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1MATEMÁTICA
1. Definição de matriz
 Chama-se matriz de ordem m x n (lê-se “m por n”) a uma tabela de m . n nú meros reais, dispostos em m linhas
e n colunas. 
 Representa-se por A ou Am×n.
 Seja a matriz A de ordem 2 x 3:
 O elemento m, situado na 1a. linha e na 1a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a11. Lê-se a índice um um
ou simplesmente a um um.
 O elemento n, situado na 1a. linha e 2a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a12. Lê-se a índice um dois ou
simplesmente a um dois.
 O elemento p, situado na 1a. linha e 3a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a13. Lê-se a índice um três ou
simplesmente a um três.
 De modo análogo, x é o elemento a21, y é o ele mento a22 e z é o elemento a23.
 Assim sendo, uma matriz A, de ordem 2 x 3, pode ser assim representada:
A =
m
x
n
y
p
z� �
�a11a21
a12
a22
a13
a23
�A =oua11a21
a12
a22
a13
a23
A =ou�a11a21
a12
a22
a13
a23
�A =
Módulos
1 – Matrizes
2 – Multiplicação de matrizes
3 – Propriedades
4 – Determinantes
5 – Determinante nulo e determinante se altera 
6 – Determinante não se altera
7 – Abaixamento da ordem e Teorema de Laplace
8 – Regra de Chió e Teorema de Binet
MATRIZES – DETERMINANTES –
SISTEMAS LINEARES
1
Palavras-chave:
Matrizes • Tabelas• Linhas 
• Colunas
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 1
2 MATEMÁTICA
 De modo geral, representando por aij o elemento da
linha de ordem i e da coluna de ordem j, podemos
representar a matriz A de ordem m x n como se segue:
ou simplesmente A = (aij)mxn
 Observações
 • Ao apresentarmos uma matriz como “tabela”, es -
ta mos dando uma noção intuitiva de matriz. Formal men -
te, matriz é uma função que a cada par (i; j) associa o
número real aij.
 • Linha de uma matriz é uma ênupla de elementos
com o mesmo primeiro índice. Exemplo: a segunda linha
da matriz A é (a21, a22, a23, … a2n).
 • Coluna de uma matriz é uma ênupla de elemen -
tos com o mesmo segundo índice. Exemplo: a segunda
coluna da matriz A é (a12, a22, a32, … am2).
 • Fila de uma matriz significa linha ou coluna indis -
tin tamente.
 • A matriz Amxn é chamada:
 Retangular ⇔ m � n 
 Quadrada ⇔ m = n
 Matriz Linha ⇔ m = 1 
 Matriz Coluna ⇔ n = 1
 Exemplo
 Matriz Retangular:
 A =
 
Matriz Quadrada:
 B = 
 Matriz Linha:
 C = [1 2 6 7] 1 linha
2. Matriz nula
 Matriz nula é aquela que tem todos os elementos
iguais a zero.
 É representada pelo símbolo Omxn. 
 Exemplo
 
O3×2 =
3. Matriz unidade 
ou matriz identidade
 A matriz A = (aij)nxn é chamada matriz unidade ou
identidade de ordem n e é representada por In, se e
somente se:
⇔
∀i, j ∈ { 1, 2, 3, ..., n}
 Matriz identidade de ordem 3:
 I3 = 
4. Matriz oposta
 A matriz oposta de A = (aij)mxn é a matriz 
 – A = (– aij)mxn.
5. Matriz transposta
 A matriz transposta da matriz A = (aij)mxn é a matriz
At = (bji)nxm, tal que bji = aij, ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m}, 
∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
• Obter a transposta é trocar, ordena damente, linhas
por colunas
•• A transposta da transposta de A é a própria
matriz A
6. Igualdade de matrizes
 Duas matrizes, A e B, de mesma ordem, são iguais
se, e somente se, todos os elementos correspondentes
forem dois a dois iguais.
 Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, então cada elemento aij
de A é igual ao correspondente elemento bij de B. 
 Sim bolicamente:
 para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
� 243
1
5
6 �
�10
0
0
1
0
0
0
1
�
 1 0 0 … 0
 0 1 0 … 0
In = � 0 0 1 … 0 � ......................……
 0 0 0 … 1
aij = 1 ⇔ i = j �aij = 0 ⇔ i � j
0
0
0
0
0
0
2 linhas
2 colunas�
1
4
3
6�
� �
3 linhas
2 colunas
a11
a21
�
am1
a12
a22
�
am2
a13
a23
�
am3
…
…
�
…
a1n
a2n
�
amn
A = B ⇔ aij = bij
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 2
3MATEMÁTICA
7. Adição de matrizes
 Dadas duas matrizes de mesma ordem, A = (aij)mxn
e B = (bij)mxn, define-se soma de A com B como sendo
a matriz C = (cij)mxn, tal que cada elemento de C é a 
so ma dos elementos correspondentes de A e B. 
 
Sim boli camente:
 para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} 
8. Subtração de matrizes
 Dadas duas matrizes, A e B, de mesma ordem,
define-se diferença entre A e B como sendo a soma de
A com a oposta de B. 
 Simbolicamente: 
9. Multiplicação de 
número real por matriz
 Dada a matriz A = (aij)mxn e o número real α, define-
se o produto de α por A como sendo a matriz B= (bij)mxn
tal que cada elemento bij de B é igual ao produto do
número α pelo correspondente elemento da matriz A.
 
Simbolicamente:
para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} 
 Exemplo:
 
C = A + B ⇔ cij = aij + bij
�312
9
0
21
– 9�=�
1
4
3
0
7
– 3�3 . 
B = α . A ⇔ b
ij
= α . a
ij
A – B = A + (– B) 
� (UNICAMP) – Em uma matriz, chamam-se elementos internos
aqueles que não pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O
número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6
colunas é igual a 
a) 12. b) 15. c) 16. d) 20. 
Resolução
Uma matriz com 5 linhas e 6 colunas possui 5x6 = 30 ele mentos,
conforme exemplo a seguir:
Para obtermos os elementos internos devemos excluir a primeira e
última linhas, e a primeira e última colunas, resultando uma nova matriz
com 3 linhas, 4 colunas e, portanto, 12 elementos.
Resposta: A
� (PUC) – Da equação matricial
+ = , resulta:
a) x = y = z = t = 1 b) x = 1, y = 2, z = t = 0
c) x = 1, y = 1, z = 3, t = 2 d) x = 2, y = 0, z = 2, t = 3
 
e) x = , y = 2, z = 0, t = – 2
 
Resolução
+ = ⇔ ⇔
 
Resposta: A
� (PUC) – Se A = , B = e C = então 
a matriz X, de ordem 2, tal que = + C é igual a:
a) b) c) 
d) e) 
Resolução
I) = + C ⇔ 3X – 3A = 2B + 2X + 6C ⇔
 ⇔ X = 3A + 2B + 6C
II) Para as matrizes A, B e C dadas no enunciado, tem-se:
 
X = 3 . + 2 . + 6 . =
 
= + + = 
Resposta: B 
M =�
a11
a21
a31
a41
a51
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
a34
a44
a54
a15
a25
a35
a45
a55
a16
a26
a36
a46
a56
�
3
–––
2
� x1
1
2 � �
2
0
y
–1 � �
3
z
2
t � �
x + 2 = 3
1 + y = 2
1 + 0 = z
2 – 1 = t
�
x = 1
y = 1
z = 1
t = 1
X – A––––––
2
B + X
––––––
3
X – A
––––––
2
B + X
––––––
3
� 23
1
–1 � �
–1
1
2
0 � �
4
2
–1
1 �
� 69
3
–3 � �
–2
2
4
0 � �
24
12
–6
6 � �
28
23
1
3 �
� x1
1
2 � �
2
0
y
–1 � �
3
z
2
t �
� 23
1
–1 � �
–1
1
2
0 � �
4
2
–1
1 �
� 2824
1
3� �
28
23
1
3� �
28
25
1
3�
� 2830
1
3� �
28
22
1
3�
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 3
4 MATEMÁTICA
Questões de � a �.
Sendo a matriz A = (aij)3x2 definida por aij = 2i + j, pede-se:
� Escrever a matriz A.
RESOLUÇÃO:
A = = = 
� Escrever a matriz oposta de A.
RESOLUÇÃO: 
– A = 
� Escrever a matriz transposta de A.
RESOLUÇÃO:
At =
Obs.: Note que obter a transposta é trocar, ordenadamente, linhas
por colunas.
� Dadas as matrizes A = e B = , ob te -
nha a matriz X = 3A + B. 
RESOLUÇÃO:
X = 3A + B ⇒ X = 3 . + ⇔
⇔ X = + ⇔ X = 
� 3–4
–1
1 �
� 9– 12
– 3
3 �
�56
1
9��
3
– 4
–1
1�
� 56
1
9 �
� 56
1
9 � �
14
– 6
–2
12 �
3
4
5
6
7
8� �
�
– 3
– 5
– 7
– 4
– 6
– 8
�
a11
a21
a31
a12
a22
a32
� � �
2.1 + 1
2.2 + 1
2.3 + 1
2.1 + 2
2.2 + 2
2.3 + 2
� �
3
5
7
4
6
8
�
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 4
5MATEMÁTICA
� (UERJ) – A temperatura corporal de um paciente foi
medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco
dias. Cada elementoaij da matriz abaixo corres ponde à
temperatura observada no instante i do dia j.
Determine
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior
temperatura; 
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de
observação. 
RESOLUÇÃO:
a) A maior temperatura é dada pelo elemento a24(40,5 °C) da
matriz e ocorreu no instante 2 do dia 4.
b) As temperaturas do terceiro dia são a13 = 38,6, a23 = 37,2 e 
a33 = 36,1. A média, em graus Celsius, é:
 = = = 37,3
� Uma loja guarda as camisas que estão à venda em uma
prateleira que permite separá-las em tamanho (pequeno,
médio e grande) e cor (verde, azul, branca e preta), conforme a
figura seguinte:
Para controlar o es to que, a lo ja utiliza uma matriz A = (aij)3×4 em
que (i; j) indi ca a po sição em que as camisas se encon tram na
prateleira e aij indica a quan tidade de camisas daquela cor e ta -
manho correspon den te. Assim, por exemplo, a23 = 5 significa
que existem cinco camisas brancas de tamanho médio. Quan -
do A = , pode-se dizer que 
a) existem 7 camisas verdes médias.
b) existem 18 camisas médias.
c) existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas.
d) estão em falta camisas azuis grandes.
e) há mais camisas grandes que pequenas.
RESOLUÇÃO:
Conforme a matriz, têm-se: 
1 camisa verde média, 1 + 6 + 5 + 8 = 20 camisas médias, 
7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 = 15 camisas pretas, 
2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0 + 4 = 15 camisas
grandes.
Resposta: C
� 35,636,1
35,5
36,4
37,0
35,7
38,6
37,2
36,1
38,0
40,5
37,0
36,0
40,4
39,2
�
111,9
––––––
3
38,6 + 37,2 + 36,1
––––––––––––––––––
3
a13 + a23 + a33
–––––––––––––––
3
�
2
1
9
7
6
2
4
5
0
3
8
4
�
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 5
6 MATEMÁTICA
1. Definição
 O produto da matriz A = (aik)mxp pela matriz B = (bkj)pxn é a matriz C = (cij)mxn tal que cada elemento cij de
C é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da j-ésima
coluna de B.
 Simbolicamente
2. Existência da matriz produto
 a) A matriz produto A . B existe se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao número de
linhas da matriz B;
 b) Existindo, a matriz produto A . B tem o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas
da matriz B;
 c) A existência de A. B não implica a existência de B . A.
 Note que, sendo A = (aik)2x7 e B = (bkj)7x5, temos:
 a) A matriz produto A . B existe, pois o número de colunas de A (sete) é igual ao número de linhas de B (sete);
 b) A matriz produto C = A . B é de ordem 2x5, pois a matriz A possui duas linhas e a matriz B possui 5 colunas.
 c) Não existe a matriz produto D = B . A, pois o nú mero de colunas de B (cinco) é diferente do número de linhas
de A (dois).
C = A . B ⇔ cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + aip . bpj
� Dadas as matrizes A =
2x3
e B =
3x3
, obter a matriz A.B.
Resolução
• O elemento c11 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 7, pois:
• O elemento c12 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c13 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 9, pois:
1 3 2( ) . 21
1
( ) = 1.2 + 3.1 + 2.1( ) = 7( )
�
2 1 3
1 0 2
1 1 0
��1 3 2
2 1 1
�
1 3 2( ) . 10
1
( ) = 1.1 + 3.0 + 2.1( ) = 7 3( )7
1 3 2( ) . 32
0
( ) = 1.3 + 3.2 + 2.0( ) = 7 3 9( )7 3
Exercícios Resolvidos
2
Palavras-chave:
Multiplicação de matrizes • Produto
• Linha por coluna
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 20/06/2022 14:32 Página 6
7MATEMÁTICA
• O elemento c21 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 6, pois:
• O elemento c22 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c23 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 8, pois:
Assim sendo, A . B = . =
2 1 1
( ) . 10
1
( ) =
2.1 + 1.0 + 1.1
( ) = 7 3 9( )7 3 9 6 36
2 1 1
( ) . 21
1
( ) =
2.2 + 1.1 + 1.1
( ) = 7 3 9( )7 3 9
6
2 1 1
( ) . 32
0
( ) =
2.3 + 1.2 + 1.0
( ) = 7 3 9( )7 3 9
6 3 86 3
�76 33 98��2 1 31 0 2
1 1 0
��12 31 21�
� (UFRJ) – Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de
fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas de
mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1
mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a
tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário
no mesmo mês.
Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005 
Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005 
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte
nesse mês foi de
a) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188
Resolução
A matriz A = 
2× 3
representa a tabela 1, a matriz 
B = 
3×2
representa a tabela 2 e a matriz C = B. 
A representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo.
C = . = 
Assim,
No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218 fechaduras.
Resposta: D
MODELO
MADEIRA BÁSICO LUXO REQUINTE
Mogno 3 5 4
Cerejeira 4 3 5
MADEIRA
TIPO
MOGNO CEREJEIRA
Dourada 10 12
Prateada 8 8
Bronzeada 4 6
�
�34
5
3
4
5�
�
10
8
4
12
8
6
�
78
56
36
86
64
38
100
72
46��
3
4
5
3
4
5��
10
8
4
12
8
6�
Fechaduras por modelo
Tipo Básico luxo Requinte
Dourada 78 86 100
Prateada 56 64 72
Bronzeada 36 38 46
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 7
8 MATEMÁTICA
� Sendo A = , e B = ,
obter, se possível, A . B e B . A 
RESOLUÇÃO:
I) A . B = . = 
II) B.A não existe
� Dadas as matrizes A = e B = , obter A.B.
RESOLUÇÃO:
A.B = . =
� (UNESP) – Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e
P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O
lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00
e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz abaixo fornece a quantidade
de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no
mês de novembro.
A matriz , onde x e y representam os lucros, em reais, 
obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças
às empresas E1 e E2, respectiva mente, é
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
RESOLUÇÃO:
A matriz , onde x e y representam os lucros, em reais, 
obtidos pela fábrica, é o resultado do produto entre as matrizes 
e , onde corresponde aos lucros, em reais, 
com a venda de cada peça P1 e P2, respectivamente. 
Logo: = . =
Resposta: C
� 3– 2
1
1
5
– 3 � �
2
3
– 4
– 1
1
2
1
2
5
� � –1111 8–3 30–15 �
� 3– 2
1
1
5
– 3 � �
2
3
– 4
– 1
1
2
1
2
5
�
E1
E2 �
P1
20
15
P2
8
12 �
� xy �
� 3520 � �
90
48 � �
76
69 � �
84
61 � �
28
27 �
� xy �
� 2015
8
12 � �
3
2 � �
3
2 �
� xy � �
20
15
8
12 � �
3
2 � �
76
69 �� 23
1
4 � �
1
1
5
2 �
� 23
1
4 � �
1
1
5
2 � �
3
7
12
23 �
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 8
9MATEMÁTICA
� Um aluno registrou as notas bimestrais de
algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele
observou que as entradas numéricas da
tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as
médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele
conseguiu é mostrada a seguir
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir
da tabela por
a)
 
b)
 
 
RESOLUÇÃO:
Ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela pela matriz da
alternativa E, pois
Resposta: E
.
1o. bimestre 2o. bimestre 3o.bimestre 4o. bimestre
Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5
Português 6,6 7,1 6,5 8,4
Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0
História 6,2 5,6 5,9 7,7
� 1––2
1
––
2
1
––
2
1
––
2 � �
1
––
4
1
––
4
1
––
4
1
––
4 �
1––
2
1––
2
1––
2
1––
2
�� �
1––
4
1––
4
1––
4
1––
4
�e)d)c) � 1111 �
�=�
1
––
4
1
––
4
1
––
4
1
––
4
�.�5,96,68,66,2 6,27,16,85,6 4,56,57,85,9 5,58,49,07,7� �
5,9 + 6,2 + 4,5 + 5,5
––––––––––––––––––
4
6,6 + 7,1 + 6,5 + 8,4
––––––––––––––––––
4
8,6 + 6,8 + 7,8 + 9,0
––––––––––––––––––
4
6,2 + 5,6 + 5,9 + 7,7
––––––––––––––––––
4
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 9
10 MATEMÁTICA
1. Comutativa
 A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou
seja: as matrizes AB e BA não são obrigatoriamente
iguais. Existem, portanto, matrizes A e B tais que 
AB � BA.
2. Anulamento do produto
 Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
anulamento do produto”, ou seja: o produto de duas
matrizes pode ser nulo mesmo que ambas sejam não
nulas. Existem, portanto, matrizes A e B tais que A � 0,
B � 0 e AB = 0.
3. Cancelamento
 Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
cancelamento”, ou seja: na igualdade AB = AC não se
pode “cancelar” A e concluir que B = C. 
 Existem, portanto, matrizes A, B e C tais que 
AB = AC e B � C.
4. Propriedades da transposta
 Se A e B forem matrizes conformes para a operação
indicada e k é um número real, então:
a) A = B ⇔ At = Bt 
b) (At)t = A
c) (A + B)t = At + Bt 
d) (kA)t = k . At
e) (AB)t = Bt . At
� Dadas as matrizes 
A = , B= e C= , determine:
a) AB b) BA c) AC d) CA
Resolução
a) A . B = . = =
b) B . A = . = =
c) A . C = . = =
d) C . A = . = =
Observe que A.B ≠ B.A e A.C = C.A. Conclui-se que o produto entre
matrizes não é comutativo, ou seja, diferentemente do que ocorre com
o produto de números reais, podemos ter A.B e B.A com A.B ≠ B.A.
Respostas: a) A.B = 
 
b) B.A = 
 c) A.C = d) C.A = 
� Considere as matrizes 
A = e B = determine A.B e B.A.
Resolução
A.B = . =
 = =
B.A = . =
= =
Observe que, diferentemente do que ocorre com o produto de
números reais, temos A.B = 0 sendo A ≠ 0 e B ≠ 0, em que 0 é a matriz
nula.
 
� 12 01 � � 20 11 � � 20 02 �
� 12 01 � � 20 11 � �1.2 + 0.02.2 + 1.0 1.1 + 0.12.1 + 1.1� � 24 13 �
� 20 11 � � 12 01 � �2.1 + 1.20.1 + 1.2 2.0 + 1.10.0 + 1.1� � 42 11
�1.2 + 0.02.2 + 1.0 1.0 + 0.22.0 + 1.2� � 24 02 �
� 20 02 � � 12 01 � �2.1 + 0.20.1 + 2.2 2.0 + 0.10.0 + 2.1�
� 24 13 � � 42 11 �
� 24 02 � � 24 02 �
� 11 11 � � 1–1 1–1 �
� 11 11 � � 1–1 1–1 �
�1.1 + 1.(– 1)1.1 + 1.(– 1) 1.1 + 1.(– 1)1.1 + 1.(– 1)� � 00 00 �
� 1–1 1–1 � � 11 11 �
�1.1 + 1.1(– 1).1 + (– 1).1
1.1 + 1.1
(– 1).1 + (– 1).1 � �
2
– 2
2
– 2 �
�
� 12 01 � � 20 02 �
� 24 02 �
Exercícios Resolvidos
3
Palavras-chave:
Propriedades • Comutativa • Anulamento de produto 
• Cancelamento 
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 10
11MATEMÁTICA
� Sendo A = e B = obter, se
possível, A .B e B . A
RESOLUÇÃO:
A . B = 
B . A = 
Conclusão: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
A.B e B.A nem sempre são iguais.
� Sejam A = , B = e C = , 
obtenha a matriz X = C . (A + B).
RESOLUÇÃO:
I) A + B = 
II) X = C(A + B) = 
Sr. Professor, comente com o aluno que também poderíamos
calcular C.A, C.B e soma-las, pois com matrizes é válida a
propriedade distributiva C(A + B) = C.A + C.B
� Considere as matrizes A = e B = e 
determine A . B.
RESOLUÇÃO:
A . B = . = 
Conclusão: Existem matrizes A e B, tais que A � 0, B � 0 e 
A . B = 0.
� (UNICAMP) – Sejam a e b números reais tais que a matriz 
A = satisfaz a equação A2 = aA + bI, em que I é a 
matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a
a) −2. b) −1. c) 1. d) 2.
RESOLUÇÃO:
Sendo A = , temos:
A2 = A . A = . = 
aA + bI = a + b = 
Como A2 = aA + bI resulta:
⇒ e a . b = 2 . (–1) = – 2
Resposta: A 
�13
– 2
5��
2
– 2
1
3�
�57
1
19�=�
1
3
– 2
5�.�
2
– 2
1
3�
�6– 4
– 5
18�=�
2
– 2
1
3�.�
1
3
– 2
5�
�– 21
– 6
3��
1
2
2
4�
�00
0
0��
– 2
1
– 6
3��
1
2
2
4�
� 21
3
4 � �
5
7
6
0 � �
3
2
1
5 �
� 21
3
4 � . �
5
7
6
0 � = �
7
8
9
4 �
� 32
1
5 � . �
7
8
9
4 � = �
29
54
31
38 �
� 10
2
1 �
� 10
2
1 �
� 10
2
1 � �
1
0
2
1 � �
1
0
4
1 �
� 10
2
1 � �
1
0
0
1 � � a + b0
2a
a + b �
� a + b = 12a = 4 �
a = 2
b = – 1
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 11
12 MATEMÁTICA
1. Conceito
 Submetendo os elementos de uma matriz quadra -
da (tabela de números) a operações (mediante uma
definição), obtém-se como resultado um número que é
chamado determinante dessa matriz.
a) Matriz é tabela de números reais.
b) Determinante é um número real.
c) Só se define deter minante se a matriz for qua drada.
 O determinante da matriz
 
é indicado por: 
 
 
2. Como calcular
 a) Matriz de Ordem 1: A = (a11) ⇒ det A = a11
 b) Matriz de Ordem 2
 c) Matriz de Ordem 3
 Neste caso, podemos usar um dispositivo prático
(Regra de Sarrus), que consiste em:
 I) Repetir as duas pri mei ras colunas ao lado na ter -
ceira colu na:
 II) Obter os produtos a11 . a22 . a33, a12 . a23 . a31 e
a13 . a21 . a32
 III) Obter os produtos a13 . a22 . a31, a11 . a23 . a32 e
a12 . a21 . a33
�
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
.
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
�M =
�
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
an3
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
�det M ou det
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
.
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
ou
a a a a a
a a a a a
a a a a
2221
11 12
31 32
23
13
21
11
31
22
12
32
aa
3333
a a a a a
a a a a a
a a a a a
2221
11 12
31 32
23
13
33
21
11
31
22
12
32
a11 a12 a11 a12
A = � �⇒ det A = = a11.a22 –a12.a21a21 a22 a21 a22
 � �
 IV) Obter o det A fazendo a diferença entre a soma das parcelas do item (II) e a soma das parcelas do item (III).
det A = a
11
. a
22
. a
33 
+ a
12
. a
23
. a
31
+ a
13
. a
21
. a
32 
– a
13
. a
22
. a
31 
– a
11
. a
23
. a
32
– a
12
. a
21
. a
33
4
Palavras-chave:
Determinantes • Matriz quadrada • Matriz é tabela
• Determinante é número
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 12
13MATEMÁTICA
� Sendo A = , obter det A
RESOLUÇÃO:
det(A) = = 8 . 2 – 5 . 1 = 11
� Calcular =
RESOLUÇÃO:
= 4 – 8 + 3 – 6 – 2 + 8 = – 1
� Em determinada cidade, o valor V, em reais, pago por uma
corrida de táxi é uma função da distância x percorrida, em km.
Sendo V(x) = det A, onde det A é o determinante da matriz 
A = , calcule o valor pago, em reais, por uma corrida 
de 9 km.
RESOLUÇÃO:
O valor pago, em reais, por uma corrida de 9 km é
V(9) =
Resposta: 32 reais
�85
1
2�
8
5
1
2
1
1
2
– 2
1
1
3
2
4
1
1
2
– 2
1
1
3
2
4
� 35 –1x �
� 35 – 19 �
� Calcular o determinante da matriz A = 
Resolução
= 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 – 1 . 2 . 1 – 3 . 0 . 1 – 3 . 2 . 2 =
= 6 + 0 + 6 – 2 – 0 – 12 = – 2
Resposta: det A = – 2
� Calcular o determinante da matriz A =
 
Resolução
det A = = 2 . 7 – 5 . 3 = –1
Resposta: det A = –1
� Sendo A = e B = , calcular det (Bt . A).
Resolução
I) Bt . A = . = 
II) det(Bt . A) = –2.5 – 0.17 = –10
2
3
5
7
�23 57�
1 2 1 1 2
2 2 0 2 2
1 3 3 1 3
=
�� � � � �
det A =
�
1
2
1
2
2
3
1
0
3
�
�
1
0
– 1
1
2
4
� �
1
2
3
1
0
1
�
� 11
2
0
3
1 � �
1
0
–1
1
2
4
� � – 20 175 �
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 13
14 MATEMÁTICA
� (UNESP-adaptado) – Foi realizada uma pesquisa, num
bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças
de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade
x da criança,concluiu-se que o peso médio p(x), em quilo -
gramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que
A =
Com base na fórmula p(x) = det A, podemos concluir que o
peso médio de uma criança de 5 anos é, em kg, igual a:
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
RESOLUÇÃO
p(x) = det A = 1 . 0 . + 3 . 2 . 1 + 0 . (– 1) . (– x) –
– 1 . 0 . 0 – 1 . (– x) . 2 – (– 1) . 3 . =
= 0 + 6 + 0 – 0 + 2x + 2 = 2x + 8
Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18
Resposta: A
5. (UNICAMP) – Considere a matriz M = , 
onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é igual a a2 – b2.
c) a matriz M é igual à sua transposta.
d) o determinante de M é positivo.
RESOLUÇÃO:
Para a ∈ � e b ∈ �, tem-se:
det M = = 1 + a2 + b2 – 1 – ab – ab =
= a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 > 0, pois a � b
Resposta: D 
�
1 – 1 1
3 0 – x
 2
0 2 ––
3
�
2
–––
3
2
–––
3
�
1
b
1
a
1
b
1
a
1
�
� 1b
1
a
1
b
1
a
1
�
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 14
15MATEMÁTICA
1. Determinante nulo
 a) Fila nula
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila nula.
 Exemplo
 
 
 De fato:
 b) Filas paralelas iguais
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas iguais.
 Exemplo
 
 
 De fato: 
 c) Filas paralelas proporcionais
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas propor -
cio nais.
 Exemplo
 
 
 De fato: 
 d) Fila combinação linear
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila que é combinação
linear das demais filas paralelas.
 Exemplo
 
 
 De fato:
 
= 0
2 0 7 2 0
3 0 3 3 0
5 0 1 5 0
– 0 – 0 – 0 + 0 + 0 + 0
= 0
1 5 2 1 5
3 4 4 3 4
1 5 2 1 5
– 8 – 20 – 30 + 8 + 20 + 30
= 0
5 2 3 5 2
15 6 9 15 6
1 5 2 1 5
– 18 – 225 – 60 + 60 + 18 + 225
= 0
1 1 2 1 1
3 1 0 3 1
5 3 4 5 3
– 10 – 0 – 12 + 4 + 0 + 18
2
3
5
0
0
0
7
3
1
= 0, pois a segunda coluna é nula.
1
3
1
5
4
5
2
4
2
= 0, pois a primeira linha é igual à
terceira (L1 = L3).
5
15
1
2
6
5
3
9
2
= 0, pois a segunda linha é 
 propor cional à primeira (L2 = 3.L1).
1
3
5
1
1
3
2
0
4
= 0, pois a terceira linha é com bina ção
linear das duas primeiras 
 (L3 = 2 . L1 + 1 . L2).
5
Palavras-chave:
Determinante nulo e
Determinante se altera
• Proporcionais
• Combinação linear
• Multiplicação de filas
• Troca de filas 
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 15
16 MATEMÁTICA
2. Determinante se altera
 a) Trocando filas paralelas
 O determinante de uma matriz quadrada muda de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição.
 Exemplo
 Trocando entre si as duas últimas co lu nas, por exemplo, obtêm-se
 b) Multiplicando uma fila por �
 O determinante de uma matriz quadrada fica multiplicado por �, quando os elementos de uma fila são mul -
tiplicados por �.
 Exemplo
 Multiplicando os elementos da primeira linha por 3, por exemplo, têm-se:
 
e
 De fato:
 
 c) Multiplicando a matriz por �
 O determinante de uma matriz quadrada de ordem n fica multiplicado por αn, quando a matriz é multiplicada
por �.
 Exemplo
 
 Multiplicando todos os elementos dessa matriz, por exemplo, por 2, obtém-se
 
1
1
1
2
1
3
3
2 
0
= 4
3
1
1
6
1
3
9
2
0
= 3 .
1
1
1
2
1
3 
3
2
0
= 12
3 6 9 3 6
1 1 2 1 1 
1 3 0 1 3 
– 9 – 18 – 0 + 0 + 12 + 27 = 12
1 2 3 1 2
1 1 2 1 1 
1 3 0 1 3
– 3 – 6 – 0 + 0 + 4 + 9 = 4
2 3 1 2 3
5 0 2 5 0 = 7 e
1 1 0 1 1
– 0 – 4 – 0 + 0 + 6 + 5
2 1 3 2 1
5 2 0 5 2 = – 7
1 0 1 1 0
– 6 – 0 – 5 + 4 + 0 + 0
⇒ det (2M) = 23 . det M = 8 . (– 4) = – 32�
2
4
2
2
6
8
– 2
0
2
�2M =
= – 4
1
2
1
1
3
4
– 1
0
1
⇒ det M =�121
1
3
4
– 1
0
1�M =
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 16
17MATEMÁTICA
 De fato:
2 2 –2 2 2
4 6 0 4 6 = 
2 8 2 2 8 
det (2M) =
= + 24 – 0 – 16 + 24 + 0 – 64 = – 32 
1 1 –1 1 1
2 3 0 2 3 
1 4 1 1 4
= + 3 – 0 – 2 + 3 + 0 – 8 = – 4
det M = =
� Nove candidatos a uma vaga de esta giário foram dis tri buídos em
uma sala de espera, como repre sen tado a seguir:
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz
e se substituirmos o nome de cada um desses can dida tos pelo
número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela
letra com a qual se inicia o nome, obteremos uma nova matriz. 
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2
Resolução
A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número que
indica a posição, em nosso alfabeto, ocupada pela primeira letra do
respectivo nome é:
e o seu determinante é = 0, pois a
terceira linha é combinação linear das outras duas linhas. Ela é igual à
soma da primeira linha com a segunda linha.
Resposta: C
� Resolver, em �, a equação:
= 0
Resolução
⇔ 15 + 2x + (– 8) – 2 – (– 3x) – 40 = 0 ⇔ 5x – 35 = 0 ⇔ x = 7
Resposta: V = {7}
Observação:
Para x = 7, o determinante é zero, pois a terceira linha é combinação
linear das outras duas.
De fato: 
3a. linha = 1 . (2a. linha) – 1 . (1a. linha)
� Calcular o valor de , sabendo-se que = – 17.
Resolução
Para calcularmos o valor de , é importante que ob servemos 
que os elementos da segunda coluna são múltiplos de 3 e portanto,
podemos colocar o 3 em evidência. 
Dessa forma, resulta = 3 .
Agora, devemos observar que trocando as duas primeiras colu nas,
desse novo deter minante, de posição entre si, obteremos o deter -
minantecujo resultado é igual a – 17. Não podemos es quecer que ao
trocar duas linhas ou duas colu nas de posição entre si, o sinal do
determinan te é alterado. 
Assim, temos:
= 3 . = – 3 . = (– 3) . (– 17) = 51
Resposta: 51
� Calcular o determinante da matriz , 
sabendo-se que = k
Resolução
= 2 . 3 . = – 6 . =
 
= + 6 . = – 6 . = – 6k
Resposta: = – 6k
�
Alberto
Carlos
Daniele
Bruno
Denise
Fernanda
André
Alvaro
Barone
�
�
1
3
4
2
4
6
1
1
2 �
1
3
4
2
4
6
1
1
2
3
4
1
2
1
–1
2
x
5
3 2 2 3 2
4 1 x 4 1
1 –1 5 1 –1
= 0 ⇔
�� � � � �
2
x
4
3
6
9
5
8
2
1
2
3
2
x
4
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
1
2
3
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
1
2
3
5
8
2
1
2
3
2
x
4
5
8
2
� 2ny
b
6m
3x
3a
2p
z
c
�
a
m
x
b
n
y
c
p
z
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
n
y
b
m
x
a
p
z
c
m
x
a
n
y
b
p
z
c
m
a
x
n
b
y
p
c
z
a
m
x
b
n
y
c
p
z
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 17
18 MATEMÁTICA
Nas questões de � a �, “calcular” os determinantes.
� = 0, pois a 3a. linha é nula
Observações: Se todos os ele mentos de uma fila de uma matriz
quadrada M forem nulos, então det (M) = 0.
� = 0, pois a 1a. e a 3a. coluna são iguais
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -
lelas iguais, então det (M) = 0.
� = 0, pois a 1a. e a 2a. colunasão proporcionais
(C1 = 2 . C2) 
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -
lelas proporcionais, então det (M) = 0 
� = 0, pois a 3a. linha é uma com -
binação linear (L3 = L1 + L2)
Observações: Se uma fila de uma matriz quadrada M é com -
binação linear das demais filas paralelas, então det (M) = 0.
� Se = – 12, então vale:
a) – 4 b) – c) d) 4 e) 12
RESOLUÇÃO:
= 3 . = 3 . (– 1) . = –12
Então, = 4
Resposta: D
� Considere as matrizes:
A = � �, B = � � e 
C = � �
Se o determinante da matriz A é α � 0, então det B + det C é
igual a:
a) α b) 5α c) 15α d) 130α e) 625α
RESOLUÇÃO:
I) det B = 5 . det A = 5α
II) det C = 53 . det A = 125α
III)det B + det C = 5α + 125α = 130α
Resposta: D
2
6
0
7
9
0
9
1
0
a
b
c
2
5
1
a
b
c
2
6
10
1
3
5
5
1
2
1
a
1 + a
5
b
5 + b
7
c
7 + c
1
6
x
2
9
y
3
12
z
x
2
1
y
3
2
z
4
3
4
–––
3
4
–––
3
1
6
x
2
9
y
3
12
z
x
2
1
y
3
2
z
4
3
x
2
1
y
3
2
z
4
3
x
2
1
y
3
2
z
4
3
a
d
g
b
e
h
c
f
i
5a
d
g
5b
e
h
5c
f
i
5a
5d
5g
5b
5e
5h
5c
5f
5i
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 18
19MATEMÁTICA
1. Trocando linhas por colunas
 O determinante de uma matriz quadrada A não se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas
colunas.
 
Simbolicamente
 Exemplo
 
 De fato:
 
2. Somando uma combinação linear
 Se a uma fila de uma matriz quadrada M somarmos uma combinação linear de filas paralelas, obteremos uma
nova matriz N tal que det N = det M (Teorema de Jacobi).
 Exemplos:
 
1)
 
 
e
 
2)
 
 De fato:
 
= 35
– 2
1
3
1
1
4
5
3
1
⇒ det M = det Mt =
– 2 1 5 – 2 1
1 1 3 1 1 = 35
3 4 1 3 4
– 15 + 24 – 1 – 2 + 9 + 20 
det M = 
– 15 + 24 – 1 – 2 + 20 + 9
– 2 1 3 – 2 1
1 1 4 1 1 = 35 
5 3 1 5 3
det Mt =
M = �
– 2
1
3
1
1
4
5
3
1
�
det A = det At
1
2
– 3
– 2
1
4
– 3
12
4
1 + 2 . 1 + 3 .(– 2)
5 + 2 . 2 + 3 . 1
– 2 + 2.(– 3) + 3 . 4
=
1
2
– 3
– 2
1
4
=
1
2
– 3
– 2
1
4
1
5
– 2
2
7
1
6
=
43 + (–7) . 6
6
51 + (–7) . 7
7
=
51
7
43
6
– 9 – 48 + 16 + 4 + 72 – 24
1 –2 –3 1 – 2
2 1 12 2 1 = 11 
–3 4 4 –3 4
+ 3 – 20 – 8 – 2 + 30 + 8
1 – 2 1 1 – 2
2 1 5 2 1 = 11 
– 3 4 – 2 – 3 4
De fato:
51
7
43
6
= 306 – 301 = 5
2
7
1
6
= 12 – 7 = 5
6
Palavras-chave:
Determinante não se altera • Transposta 
• Teorema de Jacobi
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 19
20 MATEMÁTICA
�
 Considere a matriz A = . Calcule det(A) e
det(At), sendo At a matriz transposta de A, ou seja, a matriz que se
obtém trocan do, ordenadamente, em A, as linhas pelas colunas.
Resolução
det(A) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
det(At) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
Observe que det(A) = det(At)
Resposta: det(A) = det(At) = 12
� Sejam A = e
B = = 
A matriz B, portanto, foi obtida de A, somando-se aos ele men tos da 3a.
coluna uma combinação linear das outras colunas. Cal cular det(A),
det(B) e observe que, apesar de A � B, temos det(A) = det(B).
Resolução
det(A) = = 1 + 4 + 0 – 4 – 0 – 0 = 1
det(B) = = 5 + 16 + 0 – 20 – 0 – 0 = 1
� O valor do determinante é:
 
a) 0 b) 2 c) – 2 d) 1 e) 572
Resolução
I) multiplicar a 1a. linha por (– 17) e somar na 2a. linha.
II) multiplicar a 1a. linha por (5) e somar na 3a. linha.
 
Resposta: B
1
– 2
1
0
2
– 6
1
0
1
1
0
1
– 2
2
0
1
– 6
1
�
1
0
1
– 2
2
0
1
– 6
1
�
�
1
0
2
2
1
0
2
1
1
�
�
1
0
2
2
1
0
2 + 2 . 1 + 3 . 2
1 + 2 . 0 + 3 . 1 
1 + 2 . 2 + 3 . 0
� �
1
0
2
2
1
0
10
4
5
�
1
0
2
2
1
0
2
1
1
1
0
2
2
1
0
10
4
5
1
17
– 5
3
52
– 16
– 2
– 33
11
1
17
– 5
3
52
–16
– 2
– 33
11
=
1
0
0
3
1
–1
–2
1
1
= 2
� Calcular os determinantes de A = e de At
(transposta de A).
RESOLUÇÃO:
det A = = – 7 – (– 6) = – 1
 
det(At) = = – 7 – (– 6) = – 1
Observação: Comparando os determinantes de A e de At, verifi -
camos que o determinante de uma matriz A não se altera quando
trocamos ordenamente as linhas pelas colunas. Simbolicamente,
det A = det At.
� Calcule e compare os determinantes das matrizes
A = e B =
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, utilize este exercício para apresentar o Teorema de
Jacobi. Mostre que, multiplicando a primeira coluna por a e
somando-a com a segunda, o determinante não se altera.
I) det A = = 4.7 – 6.2 = 16
II) det B = =
 = 4(7 + 6a) – 6(2 + 4a) = 28 + 24a – 12 – 24a = 16
Observe que det A = det B.
 
 
�73
– 2
– 1�
�73 – 2– 1�
�7– 2 3– 1�
� 46
2
7 �
� 46 27 �
� 46 �
2 + 4a
7 + 6a
� �46 2 + 4a7 + 6a
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022.qxp 10/12/2021 11:14 Página 20
21MATEMÁTICA
� Um professor dividiu os alunos de uma sala de aula em
dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou o valor do determi-
nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz 
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -
tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter -
minante da matriz original.
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, podemos con -
siderar que essa propriedade pode ser expressa matemati ca -
mente pela sentença:
a) det(A) = – det(A) b) det(A) = 
c) det(A) =
 
d) det(At) = det(A) 
e) det(At) = – det(A)
RESOLUÇÃO:
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, ao trocarmos ordena -
damente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova matriz
chamada de transposta de A e representada por At. O que o
professor tentou mostrar para os alunos é que duas matrizes
transpostas possuem determinantes iguais. Matematicamente,
det(A) = det(At).
Resposta: D
� O valor do determinante é:
a) – 563 b) – 363 c) – 1 d) 1 e) 363
RESOLUÇÃO:
Resposta: B
� Prove que para quaisquer valores de a e b o determinante
a seguir é sempre nulo
RESOLUÇÃO:
pois a última coluna é a soma das outras duas colunas.
Resposta: demonstração
1
––––––
det(A)
1
–––––––
det(At)
�
2
0
0
0
0
4 
3 
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�
�
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
�
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
240
361
= =
x(–2) x(–3)
x(–1)
+
+
+
1
5
4
2
7
6
=
120
0
1
1
3
1
2
3
0
= 3 – 6 – 360 = – 363
1
1
1
a + 3
a – 4
a + 5
2b + 4
2b – 3
2b + 6
x(–a)
x(–2b)
+
+
a + 3
a – 4
a + 5
2b + 4
2b – 3
2b + 6
1
1
1
= = 0,
1
1
1
3
– 4
5
4
–3
6
C1_2AMAT_Rose_2022.qxp 10/12/2021 11:14 Página 21
22 MATEMÁTICA
1. Menor complementar
 O menor complementar Dij, do elemento aij da
matriz quadrada M, é o determinante que se obtém de
M, eliminando-se dela a linha “i” e a coluna “j”.
2. Cofator ou 
complemento algébrico
 O cofator do elemento aij da matriz quadrada M é 
Aij = (–1)
i+j. Dij, em que Dij é o menor complementar de aij.
3. Teorema de Laplace
 Simbolicamente:
 
Se M = , então
ou
 O Teorema de Laplace permite calcular o deter mi nan-
 te de uma matriz de ordem n como sendo a soma de n
determinantes de ordem n – 1. Permite, pois, abaixar a
ordem.
det M = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + … + aij . Aij + … + ain . Ain
det M = a1j . A1j + a2j . A2j + …+ aij . Aij + …+ anj . Anj
�
a11
.
ai1
.
an1
a12
.
ai2
.
an2
…
…
…
a1j
.
aij
.
anj
…
…
…
a1n
.
ain
.
ann
�
O determinante de qualquer matriz qua drada M
de ordem n é igual à soma dos produtos dos
elementos de uma fila pelos seus respec tivos
cofatores.
� Calcular o menor complementar e o cofa tor do elemento 
a23 da matriz M =
Resolução
Na matriz M = , temos a23 = 3 e, portanto,
D23 = = 2 – 5 = – 3
A23 = (– 1)
2 + 3 . D23 = (– 1)
5 . = (– 1) . (– 3) = 3
Resposta: D23 = – 3; A23 = 3
� Calcular os cofatores dos elementos a13 e a33 da matriz 
M =
Resolução
Na matriz M = , temos a13 = 2 e a33 = – 1
Logo:
A13 = (–1)
1 + 3 . = 1 . (8 – 8) = 0
A33 = (–1)
3 + 3 . = 1 . (8 – 20) = – 12
Resposta: A13 = 0; A33 = – 12
� Calcular o determinante da matriz M =
aplicado o Teorema de Laplace e utilizando a 3a. coluna.
Resolução
De acordo com os exercícios 1 e 2, temos 
A13 = 0; A23 = 3; 
A33 = –12. 
Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos:
det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =
= 2 . 0 + 3 . 3 + (– 1) . (– 12) = 9 + 12 = 21
Resposta: det M = 21
�
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
5
8
4
1
8
2
� �
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
1
5
2
1
1
5
2
� �
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
1
5
8
2
2
3
–1
�
Exercícios Resolvidos
7
Palavras-chave:
Abaixamento da ordem e
Teorema de Laplace
• Cofator 
• Teorema de Laplace
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 22
23MATEMÁTICA
� Dada a matriz M = , pedem-se:
a) os cofatores dos elementos da 1a. linha de M.
b) o valor de det M utilizando o Teorema de Laplace na primei -
ra linha de M.
RESOLUÇÃO:
a) A11 = (–1)
2 . = 3
 A12 = (–1)
3 . = 3
 A13 = (–1)
4 . = – 6
 
b) det M = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13
 det M = 1 . 3 + 2 . 3 + 1 . (– 6) = 3 
Obs.: Atenção professor: se julgar conveniente, calcule pela Regra
de Sarrus, confirmando o resultado.
� Dada a matriz
M = , pedem-se:
a) O cofator do elemento a14.
b) O valor de det(M).
RESOLUÇÃO:
a) A14 = (–1)
5 . = – 1(15 + 4 + 2 + 3 + 2 – 20) = – 6
b) det M = a14A14 + a24A24 + a34A34 + a44A44
 det M = (– 3).(– 6) + 0 . A24 + 0 . A34 + 0 . A44
 det M = 18
� Um professor dividiu os alunos de uma sala de aula em
dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou o valor do determi -
nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz 
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -
tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter -
minante da matriz original.
O valor encontrado por cada um dos dois grupos é igual a:
a) – 24 b) 12 c) 24 d) 25 e) 28
RESOLUÇÃO:
De acordo com o Teorema de Laplace, temos:
det(A) = = 2 . =
= 2 . (– 3) . = (– 6) . (– 4) = 24
Resposta: C
–1
2
1
2
–3
2
1
1
5
�
3
– 1
2
1
4
2
– 3
2
2
1
1
5
– 3
0
0
0
�
1
3
3
2
1
–1
1
2
1
= 1 + 12 – 3 – 3 + 2 – 6 = 3
3
3
1
– 1
3
3
2
1
1
–1
2
1
� 133
2
1
– 1
1
2
1 �
�
2
0
0
0
0
4 
3 
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�
�
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
�
3
0
1
2
1
0
2
1
4
3
1
5
2
0
3
1
2
0
0
0
0
4
3
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 23
24 MATEMÁTICA
1. Regra de Chió
 A Regra de Chió permite abaixar em uma unidade a ordem de uma matriz quadrada M sem alterar o valor do seu
determinante.
 Só pode ser utilizada se a matriz M possuir um elemento igual a 1.
 Consiste em
 a) Eliminar de M a linha e a coluna que contém o elemento aij = 1.
 b) De cada um dos ele mentos restantes, subtrair o produto dos elementos correspondentes na linha e na coluna
eliminadas.
 c) Calcular o determinante da matriz assim obtida e multiplicar o resultado por (–1)i + j.
 Observação
 Torna-se mais cômodo utilizar o elemento igual a 1 que se encontre num dos “cantos” da matriz, isto é, a11 ou a1n
ou an1 ou ann.
2. Teorema de Binet
 Para calcular o determinante do produto de duas ma trizes quadradas e de mesma ordem A e B, podemos,
portanto:
 a) obter o produto A . B das duas matrizes e, em seguida, calcular o determinante dessa matriz;
 b) calcular, separadamente, os determinantes de A e de B e, em seguida, multiplicar os dois valores obtidos
(Teorema de Binet).
1 a b c
x m n p
y q r s
z t u v
1
x
y
z
a
m – a . x
.
.
b
n – b . x
.
.
c
p – c . x
.
.
Se A e B são matrizes quadradas de mes ma ordem, então det (A.B) = det A . det B
m – a . x
q – a . y
t – a . z
n – b . x
r – b . y
u – b . z
p – c . x
s – c . y
v – c . z
. (–1)i + j
1 a b c
x m – a . x n – b . x p – c . x
y q – a . y r – b . y s – c . y
z t – a . z u – b . z v – c . z
8
Palavras-chave:
Regra de Chió e 
Teorema de Binet
• Abaixar ordem
• Determinante do
produto 
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 24
25MATEMÁTICA
� Calcular, pela Regra de Chió, o determinante da matriz
M =
Resolução
O único elemento de M que é igual a 1 é o a43, que dificulta o cálculo
pela Regra de Chió. Um recurso é transformar a11 = 3 em a11 = 1
fazendo, pelo Teorema de Jacobi, 
(1a. coluna) – (3a. coluna). 
Assim sendo:
det M = = =
 
= =
= . (– 1)1 + 1 = 1 . (– 33) = – 33
Resposta: det M = – 33
Observação 
Outro recurso para transformar a11 = 3 em a11 = 1 é trocar a 
1a. linha com a 4a. linha e em seguida a 1a. coluna com a 
3a. coluna.
� Calcular o determinante de A . B, sendo
A = e B = 
Resolução
Primeiro Processo
A . B = . =
det (AB) = = 162 – 19 = 143
Segundo Processo
det (AB) = det A . det B = . =
= (8 + 3) . (15 – 2) = 11 . 13 = 143
Resposta: det (AB) = 143 
� Dezesseis candidatos a uma vaga de es ta giário foram distribuídos
em uma sala de espera, como represen tado a seguir:
� �
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz
e se substituirmos o nome de cada um desses candidatos pelo
número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela
letra com a qual se inicia o nome, obte remos uma nova matriz. 
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 192 b) – 119 c) 0 d) 119 e) 192
Resolução
O determinante da matriz obtida, substituindo cada um dos no mes
pelo número que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupa da pela
primeira letra do respectivo nome é:
= (– 1)1+1 . = – 192
Resposta: A
5
1
2
3
2
3
–1
4
9
19
1
18
�919
1
18��
5
1
2
3��
2
3
–1
4�
�51
2
3��
2
3
–1
4�
3
– 6
– 1
2
– 7
– 1
– 1
2
4
1
0
2
1
4
3
2
3
2
2
– 3
1
0
– 1
2
4
3
2
– 1
2
4
3
2
3
2
2
– 3
1
0
– 1
2
4
�
3
2
–1
2
4
3
2
3
2
2
–3
1
0
–1
2
4
1
0
2
1
4
3 – 4 . 0
2 – 4 . 2
3 – 4 . 1
2
2 – 2 . 0
– 3 – 2 . 2
1 – 2 . 1
0
– 1 – 0 . 0
2 – 0 . 2
4 – 0 . 1
�
Alberto
Carlos
Daniele
Álvaro
Bruno
Denise
Daniel
Benedito
André
Márcia
Barone
Estela
Geraldo
Deise
Carla
Antônio
1
3
4
1
2
4
4
2
1
13
2
5
7
4
3
1
– 2
– 4
0
10
– 2
4
– 17
 – 25
– 6
 
� O determinante da matriz M = é 
igual a:
a) – 2 b) 5 c) 55 d) 30 e) 40
RESOLUÇÃO:det M = = (–1)1+1 . =
= = – 2
Resposta: A
�
1
7
10
5
36
52
– 2
– 12
– 18�
36 – 35
52 – 50
–12 + 14
–18 + 20
1
7
10
5
36
52
–2
–12
–18
1
2
2
2
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 25
26 MATEMÁTICA
� Calcular o determinante da matriz
M = utilizando a Regra de Chió.
RESOLUÇÃO:
det M = = (–1)
2+1 . =
= – = – (–1)1+1 . = – 1
� (FUVEST)
=
a) 2 b) – 2 c) 0 d) 1 e) 1131
RESOLUÇÃO:
= = = �1� = 1
Resposta: D
� Sejam as matrizes A = e B = 
Calcule:
a) det A b) det B c) A . B 
d) det (A . B) e) A + B f) det (A + B)
RESOLUÇÃO:
a) det A = 5 – (– 3) = 8
b) det B = 4 – (– 1) = 5
c) A . B = . =
d) det (A . B) = 5 . 8 = 40 = det A . det B 
 Observação: Se A e B são matrizes quadradas de mesma
ordem, então det(AB) = det A . det B (Teorema de Binet)
e) A + B = + =
f) det (A + B) = 21 – 0 = 21 � det A + det B 
� 1–1
3
5 � �
2
1
–1
2 �
� 1
–1
3
5
� � 2
1
–1
2
� � 5
3
5
11
�
� 1
–1
3
5
� � 2
1
–1
2
� � 3
0
2
7
�
2
1
1
3
5
2
4
8
6
2
4
7
9
4
3
9
�
5 – 4
4 – 2
8 – 6
6 – 4
4 – 2
7 – 6
9 – 8
3 – 4
9 – 12
2
1
1
3
5
2
4
8
6
2
4
7
9
4
3
9
– 2
– 3
– 3
– 5
1
2
2
2
2
1
1
– 1
– 3
�
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
1
1
2
2
1
2
3
1
1
1
2
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 26
27MATEMÁTICA
1. Geometria plana
 A Geometria Plana estuda as figuras planas. Enten -
demos por figura plana todo subconjunto, não vazio, de
pontos de um plano. Quando dizemos que uma figura é
plana, estamos afirmando que ela está totalmente con -
tida num plano.
2. Ponto, reta e plano
 São ideias primitivas, entes que não possuem defi -
nição. Conhecemos imagens de ponto, por exem plo,
como a ponta do giz marcando o quadro-negro, um lápis
tocando o papel, sendo, no entanto, apenas imagens,
pois não há dimensão para ponto. 
 Analogamente, pos suí mos a intuição de reta e plano.
 Representação gráfica
 Notação
 Costumam-se indicar
 a) os pontos com letras maiúsculas A, B, C, …
 b) as retas com letras minúsculas r, s, t, …
 c) os planos com letras do alfabeto grego α, β, γ, …
 d) como dois pontos distintos determinam uma reta,
pode-se indicar a reta por dois de seus pontos.
O conjunto universo da 
geometria plana será, pois, o plano.
Módulos
1 – Introdução ao estudo da geometria
2 – Ângulos
3 – Paralelismo
4 – Triângulos
5 – Segmentos notáveis do triângulo
6 – Triângulo retângulo e condição de
existência de um triângulo
7 – Congruência de triângulos
8 – Polígonos
9 – Polígonos
10 – Quadriláteros notáveis
11 – Quadriláteros notáveis
12 – Linhas proporcionais
13 – Semelhança de triângulos
14 – Semelhança de triângulos 
15 – Semelhança de triângulos 
16 – Relações métricas nos triângulos 
(Pitágoras)
GEOMETRIA PLANA
1
Palavras-chave:
Introdução ao 
estudo da geometria
• Reta 
• Segmento de reta
• Ângulo
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 15/06/2022 08:46 Página 27
28 MATEMÁTICA
3. Semirreta
 Um ponto A de uma reta r divide-a em dois subcon -
juntos chamados semirretas.
 O ponto A é origem das semirretas e pertence a am -
bas. Representa-se por 
→
Ar1 e 
→
Ar2.
 A semirreta pode ser também indicada por dois pon -
tos. 
→
AB indica a semirreta com origem A, que con tém o
ponto B, e
→
AC indica a semirreta com origem A, que
contém o ponto C.
4. Segmento de reta
 Podemos definir segmento de reta como sendo a
inter secção de duas semirretas, cada uma contendo a
origem da outra. 
 Representa-se por
—
AB.
 Simbolicamente: 
5. Medidas
 Medida de um ente geométrico é um número real
positivo, obtido pela com pa ração deste ente com um
outro escolhido como uni da de. Ao escolhermos esta uni -
da de, estamos estabe lecen do um sistema de medidas.
 A medida do segmento 
—
AB em centímetros é 5 e
pode ser representada por:
6. Congruência
 O termo congruência não será definido. A ideia in -
tuitiva de congruência entre dois entes geométricos está
associada às suas medidas. Dois entes serão con gruen -
tes quando suas medidas forem iguais.
 Para indicarmos a congruência entre dois entes geo -
mé tricos, utilizaremos o símbolo 	.
7. Congruência de segmentos de
reta 
 Dois segmentos de reta, 
—
AB e 
—
CD, serão congruen -
tes se, e somente se, tiverem mesma medida.
 Simbolicamente:
 
8. Segmentos colineares
 São aqueles que são subconjuntos da mesma reta.
 Exemplos
 
—
AB, 
—
MN,
—
AN, 
—
AM etc …
9. Ponto médio de um segmento
 M será ponto médio de um segmento 
—
AB se, e
somente se, M pertencer ao segmento 
—
AB e 
—
AM for
congruente com
—
BM.
 Assim,
10. Região convexa
 Um conjunto de pontos S é uma região convexa se,
e somente se, para qualquer par de pontos A e B de S,
o segmento 
—
AB for subconjunto de S. 
—
AB = 
→
Ar1 �
→
Br2
AB = 5 cm ou med ( 
—
AB) = 5 cm
—
AB 	
—
CD ⇔ AB = CD
 M ∈ AB
––
M é o ponto médio de AB
–– ⇔ � AM––– 	 BM–––
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 28
29MATEMÁTICA
 Assim,
 
 
 
 
 Quando existirem dois pontos, A e B, de S, de tal
for ma que
—
AB não é um subconjunto de S, a região é dita
côncava ou não convexa. 
 Assim,
 
11. Ângulos
 Ângulo é a união de duas semirretas de mesma ori gem.
 Simbolicamente:
 
 O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas 
→
Or e
→
Os são os lados do ângulo.
 Notação
 O ângulo determinado pelas semirretas 
→
Ar e 
→
As será
indicado por:
12. Região angular
 Observe que o ângulo geralmente determina, no
pla no, três conjuntos:
 a) pontos “interiores” (P; Q; R; …)
 b) pontos do ângulo (O; A; B; …)
 c) pontos “exteriores”(X; Y; Z; …)
 Região angular é a região determinada pela união
do con junto dos pontos do ângulo com o conjunto dos
pon tos “in teriores”.
13. Ângulos consecutivos
 Dois ângulos são consecutivos quando têm mesmo
vértice e pelo menos um lado em comum.
Os ângulos mO
^
r e rO
^
s são con se cutivos, pois admitem o lado
Or
→
em comum.
Os ângulos mO
^
s e rO
^
s são con se cutivos, pois admitem o lado
Os
→
em comum.
S é convexa
�
∀A ∈ S, ∀B ∈ S,
—
AB � S
r
^
As ou B
^
AC ou 
^
A
r
^
Os =
→
Or �
→
Os
S é não convexa
�
∃A ∈ S e ∃B ∈ S 
tal que
—
AB � S
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 29
30 MATEMÁTICA
14. Ângulos adjacentes
 Dois ângulos consecutivos serão adjacentes quan -
do a intersecção entre seus conjuntos de pontos “in -
terio res” for vazia.
 Os ângulos mO
^
r e rO
^
s são adja centes.
 Observação
 Dois ângulos adjacentes são sem pre dois ângulos
con se cutivos, porém dois ângulos con secutivos nem
sem pre são adjacentes.
15. Congruência de ângulos
 Dois ângulos são congruentes se, e somente se,
eles têm mesma medida.
 Simbolicamente:
16. Ângulo reto
 Duas retas são chamadas concorrentes se, e so -
mente se, elas possuírem um único ponto em comum.
 Observe que duas retas concorrentes determinam
quatro regiões angulares adjacentes.
 Quando duas dessas regiões angulares adjacentes
forem congruentes, dizemos que qualquer uma delas
define uma região de ângulo reto.
 Observação
 Quando duas retas r e s são con correntes e deter -
minam ân gulos adjacentes con gruen tes, elas são cha -
madas per pen di cu lares. 
 Sim bolica mente: r � s.
A
^
BC 	 D ^EF ⇔ med (A ^BC) = med (D ^EF)
� As lentes são formadas por materiais trans parentes (meio refrin -
gente) de tal forma quepelo menos uma das superfícies por onde
passa a luz (ao entrar ou sair da lente) não é plana. Nas lentes
esféricas, uma das super fícies, ou ambas, são cortes de uma esfera e,
con sequen temente, caracterizadas por um raio de curvatura.
As lentes podem ser classificadas, de acordo com sua cons tru ção,
como lentes conver gen tes e divergentes. Quando a lente está no ar ou
em qual quer meio menos refringente que o seu ma terial, as lentes
conver gentes são mais gros sas na parte central que nas bordas. O
contrário ocorre nas divergentes, que são delgadas no seu centro e
mais grossas nas extremi dades. Exemplos de lentes convergentes são
lupas e lentes para cor rigir hipermetropia. Lentes diver gentes são
encon tradas em olho-mágico de portas e em óculos para correções da
miopia.
Outra classificação é feita em termos da geometria da lente. Caso as
duas superfícies sejam côncavas, a lente é chamada bicôncava. Se as
duas superfícies são convexas, tem-se uma lente biconvexa. Sendo
uma superfície plana e outra convexa, tem-se uma lente plano-convexa
e assim por diante.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br
Existem seis tipos de lentes, que são represen tadas pelas figuras a seguir.
Das seis figuras que representam os tipos de lentes, a quan tidade de
regiões não convexas é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolução
Somente as duas primeiras não são regiões não convexas.
Resposta: D
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 30
31MATEMÁTICA
� Quando falamos em figuras iguais, intuitiva mente nos vêm à
mente figuras de mesmo tamanho e forma. Isto sig nifica que,
executando-se alguns movimen tos, as figuras se “encaixam”
exatamente umas sobre as outras. Observemos que a pala vra “iguais”
está sendo usada de forma um tanto imprópria, já que os conjuntos de
pontos que formam cada uma das figuras são diferentes. Tornamos
mais precisa nossa linguagem usando a expressão "figuras
congruentes".
http://penta.ufrgs.br/edu
É importante saber que duas figuras con gruen tes têm me di das iguais.
Assim, se os ângulos das figuras a seguir são con gruentes, então, o
valor de x é:
a) 20°20’ b) 20°30’ c) 20°40’ d) 20°50’ e) 21°
Resolução
Devemos ter: 3x – 14° = x + 27° ⇒ 2x = 41° ⇒ x = 20°30’
Resposta: B
Nos exercícios de � a �, represente graficamente os entes
geométricos, apresentando sua notação:
� Reta r determinada por dois pontos, A e B.
RESOLUÇÃO: 
r = 
→
AB
� Semirreta determinada por dois pontos, A e B, que tem
origem no ponto A e contém o ponto B.
RESOLUÇÃO:
→
AB
� Segmento de reta determinado por dois pontos, A e B.
RESOLUÇÃO:
—
AB
� Ângulo de lados 
→
OA e
→
OB e vértice O.
RESOLUÇÃO:
� Classifique as regiões a seguir em convexa e não convexa.
a) reta b) ângulo 
 
 
 convexa não convexa 
c) região angular d) circunferência
 
 convexa não convexa
e) círculo f) coroa circular
 
convexa não convexa
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 31
32 MATEMÁTICA
� É difícil saber se foram os egípcios ou os sumérios os
primeiros a produzir escritos de natureza mate mática. É fato
que os mais antigos documentos indu bitavel men te matemá -
ticos que chegaram até nós são tabletes su mé rios de barro
cozido, datando de aproximadamente 2200 a.C., mas como os
egípcios escreviam sobre papiros facilmente degradáveis, eles
podem ter produzido documentos ainda mais antigos e que se
perderam. É preciso lembrar, entretanto, que existem tabletes
sumérios de cerca de 3500 a.C., quando ainda eram usados
símbolos anteriores aos cuneiformes, que já traziam registros
nu méri cos. O sistema de numeração dos su mé rios, depois
adotado e adap tado por seus sucessores, usava como base o
número 60, de onde se origina a convenção que empregamos
até hoje de dividir o círculo em 360 graus, a hora em 60 mi -
nutos e o minuto em 60 segundos (a divisão do dia em 24
horas vem dos egípcios). 
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências, 2a. ed. Livraria da Física.
Lembrando que 1° = 60’ e 1’ = 60”, faça os cálculos a seguir,
associando-os com:
a) 45°13’ b) 12°40’ c) 104°53’37”
d) 23°12’17” e) 24°01’17”
I) 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54”
RESOLUÇÃO:
 
83° 20’ 43” Como 1’ → 60”, temos que.
+ 21° 32’ 54” 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” = 104° 53’ 37”
–––––––––––––
104° 52’ 97”
Resposta: C
II) 41° 23’ – 17° 21’ 43”
RESOLUÇÃO:
41° 22’ 60”
– 17° 21’ 43”
––––––––––––
24° 01’ 17”
Resposta: E
III) 38° : 3
RESOLUÇÃO:
38° 3
08° 12° 40’ Logo, 38° : 3 = 12° 40’
2° = 120’
 0
Resposta: B
� Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande
erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua
localização geográ fica no globo terrestre é
dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicio -
namento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do
Meridiano de Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação
a sua longitude da forma decimal é
a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°.
d) 124,30°. e) 124,50°.
RESOLUÇÃO:
124° 3’ 0” = 124° + = 124° + = 124° + 0,05° = 124,05°
 
Resposta: B
3°
––––
60
1°
––––
20
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 32
33MATEMÁTICA
1. Ângulos agudo, obtuso e raso
 Ângulo agudo
 Um ângulo é agudo quando sua medida é menor do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, menor que 90°.
 Âgulo obtuso
 Um ângulo é obtuso quando sua medida é maior do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, maior que 90°.
 Ângulo raso
 Um ângulo é raso quando seus lados são semirretas
opostas.
 A medida de um ângulo raso corresponde a dois
ângulos retos ou a 180°.
 Exemplos
2. Soma de ângulos
 A soma de dois ângulos A
^
BC e D
^
EF é um ângulo 
P
^
QR tal que:
 Observação:
 Quando med(P
^
QR) = med(A
^
BC) – med(D
^
EF), o ân -
gulo P
^
QR é a diferença entre os ângulos A
^
BC e D
^
EF.
3. Bissetriz de um ângulo
 A bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem
no vértice do ângulo, e que o divide em dois ângulos
congruentes. Assim,
4. Ângulos complementares
 Dois ângulos são complementares quando a soma
de suas medidas é um ângulo reto. Um dos ângulos é
cha mado complemento do outro.
 O complemento de um ângulo de medida x é
5. Ângulos suplementares
 Dois ângulos são suplementares quando a soma de
suas medidas corresponde a dois ângulos retos. Um dos
ângulos é chamado suplemento do outro.
→
OC é bissetriz do ângulo A
^
OB
�
A
^
OC 	 B ^OC
90° – x
Complementares ⇔ ^a + ^b = 90°
med(P
^
QR) = med(A
^
BC) + med(D
^
EF)
2
Palavras-chave:
Ângulos • Obtuso • Agudo • Reto
• Complementares • Suplementares
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 33
34 MATEMÁTICA
 
 O suplemento de um ângulo de medida x é
6. Ângulos replementares
 Dois ângulos são replementares quando a soma de
suas medidas corresponde a quatro ângulos retos. Um
dos ângulos é chamado replemento do outro.
 
 O replemento de um ângulo de medida x é 
7. Ângulos opostos pelo vértice
 Ângulos opostos pelo vér tice são aqueles em que os
lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.
 Teorema
 Demonstração
 
⇒ a + x = b + x ⇔ a = b
a + x = 180°b + x = 180°
Se dois ângulos são opostos pelo vér tice, então
eles são congruentes.
360° – x
Replementares ⇔ ^a + ^b = 360°
180° – x
Suplementares ⇔ ^a + ^b = 180°
� Nas regiõespróxi mas à linha do Equador, todas as estrelas
nascem e se põem quatro minutos mais cedo, a cada dia que passa.
Ao final de 365 dias, esse adiantamento dará um total de 24 horas. Por
isso, se você observar o céu todas as noites, sempre à mesma hora,
notará que seu aspecto irá modifi cando-se. Al gu mas estrelas e cons -
telações deixam de ser visíveis, enquanto outras vão surgindo no
horizonte no lado Leste. E se voltar a observar o céu daqui a três
meses, verá que tal mo dificação será bem mais sensível. Ao término
de seis meses, você poderá verificar que todas as cons telações
visíveis serão diferentes, pois você estará vendo o outro lado do céu
estrelado, que era invisível em virtude da luz solar.
Ronaldo Rogério de Freitas Mourão. 
O Livro de Ouro do Universo, 6a. Ed. Ediouro Publicações S/A
Na figura seguinte, o astrônomo observou que as estrelas A, B e C
estão posicionadas de tal modo que 
—
BD é bissetriz do ângulo A
^
DC. 
Se A
^
DB = 3x – 10° e C
^
DB = 2x + 8°, então, a medida do ângulo 
A
^
DC é:
a) 80° b) 82° c) 84° d) 86° e) 88°
Resolução
I) 3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18°
II) C
^
DB = 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44°
III) A
^
DC = 2 . 44° = 88°
Resposta: E
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 34
35MATEMÁTICA
� (MACKENZIE) – O complemento e o suplemento de um
ângulo de 37°20’07” medem, respecti vamente,
a) 149°39’53” e 52°39’53”. 
b) 52°39’53” e 142°39’53”.
c) 53°20’07” e 143°20’07”. 
d) 143°20’07” e 53°20’07”.
e) 142°39’53” e 53°20’07”.
RESOLUÇÃO:
I) Complemento: 90° – 37°20’07” =
 = 89°59’60” – 37°20’07” = 52°39’53”
II) Suplemento: 90° + 52°39’53” = 142°39’53”
Resposta: B
� (PUC-MG) – O dobro do complemento de um ân gulo é
igual à quinta parte do suplemento desse ângulo. A medida do
ângulo é igual a:
a) 80° b) 60° c) 40° d) 30° e) 20°
RESOLUÇÃO:
2(90° – x) = ⇔ 900° – 10x = 180° – x ⇔
⇔ 9x = 720° ⇔ x = 80° 
Resposta: A
� (CFT-CE) – O ângulo cujo suplemento excede de 6° o
quádruplo do seu complemento é:
a) 58° b) 60° c) 62° d) 64° e) 68°
RESOLUÇÃO:
Sendo x a medida, em graus, desse ângulo, tem-se:
180° – x = 6° + 4 (90° – x) ⇔ 3x = 186° ⇔ x = 62°
Resposta: C
180° – x
–––––––––
5
� Castelos e palácios eram residências majestosas para nobres e
reis, mas apenas castelos tinham muros altos, torres e fossos. Embora
os palácios fossem grandes residên cias e pudes sem ter muros ao seu
redor, não tinham muros altos de proteção e não eram projetados para
finalidades militares.
O fosso – um grande dique
ou trincheira ao redor do
muro externo do castelo – era
a primeira linha de defesa.
Ele poderia ser cheio de água
ou seco (um fosso seco
poderia ser forrado com esta -
cas pontiagudas de madeira).
Normalmente, havia uma
ponte elevadiça que per ma -
ne cia erguida quando o cas -
telo era atacado. Vários
fossos eram também locais
para depósito de lixo e detritos. A existência de um fosso dependia do
terreno – nem todos os castelos tinham fossos. Alguns eram
construídos no alto de uma rocha e não preci savam deles. Os castelos
de Edinburgo e de Stirling na Escócia, por exemplo, estão no alto de
uma encosta rochosa. Vários castelos alemães ao longo do Rio Reno
foram cons truídos nas áreas mon tanhosas do vale. 
www.spectrumgothic.com.br
Durante um ataque a um castelo medieval, os sen ti ne las er gue ram a
ponte levadiça, até que ela for masse um ângulo α com a horizontal. Se
a medida do ângulo α é a metade da medida do seu suplemento,
então, o complemento de α vale:
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
Resolução
α = ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60°
Logo, o complemento de α é 30°.
Resposta: A
180° – α
–––––––––
2
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 35
36 MATEMÁTICA
� Na cidade jônia de Mileto (hoje em território pertencente à
Turquia), viveu um homem admi rável, mais tarde con siderado
um dos Sete Sábios da Grécia Antiga, chamado Tales. Ele é
considerado o primeiro filósofo e o primeiro matemá tico grego
e é provável, mas não aceito unanimemente, que tenha vivido
entre 640 a.C. e 564 a.C.
Embora a Filosofia, a Astrono mia e a Matemática fossem suas
paixões, a atividade rotineira de Tales era o comércio. Aris -
tóteles conta, em seu livro Política, que muitos na cidade o
criticavam por descuidar-se dos negó cios e desperdiçar seu
tempo com aqueles interesses estra nhos. Indiferente às crí -
ticas, um dia percebeu que se avizinhava uma excepcional
safra de azeitonas e alugou para si todas as prensas extratoras
de azeite existentes na região. Quando a colheita chegou,
ganhou muito dinheiro realugando-as e declarou ter
demonstrado que os filósofos, quando que rem, também
sabem como en rique cer. Se não o fazem é por que dão valor a
outras coisas que lhes parecem muito mais impor tantes.
Jamais saberemos como ocorreu a Tales a revolucionária ideia
que deu rumos definitivos ao pensamento matemático, ou
seja, a de que suas verdades devem ser justificadas,
demons tradas, provadas por meio do raciocínio.
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências. 
2a. ed. Livraria da Física.
As fontes históricas da Geometria mencionam que Tales de -
mons trou o seguinte teorema: Se dois ângulos são opostos
pelo vértice, então, eles são congruentes.
Utilizando esse teorema, você descobrirá que o valor de x na
figura seguinte é:
a) 16° b) 18° c) 20° d) 22° e) 24°
RESOLUCÃO:
3x – 30° = 60° – 2x ⇔ 5x = 90° ⇔ x = 18°
Resposta: B
� Rotas aéreas são como pontes que ligam
cidades, estados ou países. O mapa a seguir
mostra os esta dos brasileiros e a localização
de algumas capitais identificadas pelos números. Considere
que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília –
DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de
reta com extre midades em DF e em 4.
Siqueira. S. Brasil Regiões. Disponível em
www.santiagosiqueira.pro.br
Acesso em 28 jul 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião
AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus no
sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez
uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a
direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com
a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF.
Considerando que a direção seguida por um avião é sempre
dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que
passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o
passageiro Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
RESOLUCÃO:
Conforme o trajeto apresentado no mapa acima, Carlos fez
conexão em Belo Horizonte (13) e, em seguida, embarcou para
Salvador (9).
Resposta: B
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 36
37MATEMÁTICA
1. Nomenclatura
 Dadas, num plano, duas retas, r e s, e uma
transversal t, obtemos oito ângulos com as designações
 
 • correspondentes: a^ e α^ ; b
^
e β
^
; c
^
e γ^; d
^
e δ
^
 • alternos externos: a^ e γ^; b
^
e δ
^
 
 • alternos internos: c^ e α^ ; d
^
e β
^
 
 • colaterais externos: a^ e δ
^
; b
^
e γ^ 
 • colaterais internos: c^ e β
^
; d
^
e α^
2. Retas paralelas
 Duas retas são paralelas se, e somente se, são co -
planares com intersecção vazia ou são coincidentes.
Representa-se r // s.
3. Ângulos correspondentes
 Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos correspondentes congruentes e
reci procamente.
4. Ângulos alternos 
 Duas retas paralelas distintasformam com uma
trans versal ângulos alternos congruentes e reci pro -
camente.
5. Ângulos colaterais
 Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos colaterais suplementares e reci -
pro camente.
r // s ⇔ γ 	 β
r // s ⇔ α 	 β
r // s ⇔ β + δ = 180°
3
Palavras-chave:
Paralelismo • Congruentes
• Suplementares
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 37
38 MATEMÁTICA
� Na figura seguinte, na qual as retas r e s
são paralelas, o valor de x é igual a:
a) 20° b) 25° c) 30° 
d) 40° e) 45°
Resolução
Os ângulos de medidas 5x + 20° e 120°
são alternos externos.
Assim: 5x + 20° = 120° ⇔ 5x = 100° ⇔
⇔ x = 20°
Resposta: A
� Nelson Piquet, três vezes campeão do
mundo, se tornará um dos donos da equipe
BMW, em 2010, junto com o suíço Peter
Sauber – proprietário hoje de cerca de 20% da
organização. Assim, o futuro de Nelsinho
Piquet estará prati camente assegu rado na
Fórmula 1. O piloto já não disputa o GP da
Europa, no dia 23, em Valência, pela Renault,
mas no ano que vem sua vaga estaria
reservada no Mundial.
Quando escreveu no twitter que poderia
“quem sabe correr no seu próprio time”, há
dois dias, e depois disse que estava “brin -
cando”, na realidade Nelsinho falou a verdade.
Nelson, seu pai, tenta dar sequência ao que
sempre fez com o filho: competir em sua
escuderia. Foi assim no kart, na Fórmula 3, na
GP2 – Nelsinho sempre obteve sucesso – e pro -
vavelmente será agora também na Fórmula 1.
O Estado de São Paulo – 03/08/2009
Na pista de kart da figura seguinte, temos: 
—
AB
paralelo a 
—
DE e também paralelo a 
—
FG. Assim, a
soma das medidas dos ângulos x e y vale:
a) 140° b) 160° c) 180° 
d) 200° e) 220°
Resolução
Assim, x + 60° = 180° ⇒
⇒ x = 120°, y = 60° + 20° = 80° e, portanto,
x + y = 120° + 80° = 200°
Resposta: D
� (UESB-BA) – Sabendo-se que r//s e t é uma trans ver sal a r
e a s, conforme a figura seguinte, é correto afirmar:
a) x mede 80°, y e z são correspondentes.
b) y mede 100°, x e z são suplementares.
c) z mede 80°, x e y são opostos pelo vértice.
d) y mede 80°, x e z são alternos externos.
e) z mede 100°, y e x são alternos internos.
RESOLUÇÃO:
I) x = 80° (opostos pelo vértice)
II) y = 80° (correspondentes)
III) z + y = 180° (suplementares)
 Assim: z + 80° = 180° ⇔ z = 100°
IV) y = x (alternos internos)
 Portanto: z = 100°, y e x são alternos internos.
Resposta: E
t
80°
x
r
y
z
s
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 38
39MATEMÁTICA
� Antônio Carlos levou seu filho Fernando Antônio para
fazer um passeio no “Rio do Peixe” cujas margens são
paralelas. No local aonde eles foram, havia uma ponte que
ligava a margem r com um ilha localizada pelo ponto B e uma
outra ponte ligando a ilha com o ponto C na outra margem,
como mostra a figura seguinte. Se o ângulo agudo que a
margem forma com 
—
AB mede 18° e A
^
BC = 92°, então, a
medida do ângulo obtuso que a margem s forma com a ponte
—
BC é:
a) 102° b) 104° c) 106° d) 108° e) 110°
RESOLUÇÃO:
α + 74° = 180° ⇔ α = 106°
Resposta: C
� O valor de α na figura seguinte é:
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
RESOLUÇÃO:
Assim, α = 30°
Resposta: B
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 39
40 MATEMÁTICA
� Na figura seguinte, onde as retas r e s são paralelas, o valor
de x é
a) 20° b) 25° c) 30° d) 35° e) 50°
RESOLUÇÃO:
5x – 70° = 3x – 20° (alternos internos)
Assim: 5x – 3x = 70° – 20° ⇔ 2x = 50° ⇔ x = 25°
Resposta: B
� (UNICAMP) – Para calcular a circun ferência ter res tre, o
sábio Eratóstenes valeu-se da distância co nhe cida de 800 km
entre as localidades de Ale xandria e Siena no Egito (A e S,
respec ti vamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele
sabia que, quando em Siena os raios solares caíam
verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2°
com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência
terrestre, isto é, o com primento de uma volta completa em
torno da Terra.
RESOLUÇÃO:
Como as grandezas são diretamente proporcionais, tem-se:
= ⇔ = ⇔
⇔ C = 50 . 800 km = 40000 km
Resposta: 40000 km
7,2°
0
R
7,2°A
800 km
S
ângulo central comprimento do arco
7,2° 800 km
360° C
7,2°
––––––
360°
800 km
––––––––
C
1
––––
50
800 km
––––––––
C
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 40
41MATEMÁTICA
1. Definição
 Dados três pontos não colineares, A, B e C, chama-
se triângulo a união dos três segmentos, AB
––
, AC
––
e BC
––
.
 
 Simbolicamente:
 
 A união do triângulo ABC com os pontos de sua
região interior é chamada região triangular.
 A palavra triângulo é, muitas vezes, usada com o
sen tido de região trian gu lar.
2. Elementos do triângulo
 a) Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
 b) Os segmentos
—
AB, 
—
AC e 
—
BC são os lados do triân -
gulo.
 c) Os ângulos B
^
AC = 
^
A, A
^
BC = 
^
B e A
^
CB = 
^
C são os
ân gulos in ter nos do triângulo.
 d) Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo
in ter no. Na figura, α̂,
^
β e γ̂ são os ân gulos ex ternos dos
vértices A, B e C, respe ctivamente.
3. Propriedades
 Soma dos ângulos internos
 A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo
é igual a 180°.
 Demonstração
 Como β 	
^
B , γ 	
^
C e 
^
A + β + γ = 180°, temos:
 Soma dos ângulos externos
 Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos exter -
nos é igual a 360°.
 Demonstração
⇒
⇒
^
A + 
^
B + 
^
C + ^α + 
^
β + ^γ = 540° ⇒ 
14243
 180°
4. Teorema do ângulo externo
 Em qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual
à soma dos ângulos internos não adjacentes.
 Demonstração
⇒
α^ + β
^
+ γ^ = 360°
^
A + ^α = 180°
^
B + 
^
β = 180°
^
C + ^γ = 180°
^
A +
^
B +
^
C = 180°
ΔABC = AB
––
� BC
–––
� AC
––
α^ = B
^
+ C
^
1
2
3
^
A + ^α = 180°
^
A + 
^
B + 
^
C = 180°
4
Palavras-chave:
Triângulos • Vértices • Ângulos internos
• Ângulos externos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 41
42 MATEMÁTICA
� (ESPM) – Uma folha de papel determina um triângulo ABC 
(figura 1). Esta folha é dobrada em torno de AD, de modo que o lado
AB fique contido no lado AC (figura 2), DA
^
C = 49° e AB
^
D = 60°.
A medida do ângulo BC
^
D é:
a) 22° b) 21° c) 20° d) 19° e) 18°
Resolução
I)
—
AD é bissetriz do ângulo B’
^
AC ⇒ B’
^
AD = 49°
II) No triângulo AB’C, temos:
B
^
CD + 49° + 49° + 60° = 180° ⇒ B
^
CD = 22°
Resposta: A
� Um programa de edição de imagens pos sibi -
lita transfor mar figuras em outras mais com -
plexas. Deseja-se cons truir uma nova figura a
partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em
relação ao ponto O. 
Figura original 
A imagem que representa a nova figura é: 
Resolução
Observe, na figura acima, que, em relação ao ponto O, o simétrico do:
1) ponto A é o ponto A’ 
2) ponto B é o ponto B’
3) ponto C é o ponto C’ 
4) ponto D é o ponto D’
5) ponto E é o ponto E’
6) triângulo BCE é o triângulo B’C’E’ e, consequen temente, do
quadrilátero OACD dado é o quadri látero OA’C’D’.
Resposta: E
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 42
43MATEMÁTICA
� Determine o valor de α na figura a seguir.
RESOLUÇÃO:
3α = α + 70° ⇔ 2α = 70° ⇔ α = 35°
� (MACKENZIE-SP) – Na figura, —AB é bissetriz do ângulo de
vértice A. A medida de α é:
a) 63° b) 63,5° c) 64° d) 64,5° e) 65°
RESOLUÇÃO:
Como 
—
AB é bissetriz do ângulo C
^
AD, temos: C
^
AB = B
^
AD = x 
Assim:
43° + 2x = 86° x = 21,5°� ⇔ �α + x = 86° α + x = 86°
e, portanto, α + 21,5° = 86° ⇔ α = 64,5°
Resposta: D
� Pedro Afonso pretendia fazer um bumerangue