor complementar de A pelo elemento a
ij
.
Exemplo:
Se A 5 








3 5 2
0 1 4
1 6 2
2
2 2
, temos:
 cofator de a
21
:
A
21
 5 (21)2 1 1 ? D
21
 5 (21)3 ? 
5 2
6 2
2
2
 5 (21)(22) 5 2
 A 5 (a
ij
) é uma matriz.
 a
ij
 é um elemento da matriz A.
 D
ij
 é um número, pois é um 
determinante.
PaRa
ReFletiR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 19 7/8/15 11:24 AM
20 Determinantes e sistemas lineares
 cofator de a
13
:
A
13
 5 (21)1 1 3 ? D
13
 5 (21)4 ? 
0 1
1 62
 5 (11)(11) 5 1
Observação: 
Note que A
ij
 5 D
ij
 quando i 1 j Ž par; A
ij
 5 2D
ij
 quando i 1 j Ž ’mpar.
Agora, podemos enunciar o teorema de Laplace:
O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem n > 2 Ž o nœmero que se 
obtŽm pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos 
respectivos cofatores.
Exemplo:
Sendo A 5 










2 3 1
5 2 0
1 4 3
2
2
 uma matriz de ordem 3, podemos calcular det A a partir de 
determinantes de ordem 2 e do teorema de Laplace. Veja:
 Escolhendo os elementos da 1a linha, temos:
det A 5 a
11
 ? A
11
 1 a
12
 ? A
12
 1 a
13
 ? A
13
 5 
5 2(21)1 1 1 ? 
2 0
4 32
 1 3(21)1 1 2 ? 
5 0
1 32
 1 
1 (21)(21)1 1 3 ? 
5 2
1 4
 5 
5 2(26) 2 3(215) 2 1(18) 5 212 1 45 2 18 5 15
Logo, det A 5 
2 3 1
5 2 0
1 4 3
2
2
 5 15.
Vamos mostrar que obtemos o mesmo resultado escolhendo uma coluna:
 Escolhendo os elementos da 3a coluna, temos:
det A 5 a
13
 ? A
13
 1 a
23
 ? A
23
 1 a
33
 ? A
33
 5 
5 (21)(21)1 1 3 ? 
5 2
1 4
 1 0(21)2 1 3 ? 
? 
2 3
1 4
 1 (23)(21)3 1 3 ? 
2 3
5 2
 5 
5 21(18) 1 0 2 3(211) 5 218 1 33 5 15
Logo, det A 5 15.
Observação: 
Note que, se a linha escolhida para o c‡lculo do determinante tiver elementos iguais a zero, os 
cofatores que forem multiplicados pelos zeros n‹o precisam ser calculados, pois seu produto ser‡ 
zero independentemente do valor do cofator. Diante disso, as melhores linhas ou colunas para o 
c‡lculo do determinante, usando o teorema de Laplace, ser‹o as que tiverem maior quantidade de 
zeros. Quando n‹o h‡ zeros, Ž poss’vel cri‡-los usando a 10a propriedade dos determinantes (teorema 
de Jacobi).
Calcule det A usando outra linha 
ou coluna de A.
PaRa
ReFletiR
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Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
21
eXeRCÍCios Resolvidos
8 Calcule o determinante da matriz A usando o teorema de Laplace:












A
2 3 1 0
4 2 1 3
1 5 2 1
0 3 2 6
5
2
2
2
2
 
ResoluÇÃo:
Vamos aplicar o teorema de Laplace e obter determinantes de 3a ordem, que podem ser calculados pela regra de Sarrus.
Escolhendo a 1a linha, temos:
det A 5 a
11
 ? A
11
 1 a
12
 ? A
12
 1 a
13
 ? A
13
 1 a
14
 ? A
14
A
11
 5 (21)1 1 1 ? 
2 1 3
5 2 1
3 2 6
2
2
2
 5 1(224 1 3 1 30 2 18 2 4 1 30) 5 17
A
12
 5 (21)1 1 2 ? 
4 1 3
1 2 1
0 2 62
 5 244
A
13
 5 (21)1 1 3 ? 
4 2 3
1 5 1
0 3 6
2
2 5 2111
Observe que n‹o h‡ necessidade de calcular A
14
, pois ser‡ multiplicado por zero. Da’:
det A 5 2(17) 1 3(244) 1 (21)(2111) 1 0 5 34 2 132 1 111 1 0 5 13
9 Calcule det A, sendo:














A
3 2 0 1 0
0 1 0 3 1
3 4 2 5 2
0 2 0 2 2
0 1 0 3 4
5
2 2
2 2
2
 
ResoluÇÃo:
Escolhemos a 3a coluna de A, pois o valor do determinante fica restrito ao c‡lculo de a
33
 ? A
33
:
( )det A 2 1
3 2 1 0
0 1 3 1
0 2 2 2
0 1 3 4
3 3
5 2 ?
2 2
2
1
Escolhendo agora a 1a coluna:
( )( ) ( )det A 2 3 1
1 3 1
2 2 2
1 3 4
6 8 6 6 2 6 24 6 24 144
1 1
5 ? 2 ?
2 2
2
5 2 1 1 1 2 2 5 2 5 2
1
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 21 7/8/15 11:24 AM
22 Determinantes e sistemas lineares
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 22 a 24
PaRa ConstRuiR
14 Sendo A 5 




3 4
5 12
, calcule o valor de:
a) a
11
A
11
 1 a
12
A
12
3(21)2(21) 1 4(21)3(5) 5 3 ? 1(21) 1 4(21)5 5 23 2 20 5 223
b) a
12
A
12
 1 a
22
A
22
220 1 (21)(21)4 3 5 220 2 3 5 223
c) det A
det A 5 23 220 5 223
15 Aplicando o teorema de Laplace, calcule os determinantes:
a) det A 5 
3 2 1
6 0 4
2 3 5
2
2
Escolhendo os elementos da 2a coluna, temos:
det A 5 2(21)3 
6 4
2 5
 1 0 2 3(21)5 
3 1
6 4
2
 5 22(30 2 8) 1 
1 0 1 3(12 1 6) 5 22 ? 22 1 3 ? 18 5 244 1 54 5 10
b) det A 5 
1 3 4
1 3 5
1 3 42
 
Escolhendo os elementos da 1a coluna, temos:
det A 5 1(21)2 
3 5
3 42 1 1(21)
3 
3 4
3 42 1 1(21)
4 
3 4
3 5 5 
5 1(212 2 15) 2 1 (212 2 12) 1 1(15 2 12) 5 227 1 24 1 3 5 0
c) det A 5 
2 3 5
1 2 3
2 4 6
 
Escolhendo os elementos da 1a coluna, temos:
det A 5 2(21)2 
2 3
4 6
 1 1(21)3 
3 5
4 6
 1 2(21)4 
3 5
2 3 5 
5 2(12 2 12) 2 1(18 2 20) 1 2(9 2 10) 5 2 2 2 5 0
 justiFiCativas das PRoPRiedades dos 
deteRminantes
Vamos agora justificar as propriedades dos determinantes. Acreditamos que as demonstra•›es 
completas, com matrizes genŽricas de ordem n, s‹o muito complexas para o Ensino MŽdio. Assim, 
usaremos matrizes genŽricas de ordem 3, para que fique mais claro. As demonstra•›es n‹o est‹o 
necessariamente na mesma ordem em que apareceram no item ÒPropriedades dos determinantesÓ.
1 propriedade: fila de zeros
Para justificar essa propriedade, vamos considerar uma matriz genŽrica A, de ordem 3, com a 
2a coluna formada só de zeros.
A 5 










a 0 c
d 0 f
g 0 i
Usando o teorema de Laplace, pela coluna de zeros, temos:
det A 5 0 ? A
12
 1 0 ? A
22
 1 0 ? A
32
 5 0 (c.q.d.)
a
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 22 7/8/15 11:24 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
23
4 propriedade: troca de filas paralelas
Veja a justificativa para a matriz de ordem 3:
A 5 










a d g
b e h
c f i
 ⇒ det A 5 aei 1 cdh 1 bfg 2 ceg 2 bdi 2 afh
Trocando, por exemplo, a posi•‹o da 1a e 2a colunas, obtemos:
B 5 










d a g
e b h
f c i
 ⇒ det B 5 bdi 1 afh 1 ceg 2 bfg 2 cdh 2 aei
Comparando: det A 5 2det B. (c.q.d.)
2 propriedade: filas iguais
Invertendo-se a posi•‹o das filas iguais, temos que, pela 4a propriedade, det A 5 2det B. Entre-
tanto, como as filas invertidas eram iguais, A 5 B e, portanto, det A 5 det B.
trocou a posi•‹o
A 5 










a a g
b b h
c c i
 B 5 










a a g
b b h
c c i
{det A det Bdet A det B
5 2
5
 ⇒ 2 det A 5 0 ⇒ det A 5 0 (c.q.d.)
5 propriedade: multiplicação de uma fila por uma constante
Observe as matrizes A e B de ordem 3. B foi obtida a partir de A, multiplicando todos os ele-
mentos da 2a linha por k.
A 5 










a d g
b e h
c f i
 B 5 










a d g
kb ke kh
c f i
Demonstra•‹o:
Usando o teorema de Laplace, pela 2a linha temos:
det A 5 b ? A
21
 1 e ? A
22
 1 h ? A
23
det B 5 kb ? A
21
 1 ke ? A
22
 1 kh ? A
23
 5 k(b ? A
21
 1 e ? A
22
 1 h ? A
23
) 5 k ? det A (c.q.d.)
6 propriedade: multiplicação da matriz por uma constante
Observe que essa propriedade Ž uma aplica•‹o da 5a propriedade.
Quando multiplicamos a matriz A por k, todos os elementos de A s‹o multiplicados por k.
A 5 










a d g
c f i
c c i
 k ? A 5 










ka kd kg
kb ke kh
kc kf ki
det (kA) 5 det 










ka kd kg
kb ke kh
kc kf ki
 5 k ? det 










a kd kg
b ke kh
c kf ki
 5 k ? k ? det 










a d kg
b e kh
c f ki
 5
5 k ? k ? k ? det 










a d g
b e h
c f i
 5 k3 ? det A
Ent‹o, se A Ž de ordem 3, det (kA) 5 k3 ? det A (c.q.d.)
a
a
a
a
Demonstre a 4a propriedade 
usando A 5 
x y
z w








 e 
B 5 
y x
w z




 . 
PaRa
ReFletiR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 23 7/8/15 11:24 AM
24 Determinantes e sistemas lineares
3 propriedade: filas proporcionais
Consideremos uma matriz em que a 1a e 2a linhas são proporcionais com razão k. Assim:
A 5 










a b c
ka kb kc
g h i
Pela 5a propriedade, det A 5 k ? 
a b c
a b c
g h i
 e, pela 2a propriedade, 
a b c
a b c
g h i
05 .
Então, det A 5 k ? 0 5 0 (c.q.d.)
7 propriedade: determinante da transposta
Veja a justificativa para matrizes de ordem 3:
A 5 










a b c
d e f
g h i
 At 5 










a d g
b e h
c f i
det A aei bfg cdh
ceg afh bdi
det A aei cdh bfg
ceg afh bdi
t






5 1 1 2
2 2 2
5 1 1 2
2 2 2
det A 5 det At
Também podemos usar o teorema de Laplace pela 1a linha de A e pela 1a coluna de At:
det A a
e f
h i
b
d f
g i
c
d e
g h
a(ei fh) b(di fg) c(dh eg)
det A a
e h
f i
b
d g
f i
c
d g
e h
a(ei fh) b(di fg) c(dh eg)
det A det A
t
t










5 2 1 5
5 2 2 2 1 2
5 2 1 5
5 2 2 2 1 2
5
A 2a maneira (usando o teorema de Laplace) possibilita a generalização para a ordem n.
Essa propriedade também é responsável por garantir que qualquer demonstração feita usando-
-se linhas também vale para colunas, e vice-versa.
8 propriedade: determinante da matriz triangular
Basta aplicar o teorema de Laplace seguidas vezes, sempre escolhendo as filas com mais zeros.
Sendo A de ordem 3:
5 5 1 1 5 5
5 2 5 ? ?
A
a 0 0
d e 0
g h i
det A a
e 0
h i
0
d 0
g i
0
d e
g h
a
e 0
h i
a(ei 0h) a e i
0 0










→
1 24 34 1 24 34
12 propriedade: adição de determinantes (ou decomposição de 
uma fila)
Sejam as matrizes A, B e C de ordem 3:
A 5 










a b x c
d e y f
g h z i
1
1
1
, B 5 










a b c
d e f
g h i
, C 5 










a x c
d y f
g z i
a
a
a
a
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 24 7/8/15 11:24 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
25
Vamos provar que det A 5 det B 1 det C.
Aplicando o teorema de Laplace na 2a coluna de cada matriz, temos:
det A 5 (b 1 x) ? A
12
 1 (e 1 y) ? A
22
 1 (h 1 z) ? A
32
det B 5 b ? A
12
 1 e ? A
22
 1 h ? A
32
det C 5 x ? A
12
 1 y ? A
22
 1 z ? A
32
Então:
det A 5 b ? A
12
 1 x ? A
12
 1 e ? A
22
 1 y ? A
22
 1 h ? A
32
 1 z ? A
32
 5 (b ? A
12
 1 e ? A
22
 1 h ? A
32
) 1 
1 (x ? A
12
 1 y ? A
22
 1 z ? A
32
) 5 det B 1 det C (c.q.d.)
10 propriedade: teorema de jacobi
Veja a justificativa para matrizes de ordem 3:
A 5 










a b c
d e f
g h i
 B 5 










a ak b c
d dk e f
g gk + h i
1
1
Os elementos da 1a coluna foram multiplicados por k e somados com os correspondentes da 
2a coluna.
det A 5 aei 1 bfg 1 cdh 2 ceg 2 afh 2 bdi
det B 5 ai(dk 1 e) 1 fg(ak 1 b) 1 cd(gk 1 h) 2 cg(dk 1 e) 2 af(gk 1 h) 2 di(ak 1 b) 5 
5 adik 1 aei 1 afgk 1 bfg 1 cdgk 1 cdh 2 cdgk 2 ceg 2 afgk 2 afh 2 adik 2 bdi 5 aei 1 
1 bfg 1 cdh 2 ceg 2 afh 2 bdi
Comparando: det A 5 det B.
Outra maneira seria usar a 12a propriedade na matriz B, de forma que:
det B det
a ak c
d dk f
g gk i
det
a b c
d e f
g h i
det B 0 det A det A     c.q.d.
0, pela 3 propriedade Aa
( )




















→
1 244 344 1 244 344
5 1 5 1 5
Essa 2a maneira permite a generalização da demonstração para a ordem n.
9 propriedade: teorema de Binet
Mesmo com matrizes de ordem 3, a demonstração do teorema de Binet assume uma comple-
xidade que foge aos propósitos deste livro. Por isso, diferentemente do que fizemos em todo este 
item, usaremos matrizes de ordem 2:
A 5 






a b
c d
 B 5 








x y
z w
AB 5 








ax bz ay bw
cx dz cy dw
1 1
1 1
det (AB) 5 (ax 1 bz)(cy 1 dw) 2 (ay 1 bw)(cx 1 dz) 5 acxy 1 adxw 1 bcyz 1 bdzw 2 
2 acxy 2 adyz 2 bcxw 2 bdzw 5 adxw 1 bcyz 2 adyz 2 bcxw
Comparando, vemos que det (AB) 5 det A ? det B.
11 propriedade: determinante da inversa
Esta propriedade é uma consequência direta da 5a propriedade. Assumindo A invertível, temos 
que a inversa de A, A21, é tal que A ? A21 5 I
n
. Assim:
A ? A21 5 I
n
 → det (A ? A21) 5 det (I
n
)
Como det (A . A21) 5 det A ? det A21 (pela 10a propriedade) e det I
n
 5 1 (pela 8a proprieda-
de), então det A ? det A21 5 1 → det A21 5 
1
det A
. (c.q.d.)
a
a
a
Observe que A
12
 Ž o mesmo nas 
três matrizes (A, B e C). O mesmo 
acontece com A
22
 e A
32
. 
PaRa
ReFletiR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 25 7/8/15 11:25 AM
26 Determinantes e sistemas lineares
 CálCulo da matRiz inveRsa usando matRiz 
adjunta
Veremos a seguir uma maneira alternativa de obter a inversa de uma matriz. É um método 
teoricamente interessante, porém pouco eficaz na prática.
Vimos que, dada uma matriz quadrada A de ordem n, é possível saber se existe ou não a matriz 
A21, inversa de A, verificando se det A Þ 0.
det A Þ 0 ⇔ ∃A21 | AA21 5 A21A 5 I
n
Veremos agora que é possível descobrir A21, quando existir, usando det A e alguns conceitos 
que vêm a seguir.
matriz dos cofatores
Seja a matriz quadrada A 5 (a
ij
) de ordem n.
Denomina-se matriz dos cofatores de A (indica-se A') a matriz que se obtém substituindo 
cada elemento a
ij
 de A pelo seu respectivo cofator A
ij
.
matriz adjunta
Considerando a matriz quadrada A de ordem n, denomina-se matriz adjunta de A (indica-se A) 
a matriz transposta da matriz dos cofatores de A, isto é:
A 5 (A')t
determinação da matriz inversa
Vimos que a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, quando existe, é a matriz 
A21 tal que AA21 5 A21A 5 I
n
.
Vimos também que A21 existe quando e somente quando det A Þ 0.
Veremos agora que, quando existe, A21 5 
1
det A
 ? A, em que A é a matriz adjunta de A.
Observe a demonstração para A de ordem 2:
 A 5 






a b
c d
 ⇒ det A 5 ad 2 bc Þ 0
 A matriz dos cofatores de A é A' 5 






d c
b a
2
2
 A matriz adjunta de A é A 5 (A')t 5 






d b
c a
2
2
 
Fazendo o produto A ? A, temos:






a b
c d
 ? 






d b
c a
2
2
 5 
ad bc 0
0 ad bc






2
2
 
Percebendo que ad 2 bc 5 det A, podemos escrever:
A ? A5 






det A 0
0 det A
 5 det A ? 






1 0
0 1
 5 det A ? I
2
Assim, A ? A 5 det A ? I
2
.
Logo, A ? 




A
det A
 5 I
2
 e, dessa forma, 
A
det A
 5 A21.
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 26 7/8/15 11:25 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
27
eXeRCÍCio Resolvido
Observa•›es:
1a) A demonstra•‹o pode ser feita para qualquer A de ordem n.
Portanto:
Se A Ž tal que det A Þ 0, ent‹o A Ž invert’vel e A21 5 
1
det A
 ? A.
2a) Essa maneira de se obter a inversa Ž especialmente œtil quando se deseja conhecer apenas 
um elemento da matriz inversa de uma matriz dada, pois Ž poss’vel demonstrar que, dada 
uma matriz A e existindo sua inversa B 5 A21, cada elemento de B Ž dado por: 
b
ij
 5 
1
det A
 ? A
ji
(A
ji
 Ž o cofator do elemento a
ji
 da matriz A).
PaRa
Regra prática para obtenção da inversa de matrizes de ordem 2
H‡ uma regra pr‡tica para obten•‹o da matriz inversa (se existir) de uma matriz de 
ordem 2. Basta seguir os passos abaixo:
1) trocar de posi•‹o os elementos da diagonal principal;
2) trocar de sinal os elementos da diagonal secund‡ria;
3) dividir todos os elementos pelo determinante de A.
Exemplo:
A 5 
2 3
1 4
 ⇒ det A 5 8 2 3 5 5
Portanto, existe A21. Assim:
A =
2 3
1 4
4 3
1 2
4 3
1 2
4
5
3
5
1
5
2
5
A
passo 1 passo 2
passo 2 passo 3 1
 →  →
 →  →
2
2
2
2
5
2
10 Dada a matriz A 5 






1 2
3 0
2
, determine A21, se existir, usando a matriz adjunta de A.
ResoluÇÃo:
 Calculamos det A 5 0 1 6 5 6 ≠ 0. Logo, existe A21.
 Determinamos a matriz dos cofatores de A → A' 5 




0 3
2 1
2
.
 Determinamos amatriz adjunta de A → A 5 (A')t 5 




0 2
3 12
.
Perceba que o índice do 
cofator é “ji”, ou seja, para obter 
o elemento b
31
, por exemplo, 
precisamos do cofator A
13
. 
PaRa
ReFletiR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 27 7/8/15 11:25 AM
28 Determinantes e sistemas lineares
PaRa ConstRuiR
 Determinamos a matriz inversa de A → A21 5 
















1
det A
A
1
6
0 2
3 1
0
1
3
1
2
1
6
? 5
2
5
2
.
Verificando:




















AA
1 2
3 0
0
1
3
1
2
1
6
1 0
0 1
I1 25
2
5
2
5 5
2




















−A A
0
1
3
1
2
1
6
1 2
3 0
1 0
0 1
I1 25
2
5
2
5 5
16 Encontre o elemento que se localiza na 2a linha e 3a coluna da matriz inversa de 












1 0 0 0
1 2 0 0
2 3 3 0
1 1 5 4
. 
b
23
 5 
1
det A
 ? A
32
A
32
 5 (21)3 1 2 ? D
32
 5 (21)5 ? 
1 0 0
1 0 0
1 5 4
 5 (21) ? 0 5 0
Então:
b
23
 5 
1
det A
 ? 0 ⇒ b
23
 5 0
17 Determine a matriz inversa de A usando a matriz adjunta de A:
a) A 5 




1 3
0 2
 
 det A 5 
1 3
0 2
 5 2 Þ 0 ⇒ A é invertível
 Cálculo da matriz adjunta A:
A
11
 5 (21)2 |2| 5 2
A
21
 5 (21)3 |3| 5 23
A
12
 5 (21)3 |0| 5 0
A
22
 5 (21)4 |1| 5 1
A' 5 






2 0
3 12
 
A 5 (A')t 5 






2 3
0 1
2
 
 Cálculo da matriz inversa:
A21 5 


















1
det A
A
1
2
2 3
0 1
1
3
2
0
1
2
? 5
2
5
2
 
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 28 7/8/15 11:25 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
29
 TAREFA PARA CASA: Para aprimorar: 5
b) A 5 




1 3
2 5
 
 det A 5 
1 3
2 5
 5 2 1 ≠ 0 ⇒ A é invertível
 Cálculo da matriz adjunta A:
A
11
 5 (21)2 |5| 5 5
A
21
 5 (21)3 |3| 5 23
A
12
 5 (21)3 |2| 5 22
A
22
 5 (21)4 |1| 5 1
A' 5 






5 2
3 1
2
2
 
A 5 (A')t 5 






5 3
2 1
2
2
 
 Cálculo da matriz inversa:
A21 5 
1
det A
 ? A 5 












1
1
5 3
2 1
5 3
2 12
2
2
5
2
2
 
c) A 5 








1 3 4
2 7 0
0 0 1
 
 
( ) ⇒det A
1 3 4
2 7 0
0 0 1
  1 1  
1 3
2 7
1 0 A é invertível
6
5 5 2 5 ?
 Cálculo da matriz adjunta A:
A
11
 5 (21)2 
7 0
0 1
 5 7
A
12
 5 (21)3 
2 0
0 1
 5 22
A
13
 5 (21)4 
2 7
0 0 5 0
A
21
 5 (21)3 
3 4
0 1 5 23
A
22
 5 (21)4 
1 4
0 1
 5 1
A
23
 5 (21)5 
1 3
0 0 5 0
A
31
 5 (21)4 
3 4
7 0
 5 228
A
32
 5 (21)5 
1 4
2 0
 5 8
A
33
 5 (21)6 
1 3
2 7
 5 1
A' 5 
7 2 0
3 1 0
28 8 1
2
2
2
 ⇒ A 5 (A')t 5 
7 3 28
2 1 8
0 0 1
2 2
2
 Cálculo da matriz inversa:
A21 5 
1
det A
 ? A 5 
7 3 28
2 1 8
0 0 1
2 2
2 
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 29 10/9/15 4:04 PM
30 Determinantes e sistemas lineares
taReFa PaRa Casa
Veja, no Guia do Professor, as respostas da ÒTarefa para casaÓ. As resolu•›es encontram-se no portal, em Resolu•›es e Gabaritos.
PARA PRATICARPaRa PRatiCaR
1 Calcule os determinantes:
a) 
6 2
4 3
 
b) 
3 8
1 2
2 2
 
c) 
1 5 3
4 1 5
1
2
d) 
a a 1
b b 1
1
1
 
e) 
sen x cos x
sen y cos y2
 
2 Dadas as matrizes A 5 [5], B 5 






1 2
3 5
2
2
 e C 5 






2 2
3 0
2
, 
calcule:
a) det A. 
b) det B. 
c) det C. 
d) det A 2 det B. 
e) det B ? det C. 
f ) det (B 2 C).
g) (det C)B.
h) 2 ? det B.
i) det (2B).
j) det (I
2
 1 C).
3 Resolva as equações:
a) 
x 2 6
3 5
2
 5 2
b) 
x 3 5
1 x 1
1
2
 5 0
4 Sabendo que a 5 
3 2
1 1
2
2
 , b 5 
1 3
2 0
2
 e c 5 
2 4
4 7
2
2
 , 
calcule o número real x tal que x 5 3a 2 2b 1 c2.
5 Determine os valores de x que anulam o determinante 
x 2
3x x
.
6 Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes 




a b
c d
 e 




2a 2c
3b 3d
, calcule o valor de 
x
y
.
7 Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determinantes:
a) 
3 2 1
5 0 4
2 3 1
2
2
. 
b) 
2 1 2
3 1 0
4 1 3
2
2
2
. 
c) 
a 0 0
0 b a
0 1 1
. 
d) 
1 0 a
0 1 a
a a 1
. 
8 Lembrando que sen2 x 1 cos2 x 5 1, calcule o determinante 
associado à matriz quadrada A 5 








sen x cos x 1
sen x cos x 0
sen x 1 1
2
.
9 Seja a matriz quadrada A 5 










x 1 3 x
3 x 1
x 2 x 1
1
2
 . Calcule x 
de modo que det A 5 0.
10 Calcule o determinante 
1 sec x cossec x
sen x 1 1
cos x tg x cotg x
2 2
2
2 2 2
 para 
x [ R e x Þ 
k
2
p
 (k [ Z).
11 Calcule o determinante da seguinte matriz de Vandermonde:












A
1 1 1 1
2 1 0 3
4 1 0 9
8 1 0 27
5
2
2
12 Encontre o valor de x para que o determinante 
1 1 1 1
x 3 4 5
x 9 16 25
x 27 64 125
2
3
 seja nulo.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 30 7/8/15 11:25 AM
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
31
13 Calcule os valores dos determinantes abaixo:
a) 
1 4 16 64
1 3 9 27
1 1 1 1
1 1 1 12 2
. b) 
1 1 1 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2 2
3 3 3 3
.
14 Dada a matriz A 5 








1 2 a
3 2 2
0 1 1
, calcule a para que A seja in-
vertível. (Lembre: A é invertível se det A Þ 0.)
15 Se det A 5 10, qual é o determinante de A21?
16 Seja a equação 
x 0 0 0
1 x 1 2
2 0 x 3
0 0 0 2
 5 16. Determine o valor de x.
17 Se det A 5 20, calcule det (At).
18 Se det A 5 
a b
c d
 5 10, calcule:
a) det B 5 
b a
d c
 
b) det B 5 
4a 4b
c d
19 Sendo A 5 
2 5 1 3
0 3 0 1
0 0 5 1
0 0 0 10
2
2
, calcule det A.
20 Calcule os determinantes abaixo:
a) 
2 1 3 1
1 2 5 1
4 1 3 4
0 0 2 1
2
2 2
.
b) 
2 1 3 2
3 0 0 0
4 1 5 1
10 3 2 2
2
2
. 
21 Se 
1 x a
6 y b
2 z c2
 5 7 e 
0 x a
3 y b
5 z c
 5 10, determine o valor 
de 
1 x a
9 y b
3 z c
.
22 Sendo A 5 








2 4 5
3 0 2
2 8 1
, determine:
a) A
11
.
b) A
31
.
c) A
33
.
d) A
22
.
e) A
12
.
f ) A
32
.
23 Aplicando o Teorema de Laplace, calcule os determinantes:
a) det A 5 
3 5 1
1 2 0
4 0 3
2
. 
b) det A 5 
4 2 1
1 1 2
0 5 3
2
2 . 
c) det A 5 
0 4 2 0
1 1 0 3
2 0 3 7
1 0 0 2
2
2
.
24 Observe as seguintes matrizes:
A 5 




3 1
1 4
2
 
B 5 






2 0
1 2
2
 
C 5 










3 1 0
2 2 1
2 3 1
2
2 2
D 5 












1 3 1 2
0 1 2 1
0 2 1 2
1 1 2 2
2 2
2
2 2
2 2
 
Calcule, quando existir:
a) det A. 
b) det C. 
c) det D. 
d) det Dt. 
e) det (2B). 
f ) 2 ∙ det B. 
g) det (A 2 B). 
h) det A 2 det B.
i) det A ∙ det B.
j) det (AB).
k) det (B 1 C).
l) det B 1 det C.
m) (det A)B.
n) (det A)2.
o) det (A2).
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 31 7/8/15 11:25 AM
32 Determinantes e sistemas lineares
ANOTAÇÕES
PARA PRATICARPaRa aPRimoRaR
1 (Mack-SP) Sendo A
sen x cos x
cos x sen x
5
2
 e 
B
log 256 log 0,25
1
2
1
4
2 2
5 números reais, o valor da expres-
são A B 12 ? 2 é: 
a) −3. 
b) 
1
3
2 . 
c) 
1
5
2 . 
d) 1. 
e) 5. 
2 (ITA-SP) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é 
uma matriz quadrada n 3 n > 2:
 I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui 
uma linha ou uma coluna nula.
 II. Se A 5 a
ij
 é tal que a
ij
 5 0 para i . j, com i, j 5 1, 2, …, n, 
então det A 5 a
11
a
22
 … a
nn
.
 III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna 
por 2 1 1 e a segunda por 2 2 1, mantendo-se inal-
teradas as demais colunas, então det B 5 det A. 
Podemos afirmar que é (são) verdadeira(s):
a) apenas II.
b) apenas III.
c) apenas I e II.
d) apenas II e III.
e) todas.
3 (ESPM-SP) Se a matriz 






3 x
4 x 11
for multiplicada pelo 
valor do seu determinante, este ficará multiplicadopor 49. 
Um dos possíveis valores de x é: 
a) 5. 
b) 23. 
c) 1. 
d) 24. 
e) 2. 
4 (UFMT) Considere a função f: A → B, em que A é o conjunto 
das matrizes quadradas de números reais de ordem 2, B é o 
conjunto dos números reais e f(x) 5 det X, onde det X é o 
determinante da matriz X. Se M e N são matrizes de números 
reais 2 3 2, NT a matriz transposta de N, f(M)2 5 2 e f(N) 5 3, 
então f(M ? NT) é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 6.
d) 
2
3
. 
e) 23.
5 (UFCG-PB) Para cada número real b associamos uma matriz 
quadrada M
b
 5 
1 cos
6
s
1 cos
6
1
0 3 2
( )
( )














p
2 b
2
p
1 b
. 
Determine o valor da soma de todos os números reais 
b [ 0,
7
2




p
 tais que M
b
 não seja invertível.
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD7_MAT_ALG_C1.indd 32 7/8/15 11:25 AM
33
CAPêTULO
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
Determinantes e sistemas lineares
2 Sistemas lineares
Objetivos:
c Conceituar equações 
lineares e sistemas de 
equações lineares.
c Classificar e discutir 
sistemas lineares.
c Resolver sistemas 
lineares (Cramer, 
escalonamento, etc.)
c Identificar sistemas 
lineares homogêneos.
A palavra sistema se origina do grego, systema: sy significa ÒjuntoÓ e sta, ÒpermanecerÓ. Assim, 
sistema, em Matem‡tica, é o conjunto de equa•›es que devem ser resolvidas ÒjuntasÓ, ou seja, os 
resultados devem satisfaz•-las simultaneamente.
Em 1858, o matem‡tico ingl•s Arthur Cayley (1821-1895) se tornou not‡vel ao tratar de siste-
mas lineares representando, em forma de matrizes, os dados extraídos de sistemas de equa•›es. Foi 
considerado o primeiro matem‡tico a utilizar esse tipo de representa•ão.
Contudo, os problemas que envolvem equa•›es lineares existem h‡ muito tempo. Existem 
registros de equa•›es lineares j‡ nos papiros egípcios.
Vejamos os seguintes problemas:
1o) Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos 
marcou cada um?
Resolução:
Sendo x e y, respectivamente, o nœmero de pontos que cada jogador marcou, temos uma 
equa•ão com duas inc—gnitas:
x 1 y 5 42
Nessa equa•ão:
 se x 5 21, então 21 1 y 5 42 ⇒ y 5 21.
 Logo, x 5 21 e y 5 21 constituem uma solu•ão da equa•ão, que indicamos por (21, 21).
 se x 5 30, então 30 1 y 5 42 ⇒ y 5 12.
 Logo, x 5 30 e y 5 12 constituem outra solu•ão da equa•ão, que indicamos por (30, 12).
 se x 5 16, então 16 1 y 5 42 ⇒ y 5 26.
 Logo, x 5 16 e y 5 26 constituem outra solu•ão da equa•ão, que indicamos por (16, 26).
Na verdade, essa equa•ão admite várias soluções: x pode assumir um valor qualquer natural 
de 0 a 42, e y ser‡ igual ˆ diferen•a entre 42 e o valor atribuído a x.
Verificamos assim que os dados do problema não são suficientes para determinar o nœmero de 
pontos marcados por cada jogador.
2o) Um terreno de 8 000 m2 deve ser dividido em dois lotes. O lote maior dever‡ ter 1 000 m2 
a mais que o lote menor. Calcule a ‡rea que cada um dever‡ ter.
Resolução:
Sendo x e y, respectivamente, as ‡reas destinadas ao lote maior e ao lote menor do terreno, 
teremos um sistema de duas equa•›es com duas inc—gnitas:
x y 8000
x y 1 000{
1 5
5 1
Resolvendo esse sistema por qualquer um dos métodos j‡ estudados, obtemos x 5 4 500 e 
y 5 3 500, pois é a única solução para o sistema, a qual indicamos por (4 500, 3 500).
Logo, o maior lote ter‡ uma ‡rea de 4 500 m2, enquanto o menor, uma ‡rea de 3 500 m2.
Esses dois problemas mostram, respectivamente, que seus dados podem resultar em mais de 
uma solu•ão, bem como em uma œnica solu•ão. Veremos também casos em que não h‡ nenhuma 
solu•ão.
No 1o problema, se a [ N e 
42 2 a [ N, dizemos que 
(a, 42 2 a) é a solução geral da 
equação x 1 y 5 42.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C2.indd 33 09/10/15 16:34
34 Determinantes e sistemas lineares
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 e 2
PARA CONSTRUIR
 EQUAÇÕES LINEARES
Dizemos que:
 2x 1 3y 2 2z 5 10 Ž uma equação linear nas inc—gnitas x, y e z;
 x 2 5y 1 z 2 4t 5 0 Ž uma equação linear nas inc—gnitas x, y, z e t;
 4x 2 3y 5 x 1 y 1 1 Ž uma equação linear nas inc—gnitas x e y.
De modo geral, denomina-se equaç‹o linear toda equaç‹o que pode ser escrita na forma:
a
1
x
1
 1 a
2
x
2
 1 a
3
x
3
 1 . . . 1 a
n
x
n
 5 b
Em que:
 x
1
, x
2
, x
3
, . . ., x
n
 s‹o as inc—gnitas;
 a
1
, a
2
, a
3
, . . ., a
n
 s‹o números reais chamados coeficientes das inc—gnitas;
 b Ž o termo independente.
Pela definiç‹o, n‹o s‹o equações lineares:
xy 5 10;
x2 1 y 5 6;
x2 2 xy 2 yz 1 z2 5 1
Agora observe as seguintes equações lineares:
1a) 3x 1 2y 5 18
Dizemos que:
 o par (4, 3) Ž uma soluç‹o da equaç‹o, pois 3 ? 4 1 2 ? 3 5 18;
 o par (6, 0) Ž uma soluç‹o da equaç‹o, pois 3 ? 6 1 2 ? 0 5 18;
 o par (5, 1) n‹o Ž soluç‹o da equaç‹o, pois 3 ? 5 1 2 ? 1 Þ 18.
2a) 3x 1 y 2 2z 5 8
Dizemos que:
 o terno (2, 4, 1) Ž uma soluç‹o da equaç‹o, pois 3 ? 2 1 4 2 2 ? 1 5 8;
 o terno (0, 6, 21) Ž uma soluç‹o da equaç‹o, pois 3 ? 0 1 6 2 2 ? (21) 5 8;
 o terno (5, 22, 3) n‹o Ž soluç‹o da equaç‹o, pois 3 ? 5 1 (22) 2 2 ? 3 Þ 8.
Generalizando, dada a equaç‹o linear:
a
1
x
1
 1 a
2
x
2
 1 a
3
x
3
 1 . . . 1 a
n
x
n
 5 b
dizemos que a •nupla de números reais , , , ,1 2 3 n( )Éa a a a Ž soluç‹o da equaç‹o se, e somente se:
a a a a b1 1 1 2 1 3 1 na 1 a 1 a 1 1 a 5É
As incógnitas x
1
, x
2
, x
3
, … geral-
mente aparecem como x, y, z, …
PARA
REFLETIR
Por que as equações destacadas 
ao lado não são lineares?
PARA
REFLETIR
Geometricamente:
a) cada par (x, y) de números 
reais representa um ponto do 
plano;
b) cada terno (x, y, z) de números 
reais representa um ponto no 
espaço.
PARA
REFLETIR
1 Calcule o valor de k para que o par (3, k) seja uma solução da equação linear 3x 2 2y 5 5.
3(3) 2 2(k) 5 5 ⇒ 9 2 2k 5 5 ⇒ 22k 5 24 ⇒ k 5 2
2 Dada a equação 2x 2 y 5 21, fazendo x 5 a, com a [ R, escreva a solução geral dessa equação. 
2x 2 y 5 21 ⇒ 2α 2 y 5 21 ⇒ 2 y 5 21 2 2α ⇒ y 5 2α 1 1 
Logo, a resolu•‹o geral da equa•‹o Ž (α, 2α 1 1)
SER1_CAD7_MAT_ALG_C2.indd 34 09/10/15 16:34
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
35
 A IGUALDADE ax 5 b, COM INCÓGNITA REAL x, 
a [ R E b [ R 
Observe igualdades desse tipo nos exemplos:
1o) Em 2x 5 6, temos x
6
2
35 5 como o único valor real possível para x.
2o) Em 0x 5 7, não temos valor real para x, pois não existe número real que multiplicado por 
0 dê 7.
3o) Em 0x 5 0, x pode assumir qualquer valor real, pois todo número real multiplicado por 0 
dá 0.
De modo geral:
 ax 5 b, com a Þ 0 ⇒ x
b
a
5 é o valor único de x;
 ax 5 b, com a 5 0 e b Þ 0 ⇒ não existe valor real para x;
 ax 5 b, com a 5 0 e b 5 0 ⇒ x pode assumir qualquer valor real.
 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Denomina-se sistema linear m 3 n (se lê “m por n”) o conjunto S de m equações lineares em 
n incógnitas, que pode ser representado assim:
…
…
…






S
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2 m3 3 mn n m
5
1 1 1 1 5
1 1 1 1 5
1 1 1 1 5
: : : : :
Exemplos: 
1o) {x y 3 2x2x y 12 y2 5 21 5 1 
É um sistema linear 2 3 2 nas incógnitas x e y, pois equivale a:
{3x y 32x 0y 122 51 5
2o) 




x 2y z 0
2x y z 1
x y z 8
2 2 5
2 2 5 2
2 1 5
É um sistema linear 3 3 3 nas incógnitas x, y e z.
3o) {x 4y 2z 13x y z 61 2 52 1 5
É um sistema linear 2 3 3 nas incógnitas x, y e z.
Solução de um sistema linear
Dizemos que (α
1
, α
2
, α
3
, …, α
n
) é solução de um sistema linear quando (α
1
, α
2
, α
3
, …, α
n
) é solução 
de cada uma das equações do sistema, ou seja, satisfaz simultaneamente a todas as equações do sistema.
Veja:
1o) (5, 1) é solução do sistema {2x 3y 133x 5y 101 52 5 , pois {2 5 3 1 133 5 5 1 10? 1 ? 5? 2 ? 5 
2o) (2, 3) não é solução do sistema {2x 3y 133x 5y 101 52 5 , pois {2 2 3 3 133 2 5 3 10? 1 ? 5? 2 ? ?
3o) (1, 3, 22) é soluçãodo sistema 




x 2y 3z 1
4x y z 3
x y z 6
1 1 5
2 2 5
1 2 5
. (Verifique.)
Geometricamente:
a) cada equação do primeiro sis-
tema representa os pontos de 
uma reta no plano;
b) cada equação do terceiro sis-
tema representa os pontos de 
um plano no espaço.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C2.indd 35 09/10/15 16:34
36 Determinantes e sistemas lineares
 SISTEMAS LINEARES 2 3 2
Resolu•‹o pelo mŽtodo da adi•‹o
Resolver um sistema linear significa descobrir o seu conjunto solu•ão S, formado por todas as 
solu•›es do sistema.
A resolu•ão dos sistemas lineares 2 3 2, em R 3 R, j‡ foi vista no Ensino Fundamental por 
meio de alguns métodos, como adi•‹o, substitui•‹o, compara•‹o e outros.
Vamos retomar, com exemplos, a resolu•ão pelo mŽtodo da adi•‹o:
1o) { ⇒ 

⇒
3x y 10 (5)
2x 5y 1
15x 5y 50
2x 5y 1
17x 51 x 51
17
3
2 5 ?
1 5
2 5
1 5
5 5 5
 
 
{ ⇒ 

3x y 10 ( 2)
2x 5y 1 (3)
6x 2y 20
6x 15y 3
17y 17
y 1
2 5 ? 2
1 5 ?
2 1 5 2
1 5
5 2
5 2
Logo, (3, 21) é o œnico par de R 3 R que é solu•ão do sistema.
Dizemos então que o sistema tem S 5 {(3, 21)} e que é um sistema poss’vel e determinado 
(tem uma œnica solu•ão, ou seja, o conjunto solu•ão é unit‡rio).
2o) { ⇒ 

x 2y 5 ( 2)
2x 4y 2
2x 4y 10
2x 4y 2
0y 8
2 5 ? 2
2 5
2 1 5 2
2 5
5 2
 
Se em 0y 5 28 não existe valor real para y, logo não existe par de nœmeros reais que seja so-
lu•ão do sistema.
Dizemos que o sistema tem S 5 [ e que é um sistema imposs’vel (não tem nenhuma solu•ão, 
ou seja, o conjunto solu•ão é vazio).
3o) { ⇒ 

2x 6y 8 (3)
3x 9y 12 ( 2)
6x 18y 24
6x 18y 24
0y 0
2 5 ?
2 5 ? 2
2 5
1 5 2
5
 
Se 0y 5 0, a inc—gnita y pode assumir qualquer valor real. Fazendo y 5 α, com a [ R, e subs-
tituindo em uma das equa•›es do sistema, temos:
2x 2 6y 5 8 ⇒ 2x 2 6a 5 8 ⇒ 2x 5 8 1 6a ⇒ 
⇒ x 5 
8 6
2
1 a
 5 4 1 3a
O par (4 1 3a, a), com a [ R, é a solu•ão geral do sistema. Para cada valor de a temos 
uma solu•ão para o sistema, por exemplo: (7, 1), (4, 0), (1, 21), conforme a seja, respectivamente, 
1, 0 ou 21. 
Dizemos que o sistema tem
S 5 {(4 1 3a, a) | a [ R}
e que é um sistema poss’vel e indeterminado (tem infinitas solu•›es, ou seja, o conjunto 
solu•ão é infinito).
Interpreta•‹o geomŽtrica dos sistemas lineares 2 3 2
Os pares de nœmeros reais que são solu•›es de uma equa•ão linear com duas inc—gnitas de-
terminam, no gr‡fico, uma reta. A intersec•ão das duas retas das equa•›es do sistema determina 
sua solu•ão, se existir.
R 3 R: conjunto de todos os pa-
res ordenados de nœmeros reais.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C2.indd 36 09/10/15 16:34
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
37
Veja a representa•‹o gr‡fica dos tr•s sistemas resolvidos por adi•‹o:
y
x
2x 1 5y 5 1
3x 2 y 5 10
(3, 21)
2
1
02122
21
22
23
24
1 2 3 41o) { → …→ …
3x y 10 (4, 2), (2, 4),
2x 5y 1 ( 2, 1), (3, 1),
2 5 2
1 5 2 2
As retas concorrentes indicam que existe um œnico par que Ž solu•‹o do sistema (sistema 
poss’vel e determinado).
2o) { → …→ …
x 2y 5 (1, 2), ( 1, 3),
2x 4y 2 (1, 0), (3, 1),
2 5 2 2 2
2 5
y
x
x 2 2y 5 5
2x 2 4y 5 2
1
0
21
22
21
23
1 2 3
As retas paralelas e distintas indicam que n‹o existe par que seja solu•‹o do sistema (sistema 
imposs’vel).
3o) { → …→ …
2x 6y 8 (4, 0), (1, 1),
3x 9y 12 (1, 1), ( 2, 2),
2 5 2
2 5 2 2 2
y
x
2x 2 6y 5 8
3x 2 9y 5 12
22 21 0 1
21
22
2 3 4
As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares que s‹o solu•›es do sistema (sistema 
poss’vel e indeterminado).
Classificação de um sistema linear 2 3 2
Sabemos que os sistemas podem ser classificados de acordo com a sua solu•‹o da seguinte 
maneira:
Sistema
Conjunto 
solução vazio
(SI: sistema 
impossível)
Conjunto 
solução unitário
(SPD: sistema 
possível e 
determinado)
Conjunto solução 
infi nito
(SPI: sistema 
possível e 
indeterminado)
Possível Impossível
Determinado Indeterminado
SER1_CAD7_MAT_ALG_C2.indd 37 09/10/15 16:34
38 Determinantes e sistemas lineares
Em um sistema linear 2 3 2, Ž simples fazer essa classifica•‹o apenas observando suas equa•›es. 
Veja algumas condi•›es:
 Se h‡ proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas inc—gnitas e essa proporcionalidade se 
mantŽm nos termos independentes, o sistema Ž poss’vel e indeterminado (SPI). Equa•›es assim 
s‹o chamadas equivalentes.
 Se h‡ proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas inc—gnitas e essa proporcionalidade não 
se mantŽm nos termos independentes, o sistema Ž imposs’vel (SI). Dizemos que equa•›es assim 
s‹o incompatíveis.
 Se não h‡ proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas inc—gnitas, o sistema Ž poss’vel e 
determinado (SPD).
Resumindo:



⇒
⇒
⇒
⇒
a x b y k
a x b y k
a
a
b
b
k
k
SPI
a
a
b
b
k
k
SI
a
a
b
b
SPD
1 1 1
2 2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 5
1 5
5 5
5 ?
?
Exemplos de classifica•‹o de sistemas:
1o) {3x 2y 4x 4y 22 52 5
Os coeficientes das mesmas inc—gnitas nas duas equa•›es n‹o s‹o proporcionais: 3 Ž o triplo de 
1 e 22 Ž metade de 24. Ent‹o, o sistema Ž poss’vel e determinado 




3
1
2
4
ou 3 ( 4) 1 ( 2)
2
2
2 2? ? .
2o) { 2 52 52x 6y 53x 9y 1
Nesse sistema, os coeficientes das mesmas inc—gnitas nas duas equa•›es s‹o proporcionais, 
porŽm essa proporcionalidade n‹o se mantŽm nos termos independentes: 2 est‡ para 3 assim como 
26 est‡ para 29, e n‹o como 5 est‡ para 1. Ent‹o, o sistema Ž imposs’vel 




2
3
6
9
5
1
5
2
2
? .
3o) {3x y 26x 2y 41 5 22 2 5 
Nesse caso, h‡ proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas inc—gnitas e ela se mantŽm 
nos termos independentes: 26 est‡ para 3 assim como 22 est‡ para 1, assim como 4 est‡ para 22 
(ou, ainda, a 2a equa•‹o Ž o oposto do dobro da 1a). Ent‹o, o sistema Ž poss’vel e indeterminado 




3
6
1
2
2
42
5
2
5
2
. 
Observação: 
O sistema linear 



a x b y k
a x b y k
1 1 1
2 2 2
1 5
1 5
, pode ser escrito na forma matricial:
























a b
a b
x
y
k
k
1 1
2 2
1
2
? 5
A partir da forma matricial, podemos usar o determinante da matriz dos coeficientes para saber 
se o sistema Ž determinado ou n‹o.
No sistema 



a x b y k
a x b y k
1 1 1
2 2 2
1 5
1 5
, a matriz dos coeficientes Ž 








a b
a b
1 1
2 2
, cujo determinante Ž 
Verifique que esse produto de 
matrizes resulta no sistema dado.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD7_MAT_ALG_C2.indd 38 09/10/15 16:34
Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
39
PARA CONSTRUIR
D 5 a
1
b
2
 2 a
2
b
1
. Perceba que, se 
a
a
b
b
1
2
1
2
? , ent‹o D 5 a
1
b
2
 2 a
2
b
1
 Þ 0. Assim, basta o deter-
minante da matriz dos coeficientes n‹o ser nulo para o sistema ser determinado.
Entretanto, note que, se o determinante for nulo, n‹o poderemos fazer nenhuma afirma•‹o, 
pois restar‹o duas possibilidades, SPI e SI. Saberemos que o sistema n‹o Ž determinado, mas n‹o Ž 
poss’vel classific‡-lo sem examinar os valores de k
1
 e k
2
.
3 Resolva cada sistema linear 2 3 2 usando o método da adi-
ção; classifique-os quanto ao número de soluções e faça sua 
representação gráfica.
a) 
4x 2y 4
2x y 5{ 1 51 5 
{ ⇒ 

4x 2y 4
2x y 5
( 2)
4x 2y 4
4x 2y 10
0 6
1 5
1 5
? 2
1 5
2 2 5 2
5 2
Sistema imposs’vel, S 5 [. 
Representa•‹o gr‡fica: 
{ → …→ …1 51 54x 2y 4 (1, 0), (0, 2),2x y 5 (1, 3), (2, 1),
y
x
4x 1 2y 5 4 
2x 1 y 5 5 
10
1
2
2
3
21
b) 
3x 2y 12
5x 6y 8{ 2 5 21 5
{ ⇒
⇒




3x 2y 12
5x 6y 8
(3)
9x 6y 36
5x 6y 8
14x 28 x 2
1 5 2
1 5
?
2 5 2
1 5
5 2 5 2
5(22) 1 6y 5 8 ⇒ 210 1 6y 5 8 ⇒ 6y 5 18 ⇒ y 5 3
Logo, o sistema Ž poss’vel e determinado e S 5 {(22, 3)}.
Representa•‹o gr‡fica: 
{ → …→ …2 5 2 21 5 2 23x 2y 12 (0, 6), ( 2, 3),5x 6y 8 ( 2, 3), (4, 2),
y
x
5x 1 6y 5 8 
3x 2 2y 5 212 
10
1
2 3 4
2
3
4
5
6
21
21
22
2223
c) 
5x 10y 15
2x 4y 6{ 252 5
{ ⇒ 

5x 10y 15 (2)
2x 4y 6 ( 5)
10x 20y 30
10x 20y 30
0 0
2 5 ?
2 5 ? 2
2 5
2 1 5 2
5
Logo, o sistema Ž poss’vel e indeterminado (possui infinitas so-
lu•›es). 
Fazendo x 5 a, temos:
2a 24y 5 6 ⇒ 24y 5 22a 1 6 ⇒ 4y 5 2a 2 6 ⇒ y 5 
5 
2 6
4
2( 3)
4
3
2
a 2
5
a 2
5
a 2
O par 



a
a 2
,
3
2
 Ž a solu•‹o geral do sistema.
Representa•‹o gr‡fica: 
→ 

 …
→ …




5x 10y 15 2,
1
2
, (3, 0),
2x 4y 6 (3, 0), ( 1, 2),
2 5 2
2 5 2 2
y
x
1
1
2
3
2
2122
5x 2 10y 5 15 
2x 2 4y 5 6 
4 Classifique os seguintes sistemas lineares:
a) {x y 6x y 81 52 5
?{ ⇒1 52 5 2x y 6x y 8 11 11⇒ sistema poss’vel e determinado
b) {x 2y 42x y 31 52 5
{ ⇒x 2y 42x y 3 12 211 52 5 2? ⇒ sistema poss’vel e determinado
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
SER1_CAD7_MAT_ALG_C2.indd 39 09/10/15 16:34
40 Determinantes e sistemas lineares
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 3 a 5 Para aprimorar: 1 e 2
c) {x y 102x 2y 201 51 5
{ ⇒x y 102x 2y 20 12 12 10201 51 5 5 5 ⇒ Sistema poss’vel e indeter-
minado
d) {4x 6y 26x 9y 32 52 5
{ ⇒4x 6y 26x 9y 3 46 69 232 52 5 5 22 5 ⇒ Sistema poss’vel e indeter-
minado
e) {2x 3y 62x 3y 121 51 5 
{ ⇒ ⇒2x 3y 62x 3y 12 22 33 6121 51 5 ? ⇒ sistema imposs’vel
f ) {x y 102x 2y 301 51 5
{ ⇒x y 102x 2y 30 12 12 10301 51 5 5 ? ⇒ sistema imposs’vel
g) 
5(x 2y 1) x 8y 7
2x y
3
1
5




2 1 5 2 1
2
5
?
{
{




⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
2 1 5 2 1
2
5
2 1 5 2 1
2 5
2 5
2 5
5
2
2
5(x 2y 1) x 8y 7
2x y
3
1
5
5x 10y 5 x 8y 7
10x 5y 3
4x 2y 2
10x 5y 3
4
10
2
5
2
3 
⇒ sistema imposs’vel
h) {2x y x 42x y x 2y 11 5 11 5 1 1
1 5 1
1 5 1 1
1 5
2 5 2
{ {⇒ ⇒ ?2x y x 42x y x 2y 1 x y 4x y 1 11 11 ⇒ sistema 
poss’vel e determinado
5 (Vunesp) Uma cole•‹o de artr—podes é formada por 36 
exemplares, todos eles ’ntegros, e que somam, no total da 
cole•‹o, 113 pares de patas articuladas. Na cole•‹o n‹o h‡ 
exemplares das classes às quais pertencem o caranguejo, a 
centopeia e o piolho-de-cobra.
Sobre essa cole•‹o, é correto dizer que é composta por 
exemplares das classes Insecta e: d
a) Arachnida, com maior nœmero de exemplares da classe 
Arachnida. 
b) Diplopoda, com maior nœmero de exemplares da classe 
Diplopoda. 
c) Chilopoda, com igual nœmero de exemplares de cada uma 
dessas classes. 
d) Arachnida, com maior nœmero de exemplares da classe 
Insecta. 
e) Chilopoda, com maior nœmero de exemplares da classe 
Chilopoda. 
Considerando as classes do Filo Arthropoda, nesta cole•‹o es-
tariam presentes somente representantes das classes Insecta 
e Arachnida.
Considerando que x Ž o nœmero de aracn’deos (8 patas) e y o 
nœmero de insetos (6 patas), podemos escrever:
{ ⇔ 

1 5 2
1 5
2 2 5 2
1 5
x y 36 ( 6)
8x 6y 226
6x 6y 216 (I)
8x 6y 226 (II)
Fazendo (II) 2 (I), temos:
2x 5 10 ⇒ x 5 5 (aracn’deos) e y 5 31 (insetos)
Discuss‹o de um sistema linear 2 3 2
Observe o sistema {3x y bax 2y 41 51 5 . 
Nesse sistema de incógnitas x e y, o coeficiente a e o termo independente b são chamados de 
par‰metros; seus valores não estão estabelecidos.
Discutir um sistema significa descobrir para quais valores dos parâmetros ele é possível e deter-
minado, possível e indeterminado ou impossível.
Para saber em quais condições o sistema é SPD, podemos calcular o determinante da matriz dos 
coeficientes do sistema. No sistema acima, temos:
D 5 
3 1
a 2
 5 6 2 a
Quando a Þ 6, teremos D Þ 0, e poderemos garantir que o sistema é possível e determinado, 
independentemente do valor de b.
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-4
H-1
5
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Determinantes e sistemas lineares
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
41
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
Quando a 5 6, teremos D 5 0, portanto não poderemos classificar o sistema sem observar as 
duas equações. Substituindo a 5 6 no sistema, teremos:
{3x 1y b6x 2y 4
1 5
1 5
Nesse caso, já temos proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas. Para que 
ela se mantenha nos termos independentes, precisamos ter b 5 2. Nessas condições, as equações 
serão equivalentes e teremos um sistema indeterminado. Entretanto, se b Þ 2, as equações serão 
incompatíveis e o sistema será impossível.
Assim:
 para a Þ 6, o sistema é possível e determinado (SPD) (para qualquer b [ R);
 para a 5 6 e b 5 2, o sistema é possível e indeterminado (SPI);
 para a 5 6 e b Þ 2, o sistema é impossível (SI).
1 Discuta o sistema linear {x ky 1x 2y 3
1 5
1 5
.
RESOLU‚ÌO:
D 5 
1 k
1 2
 5 2 2 k
 D Þ 0, ou seja, 2 2 k Þ 0 ⇒ k Þ 2, o sistema é possível e determinado.
 D 5 0, ou seja, 2 2 k 5 0 ⇒ k 5 2, devemos substituir k 5 2 no sistema e observar as equações: 
x 2y 1
x 2y 3{
1 5
1 5
Nessas condições, com k 5 2, o sistema terá conjunto solução vazio, pois as duas equações são incompatíveis.
Portanto:
{para k 2, o sistema é possível e determinadopara k 2, o sistema é impossível5
?
2 Para quais valores de a e b o sistema {ax 2y 2x y b
1 5
1 5
 é possível e indeterminado?
RESOLU‚ÌO:
Para quais o sistema seja possível e indeterminado, deve-se ter inicialmente:
D 5 0 ⇒ 
a 2
1 1
 5 0 ⇒ a 2 2 5 0 ⇒ a 5 2
No entanto, apenas D 5 0 não garante que o sistema seja possível e indeterminado; ele poderia ser também impossível (que não 
é o caso desejado).
É preciso substituir a 5 2 no sistema e observar as equações: {2x 2y 2x y b
1 5
1 5
Para que as duas equações sejam equivalentes, precisamos de b 5 1 (assim, a 1a equação passa a valer o dobro da 2a).
Logo, o sistema é possível e indeterminado para a 5 2 e b 5 1.
3 Determine os valores de a para que o sistema linear {a 3y a3x a a
1 5
1 5 2
 seja possível e determinado.
RESOLU‚ÌO:
Para que o sistema seja possível e determinado, deve-se ter:
D Þ 0 ⇒ 
a 3
3 a
 Þ 0 ⇒ a2 2 9 Þ 0 ⇒ a Þ 3 e a Þ 23
Logo, o sistema será possível e determinado sempre que a Þ 3 e a Þ 23.
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42 Determinantes e sistemas lineares
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 6 a 9
PARA CONSTRUIR
 SISTEMAS LINEARES 3 3 3
Consideremos o sistema a seguir, de três equações com três incógnitas:




a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 5
1 1 5
1 1 5
Geometricamente, cada uma das equações, nessa ordem, define os planos p
1
, p
2
 e p
3
, respectiva-
mente. O terno (x, y, z) é solução desse sistema quando o ponto P(x, y, z) pertence à intersecção 
p
1 
> p
2
 > p
3
, ou seja, quando P está simultaneamente nos três planos.
Nos sistemas de duas equa•›es 
com duas inc—gnitas havia duas 
retas no plano. Agora, h‡ tr•s pla-
nos no espa•o.
PARA
REFLETIR
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
6 (UFMG) Considere o seguinte sistema linear nas inc—gnitas x e y:
{2x 3y 26x ay 31 51 5
Observando-se que o coeficiente de y na segunda equa•‹o 
Ž um par‰metro a:
a) determine para quais valores de a o sistema tem solu•‹o.
{2x 3y 26x ay 31 51 5
 
D 5 
2 3
6 a
 5 2a 2 18
 D Þ 0, ou seja, 2a 2 18 Þ 0 ⇒ a Þ 9, o sistema Ž poss’vel e 
determinado;
 D 5 0, ou seja, 2a 2 18 5 0 ⇒ a 5 9, devemos substituir 
a 5 9 no sistema e observar as equa•›es:
{2x 3y 26x 9y 31 52 5
Nessas condi•›es, com a 5 9, o sistema ter‡ conjunto solu•‹o 
vazio, pois as duas equa•›es s‹o incompat’veis.
Portanto, o sistema tem solu•‹o se e somente se a Þ 9.
b) determine as solu•›es x e y em fun•‹o do par‰metro a, 
caso o sistema tenha solu•‹o.
Multiplicando a primeira equa•‹o por 23 e somando os resulta-
dos com a segunda, temos a equa•‹o (a 2 9)y 5 23.
Assim, conclu’mos que y
3
9 a
5
2
 e que 5
2
? 2
x
9 2a
2 (9 a)
.
c) determine todos os valores de a para os quais o sistema 
tenha como solu•‹o nœmeros inteiros x e y. 
5 2x 1
3y
2
 
Para que x e y sejam nœmeros inteiros, y dever‡ ser par, portanto 
y 5 2n, com n inteiro.
⇒
2
5 5
23
9 a
2n a
18n 3
2n
 com n [ Z*.
7 Resolva a equa•‹o matricial 














2 1
1 3
x
y
7
72
5 .
{ ⇒2x y 7x 3y 7 21 131