cad-C1-gabTarefa-1serie-25aulas-1bim-matematica (1)

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FRENTE 1
MÓDULO 1
DEFINIÇÃO DE POTÊNCIA 
DE EXPOENTE INTEIRO n 
1) a) 52 = 5 . 5 = 25
b) (– 5)2 = (– 5) . (– 5) = 25
c) – 52 = – 5 . 5 = – 25
d) (– 5)3 = (– 5) . (– 5) . (– 5) = – 125
e) – 53 = – 5 . 5 . 5 = – 125
f)
0
= 1
g)
– 2
= = = 
h) – 
– 4
= (– 3)4 =
= (– 3).(– 3).(– 3).(– 3) = 81
2) (– 1)0 + (– 6) : (– 2) – 24 =
= 1 + 3 – 16 = – 12
Resposta: B
3) = = =
= . =
Resposta: D
4) 0,013 =
3 
= = 0,000001
Resposta: D
5) = =
= = = 
Resposta: C
6) = =
= . =
= = =
= = 
Resposta: B
7) = =
= = =
= = . = 
Resposta: D
MÓDULO 2
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
1) a) 25 . 2– 2 = 25 + (– 2) = 23
b) 26 . 2 = 26 + 1 = 27
c) 241 ÷ 236 = 241 – 36 = 25
d) (0,2)2 . (1,5)2 = (0,2 . 1,5)2 = (0,3)2 
e) (0,4)4 ÷ (0,02)4 = (0,4 ÷ 0,02)4 = 204
f) 252 ÷ 52 = (25 ÷ 5)2 = 52
g) = = =
= = 220–16 = 24
h) (35)4 . (92)3 = 320 . 96 = 320 . (32)6 =
= 320 . 312 = 320 + 12 = 332
2) I) x = (22)
3
= 26
II) y = 22
3
= 22.2.2 = 28
III) z = 23
2
= 23.3 = 29
IV) x . y . z = 26 . 28 . 29 = 26 + 8 + 9 =
= 223 = 2n ⇔ n = 23
3) = = = 5
Resposta: B
4) ⇒
⇒ yx = 161,25 = (24)1,25 = 25 = 32
Resposta: D
5) [29 : (22 . 2)3]– 3 = [29 : (23)3]– 3 =
= [29 : 29]– 3 = 1– 3 = 1
Resposta: D
6) a) (a4)3 = a4.3 = a12
b) (a3)4 = a3.4 = a12
c) a3
4
= a3.3.3.3 = a81
d) a4
3
= a4.4.4.4 = a64
e) [(a– 2)2]
3
= [a– 2.2]3 = [a– 4]3 =
= a– 4.3 = a– 12
f) [(a3)3]
3
= [a3.3]3 = [a9]3 = a9.3 = a27
g) (a3)3
3
= (a3)3.3.3 = (a3)27 = a3.27 = a81
h) [(a23)
5
= (a2.2.2)5 = (a8)5 = a8 . 5 = a40
7) I) A metade de 2100 é 
= = 2100 – 1 = 299
II) O dobro de 448 é 
2 . 448 = 2(22)48 = 2 . 22 . 48 =
= 21 . 296 = 21 + 96 = 297
III) A metade de 2100 dividida pelo dobro de
448 é = 299 – 97 = 22 = 4
Resposta: C
MATEMÁTICA
�3––4�
9
––
4
1
––––
4
––
9
1
–––––
2 2�––�3
�2––3�
�1––3�
3– 1 + 5–1
–––––––––
2– 1
1 1 –– + ––
3 5
–––––––––
1
––
2
5 + 3 ––––––
15
–––––––
1
––
2
8
––––
15
2
––
1
16
–––
15
1
––––
106�
1
––––
102�
2 (– 5)2 – 32 + �––�
0
3––––––––––––––––
1 13– 2 + –– + ––
5 2
25 – 9 + 1––––––––––––
1 1 1 –– + –– + ––
9 5 2 
17–––––––
73 ––––
90 
17 . 90––––––––
73
1530––––––
73
1 1
1 – (–– – ––)6 3
––––––––––––––
1 1 3(–– + ––)2 + ––6 2 2
1 – 2
1 – (––––––)6
–––––––––––––
1 + 3 3(–––––)2 + ––6 2
1
1 + –––
6
–––––––––––––
2 3(–––)2 + –––3 2
7
–––
6
–––––––––––
4 3
––– + –––
9 2
7
–––
6
–––––––––––
8 + 27
––––––––
18
7
–––
6
18
–––
35
3
–––
5
220
–––––
(22)8
220
––––
48
(24)5
–––––
(42)4
220
––––
216
2100
–––––
21
2100
–––––
2
52n + 3
––––––––
25n + 1
52n + 3
–––––––
(52)n + 1
52n + 3
–––––––
52n + 2
� y = 16x = 1,25 
FL
–––
FT
G . 0,015 . M . m
–––––––––––––––
(1920)2
––––––––––––––––––
G . M . m
––––––––––––
(6400)2
61,44 . 104
––––––––––––
36 864 . 102
61,44 . 102
––––––––––––
36 864
6144
––––––––
36 864
1
–––
6
299–––––
297
G . 0,15 . M . m
–––––––––––––––
(192)2 . 102
(64)2 . (102)2
––––––––––––
G . M . m
– I
GABARITO DO TC 1 – 1.ª Série do Ensino Médio
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página I
II –
8) = =
= = =
Resposta: B
9) =
= =
= = = 
Resposta: D
10) O site cujo índice de visitas é 6, possui 
46 = 212 visitas diárias.
O site S, que possui o dobro de visitas deste
site, possui 2 . 212 = 213 = (22)6,5 = 46,5
visitas diárias e tem índice de visitas igual a
6,5.
Resposta: E
11) O número de visitantes no 
1o. dia é 345
2o. dia é 3 . 345
3o. dia é 3 . (3 . 345)
4o. dia é 3 . (3 . 3 . 345) = 33 . 345
Resposta: C
MÓDULO 3
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
1) Aproximando 5,2 para 5, 10,3 para 10 e 9,9
para 10 a expressão resulta 
= 625 . 10 = 6250
Resposta: E
2) 4–2x = (22)–2x = 22 . (–2x) = 2–4x = (2x)–4 = 
= (3)–4 = = 
Resposta: E
3)
x . y . z = an ⇔ a2 . a5 . a7 = an ⇔
⇔ a2 + 5 + 7 = an ⇔ a14 = an ⇔ n = 14
4) m = ⇔
⇔ m = ⇔
⇔ m = ⇔
⇔ m = ⇔ m = ⇔
⇔ m = 10–6 – (–3) ⇔ m = 10–3 ⇔
⇔ m = (10–1)3 ⇔ m = (0,1)3
Resposta: C
5) 6 . 10–4 + 2 . 10–5 = 
= 60 . 10–1 . 10–4 + 2 . 10–5 = 
= 60 . 10–5 + 2 . 10–5 = (60 + 2) . 10–5 = 
= 62 . 10–5
Resposta: D
6) I) 2 megabytes = 2 . 210 kilobytes = 
= 211 kilobytes
II) 211 kilobytes = 211 . 210 bytes = 
= 221 bytes
Assim, de (I) e (II), concluímos que 2 me -
 gabytes = 221 bytes.
Resposta: E
7) Observando as potências de base 6, notando
que o último algarismo sempre 6, veja:
61 = 6
62 = 36
63 = 216
64 = 1296
65 = 7776
66 = 46656
Logo, ao dividirmos essas potências por 10
observamos que o resto sempre será 6, veja:
; ; …
Sendo assim podemos concluir que 62015
por 10, terá resto 6.
Resposta: C
8) + + + … + =
= – + – + – +…+
123 123 123
+ – = 1 – = =
14243
= 999,5 . 10–3 = 9,995, 10–1
Resposta: E
9) De acordo com o gráfico, no início da
guerra no Iraque o gasto militar dos Estados
Unidos foi de U$ 417,4 bilhões, ou seja, U$
417 400 000 000,00.
Resposta: E
10) 325 mil km = 325 000 km = 3,25 × 105 km
Resposta: D
MÓDULO 4
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
1) a) 0,002 = 2 . 10–3
b) 0,0132 = 1,32 . 10–2
c) 12 500 = 1,25 . 104
d) 310 000 000 = 3,1 . 108
2) 813 . 2519 = (23)13 . (52)19 =
= 239 . 538 = 238 . 538 . 2 =
= 1038 . 2 = 2 . 1038
Resposta: D
3) 24 . 108 = 16 . 108 = 1 600 000 000, por tan -
to, o número tem 10 algarismos.
4) O número 231 . 526 tem 28 algarismos, pois
231 . 526 = 25 . 226 . 526 =
= 25 . (2 . 5)26 = 32 . 1026 =
= 32000 ......... 0
26 zeros
Resposta: C
5) . = . =
= . = = 
Resposta: C
6) . = . =
= =
Resposta: A
3n + 3 – 3 . 3n – 1
––––––––––––––––
3 . 3n + 2
3n . 33 – 3 . 3n . 3– 1
–––––––––––––––––
3 . 3n . 32
26
–––––
27
33 – 1
–––––––
33
3n (33 – 1)
–––––––––
3n . 33
2�––�
2
3
9�––�
2
8
2�––�
2
3
32�–––�
2
23
22
–––
32
34
–––
26
32
–––
24
9
–––
16 
3�––�
2
4
4�––�
3
3
32
–––
24
26
–––
33
7
––
8
14
–––
16
16 . 2n – 2 . 2n
–––––––––––––
16 . 2n
2n . 24 – 2 . 2n
–––––––––––––
2 . 2n . 23
2n + 4 – 2 . 2n
–––––––––––––
2 . 2n + 3
54 . 103
–––––––
102
1
–––
34
1
–––
81
�
x = a2
y = a . x2 = a . (a2)2 = a . a4 = a1+ 4 = a5
z = x . y = a2 . a5 = a2 + 5 = a7
0,00001 . (0,01)2 . 1000
––––––––––––––––––––
0,001
10–5 . (10–2)2 . 103
––––––––––––––––
10–3
10–5 . 10–4 . 103
––––––––––––––
10–3
10– 5 – 4 + 3
–––––––––
10–3
10–6
–––––
10–3
36 10
� 3
216 10
� 21
1296 10
� 129
1
––––––––––
1999 . 2000 
1
–––
1.2
1
–––
2.3
1
–––
3.4
1
––
1
1
––
2
1
––
2
1
––
3
1
––
3
1
––
4
1
––––
1999
1
––––
2000
1999
––––
2000
1
––––
2000
4
–––
3 
22
–––
3
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página II
7) número de pessoas = 6 . 6 . 6 + 1 =
= 63 + 1 = 217 
Resposta: A
8) I) 1 caracter = 8 bits = 1 byte
II) 1 Kb = 210 bytes
III)1 Mb = 210 Kb
IV)1 Gb = 210 Mb
V) n = 160 Gb = 160 . 210 Mb =
= 160 . 210 . 210 Kb =
= 160 . 210 . 210 . 210 bytes =
= 160 . 230 caracteres
Resposta: B
9) I) Msol = 1,98 . 10
30 kg = 19,8 . 1029 kg 
II) Mgli = Msol = kg =
= 6,6 . 1029 kg = t =
= 6,6 . 1026 t
Resposta: D
10)É dado que 1,09242 � 40, temos
1,092210 . 252 =
= (1,09242)5 . 252 + 405 . 252 =
= (22 . 2.5)5 . (52)2 = (23 . 5)5 . (54) =
= 215 . 55 . 54 = 215 . 59 = 26 . 29 . 59 =
= 64 . (10)9 = 64 bilhões
Resposta: A
MÓDULO 5
DEFINIÇÃO DE RAIZ 
E EXISTÊNCIA
1) a) ����81 = 9, pois 92 = 81
b) – ����81 = – 9
c) ± ����81 = ± 9
d)
3
����64 = 4, pois 43 = 64
e) – 
3
����64 = – 4
f)
3
������– 64 = – 4, pois (–4)3 = –64
g)
3
����0 = 0, pois 03 = 0
h) ����–9 não está definida em � ou ����–9 ∉ �
2) Lembrando que para a > 0 e n par e não
nulo, a raiz enésima positiva de a é re pre -
sentada por 
n
���a e a raiz enésima negativa
de a é representada por –
n
���a, temos:
����16 = 4; – ����16 = – 4 e ± ����16 = ± 4.
Resposta: E
3) ��������2352 = ���������� 24.31.72 = 22.71.���3 = 28���3
Resposta: C
4)
Resposta: A
5) I)
4
����81 = 3, pois 34 = 81
II) ���9 = 3, pois 32 = 9
III) 
5
����32 = 2, pois 25 = 32
Logo:
3
�������������������4����81 + ���9 + 5����32 = 3������������� 3 + 3 + 2 =
= 
3
���8= 2, pois 23 = 8
6)
Resposta: B
7) ������������� ������ 502 + 1202 = ����������������� ������ 2500 + 14400 =
= ��������16900 = ����������������� 132 . 102 = 13 . 10 = 130
Resposta: A
MÓDULO 6 
PROPRIEDADES
DAS RAÍZES
1) ����3����7 = 2.3����7 = 6����7 
Resposta: C
2) a) �����48 = ��������� 24 . 3 = ����24 . ���3 =
= 22 . ���3 = 4���3
b)
3
������ 108 = 
3
����������� 33 . 22 = 
3
�����33 . 
3
�����22 = 3
3
���4
c)
5
������ 192 = 
5
��������� 26 . 3 = 
5
������������� 25 . 2 . 3 = 
= 
5
�����25 . 
5
�������� 2 . 3 = 2
5
����6
d)
3
�������� 8 . a4 = 
3
�������������� 23 . a3 . a =
= 
3
�����23 . 
3
�����a3 . 
3
���a = 2a
3
���a
3)
3
����������������� 503 . 23 = 50 . 2 = 100
Resposta: C
4) 10–2 . [(– 3)2 – (– 2)3] : 
3
����������– 0,001 =
= 10– 2 . [9 + 8] : 
3
����������– 10– 3 =
= 10– 2 . 17 : (– 10– 1) =
= . = – = – 1,7
Resposta: B
5) A = 
9
������512 – ������144 + 
17
���0 + 
5
������� –243 +
+ – 
31
����–1 ⇔
⇔ A = 2 – 12 + 0 + (–3) + – (–1) ⇔
⇔ A = 2 – 12 + 0 – 3 – + 1 ⇔
⇔ A = –12 – ⇔ A = ⇔
⇔ A =
6) . + 1 – : +
+ 1 + = 
= . + : + =
= + . + =
= + + =
= + = + 2 = = 2,5
Resposta: B
����9 – 
3
�����–8 + (0,41)0 3 – (– 2) + 1
–––––––––––––––– = ––––––––––– =
(– 2)2 + 
3
������ –27 4 + (– 3)
3 + 2 + 1 6
= –––––––– = –– = 6
4 – 3 1
5 1������– –––32
1(– ––)2
1
––
2
1
––
2
– 24 – 1
–––––––
2
25
– –––
2
4
–––
7
49
––––
64 �
3
–––
5 �
3
–––
5
� 1–––3 �
4
–––
7
7
–––
8
2
–––
5
3
–––
5
4
–––
3
1
–––
2
2
–––
5
5
–––
3
4
–––
3
1
–––
2
2
–––
3
4
–––
3
17
–––
102
– 10
–––––
1
17
–––
10
19,8 . 1029
––––––––––
3
1
–––
3
6,6 . 1029
––––––––––
103
32 + 14 + 1 + 9 =
= 32 + 14 + 1 + 3 = 
= 32 + 14 + 2 =
= 32 + 4 = 36 = 6
5
–––
2
1
–––
2
6
–––
3
1
–––
2
– III
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página III
7) I) A = ���3 . �����13 = ������� 3.13 = �����39
II) 62 = 36
III)72 = 49
IV)36 < 39 < 49 ⇒
⇒ �����36 < �����39 < �����49 ⇒ 6 < A < 7
Resposta: A
8) �����18 + �����50 = ������� 2 . 32 + ������� 2 . 52 =
= 3���2 + 5���2 = 8���2 
Resposta: C
9) ���8 – �����18 + 2���2 =
= ������� 4 . 2 – ������� 9 . 2 + 2���2 =
= ���4 . ���2 – ���9 . ���2 + 2���2 =
= 2���2 – 3���2 + 2���2 = ���2
Resposta: A
10)
3
=
=
3
=
=
3
=
3
=
= 
3
�����227 = 
3
������ (29)3 = 29
Resposta: D
MÓDULO 7
PROPRIEDADES DAS RAÍZES 
1) I) ���2 = 
5 . 2
�����25 = 
10
�����32
II)
5
���3 = 
2 . 5
�����32 = 
10
���9
III) ���2 . 
5
���3 = 
10
�����32 . 
10
���9 = 
10
������288
Resposta: C
2) ���2 . 
3
���3 = 
6
�����23 . 
6
�����32 = 
6
�������8 . 9 = 
6
�����72
Resposta: D
3) I) ���a = 
3 . 2
�����a3 = 
6
�����a3
II)
3
���a = 
2 . 3
�����a2 = 
6
�����a2
III) = = 
6
= 
6
���a
Resposta: D
4) I) 2 = �����22
II) ������2���3 = ���������� ���������� 22 . 3 = 2 . 2���������� 22 . 3 = 4�����12
Resposta: C
5) �������� 2������2���2 = ���������� ��������� 22. 2���2 = �������������8���2 =
= ���������������� �������� 82 . 2 = 2 . 2 . 2���������� 64 . 2 = 8������128
Resposta: B
6) 2������23���2 = �������� 22 . 2 3���2 =
= �������������� 29. 2 = 4�����210 = �����25 = �����32
Resposta: �����32
7)
Resposta: D
8) = = 
10
=
10
���a
Resposta: E
MÓDULO 8
POTÊNCIA DE EXPOENTE 
RACIONAL E RACIONALIZAÇÃO
1)
–
2
––
5
= 
–
2
––
5
=
= 
5 –
2
––
5
= 
– 2 
=
= (– 3)
2
= 9 
Resposta: C
2) –
3
������– 8 + 16 
–
1
––
4 – –
– 2
+ 8
–
4
––
3 = 
= –
3
�������(– 2)3 + �24�
–
1
––
4 – (– 2)2 + (23)
–
4
––
3 =
= – (– 2) + 2– 1 – 4 + 2– 4 =
= 2 + – 4 + =
= – 2 + = = –
3) ������������2 = 8���2 = 2
Resposta: D
4) 8
–
2
––
3 + ������ 0,25 + 4 . (0,5)4 =
= (23)
–
2
––
3 + + 4 . 
4
=
= 2–2 + + 4 . = + + = 1
Resposta: A
5) =
= =
= = =
= = = 2
6) a) 
b) 
c) 
���a
––––
3���a
6
�����a3
––––
6
�����a2
a3
–––
a2
a a– 1 . a–1 . a– 1 =
= a2 . a– 1 . a–1 . a– 1 = 
= a2 . a– 1 . a– 1 =
= a2 . a– 1 = 
8
a
���a––––––
5
����a2
10
����a5––––––
10
����a4
a5
–––
a4
228 + 230
–––––––––
10
1 . 228 + 22 . 228
––––––––––––––
10
5 . 228
–––––––
10
228
–––––
2
� 1– ––––
243
� � – 1–––––
35
�
� � 1– –––
3
� � � 1– –––
3
�
� 1–––2 �
1
–––
2
1
–––
24
1
–––
2
1
–––
16
8 – 32 + 1
––––––––––
16
23
–––
16
1
––
8
�1–––2�
1
–––
4
1
–––
4
1
–––
2
1
–––
4
1
–––
24
1
–––
2
�4
3––
2 – 8
2––
3 �
3––
2
–––––––––––––––––––––––
3�20 + 3–1 . 6 – �––�
0
�
2
4
��22�
3
––
2 – �23�
2
––
3 �
3
––
2
–––––––––––––––
1�1 + –– . 6 – 1�
2
3
(4)
3––
2
––––––
(2)2
�23 – 22�
3––
2
––––––––––
(1 + 2 – 1)2
23
––––
22
�22�
3––
2
––––––
22
1 1 ���2 ���2––– = ––– . ––– = –––
���2 ���2 ���2 2
���2 ���2 ���3 ���6––– = ––– . ––– = –––
���3 ���3 ���3 3
10 10 ���2 10 . ���2––– = ––– . ––– = ––––––– = 5���2
���2 ���2 ���2 2
IV –
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 16/10/2019 17:21 Página IV
7) = . = = 
= 
7
�����35 = 
7
������243
8) = . = =
= =
3
���4
Resposta: B
9) . + . =
= + = ���2 + ���3
Resposta: A
10) + =
= =
= = = 4 
Resposta: B
11) = 
= =
= =
= = ����a2 = a
Resposta: B
12)
 
I) 
3
=
=
3
=
= 5 . 10– 4 . 
3
=
= 5 . 10– 4 . 
3
II) 5 . 10– 4 . 
– 1/3
=
= 5 . 10– 4 . 
1/3
= 
= 5 . 10– 4 . 
3
III) 
3
:
: 
= 1
13)Utilizando-se o método A, temos:
= = = 2,5
Utilizando-se o método B, temos:
= . =
= ���2 + 1 = 1,4 + 1 = 2,4 
Pelo método A o erro é da ordem de 
2,5 – 2,41421
 = 0,08579 e pelo método B
o erro é da ordem de 
2,41421 – 2,4
 =
= 0,001421
A razão entre os erros obtidos pelos mé -
todos A e B é � 6 
Resposta: C
MÓDULO 9
O QUE É FATORAR, 
FATOR COMUM E AGRUPAMENTO
1) a) xy + xz = x(y + z)
b) 3x + 6y + 12z = 3 . (x + 2y + 4z)
c) 6m3n + 15m2n2 – 3m2n3 = 
= 3m2n . (2m + 5n – n2)
2) a) xz + yz + xt + yt = z . (x + y) + t . (x + y) = 
= (x + y) (z + t)
b) ax – ay + x – y = a(x – y) + 1 . (x – y) = 
= (a + 1) (x – y)
c) 3xy – xz – 3ay + az = 
= x . (3y – z) – a(3y – z) = 
= (x – a) (3y – z)
3) ab + a – b – 1 = a(b + 1) – 1 . (b + 1) = 
= (b + 1) . (a – 1)
Resposta: C
4) x3 – x2 + x – 1 = x2 (x – 1) + 1 . (x – 1) =
= (x – 1) . (x2 + 1)
Resposta: A
5) x3 + x2 – 3x – 3 =
= x2 (x + 1) – 3(x + 1) =
= (x + 1) . (x2 – 3)123 123
Resposta: (x + 1) . (x2 – 3)
6) x2 + 2y2 + 3xy + x + y =
= x2 + 2y2 + xy + 2xy + x + y =
= x2 + xy + 2y2 + 2xy + x + y =
=x (x + y) + 2y . (x + y) + 1 . (x + y) =
= (x + y) . (x + 2y + 1)
Resposta: (x + y) . (x + 2y + 1)
7) a) = = a
b) =
= =
= = x + 1
c) =
= =
= = x – 2
8) = =
= = =
= = = 
Resposta: C
2
–––––
���2
���2
–––––
���2
3
–––––
���3
���3
–––––
���3
2���2
–––––
2
3���3
–––––
3
���3 + 1 
–––––––
���3 – 1
���3 – 1 
–––––––
���3 + 1
(���3 + 1)2 + (���3 – 1)2
––––––––––––––––––––––
(���3 – 1) . (���3 + 1) 
3 + 2���3 + 1 + 3 – 2���3 + 1 
–––––––––––––––––––––––
(���3)2 – 12
8 
–––
2
ab + ac
––––––––
b + c
a(b + c)
––––––––
b + c
x3 + x2 + x + 1
–––––––––––––
x2 + 1
x2(x + 1) + (x + 1)
–––––––––––––––––
x2 + 1
(x + 1)(x2 + 1)
–––––––––––––
x2 + 1
a6 + a4 + a2 + 1
––––––––––––––
a3 + a2 + a1 + 1
a4(a2 + 1) + (a2 + 1)
––––––––––––––––
a2(a + 1) + (a + 1)
(a2 + 1)(a4 + 1)
––––––––––––––
(a + 1)(a2 + 1)
a4 + 1
–––––––
a +1
3
–––––
7
�����32
3
–––––
7
�����32
7
�����35
–––––
7
�����35
3 . 
7
�����35
–––––––
3
2
–––––
3
���2
2
–––––
3
���2
3
����22
–––––
3
����22
2
3
���4
––––––
3
����23
2
3
���4
–––––
2
���a . ��������� a + ���a . ��������� a – ���a . ��������� a + 1 
–––––––––––––––––––––––––––––
��������� a2 – 1
���a . ��������� a2 – a . ��������� a + 1 
–––––––––––––––––––
��������� a2 – 1
���a . ���a . ��������� a – 1 . ��������� a + 1 
–––––––––––––––––––––––
��������� a2 – 1
����a2 . ��������� a2 – 1 
–––––––––––––––
��������� a2 – 1
(5 . 10– 3)2 . 3 . 52 . 10–6
––––––––––––––––––––
10
3 . 54 . 10–12
––––––––––––
10
3 . 5
–––––
10
3
–––
2
� 2–––3 �
� 3–––2 �
3
–––
2
� (0,005)2 . 0,000075––––––––––––––––––10 	
5 . 10– 4. 2
1
– ––
3
––––––––––––
3
1
– ––
3
1
––––––––
���2 – 1
1–––––––
1,4 – 1
1–––––
0,4
1
––––––
���2 – 1
1
–––––––––
(���2 – 1)
(���2 + 1)
––––––––––
(���2+ 1)
0,08579
–––––––––
0,01421
x3 – 2x2 + 3x + 1
–––––––––––––––
x2 + 3
x2 . (x – 2) + 3 . (x – 2)
––––––––––––––––––––
(x2 + 3)
(x – 2)(x2 + 3)
–––––––––––––
(x2 + 3)
313
–––––
3
626
–––––
6
54 + 1
–––––––
5 + 1
– V
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página V
9) = =
= =
= = 67 + 1 = 68
Resposta: C
10)a2 + ab – 2a – 2b =
= a(a + b) – 2(a + b) = (a + b)(a – 2)
Resposta: A
11) = =
= = x . =
= x . = 
Resposta: B
MÓDULO 10
DIFERENÇA DE QUADRADOS
1) a) x2 – y2 = (x + y) (x – y)
b) x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4) (x – 4)
c) 25 – 4a2b2 = 52 – (2ab)2 = 
= (5 + 2ab) (5 – 2ab)
2) 64 – 9a4b2 = (8 + 3a2b) (8 – 3a2b)
Resposta: D
3) x4 – y4 = (x2)2 – (y2)2 = (x2 + y2) . (x2 – y2)
A expressão (x2 + y2) . (x2 – y2) já está
fatorada por ser um produto de dois fatores.
Sendo, porém, x2 – y2 uma diferen ça de
quadrados, podemos ainda escrever:
x4 – y4 = (x2 + y2) . (x2 – y2) =
= (x2 + y2) . (x + y) . (x – y)
Resposta: (x2 + y2) . (x + y) . (x – y)
4) (x + y)2 – (x – y)2 =
= [(x + y) + (x – y)] . [(x + y) – (x – y)] =
= [x + y + x – y] . [x + y – x + y] =
= 2x . 2y = 4xy
Resposta: 4xy
5) x4 – 16 = (x2)2 – 42 = (x2 + 4) (x2 – 4) = 
= (x2 + 4) (x2 – 22) = 
= (x2 + 4) (x + 2) (x – 2)
Resposta: B
6) x = 6752 – 6742 =
= (675 + 674)(675 – 674) = 1349 . 1 = 1349
Resposta: D
7) 20x2 – 45y2 = 5(4x2 – 9y2) = 
= 5 . [(2x)2 – (3y)2] = 5(2x + 3y)(2x – 3y)
Resposta: A
8) Supondo a2 + ab ≠ 0, temos:
= = 
= = a – b
Resposta: B
9) = . =
= = =
= = 
Resposta: D
10)Supondo x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ –1, tem:
Resposta: D
11) 2 501 . 2 499 = (2 500 + 1) . (2 500 – 1) =
= 2 5002 – 12 = 6 250 000 – 1= = 6249999
Resposta: 6249999
12) . . =
= =
= 
Resposta: C
MÓDULO 11
QUADRADO PERFEITO 
1) a) (2a – b)2 = (2a)2 – 2 . 2a . b + b2 = 
= 4a2 – 4ab + b2
b) (a + 3b)2 = a2 + 2 . a . 3b + (3b)2 = 
= a2 + 6ab + 9b2
c) (3a – 4b)2 = (3a)2 – 2 . 3a . 4b + (4b)2 = 
= 9a2 – 24ab + 16b2
2) a) x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2
b) x2 – 6x + 9 = x2 – 2.x.3 + 32 = (x – 3)2
c) x2 – 10x + 25 = x2 – 2.x.5 + 52 =
= (x – 5)2
d) 4a2 + 12ab + 9b2 = (2a)2 + 2 . 2a.3b + 
+ (3b)2 = (2a + 3b)2
3) (x + 3)2 – 4 (x + 3) + 4 = 
= (x + 3)2 – 2 (x + 3) . 2 + 22 = 
= [(x + 3) – 2]2 = (x + 1)2
Resposta: A
4) x2 – x + = x2 – 2 . x . =
= 
5) = = 
Resposta: B
6) = = 
= = x – a
Resposta: B
7) = = 
= 
Resposta: D
8) = = 
= a2 – 9 = (a + 3)(a – 3)
Resposta: A
9 . (2���7 + 1)
–––––––––––
27
2���7 + 1
–––––––
3
9 . (2���7 + 1)
–––––––––––
28 – 1
9 . (2���7 + 1)
–––––––––––
(2���7)2 – 12
9
–––––––
2���7 – 1
9
–––––––
2���7 – 1
2���7 + 1
––––––––
2���7 + 1
1 1 x – 1 x2 – 1�1 – ––� ÷ �1 – –––� = ––––– ÷ ––––– =x x2 x x2
x – 1 (x – 1) (x + 1)
= ––––– ÷ ––––––––––––– =
x x2
x – 1 x2 x
= ––––– . ––––––––––––– = –––––
x (x – 1) (x + 1) x + 1
a2 + a
–––––––
b2 + b
a2 – a
–––––––
b2 – b
b2 – 1
–––––––
a2 – 1
a(a + 1) . a(a – 1) . (b + 1) . (b – 1)
–––––––––––––––––––––––––––––
b(b + 1) . b(b – 1) . (a + 1) . (a – 1)
a2
–––
b2
1
––
4
1 1 2
–– + (––)2 2
1 2(x – ––)2
a3 + a2b
––––––––––––
a2 + 2ab + b2
a2 . (a + b)
––––––––––
(a + b)2
a2
–––––
a + b
ax2 – 2a2x + a3
––––––––––––––
ax – a2
a(x2 – 2ax + a2)
––––––––––––––
a (x – a)
a3 – ab2
–––––––
a2 + ab
a (a2 – b2)
–––––––––
a (a + b)
a . (a + b) (a – b)
–––––––––––––––
a (a + b)
672(67 + 1) + (67 + 1)
–––––––––––––––––––––
672 + 1
(67 + 1)(672 + 1)
––––––––––––––––
672 + 1
673 + 672 + 67 + 1
–––––––––––––––
672 + 1
673 + 672 + 68
–––––––––––––
672 + 1
x
–––––––––––
x2
x + ––––––
x2 – 1
x
–––––––––––
x3 – x + x2
––––––––––
x2 – 1
x
–––––––––––
x3 + x2 – x
––––––––––
x2 – 1
(x2 – 1)
–––––––––––
x3 + x2 – x
(x2 – 1)
––––––––––––––
x . (x2 + x – 1)
x2 – 1
––––––––––
x2 + x – 1
(x – a)2
–––––––
x – a)
(x + 2)(x – 2)
––––––––––––––
(x – 2)2
x2 – 4
––––––––––––
x2 – 4x + 4
x + 2
–––––––
x – 2
(a2 – 9)2
––––––––
a2 – 9
a4 – 18a2 + 81
––––––––––––––
a2 – 9
VI –
GAB_TC1_1A_MAT_2022_Rose 01/12/2021 09:50 Página VI
9) = =
= = a – 5
Resposta: B
10)a2 + b2 + 2ab – c2 = (a + b)2 – c2 =
= (a + b + c)(a + b – c)
Resposta: A
11) a + = 3 ⇒ �a + �
2
= 9 ⇒
⇒ a2 + 2 . a . + = 9 ⇒
⇒ a2 + 2 + = 9 ⇔ a2 + = 9 – 2 = 7
Resposta: a2 + = 7
12) = =
= =
Resposta: 
13) – =
= =
= =
= =
= = 
2
Resposta: A
14) – . =
= . =
= .
. =
= . = 
Resposta: B
15)x2 – 5x + 6 = x2 – 5x – x + 6 + 3 + x – 3 = 
= x2 – 6x + 9 + x – 3 =14243
= (x – 3)2 + (x – 3) = (x – 3).(x – 3 + 1) =
= (x – 3).(x – 2)
Resposta: (x – 3) . (x – 2)
MÓDULO 12
SOMA DE CUBOS E CUBO PERFEITO
1) a) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
b) 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3
c) 27x3 + 54x2 + 36x + 8
d) (x + 4) . (x2 – 4x + 16) = 
= x3 – 4x2 + 16x + 4x2 – 16x + 64 = 
= x3 + 64
2) (a – b) . (a2 + ab + b2) = 
= a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3 = a3 – b3
3) = = 
= a – b = 93 – 92 = 1
Resposta: E
4) De acordo com o enunciado, a igualdade
correta é = a – b. De fato:
= =
= a – b
Resposta: E
5) (a + 3) . (a2 – 3a + 9) = 
= a3 – 3a2 + 9a + 3a2 – 9a + 27 = a3 + 27
6) (a + 3)3 = (a + 3) . (a + 3) . (a + 3) =
= (a2 + 3a + 3a + 9) . (a + 3) =
= (a2 + 6a + 9) . (a + 3) =
= a3 + 3a2 + 6a2 + 18a + 9a + 27 =
= a3 + 9a2 + 27a + 27
7) =
= =
= = 
= =
= = 
Para a = 9, temos:
= = 
Resposta: E
8) = =
= =
= 
Resposta:
9) :
: =
= : =
= . =
= =
= 
 
Resposta: 1
10) =
= =
= = =
= 
Resposta: B
a3 – b3
––––––––––––
a2 + ab + b2
a3 – b3
––––––––––
a2 + ab + b2
(a – b) . (a2 + ab + b2)
––––––––––––––––––
(a2 + ab + b2)
a3 + 9a2 + 27a + 27
––––––––––––––––
a4 + 3a3 + 27a + 81
(a + 3)3
–––––––––––––––––––––
a3 . (a + 3) + 27 . (a + 3)
(a + 3)3
––––––––––––––
(a + 3) . (a3 + 27)
(a + 3)3
––––––––––––––––––––––––––
(a + 3) . [(a + 3) . (a2 – 3a + 9)]
(a + 3)3
––––––––––––––––––
(a + 3)2 . (a2 – 3a + 9)
a + 3
––––––––––
a2 – 3a + 9
9 + 3
––––––––––––
92 – 3 . 9 + 9
12
–––
63
4
–––
21
a3 – 1
––––––
a2 – 1
a3 – 13
––––––
a2 – 12
(a – 1) . (a2 + a + 1)
–––––––––––––––––––
(a – 1) . (a + 1)
a2 + a + 1
––––––––––
a + 1x
2 + 2xy + y2
––––––––––––
x2 – y2
(x + y)2
––––––––––––
(x + y) . (x – y)
(x + y) . (x + y)
–––––––––––––––
(x + y) . (x – y)
x + y
––––––
x – y
x + y
––––––
x – y
2x2 + x + 3
––––––––––––
x2 + 2x + 1
x + 2
––––––
x + 1
2x2 + x + 3 – [(x + 2) . (x + 1)]
––––––––––––––––––––––––––
(x + 1)2
2x2 + x + 3 – x2 – 3x – 2
–––––––––––––––––––––––
(x + 1)2
x2 – 2x + 1
––––––––––
(x + 1)2
(x – 1)2
––––––––
(x + 1)2 �
x – 1
–––––––
x + 1 �
� a + b–––––––a – b
a – b
––––––
a + b �
a + b
––––––
2ab
� (a + b)
2 – (a – b)2
––––––––––––––––
(a – b) . (a + b) �
a + b
––––––
2ab
� a
2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2)
––––––––––––––––––––––––––
(a – b) . (a + b) �
a + b
–––––––
2ab
4ab
––––––––––––––
(a – b) . (a + b)
(a + b)
–––––––
2ab
2
––––––
a – b
(a – b) . (a2 + ab + b2)
––––––––––––––––––
(a2 + ab + b2)
a3 – b3
–––––––––––
a2 + ab + b2
a3 – 5a2 – a + 5
––––––––––––––
a2 – 1
a2 (a – 5) – (a – 5)
–––––––––––––––
a2 – 1
(a – 5)(a2 – 1)
–––––––––––––
a2 – 1
1
––
a
1
––
a
1
––
a
1
––
a2
1
––
a2
1
––
a2
1
––
a2
a2 + a + 1
––––––––––
a + 1
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
––––––––––––––––––––
x3 + y3
x2 + 2xy + y2
––––––––––––––
x2 – xy + y2
(x + y)2
––––––––––––
(x2 – xy + y2)
(x + y)3
–––––––––––––––––––
(x + y) . (x2 – xy + y2)
(x2 – xy + y)2
––––––––––––
(x + y)2
(x + y)3
–––––––––––––––––––
(x + y) . (x2 – xy + y2)
(x + y)3 . (x2 – xy + y2)
––––––––––––––––––––––––––––
(x + y) . (x + y)2 . (x2 – xy + y2)
(x + y)3 . (x2 – xy + y2)
–––––––––––––––––––––
(x + y)3 . (x2 – xy + y2)
(a + b)3 – (a3 + b3)
–––––––––––––––––
(a + b)2 – (a2 + b2)
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 – b3)
––––––––––––––––––––––––––
a2 + 2ab + b2 – a2 – b2
3ab(a + b)
–––––––––
2ab
3a2b + 3ab2
––––––––––
2ab
3(a + b)
–––––––2
– VII
GAB_TC1_1A_MAT_2022_Rose 01/12/2021 10:02 Página VII
11) =
= = x – y
Resposta: D
12)(a + b)3 – (a3 – b3) =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 – b3 = 
= 3a2b + 3ab2 = 3ab(a + b)
Resposta: C
13) a + = 3 ⇔ a +
3
= 33 ⇔
⇔ a3 + 3a + + = 27 ⇒
⇒ a3 + + 3a + = 27 ⇔
⇔ a3 + + 3 a + = 27 ⇒
⇒ a3 + + 3 . 3 = 27 ⇒
⇒ a3 + = 27 – 9 = 18
Resposta: a3 + = 18
MÓDULO 13
SIMPLIFICAÇÃO DE 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
1) Supondo a ≠ –1, temos:
= = 
Resposta: B
2) Supondo a ≠ –b, temos:
= = 
= = 
Resposta: D
3) Supondo x ≠ y e x ≠ –y, temos:
= =
= =
4) Supondo x ≠ y e x ≠ –y, obtemos:
= 
= = 
= = x + y
Resposta: D
5) ÷ =
= ÷ =
= = a . b
Para a = 2 + ���3 e b = 2 – ���3, temos:
(2 + ���3) . (2 – ���3) = 4 – 3 = 1
Resposta: B
6) = = x2 + 1
Resposta: B
7) = =
= x2 – 1 = 112 – 1 = 121 – 1 = 120
Resposta: E
8) = =
= =
=
Resposta: A
9) : =
= : =
= (x – y) : =
= (x – y)(x + y) = x2 – y2
Resposta: C
10) I) M = a + =
= =
= = 
II) N = 1 – =
= =
= = 
III) = =
= = b
Resposta: B
11) . =
= =
= = 
Resposta: B
12) + + =
= =
= = 0
Resposta: B
a2 . b2 . (b + a)
–––––––––––––
(a + b) . (a – b)
ab
–––––
a – b
a2 . b2 (a – b)
–––––– . ––––––
(a – b) ab
x4 + 2x2 + 1
––––––––––––
x2 + 1
(x2 + 1)2
––––––––
x2 + 1
x6 – 3x4 + 3x2 – 1
––––––––––––––––
x4 – 2x2 + 1
(x2 – 1)3
––––––––
(x2 – 1)2
x3 – 27
–––––––––––
x2 – 6x + 9
x3 – 33
––––––––
(x – 3)2
(x – 3)(x2 + 3x + 9)
––––––––––––––––––
(x – 3)2
x2 + 3x + 9
–––––––––––
x – 3
x2 – 2xy + y2�–––––––––––––�x – y
x + y�––––––––––––�x2 + 2xy + y2
(x – y)2
––––––––
(x – y)
x + y
––––––––
(x + y)2
x + y
––––––––
(x + y)2
b – a 
–––––––
1 + ab
a(1 + ab) + b – a
––––––––––––––––
(1 + ab)
a2b + b
––––––––––
(1 + ab)
b(a2 + 1)
––––––––––
(ab + 1)
ab – a2
–––––––
1 + ab
1(1 + ab) – (ab – a2)
–––––––––––––––––––
(1 + ab)
1 + a2
––––––––
1 + ab
(a2 + 1)
–––––––––
(ab + 1)
M 
––––
N
b(a2 + 1)
–––––––––
ab + 1
––––––––––––
a2 + 1
––––––––
ab + 1
b(a2 + 1)
––––––––––
a2 + 1
a + b 
–––––––
a2 – ab
a2b – ab2
–––––––––––
a2b – b3
(a + b) . ab(a – b)
–––––––––––––––––––
a(a – b) . b(a2 – b2)
a2b3 + a3b2
––––––––––
a2 – b2
ab
–––––
a – b
x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
––––––––––––––––––––
x2 – 2xy + y2
(x – y)3
–––––––––
(x – y)2
1
––
a �
1
––
a �
3––
a
1–––
a3
1–––
a3
3––
a
1–––
a3 �
1
––
a �
1–––
a3
1–––
a3
1–––
a3
a2 + a
––––––
2a + 2
a . (a + 1)
–––––––––
2 . (a + 1)
a
––
2
a3 + a2b
–––––––––––
a2 + 2ab + b2
a2 . (a + b)
–––––––––
(a + b)2
a2 . (a + b)
–––––––––––––
(a + b) . (a + b)
a2
–––––
a + b
x2 + 2xy + y2
––––––––––––
x2 – y2
(x + y)2
–––––––––––––
(x + y) . (x – y)
(x + y) . (x + y)
–––––––––––––
(x + y) . (x – y)
x + y
–––––
x – y
(x + y)3 – 2y (x + y)2
––––––––––––––––––
x2 – y2
(x + y)2 . [(x + y) – 2y]
–––––––––––––––––––
(x + y) . (x – y)
(x + y)2 . (x – y)
––––––––––––––
(x + y) . (x – y)
1
–––––––
(a – b)
(a + b)
–––––––––––––
(a + b)(a – b)
z – x 
––––––
z . x
y – z 
––––––
y . z
x – y 
––––––
xy
z(x – y) + x(y – z) + y(z – x)
–––––––––––––––––––––––––––
x . y . z
0
–––––––––
x . y . z
VIII –
GAB_TC1_1A_MAT_2022_Rose 01/12/2021 09:50 Página VIII
MÓDULO 14
SIMPLIFICAÇÃO DE 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
1) . =
= . =
= . =
= . = 
Para a = 31,7 e b = 11,7, temos:
= = = 0,1
Resposta: A
2) Para a > 0 e b > 0, temos:
2 + = 
= 2 + = 
= 2 + =
= 2 + = 2 + =
= = 
Resposta: B
3) = =
= = 
Para a = 17,4 e b = 11, temos:
= = 1,2
Resposta: D
4) =
= =
= = = 
= = 1
Resposta: D
5) – =
= –
– =
= (x2 + xy + y2) – (x2 – xy + y2) =
= x2 + xy + y2 – x2 + xy – y2 = 2xy 
Resposta: E
6) (
3
���3 –
3
���2)(
3
���9 + 
3
���6 + 
3
���4 )
Para a = 
3
���3 e b = 
3
���2 a expressão dada é da
forma (a – b)(a2 + ab + b2) e resulta igual a
a3 – b3 = (
3
���3)3 – (
3
���2)3 = 3 – 2 = 1 
Resposta: C
7) + = =
= = =
= = = 
Resposta: B
8) x + = 5 ⇒
2
= 52 ⇒
⇒ x2 + 2x . + = 25 ⇒
⇒ x2 + 2 + = 25 ⇒
⇒ x2 + = 25 – 2 ⇒ x2 + = 23
Resposta: B
9) ⇒
⇒ (a + b + c)2 = 122 + 2 . 101 ⇒
⇒ (a + b + c)2 = 122 + 202 ⇒
⇒ (a + b + c)2 = 324 ⇒ a + b + c = 18
Resposta: C
10) =
= =
= =
= = 1
Resposta: A
11)(x + y)3 – (x – y)3 =
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) –
– (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) =
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y –
– 3xy2 + y3 = 6x2y + 2y3
Resposta: E
12) y = – =
= =
= =
= =
= = 
Resposta: E
13) Para x = 4 e y = ���3, temos:
=
= =
= x2 – y2 = 42 – (���3)2 = 16 – 3 = 13
1
–––
a2
1
–––
b2
a2 + b2
–––––––
a2b2
(a + b)2 – 2ab
–––––––––––––
a2b2
82 – 2,8
––––––––
82
64 – 16
––––––––
64
48
––––
64
3
–––
4
1
–––
x
1�x + ––�x 
1
–––
x
1
–––
x2
1
–––
x2
1
–––
x2
1
–––
x2
�
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
a2 + b2 + c2 = 122
ab + ac + bc = 101
(���2 + ���3 + ���5)2
––––––––––––––––––––––––
10 + 2(���6 + �����10 + �����15 )
(���2)2+(���3)2+(���5)2+2.(���2.���3+���2.���5+���3.���5) 
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10 + 2(���6 + �����10 + �����15 )
2 + 3 + 5 + 2.(���6 + �����10 + �����15 )
–––––––––––––––––––––––––––––
10 + 2(���6 + �����10 + �����15 )
10 + 2(���6 + �����10 + �����15 )
–––––––––––––––––––––––
10 + 2(���6 + �����10 + �����15 )
2x2
––––––
x2 – 1
x 
–––––
x – 1
2x2 . (1) – x(x + 1) 
––––––––––––––––––
(x + 1) . (x – 1)
2x2 – x2 – x
––––––––––––––––––
(x + 1) . (x – 1)
x2 – x
––––––––––––––––
(x + 1) . (x – 1)
x(x – 1) 
––––––––––––––
(x + 1) . (x – 1)
x 
–––––––
x + 1
(x4 – y4) . (x + y)2
–––––––––––––––––––––––––
(x2 + y2) . (x2 + 2xy + y2)
a + b a – b(––––– – –––––)a – b a + b
a + b
–––––
2ab
(a + b)2 – (a – b)2[–––––––––––––––](a – b) . (a + b) a + b–––––2ab
(a2 + 2ab + b2)–(a2 – 2ab + b2)[–––––––––––––––––––––––](a – b) . (a + b) a+b––––2ab
4ab
–––––––––––––
(a – b) . (a + b)
(a + b)
––––––
2ab
2
–––––
a – b
2
––––––––––
31,7 – 11,7
2
–––
20
1
–––
10
a2 b2
–– + –– + 2
b2 a2
a4 + b4 + 2a2b2
–––––––––––––
a2b2
a4 + 2a2b2 + b4
–––––––––––––
a2b2
(a2 + b2)2
–––––––––
a2b2
a2 + b2
––––––
ab
a2 + 2ab + b2
–––––––––––
ab
(a + b)2
––––––
ab
a . (b + 1) + (b + 1)
––––––––––––––––
a . (b – 1) + (b – 1)
ab + a + b + 1
––––––––––––
ab – a + b – 1
b + 1
–––––
b – 1
(b + 1) . (a + 1)
–––––––––––––
(b – 1) . (a + 1)
12
–––
10
11 + 1
–––––
11 – 1
(���6 + ���3)2
––––––––––
9 + 6���2 
(���6 )2 + 2 . ���6 . ���3 + (���3)2
–––––––––––––––––––––––––
9 + 6���2
9 + 2 . ��������2 . 32
––––––––––––––
9 + 6���2
6 + 2�����18 + 3
–––––––––––
9 + 6���2
9 + 6���2 
–––––––––
9 + 6���2
x3 + y3
––––––––
x + y
x3 – y3
––––––––
x – y
(x – y)(x2 + xy + y2
––––––––––––––––––
(x – y)
(x + y)(x2 – xy + y
––––––––––––––––––
(x + y)
(x2 + y2) . (x2 – y2) . (x2 + 2xy + y2) 
––––––––––––––––––––––––––––––––
(x2 + y2) . (x2 + 2xy + y2)
– IX
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página IX
14) Se m + n + p = 6, mnp = 2 e 
mn + mp + np = 11, então: 
(m + n + p)2 = 62 ⇔
⇔ m2 + n2 + p2 + 2(mn + mp + np) = 36 ⇔
⇔ m2 + n2 + p2 + 2 . 11 = 36 ⇔
⇔ m2 + n2 + p2 = 14
Portanto, = = 7
Resposta: B
MÓDULO 15
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) I) Um ano-luz: 9 trilhões e 500 bilhões de 
quilômetros = 9.500.000.000.000 km =
= 9,5 . 1012 km
II) E = 100.000 anos-luz =
= 105 anos-luz = 105 . (9,5 . 1012 km) =
= 9,5 . 1012+5 km = 9,5 . 1017 km
Resposta: E
2) = =
= = = 
Resposta: D
3) 75x = 243 ⇔ (7x)5 = (3)5 ⇔ 7x = 3 ⇔
⇔ (7x)2 = 32 ⇔ (72)x = 9 ⇔ 49x = 9
Resposta: C
4) x = (0,25)0,25 = = =
= (2– 2) = 2
y = 16– 0,125 = (24) = (24) = 2
Resposta: A
5) Sendo n a diferença entre a dízima perió -
dica 
10 vezes64748
0,444… e o decimal 0,444…4, temos:
10 vezes 10 vezes678 678
n = 0,444…– 0,444…4 = 0,000…0444…=
= 0,444… . 10–10 = . 10–10
Assim, ���n = . 10–10 =
= . 10– 5 = = 
Resposta: C
6) I) Se x e y são positivos e x > y, então 
x + y > 0 e x – y > 0. Além disso, 
�������� x + y > �������� x − y
II) ⇔
⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔
⇔
III)Desta forma, 2x = 2 . 17 = 34
Resposta: D
7) 3m + 14400 = n2 ⇔ 3m = n2 – (120)2 ⇔
⇔ 3m = (n + 120)(n – 120)
Observemos que (n + 120) e (n – 120) são
duas potências de 3 que diferem de240. Entre os elementos do conjunto 
A = {30, 31, 32, 33, 34, 35} somente 31 e 35
diferem de 240.
Quaisquer dois elementos do conjunto 
B = {36, 37, ...} diferem, no mínimo, de 
37 – 36 = 1458.
Entre um elemento de B e outro de A a dife -
rença é, no mínimo, de 36 – 35 = 486.
Assim, � n + 120 = 3
5
⇒ n = 123
n – 120 = 31
e
3m = (123 + 120)(123 – 120) = 36 ⇒
⇒ m = 6
Desta forma m + n = 6 + 123 = 129 e o resto
da divisão de m + n por 5 é 4.
Resposta: E
8) a) Com x, y e z inteiros e positivos e 
���x = z, temos:
y = (z – 1)2 ⇔ y = (���x – 1)2 ⇔
⇔ y = x – 2���x + 1 ⇔
⇔ x – y = 2���x – 1 ⇔ x – y = 2z – 1
Sendo 2z, com z ∈ �+
*, sempre par,
2z – 1 (seu antecessor) é sempre ímpar. 
b) Sendo a = 2n + 1 e b = 3n + 1, temos:
b – a = 3n + 1 – 2n + 1 = 3 . 3n – 2 . 2n >
> 2 . 3n – 2 . 2n = 2 . (3n – 2n). 
Assim, b – a > 2 . (3n – 2n)
Respostas: a) É certo. Vide demonstração.
b) Pode-se afirmar. 
Vide demonstração.
9) Lembrando que (x + y + z)2 =
= x2 + y2 + z2 + 2 (xy + xz + yz) temos 
(x + y + z)2 = 6 + 2 . 6 ⇔
⇔ (x + y + z)2 = 18 ⇔
⇔ x + y + z = � 3����2 
Resposta: D
MÓDULO 16
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) x – = 3 ⇔ = 32 ⇔
⇔ x2 – 2 . x . = 9 ⇔
⇔ x2 – 2 + = 9 ⇔
⇔ x2 + = 9 + 2 ⇔ x2 + = 11
Resposta: C
2) x = a + x–1 ⇔ x – x–1 = a ⇔
⇔ (x – x–1)2 = a2 ⇔
⇔ x2 – 2 . x . x–1 + (x–1)2 = 
= a2 ⇔ x2 – 2 + x–2 = a2 ⇔
⇔ x2 + x–2 = a2 + 2
Resposta: A
3) I) = 
II) ⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔ a2 + b2 + 2 . 10 = 100 ⇔
⇔ a2 + b2 = 80
III)De (I) e (II), temos: 
= = = 8
Resposta: C
m2 + n2 + p2
––––––––––––
mnp
14 
–––
2
2n + 2n+1 + 2n+2
––––––––––––––
2n+3
2n + 2n . 2 + 2n . 22
–––––––––––––––
2n . 23
2n . (1 + 2 + 22)
––––––––––––––
2n . 23
1 + 2 + 4
––––––––
8
7
––
8
25(–––––)100
25
––––
100 1(––)4
1
–––
4
1
–––
4
1
– –––
2
125
– ––––
100
1
– –––
8
1
– –––
2
4
–––
9
4
–––
9
1–––––––
150 000
2–––––––
300 000
2
–––
3
�������� x + y + �������� x − y = 8 
���������x2 − y2 = 15�
�������� x + y + �������� x − y = 8 
�������� x + y . �������� x − y = 15 �
x + y = 25 
x – y = 9 ��������� x + y = 5 �������� x – y = 3 �
x = 17 
y = 8 �
1(x – ––)2x
1
––
x
1 1
–– + –––
x x2
1
–––
x2
1
–––
x2
1
–––
x2
a2 + b2
–––––––
ab
a b
–– + ––
b a
(a + b)2 = 102
ab = 10�a + b = 10ab = 10�
a2 + b2 + 2ab = 100
ab = 10�
80
–––
10
a2 + b2
–––––––
ab
a b
–– + ––
b a
X –
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página X
4) a) (a – b – c)2 = [a + (– b) + (– c)]2 =
= a2 + (– b)2 + (– c)2 + 2 . a . (– b) + 
+ 2 . a . (– c) + 2 . (– b) . (– c) =
= a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac + 2bc
b) (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + b2 + c2 + d2
+ 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
c) (m + n + p)2 = m2 + n2 + p2 + 2mn + 
+ 2mp + 2np
5) Lembrando que 
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2 (xy + xz + yz)
temos 
(x + y + z)2 = 6 + 2 . 6 ⇔
⇔ (x + y + z)2 = 18 ⇔
⇔ x + y + z = � 3���2 
Resposta: D
6) I) ⇔
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔ m2 + n2 + p2 = 14
II) Como mnp = 2, temos:
= = 7
Resposta: B
7) 2 – : =
= 2 – : =
= 2 – : =
= 2 – . 3 =
= 2 – = =
= = 
Resposta: E
8) a) – = = = –
b) = = =
= = 0,05
9) 7 + : –
– 30 . +
2
.
3
+ 70 =
= : –15+ . + 1 =
= . – 15 + + 1 =
= 21 – 15 + + 1 =
= =
Resposta: E
10) = =
= = =
= . = = 
Resposta: A
11) =
= =
= = . = = 
Resposta: A
12) 416 . 525 = α . 10n ⇔
⇔ (22)16 . 525 = α . 10n ⇔
⇔ 232 . 525 = α . 10n ⇔
⇔ 27 . 225 . 525 = α . 10n ⇔
⇔ 27 . (2 . 5)25 = α . 10n ⇔
⇔ 128 . 1025 = α . 10n
Para 1 � α � 10, temos:
128 . 1025 = 1,28 . 1027 = α . 10n
Portanto, n = 27
Resposta: D
13) z = . =
= . =
= = 
Resposta: A
14) 555552 – 444442 =
= (55555 + 44444) . (55555 – 44444) =
= 99999 . 11111 = 9 . (11111)2 =
= (3 . 11111)2 = 333332 = 1111088889
Resposta: E
15) = ⇔
⇔ x3 + x + 1 = ⇔
⇔ (x3 + x + 1) + 1 = + 1 ⇔
⇔ x3 + x + 2 = ⇔
⇔ =
Resposta: B
FRENTE 2
MÓDULO 1
PRIMEIROS CONCEITOS 
DE CONJUNTOS 
1) a) A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
B = {4, 6, 8, 10}
b) A = {x ∈ � � 3 < x < 11} =
= {x ∈ � � 4 � x � 10}
B = {x ∈ � � 3 < x < 11 e x é par} =
= {x ∈ � � 4 � x � 10 e x é par}
� 35 + 1––––––5 �
12
–––
35
9
–––
16
8
–––
27
36
–––
5
35
–––
12
1
–––
6
1
–––
6
126 – 90 + 1 + 6
––––––––––––––
6
43
–––
6
1
1 + ––––––
1
1 – ––
5
–––––––––––––
3
– 1 + ––––––
1
1 + ––
5
1
1 + –––––––
5 – 1
–––––
5
–––––––––––––
3
– 1 + –––––––
5 + 1
–––––
5
5
1 + –––
4
–––––––––––
15
– 1 + ––––
6
4 + 5
––––––
4
–––––––––––
– 6 + 15
–––––––––
6
9
–––
4
6
–––
9
6
–––
4
3
–––
2
2 3 17�––– + –––� : ––––3 4 2
–––––––––––––––––––
2– 1 + 2– 2
8 + 9 2�––––––� . ––––12 17
––––––––––––––––
1 1
––– + –––
2 4
1
––
6
––––––––––
2 + 1
––––––––
4
1
––
6
4
––
3
4
–––
18
2
––
9
�2––3��
3
––
4��
1
––
2�
12
–––
35�
1
–––
5�
� m + n + p = 6mn + mp + np = 11
� (m + n + p)
2 = 62
2mn + 2mp + 2n = 2 . 11
� m
2 + n2 + p2 + 2mn + 2mp + 2np = 36
2mn + 2mp + 2np = 22
m2 + n2 + p2
––––––––––––
mnp
14
–––
2
2 4(–– – 3 . ––)5 9
1
–––
3
2 4(–– – ––)5 3 1–––3
6 – 20(–––––––)15 1–––3
– 14(––––––)15
– 42
––––
15
30 + 42
––––––––
15
72
––––
15
24
––––
5
1
–––
10
1
–––
6
3 – 5
–––––
30
– 2
––––
30
1
–––
15
0,2 . 0,3
––––––––
3,2 – 2,0
0,06
–––––
1,2
6
–––––
120
1
–––
20
a2 – 1
–––––––
2 + a
2x – 2y + ax – ay
––––––––––––––––
a3 – a2 – a + 1
a2 – 1
––––––
2 + a
2(x – y) + a(x – y)
–––––––––––––––––
a2(a – 1) – 1(a – 1)
x – y
–––––
a – 1
(2 + a) . (x – y) . (a2 – 1)
–––––––––––––––––––––––
(a – 1) . (a2 – 1) . (2 + a)
27
–––
37
1
––––––––––
x3 + x + 1
37
–––
27
37
–––
27
64
–––
27
27
–––
64
1
––––––––––
x3 + x + 2
– XI
GAB_TC1_1A_MAT_2022_Rose 16/11/2021 08:24 Página XI
2) (I) É falsa, pois 2 ∈ {2; 5; 7}.
(II) É falsa, pois {2} � {0; 1; 2; 3; ...}.
(III) É verdadeira, pois 3 é elemento de 
{2; 3; 4}.
(IV) É verdadeira, pois 2 ∈ {1; 2} e 1 ∈ {1; 2}.
Observe que {2; 1} � {1; 2} e 
{1; 2} � {2; 1} e, por tanto {2; 1} = {1; 2}.
Resposta: B
3) O conjunto A = {1; 2; {2}; {3}; Ø} tem 
5 elementos. A relação de pertinência desses
elementos é:
1 � A
2 � A
{2} � A
{3} � A
Ø � A
Assim, temos:
a) 1 � A e 2 � A (V)
b) {3} � A (V)
c) 3 � A (V)
d) {1} � A (V)
e) {2} � A (V)
f) {{2}, {3}} � A (V)
g) {1; 3} � A (V)
h) Ø � A (V)
i) {Ø} � A (V)
j) Ø � A (F), pois Ø � A
k) {2} � A (V)
l) {1} � A (F), pois {1} � A
m) 5 � A (V)
n) {1; 2} � A (V)
o) {{2}} � A (V)
p) {1; 2; 4} � A (V)
q) {3} � A (V)
r) Ø � A (V)
s) A � A (V)
t) {4; Ø} � A (V)
4) Sendo A = {3; {3}}, tem-se:
1) 3 � A é verdadeira.
2) {3} � A é verdadeira.
3) {3} � A é verdadeira
Resposta: D
5) I) {1; 2} � X ⇒ 1 ∈ X e 2 ∈ X
II) X � {1; 2; 3; 4}
De (I) e (II), podemos ter:
X = {1; 2} ou X = {1; 2; 3} ou 
X = {1; 2; 4} ou X = {1; 2; 3; 4}
Resposta: B
6) a) falsa pois, por exemplo, 3 ∈ Α e, 3 ∉ B
b) falsa, pois por exemplo, 5 ∈ Β e 5 ∉ Α
c) verdadeira, 6 ∈ Α
d) falsa, pois 6 ∈ Α e não { 6 } ∈ Α
e) falsa, pois 30 ∈ B e não { 30 } ∈ Β
Resposta: C
7) A ligação entre elemento e conjunto é esta -
belecida pela relação de pertinência (∈) e
não pela relação de igualdade (=). Assim
sendo, 3 ∈ {3} e 3 ≠ {3}. De um modo
geral, x ≠ {x}, ∀x.
Resposta: E
MÓDULO 2
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
1) O número de subconjuntos de A é dado por
26 = 64.
Resposta: E
2) O conjunto {a; b; c; d; e; f; g} tem 7 ele -
mentos, então, o total de subconjuntos é 
27 = 128
Resposta: B
3) Lembrando que: “Se A possui k elementos,
então A possui 2k subconjuntos”, con -
cluímos que o conjunto A, de 5 elementos,
tem 25 = 32 subconjuntos.
Resposta: 32
4) O conjunto dos múltiplos estritamente 
po siti vos de 5, menores do que 40, é 
A = {5; 10; 15; 20; 25; 30; 35}. Como A tem
7 elementos ele possui: um total de 
27 = 128 subconjuntos dos quais um deles é
o conjunto vazio.
Portanto, n = 128 – 1 = 127
Resposta: A
5) Representando os conjuntos A, B e C pelo
diagrama de Venn-Euler, temos:
a) 
A � B = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
b)
A � B = {3, 4}
c)
A � C = {1, 3, 4, 5, 6, 8}
d)
A � C = {4, 6}
e)
A � B � C = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
f) 
A � B � C = {4}
g)
(A � B) � C ={4; 5; 6}
XII –
GAB_TC1_1A_MAT_2022_Rose 16/11/2021 08:24 Página XII
h)
A – B = {1; 6}
i) 
(A � B) – C = {1, 3, 7}
j) 
�
C
A = C – A = {5, 8}
6) I)
corresponde a (A � B)
II)
corresponde a (A � B)C
III) 
corresponde a (A � B) � (A � B)C
Resposta: D
7) I) Todo jovem que gosta de matemática
adora esportes ⇒ M � E
II) Todo jovem que gosta de matemática
adora festas ⇒ M � F
III) ⇒ M � (E � F), que pode 
ser representado por:
Resposta: C
MÓDULO 3
DIAGRAMAS E 
NÚMERO DE ELEMENTOS
1)
Sejam:
A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = x
B o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9
C o conjunto dos meninos não ruivos e 
n(C) = 13
D o conjunto das meninas não ruivas e 
n(D) = y
De acordo com o enunciado, temos:
n(B � D) = n(B) + n(D) = 9 + y = 42 ⇔ y = 33� n(A � B) = n(A) + n(B) = x + 9 = 24 ⇔ x = 15
Assim sendo
a) o número total de crianças da escola é:
n (A � B � C � D) =
= n(A) + n(B) + n(C) + n(D) =
= 15 + 9 + 13 + 33 = 70
b) o número de crianças que são meninas
ou são ruivas é:
n[(A � B) � (B � D)] =
= n(A) + n(B) + n(D) =
= 15 + 9 + 33 = 57
2) A questão apresenta várias imperfeições,
como, por exemplo, faltou uma palavra no
enunciado, não disse quantas mulheres não
opinaram etc. Admitindo-se que todas
tenham opinado e que o que se pede é “a
quan tidade delas que acreditam que os
homens odeiam ir ao shopping e pensa que
eles preferem que elas façam todas as tarefas
da casa”, temos 
65% . 300 = 195 e 72% . 300 = 216
Assim, (195 – x) + x = (216 – x) = 300 ⇒
⇒ x = 111, que estão entre 100 e 120.
Resposta: C
3)
⇔
⇔ 300 = n(F) + 130 – 50 ⇔
⇔ n(F) = 300 – 130 + 50 = 220
4) I) Representando num diagrama, tem-se:
II) 40 – x + x + 70 – x = 100 ⇔ x = 10
III)O percentual de leitores que leem os
jornais A e B é = 10%
Resposta: A
�M � EM � F
�
n(I) = 130
n(F � I) = 50
n(F � I) = 300
n(F � I) = n(F) + n(I) – n(F � I)
10
––––
100
– XIII
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 16/10/2019 17:22 Página XIII
5) I) Representando num diagrama, tem-se:
II) O número de pessoas consultadas é
150 + 150 + 120 + 80 = 500 
Resposta: D
6) De acordo com o texto, temos o se guinte
diagrama, em porcentagem, sendo I o con -
junto dos que estudam inglês e F o conjunto
dos que estudam francês
Assim, 
(80 – x) + x + (40 – x) + 10 = 100 ⇔
⇔ x = 30
Resposta: E
7)
a) 61 pessoas consomem só a marca A.
b) 142 pessoas consomem só a marca B.
c) 98 pessoas consomem só a marca C.
8) No terceiro trimestre de 2009, temos 1600
relatos, assim distribuídos:
No terceiro trimestre de 2010, temos 
1600 . 1,77 = 2 832 relatos. Desses, foram
vítimas de phishing 960 . 2,50 = 2400 e
foram vítimas de trojans
600 . (1 – 36%) = 384.
Desta forma, em 2010, temos a seguinte
distribuição:
O número de usuários que no terceiro
trimestre de 2010 relataram ser vítimas de
outros ataques é
2832 – (2340 + 60 + 324) = 108
Resposta: E
9) Utilizando o diagrama de Venn, tem-se a
seguinte distribuição da quantidade de
sócios entrevistados:
O número de sócios entrevistados que estão
em dúvida entre votar em B ou em C, mas
não votariam em A (conjunto (B � C) – A)
é 20.
O número de sócios consultados que pre ten -
dem participar da eleição, mas não vo tariam
em B (conjunto (A 	 B 	 C) – B) é 150.
Respostas: 20 e 150
10)De acordo com o enunciado, temos: 
n (A � B � C) = 7
n (A � B) = a + 7 = 26 ⇒ a = 19
n (A � C) = b + 7 = 10 ⇒ b = 3
Assim sendo:
e portanto n[A � (B � C)] = a + 7 + b =
= 19 + 7 + 3 
Logo: n[A � (B � C)] = 29
MÓDULO 4
RELAÇÃO BINÁRIA E 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO; DOMÍNIO, 
CONTRADOMÍNIO E IMAGEM
1) Se A = {2;4} e B = {1;2;3}, então:
a) A x B = {(2;1), (2;2), (2;3), (4;1), 
(4;2), (4;3)}
B x A = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), 
(3, 2), (3, 4)}
b)
c)
2) Se A = {0; 1; 2} e B = {3}, então 
A × B = {(0; 3), (1;3); (2; 3)}
Ø, {(0, 3)}, {(1, 3)}, {(2, 3)},
{(0, 3), (1, 3)}, {(0, 3), (2, 3)}, 
{(1, 3), (2, 3)} e {(0, 3), (1, 3), (2, 3)}
3) Sendo A×B = {(5;3); (5;7)} as relações bi -
ná rias de A em B são:
Ø, {(5;3)}, {(5;7)}, {(5;3),(5;7)}
Resposta: D
XIV –
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página XIV
4)
5)
6)
7) a) Devemos determinar o conjunto de
todos os pares ordenados (x; y) do pro -
duto cartesiano A x B, de tal forma que
o 1o. ele mento x divida o 2o. ele mento y.
Como (x; y) ∈ A x B ⇔ x ∈ A e 
y ∈ B, temos:
(1) Se x = 2, então 2 divide 4 e 2 di vi -
de 6 e, portanto, (2; 4) e (2; 6) são
elementos de f.
(2) Se x = 3, então
3 divide 3 e 3 divide 6
e, portanto, (3; 3) e (3; 6) são ele -
mentos de f.
(3) Se x = 4, então 4 divide 4
e portanto (4; 4) é elemento de f.
Assim sendo,
f = {(2; 4), (2; 6), (3; 3), (3; 6), (4; 4)}
b)
c) 
8) a) n(A x A) = n(A) . n(A)
n(A) . n(A) = 9 ⇒ [n(A)]2 = 9 ⇒
⇒ n(A) = 3
b) (1; 2) ∈ A x A ⇒ 1 ∈ A e 2 ∈ A
(3; 3) ∈ A x A ⇒ 3 ∈ A
Assim sendo, de (a) e (b), tem-se:
A = {1; 2; 3} e, portanto,
A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), 
(2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
9)
10) Representando, na reta real, os conjuntos 
M = [0; 5], P = [3; 7], M – P e P – M,
tem-se:
O conjunto (M – P) × (P – M) é represen -
tado pela região R4
Resposta: D
x y = x2
1 1 ∉ B
2 4
3 9
4 16 ∉ B
x y = 7 – x
1 6
2 5
3 4
4 3
x y = x + 1
1 2 ∉ B
2 3
3 4
4 5
– XV
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página XV
MÓDULO 5
RELAÇÃO BINÁRIA E DEFINIÇÃO
DE FUNÇÃO; DOMÍNIO, 
CONTRADOMÍNIO E IMAGEM 
1) (I) não é função
(II) não é função
(III) é função com
D = {1, 2, 3}
CD = { 1, 2, 3, 4, 5 } 
Im = { 1, 2, 3 } 
(IV) é função com 
D = {1, 2, 3}
CD = { 1, 2 }
Im = { 1, 2 } 
(V) é função com 
D = {1, 2, 3}
CD = { 0 }
Im = { 0 }
(VI) não é função
2) a) f1 = {(0; 0); (1; 1)}
f1 não é função, pois do elemento 2 não
parte nenhuma flecha.
b) f2 = {(0, 0), (1, –1), (1, 1), (2, –2), 
(2, 2)}
 
f2 não é função, pois dos elementos 1 e
2 partem mais de uma flecha.
c) f3 = {(0, – 2), (1, – 1), (2, 0)}
f3 é uma função com:
D(f3) = {0; 1; 2} = A
CD(f3) = {– 2; – 1; 0; 1; 2} = B
Im(f3) = {– 2; – 1; 0} � B.
d) f4 = {(0, 1), (1, 0), (2, 1)}
f4 é uma função com:
D (f4) = {0; 1; 2} = A
CD (f4) = {– 2; – 1; 0; 1; 2} = B
Im(f4) = {0; 1} � B
3) Sendo f: A → � uma função definida por 
f(x) = 4 – 3x2, para 
A = {– 2; – 1; 0; 1; 2}, tem-se:
I) f(– 2) = f(2) = 4 – 3 . 4 = – 8
II) f(– 1) = f(1) = 4 – 3 . 1 = 1
III) f(0) = 4 – 3 . 0 = 4
Assim, o conjunto imagem de f é 
{– 8; 1; 4}
Resposta: E
4) O domínio é o “maior” subconjunto de �
para o qual está definida a sentença dada.
Assim sendo:
a) D(f) = �, pois 2x + 3 está definida para
todos os números reais.
b) D(g) = � – {3}, pois a fração
não está definida apenas para
x – 3 = 0 ⇔ x = 3.
c) D(h) = {x ⇔ � � x ≥ 2}, pois ��������x – 2 só
está definida se x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.
5) a) f(2) = 2 + =
b) f = + + + 2 = 
c) f(x) = x + =
d) f = + + + x =
= 
e) f(x + 1) = (x + 1) + =
= =
f) f(x – 1) = (x – 1) + =
= =
6) a) Para x = 7, temos:
f(7 + 1) – f(7) = 2 . 7 ⇔ f(8) – f(7) = 14
b) Para x = 34, temos:
f(34 + 1) – f(34) = 2 . 34 ⇒
⇒ f(35) – f(34) = 68
c) Como
f(12) – f(10) = f(12) – f(11) +
+ f(11) – f(10), temos:
f(12) – f(11) = 2 . 11 = 22
f(11) – f(10) = 2 . 10 = 20
e, portanto, f(12) – f(10) =
= 22 + 20 = 42
7) a) f(2) = = 1
b) f(3) = = 2
c) f(31) = = 16
d) f(2p) = = p
8) Até a água atingir o cano de ligação, o nível
sobe com velocidade constante. Ao atingir o
cano de ligação, passa a encher o
Reservatório 2, mantendo o nível do
reservatório 1 inalterado.
Quando os níveis se igualam, passam a
subir, também com velocidade constante,
porém menor do que a inicial, resultando em
um “trecho”, do gráfico, menos inclinado.
A melhor representação gráfica do nível do
reservatório 1 é
Resposta: D
MÓDULO 6
COMO RECONHECER UMA FUNÇÃO
1) Os gráficos I, III e IV representam funções,
pois é possível traçar uma reta vertical que
intercepta o gráfico apenas uma vez.
Resposta: B
2–––
2
3 + 1–––––
2
31 + 1––––––
2
2p–––
2
x + 1
––––––
x – 3
1
–––
2
5
–––
2� 1––2 �
1––
2
1
–––
1
––
2
1
––
2
5
––
2
1
––
x
x2 + 1
––––––––
x
� 1––x �
1––
x
1
–––
1
––
x
1
––
x
x2 + 1
––––––––
x
1––––––
x + 1
(x + 1)2 + 1
–––––––––––
x + 1
x2 + 2x + 2
–––––––––––
x + 1
1––––––
x – 1
(x – 1)2 + 1
–––––––––––
x – 1
x2 – 2x + 2
–––––––––––
x – 1
XVI –
GAB_TC1_1A_MAT_2023_Rose 11/07/2022 13:47 Página XVI
2) Entre os 4 desenhos apresentados, apenas
(II) não pode ser função, pois é possível
traçar uma reta vertical que intercepta o
gráfico mais de uma vez. 
Resposta: B
3) a) f não é função, pois a reta vertical de
abscissa 4 intercepta o gráfico em dois
pontos.
b) g não é função, pois a reta vertical da
abscissa 4 não inter cepta o gráfico.
c) h é uma função com:
D(h) = {x ∈ � � 1 ≤ x ≤ 6} = A
CD(h) = �
Im(h) = {y ∈ � � 1 ≤ y < 5}
4) f(0) = 2 . 03 = 0
f(– 1) = 2 . (– 1)3 = – 2
f(2) = 2 . 23 = 16
f(– 2) = 2 . (– 2)3 = – 16
– f = – 2 . 
3
=
= – 2 . = 
Resposta: C
5) f(1) = f(0 + 1) = 2f(0) = 21 = 2
f(2) = f(1 + 1) = 2f(1) = 22 = 4
f(3) = f(2 + 1) = 2f(2) = 24 = 16
Resposta: D
6) Se f(x) = e
observando que ���2 é irracional, é 
racional e π é irracional, tem-se:
= = =
= . =
MÓDULO 7
DOMÍNIO E IMAGEM 
POR MEIO DO GRÁFICO 
1) O domínio é obtido projetando-se o gráfico
sobre o eixo Ox→ .
Assim sendo: 
D(f) = {x ∈ � � – 3 ≤ x ≤ 6}
D(g) = {x ∈ � � – 6 < x < 2 ou 3 ≤ x < 5}
A imagem é obtida projetando-se o gráfico
sobre o eixo Oy
→
.
Assim sendo:
Im(f) = {y ∈ � � – 1 ≤ y ≤ 3}
Im(g) = {y ∈ � � – 2 < y < 4}
2) (I) é função com
D = A = [ 1, 4 ]
CD = B = [ 1, 3 ]
Im = [ 2, 3 ] � B
(II) não é função
(III) é função com
D = A = [ 1 , 4 ]
CD = B = [ 1, 3 ]
Im = [ 1, 2 [ � { 3 } � B
3) Observando o gráfico, tem-se:
I) f(0) = f(4) = 3
II) f(x) ≤ f(2) para qualquer x, pois f(2) é o
valor máximo da função
III) f(x) = 0 para x = – 1 ou x = 6
IV)f(3) ≠ 0
Portanto, é falsa a alternativa b.
Resposta: B
4) Observando o gráfico, tem-se:
I) Falsa, pois existe x < 0 tal que f(x) > 0
II) Verdadeira, pois f(1) = 2, f(3) = – 2, 
f(4) = 0 e, portanto, f(1) + f(3) = f(4) 
III)Verdadeira, pois Im(f) = [– 4; 3]
Resposta: D
MÓDULO 8 
FUNÇÃO SOBREJETORA, 
INJETORA E BIJETORA
1) a) Função sobrejetora (apenas)
b) Função não sobrejetora, nem injetora
c) Função injetora (apenas)
d) Função bijetora
2) Alternativa E, pois:
1 ≠ 2 ≠ 3 ⇒ f(1) ≠ f(2) ≠ f(3)
3) O gráfico da alternativa D, pois representa
uma função injetora e sobrejetora.
Obs.: A imagem é o conjunto � e se inter -
cep tamos retas paralelas ao eixo x, sempre
haverá um único encontro com o gráfico.
4) O gráfico permite concluir que a função não
é injetora nem sobrejetora. A imagem �+ é
diferente do contradomínio � e f(0) = f(2).
Resposta: E
5) a) f é sobrejetora, pois Im(f) = B = {3, 4, 5}
e f não é injetora, pois f(2) = f(3) = 4
b) g é injetora, pois g(1), g(2), g(3) e g(4)
são dois a dois distintos e g não é so -
brejetora, pois Im(g) = {3, 5, 7, 8} ≠ B.
c) h é sobrejetora e injetora, portanto h é
bijetora.
d) i não é sobrejetora, pois Im(i) ≠ B e
não é injetora, pois i(2) = i(3) = 4
6) a) A função f é definida por 
f(x) =
b) f não é injetora pois f(5) = f(6) = 8
23––
15
4––
3
23–––
20
3
–––
5
15 + 8 
–––––
20 
––––––
3 
–––
4
3 2
–– + ––
4 5
––––––––
3 ––
4
3 f(���2) + f�––�5
––––––––––––
f(π)
11, se x = 0
x + 3, se x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
x + 2, se x ∈ {6, 7, 8, 9}
�
�1– ––2��
1
– ––
2�
1
––
4�
1
– ––
8�
2
––, se x é racional
5
3
––, se x é irracional
4
�
– XVII
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 16/10/2019 17:23 Página XVII
c) Para os meses de agosto e novem bro
não se pode afirmar o final da placa,
justamente por não ser injetora.
d) f(x + 1) – f(x) = [x + 1 + 3] – [x + 3] = 1,
para x = 1, 2, 3, 4 e
f(x + 1) – f(x) =
= [x + 1 + 2] – [x + 2] = 1, 
para x = 6, 7, 8
e) O gráfico de f é
Resposta: A
MÓDULO 9
FUNÇÕES MONOTÔNICAS 
1) A partir do gráfico, conclui-se que F é
constante em [4; 8].
Resposta: C
2)
estritamente crescente
3)
estritamente decrescente
4)
constante
5)
estritamente crescente
6) ∀x1, x2 ∈ �, x1 < x2 ⇒ 2x1 < 2x2 ⇒
⇒ 2x1 + 3 < 2x2 + 3 ⇒ f(x1) < f(x2)
Assim: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2); ∀x1, x2 ⇒
⇒ � e, portanto, f é estritamente crescente. 
MÓDULO 10 
FUNÇÃO PAR, ÍMPAR, 
PERIÓDICA E LIMITADA
1)
⇔ f(–x) = f(x) ⇔ f é par
Resposta: A
2) a) é limitada
b) não é periódica
c) não é par nem ímpar
3) Im(f) = [0; 1] ⇔ f é limitada
f(x) = f(x + 3) para todo x ∈ � →
→ f é perió dica de período 3.
Obs.: f(x) = f(x + 3) = f(x + 6) = f(x + 9) =
= f(x + 3K), k ∈ �.
Resposta: E
4) Para ∀x ∈ �, temos:
f(–x) = (–x)2 – 4 = x2 – 4 = f(x) ⇔ f é par
Observe que o gráfico de f é simétrico em
relação ao eixo Oy
→
.
5) Para qualquer x ∈ [– 2; 2], temos:
f(–x) = (–x)3 – 4.(–x) = – x3 + 4x =
= – (x3 – 4x) = – f(x) ⇔ f é ímpar
Observe que o gráfico de f é simétrico em
relação à origem.
6) Observando que f(1) = 2 . 1 + 3 = 5 e 
f (– 1) = 2 . (– 1) + 3 = 1, concluímos que f
não é par e f não é ímpar.
Note que o gráfico não é simétrico nem em
relação ao eixo Oy→ nem em relação à
origem.
� ⇔
1
f(x) = –––
x2
1 1
f(–x) = ––––– = –––
(–x)2 x2
XVIII –
GAB_TC1_1A_MAT_2022_Rose 16/11/2021 08:33 Página XVIII
7) I) Se f é ímpar, então f(– x) = – f(x) 
II) Se g é ímpar, então g(– x) = – g(x)
III) (f . g)(x) = f(x) . g(x)
IV) (f . g)(– x) = f(– x) . g(– x) =
= [– f(x)] . [– g(x)] = f(x) . g(x)
Como (f . g)(– x) = (f . g)(x), o produto de
duas funções ímpares é uma função par.
Resposta: A
MÓDULO 11
FUNÇÃO COMPOSTA
1) a) (fof) (1) = f(f(1)) = f(1) = 1
b) (fof) (2) = f(f(2)) = f(3) = 7
c) (fog) (1) = f(g(1)) = f(2) = 3
d) (fog) (2) = f(g(2)) = f(5) = 21
e) (gof) (1) = g(f(1)) = g(1) = 2
f) (gof) (2) = g(f(2)) = g(3) = 8
g) (gog) (1) = g(g(1)) = g(2) = 5
h) (gog) (2) = g(g(2)) = g(5) = 14
2) Se f e g de � em � forem definidas por 
f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 1, então:
a) (fog) (1) = f[g(1)] = f(0) = 1
b) (gof) (1) = g[f(1)] = g(3) = 2
3) a) (fog) (0) = f[g(0)] = f[–2] = (–2)3 + 1 = –7
b) (gof) (0) = g[f(0)] = g[1] = 1 – 2 = –1
c) (fof) (1) = f[f(1)] = f(2) = 23 + 1 = 9
d) (gog) (1) = g[g(1)] = g[–1] = –1 –2 = –3
4) f(x) = 3x – 2
f(f(f(2))) = f(f(4)) = f(10) = 28
Resposta: E
5) f(x) = 3x – 2 ⇔ f(1) = 3 . 1 – 2 = 1
Logo, f (f(f(1))) = f (f(1)) = f(1) = 1
Resposta: B
6) Se f(x) = , ∀ x ≠ 1, então:
�����������8f[f(2)] = = ���������� 8 . f[2] =
= = ������� 8 . 2 = 4
Resposta: D
7) (fofof) (x) = f(f(f(x))) = f (f(2x + 1)) =
= f (2 . (2x + 1) + 1) = f(4x + 3) = 
= 2 (4x + 3) + 1 = 8x + 7
8) f(2) = 0 ⇔ f(f(2)) = f(0) = 4
Resposta: E
9) f(– 2) = 2 ⇔ f(f(– 2)) = f(2) = 0
Resposta: A
10) f(2) = 0 ⇔ f(f(2))) = f(f(0))
f(0) = 4 ⇔ f(f(0)) = f(4) = 4
Resposta: E
11) (fog) (4) = f(g(4)) = f(1) = 4
Resposta: E
12) (fog) (3) = f(g(3)) = f(0) = 3
Resposta: D
13) a) (gof) (x) = g [f(x)] = g (x + 1) =
= (x + 1)2 + (x + 1) + 1 = 
= x2 + 2x + 1 + x + 1 + 1 =
= x2 + 3x + 3
b) (fog) (x) = f[g(x)] = f (x2 + x + 1) =
= (x2 + x + 1) + 1 = x2 + x + 2
Observação: Note que gof ≠ fog.
(gof) (x) = 12x + 7
14) � ⇒g[f(x)] = 12x + 7
g[f(x)] = 12x + 7
⇒ � ⇒g(x) = 4x – 1
⇒ 4f(x) – 1 = 12x + 7 ⇒
⇒ 4f(x) = 12x + 8 ⇒ f(x) = 3x + 2
15)a) (fog) (x) = f[g(x)] =
g(x) + 3, se g(x) ≤ 3
= � ⇒g(x) – 4, se g(x) > 3
⇒ (fog) (x) =
(2x – 7) + 3, se 2x – 7 ≤ 3
= � ⇒(2x – 7) – 4, se 2x – 7 > 3
2x – 4, se x ≤ 5
⇒ (fog) (x) = � 2x – 11, se x > 5
b) (gof) (x) = g[f(x)] = 2 . f(x) – 7 =
2 . (x + 3) – 7, se x ≤ 3
= �2 . (x – 4) – 7, se x > 3
2x – 1, se x ≤ 3
⇒ (gof) (x) = � 2x – 15, se x > 3
MÓDULO 12
FUNÇÃO COMPOSTA
1) (fog) (x) = f[g(x)] = 2. g(x) – 3 = 2x2 – 3
Resposta: A
2) (gof)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) =
= (3x – 1)2 = 9x2 – 6x + 1
Resposta: A
3) a) (fof) (x) = f(f(x)) = f(x – 1) = 
= x – 1 – 1 = x – 2
b) (gog) (x) = g(g(x)) = g(x2 + x) =
= (x2 + x)2 + (x2 + x) =
= x4 + 2 . x2 . x + x2 + x2 + x =
= x4 + 2x3 + 2x2 + x
4) (fog) (x) = 12x – 1 ⇔ f(g(x)) = 12x – 1 ⇔
⇔ 3g(x) + 2 = 12x – 1 ⇔
⇒ 3g(x) = 12x – 3 ⇔ g(x) = 4x – 1
Resposta: B
5) (gof) (x) = g [f(x)]= =
= = = x
Resposta: D
6) (fof) (x) = f [f(x)] = =
= = =
= 
Resposta: C
7) Se f(x) = , então:
(fof) (x) = f[f(x)] = f = 
= = =
= = . = x
Resposta: A
8) f = = = 
Resposta: E
x + 1
–––––
x – 1
x + 1[–––––]x – 1
2
8 . –––––
2 – 1
2
8 .f[–––––]2 – 1
2
–––––
x – 1
f(x) + 5
––––––––
2
2x – 5 + 5
–––––––––
2
2x
––––
2
1
–––––––
f(x) + 3
1
–––––––––––––
1
––––––– + 3
x + 3
1
–––––––––––––
1 + 3x + 9
–––––––––––
x + 3
x + 3
–––––––
3x + 10
x + 1 + x – 1
–––––––––––
x – 1
––––––––––––
x + 1 – x + 1
–––––––––––
x – 1
x + 1
––––– + 1
x – 1
–––––––––
x + 1
––––– – 1
x – 1
x – 1
–––––
2
2x
–––––
x – 1
2x
–––––
x – 1
––––––
2
–––––
x – 1
x
––––––
2x + 1
1
––––––
1 + 2x
––––––
x
1
––––––
1
–– + 2
x
1(––)x
– XIX
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página XIX
9) (fog) (x) = x + 4
f(g(x)) = x + 4
3 . g(x) – 6 = x + 4
3 . g(x) = x + 10
g(x) =
10) Se f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b, então:
I) f(g(x)) = f(ax + b) =
= 2(ax + b) + 3 = 2ax + 2b + 3
II) f(g(x)) = 8x + 7 ⇒
⇒ 2ax + 2b + 3 = 8x + 7 ⇔
⇔ ⇔ ⇒
⇒ a + b = 4 + 2 = 6
Resposta: D
MÓDULO 13
FUNÇÃO INVERSA
1)
I) f(x) = x + 1 ⇔ y = x + 1
II) x = y + 1 ⇔ y = x – 1
III) f–1(x) = x – 1
2)
I) f(x) = 2x – 1 ⇔ y = 2x – 1
II) x = 2y – 1 ⇔ 2y = x + 1 ⇔ y = 
III) f–1(x) =
3)
I) f(x) = 2x + 1 ⇔ y = 2x + 1
II) x = 2y + 1 ⇔ 2y = x – 1 ⇔ y = 
III) f–1(x) = e f–1: [–3; 3] → [–2; 1]
4)
I) f(x) = ⇔ y = 
II) x = ⇔ x . y = 1 ⇔ y = 
III) f–1(x) = 
5) Pela regra prática, temos:
1o. ) y = 4x – 1
2o.) x = 4y – 1
x + 1
3o.) y = ––––––
4
x + 1
4o.) f–1(x) = ––––––
4
6) Obtendo a sentença que define a inversa de
f, pela regra prática, temos:
x
1o.) y = ––––––
x – 2
y
2o.) x = ––––––
y – 2
3o.) xy – 2x = y ⇔ y (x – 1) = 2x ⇔
2x⇔ y = –––––, para x ≠ 1.
x – 1
2x
4o.) f –1(x) = ––––––
x – 1
Assim sendo, D(f–1) = CD(f) = � – {1} e,
portanto, a = 1.
7) O(s) ponto(s) de intersecção dos gráficos de
uma função e de sua inversa, se existir(em),
está(ão) sobre a reta y = x, isto é, f(x) = x.
Assim, na função f: [3; 6] → [0; 12] definida
por f(x) = x2 – 5x + 6, deve-se ter:
f(x) = x ⇒ x2 – 5x + 6 = x ⇔
⇔ x2 – 6x + 6 = 0 ⇔
⇔ x = = = 3 ± ���3 ⇒
⇒ x = 3 + ���3, pois x ∈ [3; 6]
Portanto, o ponto de intersecção é 
(3 + ���3; 3 + ���3)
Resposta: (3 + ���3, 3 + ���3)
8) Pela regra prática, temos:
1o. ) y = x2 – 4
2o.) x = y2 – 4
3o.) y2 = x + 4 ⇒ y = ��������� x + 4, pois y ≥ 0.
4o. ) f–1(x) = ��������� x + 4
MÓDULO 14
FUNÇÃO INVERSA
1) f(x) = ⇔ y = 
Substituindo x por y e y por x obtém-se
x = ⇔xy + x = 1 ⇔ xy = 1 – x ⇔
⇔ y = ⇔ y = – ⇔
⇔ y = – 1
Resposta: A
x + 1
–––––
2
x + 1
–––––
2
x – 1
–––––
2
x – 1
–––––
2
1
––
x
1
––
x
1
––
x
1
––
y
1
––
x
6 ± 2���3 
––––––––
2
6 ± �����12 
––––––––
2
x + 10
––––––
3
a = 4
b = 2�
2a = 8
2b + 3 = 7�
1
–––––
x + 1
1
–––––
x + 1
1
–––––
y + 1
x
–––
x
1
–––
x
1 – x
–––––
x
1
–––
x
XX –
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página XX
2)
3) Lembrando que os gráficos de f e f-1 são
simétricos em relação à reta y = x (bissetriz
dos quadrantes ímpares resulta.
Resposta: C
4) Os pontos de intersecção ocorrem quando
f(x) = x, assim, na função f(x) = x3, deve-se
ter: f(x) = x ⇒ x3 = x ⇔ x3 – x = 0 ⇔
⇔ x . (x2 – 1) = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x2 – 1 = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x = 1 ou x = – 1
Portanto, os pontos de intersecção são 
(0; 0), (1; 1) e (– 1; – 1). 
Resposta: Os pontos são: 
(0; 0), (1; 1), (– 1; – 1)
5) I) f: � → � tal que 
f(x) = 2x – 1 ⇒ y = 2x – 1 
II) Trocando x por y e y por x, temos:
x = 2y – 1 ⇔ 2y = x + 1 ⇔
⇔ y = ⇒ f –1(x) = , 
com f –1: � → �
III)Representando graficamente f e f – 1,
temos:
6) I) f: �+ → �+ tal que f(x) = x
2 ⇒ y = x2
II) Trocando x por y e y por x, temos:
x = y2 ⇔ y = ± ���x ⇒
⇒ y = ���x, pois y ∈ �+ ⇒
⇒ f –1(x) = ���x , com f–1: �+ → �+
III) Representando graficamente f e f – 1,
temos:
7) I) f: �_ → �+ tal que f(x) = x
2 ⇒ y = x2
II) Trocando x por y e y por x, temos:
x = y2 ⇔ y = ± ���x ⇒ y = – ���x, pois 
y ∈ �_ ⇒ f –1(x) = – ���x, com 
f –1: �+ → �_
III)Representando graficamente f e f – 1,
temos:
8) I) f(x) = ⇒ y = 
II) Trocando x por y e y por x, temos:
x = ⇔ 4y – 1 = 3x ⇔
⇔ 4y = 3x + 1 ⇔ y = ⇒
⇒ f–1(x) =
Resposta: C
9) I) f(x) = ⇒ y = 
II) Trocando x por y e y por x, temos:
x = ⇔ y + 1 = ⇔
⇔ y = – 1 ⇒ f–1(x) = – 1
Resposta: A
10) I) f(x) = ⇒ y =
II) Trocando x por y e y por x, temos:
x = ⇔ 3xy – 6x = 2y + 4 ⇔
⇔ 3xy – 2y = 6x + 4 ⇔
⇔ y . (3x – 2) = 6x + 4 ⇔
⇔ y = ⇒ f–1(x) = 
Resposta: f –1(x) = 
11) I) f(x) = ⇒ y = 
II) Trocando x por y e y por x, temos:
x = ⇔ 2 + y = 2x – xy ⇔
⇔ xy + y = 2x – 2 ⇔
⇔ y . (x + 1) = 2x – 2 ⇔
⇔ y = ⇒ f–1(x) = 
III) D(f –1) = CD(f) = � – {a} = � – {– 1},
portanto, a = – 1.
Resposta: D
MÓDULO 15
EXERCÍCIOS 
COMPLEMENTARES
1) Se A = {1; 2; 3; 4; 5}, para que uma relação
represente uma função de A em A, deve-se
ter para cada x ∈ A, um único y ∈ A, então:
a) y = x – 1 não é função de A em A, pois
se x = 1 ⇒ y = 0 ∉ A
b) y < x não é função de A em A, pois se 
x = 1 não existe y ∈ A
c) y = x + 1 não é função de A em A, pois
se x = 5 ⇒ y = 6 ∉ A
d) y = 1 é função de A em A, pois todo 
x ∈ A ⇒ y = 1 ∈ A
e) y = x2 não é função de A em A, pois se
x = 3 ⇒ y = 9 ∉ A
Resposta: D
x + 1
––––––
2
x + 1
–––––
2
4x – 1
–––––––
3
4x – 1
–––––––
3
4y – 1
–––––––
3
3x + 1
–––––––
4
3x + 1
–––––––
4
1
––––––
x + 1
1
––––––
x + 1
1
–––
x
1
––––––
y + 1
1
–––
x
1
–––
x
2x + 4
––––––––
3x – 6
2x + 4
––––––––
3x – 6
2y + 4
––––––––
3y – 6
6x + 4
–––––––
3x – 2
6x + 4
––––––––
3x – 2
6x + 4
–––––––
3x – 2
2 + x
–––––––
2 – x
2 + x
–––––––
2 – x
2 + y
–––––––
2 – y
2x – 2
–––––––
x + 1
2x – 2
–––––––
x + 1
– XXI
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página XXI
2) Para f(x) = . x – 1 e 
g(x) = . x + a, tem-se:
I) f(0) – g(0) = ⇒ – 1 – a = ⇔
⇔ a = –
II) f(3) – 3 . g =
= . 3 – 1 – 3 . . – =
= – 1 – 3 . – =
= – 1 – 3 . = 
= – 1 – 3 . =
= – 1 + = – 1 =
= 5 – 1 = 4 
Resposta: E
3) Sendo x a quantidade de passageiros em bar -
cados, (100 – x) a quantidade de pas -
sageiros não embarcados e Q a quan tidade
de dinheiro arrecadado, tem-se: 
a) Q = 2 000x + 400(100 – x) =
= 2000x + 40000 – 400x =
= 1600x + 40000
b) Para x = 50 ⇒
⇒ Q = 1600 . 50 + 40000 =
= 80000 + 40000 = 120000
c) Para Q = 96000 ⇒
⇒ 96000 = 1600x + 40000 ⇔
⇔ 56000 = 1600x ⇔ x = 35
Respostas: a) Sendo x a quantidade de
pas sageiros embar cados e Q
a quantidade de dinheiro
arrecadado, temos: 
Q = 1600x + 40.000
b) 120.000 dólares
c) 35 passageiros
4) I) f: � → � tal que f(x) = 3 é uma função
constante 
II) g: � → � tal que 
g(x) = f(x) . f(x) . f(x) . … . f(x) = 
14444244443
n fatores
= 3 . 3 . 3 . … . 3 = 3n é uma função 
1442443
n fatores
constante e, portanto, uma função par,
pois g(– x) = g(x).
Observe que g(x) = 3n não depende de x.
Resposta: C
5) a) Se (V1, V2, V3,..., Vn) for sequência das
velo cida des, em km/h, nos instantes (1,
2, 3, ..., n), em segundos, então:
V1 = 35
V2 = 2 . 35
V3 = 3 . 35
V30 = 30 . 35 = 1050
b) Com base no gráfico, a velocidade
máxima atin gida por Felix é,
aproximadamente, 1340 km/h. Ainda
com base no gráfico, Felix superou a
velocidade do som, aproximada mente,
no 40o. se gundo.
Respostas: a) 1050 km/h
b) 1340 km/h; 40o. segundo
6) I) Para x � – 1, tem-se:
f(x) = 1 –
= =
= =
= =
= = 
2 
II) Para x � 1, tem-se:
f(– x) = 1 – =
= = =
= = =
= 
2 
III) Para x � – 1 e x � 1, tem-se:
f(x) . f(– x) =
=
2 
. 
2 
= 1
Resposta: B
7) a) A função que fornece o gasto mensal,
em reais, com o consumo de x metros
cúbicos de água é c(x) = 20, se 
0 ≤ x ≤ 10 e c(x) = 20 + 4 . (x – 10), se
x ≥ 10. O gráfico é:
b) Para um consumo mensal de 4 metros
cúbicos de água, o preço, em reais, por
metro cúbico é
= 5,00
Para um consumo mensal de 25 metros
cúbicos de água, o preço, em reais, por
metro cúbico é
= = 3,20
Respostas: a) Gráfico
b) R$ 5,00 por litro para quem
consome 4m3 e R$ 3,20 por
litro para quem consome 
25 m3.�– 16–––––15�
9
––
5
25
–––
5
16
–––
5
9
––
5
4x
–––––––
(x + 1)2
(x + 1)2 – 4x
––––––––––––
(x + 1)2
x2 + 2x + 1 – 4x
–––––––––––––––
(x + 1)2
x2 – 2x + 1
–––––––––––
(x + 1)2
�x – 1––––––x + 1�
(x – 1)2
–––––––––
(x + 1)2
4(– x)
–––––––––
(– x + 1)2
1 – 2x + x2 + 4x
––––––––––––––
(1 – x)2
(1 – x)2 + 4x
–––––––––––
(1 – x)2
(x + 1)2
–––––––––
(x – 1)2
x2 + 2x + 1
––––––––––
(1 – x)2
�x + 1––––––x – 1�
�x + 1–––––x – 1��
x – 1
––––––
x + 1�
3
––
5
4
––
3
1
––
3
1
––
3
4
––
3
�1––5�
�4––3
1
––
5
4
––
3�
3
––
5
�4––3
4
–––
15�
9
––
5
�4 – 20–––––––15�
9
––
5
20,00
–––––
4
80,00
––––––
25
20,00 + 15 . 4,00
–––––––––––––––
25
XXII –
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página XXII
8) Se f(x) = 2 – , com x � – n e 
m = n = 2, então:
f(x) = 2 – ⇔
a) f(���2) = ⇔
⇔ f(���2) = . =
= ⇔
⇔ f(���2) = ⇔ f(���2) = ���2
b) Se A(x, 0) for a intersecção de f com o
eixo x, então:
= 0 ⇔ 2x + 2 = 0 ⇔
⇔ x = – 1 ⇒ A(– 1, 0)
Se B(0, 1) for a intersecção com o eixo y,
então 
f(0) = y = = 1 ⇒ B(0; 1)
Respostas: a) verificação
b) (– 1, 0) e (0, 1)
MÓDULO 16
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) I) Para x < 5 e f(x) = ax + b, tem-se:
⇒ ⇔
⇔ ⇒ f(x) = x + 4
II)Para x � 5 e f(x) = cx + d, tem-se:
⇒ ⇔
⇔ ⇒ f(x) = – x + 9
Portanto, a função é 
f(x) =
Resposta: A 
2) Se f(2x) = 2f(x) e f(4) = 28, tem-se:
I) Para x = 2 ⇒ f(2 . 2) = 2 . f(2) ⇔
⇔ f(4) = 2 . f(2) ⇔ 28 = 2 . f(2) ⇔
⇔ f(2) = 14
II) Para x = 1 ⇒ f(2 . 1) = 2 . f(1) ⇔
⇔ f(2) = 2 . f(1) ⇔ 14 = 2 . f(1) ⇔
⇔ f(1) = 7
Resposta: A
3) Se f(p + q) = f(p) . f(q) e f(2) = 2, para 
p = 2 e q = 0, tem-se: f(2 + 0) = f(2) . f(0) ⇔
⇔ f(2) = f(2) . f(0)⇔2 = 2.f(0) ⇔ f(0) = 1
Resposta: C
4) Para que a função 
y = f(x) = ��������x + 7 + ��������1 – x exista,
devemos ter:
⇔ ⇔ – 7 ≤ x ≤ 1
Resposta: B
5) 1) O gráfico de uma função par é si métrico
em rela ção ao eixo Oy, pois
Dos gráficos apresentados, (I) e (III) re -
presentam funções pares.
2) O gráfico de uma função ímpar é si -
métrico em relação à origem, pois
Dos gráficos apresentados, IV e V
representam funções ímpares.
3) A função representada no gráfico II não
é par, nem é ímpar.
4) A função f: � → � definida por 
f(x) = cos x é par. Seu gráfico é:
5) A função g: � → � definida por 
g(x) = sen x é ímpar. Seu gráfico é:
Respostas: a) (I) e (III) representam fun ções
pares
(IV) e (V) representam fun -
ções ímpares
b) f: � → � definida por
f(x) = cos x é par
g: � → � definida por 
g(x) = sen x é ímpar
6) Para x em anos e f(x) em porcentagem da
área da flo resta a cada ano, temos, de
acordo com o gráfico:
⇔
⇔ 
Portanto, f(x) =
Resposta: a = 100, b = 1 e c = 10
f(x) =
7) a) I) Para 0 ≤ x ≤ 2, devemos ter n = 1 e f
é definida por 
f(x) = , 
cujo gráfico é: 
2���2 + 2
–––––––
���2 + 2
���2 – 2
–––––––
���2 – 2
2���2 + 2
–––––––
���2 + 2
4 – 4���2 + 2���2 – 4
––––––––––––––––
– 2
– 2���2
–––––––
– 2
2x + 2
–––––––
x + 2
2 . 0 + 2
––––––––
0 + 2
a . 0 + b = 4
a . 5 + b = 6�
f(0) = 4
f(5) = 6�
2––
5
b = 4
2a = –––
5
�
c . 5 + d = 5
c . 10 + d = 1�
f(5) = 5
f(10) = 1�
4––
5
4 c = – –––
5
b = 9
�
2 ––x + 4, x < 5
5
4 – ––x + 9, x � 5
5
�
x ≥ – 7
x ≤ 1�
x + 7 ≥ 0
1 – x ≥ 0�
2x + 2
f(x) = –––––––
x + 2
2––––––
x + 2
m––––––
x + n
200 
––––– = 20 ⇔ c = 10
c
6a + 200 
––––––––– = 50 ⇔
6b + 10
10a + 200 
–––––––––– = 60
10b + 10
f(0) = 20
f(6) = 50 ⇔
f(10) = 60
6a + 200 = 300b + 500
10a + 200 = 600b + 600 ⇔
c = 10
a = 100
b = 1
c = 10
a – 50b = 50
a – 60b = 40 ⇔
c = 10
100x + 200
––––––––––
x + 10
100x + 200
––––––––––
x + 10
x, se 0 ≤ x ≤ 1
2 – x, se 1 ≤ x ≤ 2�
– XXIII
GAB_TC1_1A_MAT_2020_Rose 07/10/2019 12:34 Página XXIII
II) Para 2 ≤ x ≤ 4, devemos ter n = 3 e f
é definida por
f(x) = , cujo 
gráfico é: 
III) Para 4 ≤ x ≤ 6, devemos ter n = 5 e f
é definida por
f(x) = , cujo 
gráfico é: 
Assim, o gráfico de f para 0 ≤ x ≤ 6 é:
b) Se 0 ≤ x ≤ 6 e f(x) = , do item a,
tem-se:
I) = ⇒
⇒ x = ou x =
II) = ⇒
⇒ x = ou x =
III) = ⇒
⇒ x = ou x = 
Respostas: a) vide gráfico
b) S = ; ; ; ; ; 
x – 2, se 2 ≤ x ≤ 3
4 – x, se 3 ≤ x ≤ 4�
x – 4, se 4 ≤ x ≤ 5
6 – x, se 5 ≤ x ≤ 6�
1
–––
5
x, se 0 ≤ x ≤ 1
2 – x, se 1 ≤ x ≤ 2�
1
–––
5
9
–––
5
1
–––
5
x – 2, se 2 ≤ x ≤ 3
4 – x, se 3 ≤ x ≤ 4�
1
–––
5
19
–––
5
11
–––
5
x – 4, se 4 ≤ x ≤ 5
6 – x, se 5 ≤ x ≤ 6�1–––5
29
–––
5
21
–––
5
�29––5
21––
5
19––
5
11––
5
9––
5
1
––
5�
XXIV –
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