livro3-2023-matematica

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3MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
GIUSEPPE NOBILIONI
Coordenador e Professor 
do Curso e Colégio Objetivo
JORGE KRIKORIAN
MAURO GRESPAN
Professores do Curso e Colégio Objetivo
Índice
Álgebra
Capítulo 1 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Capítulo 2 Equações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Capítulo 3 Exercícios-tarefa 
(Polinômios e equações algébricas) . . . . . 33
Capítulo 4 Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Capítulo 5 Razões e proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Capítulo 6 Regra de três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Capítulo 7 Porcentagem e juros . . . . . . . . . . . . . . 54
Capítulo 8 Exercícios-tarefa (Média, razões e
proporções, regra de três, 
porcentagem e juros) . . . . . . . . . . . 66
Capítulo 9 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . 76
Capítulo 10 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Livro 3_Matematica_2023_ROSE 04/07/2022 11:42 Página I
Geometria Analítica
Capítulo 1 Estudo da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Capítulo 2 Posição relativa de duas retas e feixe de retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Capítulo 3 Ângulo entre duas retas e distância de ponto a reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Capítulo 4 Exercícios-tarefa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Geometria Métrica 
Capítulo 1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Capítulo 2 Paralelepípedos e cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Capítulo 3 Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Capítulo 4 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Livro 3_Matematica_2023_ROSE 04/07/2022 11:42 Página II
1. Definição
Dados os números complexos a0, a1, a2, ..., an e
sendo n um número natural, chama-se função poli no -
 mial a função P : � → � definida por 
P(x) = a0 . x
n + a1 . x
n –1 + a2 . x
n – 2 + ... + an – 1 . x + an
em que:
a) a0, a1, a2, ..., an são coeficientes;
b) a0 . x
n, a1 . x
n – 1, a2 . x
n – 2, ..., an são os termos
ou monômios;
c) a0 . x
n + a1 . x
n – 1 + a2 . x
n – 2 + ... + an – 1 . x + an
é o polinômio. 
Observação: Usaremos muitas vezes, por simplici -
dade, a palavra “polinômio” com o mesmo sentido de
“função polinomial”.
2. Valor numérico
Dada a função polinomial
P(x) = a0 . x
n + a1 . x
n – 1 + a2 . x
n – 2 + ... + an – 1 . x + an,
chama-se valor numérico de P para x = � o número
P(�) = a0 . �
n + a1 . �
n – 1 + a2 . �
n – 2 + ... + an – 1 . � + an
O valor numérico P(�) é, portanto, a imagem de �
por P.
Exemplo: Se P(x) = x3 – 3ix2 + 4, temos:
Observação: Se P(�) = 0, dizemos que � é raiz de P.
3. Grau de uma função polinomial
Definição
A função polinomial
P(x) = a0 . x
n + a1 . x
n – 1 + a2 . x
n – 2 + ... + ap . x
n–p + ... + an – 1 . x + an 
é de grau n – p, e representa-se gr(P) = n – p, quando, e
somente quando, a0, a1, a2, ...., ap – 1 são nulos e ap é
dife ren te de zero. Simbolicamente:
�p � {0, 1, 2, ..., n}
Assim sendo:
a0 ≠ 0 ⇔ gr(P) = n
a0 = 0 e a1 ≠ 0 ⇔ gr (P) = n – 1
a0 = a1 = 0 e a2 ≠ 0 ⇔ gr(P) = n – 2
�
a0 = a1 = a2 = ... an – 2 = 0 e an – 1 ≠ 0 ⇔ gr (P) = 1
a0 = a1 = a2 = ... an – 2 = an – 1 = 0 e an ≠ 0 ⇔ gr (P) = 0
Observação: O grau de P(x) não é definido quando
todos os coe ficientes são nulos. Portanto:
a) a0 = a1 = a2 = ... = an = 0 ⇔ P não tem grau 
b) ∃ ai ≠ 0, i � {0, 1, 2, ..., n} ⇔ P tem grau.
Exemplo
Seja a função polinomial 
P(x) = (a – 2) . x3 + b x2 + (c – 1) x + d:
a) se a ≠ 2, então gr(P) = 3;
b) se a = 2 e b ≠ 0, então gr(P) = 2;
c) se a = 2 e b = 0 e c ≠ 1, então gr(P) = 1;
d) se a = 2 e b = 0 e c = 1 e d ≠ 0, então gr(P) = 0;
e) se a = 2 e b = 0 e c = 1 e d = 0, então P não tem
grau.
4. Função polinomial soma
A soma dos termos semelhantes a . xp e b . xp é o
monômio (a + b) . xp.
P(0) = 03 – 3i . 02 + 4 = 4
P(1) = 13 – 3i . 12 + 4 = 5 – 3i
P(i) = i3 – 3i . i2 + 4 = 4 + 2i
gr(P) = n – p ⇔ a0 = a1 = a2 = ... = ap – 1 = 0 e ap � 0
1
1ÁlgebraPolinômios
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2
Dadas as funções polinomiais A e B de � em �, a
função polinomial soma A + B : � → � tal que
(A + B) (x) = A(x) + B(x) é definida pelo polinômio em
que cada termo é a soma dos termos semelhantes dos
polinômios parcelas.
O grau de A + B é tal que:
Exemplos
a) Se A(x) = 2x3 + 3x2 + 5x – 4 e B(x) = x2 – 3x + 1,
então:
(A + B) (x) = (2x3 + 3x2 + 5x – 4) + (x2 – 3x + 1)
(A + B) (x) = 2x3 + 4x2 + 2x – 3
Note: 
gr(A) = 3, gr(B) = 2 e gr(A + B) = gr(A) = 3
b) Se A(x) = 2x3 + 4x2 – 5x + 3 e B(x) = – 2x3 + x2 – 3,
então:
(A + B) (x) = (2x3 + 4x2 – 5x + 3) + (–2x3 + x2 – 3)
(A + B) (x) = 5x2 – 5x
Note: 
gr(A) = gr(B) = 3 e gr(A + B) = 2 < gr (A)
5. Função polinomial produto
O produto dos termos a . xp e b . xq é o monô -
mio (a . b) . xp + q.
Dadas as funções polinomiais A e B de � em �, a
função polinomial produto A . B : � → � tal que 
(A . B)(x) = A(x) . B(x) é definida pelo polinômio
cujos termos são todos os produtos possíveis entre um
termo de A e um termo de B.
Se as funções polinomiais A e B têm grau, então:
Exemplos
a) Se A(x) = 2x2 – 3x + 1 e B(x) = 3x + 2, então:
(A . B) (x) = (2x2 – 3x + 1) . (3x + 2)
(A . B) (x) = 6x3 + 4x2 – 9x2 – 6x + 3x + 2
(A . B) (x) = 6x3 – 5x2 – 3x + 2
Note:
gr(A) = 2, gr(B) = 1, gr(A . B) = 2 + 1 = 3
b) Se A(x) = 2x2 – 3x + 1, então:
(A2) (x) = (2x2 – 3x + 1) (2x2 – 3x + 1)
(A2) (x) = 4x4– 6x3+ 2x2– 6x3+ 9x2– 3x + 2x2– 3x + 1
(A2) (x) = 4x4 – 12x3 + 13x2 – 6x + 1
Note:
gr(A) = 2 e gr(A2) = gr(A) + gr(A) = 2 + 2 = 4
6. Função polinomial 
identicamente nula
Definição
Dada a função polinomial P : � → � tal que 
P(x) = a0 . x
n + a1 . x
n – 1 + a2 . x
n – 2 + ... + an – 1 . x + an,
dizemos que P é identicamente nula, quando, e somente
quando, o valor numérico de P é igual a zero para todo
x complexo.
Simbolicamente
, �x � �
Teorema
Simbolicamente
Demonstração
a) a0 = a1 = a2 = . . . = an = 0 ⇒ P(x) � 0
De fato:
a0 = a1 = a2 = ... = an = 0 ⇒
⇒ P(x) = 0 . xn + 0 . xn – 1 + 0 . xn – 2 + ... + 0 . x + 0 ⇒
⇒ P(x) = 0 + 0 + 0 + ... + 0 = 0, �x ⇒ P(x) � 0
b) P(x) � 0 ⇒ a0 = a1 = a2 = . . . = an – 1 = an = 0
De fato:
P(x) � 0 ⇒ P(x) = 0, �x � � ⇒
⇒ P(x0) = P(x1) = P(x2) = ... = P(xn) = 0
sendo x0, x1, x2, ..., xn, números comple xos dois a
dois distintos.
gr(A . B) = gr(A) + gr(B)
a) gr (A) > gr(B) ⇒ gr (A + B) = gr (A)
b) gr (A) = gr (B) ⇒ gr (A + B) ≤ gr (A) ou A + B
não tem grau
A condição necessária e suficiente para que a função
polinomial P seja identicamente nula é que todos os
seus coeficientes sejam nulos.
P(x) � 0 ⇔ a0 = a1 = a2 = ... = an = 0
P(x) ; 0 ⇔ P(x) = 0
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Assim sendo, podemos escrever o seguinte sistema:
que é um sistema linear homogêneo com n + 1 equações
nas n + 1 incógnitas a0, a1, a2, . . . , an – 1, an.
Notando que
pois é um determinante de Vandermonde com os ele -
mentos característicos dois a dois distintos, resulta que
tal sistema admite somente a solução trivial e, portanto:
a0 = a1 = a2 = ..... = an – 1 = an = 0
7. Funções polinomiais idênticas
Definição
Dadas as funções polinomiais A e B de � em � tais
que:
dizemos que as funções A e B são idênticas (ou iguais),
quando, e somente quando, os valores numéricos de A e
B, respectivamente, são iguais para todo x complexo.
Simbolicamente:
, �x � �
Teorema
Simbolicamente:
, �x � �
Demonstração
A(x) � B(x) ⇔ A(x) = B(x), �x � � ⇔
⇔ A(x) – B(x) = 0, �x� � ⇔
⇔ (A – B)(x) = 0, �x � � ⇔ (A – B)(x) � 0 ⇔
⇔ (a0 – b0) . xn + (a1 – b1) . xn – 1 +
+ (a2 – b2) . x
n – 2 + ... + (an – bn) � 0 ⇔
⇔ a0 – b0 = a1 – b1 = a2 – b2 = ... = an – bn = 0 ⇔
⇔ a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn ⇔
⇔ ai = bi, �i � {0, 1, 2, ..., n} 
a0 . x0
n + a1 . x0
n – 1 + a2 . x0
n – 2 + ... + an – 1 . x0 + an = 0
a0 . x1
n + a1 . x1
n – 1 + a2 . x1
n – 2 + ... + an – 1 . x1 + an = 0� a0 . x2n + a1 . x2n – 1 + a2 . x2n – 2 + ... + an – 1 . x2 + an = 0..........................................................................................
a0 . xn
n + a1 . xn
n – 1 + a2 . xn
n – 2 + ... + an – 1 . xn + an = 0
� A(x) = a0.x
n + a1.x
n – 1 + a2.x
n – 2 + ... + an – 1 . x + an
B(x) = b0.x
n + b1.x
n – 1 + b2.x
n – 2 + ... + bn – 1 . x+ bn
A(x) � B(x) ⇔ A(x) = B(x)
A condição necessária e suficiente para que as
funções A e B sejam idênticas (ou iguais) é que
os coeficientes dos termos semelhantes sejam
dois a dois iguais.
A(x) � B(x) ⇔ ai = bi
x
0
n x
0
n – 1 x
0
n – 2 ...... x0 1
x
1
n x
1
n – 1 x
0
n – 2 ...... x1 1
x
2
n x
2
n – 1 x
0
n – 2 ...... x2 1 ≠ 0
. . . . .. . . ...... . .. . . . .
x
n
n x
n
n – 1 x
0
n – 2 ...... xn 1
1. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 – 7x2 + 3x – 4
para x = 2.
Resolução
P(2) = 23 – 7 . 22 + 3 . 2 – 4
P(2) = 8 – 28 + 6 – 4 = – 18
Resposta: P(2) = – 18
2. Discutir, em relação a a � �, o grau da função polinomial P : � → �
definida por P(x) = (a2 – 5a + 4)x3 + (a – 1)x2 + (a – 3) . x + 7.
Resolução
Lembrando que o coeficiente de x3 é a2 – 5a + 4 e que 
a2 – 5a + 4 = 0 ⇔ a = 1 ou a = 4, temos:
a) a ≠ 1 e a ≠ 4 ⇒ gr(P) = 3
b) a = 1 ⇒ P(x) = 0 . x3 + 0 . x2 – 2x + 7 ⇒ gr(P) = 1
c) a = 4 ⇒ P(x) = 0 . x3 + 3x2 + x + 7 ⇒ gr(P) = 2
a ≠ 1 e a ≠ 4 ⇒ gr(P) = 3
Resposta: � a = 1 ⇒ gr(P) = 1
a = 4 ⇒ gr(P) = 2
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8. Dado o polinômio x3 + (2 + m)x2 + (3 + 2m)x + 3m, calcule o va lor numérico para x = m.
9. (UESB) – Se P(x) = xn – xn – 1 + xn – 2 – ... + x2 – x + 1 e P(– 1) = 19, então n é igual a:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
10. (MACKENZIE) – Se o polinômio do segundo grau P(x) = Ax2 + Bx + C é tal que P(1) = 3, P(2) = 11 e P(4) = 45, o valor de B é
a) 0 b) 1 c) – 1 d) – 2 e) – 5
3. Sejam f e g duas funções polinomiais definidas por:
f(x) = (2a – 3)x3 + (a – 1)x + 3 e
g(x) = (3a – 7)x3 + (a – 2)x2 + 3x – a
Determinar a � � para que a função (f + g) tenha grau 3.
Resolução
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (2a – 3)x3 + (a – 1)x + 3 +
+ (3a – 7)x3 + (a – 2) . x2 + 3x – a ⇒
⇒ (f + g) (x) = (5a – 10) . x3 + (a – 2)x2 + (a + 2) x + (3 – a)
Assim sendo: gr(f + g) = 3 ⇔ 5a – 10 ≠ 0 ⇔ a ≠ 2
Resposta: a ≠ 2
4. Com relação à questão anterior, sabendo-se que gr(f + g) = 1,
calcule (f . g) (x).
Resolução
gr(f + g) = 1 ⇔ � ⇔ a = 2
Se a = 2, então:
f(x) = x3 + x + 3 e g(x) = – x3 + 3x – 2 e portanto:
(f . g) (x) = (x3 + x + 3) (– x3 + 3x – 2) ⇔
⇔ (f . g) (x) = – x6 + 3x4 – 2x3 – x4 + 3x2 – 2x – 3x3 + 9x – 6 ⇔
⇔ (f . g) (x) = – x6 + 2x4 – 5x3 + 3x2 + 7x – 6
Resposta: (f . g)(x) = – x6 + 2x4 – 5x3 + 3x2 + 7x – 6
5. Determinar a, b, c, d de modo que:
= + + + , �x � � – {0; – 3}
Resolução
= + + + , �x � � – {0; – 3} ⇔
⇔ = ,
� x � � – {0; – 3} ⇔
⇔ = ,
� x � � – {0; – 3} ⇔
⇔ = ,
�x � � – {0; – 3} 
Identificando os numeradores, temos:
3x – 18 = (a + d)x3 + (c + 3d) x2 + (b + 3c) x + 3b, 
�x � � – {0; – 3} ⇔ ⇔
Resposta: a = 1, b = – 6, c = 3, d = – 1
6. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio
x3 + 6x2 + ax + b seja um cubo perfeito.
Resolução
Sendo x3 + 6x2 + ax + b um polinômio de grau 3, será ele um
cubo perfeito se for idêntico a (mx + n)3. Assim sendo:
x3 + 6x2 + ax + b � (mx + n)3 ⇔
⇔ x3 + 6x2 + ax + b � m3x3 + 3m2nx2 + 3mn2x + n3 ⇔
⇔ ⇔
Resposta: a = 12 e b = 8
7. Determinar os valores de m para que a função polinomial f,
definida por f(x) = x2 + 3x + m, seja quadrado perfeito.
Resolução
Sendo x2 + 3x + m de grau 2, será ele quadrado perfeito
se for idêntico a (ax + b)2.
Assim sendo: x2 + 3x + m � (ax + b)2 ⇔
⇔ x2 + 3x + m � a2x2 + 2abx + b2 ⇔
⇔ ⇔ ou
Resposta: m = 
5a – 10 = 0
a – 2 = 0
a + 2 ≠ 0
3(x – 6)
––––––––––
x3(x + 3)
a
–––––––
(x + 3)
b
–––
x3
c
–––
x2
d
–––
x
3(x – 6)
–––––––––
x3(x + 3)
a
–––––––
(x + 3)
b
–––
x3
c
–––
x2
d
–––
x
3x – 18
–––––––––
x3(x + 3)
ax3 + b(x + 3) + cx (x + 3) + dx2 (x + 3)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x3(x + 3)
3x – 18
–––––––––
x3(x + 3)
ax3 + bx + 3b + cx2 + 3cx + dx3 + 3dx2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
x3(x + 3)
3x – 18
–––––––––
x3(x + 3)
(a + d)x3 + (c + 3d)x2 + (b + 3c)x + 3b
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
x3(x + 3)
�
a + d = 0
c + 3d = 0
b + 3c = 3
3b = – 18
�
a = 1
b = – 6
c = 3
d = – 1
�
m3 = 1
3m2n = 6
3mn2 = a
n3 = b
�
m = 1
n = 2
a = 12
b = 8
�
a2 = 1
2ab = 3
b2 = m �
a = 1
3
b = ––
2
9
m = ––
4
�
a = – 1
3
b = – ––
2
9
m = ––
4
9
––
4
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11. (INSPER) – Uma caixa com a forma de paralelepípedo reto
retângulo, sem tampa, pode ser produzida a partir de uma folha
de cartolina quadrada, de lados medindo a, com as marcações
indicadas na figura abaixo.
Para montar a caixa, deve-se:
• recortar os quatro cantos quadrados hachurados, de lados
medindo x;
• dobrar os quatro retângulos escuros, prendendo-os com fita
crepe para formar as paredes laterais da caixa.
O volume da caixa obtida é dado pela expressão:
a) a2x – 2ax2 + x3
b) a2x – 4ax2 +4x3
c) 4a2x – 4ax2 + x3
d) 2a2x – 2ax2 + 4x3
e) 2a2x – ax2 + 2x3
12. (FGV) – O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + 2 satisfaz as
seguintes condições:
, qualquer que seja x real. Então:
a) P(1) = – 1 b) P(1) = 0 c) P(2) = 0
d) P(2) = – 8 e) P(2) = 12
13. O polinômio p(x) = (m – 4) . x3 + (m2 – 16) . x2 + (m + 4) . x + 4
é de grau 2:
a) se, e somente se, m = 4 ou m = – 4
b) se, e somente se, m � 4
c) se, e somente se, m � – 4
d) se, e somente se, m � 4 e m � – 4
e) para nenhum valor de m
14. (FGV) – Considere dois polinômios, f(x) e g(x), tais que o grau
de f(x) é n + 2 e o grau de g(x) é n – 1.
Sejam q(x) e r(x) (r(x) � 0), respectivamente, o quociente e o
resto da divisão de f(x) por g(x).
O que se pode afirmar a respeito dos graus dos polinômios q(x) e
r(x)?
15. (UNESP) – Se a, b, c são números reais tais que 
ax2 + b(x + 1)2 + c(x + 2)2 = (x + 3)2 para todo x real, então o
valor de a – b + c é 
a) – 5 b) – 1 c) 1 d) 3 e) 7 
16. Os valores de m, n e p de modo que sejam idênticos os poli -
nômios:
P1(x) = (m + n + p)x
4 – (p + 1)x3 + mx2 + (n – p)x + n e
P2(x) = 2mx
3 + (2p + 7)x2 + 5mx + 2m são, respectivamente:
a) 1, 2, – 3 b) 2, 3, 1 c) – 1, 2, 2
d) 2, 1, – 3 e) 1, – 3, 2
17. (FUVEST) – As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade 
= + 
é válida para todo x ∈ �.
a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro
equações satisfeito pelas constantes A, B, C e D. 
b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas
constantes. 
a
x
x
a
P(– 1) = 0
e
P(x) – P(– x) = x3
�
Dx + C
––––––––
x2 + 4
Ax + B
––––––––––
x2 + 2x + 2
1
––––––––––––––––––
(x2 + 2x + 2)(x2 + 4)
8. Divisão de polinômios
Definição
Dadas a função polinomial A, chamada dividendo, e a função polinomial B, não identicamente nula, chamada
divisor, dividir A por B é obter a função polinomial Q, chamada quociente, e a função polinomial R, chamada resto,
tais que A(x) � B(x) . Q(x) + R(x) e o grau do resto é menor que o grau do divisor ou o resto é identicamente nulo.
Simbolicamente:
A B � 0 ⇔ A(x) � B(x) . Q(x) + R(x)
R Q gr(R) < gr(B) ou R(x) � 0�
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6
Exemplo 1
Na divisão de A(x) = x3 + 2x + 1 por B(x) = x4 + 3x3 + 4, obtemos quociente Q(x) = 0 e resto R(x) = x3 + 2x + 1,
pois:
É fácil verificar que: se o grau do dividendo for menor que o grau do divisor, o quociente será nu lo e o resto
será igual ao dividendo; e reciprocamente.
Simbolicamente:
Daqui em diante, excluiremos este caso particulare consideraremos apenas os casos em que gr(A) ≥ gr(B).
Exemplo 2
Na divisão de A(x) = x3 + 3x + 4 por B(x) = x2 – 1, obtemos quociente Q(x) = x e resto R(x) = 4x + 4, pois:
Observação
A divisão de polinômios é “muito parecida” com a divisão euclidiana definida em �. Existem, porém, duas
diferenças, pois na divisão de polinômios: 
a) o valor numérico do divisor pode ser eventualmente nulo. No exemplo anterior, apesar de o polinômio B
não ser identicamente nulo, temos B(– 1) = B(1) = 0;
b) o valor numérico do resto pode ser maior ou igual ao valor numérico do divisor. No exemplo ante rior,
apesar de gr(R) < gr(B), temos R(5) = B(5) = 24 e R(2) = 12 > B(2) = 3.
Cálculo de Q e R
O quociente e o resto da divisão de A por B, com B(x) � 0, existem e são únicos. Podem ser calculados pelo
método da chave ou pelo Método de Descartes.
Método da Chave
Supondo que os polinômios A e B já estejam reduzidos e ordenados, o método da chave é um dispositivo prático
que consiste em obter o quociente Q e o resto R, em várias etapas, de modo análogo ao que se faz na divisão
euclidiana de números naturais.
⇔x
4 + 3x3 + 4
0
x3 + 2x + 1
x3 + 2x + 1
x3 + 2x + 1 = (x4 + 3x3 + 4) . 0 + (x3 + 2x + 1)
gr(R) = 3 < gr(B) = 4�
x3 + 3x + 4 = (x2 – 1) . x + (4x + 4)
gr(R) = 1 < gr(B) = 2�⇔
x2 – 1
x
x3 + 3x + 4
4x + 4
gr(A) < gr(B) ⇔ Q(x) � 0 e P(x) � A(x)
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Exemplo 1
Dividir A(x) = 2x3 + 7x2 + 4x – 4 por B(x) = x2 + 2x – 3 pelo método da chave.
a) Primeiro grupo de operações
Dividir a primeira parcela do dividendo pela primeira parcela do divisor, obtendo a primeira parcela do quociente.
Obter, em seguida, o primeiro resto parcial, lembrando-se de que R = A – B . Q.
Observe que, ao efetuar este grupo de operações:
a) o grau do resto parcial é menor que o grau do di videndo, pois há o cancelamento da primeira parcela;
b) 2x3 + 7x2 + 4x – 4 � (x2 + 2x – 3) . (2x) + (3x2 + 10x – 4);
c) o grau do resto parcial não é menor que o grau do divisor e, portanto, a divisão ainda não terminou.
b) Segundo grupo de operações
Dividir a primeira parcela do primeiro resto parcial pela primeira parcela do divisor obtendo a próxima parcela do
quociente. Obter, em seguida, o segundo resto parcial, lembrando-se de que R = A – B . Q.
Observe que, ao efetuar o segundo grupo de opera ções:
a) o grau do segundo resto parcial é menor que o grau do primeiro resto parcial, pois há o cancelamento da primei -
ra parcela;
b) 2x3 + 7x2 + 4x – 4 � (x2 + 2x – 3) . (2x + 3) + (4x + 5);
c) o grau do segundo resto parcial já é menor que o grau do divisor e, portanto, a divisão terminou.
Assim sendo, na divisão de 2x3 + 7x2 + 4x – 4 por x2 + 2x – 3, obtêm-se quociente Q(x) = 2x + 3 e resto 
R(x) = 4x + 5.
2 x3 + 7x2 + 4x – 4
– 2 x3 – 4x2 + 6x
x2 + 2x – 3
3x2 + 10x – 4
2x
Primeiro Resto Parcial
Primeira Parcela do Quociente
2 x3 + 7x2 + 4x – 4
– 2 x3 – 4x2 + 6x
x2 + 2x – 3
 3x2 + 10x – 4
– 3x2 – 6x + 9
2x + 3
Segundo Resto Parcial
Segunda Parcela do Quociente
4x + 5
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Exemplo 2
Dividir A(x) = x5 – 2x3 + 3x + 2 por x2 + 3x + 1 pelo método da chave. 
Resolução
Assim sendo, na divisão de x5 – 2x3 + 3x + 2 por x2 + 3x + 1, obtêm-se quociente Q(x) = x3 – 3x2 + 6x – 15 e
resto R(x) = 42x + 17.
Exemplo 3
Dividir A(x) = 3x4 + 2x3 – 7x2 + 3x – 4 por B(x) = x2 + 2x – 3 pelo método da chave.
Resolução
Assim sendo, na divisão de 3x4 + 2x3 – 7x2 + 3x – 4 por x2 + 2x – 3, obtêm-se quociente Q(x) = 3x2 – 4x + 10 e
resto R(x) = – 29x + 26.
Método de Descartes
Este método, também chamado método dos coeficientes a determinar, consiste em:
a) escrever o quociente Q, em função de coeficien tes a serem determinados, lembrando que gr(Q) = gr(A) – gr(B);
b) escrever o resto R, em função de coeficientes a se rem determinados, lembrando que gr(R) < gr(B) ou R(x) � 0;
c) utilizar a definição de divisão;
d) obter os coeficientes de Q e R, identificando os polinômios.
x2 + 2x – 3
3x2 – 4x + 10
– 29x + 26
Resto Final
Terceira Parcela do Quociente
Segunda Parcela do Quociente
Primeira Parcela do Quociente
Primeiro Resto Parcial
Segundo Resto Parcial
3x4 + 2x3 – 7x2 + 3x – 4
– 3x4 – 6x3 + 9x2
– 4x3 + 2x2 + 3x – 4
+ 4x3 + 8x2 – 12x
10x2 – 9x – 4
– 10x2 – 20x + 30
 
 
Primeiro Resto Parcial
Terceira Parcela do Quociente
Segunda Parcela do Quociente
Primeira Parcela do Quociente
Segundo Resto Parcial
Resto Final
x2 + 3x + 1
x3 – 3x2 + 6x – 15
42x + 17
Terceiro Resto Parcial
Quarta Parcela do Quociente
x5 + 0x4 – 2x3 + 0x2 + 3x + 2
– x5 – 3x4 – x3
– 3x4 – 3x3 + 0x2 + 3x + 2
+ 3x4 + 9x3 + 3x2
 6x3 + 3x2 + 3x + 2
– 6x3 – 18x2 – 6x
– 15x2 – 3x + 2
+ 15x2 + 45x + 15
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Exemplo
Dividir A(x) = 3x4 + 2x3 – 7x2 + 3x – 4 por B(x) = x2 + 2x – 3 pelo Método de Descartes.
Resolução
a) O quociente é do tipo Q(x) = ax2 + bx + c, pois gr(A) = 4, gr(B) = 2 e gr(Q) = 4 – 2 = 2;
b) O resto é do tipo R(x) = mx + n, pois gr(B) = 2 e gr(R) < gr(B) ou R(x) � 0;
c) De acordo com a definição, temos:
d) Identificando os polinômios, vem:
Assim sendo, na divisão de 3x4 + 2x3 – 7x2 + 3x – 4 por x2 + 2x – 3, obtêm-se quociente Q(x) = 3x2 – 4x + 10 e
resto R(x) = – 29x + 26.
9. Divisão por x – �
Nas divisões de A(x) por x – �, o resto é um número independente de x, que passaremos a representar por r. De fato: 
Por este motivo, além de poder-se dividir pelo método da chave ou pelo Método de Descartes, nas divisões por 
x – � existe um processo mais simples para obterem-se o quociente e o resto. Para determinar-se apenas o resto,
podemos utilizar o Teorema de D’Alembert e, para calcularem-se o quociente e o resto, o Dispositivo Prático de
Briot-Ruffini.
Teorema de D’Alembert
O resto da divisão do polinômio A por x – � é o va lor numérico de A para x = �. 
Simbolicamente:
Demonstração
Exemplos
O resto da divisão de A(x) = x3 + 7x2 – 3x + 1 por x – 2 é 31, pois:
O resto da divisão de A(x) = x5 – 3x + 2 por x + 1 é 4, pois:
⇔A(x) x – �
r Q(x)
3x4 + 2x3 – 7x2 + 3x – 4 x2 + 2x – 3 ⇔
mx + n ax2 + bx + c
⇔ 3x4 + 2x3 – 7x2 + 3x – 4 ⇔ (x2 + 2x – 3)(ax2 + bx + c) + (mx + n)
3x4 + 2x3 – 7x2 + 3x – 4 � ax4 + (2a + b)x3 + (– 3a + 2b + c)x2 + (– 3b + 2c + m)x + (– 3c + n) ⇔
a = 3 a = 3
2a + b = 2 b = – 4 Q(x) = 3x2 – 4x + 1
⇔ � – 3a + 2b + c = – 7 ⇔ � c = 10 ⇔ �– 3b + 2c + m = 3 m = – 29 R(x) = – 29x + 26
– 3c + n = – 4 n = 26
gr(B) = 1 � ⇒ gr(R) = 0 ou R(x) � 0 ⇒ R(x) = r, com r � �gr(R) < gr(B) ou R(x) � 0
r = A(�)
A(x) x – � ⇔ A(x) � (x – �) . Q(x) + r ⇒ A(�) = (� – �) . Q(�) + r ⇔ A(�) = 0 . Q(�) + r ⇔ A(�) = r
r Q(x)
x3 + 7x2 – 3x + 1 x – 2 ⇒ r = A(2) ⇒ r = 23 + 7 . 22 – 3 . 2 + 1 ⇒ r = 31
r Q(x)
x5 – 3x + 2 x + 1 ⇒ r = A(– 1) ⇒ r = (– 1)5 – 3 . (– 1) + 2 ⇒ r = 4
r Q(x)
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Obtenção do quociente e do resto
Dividindo A(x) = a0 . x
n + a1 . x
n – 1 + a2 . x
n – 2 + ... + an – 1 . x + an, com a0 ≠ 0, por x – �, utilizando o Método
de Descartes, obtém-se um quociente do tipo Q(x) = q0 . x
n – 1 + q1 . x
n – 2 + q2 . x
n – 3 + ... + qn – 2 . x + qn – 1, com 
q0 ≠ 0, e um resto do tipo R(x) = r. Assim sendo:
Igualando, dois a dois, os coeficientes deste último polinômio com os coeficientes iniciais de A(x), respectivamente,
a0, a1, a2, ..., an, tem-se:
Além de a0 = q0, o sistema anterior significa que:
É “nessa equação” que se baseia o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini. Observe as várias etapas:
e assim por diante. Portanto, a partir de a0 = q0, seguindo a flecha, obtemos q1, q2, q3, ..., qn – 1 e r.
α
⇒b) q0 . α + a1 = q1
a0 an – 1 ana2 . . .
= =
+
⇒a) a0 = q0 =
a1 a2 an – 1 an. . .
⇒c) q1 . α + a2 = q2
a1a0
q0
an – 1 an. . .
+
= = =
a0
a1
a2
q0
q0
q1 q2
+
+
α
α
�
q0 = a0 q0 = a0
q1 – αq0 = a1 q1 – αq0 = a1
q2 – αq1 = a2 q2 – αq1= a2� � ⇔ � �qn – 1 – αqn – 2 = an – 1 qn – 1 – αqn – 2 = an – 1
r – αqn – 1 = an r – αqn – 1 = an
(cada coeficiente de Q) x � + (próximo coeficiente de A) = próximo coeficiente de Q
A(x) (x – �) ⇔
r q0 . x
n – 1 + q1 . x
n – 2 + q2 . x
n – 3 + ... + qn – 2 . x + qn–1
⇔ A(x) � (x – �) . (q0xn – 1 + q1 . xn – 2 + q2 . xn – 3 + ... + qn – 2 . x + qn – 1) + r ⇔
⇔ A(x) � q0 . xn + (q1 – �q0) . xn – 1 + (q2 – �q1) . xn – 2 + ... + (qn – 1 – � . qn – 2) . x + (r – � . qn – 1)
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Assim sendo, o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é:
a1
q1
a2
q2 qn – 1
an – 1 an
r
. . .
=
+
. . .
a0
q0
+
α
= = = =
Exemplo
Dividir x4 – 7x2 + 3x – 1 por x – 2.
Resolução
Pelo Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, tem-se:
Logo:
10. Divisão por ax + b
Se o divisor é do tipo ax + b, com a ≠ 0, então:
Dessa equivalência, nota-se que:
a) x + é do tipo x – � com � = – ;
b) – é a raiz de ax + b = 0;
c) nas duas divisões, o resto é o mesmo;
d) dividindo-se a . Q(x) por a, obtém-se Q(x).
Nas divisões de A(x) por ax + b, com a ≠ 0, podemos
utilizar, portanto, o Teorema de D’Alembert e o
Disposi tivo Prático de Briot-Ruffini, observando que:
a) o número �, tanto no Teorema de D’Alembert
como no Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, é sempre
a raiz de ax + b = 0;
b) no Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, o último
coeficiente já é o resto r;
c) para obter os coeficientes de Q, os demais coe fi -
cientes do dispositivo devem ser divididos por a, que é o
coeficiente de x no divisor ax + b.
Exemplo
Dividir 2x4 – 6x3 + 4x – 7 por 2x + 2.
Resolução
a) pelo Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, com
� = – 1 que é a raiz de 2x + 2 = 0, tem-se:
b) o último coeficiente – 3 já é o resto;
c) os demais coeficientes devem ser divididos por
2, que é o coeficiente de x no divisor 2x + 2. O dispo -
sitivo completo, portanto, é:
Logo:
1
1
0
2
–7
–3
3
–3
–1
–7
2
resto
x4 – 7x2 + 3x – 1 x – 2
– 7 1x3 + 2x2 – 3x – 3
b
A(x) x + –––
aA(x) ax + b ⇔
r Q(x) r a . Q(x)
b––a
b––a
b––a
2
2
– 6
– 8
0
8
4
– 4
– 7
– 3
– 1
2
2
– 6
– 8
0
8
4
– 4
– 7
– 3
– 1
1 – 4 4 – 2
coeficientes de Q
resto
���
��� 
2x4 – 6x3 + 4x – 7 2x + 2
– 3 x3 – 4x2 + 4x – 2
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11. Divisão por (x – �) . (x – �)
Se A(x) for divisível por (x – �) . (x – �), então, para
obter o quociente, podem-se efetuar duas divisões suces -
sivas, utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini.
Simbolicamente:
Se A(x) não for divisível por (x – �) . (x – �), então
a obtenção do quociente e do resto deve ser feita pelo
método da chave ou pelo Método de Descartes.
Problema importante
Dados os restos r1 e r2 das divisões da função poli -
no mial A por x – � e x – �, respectivamente, com � ≠ �,
determinar o resto da divisão de A por (x – �) . (x – �).
Resolução
a) Pelo enunciado, tem-se:
b) O resto da divisão de A por (x – �) . (x – �) é
do tipo R(x) = ax + b, pois gr(B) = 2
c) Da definição de divisão, tem-se:
d) De (III), para x = � e x = �, tem-se:
e) Substituindo (I) e (II) em (IV) e (V), vem:
f) Substituindo o valor de a em a . � + b = r1, resulta:
g) Conclusão: O resto da divisão de A por 
(x – �) . (x – �), com � ≠ �, é:
Observações
a) Dados os restos r1, r2 e r3 das divisões da função
polinomial A por x – �1, x – �2 e x – �3, respecti -
vamente, com �1, �2 e �3 dois a dois distintos, pode-se
deter minar, de modo análogo, o resto da divisão de A(x)
por (x – �1) . (x – �2) . (x – �3).
b) Dados os restos r1, r2, r3 e r4 das divisões de 
A(x) por x – �1, x – �2, x – �3 e x – �4, respectivamente,
com �1, �2, �3 e �4 dois a dois distintos, pode-se
determinar, de modo análogo, o resto da divisão de A(x)
por (x – �1).(x – �2).(x – �3).(x – �4). E assim por dian te...
12. Teoremas importantes
a) A condição necessária e suficiente para que a fun ção
polinomial A seja divisível por x – � é que � seja raiz de A.
Demonstração
b) Se a função polinomial A for divisível por x – � e
por x – �, com � ≠ �, então A será também divisí vel por
(x – �) . (x – �).
Demonstração
Utilizando o resultado do problema do item ante rior,
no caso particular em que r1 = r2 = 0, concluímos que o
resto da divisão de A(x) por (x – �) . (x – �), com � ≠ �, é:
Assim sendo, se � ≠ �, tem-se:
Dos itens anteriores, conclui-se que:
c) a condição necessária e suficiente para que a fun -
ção polinomial A seja divisível por (x – �) . (x – �), com 
� ≠ �, é que � e � sejam raízes de A.
A(x) x – α
A(x) (x – α)(x – α) ⇔ 0 Q1(x) x – β
r Q(x) 0 Q(x)
A(x) x – � ⇔ A(�) = r1 (I)r1 Q1(x)
A(x) x – � ⇔ A(�) = r2 (II)r2 Q2(x)
A(x) (x – �) . (x – �) ⇔
ax + b Q(x)
⇔ A(x) � (x – �) . (x – �) . Q(x) + ax + b (III)
x = � ⇒A(�) = (� – �) . (� – �) . Q(�) + a � + b�⇒x = � ⇒A(�) = (� – �) . (� – �) . Q(�) + a � + b
A(�) = a . � + b (IV)⇒ � A(�) = a . � + b (V)
a . � + b = r1 � ⇒ (� – �) . a = r1 – r2 ⇒a . � + b = r2
r1 – r2⇒ a = –––––––, pois � ≠ �
� – �
r1 – r2 � r2 – �r1––––––– . � + b = r1 ⇒ b = ––––––––––� – � � – �
r1 – r2 � r2 – � r1R(x) = �–––––––� . x + �––––––––––�� – � � – �
A(x) x – � ⇔ r = A(�) = 0 ⇔ A(�) = 0 ⇔ � é raiz de A
0 Q(x)
0 – 0 � . 0 – � . 0
R(x) = �––––––� . x + �––––––––––––� ⇔� – � � – �
⇔ R(x) = 0 . x + 0 ⇔ R(x) � 0.
A(x) x – �
0 Q1(x) A(x) (x – a) . (x – b)� ⇔A(x) x – � 0 Q2(x)
0 Q2(x)
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18. Dividir, pelo método da chave, x4 + 2x – 3 por x2 + x + 1.
Resolução
Resposta: Q(x) = x2 – x e R(x) = 3x – 3
19. (UNESP) – Seja x um número real positivo. O volume de um
paralelepípedo reto retângulo é dado, em função de x, pelo
polinômio x3 + 7x2 + 14x + 8. Se uma aresta do paralelepípedo
mede x+1, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser
expressa por:
a) x2 – 6x + 8 b) x2 + 14x + 8 c) x2 + 7x + 8 
d) x2 – 7x + 8 e) x2 + 6x + 8 
Resolução
Se o volume do paralelepípedo reto retângulo é dado por 
x3 + 7x2 + 14x + 8, com x > 0, então, a área da face perpen -
dicular à aresta de medida x + 1 é dada por:
= x2 + 6x + 8, pois
Resposta: E
20. Dividir x3 + 2x por x4 + 3x2 – 2x + 1.
Resolução
, pois
x3 + 2x � (x4 + 3x2 – 2x + 1) . 0 + (x3 + 2x)� gr(R) = 3 < gr(B) = 4 
Resposta: Q(x) = 0 e R(x) = x3 + 2x
Obs.: Se gr(A) < gr(B), então R(x) � A(x) e Q(x) � 0
21. Dividir, pelo método de chave, 3x4 + 2x3 – 5x2 + 3x – 4 por 
x2 – 5x + 1.
Resolução
Resposta: Q(x) = 3x2 + 17x + 77 e R(x) = 371x – 81
22. Determinar a e b de modo que x4 – 3x3 + ax + b seja divisível
por x2 – 2x + 4.
Resolução
Dividindo, pelo método da chave, temos:
O resto R(x) = (a – 8) . x + (b + 24) é identicamente nulo, pois a
divisão é exata. Assim sendo:
(a – 8) . x + (b + 24) � 0 ⇔ a – 8 = 0 e b + 24 = 0 ⇔
⇔ a = 8 e b = – 24
Resposta: a = 8 e b = – 24
23. Dividir, pelo método dos coeficientes a determinar, x4 + 2x – 3
por x2 + x + 1. 
Resolução
a) A(x) = x4 + 2x – 3 e B(x) = x2 + x + 1
b) gr(R) < gr(B) ou R(x) � 0 ⇒ gr(R) < 2 ou R(x) � 0 ⇒
⇒ R(x) = ax + b
c) gr(A) > gr(B) ⇒ gr(Q) = gr(A) – gr(B) ⇒
⇒ gr(Q) = 4 – 2 ⇒ gr(Q) = 2 ⇒ Q(x) = px2 + qx + r
d) pela definição de divisão, tem-se:
⇔
⇔ x4 + 2x – 3 � (x2 + x + 1) . (px2 + qx + r) + (ax + b)
e) reduzindo e ordenando os polinômios, vem: 
x4 + 2x – 3 � px4 + (p + q)x3 + (r + q + p) x2 + (r + q + a) x + (r + b)
f) igualando-se os coeficientes, dois a dois, decorre:
⇒ ⇒ Q(x) = x2 – x
⇒ ⇒ R(x) = 3x – 3
Resposta: Q(x) = x2 – x e R(x) = 3x – 3
24. Determinar p e q de modo que o resto da divisão de x3 + px + q
por x2 – x – 2 seja igual a 4.
Resolução
Uma maneira de resolver a questão é dividir pelo método da
chave e impor, no final, a condição R(x) = 4. É o processo
utilizado no exercício anterior.
Outra maneira é dividir pelo método dos coeficientes a deter -
minar. É o que vamos utilizar na resolução deste exercício. 
x4 + 0x3 + 0x2 + 2x – 3 x2 + x + 1
– x4 – x3 – x2 x2 – x
– x3 – x2 + 2x – 3
+ x3 + x2 + x 
3x – 3x3 + 7x2 + 14x + 8
––––––––––––––––––
x + 1
1
1
7
6
14
8
8
0
– 1
x3 + 2x x4 + 3x2 – 2x + 1
x3 + 2x 0
3x4 + 2x3 – 5x2 + 3x – 4 x2 – 5x + 1
– 3x4 + 15x3 – 3x2 3x2 + 17x + 77
17x3 – 8x2 + 3x – 4
– 17x3 + 85x2 – 17x
77x2 – 14x – 4
– 77x2 + 385x – 77
371x – 81
x4 – 3x3 + 0x2 + ax + b x2 – 2x + 4
– x4 + 2x3 – 4x2 x2 – x – 6
– x3 – 4x2 + ax + b
+ x3 – 2x2 + 4x
– 6x2 + (a + 4)x + b
+ 6x2 – 12x + 24
(a – 8)x + (b + 24)
x4 + 2x – 3 x2 + x + 1
ax + b px2 + qx + r
p = 1
q = – 1
r = 0�
p = 1
p + q = 0
r + q + p = 0
r + q + a = 2
r + b = – 3
� a = 3
b = – 3�
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Assim, sendo Q(x) = x + a e R(x) = 4, temos:
⇒ x3 + px + q � (x2 – x – 2) . (x + a) + 4 ⇔
⇔ x3 + 0x2 + px + q � x3 + (a – 1)x2 + (– a – 2)x + (–2a + 4) ⇔
⇔ ⇔ ⇒ Q(x) = x + 1
Resposta: p = – 3 e q = 2
25. Achar o resto da divisão de A(x) = x3 – 2x + 2 por x – 3.
Resolução
O resto da divisão de A(x) por x – 3 é, pelo Teorema de D’Alembert,
A(3).
⇒ r = A(3)
Assim: r = A(3) = 33 – 2 . 3 + 2 = 23
Resposta: O resto da divisão é 23.
26. Achar o resto da divisão de A(x) = x4 + 2x3 – 2x + 1 por x + 2.
Resolução
O resto é A(– 2), lembrando que – 2 é raiz de x + 2 = 0.
Assim: r = A(– 2) = (– 2)4 + 2(– 2)3 – 2(– 2) + 1 = 5
Resposta: O resto da divisão é 5.
27. Achar o resto da divisão de A(x) = 2x4 + 3x2 – 7x + 3 por 2x + 4.
Resolução
O resto é A(– 2), lembrando que – 2 é a raiz de 2x + 4 = 0.
Assim: r = A(– 2) = 2 . (– 2)4 + 3 . (– 2)2 – 7 . (– 2) + 3 = 61
Resposta: O resto da divisão é 61.
28. Dividir x4 + 3x2 – 7x + 2 por x – 2 pelo método da chave.
Resolução
Resposta: Q(x) = x3 + 2x2 + 7x + 7 e R(x) = 16
29. Repetir a questão anterior, utilizando o Dispositivo Prático de
Briot-Ruffini.
Resolução
Para � = 2, que é a raiz de x – 2 = 0, tem-se:
O resto é 16 e os coeficientes de Q são 1, 2, 7, 7.
Resposta: Q(x) = x3 + 2x2 + 7x + 7 e R(x) = 16
30. Dividir 2x3 + 7x2 – 4 por x + 2.
Resolução
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini com � = – 2, que
é a raiz de x + 2 = 0, tem-se:
Resposta: Q(x) = 2x2 + 3x – 6 e R(x) = 8
31. Dividir 2x4 + 3x3 – 6x2 + 7 por 2x + 4.
Resolução
a) Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini com � = – 2,
que é a raiz de 2x + 4 = 0, tem-se:
b) O último coeficiente, – 9, já é o resto.
c) Os demais coeficientes devem ser divididos por 2, que é
coe ficiente de x no divisor 2x + 4. Os coeficientes de Q são,
pois:
1, – , – 2, 4
Resposta: Q(x) = x3 – x2 – 2x + 4 e R(x) = – 9
32. Sabendo-se que o resto da divisão de A(x) = x3 + 7x2 + ax + 1
por x – 2 é 27, determinar o valor de a.
Resolução
De acordo com o Teorema de D’Alembert, temos:
⇒ r = 27 = A(2)
Assim sendo:
A(2) = 27 ⇒ 23 + 7 . 22 + a . 2 + 1 = 27 ⇒ a = – 5
Resposta: a = – 5
33. Mostrar que o polinômio x3 – 6x2 + 9x – 4 é divisível por 
x2 – 5x + 4.
Resolução
1o. Processo
Dividir pelo método da chave e mostrar que R(x) � 0.
2o. Processo
Dividir pelo método dos coeficientes a determinar e mostrar
que R(x) � 0.
3o. Processo
Notando-se que x2 – 5x + 4 � (x – 1) (x – 4), utilizar o teorema:
“Se A é divisível por x – � e por x – �, com � ≠ �, então A é
divisível por (x – �) . (x – �).“
Resolvendo por este último processo, tem-se:
� ⇒
⇒ ⇒ A é divisível por x2 – 5x + 4
A(x) x – 3
r Q(x)
coeficientes de Q resto
1 0 3 – 7 2 2
1 2 7 7 16 
x3 + px + q x2 – x – 2
4 x + a
a = 1
p = – 3
q = 2
�a – 1 = 0– a – 2 = p
– 2a + 4 = q
�
coeficientes de Q resto
2 7 0 – 4 – 2
2 3 – 6 8
coeficientes de 2 . Q resto
2 3 – 6 0 7 – 2
2 –1 – 4 8 – 9 
1
–––
2
1
–––
2
A(x) x – 2
27 Q(x)
A(x) x – 1
0 Q1(x)
A(1) = 13 – 6 . 12 + 9 . 1 – 4 = 0 ⇒
A(x) x – 4
0 Q2(x)
A(4) = 43 – 6 . 42 + 9 . 4 – 4 = 0 ⇒
A(x) (x – 1)(x – 4)
0 Q(x)
x4 + 0x3 + 3x2 – 7x + 2 x – 2
– x4 + 2x3 x3 + 2x2 + 7x + 7
2x3 + 3x2 – 7x + 2
– 2x3 + 4x2
7x2 – 7x + 2
– 7x2 + 14x 
7x + 2
– 7x + 14
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34. O polinômio x4 + ax3 – 5x2 + b é divisível por x2 – 3x + 2.
Determinar a e b.
Resolução
Lembrando-se de que x2 – 3x + 2 � (x – 1) (x – 2), tem-se:
⇔ ⇔
⇔
⇔ A(1) = 0
⇔ A(2) = 0
Assim sendo:
A(1) = 0 ⇒ 14 + a . 13 – 5 . 12 + b = 0 � ⇔ � a + b = 4 ⇔ � a = 0A(2) = 0 ⇒ 24 + a . 23 – 5 . 22 + b = 0 8a + b = 4 b = 4
Resposta: a = 0 e b = 4
35. Sabendo-se que o polinômio x4 – 5x3 + 8x2 + ax + b é divisível
por (x – 1)2, calcular a e b. 
Resolução
O teorema utilizado nos dois exercícios anteriores não vale neste
caso, pois (x – 1)2 � (x – 1)(x – 1) é do tipo (x – �) . (x – �) com � = �.
Resolveremos a questão efetuando duas divisões sucessivas
por x – 1, pois:
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, tem-se:
a)
b)
c) Já que a divisão é exata, os restos são nulos. 
a + b + 4 = 0
Assim: � ⇔ a = – 5 e b = 1a + 5 = 0
Resposta: a = – 5 e b = 1
36. Dividindo-se a função polinomial A por x – 1, obtém-se resto 2
e, dividindo-se por x – 2, obtém-se resto 3. Calcular o resto da
divisão de A por (x – 1) . (x – 2).
Resolução
a) Pelo enunciado, tem-se:
⇒ A(1) = 2 (I)
⇒ A(2) = 3 (II)
b) O resto da divisão de A por B(x) � (x – 1) (x – 2) é do tipo 
R(x) = ax + b, pois gr(B) = 2.
c) Aplicando-se a definição de divisão, tem-se:
⇔
⇔ A(x) � (x – 1) . (x – 2) . Q(x) + ax + b (III)
d) De (III), para x = 1 e x = 2, resulta:
x = 1 ⇒ A(1) = (1 – 1) . (1 – 2) . Q(1) + a . 1 + b ⇒
⇒ A(1) = a + b (IV)
x = 2 ⇒ A(2) = (2 – 1) . (2 – 2) . Q(2) + a . 2 + b ⇒
⇒ A(2) = 2a + b (V)
e) Substituindo-se (I) e (II) em (IV) e (V), 
a + b = 2� ⇔ a = 1 e b = 12a + b = 3
Resposta: O resto da divisão é R(x) = x + 1.
37. Dividir xn – an por x – a, com n � �*.
Resolução
Utilizando o Dispositivo de Briot-Ruffini, tem-se:
Resposta: 
38. Dividir xn + an por x – a, com n � �*.
Resolução
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, tem-se:
Resposta: 
39. Dividir xn + an por x + a, com n � �*.
Resolução
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:
Resposta: 
Sendo r = 0 se n for ímpar, e r = 2an se n for par.
A(x) x2 – 3x + 2
0 Q(x)
A(x) (x – 1)(x – 2)
0 Q(x)
�
A(x) x – 1
0 Q1(x)
A(x) x – 2
0 Q2(x)
A(x) (x – 1)2 ⇔ A(x) x – 1 
0 Q(x) 0 Q1(x) x – 1
0 Q(x)
coeficientes de Q1 resto
1 – 5 8 a b 1
1 – 4 4 a + 4 a + b + 4 
coeficientes de Q resto
1 – 4 4 a + 4 1
1 –3 1 a + 5
A(x) x – 1
2 Q1(x)
A(x) x – 2
3 Q2(x)
A(x) (x – 1)(x – 2)
ax + b Q(x)
coeficientes de Q resto
1 0 0 0 … 0 – an a
1 a a2 a3 … an – 1 0 
n – 1 zeros
xn – an x – a
0 xn – 1 + a . xn – 2 + a2 . xn – 3 + ... + an – 2 . x + an – 1
coeficientes de Q resto
1 0 0 0 … 0 an a
1 a a2 a3 … an – 1 2an
n – 1 zeros
xn + an x – a
2an xn – 1 + a . xn – 2 + a2 . xn – 3 + ... + an – 2 . x + an – 1
coeficientes de Q resto
1 0 0 0 … 0 an –a
1 – a a2 – a3 … (– a)n – 1 (– a)n + an
n – 1 zeros
xn + an x – a
r xn – 1 – a . xn – 2 + a2 . xn – 3 + ... + (– a)n – 1
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40. (UESPI) – O resto da divisão do polinômio P(x) = x4 + 69 por 
x2 + 4x + 8 é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
41. (UFGO) – Na divisão do polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d pelo
polinômio D(x) = x2 + 1, encontra-se para quociente o polinômio
Q(x) = 2x – 1 e para resto o polinômio R(x) = x + 1. Então P(x) é
o polinômio
a) x3 – x2 + x + 1 b) 2x3 – x2 + 1 c) 2x3 – x2 – x + 1
d) 2x3 – x2 + 3x e) x3 – x2 – 1
42. (FGV) – Dividindo o polinômio P(x) por x2 + x – 1, obtêm-se
quociente igual a x – 5 e resto igual a 13x + 5. O valor de P(1) é:
a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 14
43. (FEI) – O valor de m para que o resto da divisão de 
p(x) = 2x5 – 4x3 + mx – 3 por x – 2 seja igual a 33 é:
a) m = 1 b) m = 2 c) m = 3
d) m = 4 e) m = 5
44. (MACKENZIE)
Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da divisão acima,
se r(4) = 0, Q(1) vale
a) 1 b) – 3 c) – 5 d) – 4 e) 2
45. (UEL) – Sabe-se que na divisão do polinômio f = x3 – 2x2 + kx + t
por g = x2 – x + 1, obtém-se resto 3x – 2. Nessas condições,os
números reais k e t são tais que k – t é igual a:
a) 8 b) 4 c) 2 d) – 2 e) – 8
46. (FGV) – Sabendo-se que o resto da divisão do polinômio 
P(x) = x3 – x2 + 2k + 2 por x – 3 é igual a 4k – 220, o valor de k é
a) – 4 b) – 2 c) 2 d) 3 e) 4
47. (FGV) – Se x2 – x – 1 é um dos fatores da fatoração de 
mx3 + nx2 + 1, com m e n inteiros, então, n + m é igual a
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
48. (FMABC) – O resto da divisão do polinômio
f = � � por g = x2 – 1 é
a) 6x – 3 b) 6x + 3 c) 3x – 6
d) 6x e) – 3
49. (UEL) – Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 – 2x2 – 4x – 21 por 
x + 3, obtêm-se:
a) x3 – 2x2 + x – 12 com resto nulo
b) x3 – 2x2 + 3 com resto 16
c) x3 + x2 – 13x + 35 e resto 84
d) x3 + x2 – 3x + 1 com resto 2
e) x3 – x2 + x – 7 e resto nulo
50. O resto da divisão do polinômio p(x) = 2x4 – 3x + 1 por g(x) = 2x – 1
é:
a) b) – c) d) – e)
51. (UEL) – Se o resto da divisão do polinômio p = x4 – 4x3 – kx – 75
por (x – 5) é 10, o valor de k é:
a) – 5 b) – 4 c) 5 d) 6 e) 8
52. (PUCCAMP) – Dividindo-se um polinômio f por g = x2 – 1,
obtêm-se quociente q = 2x + 1 e resto r = kx – 9, sendo k � �.
Se f é divisível por x – 2, então k é igual a
a) 6 b) 3 c) – 1 d) – 3 e) – 6
53. (MACKENZIE) – Um polinômio p(x) tem resto A, quando
dividido por (x – A), e resto B, quando dividido por (x – B), sendo
A e B números reais. Se o polinômio p(x) é divisível por 
(x – A).(x – B), então:
a) A = B = 0 b) A = B = 1
c) A = 1 e B = – 1 d) A = 0 e B = 1
e) A = 1 e B = 0
54. (FGV) – Dividindo o binômio P(x) = 3x101 + 1 pelo binômio 
D(x) = x2 – 1, obtemos como resto o binômio R(x) = ax + b.
Determine os coeficientes a e b do binômio R(x).
55. Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x – 1, obtêm-se quociente 
x2 – x e resto m. Se p(– 1) = 0, então o valor de m é:
a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6
56. O polinômio P(x) = x5 + ax4 – bx é divisível por x – 2. Dividido
por x + 2, dá resto 8. Então, o valor de b é:
a) b) – 18 c) 18 d) – e) 12
57. (FUVEST) – O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, em que a e b são
números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e 
x – 1, respectivamente. Assim, o valor de a é
a) – 6 b) – 7 c) – 8 d) – 9 e) – 10
58. Para que o polinômio x3 – 6x2 + mx + n seja divisível por (x – 1) (x – 2),
o produto mn deve ser igual a:
a) 2 b) – 66 c) – 2 d) 66 e) 0
59. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio 
x4 – 12x3 + 47x2 + mx + n seja divisível por x2 – 7x + 6. Então 
m + n é igual a:
a) 72 b) 0 c) – 36 d) 36 e) 58
60. (UNESP) – Considere o polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d, em
que b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por
definição, o polinômio p’(x) = 3x2 + 2bx + c. Se p’(1) = 0, 
p’(–1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x – 1 é 2, então o
polinômio p(x) é:
a) x3 – x2 + x + 1 b) x3 – x2 – x + 3
c) x3 – x2 – x – 3 d) x3 – x2 – 2x + 4
e) x3 – x2 – x + 2 
2
––
5
3
––
8
3
––
8
4
––
5
4
––
5
x2 – 4
Q(x)
ax4 + 5x2 – ax + 4
r(x)
x – 1
– 3
– 2
0
x – 1
– 1
1
0
x – 1
1
––
4
1
––
4
Livro 3_Matematica_2023_ROSE 04/07/2022 12:14 Página 16
17
61. (UNESP) – Se x0 = – 2 é um zero de p(x) = x
3 + 5x2 + kx – 1,
sendo k uma constante, então p(x) é divisível por
a) 2x2 + 6x – 1 b) 2x2 + 6x + 1 c) x2 + 3x – 1 
d) x2 + 3x e) x2 + 1
62. (FUVEST) – Seja p(x) um polinômio divisível por x – 3. Dividindo
p(x) por x – 1, obtemos quociente q(x) e resto r = 10. O resto da
divisão de q(x) por x – 3 é:
a) – 5 b) – 3 c) 0 d) 3 e) 5
63. (MACKENZIE) – Um polinômio p(x), de grau maior que 1, deixa
resto 1, quando dividido por x – 2, e deixa resto 2, quando divi -
di do por x – 3. O resto da divisão de p(x) por x2 – 5x + 6 é
a) x b) 2x + 1 c) 2x d) x – 1 e) 2 
64. (MACKENZIE) – Se R(x) é o resto da divisão 
(x80 + 3x79 – x2 – x – 1) ÷ (x2 + 2x – 3), então R(0) vale:
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2
65. (FUVEST) – Considere P(x) um polinômio de grau ≥ 2 tal que 
P(1) = 2 e P(2) = 1. Sejam D(x) = (x – 2) (x – 1) e Q(x) o quociente
da divisão de P(x) por D(x).
a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x).
b) Sabendo-se que o termo independente de P(x) é igual a 8,
determine o termo independente de Q(x).
66. (UNIF) – O resto da divisão de f(x) = xn + an por g(x) = x + a,
sendo n par, é
a) 0 b) an c) an d) 2an e) 4an
67. (UNESP) – O polinômio P(x) = a . x3 + 2 . x + b é divisível por 
x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto – 45. Nessas
condições, os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4. b) 1 e 12. c) –1 e 12.
d) 2 e 16. e) 1 e –12.
68. (FUVEST) – Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2 – 3x + 1,
obtém-se quociente 3x2 + 1 e resto – x + 2. Nessas condições,
o resto da divisão de p(x) por x – 1 é:
a) 2 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 2
69. (FGV) – Considere a função y = f(x), tal que:
f(x) = x3 – 2x2 – x + 2
cujo gráfico está representado na figura abaixo.
Determine o conjunto solução da inequação
0 ≤ x3 – 2x2 – x + 14 ≤ 12.1
––
2
8) P(m) = 2m3 + 4m2 + 6m
9) E
10) C
11) B
12) C
13) E
14) gr(q) = 3 e 
0 ≤ gr(r) < n – 1,
n � �*, n ≥ 2
15) E
16) A
17) a)
b) A = , B = , 
C = – e D = –
40) D
41) D
42) E
43) B
44) C
45) A
46) E
47) B
48) A
49) E
50) D
51) E
52) D
53) A
54) a = 3 e b = 1
55) E
56) C 
57) A
58) B
59) C
60) B
61) A
62) A
63) D
64) B
65) a) – x + 3 b) 
66) D
67) E
68) B
69) – 2 ≤ x ≤ – 1 ou 1 ≤ x ≤ 2
�
A + D = 0
B + C + 2D = 0
4A + 2C + 2D = 0
4B + 2C = 1
1
–––
10
3
–––
10
1
–––
10
1
–––
10
5
–––
2
Livro 3_Matematica_2023_ROSE 04/07/2022 11:42 Página 17
18
1. Definição
Equação algébrica 
Equação algébrica ou equação polinomial é toda
sentença aberta do tipo P(x) = Q(x), em que P e Q são
funções polinomiais.
Exemplo
Sendo P(x) = x3 – 3x2 e Q(x) = x – 3, a sentença
aberta x3 – 3x2 = x – 3 é uma equação algébrica.
Raiz de uma equação algébrica 
O número r � � é raiz da equação P(x) = Q(x) se,
e somente se, P(r) = Q(r).
Exemplo
O número 1 é raiz da equação x3 – 3x2 = x – 3, pois: 
P(1) = 13 – 3 . 12 = 1 – 3 = – 2
� ⇒ P(1) = Q(1)
Q(1) = 1 – 3 = – 2
Conjunto Solução
Conjunto solução ou conjunto verdade de uma equa -
ção algébrica é o conjunto de todas, e somente, as raízes
da equação. Representa-se por S ou V. Simboli camente,
V = {r � � 
 P(r) = Q(r)}.
Resolver uma equação é obter o seu conjunto ver -
dade.
Exemplo
O conjunto verdade de x3 – 3x2 = x – 3 é V = {–1; 1; 3}
Equações equivalentes
Duas equações algébricas são equivalentes se, e
somente se, seus conjuntos verdades são iguais.
Exemplo
A equação x3 – 3x2 = x – 3 e a equação x3 – 3x2 – x + 5 = 2
são equivalentes, pois ambas têm conjunto verdade
V = {–1; 1; 3}.
2. Redução à forma F(x) = 0
Propriedades
a) A equação algébrica P(x) = Q(x) é equivalente à
equação P(x) + A(x) = Q(x) + A(x), qualquer que seja a
função polinomial A.
O significado desta propriedade é: podemos transpor
um termo de um membro para outro, trocando o sinal do
coeficiente, sem mudar o conjunto verdade.
Exemplo
A equação x2 – x + 9 = 3x + 6 é equivalente à
equação x2 – 4x + 3 = 0, pois:
x2 – x + 9 = 3x + 6 ⇔
⇔ (x2 – x + 9) + (– 3x – 6) = 3x + 6 + (– 3x – 6) ⇔
⇔ x2 – x + 9 – 3x – 6 = 3x + 6 – 3x – 6 ⇔
⇔ x2 – 4x + 3 = 0
b) A equação algébrica P(x) = Q(x) é equi valente à
equação k . P(x) = k . Q(x), qualquer que seja k � �*.
O significado desta propriedade é: podemos mul -
tiplicar ambos os membros de uma equação por um
número, diferente de zero, sem alterar o seu conjunto
verdade.
Exemplo
x 1
A equação x2 – ––– + ––– = 2 é equivalente à 
2 3
equação 6x2 – 3x – 10 = 0, pois:
x 1 x 1
x2 – ––– + ––– = 2 ⇔ 6 . �x2 – ––– + –––� = 6 . 2 ⇔
2 3 2 3
⇔ 6x2 – 3x + 2 = 12 ⇔
⇔ (6x2 – 3x + 2) + (– 12) = 12 + (– 12) ⇔
⇔ 6x2 – 3x + 2 – 12 = 12 – 12 ⇔
⇔ 6x2 – 3x – 10 = 0 
2ÁlgebraEquações algébricas
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Redução
Das propriedades anteriores, concluímos que toda
equa ção algébrica P(x) = Q(x) é redutível à forma F(x) = 0,
em que F é uma função polinomial. Toda equação
algébrica pode, portanto, ser colocada na forma:
Nesta redução,podemos ter os seguintes casos:
a) 
A equação é do tipo 0 . xn + 0 . xn–1 + ... + 0 . x + 0 = 0,
que é uma sentença verdadeira, qualquer que seja x
complexo. Logo: 
b)
A equação é do tipo 0 . xn + 0 . xn–1 + ... + 0 . x + k = 0,
que é uma sentença falsa, qualquer que seja x complexo.
Logo:
c) 
A equação é ax + b = 0. Sendo ax + b = 0 ⇔ ax = –b ⇔
⇔ x = – , concluímos que 
d) 
A equação é ax2 + bx + c = 0. Sendo, de acordo com
a fórmula de resolução de equações do 2.o grau, 
ax2 + bx + c = 0 ⇔
⇔ x = , com Δ = b2 – 4ac, concluímos que
e) 
As raízes das equações do terceiro e do quarto grau
podem ser obtidas, ainda, com auxílio de fórmulas gerais;
estas “fórmulas resolutivas” são, porém, extremamente
trabalhosas. 
f)
Para equações de grau maior que quatro, não existem
“fórmulas resolutivas”.
Conclusão
Por ser impossível resolver qualquer equação al -
gébrica por processos gerais de aplicação de fórmulas,
abandonaremos a ideia do uso “fórmulas resolutivas” e
passaremos a apresentar teoremas válidos para qualquer
equação algébrica.
Esses teoremas possibilitam, muitas vezes, a reso -
lução das equações ou fornecem, ao menos, informações
úteis na obtenção das raízes de uma equação. Na apre -
sen tação dos teoremas, excluiremos os casos F(x) � 0 e 
F(x) = k ≠ 0 e consideraremos, portanto, as equações
algébricas do tipo F(x) = 0 com gr(F) ≥ 1.
3. Teorema fundamental 
da álgebra (TFA)
Aceitaremos este teorema sem demonstração e nos
li mi taremos aos seguintes comentários e exemplos:
a) O TFA assegura, tão somente, a existência de pelo
menos uma raiz; não mostra como calculá-la e nem qual
o número de raízes de uma equação algébrica.
b) O teorema é válido em � e não é válido em �.
Significa dizer que uma equação algébrica pode ou não
ter raiz em �, mas sempre terá em � pelo menos uma
raiz.
c) A equação x2 + 1 = 0, por exemplo, não tem ne -
nhuma raiz real. Admite, porém, no campo complexo os
números i e – i como raízes.
4. Teorema da decomposição
Teorema
A menos da ordem dos fatores, tal decomposição é
única.
F(x) = k ≠ 0
V = �
F(x) = a0 x
n + a1 x
n–1 + a2 x
n–2 + ...+ an–1 x+ an = 0
F(x) � 0
V = Ø
F(x) = ax + b, com a ≠ 0
b
V = �– –––�a
b
–––
a
– b ± ���Δ
–––––––––
2a
F(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0
– b + ���Δ – b – ���Δ
V = �––––––––––; ––––––––––�2a 2a
gr(F) = 3 ou gr(F) = 4
gr(F) > 4
Toda equação algébrica, de grau estri ta men te 
posi tivo, admite no campo complexo pelo menos
uma raiz.
Toda função polinomial de grau estritamente positivo
F(x) = a0 x
n + a1 x
n–1 + a2 x
n–2 + ... + an–1 x + an,
com a0 ≠ 0, pode ser decomposta e fatorada na
forma:
F(x) = a0 . (x – r1) . (x – r2) . ... . (x – rn)
em que r1, r2, ... , rn são as raízes de F.
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Demonstração
De acordo com TFA, a equação F(x) = 0 tem pelo
menos uma raiz r1. Se r1 é raiz de F, então, pelo Teorema
de D’Alembert, F é divisível por x – r1. Assim:
portanto, podemos escrever:
(I)
F1 é uma função polinomial de grau n – 1 e coe ficiente
inicial a0. Se n = 1, o teorema está demonstrado, pois 
F1 (x) = a0 e de (I) decorre F(x) = a0 . (x – r1).
Se n > 1, então n – 1 > 0 e a equação F1 (x) = 0 tem,
pelo TFA, pelo menos uma raiz r2. Se r2 é raiz de F1,
então F1 é divisível por x – r2. Assim:
portanto F1 (x) = (x – r2) . F2(x).
Substituindo-se este valor de F1(x) em (I), resulta:
(II) 
F2 é uma função polinomial de grau n – 2 e coe ficiente
inicial a0.
Se n = 2, o teorema está demonstrado, pois F2(x) = a0
e de (II) decorre F(x) = a0(x – r1) (x – r2).
Se n > 2, então n – 2 > 0 e a equação F2(x) = 0 tem,
pelo TFA, pelo menos uma raiz r3, e assim por diante.
Após n aplicações sucessivas do TFA, atingimos 
F(x) = (x – r1) . (x – r2) . ... . (x – rn) . Fn(x), em que
Fn é uma função polinomial de grau n – n = 0 e coefi -
ciente inicial a0. 
Assim, Fn(x) = a0, portanto:
Observações
a) A forma fatorada da função polinomial F,
F(x) = a0 (x – r1) . (x – r2) ... (x – rn), mostra que a equa -
ção F(x) = 0 tem no máximo n raízes, e não exatamente
n, pois não sabemos se os números r1, r2, r3, ..., rn são
todos distintos dois a dois.
b) O TFA e o teorema da decomposição permitem
concluir que toda equação algébrica F(x) = 0, de grau
es tritamente positivo, admite no campo complexo
pelo menos uma raiz e no máximo n raízes (distintas).
5. Relações de Girard
Seja a função polinomial
F(x) = a0 . x
n + a1 . x
n–1 + a2 . x
n–2 +...+ an–1 . x + an,
com a0 ≠ 0 e n ≥ 1.
De acordo com o teorema da decomposição, pode -
mos escrever F(x) = a0 . (x – r1) . (x – r2) . … . (x – rn).
Usando-se a propriedade distributiva, reduzindo-se
os ter mos semelhantes e, em seguida, ordenando-se o
polinômio, tem-se:
Igualando-se dois a dois os coeficientes deste último
polinômio, respectivamente, com os coeficientes iniciais
a0, a1, a2, ..., an, obtêm-se n relações entre as raízes e os
coeficientes de F. São chamadas Relações de Girard e
são as seguintes:
F(x) = (x – r1) . F1 (x)
F(x) = (x – r1) . (x – r2) . F2(x)
F(x) = a0 . (x – r1) . (x – r2) . ... . (x – rn)
F(x) = a0 . x
n – a0(r1 + r2 +...+rn). x
n – 1 +
+ a0 (r1r2 + r1r3 + …) x
n – 2 + ...
a1
r1 + r2 + r3 + ... + rn = – –––a0
a2
r1 r2 + r1 r3 + ... + rn–1 . rn = + –––a0
a3
r1 r2 r3 + r1 r2 r4 + ... + rn–2 . rn–1 . rn = – –––a0... an
r1 . r2 . r3 . ... . rn = (– 1)
n . ––––
a0
F(x)
a0 . x
n + a1 . x
n – 1 + … + an – 1 . x + an x – r1
0 a0 . x
n – 1 + …
F1(x)
F1(x)
a0 . x
n – 1 + ...................... x – r2
0 a0 . x
n – 2 + …
F2(x)
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Relações de Girard para uma 
equação de grau 2 
Se as raízes da equação a0 x
2 + a1 x + a2 = 0 forem 
r1 e r2, então:
Relações de Girard para uma 
equação de grau 3
Se as raízes da equação a0 x
3 + a1 x
2 + a2 x + a3 = 0
forem r1, r2 e r3, então:
Relações de Girard para uma 
equação de grau 4 
Se as raízes da equação 
a0x
4 + a1x
3 + a2x
2 + a3 x + a4 = 0 forem r1, r2, r3 e r4, en tão:
Observação
As n Relações de Girard são insuficientes para calcu -
lar as n raízes r1, r2, ..., rn, pois, apesar de se tratar de um
sistema de n equações com n incógnitas, ao resolvê-lo
sempre recaímos na equação de grau n, origina riamente
dada. Verifique este fato para uma equação de grau 2.
Por esta razão, normalmente, ao se perguntar qual o
conjunto verdade de uma equação, são dadas, juntamente
com a equação, algumas “relações auxiliares” para suas
raízes. As Relações de Girard, juntamente com estas “re -
lações auxiliares”, tornam-se suficientes para determinar
o conjunto verdade.
a1
r1 + r2 = – ––––a0� a2r1 . r2 = + ––––a0
a1
r1 + r2 + r3 = – –––a0
a2
r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 = + –––� a0a3
r1 . r2 . r3 = – –––a0
a1
r1 + r2 + r3 + r4 = – –––a0
a2r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4 = + –––a0
a3r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4 = – –––a0
a4r1 . r2 . r3 . r4 = + –––a0
1. Determinar a sabendo-se que 2 é raiz da equação
x4 – 3x3 + 2x2 + ax – 3 = 0.
Resolução
Se 2 é raiz da equação, então:
24 – 3 . 23 + 2 . 22 + a . 2 – 3 = 0
e daí 16 – 24 + 8 + 2a – 3 = 0 ⇔ 2a – 3 = 0 ⇔ a = 3/2
Resposta: a = 3/2 
2. Obter uma equação do terceiro grau cujas raízes são 2, 1, – 2.
Resolução
O polinômio na forma fatorada é
F(x) = a0 (x – r1) (x – r2) (x – r3); portanto,
F(x) = a0(x – 1) (x – 2) (x + 2) = a0 (x
3 – x2 – 4x + 4)
As equações são do tipo a0 (x
3 – x2 – 4x + 4) = 0, com a0 ≠ 0.
Uma delas é x3 – x2 – 4x + 4 = 0
Resposta: Uma das equações é x3 – x2 – 4x + 4 = 0.
3. Resolver a equação x4 – 5x2 – 10x – 6 = 0, sabendo-se que duas
de suas raízes são –1 e 3.
Resolução
Se –1 e 3 são raízes de F(x) = 0, então F é divisível por (x + 1)(x – 3).
Lembrando-se de que
Portanto, F(x) = x4 – 5x2 – 10x – 6 � (x + 1) . (x – 3) . (x2 + 2x + 2)
As raízes da equação x2 + 2x + 2 = 0 são x = = –1 ± i
Assim sendo, as raízes da equação x4 – 5x2 – 10x – 6 = 0 
são – 1, 3, – 1 + i, – 1 – i
Resposta: V = {– 1; 3; – 1 + i; – 1 – i}
1 0 – 5 – 10 – 6 –1
1 – 1 – 4 – 6 0 3
1 2 2 0 
F(x) (x + 1)(x – 3) ⇔ F(x) x + 1 
0 Q(x) 0 Q1(x) x – 3
0 Q(x)
coeficiente de Q
–2 ± 2i
––––––––
2
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4. Resolver a equação x3 – 3x2 – x + 3 = 0, sabendo-se que a soma
de duas raízes é zero.
Resolução
Sendo V = {r1, r2, r3} o conjunto verdade da equação, temos:
Relações de Girard �
Relação auxiliar: r1 + r2 = 0 (IV)
Substituin do (IV) em (I), temos:
0 + r3 = 3 ⇒ r3 = 3
Sendo r3 = 3 e r1 + r2 = 0, de (III) e (IV), resulta:
r1 . r2 = – 1� ⇔ r1 = – 1 e r2 = +1r1 + r2 = 0
Resposta: O conjunto verdade da equação é {–1; 1; 3}.
5. Sabendo-se que 1 é raiz da equação x3 – 2x2 + ax + 6 = 0,
determi nar a e as demais raízes da equação.
Resolução
a) Se 1 é raiz da equação, então 13 – 2 . 12 + a . 1 + 6 = 0; por -
tanto, a = – 5 e a equação é x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0.
b) Para achar as demais raízes, pode-se repetir o exercício ante -
rior, usando-se como relação auxiliar r1 = 1 ou então fatorar
a equação, pois, se 1 é raiz, então o polinômio é divisível por 
x – 1.
Resolvendo-se por este último processo, temos:
⇔ x3 – 2x2 – 5x + 6 � (x – 1) . (x2 – x – 6)
As raízes de x2 – x – 6 = 0 são –2 e 3.
Resposta: a = – 5 e as demais raízes são – 2 e 3.
6. Determinar a soma dos quadrados das raízes da equação
x3 + mx2 + nx + p = 0.
Resolução
Se o conjunto verdade da equação é {a, b, c}, devemos calcular 
a2 + b2 + c2.
Pelas Relações de Girard, temos:
a + b + c = – m (I)
� ab + ac + bc = n (II)
abc = – p (III)
Substituindo (I) e (II) em (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc),
temos:
(– m)2 = a2 + b2 + c2 + 2 . n e daí a2 + b2 + c2 = m2 – 2n
Resposta: A soma dos quadrados das raízes é m2 – 2n. 
7. As raízes da equação 2x3 – 5x2 – (m – 1)x + 3 = 0 são x1, x2, x3
e verificam a relação x1 + x2 = 4x3. Determinar m.
Resolução
Pela 1a. Relação de Girard, temos:
x1 + x2 + x3 = – ⇒ x1 + x2 + x3 = (I)
Pelo enunciado, temos x1 + x2 = 4x3 (II)
De (I) e (II), resulta x3 = .
Sendo uma raiz de 2x3 – 5x2 – (m – 1)x + 3 = 0, então:
2 .
3
– 5 .
2
– (m – 1) . + 3 = 0 ⇔
⇔ – – + + 3 = 0 ⇔ – = 0 ⇔ m = 5
Resposta: m = 5
8. Determine as raízes de x3 – 2x2 + 2x – 1 = 0, sabendo-se que 
x0 = 1 é uma raiz.
Resolução
x0 = 1 é raiz de P(x) = x
3 – 2x2 + 2x – 1 ⇔ P(x) é divisível por 
(x – 1).
Para dividir P(x) por (x – 1), usaremos o Dispositivo de 
Briot-Ruffini, como se segue:
Logo:
Assim, as demais raízes de P(x) são as raízes de x2 – x + 1 = 0,
ou seja:
x =
Resposta: V = 1; + i; – i
9. Dada a equação x3 – 2x2 + 2x – 1 = 0, mostre, que se r for uma
raiz, então também o será.
Resolução
Seja P(x) = x3 – 2x2 + 2x – 1
Se x = r é raiz da equação dada, então:
P(r) = 0 ⇒ r3 – 2r2 + 2r – 1 = 0 (I)
Cálculo de P :
P =
3 
– 2
2
+ 2 – 1 ⇔
⇔ P = – + – 1⇔ P = ⇔
⇔ P =
De acordo com (I), tem-se:
P = ⇔ P = 0 ⇔ é raiz da equação dada.
r1 + r2 + r3 = 3 (I)
r1 . r2 + r1 . r3 + r2 r3 = – 1 (II)
r1 . r2 . r3 = – 3 (III)
1 – 2 – 5 6 1
1 – 1 – 6 0
⇒ ⇔x
3 – 2x2 – 5x + 6 x – 1 
0 x2 – x – 6
5
–––
2
a1
–––
a0
1
––
2
1
––
2
1
––
2�
1
––
2��
1
––
2�
m
––
2
5
––
2
1
––
2
m
––
2
5
––
4
1
––
4
1 – 2 2 – 1 1
1 – 1 1 0 
P(x) x – 1 ⇒ P(x) = (x – 1)(x2 – x + 1)
0 x2 – x + 1 
1 ± ���3 i
–––––––––
2
����3––––2
1
–––
2
���3
––––
2
1
–––
2�
1
–––
r
�1––r�
�1––r��
1
––
r��
1
––
r��
1
––
r�
1 – 2r + 2r2 – r3
––––––––––––––
r3
�1––r�
2
––
r
2
–––
r2
1
–––
r3
�1––r�
– (r3 – 2r2 + 2r – 1)
–––––––––––––––––––
r3
�1––r�
1
––
r�
1
––
r�
– 0
––––
r3
�1––r�
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23
Utilize as informações a seguir para as questões 10 e 11
Considere o polinômio dado por:
p(x) = x3 − x2 − 22x + 40.
A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, dada por 
f(x) = � · p(x), em que � é um número real.
10. (INSPER) – O valor de � é
a) 0,05 b) 0,5 c) 2 d) 5 e) 20
Resolução
Pelo gráfico, temos f(0) = 2. Assim,
f(0) = � . p(0) = � . (03 – 02 – 22 . 0 + 40) = 40� = 2
Desta forma, � = = = 0,05.
Resposta: A
11. (INSPER) – A diferença entre a maior e a menor raiz de p(x) é igual a
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Resolução
Pelo gráfico, 2 é uma das raízes do polinômio p(x). Pelo
Dispositivo Prático de Briott-Rufini, temos:
, resulta que
p(x) = (x – 2)(x2 + x – 20) = 0 ⇔ x – 2 = 0 ou
x2 + x – 20 = 0 ⇔ x = 2, x = – 5 ou x = 4
As raízes de p(x) = 0 são 2, 4 e – 5, e a diferença entre a maior
e a menor raiz é 4 – (– 5) = 9.
Resposta: E
12. (UNICAMP) – Considere o polinômio cúbico p(x) = x3 + x2 – ax – 3,
em que a é um número real. Sabendo que r e – r são raízes reais
de p(x) , podemos afirmar que p(1) é igual a
a) 3 b) 1 c) -2 d) -4
Resolução
Se {α, r, – r} � � for o conjunto solução da equação 
x3 + x2 – ax – 3 = 0, então:
I) α + r + (– r) = – 1 ⇔ α = – 1
II) Como – 1 é uma das raízes, então
– 1 + 1 + a – 3 = 0 ⇔ a = 3
III) Para a = 3, tem-se 
p(x) = x3 + x2 – 3x – 3 e p(1) = 1 + 1 – 3 – 3 = – 4
Resposta: D
1
–––
20
2
–––
40
1 – 1 – 22 40 2
1 1 – 20 0
13. (FGV) 
a) Determine o menor número real cuja soma com o próprio
quadrado é igual ao próprio cubo.
b) Determine o valor de W = + , sendo r e s as 
raízes da equação ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0; c ≠ 0.
14 (PUCCAMP) – Sobre as raízes da equação 3x3 – 5x2 – 2x = 0, é
verdade que
a) são todas inteiras b) a menor delas é – 2
c) a maior delas é d) somente uma delas é irracional
e) somente uma delas é estritamente negativa
15. Determinar o polinômio do 3o. grau que se anula para x = 1 e que,
dividido por x + 1, x – 2 e x + 2, dá restos iguais a 6.
16. Se P(x) = x3 + ax + b, em que a e b são números reais e – 1, 2,
c são raízes do polinômio P(x), então c é igual a:
a) 0 b) – 1 c) 3 d) 1 e) – 3
17. (FUVEST) – O polinômio p(x) = x3 – x2 + x + a é divisível por 
x – 1. Determine todas as raízes complexas de p(x).
18. (PUC) – Se 2 é a única raiz real da equação x3 – 4x2 + 6x – 4 = 0,
então, relativamente às demais raízes dessa equação, é verdade
que são números complexos
a) cujas imagens pertencem ao primeiro e quarto quadrantes
do plano complexo.
b) que têm módulos iguais a 2.
c) cujos argumentos principais são 45° e 135°.
d) cuja soma é igual a 2i.
19. (MACKENZIE) – Sejam P (x) = 2x3 – 11x2 + 17x – 6 um
polinômio do 3o. grau e 2x – 1 um de seus fatores. A média
aritmética das raízes de P (x) é
a) b) c) d) e)
20. (FGV) – Considere o polinômio P(X) tal que P = x2 + x + 1. 
A soma de todas as raízes da equação P(3x) = 7 é igual a
a) b) c) 0 d) e)
2
––
3
1
–––
s2
1
–––
r2
7
–––
2
8
–––
2
9
–––
2
10
–––
2
11
–––
6
x�––�3
5
–––
3
5
–––
9
1
– –––
3
1
– –––
9
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24
21. (FGV) – A equação polinomial 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0 tem o
conjunto solução S = {a, b, c}. Pode-se afirmar que o valor de 
(a + 1)(b + 1)(c + 1) é:
a) –7 b) – 5 c) – 6 d) – 4 e) – 8
22. (MACKENZIE) – A equação 2x3 + 3x2 – 3x – 2 = 0 tem como
raízes – , m e n. Então, mn é igual a
a) – 1 ou 0 b) – ou 2 c) – 2 ou – 1
d) ou – e) – 2 ou 1
23. (MACKENZIE) – Se o polinômio p(x) = x3 + 3x2 + a – 2b é
divisível por (x – a)2 . (x – b), então o produto dos números reais
a e b é:
a) – 2 b) 4 c) – 3 d) 2 e) 3
24. (FGV) – A equação polinomial x3 + 12x2 – 96x – 512 = 0 tem
raízes reais em progressão geométrica quando colocadas em
ordem crescente de seus valores absolutos. A razão dessa
progressão geométrica é:
a) – 2 b) – 3,5 c) – 4 d) – 3 e) – 2,5
25. (FGV) – A equação algébrica ax3 + bx2 + cx + d = 0 possui
coeficientes reais a, b, c, d, todos não nulos. Sendo x1, x2 e x3
as raízes dessa equação, então + + 
–1
é igual a
a) – b) – c) – d) – e) –
26. (UEL) – Uma das raízes do polinômio x3 + 2x2 – 7x – 2 é 2. O
produto das outras raízes é:
a) 2 b) 1 c) 0 d) –1 e) – 2
27. (MACKENZIE) – Se na figura temos o esboço do gráfico da
função y = p(x) = x3 + ax2 + bx + c , a soma das raízes de p(x)
é:
a) 2 b) – 3 c) – d) e) 
28. (UFCE) – Sabendo-se que asraízes do polinômio 
P(x) = x3 – 18x2 + 8x + 384 estão em progressão aritmética,
determinar a maior delas.
29. (FATEC) – Se o polinômio P(x) = 2x3 – 5x2 – 28x + 15 pode ser
fatorado na forma (2x – 1) . (x + 3) . (x – k), então o valor de k é:
a) 5 b) – 5 c) 10 d) 15 e) – 15
30. (FGV) – Observe o gráfico da função f no plano cartesiano.
Entre as expressões apresentadas nas alternativas a seguir, a
única que pode corresponder à lei da função f é
a) f(x) = (x – 1)2 · (x – 2)2
b) f(x) = (x – 1)2 · (x – 2)2 · (x + 1) · (x + 2)
c) f(x) = (x2 – 1) · (x2 – 4)
d) f(x) = (x2 – 1) · (x2 – 4) · (x – 1)
e) f(x) = (x2 – 1) · (x2 – 4) · (x + 1)
31. (UNICAMP) – Considere o polinômio p(x) = x3 – x2 + ax – a, em
que a é um número real. Se x = 1 é a única raiz real de p(x),
então podemos afirmar que 
a) a < 0 b) a < 1 c) a > 0 d) a > 1 
32. (UNICAMP) – Seja (a, b, c, d) uma progressão geométrica (PG)
de números reais, com razão q � 0 e a � 0.
a) Mostre que x = −1/q é uma raiz do polinômio cúbico 
p(x) = a + bx + cx2 + dx3.
b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema
linear nas variáveis x e y,
. = .
Determine para que valores da razão q esse sistema tem
solução única.
5
–––
2
8
–––
5
4
–––
3
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
�1–––x3
1
–––
x2
1
–––
x1�
d
––
a
c
––
d
d
––
c
b
––
a
a
––
b
e
f
x
y�
a
d
c
b� � ���
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25
33. (VUNESP) – Se as raízes do polinômio p(x) = x3 – 6x2 + kx – 6
são reais e estão em progressão aritmética, o valor de k é:
a) 0 b) 2 c) 3 d) 5 e) 11
34. (INSPER) – No plano complexo desenhado abaixo, os pontos 
P, Q e R representam os afixos das soluções da equação 
ax3 + bx2 + cx + d = 0, em que a, b, c e d são números reais.
O
valor de é igual a
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24
35. (INSPER) – As quantidades de raízes reais dos polinônios 
p(x) = x4 + 10, q(x) = 10x2 + 1 e r(x) = p(x) − q(x)
são, respectivamente,
a) 0, 0 e 4. b) 4, 0 e 4. c) 0, 2 e 2.
d) 4, 2 e 2. e) 4, 2 e 4.
36. (INSPER) – Se as raízes da equação x3 + 4x2 – 7x – 10 = 0 são 
–5, –1 e 2, então a soma dos quadrados das raízes da equação 
(x– 3)3 + 4(x – 3)2 – 7(x – 3) – 10 = 0 é igual a
a) 16 b) 25 c) 29 d) 33 e) 41
37. (FUVEST) – O produto de duas das raízes do polinômio 
p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a – 1. Determinar
a) o valor de m;
b) as raízes de p.
38. (FUVEST) – Seja P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e um polinômio
com coeficientes inteiros. Sabe-se que as quatro raízes de P(x)
são inteiras e que três delas são pares e uma é ímpar. Quantos
coeficientes pares tem o polinômio P(x)?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
39. (INSPER) – Na figura, que mostra o gráfico da função polinomial 
p(x) = 3x3 − 16x2 + 19x, os valores a e c são tais que a + c = 4.
Dessa forma, o valor de c é igual a
a) 1 + ���7 b) 2 + ���3 c) 2 + ���6
d) 3 + ���2 e) 3 + ���5
40. (FUVEST) – Sabe-se que P(x) é um polinômio cujas raízes for -
mam uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2.
O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o termo
independente é igual a 221. O grau do polinômio é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
41. (FGV) – O polinômio p(x) = x3 – 5x2 – 52x + 224 tem três raízes
inteiras. Se a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da
primeira com a segunda é 1, então, o produto da primeira com a
segunda é
a) – 224 b) – 167 c) – 56 d) 28 e) 5 
42. (MACKENZIE) – Se as três raízes reais, não necessariamente
distintas, do polinômio p(x) = x3 – a3x2 + ax – 1, a � �, formam
uma progressão geométrica, então o valor de a – a3 é
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2
43. (MACKENZIE) – A soma das raízes da equação 
33x – 13 . 32x + 39 . 3x – 27 = 0 é:
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
44. (FGV) – O polinômio P(x) = x3 + kx2 + 6x + 5 é divisível por 
x + 5. Então, a soma das raízes da equação P(x + 1) = 0 é:
a) – 6 b) – 7 c) 6 d) – 9 e) – 3
45. (UNICAMP)
a) Qual é o valor de � na equação z3 – 5z2 + 8z – � = 0, de modo
que z = 3 seja uma raiz dessa equação?
b) Para esse valor de �, ache as três raízes, z1, z2, z3, dessa equa -
ção.
c) Ache o volume do sólido obtido quando a região triangular,
cujos vértices são os pontos z1, z2, z3, gira em torno da reta
de equação x = 1.
c
–––
a
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6. Raízes múltiplas
Definição
O número r � � é raiz múltipla da equação F(x) = 0
com multiplicidade m se, e somente se:
Assim, se as raízes da equação F(x) = 0 forem r1, 
r2, ..., rp com multiplicidades m1, m2, ..., mp, respecti -
vamen te, a decomposição vista no item (4) passará a ser:
F(x) = a0 . (x – r1)
m1 . (x – r2)
m2 . ... . (x – rp)
mp
com m1 + m2 + ... + mp = n e r1, r2, ... , rp distintas duas
a duas.
Teorema
Se r é raiz da equação F(x) = 0 com multiplicidade
m, então r é raiz da equação F’(x) = 0 com multipli -
cidade m – 1, sendo F’ a função derivada da função
polinomial F.
Consequências
a) Se r é raiz simples de F(x) = 0, então r não é raiz
de F’(x) = 0.
b) Se r é raiz dupla de F(x) = 0, então r é raiz
simples de F’(x) = 0 e r não é raiz de F’’(x) = 0.
c) Se r é raiz tripla de F(x) = 0, então r é a raiz du -
pla de F’(x) = 0, raiz simples de F’’(x) = 0 e não é raiz
de F’’’(x) = 0 etc.
Exemplo
Notando-se que 
(x – 1)3 . (x – 2) = x4 – 5x3 + 9x2 – 7x + 2, podemos
concluir que:
a) na equação F(x) = x4 – 5x3 + 9x2 – 7x + 2 = 0, o
número 1 é raiz tripla e o número 2 é raiz simples;
b) na equação F’(x) = 4x3 – 15x2 + 18x – 7 = 0, o
número 1 é raiz dupla e o número 2 não é raiz;
c) na equação F’’(x) = 12x2 – 30x + 18 = 0, o núme -
ro 1 é raiz simples;
d) na equação F’’’(x) = 24x – 30 = 0, o número 1 não
é raiz.
7. Raízes nulas
Seja F : � → � a função polinomial definida por 
F(x) = a0.x
n + a1.x
n–1 + a2.x
n–2 + ...+ an–3.x
3 + an–2.x
2 + an–1.x + an.
Relativamente às raízes nulas da equação F(x) = 0,
pode-se afirmar que:
a) an ≠ 0 ⇔ zero não é raiz, pois F(0) = an ≠ 0;
b) an = 0 e an–1 ≠ 0 ⇔ zero é raiz simples, pois
neste caso a equação dada é equivalente a 
x . (a0 . x
n – 1 + a1 . x
n–2 + a2 . x
n–3 + ... + an–3 . x
2 + an–2 . x + an–1) = 0;
c) an = an – 1 = 0 e an – 2 ≠ 0 ⇔ zero é raiz dupla,
pois neste caso a equação dada é equivalente a
x2 . (a0 . x
n – 2 + a1 . x
n – 3 + a2 . x
n – 4 + ... + an – 3 . x + an – 2) = 0;
d) an = an – 1 = an – 2 = 0 e an – 3 ≠ 0 ⇔ zero é raiz
tripla etc.
Exemplo
Na equação x4 + 3x3 – 7x2 + (a – b)x + (a – 4) = 0, po -
de-se afirmar que:
a) a ≠ 4 ⇔ zero não é raiz;
b) a = 4 e b ≠ 4 ⇔ zero é raiz simples;
c) a = b = 4 ⇔ zero é raiz dupla.
8. Raízes racionais
Teorema
Se o número racional , com p e q primos entre si,
for raiz da equação a0 .x
n+a1.x
n – 1+...+an – 1 .x + an = 0,
com a0 ≠ 0 e coeficientes inteiros, então p é divisor de
an e q é divisor de a0.
Demonstração
Se for raiz da equação, então:
n
a0 . � � + a1 . � �
n –1
+ ... + an–1 . � � + an = 0 ⇔
⇔ a0 . + a1 . + ... + an – 1 . + an = 0 ⇔
⇔ a0 . pn + a1 . pn – 1 . q + a2 . pn – 2 . q2 + ... +
+ an – 1 . p . q
n – 1 + an . q
n = 0
Na igualdade acima, isolando-se o termo a0 . p
n, po -
de-se colocar q em evidência; analogamente, isolando-se
an . q
n, pode-se colocar p em evidência. Assim sendo:
Supondo
p
––q
p
––q
p
––q
a0 . p
n = q . [– a1. p
n – 1 – a2.p
n – 2 . q – ... – an – 1 . p. q
n– 2 – an. q
n – 1]� an . qn = p . [– a0 . pn – 1 – a1 . pn – 2 . q – ... – an – 1 . qn– 1]
pn
–––
qn
pn – 1
–––––
qn – 1
p
–––
q
p
––q
p
––q
F(x) = (x – r)m . Q(x) e Q(r) ≠ 0
– a1 . p
n – 1 – a2 . p
n – 2 . q – ... – an – 1 . p . q
n– 2 – an . q
n – 1 = k � �� – a0 . pn – 1 – a1 . pn – 2 . q – ... – an – 1 . qn– 1 = r � �
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temos:
Consequências
a) Se a equação a0 . x
n + a1 . x
n – 1 + ... + an – 1 . x + an = 0,
de coeficientes inteiros, admitir uma raiz inteira p,
então p será divisor de an.
b) Toda raiz racional da equação 1 . xn + a1 . x
n – 1 +
+ ... + an – 1 . x + an = 0, de coeficientes inteiros, é
obrigatoriamente inteira.
Exemplo
Na equação 2x3– ax2 + bx + 6 = 0, com a � � e b � �,
temos:
a) D(6) = {1; – 1; 2; – 2; 3; – 3; 6; – 6};
b) D(2) = {1; – 1; 2; – 2};
c) se for raiz, com p e q primos entre si, então 
p � D(6) e q � D(2);
d) o conjunto das possíveis raízes racionais da equa -
ção é
A = 1; – 1; ; – ; 2; – 2; 3; – 3; ; – ; 6; – 6 ;
e) se x � � e x � A, então x poderá ser raiz da equa ção;
f) se x � � e x � A, então x não será raiz da equação;
g) se nenhum dos 12 elementos de A for raiz, então
a equação não terá nenhuma raiz racional.
9. Raízes complexas
Teorema
Se o número complexo a + bi, com b ≠ 0, for raiz da
equação a0 . x
n + a1 . x
n – 1 + ... + an – 1 . x + an = 0, de
coe ficientes reais, então o seu conjugado a – bi também
será raiz.
Além disso, a + bi e a – bi serão raízes de mesma
multiplicidade.
Consequências
a) Uma equação do 2o. grau, de coeficientes reais,
tem só raízes reais ou duas raízes complexas
conjugadas (não reais).
b) Uma equação do 3o. grau, de coeficientes reais,
tem só raízes reais ou uma real e duas complexas
conju gadas (não reais).
c) Uma equação do 4o. grau, de coeficientes reais,
tem só raízes reais ou duas raízes complexas
conjugadas (não reais) e as demais reais ou ainda só
raízes com plexas (não reais), duas a duas conjugadas.
d) Uma equação do 5o. grau, de coeficientes reais,
tem só raízes reais ou duas raízes complexas
conjugadas (não reais) e as demais reais ou ainda pelo
menos uma raiz real e as demais raízes complexas (não
reais), duas a duas conjugadas. E assim por diante.
e) O número de raízes complexas não reais de uma
equação algébrica de coeficientes reais é sempre par.
f) Toda equação algébrica de coeficientes reais e
grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
g) Se a + bi, com b ≠ 0, for raiz da equação F(x) = 0
e a – bi não for raiz da mesma equação, então pelo
menos um dos coeficientes de F não será real.
Exemplos
a) Se 2 + i for raiz da equação x3 – 2x2 + ax + b = 0,
com a � � e b � �, então 2 – i também será raiz e a
terceira raiz será obrigatoriamente real.
b) Se 2 + i e 3 – 2i forem raízes da equação
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, com {a, b, c, d} � �, então o con -
junto verdade dessa equação será {2 + i; 3 – 2i; 2 – i; 3 + 2i}.
c) Se i e 2 + 3i forem raízes de uma equação, de
coeficientes reais, então o grau dessa equação será maior
ou igual a quatro.
d) Se {2i; 3 – i} for o conjunto verdade da equação 
x2 + ax + b = 0, então {a; b} � �.
10. Raízes reais
Teorema de Bolzano
Seja F uma função polinomial de coeficientes reais e
{x1; x2} � �, com x1 < x2. Se F(x1) . F(x2) ≤ 0, então a
equação F(x) = 0 terá pelo menos uma raiz real r, tal que
r � [x1; x2].
an . q
n = p . r, com r � �� ⇔a0 . pn = q . k, com k � �
p é divisor de an . q
n p é divisor de an⇔ � ⇔ �q é divisor de a0 . pn q é divisor de a0
(pois p e q são primos entre si)
p
––
q
�3––2
3
––
2
1
––
2
1
—
2�
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Exemplos
Nos gráficos a seguir, a equa ção F(x) = 0, no inter -
valo [x1; x2], tem:
a) uma só raiz real
b) três raízes reais distintas
c) uma raiz real dupla e uma simples
d) uma raiz real tripla
Observação
Se F(x1) . F(x2) > 0, a equação F(x) = 0 pode ou não
ter raízes reais no intervalo ]x1; x2[.
Nos gráficos a seguir, pode-se concluir que a
equação F(x) = 0, no intervalo ]x1; x2[:
a) tem duas raízes reais distintas
b) não tem raiz real
c) tem quatro raízes reais distintas
d) tem uma raiz real dupla e duas raízes reais simples
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46. Resolver a equação x4 – 7x3 + 18x2 – 20x + 8 = 0, sabendo-se
que tem uma raiz tripla.
Resolução
Se r é raiz tripla de F(x) = 0, é raiz dupla de F’(x) = 0 e é raiz
simples de F’’(x) = 0.
Assim:
F(x) = x4 – 7x3 + 18x2 – 20x + 8
F’(x) = 4x3 – 21x2 + 36x – 20
F’’(x) = 12x2 – 42x + 36
Como 12x2 – 42x + 36 = 0 ⇔ 2x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 
e F’(2) = 0 e F(2) = 0, então 2 é a raiz tripla de F(x) = 0.
Pela 1a. Relação de Girard, 2 + 2 + 2 + r4 = 7 e, portanto, r4 = 1.
Resposta: V = {1; 2}
47. Determinar a para que a equação x3 – 9x2 + 15x + a = 0 tenha
uma raiz dupla.
Resolução
As possíveis raízes duplas da equação F(x) = 0 são raízes
simples de F’(x) = 0.
Assim:
F(x) = x3 – 9x2 + 15x + a
F’(x) = 3x2 – 18x + 15
As raízes de 3x2 – 18x + 15 = 0 são 1 e 5, e estas são as únicas
possíveis raízes duplas de x3 – 9x2 + 15x + a = 0.
Se 1 for raiz dupla, então 13 – 9 . 12 + 15 . 1 + a = 0, portanto, 
a = – 7.
Se 5 for raiz dupla, então 53 – 9 . 52 + 15 . 5 + a = 0, portanto, 
a = 25.
Logo, se a = – 7, a equação será x3 – 9x2 + 15x – 7 = 0 e terá
uma raiz dupla igual a 1. 
Se a = 25, a equação será x3 – 9x2 + 15x + 25 = 0 e terá uma
raiz dupla igual a 5.
Resposta: a = – 7 ou a = 25
48. A equação x4 – 2x3 + (a2 – 4)x2 + (b – 3)x + (a + b – 2) = 0 tem
uma raiz dupla igual a zero. Determinar a e b e o conjunto
verdade da equação.
Resolução
Se 0 é raiz dupla da equação
x4 – 2x3 + (a2 – 4) . x2+ (b – 3)x + (a + b – 2) = 0, então:
a2 – 4 ≠ 0
� b – 3 = 0 ⇒
a + b – 2 = 0
Se a = – 1 e b = 3, a equação será x4 – 2x3 – 3x2 = 0.
Como x4 – 2x3 – 3x2 � x2 . (x2 – 2x – 3), o conjunto verdade da
equação é {0; – 1; 3}.
Resposta: a = – 1; b = 3; V = {0; –1; 3}
49. Resolver a equação 2x3 – x2 – 8x + 4 = 0, sabendo-se que pelo
menos uma raiz é racional.
Resolução
Seja F(x) = 2x3 – x2 – 8x + 4
De acordo com o critério apresentado, as possíveis raízes
racionais
são os números da forma com p � D(4) e q � D(2), portanto:
2; – 2; 4; – 4; 1; – 1; ; – .
Pelo menos uma delas é raiz da equação F(x) = 0.
Calculando-se F(2), F(– 2), F(4), ..., descobrimos que F(2) = 0 e,
portanto, 2 é raiz e F(x) é divisível por x – 2.
Desta forma:
⇒ ⇔
⇔ 2x3 – x2 – 8x + 4 � (x – 2) (2x2 + 3x – 2), e as demais raízes
são – 2 e .
Resposta: V = � – 2; 2; �
50. Resolver a equação x3 – 3x2 + 4x – 2 = 0, sabendo-se que 1 – i
é raiz.
Resolução
Se a equação tem coeficientes reais e admite 1 – i como raiz,
então admite também o conjugado 1 + i como raiz. Assim
sendo, o conjunto verdade é {r; 1 – i; 1 + i}. Para calcular r, usar
a 1a. Relação de Girard. Assim: r + (1 – i) + (1 + i) = 3 ⇔ r = 1.
Resposta: V = {1; 1 – i; 1 + i}
51. Determinar o conjunto verdade da equação
x5 – 6x4 + 10x3 – 8x2 + 9x – 2 = 0, sabendo-se que duas de suas
raízes são i e 2– ���3.
Resolução
Se a equação tem coeficientes reais e admite i como raiz, então
o número – i também é raiz.
Se a equação tem coeficientes racionais e admite 2 – ���3 como
raiz, então 2 + ���3 também é raiz.
Assim sendo, o conjunto verdade é { i; – i; 2 – ���3, 2 + ���3, r }.
Para calcular r, usar a primeira Relação de Girard. Assim:
i + (– i) + (2 – ���3) + (2 + ���3) + r = 6 ⇒ r = 2 
Resposta: V = { i; – i; 2 – ���3; 2 + ���3, 2}
3
––
2
a = – 1 e b = 3
p
––q
1
––
2
1
––
2
2x3 – x2 – 8x + 4 x – 2
0 2x2 + 3x –2
2 – 1 – 8 4 2
2 3 – 2 0 
1
––
2
1
––
2
Livro 3_Matematica_2023_ROSE 04/07/2022 11:42 Página 29
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52. Achar o conjunto verdade da equação
x3 – (4i + 2)x2 + (8i – 3)x + 6 = 0, sabendo-se que uma das raízes é i.
Resolução
Notar, inicialmente, que, embora uma das raízes da equação seja
o número i, não se pode concluir que o conjugado – i seja
também raiz, pois a equação não tem todos os coeficientes
reais.
Sendo i raiz da equação, o polinômio é divisível por x – i. Assim:
⇒
⇒
Assim sendo:
(x – i) . [x2 – 3ix – 2x + 6i] = 0 ⇔ (x – i) . [x(x – 3i) – 2(x – 3i)] = 0 ⇔
⇔ (x – i) . (x – 3i) (x – 2) = 0 ⇒ x = i ou x = 3i ou x = 2
Resposta: V = {i; 3i; 2}
53. Considere a equação x3 – 11x2 + 31x – 21 = 0.
a) Provar que essa equação tem pelo menos uma raiz real no
intervalo ]0; 2[ e também no intervalo ]2; 4[.
b) Resolva a equação, sabendo-se que as raízes são inteiras.
Resolução
a) Se F(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21, então: 
F(0) = 03 – 11 . 02 + 31 . 0 – 21 = – 21
F(2) = 23 – 11 . 22 + 31 . 2 – 21 = 5
F(4) = 43 – 11 . 42 + 31 . 4 – 21 = – 9
Já que F(0) = – 21 e F(2) = 5,