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– 1
MATEMÁTICA
LIVRO 3
ÁLGEBRA
Capítulo 1 – Polinômios
8) Se P(x) = x3 + (2 + m)x2 + (3 + 2m)x + 3m, então:
P(m) = m3 + (2 + m) . m2 + (3 + 2m)m + 3m =
= m3 + 2m2 + m3 + 3m + 2m2 + 3m = 
= 2m3 + 4m2 + 6m
9) P(x) = xn – xn – 1 + xn – 2 – … + x2 – x + 1; P(– 1) = 19
Como os sinais dos coeficientes se alternam e x2 tem coefi -
ciente positivo, todos os termos que possuem coeficiente
positivo têm expoente par e, portanto, n é par.
Para x = – 1, tem-se:
P(– 1) = (– 1)n – (– 1)n – 1 + (– 1)n – 2 – … + (– 1)2 – (– 1)1 + 1 =
= 1 + 1 + 1 + … + 1 + 1 + 1 = 19
18 termos (pois 18 + 1 = 19)
Como de “(– 1)n” a “– (– 1)1” temos 18 termos, então n = 18.
Resposta: E
10) Sobre o polinômio P(x) = Ax2 + Bx + C sabe-se que:
⇔
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ 
Desta forma, B = – 1
Resposta: C
11) V = Ab . h
Ab = (a – 2x)2 = a2 – 4ax + 4x2 e h = x
Então: V = (a2 – 4ax + 4x2)x ⇔ V = a2x – 4ax2 + 4x3
Resposta: B
12) I) P(x) = ax3 + bx2 + cx + 2
II) P(– x) = a(– x)3 + b(– x)2 + c(– x) + 2 = – ax3 + bx2 – cx + 2
III) P(x) – P(– x) = 2ax3 + 2cx
IV)Se P(x) – P(– x) = x3 fi 2ax3 + 2cx = x3, então:
⇔
V) P(– 1) = 0 fi – a + b – c + 2 = 0 fi
fi – + b – 0 + 2 = 0 ⇔ b = –
Assim, P(x) = . x3 – . x2 + 2 e, portanto,
P(1) = – + 2 = 1 e P(2) = . 8 – . 4 + 2 = 0
Resposta: C
13) Para que o polinômio 
p(x) = (m – 4)x3 + (m2 – 16)x2 + (m + 4)x + 4 tenha grau 2,
devemos ter:
⇔ fi não existe m
Resposta: E
14) gr(f) = n + 2
gr(g) = n – 1
f(x) g(x)
r(x) q(x)
I) gr(q) = gr(f) – gr(g) = (n + 2) – (n – 1) = 2 + 1 = 3 fi gr(q) = 3
II) 0 � gr(r) � gr(g) fi 0 � gr(r) � n – 1; n Œ �*, n � 2
15) I) ax2 + b(x + 1)2 + c(x + 2)2 = (x + 3)2 ⇔
⇔ ax2 + bx2 + 2bx + b + cx2 + 4cx + 4c = x2 + 6x + 9 ⇔
⇔ (a + b + c) . x2 + (2b + 4c) . x + b + 4c = x2 + 6x + 9
II) ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔
III) a – b + c = 1 – (– 3) + 3 = 1 + 3 + 3 = 7
Resposta: E
16) I) P1(x) = (m + n + p)x4 – (p + 1)x3 + mx2 + (n – p)x + n
II) P2(x) = 2mx3 + (2p + 7)x2 + 5mx + 2m
III) P1(x) = P2(x) ⇔
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔
Resposta: A
	 2a = 12c = 0
1
–––
2
3
–––
2
1
–––
2
3
–––
2
	
1
a = ––
2
c = 0
1
–––
2
3
–––
2
1
–––
2
3
–––
2
m = 4
m ≠ 4 e m ≠ – 4	m – 4 = 0m2 – 16 ≠ 0	
a + b + c = 1
b + 2c = 3
b + 4c = 9
	
a + b + c = 1
2b + 4c = 6
b + 4c = 9
	
a = 1
b = – 3
c = 3
	
a + b = – 2
b = – 3
c = 3
	
a + b + c = 1
b + 4c = 9
c = 3
	
m + n + p = 0
2m + p = – 1
m = 2p + 7
n – p = 5m
n = 2m
	
m + n + p = 0
– p – 1 = 2m
m = 2p + 7
n – p = 5m
n = 2m
	
m = 1
n = 2
p = – 3
	
m + n + p = 0
p = – 3
m = 1
n = 2
	
P(1) = 3 fi A . 12 + B . 1 + C = 3
P(2) = 11 fi A . 22 + B . 2 + C = 11
P(4) = 45 fi A . 42 + B . 4 + C = 45 
	
A + B + C = 3
4A + 2B + C = 11
16A + 4B + C = 45
	
A + B + C = 3
3A + B = 8
15A + 3B = 42
	
A + B + C = 3
3A + B = 8
6A = 18 	
A = 3
B = – 1
C = 1
2 –
17) = + ⇔
⇔ 1 = (Ax + B)(x2 + 4) + (Dx + C)(x2 + 2x + 2) ⇔
⇔ 1 = Ax3 + 4Ax + Bx2 + 4B + Dx3 + 2Dx2 + 2Dx + Cx2 + 2Cx + 2C ⇔
⇔ 1 = (A + D)x3 + (B + 2D + C)x2 + (4A + 2D + 2C)x + (4B + 2C)
a)
b) Resolvendo o sistema por escalonamento, resulta:
⇔
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔ ⇔
Respostas: a)
b) A = , B = , C = – e 
D = –
40) x4 + 69 x2 + 4x + 8
– x4 – 4x3 – 8x2 x2 – 4x + 8
–––––––––––––––––
– 4x3 – 8x2 + 69
+ 4x3 + 16x2 + 32x
–––––––––––––––––
8x2 + 32x + 69
– 8x2 – 32x – 64
–––––––––––––––––
5
Resposta: D
41) P(x) x2 + 1
fi
x + 1 2x – 1
fi P(x) = (x2 + 1) . (2x – 1) + (x + 1) ⇔
⇔ P(x) = 2x3 – x2 + 2x – 1 + x + 1 ⇔ P(x) = 2x3 – x2 + 3x
Resposta: D
42) I) P(x) x2 + x – 1
13x + 5 x – 5
Portanto:
P(x) = (x2 + x – 1) . (x – 5) + 13x + 5
II) P(1) = (12 + 1 – 1) . (1 – 5) + 13 . 1 + 5 = – 4 + 13 + 5 = 14
Resposta: E
43) O resto da divisão de 
P(x) = 2x5 – 4x3 + mx – 3 por x – 2 é P(2) = 33.
Assim, P(2) = 2 . 25 – 4 . 23 + m . 2 – 3 = 33 ⇔
⇔ 64 – 32 + 2m – 3 = 33 ⇔ m = 2
Resposta: B
44) I) ax4 + 5x2 – ax + 4 x2 – 4
– ax4 + 4ax2 ax2 + (5 + 4a)
––––––––––––––––––
(5 + 4a)x2 – ax + 4
– (5 + 4a)x2 + 16a + 20
–––––––––––––––––––––
– ax + 16a + 24
II) r(4) = 0 fi r(4) = – 4a + 16a + 24 = 0 fi 12a = – 24 fi a = – 2
III) Q(x) = ax2 + (5 + 4a) = – 2x2 + [5 + 4 . (– 2)] = – 2x2 – 3
IV)Q(1) = – 2 . (1)2 – 3 = – 2 – 3 = – 5 
Resposta: C
1
––––––––––––––––––
(x2 + 2x + 2)(x2 + 4)
Ax + B
––––––––––
x2 + 2x + 2
Dx + C
––––––––
x2 + 4
	
A + D = 0
B + C + 2D = 0
4A + 2C + 2D = 0
4B + 2C = 1
A + D = 0
B + C + 2D = 0
4A + 2C + 2D = 0
4B + 2C = 1
A + D = 0
B + C + 2D = 0
2C – 2D = 0
4B + 2C = 1
A + D = 0
B + C + 2D = 0
2C – 2D = 0
– 2C – 8D = 1
A + D = 0
B + C + 2D = 0
2C – 2D = 0
– 10D = 1
⇔ 	
1
A = –––
10
3
B = –––
10
1
C = – –––
10
1
D = – –––
10
A + D = 0
B + C + 2D = 0
4A + 2C + 2D = 0
4B + 2C = 1
1
–––
10
3
–––
10
1
–––
10
1
–––
10
	
	
	
	
	
– 3
45) I) x3 – 2x2 + kx + t x2 – x + 1
– x3 + x2 – x x – 1
––––––––––––––––––––
– x2 + (k – 1) . x + t
+ x2 – x + 1
–––––––––––––––––––––
(k – 2)x + t + 1
II) De acordo com o enunciado:
(k – 2)x + t + 1 = 3x – 2 ⇔
⇔ ⇔
III) k – t = 5 – (– 3) = 8
Resposta: A
46) Se P(x) = x3 – x2 + 2k + 2, então:
I)
fi P(3) = 4k – 220 fi
fi 27 – 9 + 2k + 2 = 4k – 220 ⇔ 4k – 2k – 240 = 0
II) Substituindo 2k por y temos y2 – y – 240 = 0 ⇔
⇔ y = 16 ou y = – 15 fi y = 16, pois y > 0
III) y = 2k = 16 ⇔ 2k = 24 ⇔ k = 4
Resposta: E
47) mx3 + nx2 + 1 é divisível por x2 – x – 1, então:
mx3 + nx2 + 1 x2 – x – 1
– mx3 + mx2 + mx mx + m + n
––––––––––––––––––––
(m + n)x2 + mx + 1
– (m + n)x2 + (m + n)x + m + n
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(2m + n)x + m + n + 1 = 0x + 0, "x ⇔
⇔ 
Assim, m + n = – 1.
Resposta: B
48) I)
� � = x3 – 3x2 + 5x
II) x3 – 3x2 + 5x x2 – 1
– x3 + x x – 3
––––––––––––––
– 3x2 + 6x
+ 3x2 – 3 
–––––––––––––
6x – 3
Assim, o resto da divisão de f por g é 6x – 3.
Resposta: A
49) x4 + 2x3 – 2x2 – 4x – 21 por x + 3
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini:
coeficientes resto
Q(x) = x3 – x2 + x – 7 e resto nulo
Resposta: E
50) Utilizando o Teorema do resto:
r = p = 2 .
4
– 3 . + 1 =
= 2 . – + 1 = – + 1 = = –
Resposta: D
51) Pelo Teorema do resto:
r = 10 ⇔ p(5) = 10 ⇔ 54 – 4 . 53 – k . 5 – 75 = 10 ⇔
⇔ 53 – 4 . 52 – k – 15 = 2 ⇔ 125 – 100 – k = 17 ⇔ k = 8
Resposta: E
52) I) f x2 – 1 fi f(x) = (x2 – 1) . (2x + 1) + kx – 9
kx – 9 2x + 1
II) Se f(x) é divisível por x – 2, então f(2) = 0, portanto:
(22 – 1) . (2 . 2 + 1) + 2k – 9 = 0 ⇔ 3 . 5 + 2k – 9 = 0 ⇔
⇔ 2k = – 6 ⇔ k = – 3
Resposta: D
53) I) p(x) x – A fi p(A) = A
A
II) p(x) x – B fi p(B) = B
B
III) p(x) (x – A) . (x – B) fi p(x) = (x – A) . (x – B) . Q(x) + 0
0 Q(x)
IV)Para x = A, temos:
p(A) = (A – A) . (A – B) . Q(A) = 0
0
fi A = 0
V) Para x = B, temos:
p(B) = (B – A) . (B – B) . Q(B) = 0
0
fi B = 0
Portanto, A = B = 0.
Resposta: A
k = 5
t = – 3	k – 2 = 3t + 1 = – 2	
P(x)
4k – 220
x – 3
–––––––––––––
Q(x)
	 2m + n = 0m + n = – 1
x – 1
– 3
– 2
0
x – 1
– 1
1
0
x – 1
– 3– 21
0
– 4
– 7
– 2
+ 1
2
– 1
1
1
1
––
2�
1
––
2��
1
––
2�
3
––
8
1 – 12 + 8
––––––––––
8
3
––
2
1
––
8
3
––
2
1
–––
24
p(A) = A
p(A) = 0	
p(B) = B
p(B) = 0	
4 –
54) I) D(x) = x2 – 1 = (x + 1) . (x – 1)
II) 3x101 + 1 (x + 1) . (x – 1) fi
ax + b Q(x)
fi 3x101 + 1 = (x + 1) . (x – 1) . Q(x) + ax + b
III) Para x = – 1:
(– 1 + 1) . (– 1 – 1) . Q(– 1) + a . (– 1) + b = 3 . (– 1)101 + 1 fi
fi – a + b = – 2
IV)Para x = 1:
(1 + 1) . (1 – 1) . Q(1) + a . (1) + b = 3 . (1)101 + 1 fi
fi a + b = 4
V) ⇔
Resposta: a = 3 e b = 1
55) a) p(x) 2x – 1 fi p(x) = (2x – 1) . (x2 – x) + m 
m x2 – x
b) p(– 1) = 0 fi [2 . (– 1) – 1] . [(– 1)2 – (– 1)] + m = 0 ⇔
⇔ (– 3) . (1 + 1) + m = 0 ⇔ m = 6
Resposta: E
56) I) Se P(x) é divisível por x – 2, então:
P(2) = 0 fi 25 + a . 24 – 2b = 0 ⇔ 24 + 23 . a – b = 0 ⇔
⇔ 16 + 8a – b = 0 ⇔ 8a – b = – 16
II) P(x) dividido por x + 2 dá resto 8, então:
P(– 2) = 8 fi (– 2)5 + a . (– 2)4 – b . (– 2) = 8 ⇔
⇔ – 32 + 16a + 2b = 8 ⇔ – 16+ 8a + b = 4 ⇔ 8a + b = 20
III) ⇔
Resposta: C
57) Sendo p(x) = x3 + ax2 + bx, pelo teorema do resto, temos:
⇒ ⇔ ⇔
Resposta: A
58) Se P(x) = x3 – 6x2 + mx + n é divisível por (x – 1) . (x – 2), então
P(x) é divisível por (x – 1) e por (x – 2). Aplicando o teorema do
resto, temos:
⇔ ⇔
⇔ ⇔ fi m . n = – 66
Resposta: B
59) I) De acordo com o enunciado, o polinômio 
P(x) = x4 – 12x3 + 47x2 + mx + n é divisível por 
x2 – 7x + 6 = (x – 1) . (x – 6)
II) Se P(x) é divisível por (x – 1) . (x – 6), então P(x) é divisível
por (x – 1), assim: 
P(1) = 0 fi 14 – 12 . 13 + 47 . 12 + m . 1 + n = 0 ⇔
⇔ m + n = – 36
Resposta: C
60) I) p’(1) = 0 fi 3 . 12 + 2 . b . 1 + c = 0 fi 2b + c = – 3
II) p’(– 1) = 4 fi 3 . (– 1)2 + 2 . b . (– 1) + c = 4 fi – 2b + c = 1
III) p(1) = 2 fi 13 + b . 12 + c . 1 + d = 2 fi b + c + d = 1
IV) ⇔ ⇔
⇔ ⇔
V) p(x) = x3 – x2 – x + 3 
Resposta: B
61) I) p(– 2) = 0 fi (– 2)3 + 5 . (– 2)2 + k . (– 2) – 1 = 0 ⇔
⇔ – 8 + 20 – 2k – 1 = 0 ⇔ k =
p(x) = x3 + 5x2 + x – 1
II) Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini:
coeficientes resto
Q(x) = x2 + 3x –
III) p(x) = x2 + 3x – . (x + 2) = (2x2 + 6x – 1) . (x + 2)
Portanto, p(x) é divisível por 2x2 + 6x – 1.
Resposta: A
62) I) Se p(x) é divisível por x – 3, então p(3) = 0
II) p(x) x – 1 
fi p(x) = (x – 1) . q(x) + 10
10 q(x)
III) Chamando de r o resto da divisão de q(x) por x – 3, temos:
r = q(3)
IV)Para x = 3, temos:
p(3) = (3 – 1) . q(3) + 10 fi 2 . q(3) + 10 = 0 ⇔
⇔ q(3) = – ⇔ q(3) = – 5 fi r = – 5
Resposta: A
13 – 6 . (1)2 + 1 . m + n = 0
23 – 6 . (2)2 + m . 2 + n = 0	P(1) = 0P(2) = 0	
m = 11
n = – 6	m + n = 52m + n = 16	
a = – 6
b = 9	2a + b = – 3a + b = 3	8 + 4a + 2b = 21 + a + b = 4	p(2) = 2p(1) = 4	
1
a = ––
4
b = 18
	8a – b = – 168a + b = 20	
a = 3
b = 1	
a + b = 4
– a + b = – 2	
2b + c = – 3
c = – 1
b + c + d = 1
	
2b + c = – 3
– 2b + c = 1
b + c + d = 1
	
b = – 1
c = – 1
d = 3
	
b = – 1
c = – 1
b + c + d = 1
	
11
–––
2
11
–––
2
– 2– 1
0
11
–––
2
1
– ––
2
5
3
1
1
1
––
2
1
––
2�
1
––
2�
10
–––
2
– 5
63) I) Pelo teorema do resto, p(2) = 1 e p(3) = 2
II) Notar que x2 – 5x + 6 = (x – 2) . (x – 3). Portanto, temos:
p(x) (x – 2).(x – 3) 
fi
r(x) = ax + b Q(x)
fi p(x) = (x – 2) . (x –3) . Q(x) + ax + b
III) fi ⇔ fi r(x) = x – 1
Resposta: D
64) Note que x2 + 2x – 3 = (x + 3) . (x – 1)
Fazendo P(x) = x80 + 3 . x79 – x2 – x – 1, temos:
I) x80 + 3 . x79 – x2 – x – 1 x + 3 
r1 Q1(x)
r1 = P(– 3) = (– 3)80 + 3 . (– 3)79 – (– 3)2 – (– 3) – 1 =
= 380 – 380 – 9 + 3 – 1 = – 7 fi P(– 3) = – 7
II) x80 + 3 . x79 – x2 – x – 1 x – 1 
r2 Q2(x)
r2 = P(1) = 180 + 3 . 179 – 12 – 1 – 1 = 1 + 3 – 1 – 1 – 1 = 1 fi
fi P(1) = 1 
III) P(x) (x + 3) . (x – 1) 
fi
R(x) = ax + b Q(x)
fi P(x) = (x + 3) . (x – 1) . Q(x) + ax + b
IV) ⇒ ⇔ ⇒ R(x) = 2x – 1
V) R(0) = 2 . 0 – 1 = – 1
Resposta: B
65) a) I) P(x) (x – 2) . (x – 1) 
fi
R(x) = ax + b Q(x)
fi P(x) = (x – 2) . (x – 1) . Q(x) + ax + b
II) fi ⇔ fi R(x) = – x + 3
b) Se o termo independente de P(x) é igual a 8, então P(0) = 8.
Em P(x) = (x – 2) . (x – 1) . Q(x) – x + 3, tem-se:
P(0) = 8 fi (0 – 2) . (0 – 1) . Q(0) – 0 + 3 = 8 ⇔ 2 . Q(0) = 5 ⇔
⇔ Q(0) = , que é o termo independente de Q(x).
Respostas: a) – x + 3 b)
66) Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, tem-se:
Resposta: D 
67)
1)
fi P(2) = 0 fi
fi a . 8 + 2 . 2 + b = 0 ⇔ b = – 8a – 4 (I)
2)
fi P(– 3) = – 45 fi
fi a(– 27) + 2(– 3) + b = – 45 ⇔ b = 27a – 39 (II)
3) De (I) e (II), temos:
27a – 39 = – 8a – 4 ⇔ 35a = 35 ⇔ a = 1
4)
fi b = – 12
Resposta: E
68) I) p(x) 2x2 – 3x + 1 
fi
– x + 2 3x2 + 1
fi p(x) = (2x2 – 3x + 1).(3x2 + 1) – x + 2
II) Pelo teorema do resto:
p(1) = (2 . 12 – 3 . 1 + 1) . (3 . 12 + 1) – 1 + 2 = 1 
Resposta: B
69) Se f(x) = x3 – 2x2 – x + 2, então:
0 � x3 – 2x2 – x + 14 � 12 ⇔
⇔ – 12 � x3 – 2x2 – x + 14 – 12 � 12 – 12 ⇔
⇔ – 12 � x3 – 2x2 – x + 2 � 0 fi – 12 � f(x) � 0 
Pelo gráfico, se – 12 � f(x) � 0, então 
– 2 � x � – 1 ou 1 � x � 2
a = – 1
b = 3	
a + b = 2
2a + b = 1	
P(1) = 2 
P(2) = 1 	
5
––
2
5
––
2
a = 2 
b = – 1	
– 3a + b = – 7
a + b = 1	
P(– 3) = – 7
P(1) = 1	
P(x) x – 2
0 Q(x)
P(x) x + 3
– 45 Q(x)
	b = – 8a – 4a = 1
a = 1
b = – 1	2a + b = 13a + b = 2	p(2) = 1p(3) = 2	
coeficientes 2an(resto)
1 0 0 0 0 … 0 an – a
1 – a + a2 – a3 + a4 … (– a)n – 1 + an + an
n – 1 zeros
6 –
MATEMÁTICA
LIVRO 3
ÁLGEBRA
Capítulo 2 – Equações Algébricas
13) a) Sendo x o número real procurado, temos:
x + x2 = x3 ⇔ x3 – x2 – x = 0 ⇔ x . (x2 – x – 1) = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x2 – x – 1 = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x = ou x = 
Portanto, o menor número é 
b) Sendo r e s as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, temos:
I)
r + s = –
r . s = 
II) w = + = = =
= = =
= = . = 
14) 3x3 – 5x2 – 2x = 0 ⇔ x . (3x2 – 5x – 2) = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou 3x2 – 5x – 2 = 0 ⇔ x = 0 ou x = – ou x = 2.
Resposta: E
15) Seja p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, então:
I) p(– 1) = 6 fi a . (– 1)3 + b . (– 1)2 + c . (– 1) + d = 6 ⇔
⇔ – a + b – c + d = 6
II) p(2) = 6 fi a . (2)3 + b . (2)2 + c . (2) + d = 6 ⇔
⇔ 8a + 4b + 2c + d = 6
III) p(– 2) = 6 fi a . (– 2)3 + b . (– 2)2 + c . (– 2) + d = 6 ⇔
⇔ – 8a + 4b – 2c + d = 6
IV) p(1) = 0 fi a . (1)3 + b . (1)2 + c . (1) + d = 0 ⇔
⇔ a + b + c + d = 0
16) Utilizando a 1a. Relação de Girard, temos:
– 1 + 2 + c = ⇔ 1 + c = 0 ⇔ c = – 1, pois
P(x) = x3 + 0 . x2 + ax + b
Resposta: B
17) I) Aplicando o Dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
1442443 123 
x2 + 1 Resto
II) Se p(x) é divisível por x – 1, devemos ter 
a + 1 = 0 ⇔ a = – 1
Assim, p(x) = x3 – x2 + x – 1
III) p(x) = 0 fi x3 – x2 + x – 1 = 0 ⇔
⇔ (x – 1) . (x2 + 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 ou x2 + 1 = 0 ⇔
⇔ x = 1 ou x = ± i
Resposta: 1; i; – i
18) I) x3 – 4x2 + 6x – 4 = 0 ⇔
⇔ (x – 2) . (x2 – 2x + 2) = 0 ⇔
⇔ x = 2 ou x = 1 + i ou x = 1 – i
II) 1 + i = ���2 . (cos 45° + i . sen 45°)
III) 1 – i = ���2 . (cos 315° + i . sen 315°)
Assim, as duas raízes complexas têm argumentos de 45° e
315°, isto é, possuem imagens no 1.° e 4.° quadrantes do plano
complexo.
Resposta: A
⇔
a + b + c + d = 0
8a + 4b + 2c + d = 6
b + d = 3
4b+ d = 6
	⇔
a + b + c + d = 0
8a + 4b + 2c + d = 6
2b + 2d = 6
8b + 2d = 12
	⇔
⇔
a + b + c + d = 0
8a + 4b + 2c + d = 6
4b + d = 6
b = 1
	⇔
a + b + c + d = 0
8a + 4b + 2c + d = 6
4b + d = 6
3b = 3
	⇔
⇔
a + 1 + c + 2 = 0
8a + 4 + 2c + 2 = 6
d = 2
b = 1
	⇔
a + 1 + c + d = 0
8a + 4 + 2c + d = 6
d = 2
b = 1
	⇔
⇔
4a + c = 0
a = 1
b = 1
d = 2
	⇔
a + c = – 3
4a + c = 0
b = 1
d = 2
	⇔
a + c = – 3
8a + 2c = 0
b = 1
d = 2
	⇔
fi p(x) = x3 + x2 – 4x + 2
a = 1
b = 1
c = – 4
d = 2
	⇔
4 + c = 0
a = 1
b = 1
d = 2
	⇔
0
–––
1
1 + ���5
––––––––
2
1 – ���5
––––––––
2
1 – ���5
––––––––
2
b
–––
a	 c–––
a
(r + s)2 – 2 . rs
––––––––––––––
(r . s)2
s2 + r2
––––––––
(r . s)2
1
–––
s2
1
–––
r2
b2 c
––– – 2 . ––
a2 a
––––––––––––––
c2
––
a2
b c�– ––�
2
– 2 . ––
a a
–––––––––––––––––
c�––�
2
a
b2 – 2ac
–––––––––
c2
a2
––––
c2
b2 – 2ac
–––––––––
a2
b2 – 2ac
–––––––––
a2
––––––––––––
c2
––
a2
1
–––
3
⇔
a + b + c + d = 0
– a + b – c+ d = 6
8a + 4b + 2c + d = 6
– 8a + 4b – 2c + d = 6
	⇔
– a + b – c + d = 6
8a + 4b + 2c + d = 6
– 8a + 4b – 2c + d = 6
a + b + c + d = 0
	V)
1 – 1 1 a 1
1 0 1 a + 1
– 7
19) Sejam r1, r2 e r3 as raízes de P(x) e M a média aritmética dessas
raízes.
I) Pela Relação de Girard, r1 + r2 + r3 = – =
II) M = = = 
Resposta: E
20) Fazendo = u ⇔ x = 3u, tem-se:
I) P(u) = (3u)2 + 3u + 1 ⇔
⇔ P(u) = 9u2 + 3u + 1 fi P(x) = 9x2 + 3x + 1
II) P(3x) = 7 fi 9(3x)2 + 3 . 3x + 1 = 7 ⇔
⇔ 81x2 + 9x – 6 = 0
III) Se x1 e x2 são as raízes de P(3x) = 7, então: 
x1 + x2 = – = –
Resposta: A
21) Se as raízes da equação 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0 são a, b e c, de
acordo com as Relações de Girard, tem-se:
I) a + b + c = 
II) ab + ac + bc = –
III) abc = –
Assim:
(a + 1) (b + 1) (c + 1) = (ab + a + b + 1) (c + 1) =
= a + b + c + ab + ac + bc + abc + 1 =
= + �– � + �– � + 1 =
= – + 1 = –7 + 1 = – 6
Resposta: C
22) Sendo – , m e n as raízes da equação 
2x3 + 3x2 – 3x – 2 = 0, pelas Relações de Girard, temos:
fi mn = (– 2)1 = – 2 ou mn = 1–2 = 1
Resposta: E
23) I) Do enunciado segue-se que a é raiz dupla e b é raiz simples
de p(x).
Aplicando o Dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
14243 14243 144424443
Resto (R3) Resto (R2) Resto (R1)
II) Igualando os restos a zero, têm-se:
Resposta: A
24) I) Se , a, aq são as raízes da equação 
x3 + 12x2 – 96x – 512 = 0, então:
. a . aq = 512 ⇔ a3 = 512 = 29 ⇔ a = 23 = 8
II) Já que 8 é uma das raízes, o polinômio é divisível por x – 8
e, portanto:
⇔
⇔ x2 + 12x2 – 96x – 512 = (x – 8)(x2 + 20x + 64)
III) x2 + 20x + 64 = 0 ⇔ x = ⇔
⇔ x = – 4 ou x = – 16
IV)As raízes estão em ordem crescente de seus valores abso lutos
e, portanto a progressão geométrica é (– 4, 8, – 16, …), cuja
razão é – 2.
Resposta: A
⇔ 	 3a
2 + a3 + a – 2b = 0
a = 0 ou a = – 2
2a + b + 3 = 0
⇔ 	 a = – 2b = 1 fi a . b = – 2 . 1 = – 2
⇔
3a2 + a3 + a – 2b = 0
2a + a2 = 0
2a + b + 3 = 0
	⇔3a
2 + a3 + a – 2b = 0
6a + 3a2 = 0
2a + b + 3 = 0
	
1 3 0 a – 2b a
1 3 + a 3a + a2 3a2 + a3 + a – 2b a
1 3 + 2a 6a + 3a2 b
1 3 + 2a + b
–11
––––
2
11
–––
2
r1 + r2 + r3
–––––––––––
3
11
–––
2
––––––
3
11
––––
6
x
–––
3
9
–––
81
1
–––
9
3
–––
2
11
–––
2
6
–––
2
3
–––
2
11
–––
2
6
–––
2
14
–––
2
1
–––
2
	
1 3
– –– + m + n = – ––
2 2 
1 (– 2)
– –– . m . n = – –––––
2 2 
⇔ 	 m + n = – 1m . n = – 2 ⇔
⇔ 	 m + n = – 1m . (– 1 – m) = – 2 ⇔ 	
m + n = – 1
m2 + m – 2 = 0
⇔
⇔ 	m = – 2n = 1 ou 	
m = 1
n = – 2
fi
a
–––
q
a
–––
q
x3 + 12x2 – 96x – 512
0
x – 8
––––––––––––––––––––
x2 + 20x + 64
– 20 ± 12
–––––––––
2
8 –
25) I) Se {x1; x2; x3} for o conjunto solução da equação 
ax3 + bx2 + cx + d = 0, então:
II) + + = =
= = 
III) + + 
–1
= –
–1
= –
Resposta: A
26) Sendo a e b as outras duas raízes, temos:
2 . a . b = ⇔ a . b = ⇔ a . b = 1
Resposta: B
27) I) No gráfico de p(x) = x3 + ax2 + bx + c, tem-se:
fi p(x) = x3 + x2 – x
II) A soma das raízes de p(x) é = –
Resposta: C
28) Considerando que a P.A. crescente (a – r; a; a + r) seja formada
pelas raízes de P(x) = x3 – 18x2 + 8x + 384, temos:
I) a – r + a + a + r = ⇔ 3a = 18 ⇔ a = 6
II) (a – r) . a . (a + r) = fi (6 – r) . 6 . (6 + r) = – 384 ⇔
⇔ 62 – r2 = – 64 ⇔ r2 = 100 fi r = 10, pois a P.A. é crescente
III) A maior raiz é a + r = 6 + 10 = 16 
Resposta: 16 
29) I) P(x) = 2x3 – 5x2 – 28x + 15 é divisível por 2x – 1, então:
14444244443 123
Q1(x) = x2 – 2x – 15 Resto
Assim, P(x) = (2x – 1) . (x2 – 2x – 15)
II) x2 – 2x – 15 é divisível por x + 3, então:
144424443 123
Q2(x) = x – 5 Resto
Assim, P(x) = (2x – 1) . (x + 3) . (x – 5) e, portanto, k = 5 
Resposta: A
30) A sentença que define a função representada no grá fico é do
tipo f(x) = a . (x + 2).(x + 1).(x – 1)2.(x – 2), com a > 0.
Para a = 1, temos: 
f(x) = (x + 2)(x + 1)(x – 1)(x – 1)(x – 2) ⇔
⇔ f(x) = (x2 – 1).(x2 – 4).(x – 1)
Resposta: D
31) x3 – x2 + ax – a = 0 ⇔ x2(x – 1) + a(x – 1) = 0 ⇔
⇔ (x – 1)(x2 + a) = 0 ⇔ x – 1 = 0 ou x2 + a = 0 ⇔
⇔ x = 1 ou x2 = – a
Se 1 for a única raiz real da equação p(x) = 0, então x2 = – a não
tem raízes reais e, portanto, 
– a < 0 ⇔ a > 0
Resposta: C
32) a) Se (a; b; c; d) é uma progressão geométrica de razão
q (q ≠ 0) e a ≠ 0, então:
b = aq, c = aq2 e d = aq3
Desta forma:
p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ⇔
⇔ p(x) = a + aqx + aq2x2 + aq3x3
Assim:
p� � = a + aq . � � + aq2 . � �2 +
+ aq3 . � �3 = a – a + a – a = 0. 
Portanto, é a raíz de p(x).
b) Para que o sistema . = 
tenha solução única, deve-se ter:
det ≠ 0 ⇔ ab – cd ≠ 0 ⇔
– (– 18)
––––––––
1
– 384
–––––––
1
⇔
– 8 + 4a – 2b + c = 0
0 + 0 + 0 + c = 0
1 + a + b + c = 1
	fip(– 2) = 0p(0) = 0
p(1) = 1
	
⇔
a + b = 0 
4a – 2b = 8
c = 0
	⇔a + b + c = 04a – 2b + c = 8
c = 0
	⇔
fi
4
a = ––
3
4
b = – ––
3
c = 0
	⇔
a + b = 0
4
a = ––
3
c = 0
	⇔a + b = 02a – b = 4c = 0	⇔
4
–––
3
4
–––
3
4
–––
3
4
– –––
3
–––––––
1
2
–––
2
– (– 2)
–––––––
1
1
–––
x1
1
–––
x2
1
–––
x3
x1x2 + x1x3 + x2x3
––––––––––––––––––
x1x2x3
c
–––
a
––––––
d
– –––
a
c
– –––
d
� 1–––x1
1
–––
x2
1
–––
x3 � �
c
––
d �
d
––
c
	
b
x1 + x2 + x3 = – –––a
c
x1x2 + x1x3 + x2x3 = –––a
– d
x1 x2 x3 = ––––a
2 – 5 – 28 15 1/2
2
–––
2
– 4
–––
2
– 30
––––
2
0
1 – 2 – 15 – 3
1 – 5 0
1
– –––
q
1
– –––
q
1
– –––
q
1
– –––
q
1
– –––
q
� ad cb � � xy � � ef �
�ad cb�
– 9
⇔ a . aq – aq2 . aq3 ≠ 0 ⇔ a2q (1 – q4) ≠ 0 ⇔
⇔ 1 – q4 ≠ 0, pois a ≠ 0 e q ≠ 0.
Assim, q4 ≠ 1 ⇔ q ≠ 1 e q ≠ – 1, pois sendo a, b, c e d reais,
con sequentemente q é real. 
Resposta: a) Demonstração
b) q ≠ 1 e q ≠ – 1
33) Considerando que a P.A. (a – r; a; a + r) seja formada pelas
raízes de p(x) = x3 – 6x2 + kx – 6, temos:
I) a – r + a + a + r = ⇔ 3a = 6 ⇔ a = 2
II) a = 2 é raiz de p(x), então:
p(2) = 0 fi 23 – 6 . 22 + k . 2 – 6 = 0 ⇔
⇔ 8 – 24 + 2k – 6 = 0 ⇔ 2k = 22 ⇔ k = 11
Resposta: E
34) A partir do enunciado, temos que 2, 3 + i e 3 – i são raízes
do polinômio, logo P(x) = a(x – 2) [x – (3 + i)][x – (3 – i)] ⇔
⇔ P(x) = a(x – 2)(x2 – 6x + 10) ⇔
⇔ P(x) = a(x3 – 8x2 + 22x – 20) ⇔
⇔ P(x) = ax3 – 8ax2 + 22ax – 20a
Logo, c = 22a ⇔ = 22
Resposta: D
35) 1) As raízes do polinômio p(x) = x4 + 10 são não reais, pois 
"x Œ � tem-se x4 ≥ 0 e x4 + 10 ≥ 10 > 0.
2) As raízes do polinômio q(x) = 10x2 + 1 também não são
reais, pois "x Œ � tem-se x2 ≥ 0 ⇔ 10x2 + 1 ≥ 1 > 0.
3) As raízes do polinômio r(x) = p(x) – q(x) são tais que 
(x4 + 10) – (10x2 + 1) = 0 ⇔ x4 – 10x2 + 9 = 0 ⇔
⇔ x2 = 1 ou x2 = 9 ⇔ x = ± 1 ou x ± 3.
Assim, p(x) não tem raízes reais, q(x) também não tem raízes
reais e r(x) tem 4 raízes reais.
Resposta: A
36) 1) Fazendo x – 3 = y, temos
(x –3)3 + 4(x – 3)2 – 7(x – 3 ) – 10 = 0 ⇔
⇔ y3 + 4y2 – 7y – 10 = 0 ⇔
⇔ y = – 5, y = – 1 ou y = 2, pois as raízes desta equação são
as mesmas da equação
x3 + 4x2 – 7x – 10 = 0.
2) Assim,
y = – 5 ⇒ x – 3 = – 5 ⇒ x = – 2,
y = – 1 ⇒ x – 3 = – 1 ⇒ x = 2 e 
y = 2 ⇒ x – 3 = 2 ⇒ x = 5.
Desta forma a soma dos quadrados das raízes da 2a. equação
é (–2)2 + 22 + 52 = 33.
Resposta: D
37) I) Denominando as raízes de r1, r2, r3, com r2 . r3 = – 1 e apli -
cando as Relações de Girard, obtemos:
r1 . r2 . r3 = – fi r1 . (– 1) = – ⇔ r1 = 
II) p = 0 fi 2 . 
3
– m . 
2
+ 4 . + 3 = 0 ⇔
⇔ 2 . – m . + 9 = 0 ⇔ – m + 9 = 0 ⇔
⇔ = 0 ⇔ – 9m = – 63 ⇔ m = 7 
III) p(x) = 2x3 – 7x2 + 4x + 3
fi
14444244443 123
Q1(x) = 2x2 – 4x – 2 Resto
fi p(x) = x – . (2x2 – 4x – 2) 
IV)p(x) = 0 fi x – . (2x2 – 4x – 2) = 0 ⇔
⇔ x – = 0 ou 2x2 – 4x – 2 = 0 ⇔
⇔ x = ou x = 1 – ���2 ou x = 1 + ���2
Resposta: a) m = 7 
b) V = {(1 – ���2), (1 + ���2), 3/2}
38) Para m, n, p e k inteiros, sejam 2m, 2n e 2p as raízes pares e
2k + 1 a raiz ímpar de P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e, pelas
Relações de Girard, temos:
I) 2m + 2n + 2p + (2k + 1) = – b ⇔ 2 . (m + n + p + k) + 1 = – b 
(o coeficiente b é ímpar)
II) 2m . 2n + 2m . 2p + 2m . (2k + 1) + 2n . 2p +
+ 2n . (2k + 1) + 2p . (2k + 1) = c
(o coeficiente c é par)
III) 2m . 2n . 2p + 2m . 2n . (2k + 1) + 2m . 2p . (2k + 1) +
+ 2n . 2p . (2k + 1) = – d ⇔
⇔ 2 . [mnp + mn . (2k + 1) + mp . (2k + 1) + np . (2k + 1)] = – d
(o coeficiente d é par)
IV)2m . 2n . 2p . (2k + 1) = e ⇔ 8 . [mnp . (2k + 1)] = e
(o coeficiente e é par)
V) Coeficientes pares: c, d, e
Resposta: D
– (– 6)
–––––––
1
c
–––
a
3
––
2
3
––
2
3
––
2
3
––
2�
3
––
2��
3
––
2��
3
––
2�
9
––
4
27
––––
4
9
––
4
27
––––
8
27 – 9m + 36
––––––––––––––
4
2 – 7 4 3 3/2
2 – 4 – 2 0
�3––2�
�3––2�
3
––
2
3
––
2
10 –
39) Dado do gráfico de
p(x) = 3x3 – 16x2 + 9x que as raízes da equação p(x) = 4 são a,
b e c, com a < b < c e a + c = 4.
Assim,
3x3 – 16x2 + 19x = 4 ⇔ 3x3 – 16x2 + 19x – 4 = 0
Pela 1a. Relação de Girard, temos:
fi
Pelo Dispositivo Prático de Briott-Rufini, temos:
Assim, 3x3 – 16x2 + 19x – 4 = 0 ⇔
⇔ x – (3x2 – 12x + 3) = 0 ⇔
⇔ x = ou 3x2 – 12x + 3 = 0 ⇔
⇔ x = ou x2 – 4x + 1 = 0 ⇔
⇔ x = , x = 2 – ���3ou x = 2 + ���3. Desta forma,
a = 2 – ���3, b = e c = 2 + ���3 
Resposta: B
40) Se o grau de P(x) é n e as raízes formam a P.G.
(2, 4, 8, …, 2n), pela última Relação de Girard, temos:
2 . 4 . 8 . … . 2n = 221 ⇔ ����������(2 . 2n)n = 221 ⇔ (2 . 2n)n = (221)2 ⇔
⇔ 2n2 + n = 242 ⇔ n2 + n = 42 ⇔ n2 + n – 42 = 0 ⇔
⇔ n = 6 ou n = – 7
Como n > 0, têm-se n = 6
Resposta: C
41) Sendo r1, r2 e r3 as raízes de p(x) = x3 – 5x2 – 52x + 224, temos:
fi r1 . r2 = 8 . (– 7) = – 56
Resposta: C
42) Considerando que a P.G. ; r; r . q seja formada pelas 
raízes de p(x) = x3 – a3x2 + ax – 1, temos:
Resposta: C
43) I) 33x – 13 . 32x + 39 . 3x – 27 = 0 ⇔
⇔ (3x)3 – 13 . (3x)2 + 39 . 3x – 27 = 0
Fazendo y = 3x, temos:
y3 – 13y2 + 39y – 27 = 0
II) Denominando de x1, x2, x3 as raízes da equação e con -
siderando y1 = 3
x1; y2 = 3
x2; y3 = 3
x3; aplicando-se a última
Relação de Girard, obtêm-se:
y1 . y2 . y3 = 27 fi 3
x1 . 3x2 . 3x3 = 33 ⇔ x1 + x2 + x3 = 3
Resposta: E
44) I) Se P(x) = x3 + kx2 + 6x + 5 é divisível por x + 5, então:
P(– 5) = 0 fi (– 5)3 + k . (– 5)2 + 6 . (– 5) + 5 = 0 ⇔
⇔ – 125 + 25k – 30 + 5 = 0 ⇔ 25k = 150 ⇔ k = 6
Assim, P(x) = x3 + 6x2 + 6x + 5
II) P(x + 1) = (x + 1)3 + 6 . (x + 1)2 + 6 . (x + 1) + 5 = 
= x3 + 3x2 + 3x + 1 + 6x2 + 12x + 6 + 6x + 6 + 5 =
= x3 + 9x2 + 21x + 18 = 0
III) Aplicando a primeira Relação de Girard em P(x + 1) = 0,
a soma das raízes é – = – 9
Resposta: D
45) a) Se 3 é raiz, temos:
33 – 5 . 32 + 8 . 3 – l = 0 ⇔ l = 27 – 45 + 24 ⇔ l = 6
b) z3 – 5z2 + 8z – 6 = 0
z3 – 5z2 + 8z – 6 = 0 ⇔ (z – 3) . (z2 – 2z + 2) = 0 ⇔
⇔ z – 3 = 0 ou z2 – 2z + 2 = 0 ⇔ z = 3 ou z = 1 – i ou z = 1 + i
c)
O volume do sólido equivale à soma dos volumes dos dois
cones de raio 2 e altura 1, assim:
Vsólido = 2 . . Ab . h = . π . 22 . 1 = 
Respostas: a) � = 6 b) 3, 1 + i, 1 – i c) unidades cúbicas
9
–––
1
1 – 5 8 – 6 3
1 – 2 2 0
8π
–––
3
2
–––
3
1
–––
3
⇔
r
––– . r . r . q = 1
q
r r
––– . r + –––. r . q + r . r . q = a
q q
r
––– + r + r . q = a3
q
	
fi a = a3 ⇔ a – a3 = 0
r = 1
1 
––– + 1 + q = a
q 
1 
––– + 1 + q = a3
q 
	⇔
fi
r1 = 8
r2 = – 7
r3 = 4
	⇔r1 = 2r3r1 + r2 = 1
r3 = 4
	⇔r1 = 2r3r1 + r2 = 1
r1 + r2 + r3 = 5
	
�r–––q�
4
–––
3
4
–––
3
4
–––
3
4
3 – 16 19 – 4 –––
3
––––––––––––––––––––––––––––––
3 – 12 3 0
�4–––3�
4
–––
3
	 – 16a + b + c = – –––––3a + c = 4 16 44 + b = ––– fi b = –––3 3
8π
–––
3
– 11
55) Na equação x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0, aplicando o Dispositivo
de Briot-Ruffini, temos:
Portanto, 1 é raiz tripla
Outra maneira de resolver é utilizar o teorema das raízes
múltiplas, aplicando as derivadas sucessivas da função
polinomial, assim:
I) F(x) = x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2
F(1) = 14 – 13 – 3 . 12 + 5 . 1 – 2 = 0 fi 1 é raiz de F(x)
II) F’(x) = 4x3 – 3x2 – 6x + 5
F’(1) = 4 . 1 – 3 . 1 – 6 . 1 + 5 = 0 fi 1 é raiz de F’(x)
III) F”(x) = 12x2 – 6x – 6
F”(1) = 12 . 1 – 6 . 1 – 6 = 0 fi 1 é raiz de F”(x)
IV)F’”(x) = 24x – 6
F’”(1) = 24 . 1 – 6 = 18 fi 1 não é raiz de F’”(x)
1 é raiz de F(x); F’(x) e de F”(x), portanto, 1 é raiz tripla de F(x).
Resposta: C
56) Na equação x4 – 7x3 + 18x2 – 20x + 8 = 0, aplicando o Disposi -
tivo de Briot-Ruffini, temos:
Portanto, 2 é raiz tripla (multiplicidade 3).
Outra maneira de resolver é utilizar o teorema das raízes
múltiplas, aplicando as derivadas sucessivas da função
polinomial, assim:
I) F(x) = x4 – 7x3 + 18x2 – 20x + 8
F(2) = 24 – 7 . 23 + 18 . 22 – 20 . 2 + 8 = 0 fi 2 é raiz de F(x)
II) F’(x) = 4x3 – 21x2 + 36x – 20
F’(2) = 4 . 23 – 21 . 22 + 36 . 2 – 20 = 0 fi 2 é raiz de F’(x)
III) F”(x) = 12x2 – 42x + 36 
F”(2) = 12 . 22 – 42 . 2 + 36 = 0 fi 2 é raiz de F”(x)
IV)F’”(x) = 24x – 42 
F’”(2) = 24 . 2 – 42 = 6 fi 2 não é raiz de F’”(x)
2 é raiz de F(x); F’(x) e F”(x), portanto, 2 é raiz de mul tipli -
cidade 3.
Resposta: B
57) Na alternativa “C” temos: P(x) = x3(x – 1), que equivale a 
P(x) = (x – 0)3 . (x – 1). Neste caso 0 é raiz de multiplicidade 
3 e 1 é raiz simples.
Resposta: C
58) Se a é uma raiz tripla da equação x3 + mx2 + nx – 8 = 0, de -
vemos ter:
(x – a)3 = x3 + mx2 + mx – 8 ⇔
⇔ x3 – 3x2a + 3xa2 – a3 = x3 + mx2 + nx – 8 ⇔
Outra maneira de resolver:
I) Para descobrir a raiz real de multiplicidade 3, obteremos
sucessivas derivadas:
• F(x) = x3 + mx2 + nx – 8
• F’(x) = 3x2 + 2mx + n
• F”(x) = 6x + 2m
II)
III) m – n = – 6 – 12 = – 18
Resposta: A
59) P(x) = a . x –
2
. x –
3 
=
= a .
2
. 
3 
=
= a .
2
. 
3 
. (3x – 2)2 . (2x – 1)3 =
= a . . .(9x2 – 12x + 4) . (8x3 – 12x2 + 6x – 1), a Œ �*
Uma possibilidade para P(x) ocorre para a = 72, que resulta 
P(x) = (9x2 – 12x + 4) . (8x3 – 12x2 + 6x – 1)
Resposta: C
1 – 7 18 – 20 8 2
1 – 5 8 – 4 0 2
1 – 3 2 0 2
1 – 1 0 2
1 1
1 – 1 – 3
5 – 2
1
1 0
– 3 2
0 1
1 1
– 2
0 1
1
2
0 1
1 3
fi m – n = – 6 – 12 = – 18
m = – 6
n = 12
a = 2
	⇔– 3a = m3a2 = n
– a3 = – 8
	⇔
⇔
x3 – 3x . x2 + nx – 8 = 0
3x2 – 6x . x + n = 0
m = – 3x
	⇔x
3 + mx2 + nx – 8 = 0
3x2 + 2mx + n = 0
6x + 2m = 0
	
⇔
– 2x3 + 3x2 . x = 8
n = 3x2
m = – 3x
	⇔– 2x
3 + nx = 8
– 3x2 + n = 0
m = – 3x
	⇔
x = 2
n = 12
m = – 6
	⇔x = 2n = 3x2
m = – 3x
	⇔x
3 = 8
n = 3x2
m = – 3x
	⇔
�1––2��
2
––
3�
�2x – 1–––––––2��
3x – 2
–––––––
3�
�1––2��
1
––
3�
1
––
8
1
––
9
12 –
60) a) O polinômio P(x) = x3 + x2 + mx + n é divisível por x – 1,
então: P(1) = 0 fi 13 + 12 + m + n = 0 ⇔ n = – m – 2
b)
fi
14444244443 123
Q1(x) = x2 + 2x + m + 2 Resto
fi P(x) = (x – 1) . (x2 + 2x + m + 2)
Para que P(x) admita raiz dupla diferente de 1, é necessário
que x2 + 2x + m + 2 = 0 tenha raiz dupla, assim, devemos ter:
∆ = 0 fi 4 – 4 . (m + 2) = 0 ⇔ 4 – 4m – 8 = 0 ⇔ m = – 1
c) Para que P(x) admita três raízes reais distintas, é necessário
que o fator x2 + 2x + m + 2 = 0 tenha ∆ > 0 e não admita 1
como raiz, assim, devemos ter:
Respostas: a) n = – m – 2
b) m = – 1 
c) m ≠ – 5 e m < – 1
61) Para que x = 0 seja uma raiz de multiplicidade 3, é necessário
que a, b e g satisfaçam o sistema:
Para g = m, m Œ �, temos:
b = 1 – m e b ≠ – 2m fi – 2m ≠ 1 – m ⇔ m ≠ – 1
Resposta: a = 0; b = 1 – m; g = m, com m Œ � e m ≠ – 1
62) (x3 – x2 + x – 1)20 = 0 ⇔ x3 – x2 + x – 1 = 0 ⇔
⇔ x2 . (x – 1) + (x – 1) = 0 ⇔ (x2 + 1) . (x – 1) = 0 ⇔
⇔ x2 + 1 = 0 ou x – 1 = 0 ⇔ x = ± i ou x = 1
Logo, a equação (x3 – x2 + x – 1)20 = 0 possui raízes i, – i e 1,
cada uma com multiplicidade 20. 
Resposta: D
63) Se {1; 1; 1; x1; x2} for o conjunto verdade da equação
x5 – 3x4 + 4x3 – 4x2 + 3x – 1 = 0, então
⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ou
Resposta: C
64) A equação tem duas raízes complexas conjugadas (1 + i; 1 – i)
e duas raízes reais. Supondo que o examinador tenha
chamado de a e b as duas raízes reais da equação
apresentada, temos:
⇔
⇔ ⇔ ou
Em ambos os casos, o valor de + é:
+ = = –
Resposta: E
65) a) p(1) = 0 fi 1 – 3 + a = 0 ⇔ a = 2
Se a = 2 e a matriz A não é inversível, então:
det A = = 0 ⇔ x3 – 3x + 2 = 0
O polinômio x3 – 3x + 2 é divisível por x – 1, pois 1 é raiz e,
portanto, dividindo-o por Briot-Ruffini, temos:
⇔
⇔ x3 – 3x + 2 = (x – 1)(x2 + x – 2)
Assim sendo: 
x3 – 3x + 2 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 + x – 2) = 0 ⇔
⇔ x – 1 = 0 ou x2 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1 ou x = – 2
b) Se {2 + bi; 2 – bi; r} forem raízes da equação x3 – 3x + a = 0,
então
(2 + bi) + (2 – bi) + r = 0 ⇔ r = – 4
Se – 4 for uma das raízes, então 
– 64 + 12 + a = 0 ⇔ a = 52
O produto das três raízes é tal que 
(2 + bi)(2 – bi) . (– 4) = – 52 ⇔ 4 + b2 = 13
Assim sendo, �z� = �2 + bi� = ���������� 4 + b2 = ����13
Respostas: a) 1; – 2 b) ����13
66) I) Na equação 2x3 + x2 – 6x – 3 = 0, as raízes racionais perten -
cem ao conjunto – ; ; – ; ; – 3; 3
II) Aplicando o Dispositivo de Briot-Ruffini:
fi
fi 2x3 + x2 – 6x – 3 = 0 ⇔ x + . (2x2 – 6) = 0 ⇔
⇔ x + = 0 ou 2x2 – 6 = 0 ⇔ x = – ou x = ± ���3
Portanto, as demais raízes são irracionais de sinais con -
trários.
Resposta: E
1 1 m – m –2 1
1 2 m + 2 0
m < – 1
m ≠ – 5	⇔4 – 4m – 8 > 01 + 2 + m + 2 ≠ 0	⇔2
2 – 4 . (m + 2) > 0
12 + 2 . 1 + m + 2 ≠ 0	
– b – 2g ≠ 0
b + g = 1
b + g = 1
a = 0
	⇔
a – b – 2g ≠ 0
a + 2b + 2g = 2
a – b – g = – 1
a = 0
	⇔
a – b – 2g ≠ 0
a + 2b + 2g – 2 = 0
a – b – g + 1 = 0
2a + b + g – 1 = 0
	
x1 + x2 = 0
x1 . x2 = 1	
1 + 1 + 1 + x1 + x2 = 3
1 . 1 . 1 . x1 . x2 = 1	
x2 = – x1
x1 = ± i	
x2 = – x1
– x12 = 1 	
x1 = – i
x2 = i	
x1 = i
x2 = – i	
(1 + i) + (1 – i) + a + b = 3
(1 + i) (1 – i) . a . b = – 24	
a = – 3
b = 4	
a = 4
b = – 3	
a + b = 1
ab = – 12	
1
–––
b
1
–––
a
1
–––
12
3 – 4
–––––
12
1
–––
– 3
1
–––
4
�x02
1
x
3
0
1
x�
x – 1
––––––––––––––––
x2 + x – 2
x3 – 3x + 2
0
3–––2
3
–––
2
1
–––
2
1
–––
2	
2 1 – 6 – 3
1
– –––
2
2 0 – 6 0
�1–––2�
1
–––
2
1
–––
2
– 13
67) I) As raízes racionais de f(x) = x3 + ax2 + bx + 3 são do tipo 
; p, q Œ �, p, q primos entre si e com p divisor de 3 e q 
divisor de 1.
Possíveis raízes: 1; – 1; 3; – 3
O enunciado especifica que as raízes são positivas e
distintas sendo, portanto, 1 e 3.
II)
fi f(x) = x3 – 3x2 – x + 3
III) Aplicando o Dispositivo de Briot-Ruffini:
fi
fi f(x) = x3 – 3x2 – x + 3 = (x – 1) . (x – 3) . (x + 1)
IV)f(x) = 0 fi (x – 1) . (x – 3) . (x + 1) = 0 ⇔
⇔ x – 1 = 0 ou x – 3 = 0 ou x + 1 = 0 ⇔
⇔ x = 1 ou x = 3 ou x = – 1
Respostas: a) {– 1; 1; 3} b) a = – 3; b = – 1
68) I) x4 – 3x2 – 4 = 0 ⇔ (x2)2 – 3x2 – 4 = 0 ⇔
⇔ x2 = – 1 ou x2 = 4 ⇔ x2 = i2 ou x2 = 4 ⇔ x = ± i ou x = ± 2
II) – 2 e 2 são números reais racionais
Resposta: D
69) I) Se i���2 é uma raiz, então – i���2 também é raiz.
II) Na equação x3 + 5x2 + 2x + 10 = 0, as raízes são i���2, – i���2
e a, assim, pela primeira Relação de Girard, temos:
i���2 + (– i���2) + a = – 5 ⇔ a = – 5
Resposta: D
70) I) Se 1 – i é raiz da equação, então 1 + i também é raiz.
II) Na equação x4 – 3x3 + 2x2 + 2x – 4 = 0, as raízes são 1 – i, 
1 + i, a e b, assim, pela primeira Relação de Girard, temos:
1 – i + 1 + i + a + b = 3 ⇔ a + b = 1
Resposta: C
71) I) Do enunciado, é possível concluir que se trata de um poli -
nô mio do 3°. grau, cujas raízes são: 1, i, – i.
II) Denominando de P(x) este polinômio, pode-se escrevê-lo
na forma fatorada: P(x) = a . (x – 1) . (x + i) . (x – i)
III) P(0) = – 1 fi a . (0 – 1) . (0 + i) . (0 – i) = – 1 ⇔
⇔ – a = – 1 ⇔ a = 1 fi P(x) = (x – 1) . (x + i) . (x – i)
IV)P(– 1) = (– 1 – 1) . (– 1 + i) . (– 1 – i) = (– 2) . (i – 1) . [– (i + 1)] = 
= 2 . (i – 1) . (i + 1) = 2 . (– 1 – 1) = – 4
Resposta: A
72) I) Caso P(x) tenha raízes racionais e levando-se em conta que
o coeficiente do termo de maior grau é 1, são possíveis
raízes de p(x): 1, – 1, 2, – 2, 5, – 5, 10, – 10.
II) Verificando as possíveis raízes, obtêm-se P(2) = 0, portanto,
2 é raiz.
III) Denominando as raízes não reais de r1 e r2 e aplicando a
última Relação de Girard, obtêm-se:
r1 . r2 . 2 = 10 ⇔ r1 . r2 = 5
Resposta: E
73) I) Denominando as raízes reais de r1, r2, r3 e levando em
consideração que quando um polinômio tem coeficientes
reais e raiz complexa, o conjugado desta também é raiz,
assim, no polinômio p, as raízes são 1 – i; 1 – i; 1 + i; 1 + i;
r1, r2, r3
II) Como r1, r2, r3 formam uma P.A., pode-se escrever:
(r1, r2, r3) � (r2 – r, r2, r2 + r) 
III) (1 – i) + (1 – i) + (1 + i) + (1 + i) + (r2 – r) + r2 + (r2 + r) = 10 ⇔
⇔ 3r2 = 6 ⇔ r2 = 2
IV)(1 – i) . (1 + i) . (1 – i) . (1 + i) . (2 – r) . 2 . (2 + r) = – 40 ⇔
⇔ (1 + 1) . (1 + 1) . (4 – r2) . 2 = – 40 ⇔
⇔ 4 . (4 – r2) . 2 = – 40 ⇔ 4 – r2 = – 5 ⇔ r2 = 9 ⇔ r = ± 3
IV){r2 – r; r2; r2 + r} = {– 1; 2; 5}
Resposta: E
74) I) Na equação x3 – 5x2 + 9x – a = 0, com a Œ �, as raízes são 
2 + i, 2 – i e r, assim, pela primeira Relação de Girard, temos:
2 + i + 2 – i + r = 5 ⇔ r = 1
II) Se 1 é raiz da equação dada, então:
13 – 5 . 12 + 9 . 1 – a = 0 ⇔ 1 – 5 + 9 – a = 0 ⇔ a = 5
Respostas: a) a = 5 b) 2 – i e 1
75) Na equação x3 + mx2 + 2x + n = 0, com m Œ � e n Œ �, as raízes
são 1 + i, 1 – i e a, assim, pelas Relações de Girard, temos:
Resposta: E
1 – 3 – 1 3 1
1 – 2 – 3 0 3
1 1 0
fi
a = – 3
b = – 1	⇔
a + b = – 4
3a + b = – 10	⇔
p
–––
q
⇔1 + a + b + 3 = 0
27 + 9a + 3b + 3 = 0	⇔
f(1) = 0
f(3) = 0	
⇔
1 + i + 1 – i + a = – m
(1 + i) . a + (1 – i) . a + (1 + i) . (1 – i) = 2
(1 + i) . (1 – i) . a = – n
	
m = – 2
a = 0
n = 0
	⇔
a + m = – 2
2a + 2 = 2
2a = – n
	⇔
14 –
76) I) Na equação 2x4 + ax3 + bx2 + cx – 1 = 0, como os coefi cien -
tes são reais, temos como possíveis raízes: 1; – 1; ; –
 
Como duas das raízes são inteiras e distintas, estas são 
1 e – 1.
II) Se – é raiz do polinômio, então + também é
raiz.
III) Aplicando a 1a. Relação de Girard, temos:
1 + (– 1) + – + + = – ⇔ 1 = – ⇔ a = – 2
Assim, 2x4 – 2x3 + bx2 + cx – 1 = 0 
IV)Como 1 e – 1 são raízes da equação
2x4 – 2x3 + bx2 + cx – 1 = 0, então:
V) O valor máximo entre a = – 2, b = – 1 e c = 2, é c = 2.
Resposta: C
77) Observando o gráfico, pode-se concluir que:
– 1 < P(1) < 0 fi – 1 < a . 13 + b . 12 + c . 1 + d < 0 ⇔
⇔ – 1 < a + b + c + d < 0
Resposta: A
78) O polinômio p(x) = x3 – 2x2 – x + 2 tem raízes racionais
pertencentes ao conjunto {1; – 1; 2; – 2}
Aplicando o Dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
Assim, p(x) = x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1) . (x – 2) . (x + 1) e
p(x) = 0 fi x – 1 = 0 ou x – 2 = 0 ou x + 1 = 0 ⇔
⇔ x = 1 ou x = 2 ou x = – 1
Resposta: D 
79) = x2 + 1 ⇔ p(x) = d(x) . (x2 + 1) fi as raízes de d(x) são
também raízes de p(x). Se a1 e a2 são raízes e x1 < a1 < x2 < a2,
podemos afirmar que p(x1) e p(x2) possuem sinais contrários,
pois existe uma raiz a1 entre eles, portanto, p(x1) . p(x2) < 0.
Resposta: C
80) a) P(x) = 0 e k = 8 fi x4 + x3 – 6x2 – 4x + 8 = 0
Do fato de que os coeficientes são números inteiros, têm-
se como possíveis raízes: 1; – 1; 2; – 2; 4; – 4; 8; – 8.
Verificando-se as possíveis raízes, obtêm-se
P(1) = 0 e P(2) = 0
Aplicando o Dispositivo de Briot-Ruffini:
fi
fi P(x) = (x – 1) . (x – 2) . (x2 + 4x + 4)
Fazendo x2 + 4x + 4 = 0 descobrimos as demais raízes:
x2 + 4x + 4 = 0 ⇔ x = – 2 (raiz dupla)
V = {– 2; 1; 2}
b) Sejam r1, r2, r3, r4 as raízes de P(x). Podemos escrever:
(r1, r2, r3, r4) � (r1; r1 + 3; r1 + 6; r1 + 9)
Aplicando a primeira Relação de Girard, temos:
r1 + (r1 + 3) + (r1 + 6) + (r1 + 9) = – 1 ⇔ r1 = –
E as raízes seriam: – ; – ; ; 
No entanto, aplicando a 2a. Relação de Girard, obtêm-se:
– . – + – . +
+ – . + – . +
+ – . + . ≠ – 6
Portanto, não há valor de k que satisfaça as condições do
exercício.
Resposta: a) V = {– 2; 1; 2} 
b) Não existe k nas condições do problema.
⇔
2 . 14 – 2 . 13 + b . 12 + c . 1 – 1 = 0
2 . (– 1)4 – 2 . (– 1)3 + b . (– 1)2 + c . (– 1) – 1 = 0	
b = – 1
c = 2	⇔
b + c = 1
b – c = – 3	⇔
i
––
2
1
––
2
i
––
2
1
––
2
a
––
2
a
––
2
i
––
2
1
––
2
i
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1 – 2 – 1 2 1
1 – 1 – 2 0 2
1 1 0
p(x)
––––––
d(x)
1 1 – 6 – 4 8 1
1 2 – 4 – 8 0 2
1 4 4 0
19
–––
4
17
–––
4
5
–––
4
7
–––
4
19
–––
4
�5–––4��
19
–––
4��
7
–––
4��
19
–––
4�
�5–––4��
7
–––
4��
17
–––
4��
19
–––
4�
�17–––4��
5
–––
4��
17
–––
4��
7
–––
4�
– 15
MATEMÁTICA
LIVRO 3
ÁLGEBRA
Capítulo 3 – Exercícios-Tarefa 
(Polinômios e Equações Algébricas)
1) Considerando (P(x))2 = x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 e, 
como gr(P2) = 4, então gr(P) = 2, assim, P(x) = px2 + qx + r
(P(x))2 = p2x4 + q2x2 + r2 + 2pqx3 + 2prx2 + 2qrx =
= p2x4 + 2pqx3 + (q2 + 2pr)x2 + 2qrx + r2 �
� x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 fi
Pode-se afirmar que, em todos os casos, b – a = 4
Resposta: E
2) Considerando P(x) = ax2 + bx + c e pelos dados, montamos o
sistema:
	 
Resolvendo por CRAMER temos:
∆ = = – 2
∆a = = – 2
assim a = 1 e como 1 + b + c = – 1 e 4 + 2b + c = – 2
temos b = – 4
Soma das raízes é dada por = = 4
Resposta: E
3) p(– 2) = 1 fi 4(– 2)3 + 2(– 2)2 – m(– 2) + 5 = 1 ⇔
⇔ – 32 + 8 + 2m + 5 = 1 ⇔ 2m = 20 ⇔ m = 10
Resposta:D
4) I) Sejam r1 e r2 as raízes da função dada e xv a abscissa do
vértice do gráfico dessa função:
II)
Resposta: E
5) I) p(x) x – 2 fi p(2) = 1
1
II) p(x) x – 3 fi p(3) = 2
2
III) Seja r(x) = ax + b o resto da divisão de p(x) por 
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) e seja q(x) o quociente dessa
divisão, assim:
p(x) = (x – 2)(x – 3) . q(x) + ax + b fi
fi fi ⇔ fi r(x) = x – 1
Resposta: D
6) I) x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1)
II) P(x) = x4 – 5x2 + mx + p é divisível por (x – 2) e por (x + 1),
então:
fi ⇔
⇔ ⇔
Resposta: m = 0; p = 4
7) a) Sendo P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, temos:
II) A soma dos coeficientes de P(x) é a + b + c + d = 2
III)A reta procurada tem coeficiente angular m = 2 e coefi -
ciente linear h = d = 1, portanto, a equação reduzida da
reta y = 2x + 1
b) P(x) = x3 + x2 – x + 1 
Respostas: a) y = 2x + 1 b) P(x) = + x2 – + 1
8) Sejam: P1(x) = ax2 + bx + c e P2(x) = dx2 + ex + f
I) ⇔ fi P1(x) = ax2 + bx e P2(x) = dx2 + ex
II) P1(1) = a + b e P1(– 2) = 4a – 2b
III) P1(x) (x – 1)(x + 2) fi
3x + 1 Q1(x)
fi P1(x) = (x – 1)(x + 2) . Q1(x) + 3x + 1
IV) ⇒ ⇒ fi
fi P1(x) = x2 + x
V) P2(– 1) = d – e e P2(– 2) = 4d – 2e
⇔
p ± 1
r = ± 2
qr = 4
a = 2pq
b = q2 + 2pr
	⇔
p2 = 1
2pq = a
q2 + 2pr = b
2qr = 8
r2 = 4
	fi
p = – 1
r = – 2
q = – 2
a = 4
b = 8
	ou
p = 1
r = – 2
q = – 2
a = – 4
b = 0
	ou
p = – 1
r = 2
q = 2
a = – 4
b = 0
	ou
p = 1
r = 2
q = 2
a = 4
b = 8
	⇔
a + b + c = – 1
4a + 2b + c = – 2
9a + 3b = c = – 1
1
4
9
1
2
3
1
1
1
– 1
– 2
– 1
1
2
3
1
1
1
4
–––
1
– b
–––
a
r1 = 3
r2 = 7	⇔
r1 = 3
3 + r2
–––––– = 5
2
	⇔
r1 = 3
r1 + r2
––––––– = 5
2
	fir1 = 3xv = 5	
fi p1(2) . p2(2) = 3 . 7 = 21
p1(2) = 3
p2(2) = 7	fi
p1(2) = r1
p2(2) = r2	
a = 1
b = – 1	2a + b = 13a + b = 2	p(2) = 1p(3) = 2	
16 – 20 + 2m + p = 0
1 – 5 + m + p = 0	P(2) = 0P(1) = 0	
m = 0
p = 4	2m + p = 4m + p = 4	
1
a = ––
3
b = 1
1
c = – ––
3
d = 1
	⇔– a + b – c + d = 2d = 1a + b + c + d = 28a + 4b + 2c + d = 7	⇒
P(– 1) = 2
P(0) = 1
P(1) = 2
P(2) = 7
	I)
1
–––
3
1
–––
3
x
–––
3
x3
–––
3
c = 0
f = 0	
P1(0) = 0 
P2(0) = 0
	
1
a = ––
2
7
b = ––
2
	a + b = 44a– 2b = – 5	P1(1) = 4P1(– 2) = – 5	
7
––
2
1
––
2
16 –
VI)P2(x) (x + 1)(x + 2) fi
2x – 1 Q2(x)
fi P2(x) = (x + 1)(x + 2) . Q2(x) + 2x – 1
VII) fi fi fi
fi P2(x) = x2 +
P1(x) � P2(x) e, portanto, o quociente de P1(x) por P2(x) é 1.
Resposta: A
9) Utilizando-se o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini para dividir
5x3 + (m – 12)x2 + (m2 – 2m)x – 2m2 + p + 9 por x – 2, temos:
Assim, Q(x) = 5x2 + (m – 2)x + (m2 – 4) e R(x) = p + 1
Para Q’(x) = R(x) = 0x2 + 0x + (p + 1) devemos ter:
fi fi m + p = 2 + 4 = 6
Resposta: C
10) Como P1(x) tem 3 raízes distintas e P2(x) tem 4 raízes distintas,
então, o produto P1(x) . P2(x) tem, no mínimo, 4 raízes distintas
e, no máximo, 7 raízes distintas. Observe que, se A for o con -
junto das raízes de P1(x) e B for o conjunto das raízes de P2(x),
então:
fi 4 ≤ n(A � B) ≤ 7, pois as raízes de P1(x) e as raízes 
de P2(x) são, também, raízes de P1(x) . P2(x).
Resposta: D
11) a) I) Para n = 2, temos:
f(x) = a2x2 + a1x + a0 e g(x) = 2a2x + a1
II) g x + = 2a2 x + + a1 = 2a2x + a2h + a1
III) =
= =
= =
= = 2a2x + a2h + a1
Portanto, g x + = 
b) I) Para n = 3 e a3 = 1, temos:
f(x) = x3 + a2x2 + a1x + a0 e g(x) = 3x2 + 2a2x + a1
II)
Respostas: a) demonstração b) f(x) = x3 – x2 – x + 1
12) Sendo P(x) = ax2 + bx + c, para k Œ �*, temos:
I)
II) O resto da divisão de P(x) por x – 1 é P(1) = 1 – k
Resposta: D
13) Sejam p(x) = x3 – 2ax2 + (3a + b)x – 3b
e q(x) = x3 – (a + 2b)x + 2a divisíveis por x + 1, então:
fi ⇔
⇔ ⇔ ⇔ fi
fi a e b são inteiros e de sinais opostos.
Resposta: C
14) I) Na divisão de 3–10 . (x + 3)12 por x3, tem-se:
3–10 . (x + 3)12 x3 fi 3–10 . (x + 3)12 = x3 . Q(x) + R(x)
R(x) Q(x)
II) Sendo R(x) = ax2 + bx + c e observando que o produto 
x3 . Q(x) é um polinômio com todos os termos de grau
maior ou igual a 3, pode mos afirmar que:
3–10 . (x + 3)12 = x3 . Q(x) + ax2 + bx + c ⇔
⇔ 3– 10 . … + . x2 . 310 + . x1 . 311 +
+ . x0 . 312 = … + ax2 + bx + c ⇔
⇔ … + 66 . x2 . 30 + 12 . x1 . 31 + 1 . x0 . 32 = … + ax2 + bx + c ⇔
⇔ … + 66x2 + 36x + 9 = … + ax2 + bx + c fi
fi R(x) = 66x2 + 36x + 9, pois as demais parcelas têm grau
maior ou igual a 3.
Resposta: A
1
d = ––
2
7
e = ––
2
	d – e = – 34d – 2e = – 5	P2(– 1) = – 3P2(– 2) = – 5	
7
––
2
1
––
2
n(A) = 3
n(B) = 4	
5 m – 12 m2 – 2m – 2m2 + p + 9 2
5 m – 2 m2 – 4 p + 1 
	
p + 1 = 5
m – 2 = 0
m2 – 4 = 0
	 p = 4m = 2
� h––2 � �
h
––
2 �
f(x + h) – f(x)
––––––––––––––
h
a2(x + h)2 + a1(x + h) + a0 – a2x2 – a1x – a0
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
h
a2x2 + 2a2xh + a2h2 + a1x + a1h + a0 – a2x2 – a1x – a0
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
h
2a2xh + a2h2 + a1h
––––––––––––––––––––
h
� h––2 �
f(x + h) – f(x)
–––––––––––––
h
	
f(1) = 0
g(1) = 0
f(– 1) = 0
fi	
1 + a2 + a1 + a0 = 0
3 + 2a2 + a1 = 0
– 1 + a2 – a1 + a0 = 0
⇔
⇔	
a2 + a1 + a0 = – 1
2a2 + a1 = – 3
a2 – a1 + a0 = 1
⇔	
a2 = – 1
a1 = – 1
a0 = 1
fi f(x) = x3 – x2 – x + 1
	
P(k) = 0
P(– k) = 2k2
P(x) = P(k – x)
fi
fi	
ak2 + bk + c = 0
ak2 – bk + c = 2k2
ax2 + bx + c = ak2 – 2akx + ax2 + bk – bx + c
⇔
⇔	
ak2 + bk + c = 0
2bk = – 2k2
2bx – bk = – 2akx + ak2
⇔
⇔	
ak2 + bk + c = 0
b = – k
b = – ak
⇔	
a = 1
b = – k
c = 0
fi P(x) = x2 – kx
	p(– 1) = 0q(– 1) = 0 	– 1 – 2a – 3a – b – 3b = 0– 1 + a + 2b + 2a = 0
	– 5a – 4b = 13a + 2b = 1 	– 5a – 4b = 1 6a + 4b = 2 	a = 3 b = – 4
� � 1210 � � 1211 �
� 1212 � �
– 17
15) P(1 + ���2) = 0 fi (1 + ���2)3 + a(1 + ���2)2 + 1 + ���2 + 1 = 0 ⇔
⇔ 1 + 3���2 + 6 + 2���2 + a(1 + 2���2 + 2) + 2 + ���2 = 0 ⇔
⇔ a(3 + 2���2 ) = – 6���2 – 9 ⇔
⇔ a = = . =
= = – 3
Outro modo: Pelas alternativas do exercício, podemos supor
que os coeficientes de P(x) são racionais.
Assim, se 1 + ���2 é raiz de P(x), então 1 – ���2 também é. 
Sendo r a terceira raiz de P(x), temos:
I) (1 + ���2)(1 – ���2) . r = – 1 ⇔ r = 1
II) P(1) = 0 fi 1 + a + 1 + 1 = 0 ⇔ a = – 3
Resposta: A
16) 1) Como P(x) é do 4° grau, tem coeficientes reais e – 3, 1 e 5
são raízes, obrigatoriamente a quarta raiz é real.
2) P(0) � 0 e P(2) � 0, o número de raízes reais entre 0 e 2 é
par.
3) O gráfico de P(x) pode ter um dos seguintes aspectos:
4) Em qualquer uma das três possibilidades temos P(–5) � 0,
P(4) � 0 e P(6) � 0
Resposta: D
17) fi ⇔
⇔ ⇔ ⇔ fi a – b = 14
Resposta: a – b = 14
18) p(x) = x5 – x3 + 2x2 – 2 = x3(x2 – 1) + 2(x2 – 1) = 
= (x2 – 1)(x3 + 2) = (x + 1)(x – 1)(x3 + 2) = 0
x + 1 = 0 ⇔ x = – 1 (raiz racional)
ou
x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (raiz racional)
ou
x3 + 2 = 0 ⇔ x3 = – 2 ⇔ x3 = 2(cos 180° + i sen 180°) ⇔
⇔ x = 
3
���2 cos +
+ i sen 
para n = 0, x =
3
����2 . (cos 60° + i . sen 60°) (raiz não real).
para n = 1, x = 
3
����2 . (cos 180° + i . sen 180°) (raiz irracional)
para n = 2, x = 
3
����2 . (cos 300° + i . sen 300°) (raiz não real).
Portanto, são 2 raízes racionais (m = 2), 1 raiz irracional (n = 1)
e 2 raízes não reais (p = 2). 
Resposta: C
19) Uma equação que tem – 2, 3 e 5 como soluções é do tipo
a(x + 2)(x – 3)(x – 5) = 0 ⇔ a(x + 2)(x2 – 8x + 15) = 0 ⇔
⇔ a(x3 – 6x2 – x + 30) = 0
Para a = 2, temos: 2x3 – 12x2 – 2x + 60 = 0
Na alternativa D, se k = 60, temos a equação acima.
Resposta: D
20) I) 1 é raiz da equação dada, pois a soma de seus coeficientes
é igual a zero. Dividindo-se x3 – 9x2 + 23x – 15 por x – 1,
temos:
II) x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 ⇔ (x – 1) . (x2 – 8x + 15) = 0 ⇔
⇔ x – 1 = 0 ou x2 – 8x + 15 = 0 ⇔ x = 1 ou x = 3 ou x = 5
III) Na P.A. (1; 3; 5; …), temos a10 = a1 + 9 . r = 1 + 9 . 2 = 19 e 
S10 = = = 20 . 5 = 100
Resposta: C
3 – 2���2
––––––––––––
3 – 2���2
– 6���2 – 9
––––––––––––
3 + 2���2
– 6���2 – 9
––––––––––––
3 + 2���2
– 18���2 + 24 – 27 + 18���2
–––––––––––––––––––––––––
9 – 8
1 2 5-3-3 x
y
0
1 2 5-3-3 x
y
0
1 2 5-3-3 x
y
0
– 54 + 9a – 3b – 6 = 0
1 a b
– –– + –– – –– – 6 = 0 
4 4 2
	
P(– 3) = 0
1
P�– –––� = 02	
a = 3
b = – 11	
3a – b = 20 
a – 2b =25 	
9a – 3b = 60
a b 25
–– – –– = –––
4 2 4
	
�180° + n . 360°–––––––––––––––3��
��180° + n . 360°–––––––––––––––3�
1 – 9 23 – 15 1
1 – 8 15 0
(1 + 19) . 10
––––––––––––
2
(a1 + a10) . 10
–––––––––––––––
2
18 –
21) I) Sejam p, q e r as raízes da equação dada, assim:
p + q + r = – ⇒ – 2 + r = – ⇔ r = 
II) Dividindo-se 3x3 + 5x2 – 26x + 8 por x – , temos:
III) 3x3 + 5x2 – 26x + 8 = x – . (3x2 + 6x – 24) = 0 ⇔
⇔ . 3 . (x2 + 2x – 8) = 0 ⇔
⇔ (3x – 1) . (x – 2) . (x + 4) = 0
Resposta: E
22) Se a, b e c são as raízes da equação x3 – 2x2 + 3x – 4 = 0, pelas
Relações de Girard, temos:
Portanto, + + = = 
Resposta: D
23) x3 – 3x2 – 4x + 12 = x2(x – 3) – 4(x – 3) = 
= (x2 – 4)(x – 3) = (x + 2)(x – 2)(x – 3)
As raízes simétricas são – 2 e 2 e a outra raiz é 3.
Outro modo de resolução:
A soma de duas raízes simétricas é zero.
Sendo r a terceira raiz, temos: 0 + r = 3 ⇔ r = 3
Resposta: D
24) Sejam r – 1, r e r + 1 as raízes da equação x3 – 9x2 + 26x + a = 0,
então:
(r – 1) + r + (r + 1) = 9 ⇔ r = 3
As raízes da equação são, portanto, 2, 3 e 4, assim:
2 . 3 . 4 = – a ⇔ a = – 24
Resposta: a = – 24
25) a) Se 2i é raiz da equação – x4 + kx3 – kx2 + kx – 4 = 0, então:
– (2i)4 + k(2i)3 – k(2i)2 + k . 2i – 4 = 0 ⇔
⇔ – 16 – 8ki + 4k + 2ki – 4 = 0 ⇔
⇔ 4k – 6ki = 20 ⇔ 2k – 3ki = 10 ⇔ k(2 – 3i) = 10 ⇔
⇔ k = = . = = + i
b) Para k = 5, tem-se a equação – x4 + 5x3 – 5x2 + 5x – 4 = 0
1 é raiz da equação acima, pois a soma dos coeficientes é
igual a zero.
Dividindo-se – x4 + 5x3 – 5x2 + 5x – 4 por x – 1, temos:
– x4 + 5x3 – 5x2 + 5x – 4 = 0 ⇔
⇔ (x – 1) . (– x3 + 4x2 – x + 4) = 0 ⇔
⇔ (x – 1) . [x2 . (– x + 4) + 1 . (– x + 4)] = 0 ⇔
⇔ (x – 1) . (– x + 4) . (x2 + 1) = 0 ⇔
⇔ x – 1 = 0 ou – x + 4 = 0 ou x2 + 1 = 0 ⇔
⇔ x = 1 ou x = 4 ou x = i ou x = – i 
Respostas: a) k = + i
b) as raízes da equação são 1, 4, i e – i
26) I) O polinômio é do 4°. grau e tem 2 raízes reais: – 2 e – 1.
Essas duas raízes são os valores de a e b, pois sua soma é 
– 3, o que impede de serem raízes de x2 – 2x + c, assim:
p(x) = (x + 1)(x + 2)(x2 – 2x + c)
II) p(0) = 10 fi 2c = 10 ⇔ c = 5, portanto,
p(x) = (x + 1) . (x + 2) . (x2 – 2x + 5) 
As raízes complexas de p(x) são as raízes de x2 – 2x + 5,
assim:
x2 – 2x + 5 = 0 ⇔ x = = = 1 ± 2i
Resposta: D
27) Se P(x) = 3x3 + ax2 + bx + c é divisível por x2 – 2x + 1 = (x – 1)2,
então, P(x) é divisível por x – 1, portanto:
P(1) = 0 fi 3 + a + b + c = 0 ⇔ a + b + c = – 3
Resposta: D
28) I) x7 – 2x6 + x5 – x4 + 2x3 – x2 = 0 ⇔
⇔ x2 . (x5 – 2x4 + x3 – x2 + 2x – 1) = 0 
II) Verificando que 1 é raiz da equação, pois a soma dos
coeficientes é igual a zero, temos:
III) x2 . (x5 – 2x4 + x3 – x2 + 2x – 1) = 0 ⇔
⇔ x2 . (x – 1)3 . (x2 + x + 1) = 0, assim, x = 0 é raiz dupla, 
x = 1 é raiz tripla e em x2 + x + 1 = 0 obtêm-se duas raízes
não reais, pois ∆ = 1 – 4 = – 3.
Resposta: B
29) Se r é a raiz dupla e s é a raiz simples da equação 
x3 – 16x2 + 85x – 150 = 0, pelas Relações de Girard, e observan -
do que 150 = 2 . 3 . 52 = 6 . 52, temos:
⇔ ⇔
⇔ ⇔
Resposta: {5; 6}
1
–––
3
5
–––
3
5
–––
3
1
–––
3
3 5 – 26 8 1/3
3 6 – 24 0
�1–––3�
�3x – 1–––––––3�
ab + ac + bc = 3
abc = 4	
3
–––
4
bc + ac + ab
–––––––––––––
abc
1
–––
c
1
–––
b
1
–––
a
30
–––
13
20
–––
13
20 + 30i
–––––––
13
2 + 3i
––––––
2 + 3i
10
––––––
2 – 3i
10
––––––
2 – 3i
– 1 5 – 5 5 – 4 1
– 1 4 – 1 4 0
30
––––
13
20
––––
13
2 ± 4i
–––––––
2
2 ± ������� – 16
––––––––––
2
1 – 2 1 – 1 2 – 1 1
1 – 1 0 – 1 1 0 1
1 0 0 – 1 0 1
1 1 1 0 1
2r + s = 16
r2 . s = 150	r + r + s = 16r . r . s = 150 	
r = 5
s = 6	2r + s = 2 . 5 + 6r2 . s = 52 . 6	
– 19
30) Se m é raiz dupla e n = – 2m é raiz simples da equação 
x3 – 75x + 250 = 0, temos:
m.m.n = – 250 ⇔ m . m . (– 2m) = – 250 ⇔
⇔ m3 = 125 ⇔ m = 5
Como n = – 2m, então n = – 10
Resposta: m = 5; n = – 10
31) Se – 2 é raiz dupla da equação 2x4 + x3 – 17x2 – 16x + 12 = 0,
temos:
As demais raízes da equação são raízes de 2x2 – 7x + 3, cuja
soma é .
Resposta: B
32) Como os coeficientes de f(x) = x4 + x3 + px2 + x + q são reais,
se 2 + i é raiz de f, então 2 – i também é.
Sejam r e s as raízes reais de f, então:
(2 + i) + (2 – i) + r + s = – 1 ⇔ r + s = – 5
Resposta: E 
33) Seja r a raiz real da equação x3 + 5x2 + 2x + 10 = 0
Se a equação tiver uma raiz racional, esta pertencerá ao
conjunto {± 1, ± 2, ± 5, ± 10}.
Essa raiz deverá ser negativa, pois todos os coeficientes da
equação são positivos. Verifica-se que – 5 é essa raiz, pois:
(– 5)3 + 5(– 5)2 + 2(– 5) + 10 = – 125 + 125 – 10 + 10 = 0
Se z1 e z2 são as raízes não reais, então: 
– 5 . z1 . z2 = – 10 ⇔ z1 . z2 = 2
Resposta: A
34) I) 1 é raiz de f(x) = x4 + 2x3 – 2x – 1, pois a soma dos coefi cien -
tes de f é nula, temos:
II) f(x) = (x – 1) . (x3 + 3x2 + 3x + 1) = (x – 1) . (x + 1)3, logo, 1 é
raiz simples e – 1 é raiz tripla de f. 
III) g(x) = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2
IV)(fog)(x) = 0 ⇔ f(g(x)) = 0 ⇔ (g(x) – 1) . (g(x) + 1)3 = 0 ⇔
⇔ g(x) – 1 = 0 ou g(x) + 1 = 0 ⇔ g(x) = 1 ou g(x) = – 1 ⇔
⇔ (x – 1)2 = 1 (raízes reais simples) ou (x – 1)2 = – 1 (raízes
não reais triplas).
Resposta: C
35) Como os coeficientes do polinômio x4 + bx3 + cx2 + dx + e são
reais, então, se i é raiz – i também o é, assim, as raízes são 
i, – i, – 1 e 2, portanto:
⇔
⇔ ⇔ b + c + d + e = – 5
Resposta: E
36) Sendo a, b e g as raízes de x3 – px2 + qx – r = 0, com a + b = 0,
temos:
⇔ ⇔
⇔ ⇔ fi as raízes são –������– q; ������– q e p
Resposta: –������– q; ������– q e p
37) p(x) = det A = = x3 – 2x2 – x + 2
a) p(2) = 23 – 2 . 22 – 2 + 2 = 0, logo, 2 é raiz de p(x)
b) p(x) = x3 – 2x2 – x + 2 = x2 ( x – 2) – 1(x – 2) = (x – 2).(x2 – 1)
raízes de p(x) fi p(x) = 0 ⇔ (x – 2).(x2 – 1) = 0 ⇔
⇔ x – 2 = 0 ou x2 – 1 = 0 ⇔ x = 2 ou x = – 1 ou x = 1
Respostas: a) 2 é raiz, pois p(2) = 0
b) As raízes de p(x) são: – 1; 1 e 2.
38) a) x4 + 1 � (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1) ⇔
⇔ x4 + 1 � x4 + bx3 + x2 + ax3 + abx3 + abx2 + ax + x2 + bx + 1 ⇔
⇔ x4 + 1 = x4 + (a + b)x3 + (ab + 2)x2 + (a + b)x + 1 ⇔
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
⇔ ou
b) x4 + 1 = 0 ⇔ x4 = – 1 ⇔ x4 = 1 (cos 180° + i sen 180°) ⇔
⇔ x = 1 cos + i sen 
Se n = 0 fi x = +
Se n = 1 fi x = – +
Se n = 2 fi x = – –
2 1 – 17 – 16 12 – 2
2 – 3 – 11 6 0 – 2
2 – 7 3 0
7
–––
2
1 2 0 – 2 – 1 1
1 3 3 1 0 
– i + i – 1 + 2 = – b
– i . i + – i(– 1) + (– i) . 2 + i . (– 1) + i . 2 + (– 1) . 2 = c
– i . i . (– 1) – i . i . 2 – i . (– 1) . 2 + i . (– 1) . 2 = – d
– i . i . (– 1) . 2 = e
	
b = – 1
c = – 1
d = – 1
e = – 2
	
b = – a
g = p
a . (– a) + (a + b)g = q	
a + b = 0
a + b + g = p
ab + ag + bg = q	
b = – a
g = p
a = ± ������– q	
b = – a
g = p
a2 = – q	
�
x
x
1 – ––
2
x
x
0
2
1
x
0
�
a = – b
b2 = 2	a = – bab + 2 = 0	a + b = 0ab + 2 = 0	
a = ���2
b = – ���2	a = – ���2b = ���2	
�180° + n . 360°––––––––––––––4
180° + n . 360°
––––––––––––––
4�
i���2
––––
2
����2
––––
2
i���2
––––
2
����2
––––
2
i���2
––––
2
����2
––––
2
20 –
Se n = 3 fi x = –
Respostas: a) (a = ����2; b = – ����2 ) ou (a = –����2; b = ����2 )
b) + i; – + i; – – i; – i
39) Sejam r, s e t as raízes da equação x3 – 2x2 + 3x + 1 = 0:
fi
r + s + t = 2 ⇔ (r + s + t)3 = 8 ⇔ (r + s + t)2 (r + s + t) = 8 ⇔
⇔ (r2 + s2 + t2 + 2rs + 2rt + 2st)(r + s + t) = 8 ⇔
⇔ r3 + s3 + t3 + 3(r2s + r2t + rs2 + rt2 + s2t + st2) + 6rst = 8 ⇔
⇔ r3 + s3 + t3 + 3(r2s + r2t + rs2 + rt2 + s2t + st2) + 9rst – 3rst = 8 ⇔
⇔ r3 + s3 + t3 + 3(r2s + r2t + rst) + 3(rs2 + s2t + rst) +
+ 3(rt2 + st2 + rst) – 3rst = 8 ⇔
⇔ r3 + s3 + t3 + 3r(rs + rt + st) + 3s(rs + rt + st) +
+ 3t(rs + rt + st) – 3rst = 8 ⇔
⇔ r3 + s3 + t3 + (rs + rt + st) . 3 . (r + s + t) – 3rst = 8 fi
fi r3 + s3 + t3 + 3 . 3 . 2 – 3 . (– 1) = 8 ⇔ r3 + s3 + t3 = – 13
Resposta: C
40) I) Desenvolvendo o determinante, obtemos p = 2x3 + x2 – 3,
e observamos que 1 é raiz de p
II) Dividindo-se p por x – 1, temos:
O quociente é 2x2 + 3x + 3 e as raízes do quociente são
, que são dois números nãoreais e conjugados.
Resposta: D
41) x3 + x – 7 = 0
I) Verdadeira. Se a equação tiver raízes racionais, então elas
pertencerão ao conjunto {– 1; 1; – 7; 7}. Nenhum dos
elementos desse conjunto satisfaz a equação dada,
portanto, não há raízes racionais.
II) P(x) = x3 + x – 7
P(1) = – 5 < 0
P(2) = 3 > 0
Existe uma raiz real entre 1 e 2. Essa raiz pode ser simples
ou tripla. Ao invés de verificarmos se tal raiz é única, vamos
analisar a afirmação III.
III) Verdadeira.
Sejam r, s e t as raízes da equação 
fi
fi r + s + t = 0 ⇔ (r + s + t)2 = 0 ⇔
⇔ r2 + s2 + t2 + 2(rs + rt + st) = 0 ⇔
⇔ r2 + s2 + t2 + 2 . 1 = 0 ⇔ r2 + s2 + t2 = – 2
Vemos que as raízes são tais que a soma de seus quadrados
é um número negativo. Isso só é possível se houver, entre elas,
números não reais. Como os coeficientes da equação são
reais, sabemos que há pelo menos duas raízes não reais (um
número complexo e seu conjugado).
No item II, vimos que existe uma raiz real. Como a equação
do 3°. grau possui apenas 3 raízes, sabemos que a raiz real é
única. Logo, a afirmação II também é verdadeira.
Resposta: D
42) I) Em p(x) = (ax2 – 2bx + c + 1)5, substituindo-se x por 1
obteremos a soma de seus coeficientes, assim:
(a – 2b + c + 1)5 = 32 ⇔ a – 2b + c + 1 = 2
(supondo-se a, b, c Œ �)
II) p(0) = 0 fi (c + 1)5 = 0 ⇔ c + 1 = 0 ⇔ c = – 1
III) p(– 1) = 0 fi (a + 2b + c + 1)5 = 0 ⇔ a + 2b + c + 1 = 0
IV) ⇔ ⇔
fi a + b + c = 1 – – 1 = –
Resposta: A
43) I) As raízes de A(x) = x4 – 1 são:
x4 = 1 ⇔ x4 = 1(cos 0° + i sen 0°) ⇔
⇔ x = 1 cos + i sen 
para n = 0: x = 1
para n = 1: x = i
para n = 2: x = – 1
para n = 3: x = – i
Como D(1) ≠ 0, 1 não é raiz de D(x). Portanto, as raízes de
D(x) são i, – 1 e – i. Assim, temos:
D(x) = a(x – i)(x + i)(x + 1) = a(x2 + 1)(x + 1) = 
= a(x3 + x2 + x + 1)
II) P(x) = x4n + 1 + x4n + x4n – 1 + … + x2 + x + 1 possui 4n + 2
termos. Isso significa que pode ser escrito sob a forma:
P(x) = . a(x3 + x2 + x + 1) +
+ . a(x3 + x2 + x + 1) + … +
+ . a(x3 + x2 + x + 1) + x + 1 
Portanto, o resto da divisão de P(x) por D(x) é x + 1.
Resposta: x + 1
44) Se P(x) = x3 + kx + m é divisível por x2 – 2x + 1 = (x – 1)2, então,
P(x) é divisível por x – 1, então:
k + m + 1 = 0 ⇔ k + m = – 1
Resposta: E
i���2
––––
2
����2
––––
2
}����2––––2����2––––2����2––––2����2––––2����2––––2����2––––2����2––––2����2––––2{
r + s + t = 2
rs + rt + st = 3
rst = – 1	
2 1 0 – 3 1
2 3 3 0
– 3 ± ������� – 15
–––––––––––
4
r + s + t = 0
rs + rt + st = 1
rst = 7	
a = 1
1
b = – ––
2
c = – 1
	a – 2b = 2a + 2b = 0c = – 1	a – 2b + c + 1 = 2a + 2b + c + 1 = 0c = – 1	
1
–––
2
1
–––
2
�n . 360°–––––––––4
n . 360°
–––––––––
4�
x4n – 2
–––––––
a
x4n – 6
–––––––
a
x2
––––
a
1 0 k m 1
1 1 k + 1 k + m + 1
– 21
45) a) I) Sejam s – r, s e s + r as raízes da equação 
x3 – 3x2 + 12x – q = 0, então:
(s – r) + s + (s + r) = 3 ⇔ 3s = 3 ⇔ s = 1
II) Se 1 é raiz, então: 13 – 3 . 12 + 12 . 1 – q = 0 ⇔ q = 10
b) Dividindo-se x3 – 3x2 + 12x – 10 por x – 1, temos:
fi
fi x3 – 3x2 + 12x – 10 = 0 ⇔ (x – 1).(x2 – 2x + 10) = 0 ⇔
⇔ x = 1 ou x = 1 ± 3i
Respostas: a) q = 10 b) 1; 1 + 3i; 1 – 3i
46) I) Sejam , r e r.q as raízes da equação 
2x3 – ax2 + bx + 54 = 0, então:
. r . (r . q) = ⇔ r3 = – 27 ⇔ r = – 3
II) Se – 3 é raiz, então:
2 . (– 3)3 – a . (– 3)2 + b . (– 3) + 54 = 0 ⇔
⇔ – 54 – 9a – 3b + 54 = 0 ⇔ 3a + b = 0 ⇔ b = – 3a
III) = = –
Resposta: B
47) Seja r uma raiz racional não inteira da equação 
2x3 + x2 – 6x – 3 = 0, então:
r Œ ± ; ± 
– é raiz da equação, pois:
2 –
3
+ –
2 
– 6 – – 3 = – + + 3 – 3 = 0 
Dividindo-se 2x3 + x2 – 6x – 3 por x + , temos:
2x2 – 6 = 0 ⇔ x2 = 3 ⇔ x ± ���3
As demais raízes são irracionais e de sinais contrários.
Resposta: E
48) Como os coeficientes da equação 2x3 – 3x2 + kx + t = 0 são
números reais, se 1 – i é raiz da equação, 1 + i também o é.
Seja r a raiz real da equação, então:
(1 – i) + (1 + i) + r = ⇔ r = –
O produto das raízes da equação é:
(1 + i)(1 – i) . – = 2 . – = – 1
Resposta: A
49) Dividindo-se ax3 + bx + 16 duas vezes, sucessivamente, por 
x – 2:
⇔ ⇔ fi
fi b – a = – 12 – 1 = – 13
Resposta: B
50) Sejam r, e as raízes da equação x3 + bx2 – ax + 36 = 0, 
então:
I) r . . = – 36 ⇔ r3 = – 216 ⇔ r = – 6, assim, as raízes 
são – 6, – 3 e – 2.
II) (– 6) + (– 3) + (– 2) = – b ⇔ b = 11
III) (– 6) . (– 3) + (– 6) . (– 2) + (– 3) . (– 2) = – a ⇔ a = – 36
IV)a + b = – 36 + 11 = – 25
Resposta: B 
51) f(x) = g(x) fi x3 + x2 + 2x – 1 = x3 + 3x + 1 ⇔
⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = – 1 ou x = 2
Portanto, as abscissas dos pontos P e Q são, respectiva mente,
– 1 e 2.
Observemos que o gráfico de f está acima do gráfico de g nos
pontos à esquerda de P e à direita de Q, portanto:
f(x) ≥ g(x) fi x ≤ – 1 ou x ≥ 2
Resposta: S = {x � � � x ≤ – 1 ou x ≥ 2}
52) a) Dividindo-se a equação 
x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 por x2, tem-se:
x2 – 3x + 4 – + = 0 ⇔
⇔ x2 + – 3x – + 4 = 0 ⇔
⇔ x2 + 2 + – 3x – + 4 – 2 = 0 ⇔
⇔ x +
2
– 3 x + + 2 = 0 
Fazendo-se x + = u, tem-se:
u2 – 3u + 2 = 0 ⇔ u = 1 ou u = 2
Logo, x + = 1 ou x + = 2 ⇔
⇔ x2 – x + 1 = 0 ou x2 – 2x + 1 = 0 ⇔
⇔ x = ou x = 1 (raiz dupla)
b) Dividindo-se a equação x4 – 3x3 + bx2 – 3x + 1 = 0 por x2,
tem-se:
x2 – 3x + b – + = 0 ⇔
⇔ x2 + 2 + – 3x – + b – 2 = 0 ⇔
⇔ x +
2
– 3 x + + b – 2 = 0 
1 – 3 12 – 10 1
1 – 2 10 0
r
–––
q
– 54
––––––
2
r
–––
q
1
–––
3
a
––––––
– 3a
a
–––
b
3–––21–––2	
1
––
2
1
––
4
1
––
4�1––2��1––2��1––2�
1
––
2
2 1 – 6 – 3 – 1/2
2 0 – 6 0
1
––
2
3
––
2
�1––2��1––2�
a 0 b 16 2
a 2a 4a + b 8a + 2b + 16 2
a 4a 12a + b 
a = 1
b = – 13	4a + b = – 8– 12a – b = 0	8a + 2b + 16 = 012a + b = 0	
r
––
3
r
––
2
r
––
3
r
––
2
1
–––
x2
3
––
x
3
––
x
1
–––
x2
3
––
x
1
–––
x2
�1–––x��
1
–––
x�
1
–––
x
1
–––
x
1
–––
x
1 ± i���3
––––––––
2
1
–––
x2
3
–––
x
3
–––
x
1
–––
x2
�1–––x��
1
–––
x�
22 –
Fazendo-se x + = u, tem-se: u2 – 3u + b – 2 = 0
Para que a equação acima possua raízes reais, devemos ter 
(– 3)2 – 4(b – 2) ≥ 0 ⇔ 17 – 4b ≥ 0 ⇔ b ≤ 
Se x > 0, então u ≥ 2, assim:
u = ≥ 2 ⇔ 3 ± ����������� 17 – 4b ≥ 4 ⇔
⇔ ± ����������� 17 – 4b ≥ 1 ⇔ 17 – 4b ≥ 1 ⇔ 16 ≥ 4b ⇔ b ≤ 4 
Respostas: a) 1; 1; ; b) b ≤ 4
53) Os graus dos 5 polinômios que são fatores de P são 2, 2q, 2q2,
2q3, 2q4. Para que o grau de P seja 62, devemos ter:
2 + 2q + 2q2 + 2q3 + 2q4 = 62 ⇔ 2q4 + 2q3 + 2q2 + 2q – 60 = 0 ⇔
⇔ q4 + q3 + q2 + q – 30 = 0
Observa-se que q = 2 é solução da equação acima, pois:
24 + 23 + 22 + 2 – 30 = 16 + 8 + 4 + 2 – 30 = 0
Portanto, o maior grau dentre os 5 polinômios cujo produto é
P é 2q4 = 2 . 24 = 32
Resposta: B
54) a) Sejam s – r, s e s + r as raízes do polinômio. De acordo com
o enunciado, temos:
I) (s – r) + s + (s + r) = ⇔ 3s = ⇔ s = 
II) + r
2
– – r
2
= ⇔
⇔ + + r2 – + – r2 = ⇔
⇔ = ⇔ r = 2 
Assim, as raízes são
s – r = – 2 = – , s = e
s + r = + 2 = , que formam a progressão arit -
mética – ; ; 
b) Sendo P(x) = 5x3 + bx2 + cx + d, temos:
– . + – . + . = ⇔
⇔ = ⇔ c = –
Respostas: a) – , e b) –
55) Sendo a1 = x, r = x + 1 e n = x + 2, com x Œ �*, pois a1, r e n
formam uma progressão aritmética de razão 1, temos:
1) an = a1 + (n – 1) . r = x + [(x + 2) – 1] . (x + 1) ⇔
⇔ an = x + (x + 1)(x + 1) = x2 + 3x + 1
2) Sn = = 244 ⇔ (a1 + an) . n = 488
(x + x2 + 3x + 1) . (x + 2) = 488 ⇔
⇔ (x2 + 4x + 1) . (x + 2) = 488 ⇔
⇔ x3 + 6x2 + 9x – 486 = 0
6 é raiz dessa equação, pois: 
As outras duas raízes não são reais, pois não existe 
x Œ � tal que 1x2 + 12x + 81 = 0.
Desta forma, a1 = 6, r = 7 e n = 8.
Resposta: A
56) 2x2 – 12x + 10 ≤ 5y ≤ 10 – 2x ⇔
⇔ ⇔
Os gráficos das equações y = x2 – x + 2 e y = 2 – x
e a região do plano cartesiano cujos pontos (x; y) satisfazem
as duas inequações estão representados a seguir.
De todos os pontos da região, o de maior e o de menor
ordenada são respectivamente (0; 2) e 3; – .
Assim, ymáx . ymín= 2 . – = – = – 3,2 
Resposta: A
1
–––
x
17
–––
4
3 ± ����������� 17 – 4b
––––––––––––––
2
1 – ��3 i
––––––––
2
1 + ��3 i
––––––––
2
3
–––
5
9
–––
5
9
–––
5
24
–––
5�
3
–––
5��
3
–––
5�
24
––––
5
6r
––––
5
9
––––
25
6r
––––
5
9
––––
25
24
––––
5
12r
––––
5
3
–––
5
7
–––
5
3
–––
5
13
–––
5
3
–––
5
�13–––5
3
–––
5
7
–––
5�
c
–––
5
13
–––
5
3
–––
5
13
–––
5�
7
–––
5�
3
–––
5
7
–––
5
73
–––
5
c
–––
5
– 21 – 91 + 39
–––––––––––––––
25
73
–––
5
13
–––
5
3
–––
5
7
–––
5
(a1 + an) . n
–––––––––––
2
1 6 9 – 486 6
––––––––––––––––––––––––
1 12 81 0
2 12
y ≥ ––x2 – –––x + 2 (I)
5 5
2 
y ≤ 2 – ––x (II)
5 
	5y ≥ 2x2 – 12x + 105y ≤ 10 – 2x	
2
–––
5
12
–––
5
2
–––
5
2
3
51 x
8
5
-
y
�8–––5�
16
–––
5�
8
–––
5�
– 23
57) 1) x3 – 3x2 – x + 3 = 0 ⇔ x2(x – 3) – (x – 3) = 0 ⇔
⇔ (x – 3)(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 3, x = 1 ou x = – 1
2) Sendo P(x) = x26 – x25 – 6x24 + 5x4 – 16x3 + 3x2, temos:
P(1) = 126 – 125 – 6 . 124 + 5 . 14 – 16 . 13 + 3 . 12 =
= 1 – 1 – 6 + 5 – 16 + 3 = – 14
P(– 1) = (– 1)26 – (– 1)25 – 6 . (– 1)24 +
+ 5 . (– 1)4 – 16 . (– 1)3 + 3 . (– 1)2 =
= 1 + 1 – 6 + 5 + 16 + 3 = 20
P(3) = 326 – 325 – 6 . 324 + 5 . 34 – 16 . 33 + 3 . 32 =
= 324(32 – 3 – 6) + 33(5 . 3 – 16) + 27 =
= 32 . 0 + 33 . (– 1) + 27 = 0
3) Sendo R(x) = ax2 + bx + c o resto da divisão de P(x) por 
x3 – 3x2 – 5x + 3, pelo teorema do resto, temos:
⇔
⇔ ⇔ fi
fi
Assim, R(x) = 6x2 – 17x – 3.
Resposta: D
58) 1) Seja � a raíz comum à P(x) e a P(P(P(x)))
Assim: P(�) = 0 e
P(P(P(�))) = 0 ⇒ P(P(0)) = 0 ⇒ P(b) = 0
pois, sendo P(x) = x2 + ax + b, tem-se P(0) = b
2) Como P(b) = b2 + a . b + b = b(b + a + 1) = 0 ⇔
⇔ b = 0 ou a + b + 1 = 0
3) Se b = 0, então P(0) = 02 + a . 0 + b = 0
Se a + b + 1 = 0, então P(1) = 12 + a . 1 + b = 0
De uma forma ou de outra P(0) . P(1) = 0
Resposta: D
59) Pelas Relações de Girard temos:
1) � + (– �) + = – a ⇒ a = –
2) � . (– �) + � . + (– �) . = b ⇒ b = – �2
3) � . (– �) . = – c ⇒ c = �
Assim, b + c2 + ac + =
= – �2 + �2 + �– � . � + = – 1 – 1 = – 2
Resposta: A
60) O conjunto verdade da equação 
2x3 + ax2 + bx – 16 = 0 é {r; r; 2}, com r ≠ 2. Assim:
r . r . 2 = = 8 ⇔ r = ± 2 ⇒ r = – 2, pois r 
 2.
O polinômio p(x), na forma fatorada, é 
p(x) = 2 . (x + 2)(x + 2)(x – 2) ⇔
⇔ p(x) = 2x3 + 4x2 – 8x – 16 ⇒ a = 4 e b = – 8 ⇒
⇒ b – a = – 12
Resposta: B
P(1) = R(1) = a . 12 + b . 1 + c = – 14
P(– 1) = R(– 1) = a . (– 1)2 + b . (– 1) + c = 20
P(3) = R(3) = a . 32 + b . 3 + c = 0
a + b + c = – 14
– 2b = 34
4a + b = 7
	
a + b + c = – 14
a – b + c = 20
9a + 3b + c = 0
	
a = 6
b = – 17
c = – 3
	
1
–––
�
1
–––
�
1
–––
�
1
–––
�
1
–––
�
b
–––
c2
– �2
––––
�2
1
–––
�
16
–––
2
24 –
MATEMÁTICA
LIVRO 3
ÁLGEBRA
Capítulo 4 – Médias
6) = = . =
Resposta: 
7)
3
��������������� 6 . 16 . 18 = 
3
�������������������� 2 . 3 . 24 . 2 . 32 = 
3
����������26 . 33 = 22 . 3 = 12
Resposta: 12
8) = = . = 
Resposta: 
9)
7
���������������� �23���2 �3 . �4���2 �4 = 7������������������ 23 . 2 . 44 . 22 =
= 
7
����������������� 23 . 2 . 28 . 22 = 
7
�����214 = 22 = 4
Resposta: 4
10) =
= = = 1,85 
Resposta: B
11) Os pesos das provas P1, P2 e P3 são, respecti vamente, iguais a
12, 22 e 32, isto é, 1, 4 e 9.
Assim, independentemente das notas tiradas em P1 e P2, ele
deve tirar, no mínimo, P3 tal que:
= 5,4 ⇔ 9P3 = 5,4 . 14 ⇔
⇔ P3 = ⇔ P3 = 8,4
Resposta: D
12) Colocando as notas em ordem crescente, temos:
O candidato com maior mediana é N.
Resposta: D
13) I) A soma dos 100 números é 100 . 9,83 = 983
= 8,5 ⇔ x + y = 150 
II) fi fi
Resposta: D
14) Para que um dos 5 números assuma o maior valor possível,
os demais números terão de assumir os menores valores
possíveis, que são 1, 2, 3 e 4, pois os números são inteiros,
distintos e positivos.
Se x é o maior valor possível, então:
= 16 ⇔ 10 + x = 80 ⇔ x = 70
Resposta: D
15) a) = 72,2
b) Com a atribuição de 5 pontos a mais para cada aluno, a
média geral aumentou 5 pontos, ficando igual a 77,2.
Se x é o número de alunos que, inicialmente reprovados,
atingiram nota para aprovação, então:
= 77,2 ⇔
⇔ 550,4 – 68,8x + 960 + 80x = 1544 ⇔ 11,2x = 33,6 ⇔ x = 3
Respostas: a) 72,2 b) 3
16) A média salarial dos funcionários, em reais, é:
=
= =
= = 2605
Resposta: B
29
–––
20
1
––
3
87
–––
20
12 + 65 + 10
––––––––––––
20
––––––––––––––
3
3 13 1
–– + ––– + ––
5 4 2
––––––––––––––––
3
29
–––
20
117
––––
155
39
––––
155
3
––
1
3
––––––––––––––––
65 + 12 + 78
––––––––––––––
39
3
–––––––––––––––
5 4 2
–– + ––– + ––
3 13 1
117
––––
155
5 . 1,80 + 3 . 1,50 + 2 . 2,50
–––––––––––––––––––––––––––
5 + 3 + 2
18,50
––––––
10
9,00 + 4,50 + 5,00
––––––––––––––––––
10
9 . P3
––––––––––
1 + 4 + 9
75,6
––––
9
Candidato Notas Mediana
K 33, 33, 33, 34 (33 + 33) � 2 = 33
L 32, 33, 34, 39
33 + 34 
––––––– = 33,5
2
M 34, 35, 35, 36 (35 + 35) � 2 = 35
N 24, 35, 37, 40 (35 + 37) � 2 = 36
P 16, 26, 36, 41 (26 + 36) � 2 = 31
983 – x – y
–––––––––––
98
x = 85
y = 65	
2x + 2y = 300
3x – 2y = 125	
x + y = 150 
3x – 2y = 125	
1 + 2 + 3 + 4 + x
–––––––––––––––––
5
8 . 65 + 12 . 77
–––––––––––––––
20
(8 – x) 68,8 + (12 + x) . 80
––––––––––––––––––––––––––
20
5.1200 + 6.1350 + 4.3000 + 4.4000 + 1.10000
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
5 + 6 + 4 + 4 + 1
6000 + 8100 + 12000 + 16000 + 10000
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
20
52100
––––––––
20
– 25
17) A média de idade após a reunião é:
= = 29,975 > 29,9
Resposta: Média final = 29,975 > 29,9
18) �17,43anos =
= (17 + 0,43)anos = 17 anos + 0,43 . 12 meses =
= 17 anos + 5,16 meses
Resposta: C
19) As médias de cada reagente são:
Reagente 1: = 6
Reagente 2: = 4,8
Reagente 3: = 6,8
Reagente 4: = 6,6
Reagente 5: = 6,6
Como o pesquisador está interessado no reagente que
apresenta a maior quantidade de resultados acima da média
encontrada para o respectivo reagente, aquele que atende às
suas expectativas é o reagente 2, que possui quatro resultados
acima da média.
Resposta: B
20) A média global do conjunto será:
= = 5,86
Resposta: E
21) = 37,02 
Resposta: A
22) = 280
Resposta: B
23) I) A média obtida pelo candidato I foi 
= = = 21,8
II) A média obtida pelo candidato III foi 
= = = 19,2
III) Para vencer a competição, a nota X que deverá ser obtida
pelo candidato II é tal que:
> 21,8 ⇔ 4X + 150 > 218 ⇔
⇔ 4X > 68 ⇔ X > 17
Portanto, a menor nota deverá ser 18.
Resposta: A
24) Sejam Sa, Sd e Sc as somas dos salários dos funcionários
administra tivos, de desenvolvimento e comercial, respectiva -
mente, em reais.
Sejam também Ma, Md e Mc as respectivas médias desses
salários, em reais. Assim;
Ma = = 3 750 ⇔ Sa = 22 500
Md = = 4 125 ⇔ Sd = 16 500 
A média dos salários dos 15 funcionários da empresa é 
M = = 4 000 ⇔ Sa + Sd + Sc = 60 000
Desta forma, 22 500 + 16 500 + Sc = 60 000 ⇔
⇔ Sc = 21 000 e, portanto, 
Mc = = = 4 200
Resposta: E
25) O total de gols marcados é
3 + 4 + 2 + 5 + 4 + 2 + 5 + 3 + 2 + 4 = 34
O total de gols sofridos é
1 + 2 + 4 + 1 + 4 + 4 + 5 + 4 + 5 + 1 = 31
A média dos saldos de gols dessa equipe nos dez jogos de que
participou foi:
M = = 0,3
Resposta: E
26) Sejam MA e MB as médias de gols por partida dos candidatos
A e B respectivamente.
MA = 
MB = ⇔ = ⇔ p4 = g2 ⇒
MA = MB
⇔ p = 
4
����g2 ⇔ p = ����g , pois p e g são maiores que 1.
Resposta: A
36 150
––––––––
1 206
1200 . 30 + 6 . 25
–––––––––––––––––
1200 + 6
(10 . 16 + 23 . 17 + 20 . 18 + 5 . 19 + 2 . 20)anos
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10 + 23 + 20 + 5 + 2
1 + 6 + 6 + 6 + 11
––––––––––––––––––
5
0 + 6 + 7 + 6 + 5
–––––––––––––––––
5
2 + 3 + 8 + 10 + 11
–––––––––––––––––––
5
2 + 4 + 7 + 8 + 12
–––––––––––––––––
5
1 + 2 + 9 + 10 + 11
–––––––––––––––––––
5
586
––––
100
25 . 5 + 35 . 7 + 40 . 5,4 
––––––––––––––––––––––––
25 + 35 + 40
51 . 38 + 49 . 36
––––––––––––––––
100
1 000 . 250 + 1 500 . 300
–––––––––––––––––––––––
1 000 + 1500
218
––––
10
80 + 138
––––––––10
20 . 4 + 23 . 6
––––––––––––––
4 + 6
192
––––
10
84 + 108
––––––––
10
21 . 4 + 18 . 6
––––––––––––––
4 + 6
X . 4 + 25 . 6
––––––––––––
4 + 6
Sa
––––
6
Sd
––––
4
Sa + Sd + Sc
––––––––––––
15
21 000
–––––––
5
Sc
––––
5
34 – 31
––––––––
10
	
g
–––
p
g
–––
p
p3
–––
g
p3
–––
g
26 –
27) I) Se r e h são, respectivamente, o raio e a altura do cilindro,
então:
= 4 ⇔ + = ⇔ = ⇔ rh = 2(r + h)
II) O volume do cilindro é V = πr2h e a área total é 
AT = 2πr (r + h), assim:
= = = = 1
Resposta: A
28) I) A média de gols da primeira rodada foi:
= = 2,5
II) Se x é o número de gols marcados na segunda rodada,
então:
= 1,2 . 2,5 ⇔ x = 18
Resposta: 18 
29) = =
= = = = 1 –
Resposta: D
30) = =
= . � 1,22 = 122%
Resposta: E
31) Se x foi a nota obtida pelo aluno na 4a. prova, então:
= 7,3 ⇔
⇔ 56 + 2x = 73 ⇔ 2x = 17 ⇔ x = 8,5
Resposta: B
32) = 0,336 � 0,3
Resposta: C
1
––
2
r + h
––––––
rh
1
––
2
1
––
h
1
––
r
2
––––––––
1 1
–– + ––
r h
rh
–––
rh
rh
––––––––
2(r + h)
πr2h
–––––––––––
2πr(r + h)
V
–––
AT
15
–––
6
5 + 3 + 1 + 4 + 0 + 2
––––––––––––––––––––
6
15 + x
––––––––
11
1
n – 1 + 1 – ––
n
–––––––––––––––
n
1
(n – 1) . 1 + 1 . �1 – ––�n
––––––––––––––––––––––––
n
1
––––
n2
n2 – 1
–––––––
n2
n2 – 1
–––––––
n
––––––––
n
1
n – ––
n
––––––––
n
10.4 + 5.8 + 10.11 + 12.15
–––––––––––––––––––––––––
10 + 5 + 10 + 12
––––––––––––––––––––––––––––
8.4 + 4.8 + 5.11 + 3.15
–––––––––––––––––––––––––
8 + 4 + 5 + 3
média de 2000
–––––––––––––––
média de 1990
20
–––––
164
370
–––––
37
1 . 6,5 + 2 . 7,3 + 3 . 7,5 + 2x + 2 . 6,2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + 2 + 3 + 2 + 2
0,70 + 1,59 + 0,31 + 0,25 – 1,17
––––––––––––––––––––––––––––––
5
– 27
MATEMÁTICA
LIVRO 3
ÁLGEBRA
Capítulo 5 – Razões e Proporções
8)
Resposta: B
9)
Resposta: C
10) Se (2; 3; x; …) e (8; y; 4; …) são G.D.P., então:
= = ⇔ ⇔
Resposta: C
11) O mapa está representado na escala 1:7000000 e a distância
no mapa é de 6,5 cm. Para se encontrar a distância real x entre
as cidades de Belo Horizonte e Montes Claros, basta aplicar a
regra de três a seguir.
= 
Logo, x = 6, 5 × 7000000 = 45500000 cm.
Como a solução é dada na unidade km, fazendo a conversão
de unidade, tem-se x = 455 km.
Resposta: B
12) Se j e f forem as quantias, em dólares, recebidas por Jasmim
e Flora, então:
= = = = 
Assim: = ⇔ j = = 75; 
= ⇔ f = = 45
e, portanto, j – f = 75 – 45 = 30
Resposta: C
13) I) Quando Sueli transferiu metade do conteúdo da primeira
xícara para a segunda, a segunda xícara ficou com 20 m� de
café e 40 m� de leite, totalizando 60 m� de café com leite.
II) Quando transferiu metade do conteúdo da segunda para a
primeira xícara, transferiu 
. 30 m� de café e . 30 m� de leite.
III) Assim, a primeira xícara ficou com uma quan tidade de café
igual a 20 m� + . 30 m� = 30 m�, e uma quantidade de
leite igual a . 30 m� = 20 m�
Desta forma, a fração correspondente ao leite é:
= 
Resposta: D
14) 12 . 2 = 22 . p = m2 . 8 ⇔
Resposta: B
15) S = πR2 ⇔ = π
Resposta: Somente a afirmação (V) é correta.
16) Sendo x, y e z números reais, temos:
I) = 7 ⇔ y = 7z
II) = 3 ⇔ x = 3y
III) = = = =
= . = . 7
Assim, = 
Resposta: E
17) I) x + y + z = 70
II) = = = = = 7
Resposta: B
⇔
3x – 2y = 0 
5x – 3y = – 4	⇔
3x = 2y
5x + 10 = 3y + 6	⇔
x 2
––– = –––
y 3
x + 2 3
–––––– = –––
y + 2 5
	
fi x . y = (– 8) . (– 12) = 96
x = – 8
y = – 12	⇔
x = 9
y = 24	⇔
3y – 8x = 0
y + 2x = 42	⇔
x 3
––– = –––
y 8
y + 2x = 42
	
x = 1
y = 12	
2y = 24
8x = 8	
x
–––
4
3
–––
y
2
–––
8
6,5
––––
x
1
–––––––––
7000000
1
––
8
120
––––
960
j + f
––––––
960
f
––––
360
j
––––
600
600
––––
8
1
––
8
j
––––
600
360
––––
8
1
––
8
f
––––
360
40
–––
60
20
–––
60
20
–––
60
40
–––
60
2
–––
5
20 m�
––––––––––––––
30 m� + 20 m�
1
p = –––
2
1
m = –––
2
	
S
–––
R2
y
–––
z
x
–––
y
y
––––
3z
2y
––––
6z
3y – y
––––––
7z – z
x – y
––––––
y – z
1
–––
3
y
–––
z
1
–––
3
7
–––
3
x – y
––––––
y – z
70
–––
10
x + y + z
––––––––––
2 + 3 + 5
z
–––
5
y
–––
3
x
–––
2
fi x + z = 14 + 35 = 49
x = 14
y = 21
z = 35
	⇔
x
––– = 7
2
y
––– = 7
3
z
––– = 7
5
	III)
28 –
18) I) x + y + z = 660
II) = = = = = 660
Resposta: A
19) Considerando um país com 120 milhões de adultos, temos:
I) . 120 milhões = 36 milhões, sofrem de hipertensão
II) . 36 milhões = 24 milhões, iniciam o tratamento
III) . 24 milhões = 16 milhões, mantêm o tratamento
Resposta: C
20) Hagar deve pagar 3k e seu acompanhante deve pagar k.
3k + k = 28 ⇔ k = 7 fi 3k = 21
Resposta: C
21) I) x + y + z = 40 mil
II) = = = = = 0,4 mil
Resposta: C
22) A capacidade mínima, em litros, do reservatório a ser
construído deve ser 
10 . 20 . 0,08 m3 = 16 m3 = 16 000 litros.
Resposta: E
23) Como o felino tem 3,0 kg de massa, sua área corporal é
0,208 m2.
Como a dosagem diária do medicamento deve ser 250 mg
por metro quadrado de superfície corporal, sendo x mg a dose
diária que esse felino deverá receber, temos:
= ⇔ x = 52
Resposta: B
24) Os capitais dos três sócios são:
Ari = x
Bia = 2x
Caio = 2x . 1,5 = 3x
Então, Ari deverá receber, em reais:
= 98 000; Bia, 2 . 98 000 = 196 000 e 
Caio: 3 . 98 000 = 294 000
A diferença entre o maior e o menor lucro recebido é 
294 000 – 98 000 = 196 000
Resposta: C
25) A quantidade de proteínas do alimento A é de 0,1 g/kcal, pois
= 0,1 g/kcal
A quantidade de proteínas do alimento B é de 0,0125 g/kcal,
pois = 0,0125 g/kcal.
Assim, para duas porções isocalórias (por exemplo 1kcal), a
razão entre as quantidades de proteínas em A e a quantidade
de proteínas em B é
= 8
Resposta: C
26) ⇔ ⇔
(a, b, c) = (a, 3a, 4a)
Resposta: C
27) a) x + y + z = 1280
= = = = = 64
b) a + b + c = 1280
= = = = = 1600
Respostas: a) R$ 512,00; R$ 320,00 e R$ 448,00
b) R$ 320,00; R$ 800,00 e R$ 160,00
660
–––––
6
–––
6
x + y + z
––––––––––––––––
1 1 1
––– + ––– + –––
2 3 6
z
–––––
1
–––
6
y
–––––
1
–––
3
x
–––––
1
–––
2
x = 330
y = 220
z = 110
	⇔
x
–––– = 660
1
––
2
y
–––– = 660
1
––
3
z
–––– = 660
1
––
6
	III)
30
–––
100
2
–––
3
2
–––
3
40 mil
–––––––
100
x + y + z
––––––––––––
20 + 30 + 50
z
–––
50
y
–––
30
x
–––
20
x = 8 mil
y = 12 mil
z = 20 mil
	fi
x
–––– = 0,4 mil
20
y
–––– = 0,4 mil
30
z
–––– = 0,4 mil
50
	III)
0,208
–––––
1
x
–––
250
588 000
–––––––––
6
6g
–––––––
60 kcal
1g
–––––––
80 kcal
0,1 g/kcal
––––––––––––––
0,0125 g/kcal
b = 3a
c = 4a	b = c – ac = 4a	
c = a + b
c
a = –––
4
	
1280
––––––
20
x + y + z
––––––––––––
8 + 5 + 7
z
–––
7
y
–––
5
x
–––
8
x = 512
y = 320
z = 448
	⇔
x
––– = 64
8
y
––– = 64
5
z
––– = 64
7
	
1280
–––––
8
–––
10
a + b + c
––––––––––––––––
1 1 1
––– + ––– + –––
5 2 10
c
–––––
1
–––
10
b
––––
1
––
2
a
––––
1
––
5
a = 320
b = 800
c = 160
	⇔
a
–––– = 1600
1
––
5
b
–––– = 1600
1
––
2
c
––––– = 1600
1
–––
10
	
– 29
28) Sejam x e y as potências, em watts, de cada uma dos
sistemas.
I) x + y = 2 800 000
II) = fi
fi = = = = 400 000 
Resposta: P1 = 1 200 000 W e P2 = 1 600 000 W
29) I) x + y + z = 690 000
II) = = = = = 57 500 
Resposta: As pessoas receberão, respectivamente, 
R$ 172 500,00, R$ 230 000,00 e R$ 287 500,00
30)
Resposta: C
31) I) Se idades (35; 14; x) e quantidade de rosas (70; a; b) são
G.D.P., então: 
= = ⇔ = = fi a = 28
II) 70 + a + b = 10 . 12 fi 70 + 28 + b = 120 ⇔ b = 22 
III) = fi = ⇔ x = 11
Resposta: D
y.200
––––––
800
x.400
––––––
1200
2 800 000
––––––––––
7
x + y
–––––––
3 + 4
y
–––
4
x
–––
3
x = 1 200 000
y = 1 600 000	⇔
x
––– = 400 000
3
y
––– = 400 000
4
	III)
690 000
––––––––
12
x + y + z
––––––––––
3 + 4 + 5
z
–––
5
y
–––
4
x
–––
3
x = 172 500
y = 230 000
z = 287 500	⇔
x
––– = 57 500
3
y
––– = 57 500
4
z
––– = 57 500
5
	III)
⇔
x + y + z = 700
2y
x = ––––
3
5y
z = ––––
4
	⇔
x + y + z = 700
x 2
––– = –––
y 3
y 4
––– = –––
z 5
	
y = 240
x = 160
z = 300	⇔
35y
––––– = 700
12
2y
x = ––––
3
5y
z = ––––
4
	⇔
x
–––
b
14
––––
a
1
–––
2
x
–––
b