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1MATEMÁTICA
1. Definição de matriz
 Chama-se matriz de ordem m x n (lê-se “m por n”) a uma tabela de m . n nú meros reais, dispostos em m linhas
e n colunas. 
 Representa-se por A ou Am×n.
 Seja a matriz A de ordem 2 x 3:
 O elemento m, situado na 1a. linha e na 1a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a11. Lê-se a índice um um
ou simplesmente a um um.
 O elemento n, situado na 1a. linha e 2a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a12. Lê-se a índice um dois ou
simplesmente a um dois.
 O elemento p, situado na 1a. linha e 3a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a13. Lê-se a índice um três ou
simplesmente a um três.
 De modo análogo, x é o elemento a21, y é o ele mento a22 e z é o elemento a23.
 Assim sendo, uma matriz A, de ordem 2 x 3, pode ser assim representada:
A =
m
x
n
y
p
z� �
�a11a21
a12
a22
a13
a23
�A =oua11a21
a12
a22
a13
a23
A =ou�a11a21
a12
a22
a13
a23
�A =
Módulos
1 – Matrizes
2 – Multiplicação de matrizes
3 – Propriedades
4 – Determinantes
5 – Determinante nulo e determinante se altera 
6 – Determinante não se altera
7 – Abaixamento da ordem e Teorema de Laplace
8 – Regra de Chió e Teorema de Binet
MATRIZES – DETERMINANTES –
SISTEMAS LINEARES
1
Palavras-chave:
Matrizes • Tabelas• Linhas 
• Colunas
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 1
2 MATEMÁTICA
 De modo geral, representando por aij o elemento da
linha de ordem i e da coluna de ordem j, podemos
representar a matriz A de ordem m x n como se segue:
ou simplesmente A = (aij)mxn
 Observações
 • Ao apresentarmos uma matriz como “tabela”, es -
ta mos dando uma noção intuitiva de matriz. Formal men -
te, matriz é uma função que a cada par (i; j) associa o
número real aij.
 • Linha de uma matriz é uma ênupla de elementos
com o mesmo primeiro índice. Exemplo: a segunda linha
da matriz A é (a21, a22, a23, … a2n).
 • Coluna de uma matriz é uma ênupla de elemen -
tos com o mesmo segundo índice. Exemplo: a segunda
coluna da matriz A é (a12, a22, a32, … am2).
 • Fila de uma matriz significa linha ou coluna indis -
tin tamente.
 • A matriz Amxn é chamada:
 Retangular ⇔ m � n 
 Quadrada ⇔ m = n
 Matriz Linha ⇔ m = 1 
 Matriz Coluna ⇔ n = 1
 Exemplo
 Matriz Retangular:
 A =
 
Matriz Quadrada:
 B = 
 Matriz Linha:
 C = [1 2 6 7] 1 linha
2. Matriz nula
 Matriz nula é aquela que tem todos os elementos
iguais a zero.
 É representada pelo símbolo Omxn. 
 Exemplo
 
O3×2 =
3. Matriz unidade 
ou matriz identidade
 A matriz A = (aij)nxn é chamada matriz unidade ou
identidade de ordem n e é representada por In, se e
somente se:
⇔
∀i, j ∈ { 1, 2, 3, ..., n}
 Matriz identidade de ordem 3:
 I3 = 
4. Matriz oposta
 A matriz oposta de A = (aij)mxn é a matriz 
 – A = (– aij)mxn.
5. Matriz transposta
 A matriz transposta da matriz A = (aij)mxn é a matriz
At = (bji)nxm, tal que bji = aij, ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m}, 
∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
• Obter a transposta é trocar, ordena damente, linhas
por colunas
•• A transposta da transposta de A é a própria
matriz A
6. Igualdade de matrizes
 Duas matrizes, A e B, de mesma ordem, são iguais
se, e somente se, todos os elementos correspondentes
forem dois a dois iguais.
 Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, então cada elemento aij
de A é igual ao correspondente elemento bij de B. 
 Sim bolicamente:
 para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
� 243
1
5
6 �
�10
0
0
1
0
0
0
1
�
 1 0 0 … 0
 0 1 0 … 0
In = � 0 0 1 … 0 � ......................……
 0 0 0 … 1
aij = 1 ⇔ i = j �aij = 0 ⇔ i � j
0
0
0
0
0
0
2 linhas
2 colunas�
1
4
3
6�
� �
3 linhas
2 colunas
a11
a21
�
am1
a12
a22
�
am2
a13
a23
�
am3
…
…
�
…
a1n
a2n
�
amn
A = B ⇔ aij = bij
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 2
3MATEMÁTICA
7. Adição de matrizes
 Dadas duas matrizes de mesma ordem, A = (aij)mxn
e B = (bij)mxn, define-se soma de A com B como sendo
a matriz C = (cij)mxn, tal que cada elemento de C é a 
so ma dos elementos correspondentes de A e B. 
 
Sim boli camente:
 para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} 
8. Subtração de matrizes
 Dadas duas matrizes, A e B, de mesma ordem,
define-se diferença entre A e B como sendo a soma de
A com a oposta de B. 
 Simbolicamente: 
9. Multiplicação de 
número real por matriz
 Dada a matriz A = (aij)mxn e o número real α, define-
se o produto de α por A como sendo a matriz B= (bij)mxn
tal que cada elemento bij de B é igual ao produto do
número α pelo correspondente elemento da matriz A.
 
Simbolicamente:
para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} 
 Exemplo:
 
C = A + B ⇔ cij = aij + bij
�312
9
0
21
– 9�=�
1
4
3
0
7
– 3�3 . 
B = α . A ⇔ b
ij
= α . a
ij
A – B = A + (– B) 
� (UNICAMP) – Em uma matriz, chamam-se elementos internos
aqueles que não pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O
número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6
colunas é igual a 
a) 12. b) 15. c) 16. d) 20. 
Resolução
Uma matriz com 5 linhas e 6 colunas possui 5x6 = 30 ele mentos,
conforme exemplo a seguir:
Para obtermos os elementos internos devemos excluir a primeira e
última linhas, e a primeira e última colunas, resultando uma nova matriz
com 3 linhas, 4 colunas e, portanto, 12 elementos.
Resposta: A
� (PUC) – Da equação matricial
+ = , resulta:
a) x = y = z = t = 1 b) x = 1, y = 2, z = t = 0
c) x = 1, y = 1, z = 3, t = 2 d) x = 2, y = 0, z = 2, t = 3
 
e) x = , y = 2, z = 0, t = – 2
 
Resolução
+ = ⇔ ⇔
 
Resposta: A
� (PUC) – Se A = , B = e C = então 
a matriz X, de ordem 2, tal que = + C é igual a:
a) b) c) 
d) e) 
Resolução
I) = + C ⇔ 3X – 3A = 2B + 2X + 6C ⇔
 ⇔ X = 3A + 2B + 6C
II) Para as matrizes A, B e C dadas no enunciado, tem-se:
 
X = 3 . + 2 . + 6 . =
 
= + + = 
Resposta: B 
M =�
a11
a21
a31
a41
a51
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
a34
a44
a54
a15
a25
a35
a45
a55
a16
a26
a36
a46
a56
�
3
–––
2
� x1
1
2 � �
2
0
y
–1 � �
3
z
2
t � �
x + 2 = 3
1 + y = 2
1 + 0 = z
2 – 1 = t
�
x = 1
y = 1
z = 1
t = 1
X – A––––––
2
B + X
––––––
3
X – A
––––––
2
B + X
––––––
3
� 23
1
–1 � �
–1
1
2
0 � �
4
2
–1
1 �
� 69
3
–3 � �
–2
2
4
0 � �
24
12
–6
6 � �
28
23
1
3 �
� x1
1
2 � �
2
0
y
–1 � �
3
z
2
t �
� 23
1
–1 � �
–1
1
2
0 � �
4
2
–1
1 �
� 2824
1
3� �
28
23
1
3� �
28
25
1
3�
� 2830
1
3� �
28
22
1
3�
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 3
4 MATEMÁTICA
Questões de � a �.
Sendo a matriz A = (aij)3x2 definida por aij = 2i + j, pede-se:
� Escrever a matriz A.
RESOLUÇÃO:
A = = = 
� Escrever a matriz oposta de A.
RESOLUÇÃO: 
– A = 
� Escrever a matriz transposta de A.
RESOLUÇÃO:
At =
Obs.: Note que obter a transposta é trocar, ordenadamente, linhas
por colunas.
� Dadas as matrizes A = e B = , ob te -
nha a matriz X = 3A + B. 
RESOLUÇÃO:
X = 3A + B ⇒ X = 3 . + ⇔
⇔ X = + ⇔ X = 
� 3–4
–1
1 �
� 9– 12
– 3
3 �
�56
1
9��
3
– 4
–1
1�
� 56
1
9 �
� 56
1
9 � �
14
– 6
–2
12 �
3
4
5
6
7
8� �
�
– 3
– 5
– 7
– 4
– 6
– 8
�
a11
a21
a31
a12
a22
a32
� � �
2.1 + 1
2.2 + 1
2.3 + 1
2.1 + 2
2.2 + 2
2.3 + 2
� �
3
5
7
4
6
8
�
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 4
5MATEMÁTICA
� (UERJ) – A temperatura corporal de um paciente foi
medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco
dias. Cada elementoaij da matriz abaixo corres ponde à
temperatura observada no instante i do dia j.
Determine
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior
temperatura; 
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de
observação. 
RESOLUÇÃO:
a) A maior temperatura é dada pelo elemento a24(40,5 °C) da
matriz e ocorreu no instante 2 do dia 4.
b) As temperaturas do terceiro dia são a13 = 38,6, a23 = 37,2 e 
a33 = 36,1. A média, em graus Celsius, é:
 = = = 37,3
� Uma loja guarda as camisas que estão à venda em uma
prateleira que permite separá-las em tamanho (pequeno,
médio e grande) e cor (verde, azul, branca e preta), conforme a
figura seguinte:
Para controlar o es to que, a lo ja utiliza uma matriz A = (aij)3×4 em
que (i; j) indi ca a po sição em que as camisas se encon tram na
prateleira e aij indica a quan tidade de camisas daquela cor e ta -
manho correspon den te. Assim, por exemplo, a23 = 5 significa
que existem cinco camisas brancas de tamanho médio. Quan -
do A = , pode-se dizer que 
a) existem 7 camisas verdes médias.
b) existem 18 camisas médias.
c) existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas.
d) estão em falta camisas azuis grandes.
e) há mais camisas grandes que pequenas.
RESOLUÇÃO:
Conforme a matriz, têm-se: 
1 camisa verde média, 1 + 6 + 5 + 8 = 20 camisas médias, 
7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 = 15 camisas pretas, 
2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0 + 4 = 15 camisas
grandes.
Resposta: C
� 35,636,1
35,5
36,4
37,0
35,7
38,6
37,2
36,1
38,0
40,5
37,0
36,0
40,4
39,2
�
111,9
––––––
3
38,6 + 37,2 + 36,1
––––––––––––––––––
3
a13 + a23 + a33
–––––––––––––––
3
�
2
1
9
7
6
2
4
5
0
3
8
4
�
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 5
6 MATEMÁTICA
1. Definição
 O produto da matriz A = (aik)mxp pela matriz B = (bkj)pxn é a matriz C = (cij)mxn tal que cada elemento cij de
C é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da j-ésima
coluna de B.
 Simbolicamente
2. Existência da matriz produto
 a) A matriz produto A . B existe se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao número de
linhas da matriz B;
 b) Existindo, a matriz produto A . B tem o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas
da matriz B;
 c) A existência de A. B não implica a existência de B . A.
 Note que, sendo A = (aik)2x7 e B = (bkj)7x5, temos:
 a) A matriz produto A . B existe, pois o número de colunas de A (sete) é igual ao número de linhas de B (sete);
 b) A matriz produto C = A . B é de ordem 2x5, pois a matriz A possui duas linhas e a matriz B possui 5 colunas.
 c) Não existe a matriz produto D = B . A, pois o nú mero de colunas de B (cinco) é diferente do número de linhas
de A (dois).
C = A . B ⇔ cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + aip . bpj
� Dadas as matrizes A =
2x3
e B =
3x3
, obter a matriz A.B.
Resolução
• O elemento c11 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 7, pois:
• O elemento c12 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c13 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 9, pois:
1 3 2( ) . 21
1
( ) = 1.2 + 3.1 + 2.1( ) = 7( )
�
2 1 3
1 0 2
1 1 0
��1 3 2
2 1 1
�
1 3 2( ) . 10
1
( ) = 1.1 + 3.0 + 2.1( ) = 7 3( )7
1 3 2( ) . 32
0
( ) = 1.3 + 3.2 + 2.0( ) = 7 3 9( )7 3
Exercícios Resolvidos
2
Palavras-chave:
Multiplicação de matrizes • Produto
• Linha por coluna
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 20/06/2022 14:32 Página 6
7MATEMÁTICA
• O elemento c21 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 6, pois:
• O elemento c22 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c23 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 8, pois:
Assim sendo, A . B = . =
2 1 1
( ) . 10
1
( ) =
2.1 + 1.0 + 1.1
( ) = 7 3 9( )7 3 9 6 36
2 1 1
( ) . 21
1
( ) =
2.2 + 1.1 + 1.1
( ) = 7 3 9( )7 3 9
6
2 1 1
( ) . 32
0
( ) =
2.3 + 1.2 + 1.0
( ) = 7 3 9( )7 3 9
6 3 86 3
�76 33 98��2 1 31 0 2
1 1 0
��12 31 21�
� (UFRJ) – Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de
fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas de
mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1
mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a
tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário
no mesmo mês.
Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005 
Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005 
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte
nesse mês foi de
a) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188
Resolução
A matriz A = 
2× 3
representa a tabela 1, a matriz 
B = 
3×2
representa a tabela 2 e a matriz C = B. 
A representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo.
C = . = 
Assim,
No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218 fechaduras.
Resposta: D
MODELO
MADEIRA BÁSICO LUXO REQUINTE
Mogno 3 5 4
Cerejeira 4 3 5
MADEIRA
TIPO
MOGNO CEREJEIRA
Dourada 10 12
Prateada 8 8
Bronzeada 4 6
�
�34
5
3
4
5�
�
10
8
4
12
8
6
�
78
56
36
86
64
38
100
72
46��
3
4
5
3
4
5��
10
8
4
12
8
6�
Fechaduras por modelo
Tipo Básico luxo Requinte
Dourada 78 86 100
Prateada 56 64 72
Bronzeada 36 38 46
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 7
8 MATEMÁTICA
� Sendo A = , e B = ,
obter, se possível, A . B e B . A 
RESOLUÇÃO:
I) A . B = . = 
II) B.A não existe
� Dadas as matrizes A = e B = , obter A.B.
RESOLUÇÃO:
A.B = . =
� (UNESP) – Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e
P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O
lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00
e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz abaixo fornece a quantidade
de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no
mês de novembro.
A matriz , onde x e y representam os lucros, em reais, 
obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças
às empresas E1 e E2, respectiva mente, é
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
RESOLUÇÃO:
A matriz , onde x e y representam os lucros, em reais, 
obtidos pela fábrica, é o resultado do produto entre as matrizes 
e , onde corresponde aos lucros, em reais, 
com a venda de cada peça P1 e P2, respectivamente. 
Logo: = . =
Resposta: C
� 3– 2
1
1
5
– 3 � �
2
3
– 4
– 1
1
2
1
2
5
� � –1111 8–3 30–15 �
� 3– 2
1
1
5
– 3 � �
2
3
– 4
– 1
1
2
1
2
5
�
E1
E2 �
P1
20
15
P2
8
12 �
� xy �
� 3520 � �
90
48 � �
76
69 � �
84
61 � �
28
27 �
� xy �
� 2015
8
12 � �
3
2 � �
3
2 �
� xy � �
20
15
8
12 � �
3
2 � �
76
69 �� 23
1
4 � �
1
1
5
2 �
� 23
1
4 � �
1
1
5
2 � �
3
7
12
23 �
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 8
9MATEMÁTICA
� Um aluno registrou as notas bimestrais de
algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele
observou que as entradas numéricas da
tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as
médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele
conseguiu é mostrada a seguir
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir
da tabela por
a)
 
b)
 
 
RESOLUÇÃO:
Ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela pela matriz da
alternativa E, pois
Resposta: E
.
1o. bimestre 2o. bimestre 3o.bimestre 4o. bimestre
Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5
Português 6,6 7,1 6,5 8,4
Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0
História 6,2 5,6 5,9 7,7
� 1––2
1
––
2
1
––
2
1
––
2 � �
1
––
4
1
––
4
1
––
4
1
––
4 �
1––
2
1––
2
1––
2
1––
2
�� �
1––
4
1––
4
1––
4
1––
4
�e)d)c) � 1111 �
�=�
1
––
4
1
––
4
1
––
4
1
––
4
�.�5,96,68,66,2 6,27,16,85,6 4,56,57,85,9 5,58,49,07,7� �
5,9 + 6,2 + 4,5 + 5,5
––––––––––––––––––
4
6,6 + 7,1 + 6,5 + 8,4
––––––––––––––––––
4
8,6 + 6,8 + 7,8 + 9,0
––––––––––––––––––
4
6,2 + 5,6 + 5,9 + 7,7
––––––––––––––––––
4
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 9
10 MATEMÁTICA
1. Comutativa
 A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou
seja: as matrizes AB e BA não são obrigatoriamente
iguais. Existem, portanto, matrizes A e B tais que 
AB � BA.
2. Anulamento do produto
 Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
anulamento do produto”, ou seja: o produto de duas
matrizes pode ser nulo mesmo que ambas sejam não
nulas. Existem, portanto, matrizes A e B tais que A � 0,
B � 0 e AB = 0.
3. Cancelamento
 Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
cancelamento”, ou seja: na igualdade AB = AC não se
pode “cancelar” A e concluir que B = C. 
 Existem, portanto, matrizes A, B e C tais que 
AB = AC e B � C.
4. Propriedades da transposta
 Se A e B forem matrizes conformes para a operação
indicada e k é um número real, então:
a) A = B ⇔ At = Bt 
b) (At)t = A
c) (A + B)t = At + Bt 
d) (kA)t = k . At
e) (AB)t = Bt . At
� Dadas as matrizes 
A = , B= e C= , determine:
a) AB b) BA c) AC d) CA
Resolução
a) A . B = . = =
b) B . A = . = =
c) A . C = . = =
d) C . A = . = =
Observe que A.B ≠ B.A e A.C = C.A. Conclui-se que o produto entre
matrizes não é comutativo, ou seja, diferentemente do que ocorre com
o produto de números reais, podemos ter A.B e B.A com A.B ≠ B.A.
Respostas: a) A.B = 
 
b) B.A = 
 c) A.C = d) C.A = 
� Considere as matrizes 
A = e B = determine A.B e B.A.
Resolução
A.B = . =
 = =
B.A = . =
= =
Observe que, diferentemente do que ocorre com o produto de
números reais, temos A.B = 0 sendo A ≠ 0 e B ≠ 0, em que 0 é a matriz
nula.
 
� 12 01 � � 20 11 � � 20 02 �
� 12 01 � � 20 11 � �1.2 + 0.02.2 + 1.0 1.1 + 0.12.1 + 1.1� � 24 13 �
� 20 11 � � 12 01 � �2.1 + 1.20.1 + 1.2 2.0 + 1.10.0 + 1.1� � 42 11
�1.2 + 0.02.2 + 1.0 1.0 + 0.22.0 + 1.2� � 24 02 �
� 20 02 � � 12 01 � �2.1 + 0.20.1 + 2.2 2.0 + 0.10.0 + 2.1�
� 24 13 � � 42 11 �
� 24 02 � � 24 02 �
� 11 11 � � 1–1 1–1 �
� 11 11 � � 1–1 1–1 �
�1.1 + 1.(– 1)1.1 + 1.(– 1) 1.1 + 1.(– 1)1.1 + 1.(– 1)� � 00 00 �
� 1–1 1–1 � � 11 11 �
�1.1 + 1.1(– 1).1 + (– 1).1
1.1 + 1.1
(– 1).1 + (– 1).1 � �
2
– 2
2
– 2 �
�
� 12 01 � � 20 02 �
� 24 02 �
Exercícios Resolvidos
3
Palavras-chave:
Propriedades • Comutativa • Anulamento de produto 
• Cancelamento 
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 10
11MATEMÁTICA
� Sendo A = e B = obter, se
possível, A .B e B . A
RESOLUÇÃO:
A . B = 
B . A = 
Conclusão: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
A.B e B.A nem sempre são iguais.
� Sejam A = , B = e C = , 
obtenha a matriz X = C . (A + B).
RESOLUÇÃO:
I) A + B = 
II) X = C(A + B) = 
Sr. Professor, comente com o aluno que também poderíamos
calcular C.A, C.B e soma-las, pois com matrizes é válida a
propriedade distributiva C(A + B) = C.A + C.B
� Considere as matrizes A = e B = e 
determine A . B.
RESOLUÇÃO:
A . B = . = 
Conclusão: Existem matrizes A e B, tais que A � 0, B � 0 e 
A . B = 0.
� (UNICAMP) – Sejam a e b números reais tais que a matriz 
A = satisfaz a equação A2 = aA + bI, em que I é a 
matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a
a) −2. b) −1. c) 1. d) 2.
RESOLUÇÃO:
Sendo A = , temos:
A2 = A . A = . = 
aA + bI = a + b = 
Como A2 = aA + bI resulta:
⇒ e a . b = 2 . (–1) = – 2
Resposta: A 
�13
– 2
5��
2
– 2
1
3�
�57
1
19�=�
1
3
– 2
5�.�
2
– 2
1
3�
�6– 4
– 5
18�=�
2
– 2
1
3�.�
1
3
– 2
5�
�– 21
– 6
3��
1
2
2
4�
�00
0
0��
– 2
1
– 6
3��
1
2
2
4�
� 21
3
4 � �
5
7
6
0 � �
3
2
1
5 �
� 21
3
4 � . �
5
7
6
0 � = �
7
8
9
4 �
� 32
1
5 � . �
7
8
9
4 � = �
29
54
31
38 �
� 10
2
1 �
� 10
2
1 �
� 10
2
1 � �
1
0
2
1 � �
1
0
4
1 �
� 10
2
1 � �
1
0
0
1 � � a + b0
2a
a + b �
� a + b = 12a = 4 �
a = 2
b = – 1
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 11
12 MATEMÁTICA
1. Conceito
 Submetendo os elementos de uma matriz quadra -
da (tabela de números) a operações (mediante uma
definição), obtém-se como resultado um número que é
chamado determinante dessa matriz.
a) Matriz é tabela de números reais.
b) Determinante é um número real.
c) Só se define deter minante se a matriz for qua drada.
 O determinante da matriz
 
é indicado por: 
 
 
2. Como calcular
 a) Matriz de Ordem 1: A = (a11) ⇒ det A = a11
 b) Matriz de Ordem 2
 c) Matriz de Ordem 3
 Neste caso, podemos usar um dispositivo prático
(Regra de Sarrus), que consiste em:
 I) Repetir as duas pri mei ras colunas ao lado na ter -
ceira colu na:
 II) Obter os produtos a11 . a22 . a33, a12 . a23 . a31 e
a13 . a21 . a32
 III) Obter os produtos a13 . a22 . a31, a11 . a23 . a32 e
a12 . a21 . a33
�
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
.
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
�M =
�
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
an3
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
�det M ou det
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
.
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
ou
a a a a a
a a a a a
a a a a
2221
11 12
31 32
23
13
21
11
31
22
12
32
aa
3333
a a a a a
a a a a a
a a a a a
2221
11 12
31 32
23
13
33
21
11
31
22
12
32
a11 a12 a11 a12
A = � �⇒ det A = = a11.a22 –a12.a21a21 a22 a21 a22
 � �
 IV) Obter o det A fazendo a diferença entre a soma das parcelas do item (II) e a soma das parcelas do item (III).
det A = a
11
. a
22
. a
33 
+ a
12
. a
23
. a
31
+ a
13
. a
21
. a
32 
– a
13
. a
22
. a
31 
– a
11
. a
23
. a
32
– a
12
. a
21
. a
33
4
Palavras-chave:
Determinantes • Matriz quadrada • Matriz é tabela
• Determinante é número
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 12
13MATEMÁTICA
� Sendo A = , obter det A
RESOLUÇÃO:
det(A) = = 8 . 2 – 5 . 1 = 11
� Calcular =
RESOLUÇÃO:
= 4 – 8 + 3 – 6 – 2 + 8 = – 1
� Em determinada cidade, o valor V, em reais, pago por uma
corrida de táxi é uma função da distância x percorrida, em km.
Sendo V(x) = det A, onde det A é o determinante da matriz 
A = , calcule o valor pago, em reais, por uma corrida 
de 9 km.
RESOLUÇÃO:
O valor pago, em reais, por uma corrida de 9 km é
V(9) =
Resposta: 32 reais
�85
1
2�
8
5
1
2
1
1
2
– 2
1
1
3
2
4
1
1
2
– 2
1
1
3
2
4
� 35 –1x �
� 35 – 19 �
� Calcular o determinante da matriz A = 
Resolução
= 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 – 1 . 2 . 1 – 3 . 0 . 1 – 3 . 2 . 2 =
= 6 + 0 + 6 – 2 – 0 – 12 = – 2
Resposta: det A = – 2
� Calcular o determinante da matriz A =
 
Resolução
det A = = 2 . 7 – 5 . 3 = –1
Resposta: det A = –1
� Sendo A = e B = , calcular det (Bt . A).
Resolução
I) Bt . A = . = 
II) det(Bt . A) = –2.5 – 0.17 = –10
2
3
5
7
�23 57�
1 2 1 1 2
2 2 0 2 2
1 3 3 1 3
=
�� � � � �
det A =
�
1
2
1
2
2
3
1
0
3
�
�
1
0
– 1
1
2
4
� �
1
2
3
1
0
1
�
� 11
2
0
3
1 � �
1
0
–1
1
2
4
� � – 20 175 �
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 13
14 MATEMÁTICA
� (UNESP-adaptado) – Foi realizada uma pesquisa, num
bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças
de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade
x da criança,concluiu-se que o peso médio p(x), em quilo -
gramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que
A =
Com base na fórmula p(x) = det A, podemos concluir que o
peso médio de uma criança de 5 anos é, em kg, igual a:
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
RESOLUÇÃO
p(x) = det A = 1 . 0 . + 3 . 2 . 1 + 0 . (– 1) . (– x) –
– 1 . 0 . 0 – 1 . (– x) . 2 – (– 1) . 3 . =
= 0 + 6 + 0 – 0 + 2x + 2 = 2x + 8
Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18
Resposta: A
5. (UNICAMP) – Considere a matriz M = , 
onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é igual a a2 – b2.
c) a matriz M é igual à sua transposta.
d) o determinante de M é positivo.
RESOLUÇÃO:
Para a ∈ � e b ∈ �, tem-se:
det M = = 1 + a2 + b2 – 1 – ab – ab =
= a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 > 0, pois a � b
Resposta: D 
�
1 – 1 1
3 0 – x
 2
0 2 ––
3
�
2
–––
3
2
–––
3
�
1
b
1
a
1
b
1
a
1
�
� 1b
1
a
1
b
1
a
1
�
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 14
15MATEMÁTICA
1. Determinante nulo
 a) Fila nula
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila nula.
 Exemplo
 
 
 De fato:
 b) Filas paralelas iguais
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas iguais.
 Exemplo
 
 
 De fato: 
 c) Filas paralelas proporcionais
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas propor -
cio nais.
 Exemplo
 
 
 De fato: 
 d) Fila combinação linear
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila que é combinação
linear das demais filas paralelas.
 Exemplo
 
 
 De fato:
 
= 0
2 0 7 2 0
3 0 3 3 0
5 0 1 5 0
– 0 – 0 – 0 + 0 + 0 + 0
= 0
1 5 2 1 5
3 4 4 3 4
1 5 2 1 5
– 8 – 20 – 30 + 8 + 20 + 30
= 0
5 2 3 5 2
15 6 9 15 6
1 5 2 1 5
– 18 – 225 – 60 + 60 + 18 + 225
= 0
1 1 2 1 1
3 1 0 3 1
5 3 4 5 3
– 10 – 0 – 12 + 4 + 0 + 18
2
3
5
0
0
0
7
3
1
= 0, pois a segunda coluna é nula.
1
3
1
5
4
5
2
4
2
= 0, pois a primeira linha é igual à
terceira (L1 = L3).
5
15
1
2
6
5
3
9
2
= 0, pois a segunda linha é 
 propor cional à primeira (L2 = 3.L1).
1
3
5
1
1
3
2
0
4
= 0, pois a terceira linha é com bina ção
linear das duas primeiras 
 (L3 = 2 . L1 + 1 . L2).
5
Palavras-chave:
Determinante nulo e
Determinante se altera
• Proporcionais
• Combinação linear
• Multiplicação de filas
• Troca de filas 
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 15
16 MATEMÁTICA
2. Determinante se altera
 a) Trocando filas paralelas
 O determinante de uma matriz quadrada muda de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição.
 Exemplo
 Trocando entre si as duas últimas co lu nas, por exemplo, obtêm-se
 b) Multiplicando uma fila por �
 O determinante de uma matriz quadrada fica multiplicado por �, quando os elementos de uma fila são mul -
tiplicados por �.
 Exemplo
 Multiplicando os elementos da primeira linha por 3, por exemplo, têm-se:
 
e
 De fato:
 
 c) Multiplicando a matriz por �
 O determinante de uma matriz quadrada de ordem n fica multiplicado por αn, quando a matriz é multiplicada
por �.
 Exemplo
 
 Multiplicando todos os elementos dessa matriz, por exemplo, por 2, obtém-se
 
1
1
1
2
1
3
3
2 
0
= 4
3
1
1
6
1
3
9
2
0
= 3 .
1
1
1
2
1
3 
3
2
0
= 12
3 6 9 3 6
1 1 2 1 1 
1 3 0 1 3 
– 9 – 18 – 0 + 0 + 12 + 27 = 12
1 2 3 1 2
1 1 2 1 1 
1 3 0 1 3
– 3 – 6 – 0 + 0 + 4 + 9 = 4
2 3 1 2 3
5 0 2 5 0 = 7 e
1 1 0 1 1
– 0 – 4 – 0 + 0 + 6 + 5
2 1 3 2 1
5 2 0 5 2 = – 7
1 0 1 1 0
– 6 – 0 – 5 + 4 + 0 + 0
⇒ det (2M) = 23 . det M = 8 . (– 4) = – 32�
2
4
2
2
6
8
– 2
0
2
�2M =
= – 4
1
2
1
1
3
4
– 1
0
1
⇒ det M =�121
1
3
4
– 1
0
1�M =
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 16
17MATEMÁTICA
 De fato:
2 2 –2 2 2
4 6 0 4 6 = 
2 8 2 2 8 
det (2M) =
= + 24 – 0 – 16 + 24 + 0 – 64 = – 32 
1 1 –1 1 1
2 3 0 2 3 
1 4 1 1 4
= + 3 – 0 – 2 + 3 + 0 – 8 = – 4
det M = =
� Nove candidatos a uma vaga de esta giário foram dis tri buídos em
uma sala de espera, como repre sen tado a seguir:
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz
e se substituirmos o nome de cada um desses can dida tos pelo
número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela
letra com a qual se inicia o nome, obteremos uma nova matriz. 
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2
Resolução
A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número que
indica a posição, em nosso alfabeto, ocupada pela primeira letra do
respectivo nome é:
e o seu determinante é = 0, pois a
terceira linha é combinação linear das outras duas linhas. Ela é igual à
soma da primeira linha com a segunda linha.
Resposta: C
� Resolver, em �, a equação:
= 0
Resolução
⇔ 15 + 2x + (– 8) – 2 – (– 3x) – 40 = 0 ⇔ 5x – 35 = 0 ⇔ x = 7
Resposta: V = {7}
Observação:
Para x = 7, o determinante é zero, pois a terceira linha é combinação
linear das outras duas.
De fato: 
3a. linha = 1 . (2a. linha) – 1 . (1a. linha)
� Calcular o valor de , sabendo-se que = – 17.
Resolução
Para calcularmos o valor de , é importante que ob servemos 
que os elementos da segunda coluna são múltiplos de 3 e portanto,
podemos colocar o 3 em evidência. 
Dessa forma, resulta = 3 .
Agora, devemos observar que trocando as duas primeiras colu nas,
desse novo deter minante, de posição entre si, obteremos o deter -
minantecujo resultado é igual a – 17. Não podemos es quecer que ao
trocar duas linhas ou duas colu nas de posição entre si, o sinal do
determinan te é alterado. 
Assim, temos:
= 3 . = – 3 . = (– 3) . (– 17) = 51
Resposta: 51
� Calcular o determinante da matriz , 
sabendo-se que = k
Resolução
= 2 . 3 . = – 6 . =
 
= + 6 . = – 6 . = – 6k
Resposta: = – 6k
�
Alberto
Carlos
Daniele
Bruno
Denise
Fernanda
André
Alvaro
Barone
�
�
1
3
4
2
4
6
1
1
2 �
1
3
4
2
4
6
1
1
2
3
4
1
2
1
–1
2
x
5
3 2 2 3 2
4 1 x 4 1
1 –1 5 1 –1
= 0 ⇔
�� � � � �
2
x
4
3
6
9
5
8
2
1
2
3
2
x
4
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
1
2
3
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
1
2
3
5
8
2
1
2
3
2
x
4
5
8
2
� 2ny
b
6m
3x
3a
2p
z
c
�
a
m
x
b
n
y
c
p
z
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
n
y
b
m
x
a
p
z
c
m
x
a
n
y
b
p
z
c
m
a
x
n
b
y
p
c
z
a
m
x
b
n
y
c
p
z
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 17
18 MATEMÁTICA
Nas questões de � a �, “calcular” os determinantes.
� = 0, pois a 3a. linha é nula
Observações: Se todos os ele mentos de uma fila de uma matriz
quadrada M forem nulos, então det (M) = 0.
� = 0, pois a 1a. e a 3a. coluna são iguais
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -
lelas iguais, então det (M) = 0.
� = 0, pois a 1a. e a 2a. colunasão proporcionais
(C1 = 2 . C2) 
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -
lelas proporcionais, então det (M) = 0 
� = 0, pois a 3a. linha é uma com -
binação linear (L3 = L1 + L2)
Observações: Se uma fila de uma matriz quadrada M é com -
binação linear das demais filas paralelas, então det (M) = 0.
� Se = – 12, então vale:
a) – 4 b) – c) d) 4 e) 12
RESOLUÇÃO:
= 3 . = 3 . (– 1) . = –12
Então, = 4
Resposta: D
� Considere as matrizes:
A = � �, B = � � e 
C = � �
Se o determinante da matriz A é α � 0, então det B + det C é
igual a:
a) α b) 5α c) 15α d) 130α e) 625α
RESOLUÇÃO:
I) det B = 5 . det A = 5α
II) det C = 53 . det A = 125α
III)det B + det C = 5α + 125α = 130α
Resposta: D
2
6
0
7
9
0
9
1
0
a
b
c
2
5
1
a
b
c
2
6
10
1
3
5
5
1
2
1
a
1 + a
5
b
5 + b
7
c
7 + c
1
6
x
2
9
y
3
12
z
x
2
1
y
3
2
z
4
3
4
–––
3
4
–––
3
1
6
x
2
9
y
3
12
z
x
2
1
y
3
2
z
4
3
x
2
1
y
3
2
z
4
3
x
2
1
y
3
2
z
4
3
a
d
g
b
e
h
c
f
i
5a
d
g
5b
e
h
5c
f
i
5a
5d
5g
5b
5e
5h
5c
5f
5i
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 18
19MATEMÁTICA
1. Trocando linhas por colunas
 O determinante de uma matriz quadrada A não se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas
colunas.
 
Simbolicamente
 Exemplo
 
 De fato:
 
2. Somando uma combinação linear
 Se a uma fila de uma matriz quadrada M somarmos uma combinação linear de filas paralelas, obteremos uma
nova matriz N tal que det N = det M (Teorema de Jacobi).
 Exemplos:
 
1)
 
 
e
 
2)
 
 De fato:
 
= 35
– 2
1
3
1
1
4
5
3
1
⇒ det M = det Mt =
– 2 1 5 – 2 1
1 1 3 1 1 = 35
3 4 1 3 4
– 15 + 24 – 1 – 2 + 9 + 20 
det M = 
– 15 + 24 – 1 – 2 + 20 + 9
– 2 1 3 – 2 1
1 1 4 1 1 = 35 
5 3 1 5 3
det Mt =
M = �
– 2
1
3
1
1
4
5
3
1
�
det A = det At
1
2
– 3
– 2
1
4
– 3
12
4
1 + 2 . 1 + 3 .(– 2)
5 + 2 . 2 + 3 . 1
– 2 + 2.(– 3) + 3 . 4
=
1
2
– 3
– 2
1
4
=
1
2
– 3
– 2
1
4
1
5
– 2
2
7
1
6
=
43 + (–7) . 6
6
51 + (–7) . 7
7
=
51
7
43
6
– 9 – 48 + 16 + 4 + 72 – 24
1 –2 –3 1 – 2
2 1 12 2 1 = 11 
–3 4 4 –3 4
+ 3 – 20 – 8 – 2 + 30 + 8
1 – 2 1 1 – 2
2 1 5 2 1 = 11 
– 3 4 – 2 – 3 4
De fato:
51
7
43
6
= 306 – 301 = 5
2
7
1
6
= 12 – 7 = 5
6
Palavras-chave:
Determinante não se altera • Transposta 
• Teorema de Jacobi
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 19
20 MATEMÁTICA
�
 Considere a matriz A = . Calcule det(A) e
det(At), sendo At a matriz transposta de A, ou seja, a matriz que se
obtém trocan do, ordenadamente, em A, as linhas pelas colunas.
Resolução
det(A) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
det(At) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
Observe que det(A) = det(At)
Resposta: det(A) = det(At) = 12
� Sejam A = e
B = = 
A matriz B, portanto, foi obtida de A, somando-se aos ele men tos da 3a.
coluna uma combinação linear das outras colunas. Cal cular det(A),
det(B) e observe que, apesar de A � B, temos det(A) = det(B).
Resolução
det(A) = = 1 + 4 + 0 – 4 – 0 – 0 = 1
det(B) = = 5 + 16 + 0 – 20 – 0 – 0 = 1
� O valor do determinante é:
 
a) 0 b) 2 c) – 2 d) 1 e) 572
Resolução
I) multiplicar a 1a. linha por (– 17) e somar na 2a. linha.
II) multiplicar a 1a. linha por (5) e somar na 3a. linha.
 
Resposta: B
1
– 2
1
0
2
– 6
1
0
1
1
0
1
– 2
2
0
1
– 6
1
�
1
0
1
– 2
2
0
1
– 6
1
�
�
1
0
2
2
1
0
2
1
1
�
�
1
0
2
2
1
0
2 + 2 . 1 + 3 . 2
1 + 2 . 0 + 3 . 1 
1 + 2 . 2 + 3 . 0
� �
1
0
2
2
1
0
10
4
5
�
1
0
2
2
1
0
2
1
1
1
0
2
2
1
0
10
4
5
1
17
– 5
3
52
– 16
– 2
– 33
11
1
17
– 5
3
52
–16
– 2
– 33
11
=
1
0
0
3
1
–1
–2
1
1
= 2
� Calcular os determinantes de A = e de At
(transposta de A).
RESOLUÇÃO:
det A = = – 7 – (– 6) = – 1
 
det(At) = = – 7 – (– 6) = – 1
Observação: Comparando os determinantes de A e de At, verifi -
camos que o determinante de uma matriz A não se altera quando
trocamos ordenamente as linhas pelas colunas. Simbolicamente,
det A = det At.
� Calcule e compare os determinantes das matrizes
A = e B =
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, utilize este exercício para apresentar o Teorema de
Jacobi. Mostre que, multiplicando a primeira coluna por a e
somando-a com a segunda, o determinante não se altera.
I) det A = = 4.7 – 6.2 = 16
II) det B = =
 = 4(7 + 6a) – 6(2 + 4a) = 28 + 24a – 12 – 24a = 16
Observe que det A = det B.
 
 
�73
– 2
– 1�
�73 – 2– 1�
�7– 2 3– 1�
� 46
2
7 �
� 46 27 �
� 46 �
2 + 4a
7 + 6a
� �46 2 + 4a7 + 6a
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022.qxp 10/12/2021 11:14 Página 20
21MATEMÁTICA
� Um professor dividiu os alunos de uma sala de aula em
dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou o valor do determi-
nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz 
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -
tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter -
minante da matriz original.
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, podemos con -
siderar que essa propriedade pode ser expressa matemati ca -
mente pela sentença:
a) det(A) = – det(A) b) det(A) = 
c) det(A) =
 
d) det(At) = det(A) 
e) det(At) = – det(A)
RESOLUÇÃO:
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, ao trocarmos ordena -
damente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova matriz
chamada de transposta de A e representada por At. O que o
professor tentou mostrar para os alunos é que duas matrizes
transpostas possuem determinantes iguais. Matematicamente,
det(A) = det(At).
Resposta: D
� O valor do determinante é:
a) – 563 b) – 363 c) – 1 d) 1 e) 363
RESOLUÇÃO:
Resposta: B
� Prove que para quaisquer valores de a e b o determinante
a seguir é sempre nulo
RESOLUÇÃO:
pois a última coluna é a soma das outras duas colunas.
Resposta: demonstração
1
––––––
det(A)
1
–––––––
det(At)
�
2
0
0
0
0
4 
3 
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�
�
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
�
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
240
361
= =
x(–2) x(–3)
x(–1)
+
+
+
1
5
4
2
7
6
=
120
0
1
1
3
1
2
3
0
= 3 – 6 – 360 = – 363
1
1
1
a + 3
a – 4
a + 5
2b + 4
2b – 3
2b + 6
x(–a)
x(–2b)
+
+
a + 3
a – 4
a + 5
2b + 4
2b – 3
2b + 6
1
1
1
= = 0,
1
1
1
3
– 4
5
4
–3
6
C1_2AMAT_Rose_2022.qxp 10/12/2021 11:14 Página 21
22 MATEMÁTICA
1. Menor complementar
 O menor complementar Dij, do elemento aij da
matriz quadrada M, é o determinante que se obtém de
M, eliminando-se dela a linha “i” e a coluna “j”.
2. Cofator ou 
complemento algébrico
 O cofator do elemento aij da matriz quadrada M é 
Aij = (–1)
i+j. Dij, em que Dij é o menor complementar de aij.
3. Teorema de Laplace
 Simbolicamente:
 
Se M = , então
ou
 O Teorema de Laplace permite calcular o deter mi nan-
 te de uma matriz de ordem n como sendo a soma de n
determinantes de ordem n – 1. Permite, pois, abaixar a
ordem.
det M = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + … + aij . Aij + … + ain . Ain
det M = a1j . A1j + a2j . A2j + …+ aij . Aij + …+ anj . Anj
�
a11
.
ai1
.
an1
a12
.
ai2
.
an2
…
…
…
a1j
.
aij
.
anj
…
…
…
a1n
.
ain
.
ann
�
O determinante de qualquer matriz qua drada M
de ordem n é igual à soma dos produtos dos
elementos de uma fila pelos seus respec tivos
cofatores.
� Calcular o menor complementar e o cofa tor do elemento 
a23 da matriz M =
Resolução
Na matriz M = , temos a23 = 3 e, portanto,
D23 = = 2 – 5 = – 3
A23 = (– 1)
2 + 3 . D23 = (– 1)
5 . = (– 1) . (– 3) = 3
Resposta: D23 = – 3; A23 = 3
� Calcular os cofatores dos elementos a13 e a33 da matriz 
M =
Resolução
Na matriz M = , temos a13 = 2 e a33 = – 1
Logo:
A13 = (–1)
1 + 3 . = 1 . (8 – 8) = 0
A33 = (–1)
3 + 3 . = 1 . (8 – 20) = – 12
Resposta: A13 = 0; A33 = – 12
� Calcular o determinante da matriz M =
aplicado o Teorema de Laplace e utilizando a 3a. coluna.
Resolução
De acordo com os exercícios 1 e 2, temos 
A13 = 0; A23 = 3; 
A33 = –12. 
Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos:
det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =
= 2 . 0 + 3 . 3 + (– 1) . (– 12) = 9 + 12 = 21
Resposta: det M = 21
�
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
5
8
4
1
8
2
� �
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
1
5
2
1
1
5
2
� �
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
1
5
8
2
2
3
–1
�
Exercícios Resolvidos
7
Palavras-chave:
Abaixamento da ordem e
Teorema de Laplace
• Cofator 
• Teorema de Laplace
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 22
23MATEMÁTICA
� Dada a matriz M = , pedem-se:
a) os cofatores dos elementos da 1a. linha de M.
b) o valor de det M utilizando o Teorema de Laplace na primei -
ra linha de M.
RESOLUÇÃO:
a) A11 = (–1)
2 . = 3
 A12 = (–1)
3 . = 3
 A13 = (–1)
4 . = – 6
 
b) det M = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13
 det M = 1 . 3 + 2 . 3 + 1 . (– 6) = 3 
Obs.: Atenção professor: se julgar conveniente, calcule pela Regra
de Sarrus, confirmando o resultado.
� Dada a matriz
M = , pedem-se:
a) O cofator do elemento a14.
b) O valor de det(M).
RESOLUÇÃO:
a) A14 = (–1)
5 . = – 1(15 + 4 + 2 + 3 + 2 – 20) = – 6
b) det M = a14A14 + a24A24 + a34A34 + a44A44
 det M = (– 3).(– 6) + 0 . A24 + 0 . A34 + 0 . A44
 det M = 18
� Um professor dividiu os alunos de uma sala de aula em
dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou o valor do determi -
nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz 
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -
tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter -
minante da matriz original.
O valor encontrado por cada um dos dois grupos é igual a:
a) – 24 b) 12 c) 24 d) 25 e) 28
RESOLUÇÃO:
De acordo com o Teorema de Laplace, temos:
det(A) = = 2 . =
= 2 . (– 3) . = (– 6) . (– 4) = 24
Resposta: C
–1
2
1
2
–3
2
1
1
5
�
3
– 1
2
1
4
2
– 3
2
2
1
1
5
– 3
0
0
0
�
1
3
3
2
1
–1
1
2
1
= 1 + 12 – 3 – 3 + 2 – 6 = 3
3
3
1
– 1
3
3
2
1
1
–1
2
1
� 133
2
1
– 1
1
2
1 �
�
2
0
0
0
0
4 
3 
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�
�
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
�
3
0
1
2
1
0
2
1
4
3
1
5
2
0
3
1
2
0
0
0
0
4
3
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 23
24 MATEMÁTICA
1. Regra de Chió
 A Regra de Chió permite abaixar em uma unidade a ordem de uma matriz quadrada M sem alterar o valor do seu
determinante.
 Só pode ser utilizada se a matriz M possuir um elemento igual a 1.
 Consiste em
 a) Eliminar de M a linha e a coluna que contém o elemento aij = 1.
 b) De cada um dos ele mentos restantes, subtrair o produto dos elementos correspondentes na linha e na coluna
eliminadas.
 c) Calcular o determinante da matriz assim obtida e multiplicar o resultado por (–1)i + j.
 Observação
 Torna-se mais cômodo utilizar o elemento igual a 1 que se encontre num dos “cantos” da matriz, isto é, a11 ou a1n
ou an1 ou ann.
2. Teorema de Binet
 Para calcular o determinante do produto de duas ma trizes quadradas e de mesma ordem A e B, podemos,
portanto:
 a) obter o produto A . B das duas matrizes e, em seguida, calcular o determinante dessa matriz;
 b) calcular, separadamente, os determinantes de A e de B e, em seguida, multiplicar os dois valores obtidos
(Teorema de Binet).
1 a b c
x m n p
y q r s
z t u v
1
x
y
z
a
m – a . x
.
.
b
n – b . x
.
.
c
p – c . x
.
.
Se A e B são matrizes quadradas de mes ma ordem, então det (A.B) = det A . det B
m – a . x
q – a . y
t – a . z
n – b . x
r – b . y
u – b . z
p – c . x
s – c . y
v – c . z
. (–1)i + j
1 a b c
x m – a . x n – b . x p – c . x
y q – a . y r – b . y s – c . y
z t – a . z u – b . z v – c . z
8
Palavras-chave:
Regra de Chió e 
Teorema de Binet
• Abaixar ordem
• Determinante do
produto 
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 24
25MATEMÁTICA
� Calcular, pela Regra de Chió, o determinante da matriz
M =
Resolução
O único elemento de M que é igual a 1 é o a43, que dificulta o cálculo
pela Regra de Chió. Um recurso é transformar a11 = 3 em a11 = 1
fazendo, pelo Teorema de Jacobi, 
(1a. coluna) – (3a. coluna). 
Assim sendo:
det M = = =
 
= =
= . (– 1)1 + 1 = 1 . (– 33) = – 33
Resposta: det M = – 33
Observação 
Outro recurso para transformar a11 = 3 em a11 = 1 é trocar a 
1a. linha com a 4a. linha e em seguida a 1a. coluna com a 
3a. coluna.
� Calcular o determinante de A . B, sendo
A = e B = 
Resolução
Primeiro Processo
A . B = . =
det (AB) = = 162 – 19 = 143
Segundo Processo
det (AB) = det A . det B = . =
= (8 + 3) . (15 – 2) = 11 . 13 = 143
Resposta: det (AB) = 143 
� Dezesseis candidatos a uma vaga de es ta giário foram distribuídos
em uma sala de espera, como represen tado a seguir:
� �
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz
e se substituirmos o nome de cada um desses candidatos pelo
número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela
letra com a qual se inicia o nome, obte remos uma nova matriz. 
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 192 b) – 119 c) 0 d) 119 e) 192
Resolução
O determinante da matriz obtida, substituindo cada um dos no mes
pelo número que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupa da pela
primeira letra do respectivo nome é:
= (– 1)1+1 . = – 192
Resposta: A
5
1
2
3
2
3
–1
4
9
19
1
18
�919
1
18��
5
1
2
3��
2
3
–1
4�
�51
2
3��
2
3
–1
4�
3
– 6
– 1
2
– 7
– 1
– 1
2
4
1
0
2
1
4
3
2
3
2
2
– 3
1
0
– 1
2
4
3
2
– 1
2
4
3
2
3
2
2
– 3
1
0
– 1
2
4
�
3
2
–1
2
4
3
2
3
2
2
–3
1
0
–1
2
4
1
0
2
1
4
3 – 4 . 0
2 – 4 . 2
3 – 4 . 1
2
2 – 2 . 0
– 3 – 2 . 2
1 – 2 . 1
0
– 1 – 0 . 0
2 – 0 . 2
4 – 0 . 1
�
Alberto
Carlos
Daniele
Álvaro
Bruno
Denise
Daniel
Benedito
André
Márcia
Barone
Estela
Geraldo
Deise
Carla
Antônio
1
3
4
1
2
4
4
2
1
13
2
5
7
4
3
1
– 2
– 4
0
10
– 2
4
– 17
 – 25
– 6
 
� O determinante da matriz M = é 
igual a:
a) – 2 b) 5 c) 55 d) 30 e) 40
RESOLUÇÃO:det M = = (–1)1+1 . =
= = – 2
Resposta: A
�
1
7
10
5
36
52
– 2
– 12
– 18�
36 – 35
52 – 50
–12 + 14
–18 + 20
1
7
10
5
36
52
–2
–12
–18
1
2
2
2
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 25
26 MATEMÁTICA
� Calcular o determinante da matriz
M = utilizando a Regra de Chió.
RESOLUÇÃO:
det M = = (–1)
2+1 . =
= – = – (–1)1+1 . = – 1
� (FUVEST)
=
a) 2 b) – 2 c) 0 d) 1 e) 1131
RESOLUÇÃO:
= = = �1� = 1
Resposta: D
� Sejam as matrizes A = e B = 
Calcule:
a) det A b) det B c) A . B 
d) det (A . B) e) A + B f) det (A + B)
RESOLUÇÃO:
a) det A = 5 – (– 3) = 8
b) det B = 4 – (– 1) = 5
c) A . B = . =
d) det (A . B) = 5 . 8 = 40 = det A . det B 
 Observação: Se A e B são matrizes quadradas de mesma
ordem, então det(AB) = det A . det B (Teorema de Binet)
e) A + B = + =
f) det (A + B) = 21 – 0 = 21 � det A + det B 
� 1–1
3
5 � �
2
1
–1
2 �
� 1
–1
3
5
� � 2
1
–1
2
� � 5
3
5
11
�
� 1
–1
3
5
� � 2
1
–1
2
� � 3
0
2
7
�
2
1
1
3
5
2
4
8
6
2
4
7
9
4
3
9
�
5 – 4
4 – 2
8 – 6
6 – 4
4 – 2
7 – 6
9 – 8
3 – 4
9 – 12
2
1
1
3
5
2
4
8
6
2
4
7
9
4
3
9
– 2
– 3
– 3
– 5
1
2
2
2
2
1
1
– 1
– 3
�
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
1
1
2
2
1
2
3
1
1
1
2
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 26
27MATEMÁTICA
1. Geometria plana
 A Geometria Plana estuda as figuras planas. Enten -
demos por figura plana todo subconjunto, não vazio, de
pontos de um plano. Quando dizemos que uma figura é
plana, estamos afirmando que ela está totalmente con -
tida num plano.
2. Ponto, reta e plano
 São ideias primitivas, entes que não possuem defi -
nição. Conhecemos imagens de ponto, por exem plo,
como a ponta do giz marcando o quadro-negro, um lápis
tocando o papel, sendo, no entanto, apenas imagens,
pois não há dimensão para ponto. 
 Analogamente, pos suí mos a intuição de reta e plano.
 Representação gráfica
 Notação
 Costumam-se indicar
 a) os pontos com letras maiúsculas A, B, C, …
 b) as retas com letras minúsculas r, s, t, …
 c) os planos com letras do alfabeto grego α, β, γ, …
 d) como dois pontos distintos determinam uma reta,
pode-se indicar a reta por dois de seus pontos.
O conjunto universo da 
geometria plana será, pois, o plano.
Módulos
1 – Introdução ao estudo da geometria
2 – Ângulos
3 – Paralelismo
4 – Triângulos
5 – Segmentos notáveis do triângulo
6 – Triângulo retângulo e condição de
existência de um triângulo
7 – Congruência de triângulos
8 – Polígonos
9 – Polígonos
10 – Quadriláteros notáveis
11 – Quadriláteros notáveis
12 – Linhas proporcionais
13 – Semelhança de triângulos
14 – Semelhança de triângulos 
15 – Semelhança de triângulos 
16 – Relações métricas nos triângulos 
(Pitágoras)
GEOMETRIA PLANA
1
Palavras-chave:
Introdução ao 
estudo da geometria
• Reta 
• Segmento de reta
• Ângulo
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 15/06/2022 08:46 Página 27
28 MATEMÁTICA
3. Semirreta
 Um ponto A de uma reta r divide-a em dois subcon -
juntos chamados semirretas.
 O ponto A é origem das semirretas e pertence a am -
bas. Representa-se por 
→
Ar1 e 
→
Ar2.
 A semirreta pode ser também indicada por dois pon -
tos. 
→
AB indica a semirreta com origem A, que con tém o
ponto B, e
→
AC indica a semirreta com origem A, que
contém o ponto C.
4. Segmento de reta
 Podemos definir segmento de reta como sendo a
inter secção de duas semirretas, cada uma contendo a
origem da outra. 
 Representa-se por
—
AB.
 Simbolicamente: 
5. Medidas
 Medida de um ente geométrico é um número real
positivo, obtido pela com pa ração deste ente com um
outro escolhido como uni da de. Ao escolhermos esta uni -
da de, estamos estabe lecen do um sistema de medidas.
 A medida do segmento 
—
AB em centímetros é 5 e
pode ser representada por:
6. Congruência
 O termo congruência não será definido. A ideia in -
tuitiva de congruência entre dois entes geométricos está
associada às suas medidas. Dois entes serão con gruen -
tes quando suas medidas forem iguais.
 Para indicarmos a congruência entre dois entes geo -
mé tricos, utilizaremos o símbolo 	.
7. Congruência de segmentos de
reta 
 Dois segmentos de reta, 
—
AB e 
—
CD, serão congruen -
tes se, e somente se, tiverem mesma medida.
 Simbolicamente:
 
8. Segmentos colineares
 São aqueles que são subconjuntos da mesma reta.
 Exemplos
 
—
AB, 
—
MN,
—
AN, 
—
AM etc …
9. Ponto médio de um segmento
 M será ponto médio de um segmento 
—
AB se, e
somente se, M pertencer ao segmento 
—
AB e 
—
AM for
congruente com
—
BM.
 Assim,
10. Região convexa
 Um conjunto de pontos S é uma região convexa se,
e somente se, para qualquer par de pontos A e B de S,
o segmento 
—
AB for subconjunto de S. 
—
AB = 
→
Ar1 �
→
Br2
AB = 5 cm ou med ( 
—
AB) = 5 cm
—
AB 	
—
CD ⇔ AB = CD
 M ∈ AB
––
M é o ponto médio de AB
–– ⇔ � AM––– 	 BM–––
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 28
29MATEMÁTICA
 Assim,
 
 
 
 
 Quando existirem dois pontos, A e B, de S, de tal
for ma que
—
AB não é um subconjunto de S, a região é dita
côncava ou não convexa. 
 Assim,
 
11. Ângulos
 Ângulo é a união de duas semirretas de mesma ori gem.
 Simbolicamente:
 
 O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas 
→
Or e
→
Os são os lados do ângulo.
 Notação
 O ângulo determinado pelas semirretas 
→
Ar e 
→
As será
indicado por:
12. Região angular
 Observe que o ângulo geralmente determina, no
pla no, três conjuntos:
 a) pontos “interiores” (P; Q; R; …)
 b) pontos do ângulo (O; A; B; …)
 c) pontos “exteriores”(X; Y; Z; …)
 Região angular é a região determinada pela união
do con junto dos pontos do ângulo com o conjunto dos
pon tos “in teriores”.
13. Ângulos consecutivos
 Dois ângulos são consecutivos quando têm mesmo
vértice e pelo menos um lado em comum.
Os ângulos mO
^
r e rO
^
s são con se cutivos, pois admitem o lado
Or
→
em comum.
Os ângulos mO
^
s e rO
^
s são con se cutivos, pois admitem o lado
Os
→
em comum.
S é convexa
�
∀A ∈ S, ∀B ∈ S,
—
AB � S
r
^
As ou B
^
AC ou 
^
A
r
^
Os =
→
Or �
→
Os
S é não convexa
�
∃A ∈ S e ∃B ∈ S 
tal que
—
AB � S
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 29
30 MATEMÁTICA
14. Ângulos adjacentes
 Dois ângulos consecutivos serão adjacentes quan -
do a intersecção entre seus conjuntos de pontos “in -
terio res” for vazia.
 Os ângulos mO
^
r e rO
^
s são adja centes.
 Observação
 Dois ângulos adjacentes são sem pre dois ângulos
con se cutivos, porém dois ângulos con secutivos nem
sem pre são adjacentes.
15. Congruência de ângulos
 Dois ângulos são congruentes se, e somente se,
eles têm mesma medida.
 Simbolicamente:
16. Ângulo reto
 Duas retas são chamadas concorrentes se, e so -
mente se, elas possuírem um único ponto em comum.
 Observe que duas retas concorrentes determinam
quatro regiões angulares adjacentes.
 Quando duas dessas regiões angulares adjacentes
forem congruentes, dizemos que qualquer uma delas
define uma região de ângulo reto.
 Observação
 Quando duas retas r e s são con correntes e deter -
minam ân gulos adjacentes con gruen tes, elas são cha -
madas per pen di cu lares. 
 Sim bolica mente: r � s.
A
^
BC 	 D ^EF ⇔ med (A ^BC) = med (D ^EF)
� As lentes são formadas por materiais trans parentes (meio refrin -
gente) de tal forma quepelo menos uma das superfícies por onde
passa a luz (ao entrar ou sair da lente) não é plana. Nas lentes
esféricas, uma das super fícies, ou ambas, são cortes de uma esfera e,
con sequen temente, caracterizadas por um raio de curvatura.
As lentes podem ser classificadas, de acordo com sua cons tru ção,
como lentes conver gen tes e divergentes. Quando a lente está no ar ou
em qual quer meio menos refringente que o seu ma terial, as lentes
conver gentes são mais gros sas na parte central que nas bordas. O
contrário ocorre nas divergentes, que são delgadas no seu centro e
mais grossas nas extremi dades. Exemplos de lentes convergentes são
lupas e lentes para cor rigir hipermetropia. Lentes diver gentes são
encon tradas em olho-mágico de portas e em óculos para correções da
miopia.
Outra classificação é feita em termos da geometria da lente. Caso as
duas superfícies sejam côncavas, a lente é chamada bicôncava. Se as
duas superfícies são convexas, tem-se uma lente biconvexa. Sendo
uma superfície plana e outra convexa, tem-se uma lente plano-convexa
e assim por diante.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br
Existem seis tipos de lentes, que são represen tadas pelas figuras a seguir.
Das seis figuras que representam os tipos de lentes, a quan tidade de
regiões não convexas é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolução
Somente as duas primeiras não são regiões não convexas.
Resposta: D
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 30
31MATEMÁTICA
� Quando falamos em figuras iguais, intuitiva mente nos vêm à
mente figuras de mesmo tamanho e forma. Isto sig nifica que,
executando-se alguns movimen tos, as figuras se “encaixam”
exatamente umas sobre as outras. Observemos que a pala vra “iguais”
está sendo usada de forma um tanto imprópria, já que os conjuntos de
pontos que formam cada uma das figuras são diferentes. Tornamos
mais precisa nossa linguagem usando a expressão "figuras
congruentes".
http://penta.ufrgs.br/edu
É importante saber que duas figuras con gruen tes têm me di das iguais.
Assim, se os ângulos das figuras a seguir são con gruentes, então, o
valor de x é:
a) 20°20’ b) 20°30’ c) 20°40’ d) 20°50’ e) 21°
Resolução
Devemos ter: 3x – 14° = x + 27° ⇒ 2x = 41° ⇒ x = 20°30’
Resposta: B
Nos exercícios de � a �, represente graficamente os entes
geométricos, apresentando sua notação:
� Reta r determinada por dois pontos, A e B.
RESOLUÇÃO: 
r = 
→
AB
� Semirreta determinada por dois pontos, A e B, que tem
origem no ponto A e contém o ponto B.
RESOLUÇÃO:
→
AB
� Segmento de reta determinado por dois pontos, A e B.
RESOLUÇÃO:
—
AB
� Ângulo de lados 
→
OA e
→
OB e vértice O.
RESOLUÇÃO:
� Classifique as regiões a seguir em convexa e não convexa.
a) reta b) ângulo 
 
 
 convexa não convexa 
c) região angular d) circunferência
 
 convexa não convexa
e) círculo f) coroa circular
 
convexa não convexa
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 31
32 MATEMÁTICA
� É difícil saber se foram os egípcios ou os sumérios os
primeiros a produzir escritos de natureza mate mática. É fato
que os mais antigos documentos indu bitavel men te matemá -
ticos que chegaram até nós são tabletes su mé rios de barro
cozido, datando de aproximadamente 2200 a.C., mas como os
egípcios escreviam sobre papiros facilmente degradáveis, eles
podem ter produzido documentos ainda mais antigos e que se
perderam. É preciso lembrar, entretanto, que existem tabletes
sumérios de cerca de 3500 a.C., quando ainda eram usados
símbolos anteriores aos cuneiformes, que já traziam registros
nu méri cos. O sistema de numeração dos su mé rios, depois
adotado e adap tado por seus sucessores, usava como base o
número 60, de onde se origina a convenção que empregamos
até hoje de dividir o círculo em 360 graus, a hora em 60 mi -
nutos e o minuto em 60 segundos (a divisão do dia em 24
horas vem dos egípcios). 
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências, 2a. ed. Livraria da Física.
Lembrando que 1° = 60’ e 1’ = 60”, faça os cálculos a seguir,
associando-os com:
a) 45°13’ b) 12°40’ c) 104°53’37”
d) 23°12’17” e) 24°01’17”
I) 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54”
RESOLUÇÃO:
 
83° 20’ 43” Como 1’ → 60”, temos que.
+ 21° 32’ 54” 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” = 104° 53’ 37”
–––––––––––––
104° 52’ 97”
Resposta: C
II) 41° 23’ – 17° 21’ 43”
RESOLUÇÃO:
41° 22’ 60”
– 17° 21’ 43”
––––––––––––
24° 01’ 17”
Resposta: E
III) 38° : 3
RESOLUÇÃO:
38° 3
08° 12° 40’ Logo, 38° : 3 = 12° 40’
2° = 120’
 0
Resposta: B
� Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande
erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua
localização geográ fica no globo terrestre é
dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicio -
namento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do
Meridiano de Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação
a sua longitude da forma decimal é
a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°.
d) 124,30°. e) 124,50°.
RESOLUÇÃO:
124° 3’ 0” = 124° + = 124° + = 124° + 0,05° = 124,05°
 
Resposta: B
3°
––––
60
1°
––––
20
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 32
33MATEMÁTICA
1. Ângulos agudo, obtuso e raso
 Ângulo agudo
 Um ângulo é agudo quando sua medida é menor do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, menor que 90°.
 Âgulo obtuso
 Um ângulo é obtuso quando sua medida é maior do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, maior que 90°.
 Ângulo raso
 Um ângulo é raso quando seus lados são semirretas
opostas.
 A medida de um ângulo raso corresponde a dois
ângulos retos ou a 180°.
 Exemplos
2. Soma de ângulos
 A soma de dois ângulos A
^
BC e D
^
EF é um ângulo 
P
^
QR tal que:
 Observação:
 Quando med(P
^
QR) = med(A
^
BC) – med(D
^
EF), o ân -
gulo P
^
QR é a diferença entre os ângulos A
^
BC e D
^
EF.
3. Bissetriz de um ângulo
 A bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem
no vértice do ângulo, e que o divide em dois ângulos
congruentes. Assim,
4. Ângulos complementares
 Dois ângulos são complementares quando a soma
de suas medidas é um ângulo reto. Um dos ângulos é
cha mado complemento do outro.
 O complemento de um ângulo de medida x é
5. Ângulos suplementares
 Dois ângulos são suplementares quando a soma de
suas medidas corresponde a dois ângulos retos. Um dos
ângulos é chamado suplemento do outro.
→
OC é bissetriz do ângulo A
^
OB
�
A
^
OC 	 B ^OC
90° – x
Complementares ⇔ ^a + ^b = 90°
med(P
^
QR) = med(A
^
BC) + med(D
^
EF)
2
Palavras-chave:
Ângulos • Obtuso • Agudo • Reto
• Complementares • Suplementares
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 33
34 MATEMÁTICA
 
 O suplemento de um ângulo de medida x é
6. Ângulos replementares
 Dois ângulos são replementares quando a soma de
suas medidas corresponde a quatro ângulos retos. Um
dos ângulos é chamado replemento do outro.
 
 O replemento de um ângulo de medida x é 
7. Ângulos opostos pelo vértice
 Ângulos opostos pelo vér tice são aqueles em que os
lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.
 Teorema
 Demonstração
 
⇒ a + x = b + x ⇔ a = b
a + x = 180°b + x = 180°
Se dois ângulos são opostos pelo vér tice, então
eles são congruentes.
360° – x
Replementares ⇔ ^a + ^b = 360°
180° – x
Suplementares ⇔ ^a + ^b = 180°
� Nas regiõespróxi mas à linha do Equador, todas as estrelas
nascem e se põem quatro minutos mais cedo, a cada dia que passa.
Ao final de 365 dias, esse adiantamento dará um total de 24 horas. Por
isso, se você observar o céu todas as noites, sempre à mesma hora,
notará que seu aspecto irá modifi cando-se. Al gu mas estrelas e cons -
telações deixam de ser visíveis, enquanto outras vão surgindo no
horizonte no lado Leste. E se voltar a observar o céu daqui a três
meses, verá que tal mo dificação será bem mais sensível. Ao término
de seis meses, você poderá verificar que todas as cons telações
visíveis serão diferentes, pois você estará vendo o outro lado do céu
estrelado, que era invisível em virtude da luz solar.
Ronaldo Rogério de Freitas Mourão. 
O Livro de Ouro do Universo, 6a. Ed. Ediouro Publicações S/A
Na figura seguinte, o astrônomo observou que as estrelas A, B e C
estão posicionadas de tal modo que 
—
BD é bissetriz do ângulo A
^
DC. 
Se A
^
DB = 3x – 10° e C
^
DB = 2x + 8°, então, a medida do ângulo 
A
^
DC é:
a) 80° b) 82° c) 84° d) 86° e) 88°
Resolução
I) 3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18°
II) C
^
DB = 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44°
III) A
^
DC = 2 . 44° = 88°
Resposta: E
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 34
35MATEMÁTICA
� (MACKENZIE) – O complemento e o suplemento de um
ângulo de 37°20’07” medem, respecti vamente,
a) 149°39’53” e 52°39’53”. 
b) 52°39’53” e 142°39’53”.
c) 53°20’07” e 143°20’07”. 
d) 143°20’07” e 53°20’07”.
e) 142°39’53” e 53°20’07”.
RESOLUÇÃO:
I) Complemento: 90° – 37°20’07” =
 = 89°59’60” – 37°20’07” = 52°39’53”
II) Suplemento: 90° + 52°39’53” = 142°39’53”
Resposta: B
� (PUC-MG) – O dobro do complemento de um ân gulo é
igual à quinta parte do suplemento desse ângulo. A medida do
ângulo é igual a:
a) 80° b) 60° c) 40° d) 30° e) 20°
RESOLUÇÃO:
2(90° – x) = ⇔ 900° – 10x = 180° – x ⇔
⇔ 9x = 720° ⇔ x = 80° 
Resposta: A
� (CFT-CE) – O ângulo cujo suplemento excede de 6° o
quádruplo do seu complemento é:
a) 58° b) 60° c) 62° d) 64° e) 68°
RESOLUÇÃO:
Sendo x a medida, em graus, desse ângulo, tem-se:
180° – x = 6° + 4 (90° – x) ⇔ 3x = 186° ⇔ x = 62°
Resposta: C
180° – x
–––––––––
5
� Castelos e palácios eram residências majestosas para nobres e
reis, mas apenas castelos tinham muros altos, torres e fossos. Embora
os palácios fossem grandes residên cias e pudes sem ter muros ao seu
redor, não tinham muros altos de proteção e não eram projetados para
finalidades militares.
O fosso – um grande dique
ou trincheira ao redor do
muro externo do castelo – era
a primeira linha de defesa.
Ele poderia ser cheio de água
ou seco (um fosso seco
poderia ser forrado com esta -
cas pontiagudas de madeira).
Normalmente, havia uma
ponte elevadiça que per ma -
ne cia erguida quando o cas -
telo era atacado. Vários
fossos eram também locais
para depósito de lixo e detritos. A existência de um fosso dependia do
terreno – nem todos os castelos tinham fossos. Alguns eram
construídos no alto de uma rocha e não preci savam deles. Os castelos
de Edinburgo e de Stirling na Escócia, por exemplo, estão no alto de
uma encosta rochosa. Vários castelos alemães ao longo do Rio Reno
foram cons truídos nas áreas mon tanhosas do vale. 
www.spectrumgothic.com.br
Durante um ataque a um castelo medieval, os sen ti ne las er gue ram a
ponte levadiça, até que ela for masse um ângulo α com a horizontal. Se
a medida do ângulo α é a metade da medida do seu suplemento,
então, o complemento de α vale:
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
Resolução
α = ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60°
Logo, o complemento de α é 30°.
Resposta: A
180° – α
–––––––––
2
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 35
36 MATEMÁTICA
� Na cidade jônia de Mileto (hoje em território pertencente à
Turquia), viveu um homem admi rável, mais tarde con siderado
um dos Sete Sábios da Grécia Antiga, chamado Tales. Ele é
considerado o primeiro filósofo e o primeiro matemá tico grego
e é provável, mas não aceito unanimemente, que tenha vivido
entre 640 a.C. e 564 a.C.
Embora a Filosofia, a Astrono mia e a Matemática fossem suas
paixões, a atividade rotineira de Tales era o comércio. Aris -
tóteles conta, em seu livro Política, que muitos na cidade o
criticavam por descuidar-se dos negó cios e desperdiçar seu
tempo com aqueles interesses estra nhos. Indiferente às crí -
ticas, um dia percebeu que se avizinhava uma excepcional
safra de azeitonas e alugou para si todas as prensas extratoras
de azeite existentes na região. Quando a colheita chegou,
ganhou muito dinheiro realugando-as e declarou ter
demonstrado que os filósofos, quando que rem, também
sabem como en rique cer. Se não o fazem é por que dão valor a
outras coisas que lhes parecem muito mais impor tantes.
Jamais saberemos como ocorreu a Tales a revolucionária ideia
que deu rumos definitivos ao pensamento matemático, ou
seja, a de que suas verdades devem ser justificadas,
demons tradas, provadas por meio do raciocínio.
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências. 
2a. ed. Livraria da Física.
As fontes históricas da Geometria mencionam que Tales de -
mons trou o seguinte teorema: Se dois ângulos são opostos
pelo vértice, então, eles são congruentes.
Utilizando esse teorema, você descobrirá que o valor de x na
figura seguinte é:
a) 16° b) 18° c) 20° d) 22° e) 24°
RESOLUCÃO:
3x – 30° = 60° – 2x ⇔ 5x = 90° ⇔ x = 18°
Resposta: B
� Rotas aéreas são como pontes que ligam
cidades, estados ou países. O mapa a seguir
mostra os esta dos brasileiros e a localização
de algumas capitais identificadas pelos números. Considere
que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília –
DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de
reta com extre midades em DF e em 4.
Siqueira. S. Brasil Regiões. Disponível em
www.santiagosiqueira.pro.br
Acesso em 28 jul 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião
AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus no
sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez
uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a
direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com
a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF.
Considerando que a direção seguida por um avião é sempre
dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que
passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o
passageiro Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
RESOLUCÃO:
Conforme o trajeto apresentado no mapa acima, Carlos fez
conexão em Belo Horizonte (13) e, em seguida, embarcou para
Salvador (9).
Resposta: B
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 36
37MATEMÁTICA
1. Nomenclatura
 Dadas, num plano, duas retas, r e s, e uma
transversal t, obtemos oito ângulos com as designações
 
 • correspondentes: a^ e α^ ; b
^
e β
^
; c
^
e γ^; d
^
e δ
^
 • alternos externos: a^ e γ^; b
^
e δ
^
 
 • alternos internos: c^ e α^ ; d
^
e β
^
 
 • colaterais externos: a^ e δ
^
; b
^
e γ^ 
 • colaterais internos: c^ e β
^
; d
^
e α^
2. Retas paralelas
 Duas retas são paralelas se, e somente se, são co -
planares com intersecção vazia ou são coincidentes.
Representa-se r // s.
3. Ângulos correspondentes
 Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos correspondentes congruentes e
reci procamente.
4. Ângulos alternos 
 Duas retas paralelas distintasformam com uma
trans versal ângulos alternos congruentes e reci pro -
camente.
5. Ângulos colaterais
 Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos colaterais suplementares e reci -
pro camente.
r // s ⇔ γ 	 β
r // s ⇔ α 	 β
r // s ⇔ β + δ = 180°
3
Palavras-chave:
Paralelismo • Congruentes
• Suplementares
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 37
38 MATEMÁTICA
� Na figura seguinte, na qual as retas r e s
são paralelas, o valor de x é igual a:
a) 20° b) 25° c) 30° 
d) 40° e) 45°
Resolução
Os ângulos de medidas 5x + 20° e 120°
são alternos externos.
Assim: 5x + 20° = 120° ⇔ 5x = 100° ⇔
⇔ x = 20°
Resposta: A
� Nelson Piquet, três vezes campeão do
mundo, se tornará um dos donos da equipe
BMW, em 2010, junto com o suíço Peter
Sauber – proprietário hoje de cerca de 20% da
organização. Assim, o futuro de Nelsinho
Piquet estará prati camente assegu rado na
Fórmula 1. O piloto já não disputa o GP da
Europa, no dia 23, em Valência, pela Renault,
mas no ano que vem sua vaga estaria
reservada no Mundial.
Quando escreveu no twitter que poderia
“quem sabe correr no seu próprio time”, há
dois dias, e depois disse que estava “brin -
cando”, na realidade Nelsinho falou a verdade.
Nelson, seu pai, tenta dar sequência ao que
sempre fez com o filho: competir em sua
escuderia. Foi assim no kart, na Fórmula 3, na
GP2 – Nelsinho sempre obteve sucesso – e pro -
vavelmente será agora também na Fórmula 1.
O Estado de São Paulo – 03/08/2009
Na pista de kart da figura seguinte, temos: 
—
AB
paralelo a 
—
DE e também paralelo a 
—
FG. Assim, a
soma das medidas dos ângulos x e y vale:
a) 140° b) 160° c) 180° 
d) 200° e) 220°
Resolução
Assim, x + 60° = 180° ⇒
⇒ x = 120°, y = 60° + 20° = 80° e, portanto,
x + y = 120° + 80° = 200°
Resposta: D
� (UESB-BA) – Sabendo-se que r//s e t é uma trans ver sal a r
e a s, conforme a figura seguinte, é correto afirmar:
a) x mede 80°, y e z são correspondentes.
b) y mede 100°, x e z são suplementares.
c) z mede 80°, x e y são opostos pelo vértice.
d) y mede 80°, x e z são alternos externos.
e) z mede 100°, y e x são alternos internos.
RESOLUÇÃO:
I) x = 80° (opostos pelo vértice)
II) y = 80° (correspondentes)
III) z + y = 180° (suplementares)
 Assim: z + 80° = 180° ⇔ z = 100°
IV) y = x (alternos internos)
 Portanto: z = 100°, y e x são alternos internos.
Resposta: E
t
80°
x
r
y
z
s
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 38
39MATEMÁTICA
� Antônio Carlos levou seu filho Fernando Antônio para
fazer um passeio no “Rio do Peixe” cujas margens são
paralelas. No local aonde eles foram, havia uma ponte que
ligava a margem r com um ilha localizada pelo ponto B e uma
outra ponte ligando a ilha com o ponto C na outra margem,
como mostra a figura seguinte. Se o ângulo agudo que a
margem forma com 
—
AB mede 18° e A
^
BC = 92°, então, a
medida do ângulo obtuso que a margem s forma com a ponte
—
BC é:
a) 102° b) 104° c) 106° d) 108° e) 110°
RESOLUÇÃO:
α + 74° = 180° ⇔ α = 106°
Resposta: C
� O valor de α na figura seguinte é:
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
RESOLUÇÃO:
Assim, α = 30°
Resposta: B
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 39
40 MATEMÁTICA
� Na figura seguinte, onde as retas r e s são paralelas, o valor
de x é
a) 20° b) 25° c) 30° d) 35° e) 50°
RESOLUÇÃO:
5x – 70° = 3x – 20° (alternos internos)
Assim: 5x – 3x = 70° – 20° ⇔ 2x = 50° ⇔ x = 25°
Resposta: B
� (UNICAMP) – Para calcular a circun ferência ter res tre, o
sábio Eratóstenes valeu-se da distância co nhe cida de 800 km
entre as localidades de Ale xandria e Siena no Egito (A e S,
respec ti vamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele
sabia que, quando em Siena os raios solares caíam
verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2°
com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência
terrestre, isto é, o com primento de uma volta completa em
torno da Terra.
RESOLUÇÃO:
Como as grandezas são diretamente proporcionais, tem-se:
= ⇔ = ⇔
⇔ C = 50 . 800 km = 40000 km
Resposta: 40000 km
7,2°
0
R
7,2°A
800 km
S
ângulo central comprimento do arco
7,2° 800 km
360° C
7,2°
––––––
360°
800 km
––––––––
C
1
––––
50
800 km
––––––––
C
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 40
41MATEMÁTICA
1. Definição
 Dados três pontos não colineares, A, B e C, chama-
se triângulo a união dos três segmentos, AB
––
, AC
––
e BC
––
.
 
 Simbolicamente:
 
 A união do triângulo ABC com os pontos de sua
região interior é chamada região triangular.
 A palavra triângulo é, muitas vezes, usada com o
sen tido de região trian gu lar.
2. Elementos do triângulo
 a) Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
 b) Os segmentos
—
AB, 
—
AC e 
—
BC são os lados do triân -
gulo.
 c) Os ângulos B
^
AC = 
^
A, A
^
BC = 
^
B e A
^
CB = 
^
C são os
ân gulos in ter nos do triângulo.
 d) Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo
in ter no. Na figura, α̂,
^
β e γ̂ são os ân gulos ex ternos dos
vértices A, B e C, respe ctivamente.
3. Propriedades
 Soma dos ângulos internos
 A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo
é igual a 180°.
 Demonstração
 Como β 	
^
B , γ 	
^
C e 
^
A + β + γ = 180°, temos:
 Soma dos ângulos externos
 Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos exter -
nos é igual a 360°.
 Demonstração
⇒
⇒
^
A + 
^
B + 
^
C + ^α + 
^
β + ^γ = 540° ⇒ 
14243
 180°
4. Teorema do ângulo externo
 Em qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual
à soma dos ângulos internos não adjacentes.
 Demonstração
⇒
α^ + β
^
+ γ^ = 360°
^
A + ^α = 180°
^
B + 
^
β = 180°
^
C + ^γ = 180°
^
A +
^
B +
^
C = 180°
ΔABC = AB
––
� BC
–––
� AC
––
α^ = B
^
+ C
^
1
2
3
^
A + ^α = 180°
^
A + 
^
B + 
^
C = 180°
4
Palavras-chave:
Triângulos • Vértices • Ângulos internos
• Ângulos externos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 41
42 MATEMÁTICA
� (ESPM) – Uma folha de papel determina um triângulo ABC 
(figura 1). Esta folha é dobrada em torno de AD, de modo que o lado
AB fique contido no lado AC (figura 2), DA
^
C = 49° e AB
^
D = 60°.
A medida do ângulo BC
^
D é:
a) 22° b) 21° c) 20° d) 19° e) 18°
Resolução
I)
—
AD é bissetriz do ângulo B’
^
AC ⇒ B’
^
AD = 49°
II) No triângulo AB’C, temos:
B
^
CD + 49° + 49° + 60° = 180° ⇒ B
^
CD = 22°
Resposta: A
� Um programa de edição de imagens pos sibi -
lita transfor mar figuras em outras mais com -
plexas. Deseja-se cons truir uma nova figura a
partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em
relação ao ponto O. 
Figura original 
A imagem que representa a nova figura é: 
Resolução
Observe, na figura acima, que, em relação ao ponto O, o simétrico do:
1) ponto A é o ponto A’ 
2) ponto B é o ponto B’
3) ponto C é o ponto C’ 
4) ponto D é o ponto D’
5) ponto E é o ponto E’
6) triângulo BCE é o triângulo B’C’E’ e, consequen temente, do
quadrilátero OACD dado é o quadri látero OA’C’D’.
Resposta: E
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 42
43MATEMÁTICA
� Determine o valor de α na figura a seguir.
RESOLUÇÃO:
3α = α + 70° ⇔ 2α = 70° ⇔ α = 35°
� (MACKENZIE-SP) – Na figura, —AB é bissetriz do ângulo de
vértice A. A medida de α é:
a) 63° b) 63,5° c) 64° d) 64,5° e) 65°
RESOLUÇÃO:
Como 
—
AB é bissetriz do ângulo C
^
AD, temos: C
^
AB = B
^
AD = x 
Assim:
43° + 2x = 86° x = 21,5°� ⇔ �α + x = 86° α + x = 86°
e, portanto, α + 21,5° = 86° ⇔ α = 64,5°
Resposta: D
� Pedro Afonso pretendia fazer um bumeranguecomo o que
aparece na figura 1, porém ele cometeu um pequeno erro e
acabou fazendo seu bumerangue com o formato da figura 2.
Assim, a soma das medidas dos ângulos α e β assinalados nas
figuras é:
a) 235° b) 240° c) 245° d) 250° e) 255°
RESOLUÇÃO:
I) α = 90° + 30° = 120°
II) β = 80° + 35° = 115°
Logo, α + β = 120° + 115°= 235°
Resposta: A
43°
B
A
86°
�
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 43
44 MATEMÁTICA
� Na figura seguinte, 
—
BD é bissetriz do ângulo A
^
BC e 
—
CE é
bissetriz do ângulo A
^
CB. O valor de x é:
a) 75° b) 70° c) 60° d) 45° e) 40°
RESOLUÇÃO:
I) ⇔ ⇔ α = 30° e β = 40°
II) α + x = 70° ⇔ 30° + x = 70° ⇔ x = 40°
Resposta: E
� Arthur pretende encontrar um tesouro que está escondido no
Parque do Ibirapuera em São Paulo. Segundo seu mapa, ele primeiro
deve achar as árvores localizadas nos pontos A, B e C que aparecem
na figura seguinte. Depois, ele deve localizar o ponto S onde a bissetriz
do ângulo B
^
AC encontra o lado 
—
BC do triângulo ABC. Finalmente, ele
encontrará o tesouro no ponto T onde a bissetriz do ângulo A
^
SC
encontra o lado 
—
AC. Se A
^
BC = 62° e A
^
CB = 34°, então, a medida do
ângulo S
^
TC é:
a) 94° b) 95° c) 96° d) 97° e) 98°
RESOLUÇÃO:
Assim, S
^
TC + 52° + 34° = 180° ⇒ S
^
TC = 94°
Resposta: A
B C
D
A
E
80° 70°
x
α + 2β = 110°
2α + β = 100°�
α + 2β + 70° = 180°
2α + β + 80° = 180°�
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 44
45MATEMÁTICA
1. Mediana
 
Mediana de um triângulo é o seg men to de reta
que tem uma extre mi da de num dos vértices do triân gu lo
e a ou tra no ponto méd io do lado oposto a esse vér tice.
—
AMA é a mediana relativa ao vértice A.
2. Bissetriz 
 Bissetriz de um triângulo é o seg men to de reta de -
ter minado por um vér tice do triângulo e pela inter sec ção do
lado oposto a esse vértice com a bis setriz do ân gulo in -
terno desse vértice.
—
ASA é uma bissetriz do triângulo.
3. Altura
 Altura de um triângulo é o segmento de reta de ter -
 minado por um vértice e pela intersecção da reta que
contém o lado oposto a esse vértice, com a per pen di -
cular a ela traçada por esse vértice.
—
AHA é a altura relativa ao vértice A.
4. Classificação dos triângulos
 Classificação quanto aos lados
 Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado em:
 a) equilátero, quando tem os três lados con gruen tes.
 b) isósceles, quando tem dois lados congruentes.
 c) escaleno, quando dois lados quaisquer não são
congruentes.
 Classificação quanto aos ângulos
 Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser classifi ca -
do em:
 a) retângulo, quando possui um ângulo reto.
 b) acutângulo, quando possui os três ângulos agu dos.
 c) obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso.
5
Palavras-chave:Segmentos 
notáveis do triângulo
• Mediana • Bissetriz 
• Altura • Acutângulo 
• Obtusângulo • Retângulo
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 45
46 MATEMÁTICA
� Fractal (do latim fractus,
fração, quebrado) – objeto
que pode ser dividido em
partes que possuem seme lhança com o objeto
inicial. A geometria fractal, criada no sé culo XX,
estuda as propriedades e o comportamento
dos frac tais – objetos geométricos formados
por repeti ções de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas ele -
mentares da geo metria fractal, pode ser obtido
por meio dos seguintes passos:
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado
tenha a metade do tamanho do lado do
triângulo anterior e faça três cópias;
3. posicione essas cópias de maneira que cada
triângulo te nha um vértice comum com um
dos vértices de cada um dos outros dois
triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para
cada cópia dos triângulos obtidos no passo
3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a fi -
gu ra 4 da sequên cia apresentada é
Resolução
A figura 4 será obtida retirando-se os triângulos
equilá teros “me nores”, que têm vértices nos
pontos médios dos lados de cada triângulo
azul. Portanto, será
Resposta: C
� Carlos colocou em sua barraca de cam -
ping os tirantes
—
AB, 
—
AC, 
—
PQ e 
—
PR, como aparece
na figura seguinte, pois o sistema de
meteorologia havia previsto um vendaval. Se
—
AD = 
—
AE = 
—
BD = 
—
EC e A
^
BD = A
^
CE = 28°, então,
a medida do ângulo D
^
AE é:
a) 65° b) 65° c) 67° d) 68° e) 69°
Resolução
I) A
^
DE = A
^
ED = 28° + 28° = 56°
II) No triângulo ADE, temos:
 D
^
AE + 56° + 56° = 180° ⇒ D
^
AE = 68°
Resposta: D
� (OBM) – Na figura, os dois triângulos maiores são
equiláteros. Qual é o valor do ângulo x?
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
RESOLUÇÃO:
No triângulo ABC, tem-se:
x + 60° + 80° = 180° ⇔ x = 40°
Resposta: B
75°
65°
x
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 46
47MATEMÁTICA
� (FUVEST) – Na figura, AB = BD = CD. Então:
a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180°
d) x = y e) 3x = 2y
RESOLUÇÃO:
Os triângulos BAD e DBC são isósceles de bases 
—
AD e 
—
BC, respec -
ti vamente. As sim, de acor do com o teore ma do ângulo externo, nos
triân gulos BAD e CAD, têm-se, respecti vamente,
z = x + x e y = x + z.
Logo: y = x + (x + x) ⇔ y = 3x
Resposta: A
� (MACKENZIE-SP) – Na figura, AB = AC e CE = CF. A
medida de β é:
a) 90° 
b) 120°
c) 110°
d) 130° 
e) 140°
RESOLUÇÃO:
I) No triângulo CEF, isós celes, tem-se C
^
EF = C
^
FE = 40°.
II) No triângulo ABC, também isósce les, tem-se A
^
BC = A
^
CB = 80°.
III)No triângulo BDE, o ângulo exter no β é tal que 
 β = D
^
BE + D
^
EB = 80° + 40° = 120°.
Resposta: B
� 
Índios guajajaras derrubam torre 
de alta tensão no Maranhão
24/10/2007 – da Agência Folha
 Um grupo de índios da etnia guajajara derrubou anteontem
uma torre de transmissão de energia elétrica da Eletronorte
que cruza a terra indígena Cana
Brava, próxima ao município de
Barra do Corda (456 km de São
Luís), no Maranhão.
 O grupo já havia ameaçado
derrubar a torre diversas vezes,
mas esta foi a primeira vez em
que o ato foi concretizado.
 A reportagem não conseguiu
falar ontem com as lideranças
guajajaras para saber o motivo da
derrubada da torre.
 A assessoria da Funai (Fun -
dação Nacional do Índio) informou
que os índios exigem a presença
do presidente do órgão, Márcio
Meira, na aldeia, mas não apresen -
taram uma reivindi cação especí -
fica.
Na torre da figura ao lado, temos: 
AB = BC = CD = DE = EF. Se G
^
AH = 10°, então a medida do
ângulo G
^
EF é:
a) 40° b) 45° c) 50° d) 55° e) 60°
F
EB
�D
40°
C
A
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 47
48 MATEMÁTICA
RESOLUÇÃO:
Como G
^
AH = 10° e os triângulos ABC, BCD, CDE e DEF são isós -
celes, tem-se a figura a seguir:
Logo, G
^
EF = 50°
Resposta: C
� (UNESP) – Considere o triângulo ABC da figura adiante.
Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a bissetriz externa
do ângulo C um ângulo de 50°, determine a medida do ângulo
interno A.
RESOLUÇÃO:
1) No triângulo ABC, temos: 
 
^
A + 2α = 2β ⇔ ^A = 2β – 2α e assim ^A = 2(β – α)
2) No triângulo BCD, temos: 
 β = α + 50° ⇔ β – α = 50°
3) Desta forma 
^
A = 2 . 50° = 100°
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 15/06/2022 08:21 Página 48
49MATEMÁTICA
1. Propriedade importante 
do triângulo retângulo
 Se um triângulo está inscrito numa circun ferên cia e
um de seus la dos é um diâmetro, então o triângulo é
retângulo.
 a) AO
––
	 BO
––
	 CO
––
(raio da circunferência) 
 b) AB
^
O 	 BA
^
O, pois ΔAOB é isósceles
 
 c) AC
^
O 	 CA
^
O, pois ΔAOC é isósceles
 d) No triânguloABC, temos: α + α + β + β = 180° ⇔
⇔ 2α + 2β = 180° ⇔ α + β = 90° ⇒
 Observação
 Num triângulo retângulo, o ponto médio da hipo te -
nusa está à mesma distância dos três vértices, pois é o
centro da circunferência circuns cri ta ao triângulo.
 Assim, a mediana relativa à hipotenusa de um triân -
gulo retângulo tem a metade da medida da referida hipo -
tenusa, ou seja 
2. Condição de existência do
triângulo
 A condição necessária e suficiente para existir um
triân gulo é que a medida de cada um de seus lados seja
menor que a soma das medidas dos outros dois.
 Se a, b, e c forem, respec tivamente, as medidas dos
lados BC
––
, AC
––
e AB
––
do triângulo ABC, então:
 
 Observação
 Se a for o maior lado, a condição neces sária e sufi -
ciente para existir o triân gulo é apenas a < b + c.
a < b + c
� b < a + c
c < a + b
BC
AM = ––––
2
BA
^
C = 90°
� Sr. Norberto resol veu levar seu filho Francisco Augusto para um
“passeio maravilhoso”, uma pes ca ria! Para que o garoto aproveitasse
bem o passeio, ele não deixou seu filho levar o PSP (vídeo game).
Depois de várias horas sem pegarem um único peixe, o garoto pegou
alguns gravetos (segmentos de reta) e resolveu montar triân gulos. As
medidas dos gravetos eram 5 cm, 7 cm, 9 cm e 12 cm. Como ele
encos tou ponta com ponta e não quebrou nenhum graveto, o número
de triângulos diferentes que ele con seguiu montar foi:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolução
Com as medidas dadas, só é possível obter 3 triângulos: (5; 7; 9), 
(7; 9; 12) e (5; 9; 12).
Resposta: C
6
Palavras-chave:Triângulo retângulo e condição
de existência de um triângulo
• Existência 
• Ângulo reto
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 49
50 MATEMÁTICA
� No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
B
^
AC = 90°, M
^
AH = 20°, BM = MC e AH ⊥ BC. Os ângulos 
^
B
e 
^
C medem, respectivamente:
a) 20° e 70° b) 25° e 65° c) 30° e 60°
d) 35° e 55° e) 40° e 50°
RESOLUÇÃO:
I) Como o triângulo ABC é retângulo em A, e M é ponto médio de
—
BC, temos:
 BM = MC = AM e, portanto, M
^
BA = M
^
AB = x.
II) No ΔAHB, temos:
 x + 90° + 20° + x = 180° ⇔ x = 35°
III)No ΔABC, temos:
 x + 90° + y = 180° ⇒ 35° + 90° + y = 180° ⇔ y = 55°
Resposta: D
� Os arcos de sustentação da ponte da figura seguinte são
semicircunferências de centros O e O’, respectivamente. O
cabo de aço 
—
AD é perpendicular ao plano da ponte e o cabo 
—
AC forma 38° com o plano da ponte. A medida do ângulo D
^
AO
formado pelos cabos de aço 
—
AD e 
—
AO é:
a) 14° b) 15° c) 16° d) 17° e) 18°
RESOLUÇÃO:
I) O triângulo ABC é retângulo em A e, portanto, OA = OB = OC.
II) No triângulo isósceles AOC, temos: O
^
AC = O
^
CA = 38° e,
portanto, D
^
OA = 38° + 38° = 76°
III)No triângulo ADO, temos:
 D
^
AO + 90° + 76° = 180° ⇔ D ^AO = 14°
Resposta: A
� Pescar de novo? 
Por favor, por favor, por favor
nãããããããããão! Não teve jeito, lá foi
Francisco Augusto com seu pai para uma
nova pescaria, porém desta vez a pescaria ia ser mais interessante:
eles foram pescar lulas!
Depois de várias horas “se divertindo”, o garoto pegou o canivete do
pai, começou a abri-lo e fechá-lo, e observou que assim ele poderia
construir triângulos, como mostra a figura. 
Se a medida da lâmina é 5 cm e a medida do cabo é 7 cm, o número
de triângulos com lados inteiros que ele conseguiu montar foi:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12
Resolução
Sendo x a medida do 3o. lado, temos:
�5 – 7� < x < 5 + 7 ⇒ 2 < x < 12 e, portanto, o número de medidas
possíveis para o terceiro lado é 9.
Resposta: C
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 50
51MATEMÁTICA
� Se x ∈ �, e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são as medidas
dos lados de um triângulo, então o número de possíveis
valores de x é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
RESOLUÇÃO:
I. x – 1 < 2x + 1 + 10 ⇒ – x < 12 ⇒ x > – 12
II. 2x + 1 < x – 1 + 10 ⇒ x < 8
III. 10 < x – 1 + 2x + 1 ⇒ – 3x < – 10 ⇒ x > 
Fazendo a intersecção das con dições I, II e III, obtemos:
< x < 8
 
Como x ∈ �, temos 
x = 4 ou x = 5 ou x = 6 ou x = 7. 
Resposta: B
� Uma criança deseja criar triângulos utilizando
palitos de fósforo de mesmo comprimento.
Cada triângulo será cons truído com exa ta -
mente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve
ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um
triângulo construído com essas caracterís ticas.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a
dois que podem ser construídos é
a) 3. b) 5. c) 6. d) 8. e) 10.
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado, o perímetro do triângulo será 17
palitos.
Assim, sendo x palitos a medida do maior lado do triângulo,
temos:
≤ x < e, portanto, os possíveis valores de x são 6; 7 e 8.
Como um dos lados do triângulo deve medir 6 palitos, podemos
montar a seguinte tabela:
Resposta: A 
10
–––
3
10
––––
3
17
–––
2
Maior lado Outros dois Perímetro
6 6 5 17
7 6 4 17
8 6 3 17
17
–––
3
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 51
52 MATEMÁTICA
1. Definição
 Dois triângulos são congruentes se for possível es -
tabelecer uma correspondência entre os vértices de um
e os do outro, de modo que os lados e os ângulos
correspondentes sejam, respectivamente, congruentes.
2. Critérios de congruência
 A definição de congruência exige a congruência dos
seis elementos, enquanto os critérios de congruên cia
nos permitem concluir que dois triângulos são con gruen -
tes a partir da congruência de três elementos conve nien -
tes. 
 Temos quatro critérios de congruência de triângulos:
 1o. Critério: LLL
 Dois triângulos são congruentes quando possuem
os três lados respectivamente congruentes.
 2o. Critério: LAL
 Dois triângulos são congruentes quando possuem
dois lados e o ângulo entre eles, respectivamente, con -
gruen tes.
 3o. Critério: ALA
 Dois triângulos são congruentes quando possuem
dois ângulos e o lado entre eles, respectivamente, con -
gruen tes.
 4o. Critério: LAAo
 Dois triângulos são congruentes quando possuem
um lado, um ângulo e o ângulo oposto a esse lado, res -
pec ti v a mente, congruentes.
 
 
—
AB 	
—
PQ
—
AC 	
—
PR 
 ⇒ ΔABC 	 ΔPQR—
BC 	
—
QR
—
AB 	
—
PQ
—
AC 	
—
PR 
 ⇒ ΔABC 	 ΔPQR^
A 	
^
P
ΔABC 	 ΔRPQ ⇔ �
—
AB 	
—
RP
—
BC 	
—
PQ
—
AC 	
—
RQ 
^
A 	
^
R
^
B 	
^
P
^
C 	
^
Q
—
BC 	
—
QR
^
B 	
^
Q 
 ⇒ ΔABC 	 ΔPQR^
C 	
^
R
—
BC 	
—
QR
^
B 	
^
Q 
⇒ ΔABC 	 ΔPQR
^
A 	
^
P
7
Palavras-chave:
Congruência de triângulos • Congruência • LLL 
• LAL • ALA • LAAo
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 52
53MATEMÁTICA
 Observações
 a) LLA não assegura congruência.
 Na figura, os triângulos ABC e A’BC não são con -
gruentes, pois AC � A’C, embora
 b) Se dois triângulos retângulos possuem hipote nu -
sas congruentes e um dos catetos congruentes, então
eles são congruentes.
3. Teorema
 Se um triângulo ABC é isoângulo, então ele é isós -
celes.
 Demonstração 
ótese
 
 Tese {
—
AB 	
—
AC
 Seja AS
––
a bissetriz de A e, portanto, BA
^
S 	 CA
^
S.
 
Assim sendo, ⇒
 ⇒ ΔBAS 	 ΔCAS pelo critério LAAo. 
 Logo
—
AB 	
—
AC.
 Observação
 Da demonstração anterior, conclui-se que 
—
AS, além
de bissetriz, é a mediana e a altura relativa ao vértice A.
BA
^
S 	 CA
^
S
^
B 	
^
C
—
AS (lado comum)
� ΔABC isoânguloB̂ 	 Ĉ
�
BC
––
(lado comum)
C
^
(ângulo comum)
AB
–– 	 A’B–– (raio)
� A congruência de triângulos é utilizada para demonstrar várias
propriedades impor tan tes. Podemospor exemplo demonstrar que
I) se um triângulo é isósceles, então, ele é isoângulo;
II) a bissetriz do ângulo formado pelos lados congruentes de um
triângulo isósceles coincide com a altura.
Assim, a medida do ângulo C
^
AH da figura seguinte, na qual AB = AC,
—
AH é a altura relativa ao vértice A, 
—
BS é bissetriz do ângulo 
^
B e 
S
^
DH = 130°, é igual a:
a) 10° b) 12° c) 14° d) 16° e) 18°
Resolução
I) No triângulo BHD, temos:
 H
^
BD + 90° + 50° = 180° ⇒ H
^
BD = 40°
 Assim A
^
BC = 40° + 40° = 80°
II) Como AB = AC, temos:
 A
^
CB = A
^
BC = 80° e, portanto, B
^
AC = 20°
 Logo, C
^
AH = 10°, pois 
—
AH é bissetriz do ângulo B
^
AC
Resposta: A
� (UNICAMP) – Em um aparelho experimental, um feixe laser
emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto
Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o
com primento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o
polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão
são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna.
Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto
PFGHQ?
a) 12 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:38 Página 53
54 MATEMÁTICA
Resolução
1) Os triângulos PQF e QPH são congruentes pelo critério LAAo e,
portanto, 
––––
PH 	 
––––
QF.
2) Os triângulos BHG e AFG são congruentes pelo mes mo critério, pois
BH = BP – PH = AQ – QF = AF.
3) Os triângulos AFG e AFG’ são congruentes pelo critério ALA.
Desta forma: AG’ = AG = =
4) No triângulo PRG’, retângulo em R, temos:
 PG’2 = RG’2 + PR2 ⇒ PG’2 = 62 +
2
= ⇔
 ⇔ PG’ = 
 
5) Das congruências, temos:
 PF + FG + GH + HQ = 2 (PF + FG) = 
 = 2 (PF + FG’) = 2 . PG’ = 2 . = 15
Resposta: B
AB
––––
2
3
–––
2
9�–––�2
225
–––––
4
15
––––
2
15
––––
2
� Na figura, OX
→
é bissetriz de AÔ B e M ∈ OX
→
. Prove que:
AM
–––
	 BM
–––
 
RESOLUÇÃO:
OM é comum
A
^
OM 	 B
^
OM (bissetriz) 
 ⇒ LAAo ⇒ ΔMOA 	 ΔMOB ⇒ AM 	 BM
O
^
AM 	 O
^
BM (retos)
� Demonstre que num triângulo isósceles os ângulos
opostos aos lados congruentes são também congruentes.
RESOLUÇÃO:
Hipóteses
Tese: 
^
B 	 ^C
Seja M o ponto médio de BC e, portanto, 
—
BM 	 —MC.
Logo, 
^
B 	
^
C
� No qu adrilátero ABCD da figura seguinte, tem-se:
AB
––
// CD
––
e AD
––
// BC
–––
. Prove que AB
––
	 CD
––
e BC
––
	 DA
–– 
.
RESOLUÇÃO:
⇒ ALA ⇒ ΔABD 	 ΔCDB
Logo, 
—
AB 	
—
CD e 
—
BC 	
—
DA 
ΔABC é isósceles
AB 	 AC�
⇒ LLL ⇒ ΔAMB 	 ΔAMC
—
AB 	
—
AC
—
BM 	
—
MC
—
AM comum
—
BD comum
A
^
DB 	 C
^
BD (alternos internos)
A
^
BD 	 C
^
DB (alternos internos)
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 54
55MATEMÁTICA
� Pretende-se construir um mosaico com o
formato de um triângulo retângulo, dispondo-
se de três peças, sendo duas delas triângulos
retângulos congruentes e a terceira um triân gulo isósceles. A
figura apresenta cinco mosaicos for mados por três peças.
Na figura, o mosaico que tem as características daquele que se
pretende construir é o
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
RESOLUÇÃO:
No mosaico 1, os dois triângulos retângulos não são congruentes.
No mosaico 2, os dois triângulos retângulos são congruentes e o
terceiro é isósceles.
No mosaico 3, o terceiro triângulo não é isósceles.
Nos mosaicos 4 e 5, a figura final não é um triângulo retângulo.
O mosaico que tem as características do enunciado é o mosaico 2.
Resposta: B
� 
Estrela gigante tem cauda do tamanho do sistema solar
Redação do Site Inovação Tecnológica – 31/07/2009
Gigante vermelha
Há pouco mais de um mês, astrônomos des cobri ram que a
supergigante vermelha Betel geuse, uma das estrelas mais
brilhantes no céu, quase 1.000 vezes maior do que o Sol, está
encolhendo misteriosamente.
Supernova
Os cientistas descobriram que a Betelgeuse tem uma espécie
de cauda, uma gigantesca emanação de gases tão grande
quanto o nosso sistema solar inteiro, além de uma espécie de
bolha fervente em sua superfície. Essas po dem ser as razões
por trás da enorme perda de massa da estrela.
Apesar de sua magnitude, Betelgeuse está-se aproximando
rapidamente do fim da sua vida. Emitindo luz equivalente a
100000 Sóis, ela perde massa rapidamente e logo deverá ex -
plodir como uma supernova. Quando isto acon tecer, a
supernova poderá ser vista da Terra mesmo à luz do dia.
http://www.inovacaotecnologica.com.br/
Para construir a estrela da figura seguinte, foram utilizados os
triân gulos ABC, ADE, AFG e AHI, que são congruentes. Se 
AB = 12 cm, AC = 5 cm e BC = 13 cm, então, o perímetro da
estrela mede:
a) 80 cm b) 90 cm c) 100 cm
d) 110 cm e) 120 cm
RESOLUÇÃO:
O perímetro da estrela mede 80 cm.
Resposta: A
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 55
56 MATEMÁTICA
1. Definição
 Consideremos, num plano, n pontos (n � 3), A1, A2,
A3, …, An, ordenados de modo que três con secutivos
não sejam colinea res.
 Chama-se polígono A1, A2, A3, …, An a figura for -
mada pela união dos n segmentos con se cu tivos:
 Região poligonal
 É a região determinada pela união do polígono com
os pontos de sua região interior. 
 Polígono convexo 
 É o polígono cuja região poli gonal é convexa.
 Observação
 Estudaremos somente polígonos convexos.
2. Nomenclatura
 De acordo com o número de lados, temos:
 Genericamente, usa-se o termo polígono de n lados.
 Observação importante
 Um polígono convexo com n lados tem n vér tices, n
ângulos internos e n ângulos externos.
3. Classificação
 Polígono equilátero
 É o polígono que tem todos os lados congruentes.
 Exemplos: Losango, quadrado etc.
 Polígono equiângulo
 É o polígono que tem todos os ângulos internos
con gruentes.
 Exemplos: Retângulo, quadrado etc.
 Polígono regular
 É o polígono que é equilátero e equiângulo simul -
taneamente.
 Exemplo: Quadrado.
4. Número de diagonais
 Chama-se diagonal de um polígono a todo segmento
de reta cujas extremidades são vértices não
consecutivos desse polígono.
 Num polígono de n lados:
 a) cada vértice dá origem a (n – 3) diagonais.
 b) os n vértices dão origem a n . (n – 3) diagonais.
 c) com este raciocínio, cada diagonal foi contada
duas vezes, pois cada uma delas é determinada por dois
vértices.
 Assim, sendo d o número de diagonais do polígono,
temos:
 Exemplo
 O polígono convexo da
figura ao lado tem 7 lados e
cada vértice dá origem a 
7 – 3 = 4 diagonais.
 Assim, 
 
d = = 14
triângulo — 3 lados eneágono — 9 lados
quadrilátero — 4 lados decágono — 10 lados
pentágono — 5 lados undecágono — 11 lados
hexágono — 6 lados dodecágono — 12 lados
heptágono — 7 lados pentadecágono — 15 lados
octógono — 8 lados icoságono — 20 lados
n . (n – 3)
d = ––––––––––
 2
A1A2
––––
� A2A3
––––
� A3A4
–––––
� … � AnA1
––––
7 . 4
–––––
2
8 e 9
Palavras-chave:
Polígonos • Diagonais • Ângulos internos
• Ângulos externos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 56
57MATEMÁTICA
5. Soma dos ângulos internos
 Seja um polígono de n lados e P um ponto interno.
Ligando P aos vértices, obtemos n triângulos cuja soma
dos ângulos internos é 180° . n.
 Assim, sendo Si a soma dos ângulos internos do
polígono, temos
 Si = 180° . n – 360° ⇔
 
 Exemplo
A soma dos ângulos internos
do polí gono da figura é: 
6 . 180° – 360° = 720°
6. Soma dos ângulos externos
 Sejam, num polígono de n lados, ai e ae, res pec -
tivamente, as medidas de um ângulo interno e do ângulo
externo adjacentea ele, Si a soma dos ângulos internos
e Se a soma dos ângulos externos.
 Sendo ai + ae = 180° para cada um dos vértices do
polígono, temos
 Si + Se = 180° . n ⇔ Se = 180° . n – Si ⇔
 ⇔ Se = 180° . n – (n – 2) . 180° ⇔
 Observação:
 Se o polígono for equiângulo, todos os ângulos inter -
nos são congruentes e todos os ângulos externos são
congruentes e, portanto,
e
Se
ae = –––– n
Si
ai = –––– n
Se = 360°
Si = (n – 2) . 180°
� (PUCCAMP) – A figura descreve o movimento de um robô:
Partindo de A, ele sistemati ca men te avan ça 2 m e gira 45° para a
esquerda. Quando esse robô retornar ao ponto A, a trajetória percorrida
terá sido
a) uma circunferência. b) um hexágono regular.
c) um octógono regular. d) um decágono regular.
e) um polígono não regular.
Resolução
Quando esse robô retornar ao ponto A, terá percorrido os lados de um
polígono regular, cujo ângulo externo mede 45°. Assim, sendo n o
número de lados desse polígono, tem-se:
= 45° ⇔ n = 8
Resposta: C
� (UFSCar) – A figura 1 representa um deter minado encaixe no
plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexá gono, 2 triângulos, 4
quadrados), sem sobreposições e cortes.
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfei tamente nos
espaços da figura 1, como indicado na figu ra 2, é correto dizer que
a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo
da base medindo 15°.
b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo
da base medindo 30°.
c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são
triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°.
d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles.
e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escale nos.
Resolução
Em relação aos seis triângulos “encaixados” perfeitamente nos
espaços da figura acima, pode-se afirmar que dois deles são
equiláteros, e os demais são triângulos retângulos isós celes.
Resposta: D
360°
–––––
n
Exercícios Resolvidos – Módulos 8 e 9
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 57
58 MATEMÁTICA
� (UFSCar) – Um polígono convexo com exata mente 35
diagonais tem
a) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados. 
d) 12 lados. e) 20 lados. 
RESOLUÇÃO:
= 35 ⇔ n2 – 3n – 70 = 0 
Assim: n = ⇔ n = 10, pois n > 3
Resposta: C
� (AMAN) – O polígono convexo em que o triplo do número
de vértices é igual ao total de diagonais é o
a) eneágono. b) dodecágono. c) hexágono. 
d) heptágono. e) icoságono.
RESOLUÇÃO:
3n = d ⇔ 3n = ⇔ n – 3 = 6, pois n � 0
Assim: n = 9
Resposta: A
n . (n – 3)
–––––––––
2
3 ± 17
–––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
� Na construção civil, é muito comum a utilização de
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para
o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto,
não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavi -
mentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de
ladrilhos, como ilustram as figuras.
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regu lares, com as
respectivas medidas de seus ângulos in ter nos.
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles
octogonal, o outro tipo esco lhido deverá ter a forma de um
a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono.
d) hexágono. e) eneágono.
Resolução
Para que não haja falhas, ou superposição de ladrilhos, a soma dos
ângulos internos dos ladrilhos, em torno do vértice comum, deve ser
igual a 360°.
Assim, se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos, sendo um deles oc to gonal, o outro tipo
escolhido deverá ser qua dra do, pois 360° = 135° + 90° + 135° e, então,
em torno do mes mo vér tice, teremos dois ladrilhos octo go nais e um
qua dra do.
Resposta: B
Exercícios Propostos – Módulo 8
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 58
59MATEMÁTICA
� Cada um dos ângulos externos de um polígono re gu lar
mede 15°. Quantas diagonais tem esse polígono?
RESOLUÇÃO:
I) ae = ⇒ 15° = ⇔ n = 24 
II) d = ⇒ d = = 252 
� (USF) – O polígono regular cujo ângulo interno mede o
triplo do ângulo externo é o
a) pentágono b) hexágono c) octógono
d) decágono e) dodecágono
RESOLUÇÃO:
^ai = 3 . 
^ae ⇔ = 3 . ⇔ n – 2 = ⇔ 
⇔ n – 2 = 6 ⇔ n = 8
Resposta: C
� Um polígono regular de m lados pode ser
“envol vido” por, exatamente, m polígonos
regulares con gruen tes de n lados.
Os exemplos da figura mostram que para m = 4 resulta n = 8
e para m = 6 obtém-se n = 6.
Para m = 10 o polígono regular de n lados será o 
a) decágono b) octógono c) pentágono
d) quadrado e) triângulo
RESOLUÇÃO:
I) Para m = 10, cada ângulo interno mede
 = = 144°
 
II) Sendo α o ângulo interno do polígono de n lados, temos:
 α + α + 144° = 360° ⇔ 2α = 360° – 144° ⇔
 ⇔ 2α = 216° ⇔ α = 108°
 
III)Se ai = 108° ⇒ ae = 72° = ⇔ n = 5
Resposta: C
(n – 2)180°
––––––––––
n
360°
–––––
n
3 . 360°
–––––––
180°
n(n – 3)
–––––––––
2
24 . 21
–––––––––
2
360°
–––––
n
360°
–––––
n
(10 – 2) . 180°
–––––––––––––
10
8 . 180°
––––––––
10
360°
–––––
n
� (UNIFOA) – Três polígonos convexos têm n, n + 1 e n + 2
lados, respectivamente. Se a soma de todos os ângulos inter -
nos dos três polígonos é de 2700°, então n é igual a
a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 8
RESOLUÇÃO:
(n – 2) . 180° + (n + 1 – 2) . 180° + (n + 2 – 2) . 180° = 2700° ⇔
⇔ (n – 2) . 180° + (n – 1) . 180° + n . 180° = 2700° ⇔
⇔ n – 2 + n – 1 + n = 15 ⇔ 3n = 18 ⇔ n = 6
Resposta: A 
Exercícios Propostos – Módulo 8
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 59
60 MATEMÁTICA
� (ITA-SP) – A soma das medidas dos ângulos internos de
um polígono regular é 2160°. Então o número de diagonais
desse polígono, que não passam pelo centro da circunferência
que o circunscreve, é:
a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90
RESOLUÇÃO:
Sendo n o número total de lados do polígono regular (n par), d
o número total de diagonais desse polígono, p o número de
diagonais que passam pelo centro da circunferência circunscrita e
q o número de diagonais que não passam por este centro, tem-se:
I) (n – 2)180° = 2160° ⇔ n = 14
II) d = = = 77
III) p = = = 7
IV) q = d – p
Assim, q = 77 – 7 ⇔ q = 70
Resposta: C
� (FGV) – Analise as instruções a seguir:
I. Andar 4 metros em linha reta.
II. Virar x graus à esquerda.
III. Andar 4 metros em linha reta.
IV. Repetir y vezes os comandos II e III.
Se as instruções são utilizadas para a cons trução de um pentá -
go no regular, pode-se afir mar que o menor valor positivo de x.y
é
a) 144 b) 162 c) 216 d) 288 e) 324
RESOLUÇÃO:
A medida de cada ângulo externo âe do pentágono regular é
= 72°.
Assim, partindo-se do ponto P, após realizar a instrução I, chega-
se ao ponto Q. Após as instruções II e III, chega-se ao ponto R.
Repetindo-se as instruções II e III, 3 vezes, como mostra a figura a
seguir, obtém-se o pentágono regular pela primeira vez.
Logo x = 72 e y = 3 e portanto x . y = 72 . 3 = 216
Resposta: C
� 
Disponível em: http://www. diaadia.pr.gov.br. 
Acesso em: 28 abr. 2010 
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por
rotações, em torno de seu centro, de
a) 45°. b) 60°. c) 90°. d) 120°. e) 180°.
RESOLUÇÃO:
Para que 
⎯→
Ox coincida com 
⎯→
Oy, 
⎯→
Oy coincida com 
⎯→
Oz e finalmente,
⎯→
Oz coincida com 
⎯→
Ox, o ângulo de rotação �, em torno do centro
O do polígono, deve ser tal que: 
� + � + � = 360° ⇔ � = 120°
Resposta: D
360°
––––––
5
14
––––
2
n
–––
2
14(14 – 3)
––––––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
x z
y xz y
� �
�
� �
�
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 60
61MATEMÁTICA
 Algunsquadriláteros que possuem propriedades par -
ticulares são chamados quadriláteros notáveis.
 Vamos estudar, a seguir, os quadriláteros notáveis e
suas propriedades.
1. Trapézio
 Trapézio é todo quadrilátero que possui dois lados
paralelos.
 Os lados AB
––
e CD
––
(AB
––
// CD
––
) são as bases do tra -
pézio da figura.
 Os lados AD
––
e BC
––
são chamados lados trans ver -
sais ou lados transversos.
 No trapézio, ângulos adjacentes a um mesmo lado
transverso são suplementares.
 No trapézio da figura, temos:
 α + β = 180° e γ + δ = 180°
 Observações
 a) Trapézio isósceles é aquele que possui os lados
transversais congruentes.
 b) Trapézio retângulo é aquele que possui um ân -
gulo reto.
2. Paralelogramo
 Paralelogramo é todo quadrilátero que possui la -
dos opostos paralelos.
 Nos paralelogramos, valem as seguintes proprie da -
des:
 a) os lados opostos são congruentes.
 b) os ângulos opostos são congruentes.
 c) as diagonais se cortam em seus respectivos
pontos médios.
3. Retângulo
 Retângulo é todo paralelogramo que possui um
ângulo reto.
 Nos retângulos, além das propriedades dos parale -
logramos, valem as seguintes propriedades:
 a) as diagonais são congruentes.
 b) os quatro ângulos são retos.
4. Losango
 Losango é todo paralelogramo que possui dois
lados adjacentes congruentes.
Todo losango é um para lelogramo 
e, por tanto, também é um trapézio.
Todo retângulo é um para le logramo 
e, por tan to, tam bém é um trapézio.
—
AB // 
—
CD e 
—
AD // 
—
BC
Todo paralelogramo é um tra pézio, 
pois tem dois lados pa ra lelos.
10 e 11
Palavras-chave:
Quadriláteros notáveis • Trapézio • Paralelogramo• Retângulo • Losango 
• Quadrado
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 61
� Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm. As razões
históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor
aproveitamento possível do papel disponível. Considere, a seguir, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):
Seguindo o processo representado, pode-se produ zir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível
de material, utilizando uma única folha de
a) 84 cm x 62 cm b) 84 cm x 124 cm c) 42 cm x 31 cm d) 42 cm x 62 cm e) 21 cm x 31 cm
Resolução
Para produzir um exemplar de cordel com 32 páginas, são necessárias 16 folhas de 10,5 cm x 15,5 cm dispostas como na figura seguinte, na qual
as medidas estão em centímetros:
A folha mais econômica deverá ter 42 cm por 62 cm e ser dobrada como se
segue:
Resposta: D
62 MATEMÁTICA
 Nos losangos, além das propriedades dos paralelo -
gramos, valem as seguintes propriedades:
 a) as diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos
internos.
 b) as diagonais são perpendiculares.
 c) os quatro lados são congruentes.
5. Quadrado
 Quadrado é todo quadrilátero que é retângulo e
losango ao mesmo tempo.
 No quadrado, valem todas as propriedades do retân -
gulo e todas as propriedades do losango.
Todo quadrado é re tân gulo e losango e, 
por tanto, tam bém é pa rale logramo e trapézio.
Exercícios Resolvidos – Módulos 10 e 11
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 62
63MATEMÁTICA
� (UNESP-SP) – A afirmação falsa é:
a) Todo quadrado é um losango.
b) Existem retângulos que não são losangos.
c) Todo paralelogramo é um quadrilátero.
d) Todo quadrado é um retângulo.
e) Um losango pode não ser um paralelogramo.
RESOLUÇÃO:
Todo losango é um paralelogramo com os lados todos con -
gruentes.
Resposta: E
� (UNESP) – A sequência de configu rações inicia da a seguir dá
origem a um fractal, obtido em estágios da seguinte maneira: 
(i) Começa-se com um quadrado de lado 1, no estágio 0; (ii) O estágio
n + 1 é obtido a partir do estágio n, dividindo-se cada lado em três
partes iguais, construindo-se externamente sobre a parte central um
quadrado e suprimindo-se, então, a parte central. 
Com base nessa descrição, o perímetro da figura, à direita, referente
ao estágio de número 2, é
a) 15 b) c) 10 d) 
 
e) 
Resolução
Como pode ser observado na sequência de figuras acima, o perímetro
da figura 2 é:
4 . + 8 . 4 . = 
Resposta: B
� Um terreno retangular de lados cujas medidas, em
metro, são x e y será cercado para a construção de
um parque de diversões. Um dos lados do terreno
encontra-se às margens de um rio. Observe a figura.
Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$ 7 500,00. O ma -
terial da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno
paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados.
Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do material
podem ser relacionados pela equação
a) 4(2x + y) = 7 500 b) 4(x + 2y) = 7 500
c) 2(x + y) = 7 500 d) 2(4x + y) = 7 500
e) 2(2x + y) = 7 500
Resolução
Supondo que o lado que está na margem do rio também seja cercado,
temos:
4 . (x + x) + 2 . (y + y) = 7500 ⇔ 8x + 4y = 7500 ⇔ 4(2x + y) = 7500
Obs.: Se o lado situado à margem do rio não for cercado, a relação
seria 4x + 4y = 7500.
Resposta: A
100
––––
9
1
––––
9
17
––––
9
15
––––
2
75
––––
8
100
––––
9
Exercícios Propostos – Módulo 10
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 63
64 MATEMÁTICA
� (CESGRANRIO) – Em um trapézio retângulo, o menor
ângulo mede 35°. O maior ângulo desse polígono mede:
a) 155° b) 150° c) 145° d) 142° e) 140°
RESOLUÇÃO:
x + 35° = 180° ⇔ x = 145°
Resposta: C
� O proprietário de um restaurante deseja
comprar um tampo de vidro retangular para a
base de uma mesa, como ilustra a figura
Sabe-se que a base da mesa, considerando a borda externa,
tem a forma de um retângulo, cujos lados medem 
AC = 105 cm e AB = 120 cm.
Na loja onde será feita a compra do tampo, existem cinco tipos
de opções de tampos, de diferentes dimensões, e todos com
a mesma espessura, sendo:
Tipo 1: 110 cm x 125 cm 
Tipo 2: 115 cm x 125 cm
Tipo 3: 115 cm x 130 cm 
Tipo 4: 120 cm x 130 cm
Tipo 5: 120 cm x 135 cm
O proprietário avalia, para comodidade dos usuários, que se
deve escolher o tampo de menor área possível que satisfaça a
condição: ao colocar o tampo sobre a base, de cada lado da
borda externa da base da mesa, deve sobrar uma região,
correspondendo a uma moldura em vidro, limitada por um
mínimo de 4 cm e máximo de 8 cm fora da base da mesa, de
cada lado.
Segundo as condições anteriores, qual é o tipo de tampo de
vidro que o proprietário avaliou que deve ser escolhido?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUÇÃO:
1) 105 + 2 . 4 < AC < 105 + 2 . 8 ⇔ 113 < AC < 121
2) 120 + 2 . 4 < AB < 120 + 2 . 8 ⇔ 128 < AB < 136
3) Dos 5 tipos apresentados os únicos que satisfazem (1) e (2) são
os tipos 3, 4 e 5.
4) Dos três tipos possíveis, o de menor área é o tipo 3.
Resposta: C
x
35°
C D
A B
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 64
65MATEMÁTICA
� O losango representado na Figura 1 for for -
ma do pela união dos centros das quatros
cirunferências tan gentes, de raios de mesma
medida.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em
vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a con figu -
ração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilus -
trada pela Figura 2.
O perímetro do losango da Figura 2, quando compararado ao
perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de
a) 300%. b) 200%. c) 150%. 
d) 100%. e) 50%.
RESOLUÇÃO:
Na figura 1, o perímetro do losango é 8r.
Na figura 1, o perímetro do losango é 12r.
O aumento do perímetro foi de 4r, ou seja, 50%.
Resposta: E
Exercícios Propostos – Módulo 10
� (UNIP) – O quadriláteroABCD da figura seguinte é um
quadrado e o triângulo CDE é equilátero. A medida θ do ângulo
D
^
BE é igual a:
a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 35°
RESOLUÇÃO:
O triângulo CBE é isós ce les de base BE, pois BC = CE.
Assim, sendo α a medida, em graus, de cada um dos ângulos
internos da base desse triângulo, temos:
I) α + α + 90° + 60° = 180° ⇔ α = 15°
II) θ + α = 45°
Assim: θ + 15° = 45° ⇔ θ = 30°
Resposta: D
�
�
45°
60°
A D
CB
E
�
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 65
66 MATEMÁTICA
� (UDESC) – No paralelogramo ABCD, conforme mostra a
figura, o segmento 
–
CE é a bissetriz do ângulo D
^
CB.
Sabendo-se que AE = 2 e AD = 5, então o valor do perímetro
do paralelogramo ABCD é:
a) 26 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24
RESOLUÇÃO:
1) No paralelogramo ABCD tem-se:
 AB = CD e BC = AD = 5
2) No triângulo isósceles BEC tem-se:
 BE = BC = 5
 Assim, CD = AB = AE + BE = 2 + 5 = 7
 Logo, o perímetro do paralelogramo ABCD é dado por:
 AB + BC + CD + DA = 7 + 5 + 7 + 5 = 24
Resposta: E
� (MACKENZIE) – No trapézio da figura, PN = PQ. Então, o
ângulo α mede:
a) 64° b) 68° c) 72° d) 76° e) 80°
RESOLUÇÃO:
Assim:
+ 2α = 180° ⇔ 5α = 360° ⇔ α = 72°
Resposta: C 
�
P Q
4
4 NM
4
�
P Q
4
4 NM
4
�
�
�
�
 α
α = 2β ⇔ β = ––
 2
β + 2α = 180°
�
α
–––
2
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 66
67MATEMÁTICA
� Uma pessoa possui um espaço retangular de
lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e
pretende fazer um pomar doméstico de
maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que
as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma
única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre
elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que
conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar
se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado
de maior extensão.
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar
no espaço disponível é
a) 4. b) 8. c) 9. d) 12. e) 20.
RESOLUÇÃO:
I) Considerando o retângulo PQRS que representa o terreno e
lembrando que cada muda deverá ser plantada a pelo menos
três metros da lateral do terreno, nenhuma muda poderá ser
plantada fora da área do retângulo ABCD. Desta forma, é
possível plantar 9 mudas,
 A saber, em A, B, E, F, G, H, I, J e K.
II) Observe que, em metros,
 
AE = AF = ������(5,5)2 + 32 
 3,13 e
 MK = 5 . ME = 5 . 1,5 = 7,5 < 8
Resposta: C
1
–––
2
1
–––
2
11,5 5,5
3
3
3
3 3 1,5
3
3
3
7,5
0,5
3 3
8
14
P S
A G J D
M
E
N
H
Q
KK
F IB C
Q
R
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 67
68 MATEMÁTICA
1. Teorema de Tales
 Se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre as medidas de dois seg -
mentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as
medidas dos segmentos correspondentes da outra.
 Assim, na figura, temos:
2. Teorema da bissetriz interna
 Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno
determina no lado oposto dois segmentos proporcionais
aos lados desse ângulo.
 Na figura, temos:
3. Teorema da bissetriz externa
 Quando a bissetriz de um ângulo externo de um
triân gulo intercepta a reta que contém o lado oposto,
ficam determinados, nesta reta, dois segmentos pro por -
cionais aos lados desse triângulo.
 Na figura, temos:
AB AC
–––– = ––––
BS CS
AB AC
–––– = ––––
BS CS
AB PQ AC PR 
 –––– = –––– ou –––– = –––– ou
CD RS BD QS 
AD PS 
–––– = –––– ou …
AB PQ
� (UNIRIO) No desenho ao lado apresen ta do, as fren tes
para a rua A dos quar teirões I e II me dem, res -
pec ti va men te, 250 m e 200 m, e a frente do
quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do
que a frente do quar teirão II para a mesma rua.
Sendo assim, pode- se afirmar que a medida,
em metros, da frente do menor dos dois quar -
teirões para a rua B é:
a) 160 b) 180 c) 200 
d) 220 e) 240
Resolução
12
Palavras-chave:
Linhas proporcionais • Teorema de Tales • Bissetriz
interna • Bissetriz externa 
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 68
69MATEMÁTICA
� (UnB) – Considere a figura abaixo. Sabendo-se que os
segmentos AB
–––
, BC
–––
e A’B’
–––
têm comprimentos 4 cm, 2 cm e 
8 cm, respec tivamente, determine o comprimento do seg -
mento B’C’
–––
.
RESOLUÇÃO:
= ⇒ = ⇔ 4B’C’ = 16 ⇔ B’C’ = 4
Resposta: 4 cm 
� (UNICAMP) – A figura mostra um segmento AD dividido
em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O
segmento AD’ mede 13 cm e as retas BB’ e CC’ são paralelas
a DD’. Determine os com pri mentos dos segmentos AB’, B’C’
e C’D’.
RESOLUÇÃO:
Para todas as medidas em centímetros, tem-se:
I. = ⇔ = ⇔ AB’ = 2,6 
II. = ⇔ = ⇔ B’C’ = 3,9 
III. = ⇔ = ⇔ C’D’ = 6,5 
AB’
––––
AD’
AB
––––
AD
AB’
––––
13
2
–––
10
B’C’
–––––
AD’
BC
––––
AD
B’C’
–––––
13
3
–––
10
C’D’
–––––
AD’
CD
––––
AD
C’D’
–––––
13
5
–––
10
AB
––––
BC
A’B’
––––––
B’C’
4
–––
2
8
–––––
B’C’
De acordo com o Teorema linear de Tales, 
tem-se
 250 x + 40 
––––– = –––––––– ⇔ x = 160
200 x
Resposta: A
� No mapa da figura seguinte, estão
representadas as cidades A, B e C, bem como
as estradas retilíneas que ligam as três
cidades. As distâncias entre as cidades AB, AC
e BC medem, respectivamente, 18 km, 14 km
e 16 km. No ponto P, será construído um posto
de gasolina. Se 
—
AP é bissetriz do ângulo B
^
AC, a
distância da cidade B até o posto será:
a) 7 km b) 8 km c) 9 km
d) 10 km e) 11 km 
Resolução
Do teorema da bissetriz do ângulo interno do
triângulo, temos:
= ⇒ 14x = 18 . (16 – x) ⇒ x = 9 km
Resposta: C
14
––––––
16 – x
18
–––
x
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 69
70 MATEMÁTICA
� (UnB) – Determine o valor de x, com os dados da figura
abaixo, na qual r, s e t são retas paralelas.
RESOLUÇÃO:
Do Teorema de Tales, temos:
= ⇔
⇔ (x + 20) . (x – 18) = (x + 10) . (x – 16) ⇔ x = 25
Resposta: x = 25
� (CESGRANRIO) – No triângulo ABC da figura, 
—
CD é a
bissetriz do ângulo interno de vértice C. Se AD = 3 cm, DB = 2
cm e AC = 4 cm, então o lado 
—
BC mede, em centí metros:
a) 3 b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 4 
 
RESOLUÇÃO:
De acordo com o teorema da bissetriz interna, tem-se: 
= 
Assim: = ⇔ BC = 
Resposta: D
� (FGV) – Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm, 
AB = 15 cm e BC = 14 cm.
Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o 
quociente é igual a
a) 0,3 b) 0,35 c) 0,4 d) 0,45 e) 0,5
RESOLUÇÃO:
I) No triângulo ABC fazendo BQ = x, temos:
 
= ⇒ = ⇔ 4x = 42 – 3x ⇔
 ⇔ 4x + 3x = 42 ⇔ 7x = 42 ⇔ x = 6 ⇒ BQ = 6 cm
II) No triângulo ABQ, temos:
 
= ⇒ = ⇔ = ⇔
 ⇔ = = 0,4 
Resposta: C
A B
C
D
AC
––––
AD
BC
––––
DB
4
–––
3
BC
––––
2
8
–––
3
x + 10
–––––––
x – 18
x + 20
––––––––
x – 16
8–––
3
7–––
2
5–––
2
QR
––––
AR
AB
–––––
BQ
AC
–––––
CQ
15
–––
x
20
–––––––
14 – x
AB
–––––
AR
BQ
–––––
QR
15
–––
AR
6
–––
QR
QR
–––
AR
6
–––
15
QR
–––
AR
2
–––
5
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 70
71MATEMÁTICA
1. Semelhança de triângulos
 Definição
 Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,
possuem os três ângulos ordenadamente congruentes
e os lados correspondentes proporcionais.
 A semelhança entre os triângulos ABC e PQR será
simbolicamente indicada por:
 Assim, temos:
 O número k é denominado razão de semelhança
dos triângulos.
 Se k = 1, então os triângulos são congruentes.
 Observações
 a) Para indicarmos a semelhança dos triângulos, a
escolha da ordem dos vértices do primeiro triângulo é
qual quer, porém a ordem dos vértices dosegundo obe -
dece à mesma sequência do primeiro.
 Assim, nas figuras, teremos:
 ΔABC ~ ΔPQR ou ΔCAB ~ ΔRPQ ou 
 ΔBCA ~ ΔQRP ou …
 b) Para facilitar a resolução de pro ble mas envol -
vendo semelhança, é interes san te destacar os triângulos
seme lhan tes.
2. Critérios de semelhança
 Os critérios de semelhança permitem concluir que
dois triângulos são semelhantes a partir de duas ou três
condições apenas.
 1o. Critério: (AA�)
 “Se dois triângulos possuem dois ângulos ordena da -
mente congruentes, então são semelhantes.”
 
2o. Critério: (LAL�)
 “Se dois triângulos possuem dois lados correspon -
dentes ordenadamente propor cionais e se o ângulo com -
pre endido entre esses lados for congruente, então os
triângulos são semelhantes.”
 3o. Critério: (LLL�)
 “Se dois triângulos têm os três lados correspon den -
tes ordenadamente proporcionais, então os triângulos
são semelhantes.”
 A
^ 	 P^; B^ 	 Q^; C^ 	 R^
ΔABC � ΔPQR ⇔ � AB BC AC –––– = –––– = –––– = k
 PQ QR PR
ΔABC � ΔPQR
A
^
	 P
^
 
 ⇒ ΔABC � ΔPQR
B
^
	 Q
^
 
^
B 	
^
Q
 
 ⇒ ΔABC � ΔPQRAB BC – ––– = ––––
 PQ QR
13 a 15
Palavras-chave:
Semelhança de triângulos • Ângulos congruentes
• Lados proporcionais
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 71
72 MATEMÁTICA
 
 
 Observação
 Se a razão de semelhança de dois triângulos é k,
então a razão entre dois elementos lineares corres -
pon dentes quaisquer é k.
 Exemplo 
 Se a razão de semelhança de dois triângulos é 2,
então a razão entre as medianas correspondentes é 2, a
razão entre as alturas correspondentes é 2 etc.
3. Polígonos semelhantes
 Dois polígonos são semelhantes quando possuem o
mesmo número de lados e é possível estabelecer uma
correspondência entre seus vértices tal que os ângulos
correspondentes sejam côngruos e os lados correspon -
dentes, proporcionais.
 Assim, se os polígonos das figuras são semelhan -
tes, temos:
 Observações
 a) Dois polígonos semelhantes podem ser decom -
postos no mesmo número de triângulos semelhantes.
 b) Em polígonos semelhantes, todas as medidas de
segmentos correspondentes estão na mesma razão,
que é a razão de semelhança.
 c) A razão entre os perímetros de dois polígonos
semelhantes é igual à razão de semelhança entre os polí -
gonos.
a b e
––– = ––– = … = ––– = k
a’ b’ e’
AB BC AC
–––– = –––– = –––– ⇒ ΔABC � ΔPQR
PQ QR PR
� (ETEC-SP-MODELO ENEM) – Leia o texto a seguir:
Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi também um próspero
comerciante. Certa vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa
ocasião, ele assombrou o faraó e toda a corte egípcia, medindo a altura
da pirâmide de Quéops, cuja base é um qua drado de 230 metros de
lado.
Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou ver ticalmente no solo
uma estaca que ficou com altura de 1 metro acima do solo.
As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e da sombra da
estaca são, respectivamente, 255 me tros e 2,5 metros.
(Adaptado de: JAKUBOVIC, J., CENTURION, M. e LELLIS, M.C.
Matemática na Medida Certa. Volume. São Paulo: Scipione)
Com base nas informações do texto, é válido afirmar que a altura da
pirâmide, em metros, é
a) 14,80 b) 92,50 c) 148 d) 925 e) 1 480
Resolução
Como os raios solares são paralelos, os triângulos da figura são
semelhantes.
b = 230 m ⇒ sP + = (255 + 115)m = 370 m
⇒ HP = 148 m 
Resposta: C
HP HE
–––––––––– = –––––
b sEsP + –––2
b
–––
2
HP 1,0
––––– = –––––
370 2,5
Exercícios Resolvidos – Módulos 13 a 15
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 72
73MATEMÁTICA
� (UFPR) – Em uma rua, um ônibus com 12 m de comprimento e 3
m de altura está parado a 5 m de distância da base de um semáforo, o
qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus, para um carro, cujo motorista
tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro, conforme
indica a figura abaixo. Determine a menor distância (d) que o carro
pode ficar do ônibus de modo que o motorista possa enxergar o
semáforo inteiro.
a) 13,5 m b) 14,0 m c) 14,5 m
d) 15,0 m e) 15,5 m 
Resolução
Da semelhança entre os triângulos retângulos da figura, tem-se:
= ⇔ 2d + 4 = d + 19 ⇔ 2d – d = 19 – 4 ⇔ d = 15 
Resposta: D
d + 19
–––––––
d + 2
4
––
2
� (UNESP-SP) – Um observador situado num ponto O,
localizado na margem de um rio, precisa determinar sua
distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem
atravessar o rio. Para isso, marca, com estacas, outros pontos
do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O
e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA
é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme
figura. 
A distância, em metros, do obser vador em O até o ponto P é:
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
RESOLUÇÃO:
Como 
→
OA é paralelo a 
→
BC, os triân gulos POA e PBC são se melhan -
tes e, por tanto:
= ⇒ = ⇔ PO = 50 m
Resposta: E
� (UNESP) – Um obelisco de 12 m de altura projeta,num
certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a
distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá
se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra,
para, em pé, continuar total mente na sombra.
RESOLUÇÃO:
= ⇔ 1,8 . 4,8 = 12 . (4,8 – x) ⇔ 1,8 . 0,4 = 4,8 – x ⇔
⇔ 0,72 = 4,8 – x ⇔ x = 4,08
Resposta: 4,08 m
B C
A
rio
O
P
25 m
–––––
40 m
PO
––––––––––
PO + 30 m
OA
––––
BC
PO
––––
PB
4,8 – x
–––––––
4,8
1,8
––––
12
Exercícios Propostos – Módulo 13
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 73
74 MATEMÁTICA
� Os ângulos C
^
EA e C
^
BD da figura seguinte são con gruen -
tes. Se AB = CE = 9 cm e DE = 5 cm, então a medida, em
centímetros, do segmento 
—
BC é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3���5
RESOLUÇÃO:
Os triângulos BCD e ECA são semelhantes pelo critério (AA~).
Assim:
= ⇒ = ⇔ x2 + 9x – 36 = 0 ⇒
⇒ x = 3, pois x > 0
Resposta: A 
� O gráfico mostra o número de favelas no mu -
ni cípio do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004,
considerando que a variação nesse número
entre os anos considerados é linear.
Favela Tem Memória. Época. N.o 621, 12 abr. 2010 (adaptado).
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos
próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010
é 968, então o número de favelas em 2016 será
a) menor que 1 150.
b) 218 unidades maior que em 2004.
c) maior que 1 150 e menor que 1 200.
d) 177 unidades maior que em 2010.
e) maior que 1 200.
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado, sendo x o número de favelas em
2016, temos:
x – 750 = 2 . 218 ⇒ x = 1186
Resposta: C
B
C D E
A
4
––––––
x + 9
x
–––
9
CD
––––
CA
BC
––––
EC
750
968
2004 2010 2016
x
218
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 74
75MATEMÁTICA
� (MACKENZIE) – Na figura, ABCD é um quadrado inscrito no
triângulo EFG. Se a medida de 
—
FG é 10, o perímetro do
quadrado é:
a) 20 b) 15 c) 18 d) 16 e) 17
RESOLUÇÃO:
ABCD é um quadrado ⇒
→
AD // 
→
BC ⇒ ΔEAD � ΔEFG ⇒
⇒ = ⇔ 60 – 10x = 6x ⇔ x = .
Assim sendo, o perímetro do quadrado ABCD é:
4x = 4 . = 15 
Resposta: B
� (FUVEST-SP) – O triângulo ABC tem altura h e base b (ver
figura). Nele está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o
dobro da altura. Nessas condições, a altura do retân gulo, em
função de h e b, é dada pela fórmula:
a) b) c) 
d) e) 
RESOLUÇÃO:
Os triângulos ABC e ADG são semelhantes pelo critério (AA~).
Assim, suas bases e suas alturas são, respectiva mente, propor -
cionais.
Logo,= ⇔ 2hx = bh – bx ⇔
⇔ (2h + b) x = bh ⇔
Resposta: D
6 – x
–––––
6
x
–––
10
15
–––
4
15
–––
4
bh
––––––
h + b
2bh
––––––
h + b
bh
–––––––
h + 2b
bh
––––––
2h + b
bh
–––––––
2(h + b)
2x
––––
b
h – x
––––––
h
b h
x = ––––––
2h + b
Exercícios Propostos – Módulo 14
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 75
76 MATEMÁTICA
� A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m
de altura me de 60 cm. No mesmo
momento, a seu lado, a sombra projetada
de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste
diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm 
d) 80 cm e) 90 cm
RESOLUÇÃO:
No instante em que a sombra de uma pessoa (que tem 180 cm de
altura) mede 60 cm, a sombra de um poste (que tem h cm de
altura) mede 200 cm.
Assim sendo:
Se, mais tarde, a sombra do poste (que tem 600 cm de altura) pas -
sou a medir 150 cm (pois diminuiu 50 cm), en tão, sendo s cm a
medida da nova sombra da mes ma pessoa, teremos:
Resposta: B
� A rampa de um hospital tem na sua parte mais
elevada uma altura de 2,2 metros. Um
paciente ao caminhar sobre a rampa percebe
que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8
metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar
para atin gir o ponto mais alto da rampa é
a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.
RESOLUÇÃO:
Da semelhança entre os triângulos ABD e ACE, pode-se concluir
que:
=
Assim:
= ⇔ 3,2 + x = 8,8 ⇔ x = 5,6
Portanto, a distância que o paciente ainda deve caminhar para
atingir o ponto mais alto da rampa é 5,6 metros.
Resposta: D
AB
––––
AC
BD
––––
CE
3,2
––––––––
3,2 + x
0,8
––––
2,2
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 76
77MATEMÁTICA
� (FGV) – Dados AB = 18 cm, AE = 36 cm e DF = 8 cm, e
sendo o quadrilátero ABCD um paralelogramo, o com pri mento
de BC, em cm, é igual a
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 30
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado temos:
^
A 	
^
C, C
^
BF 	 D
^
EF e CF = 10 cm, pois CD = 18 cm e DF = 8 cm.
Os triângulos ABE e CFB são semelhantes, e portanto
= ⇒ = ⇔ BC = 20 cm
Resposta: A
10 cm
––––––––
18 cm
BC
––––––––
36 cm
CF
–––––
AB
BC
–––––
EA
� (UNESP) – Na figura, B é um ponto do segmento de reta
––
AC e os ângulos D
^
AB, D
^
BE e B
^
CE são retos.
Se AD = 6 dm, AC = 11 dm e EC = 3 dm, as medidas possíveis
de 
––
AB, em dm, são:
a) 4,5 e 6,5. b) 7,5 e 3,5. c) 8 e 3.
d) 7 e 4. e) 9 e 2.
RESOLUÇÃO:
Os triângulos ABD e CEB são semelhantes pelo critério (AA~).
Assim:
= ⇒ = ⇔ x2 – 11x + 18 = 0 ⇔ x = 9 ou x = 2.
Resposta: E
A B C
D
E
AB
–––
CE
AD
–––
CB
x
––
3
6
––––––
11 – x
Exercícios Propostos – Módulo 15
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 77
78 MATEMÁTICA
� As diagonais AC
–––
e BD
–––
de um quadrilátero medem,
respectivamente, 8 cm e 12 cm. O perímetro do quadri látero
com extremos nos pontos médios dos lados do quadrilátero
ABCD é:
a) 12 cm b) 16 cm c) 20 cm 
d) 24 cm e) 28 cm
RESOLUÇÃO:
⇒ 2p = PQ + RS + SP + RQ = AC + DB = 12 + 8 = 20
Resposta: C
 
� O dono de um sítio pretende colocar uma
haste de sustentação para melhor firmar dois
postes de com primentos iguais a 6 m e 4 m.
A figura representa a situa ção real na qual os postes são
descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada
pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é
indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC
representam cabos de aço que serão instalados. 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m b) 2 m c) 2,4 m 
d) 3 m e) 2 ��6 m
RESOLUÇÃO:
I) Da semelhança dos triângulos AEF e ADB, temos:
 
=
II) Da semelhança dos triângulos BEF e BCA, temos:
 
=
III)De (I) e (II), temos:
+ = + ⇒ + = 1 ⇔ EF = 2,4 
Resposta: C
� Num triângulo ABC, retângulo em A, os catetos medem 3
cm e 6 cm. A medida do raio da circun ferência, com centro na
hipotenusa e tangente aos catetos do triângulo, é:
a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm 
d) 2,5 cm e) 3 cm 
RESOLUÇÃO:
ΔCDO ~ ΔCAB (AA~)
= ⇒ = ⇔R = 6 – 2R ⇔ R = 2 
Logo, o raio mede 2 cm.
Resposta: C
EF
––––
4
EF
––––
6
FB
––––
AB
AF
––––
AB
EF
–––
4
EF
–––
6
⇒
 AC
 PQ = ––––
Δ PBQ ~ Δ ABC 2
 
 ⇒Δ SDR ~ Δ ADC AC
 SR = ––––
 2
 DB
 SP = ––––
Δ RCQ ~ Δ DCB 2
 
 ⇒Δ SAP ~ Δ DAB DB
 RQ = ––––
 2
I.
II.
AF
––––
AB
EF
––––
6
FB
––––
AB
EF
––––
4
R
––––
6
3 – R
–––––––
3
DO
––––
AB
CD
––––
CA
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 78
79MATEMÁTICA
1. Projeção 
ortogonal de um segmento
 Dados um segmento de reta AB
––
e uma reta r, cha -
ma-se projeção ortogonal de AB
––
sobre r o segmento de
reta A’B’
—
determinado pela inter secção da reta r com as
re tas que passam pelos pontos A e B e são perpendi -
culares a r.
2. Elementos de 
um triângulo retângulo
 No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
 • A, B, e C são vértices;
 • a é a medida da hipotenusa BC
–––
;
 • b e c são as medidas dos catetos AC
––
e AB
––
,
respec ti vamente;
 • h é a medida da altura AH
––
relativa à hipotenusa;
 • m é a medida da projeção ortogonal BH
–––
do cate -
to AB
––
sobre a hipotenusa;
 • n é a medida da projeção ortogonal CH
––
do cateto
AC
––
sobre a hipotenusa.
3. Relações métricas 
num triângulo retângulo
 No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
 a) ΔAHB � ΔCAB pelo critério (AA�), pois o ân gulo
B
^
é comum e AH
^
B = CA
^
B = 90°.
 b) ΔAHC � ΔBAC pelo critério (AA�), pois o ân gulo 
C
^
é comum e AH
^
C = BA
^
C = 90°.
 Da semelhança dos triângulos, obtêm-se as seguin -
tes relações:
 1) O quadrado da medida de um cateto é igual ao
produto da medida da hipote nusa pela medida da
pro jeção ortogonal deste ca te to sobre a hipotenusa
(Relação de Euclides).
 Assim, temos:
e 
 Demonstrações
 
 2) Num triângulo retângulo, o qua drado da me -
dida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
das me di das dos catetos (Teorema de Pitágoras).
c2 = a . m b2 = a . n
II) ΔAHC � ΔBAC
AC CH
–––– = ––––
BC CA
b n
––– = –––
a b
b2 = a . n
I) ΔAHB � ΔCAB
AB BH
–––– = ––––
CB BA
c m
––– = –––
a c
c2 = a . m
16
Palavras-chave:Relações métricas nos
triângulos (Pitágoras)
• Pitágoras
• Altura
• Projeções
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 79
80 MATEMÁTICA
 Assim, temos:
 
 Demonstração
 Vamos somar membro a membro as Relações de
Euclides obtidas anteriormente.
 3) O quadrado da medida da altura relativa à
hipo tenusa é igual ao produto das medidas das pro -
jeções dos catetos sobre a hipotenusa.
 Assim, temos:
Demonstração
 4) O produto da medida da hipo te nusa pela me -
dida da altura relativa à hipo tenusa é igual ao pro du -
to das medi das dos catetos.
 Assim, temos:
 Demonstração
 HA AB
 ΔHAB � ΔACB ⇔ –––– = –––– ⇔
 AC CB
h c
 ⇔ –– = –– ⇔ a . h = b . c
b a
a . h = b . c
 AHHB
 ΔAHB � ΔCHA ⇔ –––– = –––– ⇔
 CH HA
h m
 ⇔ ––– = ––– ⇔ h2 = m . n
n h
h2 = m . n
 c2 = a . m + � b2 = a . n
 
–––––––––––––––
 b2 + c2 = a . m + a . n ⇔ b2 + c2 = a . (m + n) ⇔
 ⇔ b2 + c2 = a . a ⇔ a2 = b2 + c2
a2 = b2 + c2
� (MACKENZIE) – Considere um poste perpen di cular ao plano do
chão. Uma aranha está no chão, a 2 m do poste, e começa a se
aproximar dele no mes mo instante em que uma formiga começa a
subir no poste. A velocidade da aranha é de 16 cm por segundo e a da
formiga é de 10 cm por segundo. Após 5 segundos do início dos
movimentos, a menor distância entre a aranha e a formiga é:
a) 2,0 m b) 1,3 m c) 1,5 m d) 2,2 m e) 1,8 m
Resolução
Após 5 segundos, a aranha andou 16 cm . 5 = 80 cm = 0,8 m e está a
1,2 m do poste.
Após os mesmos 5 segundos, a formiga subiu 10 cm . 5 = 50 cm = 0,5 m
do solo. 
Nesse instante, a menor distância entre a aranha e a formiga é dada
pela hipotenusa 
—
AF do triângulo AFP. 
Assim sendo, AF2 = AP2 + PF2 ⇒ AF2 = 1,22 + 0,52 ⇔ AF = 1,3 m
Resposta: B
� Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura
quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima
da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a
uma distância de 3 m da base dele. A que altura do solo se quebrou o
poste?
a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m
Resolução
x2 + 32 = (9 – x)2 ⇔ x2 + 9 = 81 – 18x + x2 ⇔ x = 4
Resposta: A
� (ENERJ) – Entre duas torres de 13 m e 37 m de altura existe na
base uma distância de 70 m. Qual é a distância entre os extremos
superiores das torres, sabendo-se que o terreno é plano?
Resolução
Sendo x, a distância em metros, dos extremos superiores dessas
torres, de acordo com o teorema de Pitágoras tem-se:
x2 = 702 + 242 ⇔ x2 = 5476 ⇒ x = 74, pois x > 0
Resposta: 74 m
Exercícios Resolvidos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 80
81MATEMÁTICA
� Sendo retângulos os triângulos das figuras, deter mine os
valores de x, y e z.
a) 
RESOLUÇÃO:
x2 = 52 + 122 = 169 ⇔ x = 13
b) 
RESOLUÇÃO:
122 = y . 24 ⇔ y = 6
c) 
RESOLUÇÃO:
z2 = 16 . 25 ⇔ z = ���������� 16 . 25 ⇔ z = 4 . 5 ⇔ z = 20
� 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com
5 degraus de mesma altura, o com primento total do corrimão
é igual a
a) 1,8 m b) 1,9 m c) 2,0 m
d) 2,1 m e) 2,2 m
RESOLUÇÃO:
No triângulo ABC da figura, temos:
x2 = 902 + 1202 ⇔ x = 150
O comprimento do corrimão é PC + CB + BR e, portanto, 
30 cm + 150 cm + 30 cm = 210 cm = 2,1 m
Resposta: D
Exercícios Propostos
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 81
82 MATEMÁTICA
� A bocha é um esporte jogado em canchas,
que são ter renos planos e nivelados, limitados
por tablados peri métricos de madeira. O obje -
tivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um
material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível
do bolim, que é uma bola menor feita, preferen cial mente, de
aço, previa mente lançada.
A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em
uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma
bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de
raio 2 cm, conforme ilustra a figura 2
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O
como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são pontos em que
a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha,
e que a distância entre A e B é igual a d.
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?
a) 1 b) c) d) 2 e) ���1�0
RESOLUÇÃO:
Na figura as medidas estão em centímetros
No triângulo retângulo CEQ, retângulo em E, temos 
CE2 + EQ2 = CO2 ⇔ 32 + d2 = 72 ⇔ d2 = 40 ⇔ d = 2�����10. 
A razão entre d e o raio do bolim é
= = �����10
Resposta: E
2���1�0
–––––––
5
���1�0
–––––
2
C
O
A B
5
d
3
E
5
2
2
d
2�����10
––––––––
2
d
––––
OB
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 82
83MATEMÁTICA
� (UNICAMP) – Considere que o quadrado ABCD, repre -
sentado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 
1 cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequen -
temente, a distância entre os pontos D e E será igual a
a) ���3 cm. b) 2 cm. c) ���5 cm. d) ���6 cm.
RESOLUÇÃO
De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura
I) AC = CE = 1���2 cm, pois esses segmentos são diagonais dos
quadrados de lado 1 cm.
II) No triângulo retângulo EDF, temos:
 (DE)2 = (DF)2 + (EF)2 ⇒ (DE)2 = 22 + 12 ⇒ DE = ���5 cm
Resposta: C
A B
CD
E
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 83
84 MATEMÁTICA
1. Introdução
 Em geometria plana, estamos interessados em
saber as relações que existem entre lados, ângulos,
áreas e propriedades das figuras planas. Em geometria
analítica, estamos interessados, além do que foi
citado anteriormente, nas posições dos pontos e das
figuras. Para isso, precisamos de um sistema de
localização que é, exatamente, o primeiro assunto que
iremos abordar.
2. Alguns sistemas de localização:
 2.1. Batalha naval.
 Este é um sistema muito simples e fácil em que um
dos eixos é identificado por números e o outro por letras.
A quantidade de cada um deles pode variar dependendo
de quem fez o jogo. No exemplo a seguir, os números
vão de 1 a 10 e as letras de A a J. 
 É intuitivo localizar os pontos nesse sistema e
também que a localização F5 é a mesma que 5F.
Módulos
1 – Sistemas de localização e 
sistema cartesiano ortogonal
2 – Sistemas de localização e sistema cartesiano ortogonal
3 – Distância entre dois pontos e ponto médio
4 – Distância entre dois pontos e ponto médio
5 – Estudo da Reta
6 – Estudo da Reta
7 – Estudo da Reta
8 – Área do triângulo e condição de alinhamento.
GEOMETRIA ANALÍTICA
1 e 2
Palavras-chave:
Sistemas de localização e 
sistema cartesiano ortogonal
• Localização 
• Coordenadas
• Plano Cartesiano
C1_2AMAT_Rose_2022 10/12/2021 09:51 Página 84
85MATEMÁTICA
 Esse sistema (letra e número) é muito usado em
mapas de livros escolares e em mapas de guias
turisticos. 
2.2.Coordenadas Geográficas
 Por haver a necessidade de novas formas de
orientação e, mais precisamente, novas formas de
localização na superfície terrestre, a conscientização do
espaço terrestre expandiu-se em grande escala. 
 Atendendo a essa necessidade, surgiram as
Coordenadas Geográficas, uma forma matemática de
se determinar a localização de pontos e acidentes
geográficos na superfície da Terra. 
 Seu sistema simples de localização é utilizado pelas
pessoas no dia a dia, quando necessitam localizar
cidades de um país ou mesmo ruas de uma cidade. Num
nível mais elevado, o sistema de coordenadas pode até
contar com o sistema GPS (Global Positioning System).
 Para determinarmos as coordenadas de uma
localidade, utilizamos os paralelos e os meridianos que
constituem, respectivamente, a latitude e a longitude.
 Os meridianos são as linhas imaginárias traçadas de
polo a polo, servindo para determinar a longitude. O
meridiano principal é o de 0°, chamado Meridiano de
Greenwich, que divide a Terra em dois Hemisférios:
Ocidental e Oriental.
 Os paralelos são as linhas imaginárias traçadas
paralelamente ao equador, servindo para determinar a
latitude. Equador é o círculo máximo que divide a Terra
em dois Hemisférios: Norte e Sul.
 A latitude de um ponto da superfície terrestre é a
medida angular do arco de meridiano entre o equador e
o ponto que indica o lugar. Pode ser medida para norte e
para sul do equador, entre 0° e 90°.
 A longitude de um ponto da superfície terrestre é o
ângulo medido ao longo do equador entre o meridiano de
Greenwich (por convenção) e o meridiano que passa por
esse lugar. Pode ser medida para Leste e para Oeste do
meridiano de Greenwich, entre 0° e 180°.
 As coordenadas geográficas referem-seao
conjunto de linhas imaginárias traçadas sobre a
superfície terrestre, tendo por finalidade a
localização dos acidentes geográficos.
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 20/06/2022 14:41 Página 85
86 MATEMÁTICA
 2.3 Observações
 a) Existem outras formas de localização como a
“rosa dos ventos”, que utiliza os pontos cardeais, e o
“sistema gps” que é muito utilizado, atualmente, pelos
con dutores de veículos para localizar qualquer tipo de
endereço. 
 b) Os sistemas que utilizamos em matemática e que
apresentaremos na sequência são, porém, o “sistema
cartesiano ortogonal” e o “sistema polar”.
 c) Você sabia que no Brasil é comum as cidades
terem um local considerado o “zero” da cidade? Em São
Paulo – SP, por exemplo, o marco zero se encontra na
Praça da Sé. Isso significa que, em geral, as ruas e
avenidas terão a numeração mais baixa próximo ao local.
3. O sistema cartesiano ortogonal
 Coordenadas cartesianas ortogonais
 Seja α o plano determinado por dois eixos Ox
→
e Oy
→
perpendiculares em O.
 Considere um ponto P qual quer do plano e conduza
por ele as paralelas aos eixos, que cortarão Ox→ e Oy→ ,
respec tivamente, em P1 e P2.
 Escolhida uma unidade (em geral a mesma sobre os
dois eixos), adota-se a seguinte nomenclatura:
 a) Abscissa de P é o número real xp = OP1
 b) Ordenada de P é o número real yp = OP2
 c) Coordenadas de P são os números reais xp e yp
indicados na forma (xp; yp) de um par ordenado.
 d) O eixo dos x ou Ox→ será chamado eixo das abs -
cissas.
 e) O eixo dos y ou Oy→ será chamado eixo das or -
denadas.
 f) O plano formado pelo par de eixos Ox
→
e Oy
→
será
chamado plano cartesiano.
 g) O sistema de eixos formados por Ox→ e Oy→ é cha -
mado sistema cartesiano ortogonal.
 h) O ponto O é a origem do sistema cartesiano or -
to gonal.
 a) Posição de um ponto no sistema
cartesiano ortogonal
 Os eixos Ox
→
e Oy
→
determinam, no plano cartesiano,
quatro regiões angulares que serão denominadas qua -
drantes.
 Observe que:
 a) Um ponto pertence ao 1o. quadrante se, e 
so men te se, tiver a abscissa e a ordenada positivas.
Sim bolicamente:
 b) Um ponto pertence ao 2o. quadrante se, e 
so mente se, tem a abscissa negativa e a ordenada po -
sitiva. Simbolicamente:
P ∈ 1o. quadrante ⇔ xP > 0 e yP > 0
Q ∈ 2o. quadrante ⇔ x
Q
< 0 e y
Q
> 0
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 86
87MATEMÁTICA
 c) Um ponto pertence ao 3o. quadrante se, e 
so mente se, tem a abscissa e a ordenada negativas.
Sim bo licamente:
 d) Um ponto pertence ao 4o. quadrante se, e
somente se, tem abscissa positiva e ordenada
negativa. Simbolicamente:
 e) Um ponto pertence ao eixo das abscissas se, e
somente se, tem ordenada nula. Simbolicamente:
 f) Um ponto pertence ao eixo das ordenadas se, e
somente se, tem abscissa nula. Simbolicamente:
 g) A origem O do sistema cartesiano ortogonal tem
abscissa e ordenada nulas. Simbolicamente:
 h) Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ím -
pares se, e somente se, a abscissa e a ordenada são
iguais. Simbolicamente:
 i) Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes pares
se, e somente se, a abscissa e a ordenada são simé -
tricas. Simbolicamente:
 b) Segmento paralelo ao eixo das
abscissas
 Dados dois pontos A (xA; yA) e B (xB; yB) distintos, o
segmento de reta 
—
AB é paralelo ao eixo das abscissas
se, e somente se, A e B têm a mesma ordenada. Sim -
bolicamente:
R ∈ 3o. quadrante ⇔ xR < 0 e yR < 0
S ∈ 4.o quadrante ⇔ xS > 0 e yS < 0
A ∈ Ox
→
⇔ y
A
= 0
B ∈ Oy
→
⇔ xB = 0
O é a origem ⇔ xO = yO = 0
M ∈ bissetriz do 1o. e 3o. quadrantes ⇔ xM = yM
N ∈ bissetriz do 2o. e 4o. quadrantes ⇔ xN = – yN
AB
––
// Ox
→
⇔ y
A
= y
B
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 87
88 MATEMÁTICA
 A medida do segmento 
—
AB é dada pelo módulo da
diferença das abscissas dos pontos A e B.
 c) Segmento paralelo ao 
eixo das ordenadas
 Dados dois pontos C (xC; yC) e D (xD; yD) distintos, o
segmento de reta 
—
CD é paralelo ao eixo das ordenadas
se, e somente se, C e D têm a mesma abscissa.
Simbolicamente:
 A medida do segmento 
—
CD é dada pelo módulo da
diferença das ordenadas dos pontos C e D.
4. Coordenadas Polares
 Podemos determinar pontos no plano CARTESIANO
utilizando como referência a distancia do ponto até a
origem (ρ) e o ângulo medido a partir do semi-eixo
positivo x, no sentido anti-horário (θ). A posição do ponto
será, pois, representada pelo par ordenado (ρ, θ). Confira
os exemplos abaixo:
CD = � yD – yC �
CD
—
// Oy
→
⇔ xC = xD
AB = � xB – xA �
� Rafael e Bruno estão jogando iniciando uma partida de batalha naval. Eles escolheram os navios e porta aviões nas seguintes
posições:
Exercícios Propostos – Módulo 1
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 17:02 Página 88
89MATEMÁTICA
Rafael fala os pontos 2F, 5B e 7H e, em seguida, Bruno fala os
pontos 5G, 1A e 10J. Qual deles acertou mais navios do
adversário?
RESOLUÇÃO:
Portanto, Rafael não acertou nenhum navio, enquanto Bruno
acertou um navio de Rafael. Logo, Bruno acertou mais navios.
� Assinale a alternativa que apresenta as coordenadas
geográficas corretamente relacionadas:
a) A: Lat = 50°S; Long = 150°W. 
b) B: Lat = 60°N; Long = 0°. 
c) C: Lat = 30°S; Long = 180°E.
d) D: Lat = 20°N; Long = 120°E. 
e) E: Lat = 20°S; Long = 30°N.
RESOLUÇÃO: 
As coordenadas de A são, respectivamente, 40°S e 120°E; as
coordendas de B, 60°N e 0° EeW; as coordenadas de C, 40°S, 180°E
e W; as coordenadas de D, 30°N e 90°W; as coordenadas de E, 10°S
e 30°E.
Resposta: B
Lembre que as letras utilizadas estão em inglês, sendo Norte –
North – N, Sul – South – S, Leste – East – E, Oeste – West – W
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 09:12 Página 89
90 MATEMÁTICA
�
Qual das opções indica correta e respectivamente as coorde nadas geográficas das cidades localizadas no ponto A e no ponto B, de
acordo com o mapa acima?
a) 40° Lat N / 140° Long W e 20° Lat S / 140° LONG E. b) 40° Lat N / 140° Long W e 20° Lat N / 140° LONG W.
c) 40° Lat S / 140° Long W e 20° Lat S / 140° LONG E. d) 40° Lat N / 120° Long W e 20° Lat S / 140° LONG W.
e) 40° Lat N / 120° Long L e 20° Lat N / 140° LONG W.
Resposta: A
� (FGV – Técnico IGE (IBGE)) – Paralelos e meridianos são
linhas imaginárias que permitem localizar qualquer ponto na
superfície terrestre. Essas linhas determinam dois tipos de
coordenada: latitude e longitude. O mapa abaixo apresenta
cinco pontos, localizados em coordenadas diferentes e
representados pelas letras A, B, C, D e E.
A partir da figura acima e com base no sistema de coor -
denadas, é correto afirmar que:
a) o ponto A está localizado a 40° de latitude oeste e a 80° de
longitude norte;
b) o ponto B está localizado a 20° de latitude sul e a 20° de
longitude oeste;
c) o ponto C está localizado a 60° de latitude norte e a 40° de
longitude leste;
d) o ponto D está localizado a 20° de latitude norte e a 20° de
longitude oeste;
e) o ponto E está localizado a 40° de latitude leste e a 100° de
longitude leste.
Resposta: C
� A figura representa o globo terrestre e nela
estão marca dos os pontos A, B e C. Os
pontos A e B estão localizados sobre um
mesmo parale|o, e os pontos B e C, sobre um mesmo meri -
diano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superficie
do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se
dê sobre o parale|o que passa por A e B e, o trecho de B até C
se dê sobre o meridiano que passa por B e C. 
Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura.
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 08:54 Página 90
91MATEMÁTICA
A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo
pode ser representada por
RESOLUÇÃO:
Sabemos que:
I) A projeção ortogonal de uma parte de um paralelo sobre o 
plano α, paralelo ao plano equatorial é um arco de circunferência.II) A projeção ortogonal de uma parte de um meridiano sobre o
mesmo plano α é um segmento de reta.
 Consideremos o ponto D, intersecção entre o meridiano e a
linha do equador. Assim, a projeção ortogonal, do caminho
traçado no globo pode ser representado por:
Resposta: E
A
C
B
D
�
� Representar no sistema de eixos cartesianos ortogo nais
os pontos:
A (4; 3); B (–1; 3); C (– 3; – 4);
D (4; – 2); E (2, 0); F (0; 4);
G(1; 1); H(– 2; 2)
RESOLUÇÃO: 
Sr. Professor, aproveite os pontos E, F, G e H para comentar sobre
as localizações importantes, sendo elas: eixo x, eixo y, bissetriz
dos quadrantes ímpares, bissetriz dos quadrantes pares. 
Exercícios Propostos – Módulo 2
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 17:02 Página 91
92 MATEMÁTICA
� O gráfico mostra o início da trajetória de um
robô que parte do ponto A (2 ; 0), movimen -
tando-se para cima ou para a direita, com
velocidade de uma unidade de comprimento por segundo, no
plano cartesiano.
O gráfico exemplifica uma trajetória desse robô, durante 6
segundos.
Supondo que esse robô continue essa mesma trajetória, qual
será sua coordenada, após 18 segundos de caminhada, con -
tando o tempo a partir do ponto A?
a) (0 ; 18) b) (18 ; 2) c) (18 ; 0)
d) (14 ; 6) e) (6 ; 14)
RESOLUÇÃO:
1) A cada 6 segundos o robô se movimenta “4 vezes para direita”
e “2 vezes para cima”.
2) A posição inicial, no ponto A, é (2; 0).
3) Após 6 segundos a posição será (6; 2).
4) Após 12 segundos a posição será (10; 4).
5) Após 18 segundos a posição será (14; 6).
6) Interpretando “a sua coordenada” como “as suas coor -
denadas” a resposta é d.
Resposta: D
� Devido ao aumento do fluxo de passageiros,
uma empresa de transporte coletivo urbano
está fazendo estudos para a implantação de
um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura
mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um
ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos
de parada, representados por P e Q. 
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado,
nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo
que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos 
P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. 
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de
parada são 
a) (290; 20). b) (410;0). c) (410; 20). 
d) (440; 0). e) (440; 20). 
RESOLUÇÃO:
Adotando o sistema de coordenadas ortogonais dado, temos: 
P(30; 20) e Q(550; 320).
A distância percorrida pelo ônibus entre as paradas P e Q, pelo
per curso indicado no enunciado, é: 
(550 – 30) + (320 – 20) = 820.
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 92
93MATEMÁTICA
O novo ponto T deve ser instalado nesse percurso e a distância
per corrida entre os pontos P e T deve ser igual a = 410,
assim, o ponto T é (30 + 410; 20) = (440; 20)
Resposta: E
� (FATEC) – No plano cartesiano da figura, considere que as
escalas nos dois eixos coordenados são iguais e que a unidade
de medida linear é 1 cm. Nele, está representada parte de uma
linha poligonal que começa no ponto P(0; 3) e, mantendo-se o
mesmo padrão, termina em um ponto Q.
Sabendo que o comprimento da linha poligonal, do ponto P até
o ponto Q, é igual a 94 cm, as coordenadas do ponto Q são
a) (25; 2) b) (28; 1) c) (32; 1)
d) (33; 1) e) (34; 2)
RESOLUÇÃO:
Observemos que do ponto P ao R (onde o ciclo recomeça), do R ao
S, do S ao T, etc. existem sempre 12 segmentos. Cada ciclo ocupa
quatro unidades do eixo das abscissas (do 0 ao 4, do 4 ao 8, 
do 8 a 12, …).
Como 94 = 12 x 7 + 10 e 7 x 4 = 28, até o ponto U(28; 3) teremos
84 unidades. Dez unidades adiante chega-se no ponto Q(32; 1).
Resposta: C
820
–––––
2
Na figura, a linha poligonal é formada por segmentos de reta
• que são paralelos aos eixos coordenados e
• cujas extremidades têm coordenadas inteiras não
negativas.
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 93
94 MATEMÁTICA
3 e 4
Palavras-chave:
Distância entre dois 
pontos e ponto médio
• Trajeto
• Pitágoras
• Média
1. Introdução
 1.1. Já aprendemos a localizar pontos
em um plano cartesiano. Vamos, agora,
pensar em relações que podemos
estabelecer entre eles. A primeira é a
distância entre dois pontos. Para isso
devemos pensar, inicial mente, nos
possíveis trajetos para ir de um ponto até
o outro. Observe os exemplos!
 Exemplo 1
 O trajeto de a até b e formado por
segmentos horizontais e verticais. Essa
poderia ser considerada a “distância”
entre os pontos, em uma situação real,
em um bairro onde os quarteirões
fossem quadriculados, como ilustra a
imagem a seguir da cidade de Jales – SP.
 Esse conceito de distância será trabalhado com mais atenção em
módulos posteriores, onde iremos estudar a “geometria do taxista”.
 Exemplo 2
 
 Consideremos o trajeto de a até b
como sendo um arco de circun -
ferência. É o que acontece quando
calculamos a “distância” entre dois
pontos do globo terrestre; temos que
considerar a curvatura da terra. 
 Observe as imagens!
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 94
95MATEMÁTICA
 Exemplo 3
 O trajeto entre os pontos A e B é o segmento de
reta que os une. Não havendo restrições geográficas,
como as citadas nos outros exemplos, esse sempre será
o trajeto mais curto entre os dois pontos. A medida do
segmento AB é a distância entre A e B.
 1.2. A imagem abaixo é um trecho da Rodovia
Dutra localizado na cidade de Guarulhos. note que no
trecho indicado, a rodovia pode ser representada por
uma reta.
 Considere que dois amigos estão localizados nos
pontos A e B dessa rodovia e pretendem se encontrar
em um local que esteja à mesma distância para ambos.
O local do encontro é o ponto medio do segmento AB.
Obter esse ponto medio é a segunda relação entre
pontos que iremos aprender.
2. Distância entre dois pontos
 Dados dois pontos A (xA; yA) e B (xB; yB) distintos,
para calcularmos a distância entre os pontos A e B,
vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC
da figura.
 A distância entre os pontos A e B será indicada por
dAB.
 Assim, temos: (dAB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2 e,
portanto, 
 Ponto Médio de um Segmento
 Dados os pontos A (xA; yA) e B (xB; yB) com A ≠ B,
as coordenadas do ponto M, médio de 
—
AB, são obtidas
aplicando-se o Teorema de Tales, na figura abaixo.
 I) Como 
↔
MN // 
↔
BC, temos:
 AM = MB ⇔ AN = NC ⇔ xM – xA = xB – xM ⇔
 
⇔ 2xM = xA + xB ⇔ 
 
 II) Como 
↔
MP // 
↔
AC, temos:
 AM = MB ⇔ CP = PB ⇔ yM – yA = yB – yM ⇔
 
⇔ 2yM = yA + yB ⇔ 
 Assim, temos:
 
 É importante notar que:
 a) A abscissa do ponto médio de 
—
AB é a média
aritmética das abscissas dos pontos A e B.
 b) A ordenada do ponto médio de 
—
AB é a média
aritmética das ordenadas dos pontos A e B.
dAB = �����������������������(xB – xA)2 + (yB – yA)2
xA + xB
xM = ––––––––––
 2
yA + yB
yM = ––––––––––
 2
xA + xB yA + yB
M�–––––––––; –––––––––� 2 2
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:39 Página 95
96 MATEMÁTICA
� Localize os pontos A(2; 1), B(5; 5) e C(5; 1) no plano car -
tesiano abaixo e, em seguida, calcule:
a) A distância entre A e C
RESOLUÇÃO:
dAC = 5 – 2 = 3
Sr. Professor, se preferir comente que podemos usar o módulo
para que a ordem não importe ou podemos pensar como o 
x maior menos o x menor.
b) A distância entre B e C.
RESOLUÇÃO:
dBC = 5 – 1 = 4
c) A distância entre A e B.
RESOLUÇÃO:
dAB = ���������� 32 + 42 = ��������� 9 + 16 = ����25 = 5
d) Utilize as contas realizadas nos itens A e B paraescrever,
em uma única equação, a distância entre A e B.
RESOLUÇÃO:
dAB = ����������������������� (5 – 2)2 + (5 – 1)2 = ��������� 9 + 16 = ����25 = 5
e) Tente fazer o mesmo com dois pontos genéricos, sendo
eles A(xA; yA) e B(xB; yB).
RESOLUÇÃO:
dAB = ��������������������������(xB – xA)2 + (yB – yA)2
� (UEL) – Suponha que Cassi Jones, para se exibir e
conquistar paixões, estima o comprimento de uma estrada que
marca a fronteira entre dois países. Para isso, supõe que essa
divisa esteja contida em um plano munido de um referencial de
coordenadas cartesianas de origem O. Na sequência, ele
escolhe quatro pontos A, B, C, D na fronteira, calcula suas
coordenadas com base nesse sistema cartesiano e os conecta
por três segmentos de reta de modo a criar a poligonal de
vértices A, B, C, D, conforme imagem a seguir.
Sabendo que Cassi calcula o comprimento da poligonal para
estimar o comprimento desejado, assinale a alternativa que
apresenta o número obtido, corretamente, por ele.
a) 30 b) 3�����19
c) ������122 + 1 + ������137 d) ����82 + ���5 + ������173
e) ����34 + ����65 + ����73 
RESOLUÇÃO:
dAB = ������������������������������ (– 2 – 1)2 + (– 3 – (– 8))2
dAB = ���������������(–3)2 + (5)2 = ��������� 9 + 25 = ����34 
dBC = ��������������������������� (2 – (2))2 + (4 – (–3))2
dBC = ��������������(4)2 + (7)2 = �����������16 + 49 = ����65
dCD = ������������������������(– 6 –2)2 + (7 – 4)2
dCD = ���������������(–8)2 + (3)2 = ��������� 64 + 9 = ����73
Logo, o número obtido por ele foi ����34 + ����65 + ����73
Exercícios Propostos – Módulo 3
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 96
97MATEMÁTICA
� (UFT) – A Universidade Federal do Tocantins possui 7
Campi espalhados pelo Estado, conforme indicados no mapa a
seguir:
Estes Campi possuem localização aproximada, conforme
indicação no mapa, em que a fixação pontual de um Campus
está relacionada com a malha quadriculada de coordenadas
indicadas neste mapa, onde cada quadrado unitário desta
malha tem 212 km de perímetro. 
Baseando-se nas informações apresentadas pode-se afirmar
que:
I. a distância (em linha reta) do Campus de Palmas até o
Campus de Araguaína é de aproximadamente 371 km.
II. a distância (em linha reta) do Campus de Palmas até o
Campus de Miracema é de aproximadamente ��������� 2.809 km.
III. a distância (em linha reta) do Campus de Palmas até o
Campus de Araguaína é de aproximadamente 318 km.
IV. a distância (em linha reta) do Campus de Palmas até o
Campus de Miracema é de aproximadamente ��������� 5.618 km.
Assim, conclui-se que: 
a) apenas III e IV são corretas
b) apenas I e IV são corretas
c) apenas I e II são corretas
d) apenas II e III são corretas
e) todas são afirmações falsas
RESOLUÇÃO:
Como o perímetro de cada quadrado é 212km, o lado do quadrado 
da malha mede = 53km.
A distância do Campus de Palmas até o Campus de Araguaiúna é
7 . 53 = 371km. Portanto a afirmação I é verdadeira e a afirmação
III é falsa.
A distância do Campus de Palmas até o Campus de Miracema é
�������������532 + 532 = �����������������2809 + 2809 = �������� 5618
Portanto, a afirmação IV é verdadeira e a afirmação II é falsa.
Sr. Professor, utilize essa questão para comentar que podemos
utilizar o teorema de Pitágoras em situações que já temos o plano
cartesiano desenhado ou uma malha quadriculada, caso seja mais
fácil.
Resposta: B
	 Determinar o ponto P do eixo das abscissas, equi distante
dos pontos A(6; 5) e B(–2; 3).
RESOLUÇÃO:
Sendo dAP = dBP e P(x, 0), temos:
�������������������� ���������(xP – xA)2 + (yP – yA)2 = ���������������������������(xP – xB)2 + (yP – yB)2
�������������������� (x – 6)2 + (0 – 5)2 = �������������������� ��(x + 2)2 + (0 – 3)2 ⇒
⇒ (x – 6)2 + 25 = (x + 2)2 + 9 ⇒
⇒ x2 – 12x + 36 + 25 = x2 + 4x + 4 + 9 ⇒ 16x = 48 ⇒ x = 3 
Logo, P(3; 0)
Sr. Professor, comente nessa questão a importância da fórmula,
pois não sabemos a localização exata do ponto P e isso dificulta
resolver questões de distância somente por Pitágoras.
 
212
–––––
4
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 15:38 Página 97
98 MATEMÁTICA
� Dados os pontos A(8; 7) e B(–2; – 3), determinar o ponto
médio do segmento AB
––
.
RESOLUÇÃO:
XM = ⇒ XM = ⇒ XM = 3
YM = ⇒ YM = ⇒ YM = 2
Logo, M(3; 2)
� Determinar a medida da mediana relativa ao vértice A do
triângulo ABC, sendo A(4;6), B(5;1) e C(1;3).
RESOLUÇÃO:
I) 
⇒ M(3;2)
 
II) dAM = ���������������������������� (xM – xA)2 + (yM – yA)2 
 dAM = ��������������������� (3 – 4)2 + (2 – 6)2
 dAM = ��������� 1 + 16
 dAM = ����17
� (FEI) – O simétrico do ponto A(1; 3) em relação ao ponto 
P(3; 1) é:
a) B(5; –1) b) B(1; –1) 
c) B(–1; 3) d) B(2; 2) 
e) B(4; 0)
RESOLUÇÃO:
Sendo B(x; y) o ponto simétrico de A em relação a P, podemos
afirmar que P é ponto médio de AB
__
.
Assim:
 
⇔
Logo, B = (5; – 1)
Resposta: A
� (Uni.Fed.Pelotas) – Na arquitetura, a Matemática é usada
a todo momento. A Geometria é especialmente necessária no
desenho de projetos. Essa parte da Matemática ajuda a definir
a forma dos espaços, usando as propriedades de figuras planas
e sólidas. Ajuda também a definir as medidas desses espaços.
Uma arquiteta é contratada para fazer o jardim de uma resi -
dência, que deve ter formato triangular. Analisando a planta
baixa, verifica-se que os vértices possuem coordenadas 
A (8, 4), B (4, 6) e C (2, 4). No ponto médio do lado formado
pelos pontos A e C, é colocado um suporte para luminárias.
Considerando o texto e seus conhecimentos, é correto afirmar
que a distância do suporte até o ponto B mede, em unidades
de com primento:
a) �����37 b) ���3 c) ���5 
d) �����13 e) �����17 
RESOLUÇÃO:
Se M é o ponto médio de 
—
AC, então: M(5,4)
Assim: MB = ������������������� (5 – 4)2+(4 – 6)2 = ���5
Resposta: C
 
xB + xC 5 + 1
xM = ––––––––– = –––––– = 3
2 2
yB + yC 1 + 3
yM = ––––––––– = –––––– = 2
2 2
�
x + 1
–––––– = 3
2
y + 3
–––––– = 1
2
� x = 5y = – 1
8 – 2
––––––
2
XA + XB
–––––––––
2
7 – 3
––––––
2
YA + YB
–––––––––
2
Exercícios Propostos – Módulo 4
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 98
99MATEMÁTICA
5 a 7
Palavras-chave:
Estudo da reta • Coeficiente Angular
• Equação da reta
1. Introdução
 No estudo da geometria plana, aprendemos que
uma reta possui infinitos pontos. Nosso objetivo em
geometria analítica é exatamente escrever esses
infinitos pontos, mas como faremos isso? É claro que
escrever um a um não é uma boa opção! A solução
encontrada é escrever a equação da reta, que é o nosso
próximo objeto de estudo. Para atingirmos nosso
objetivo, vamos começar entendendo o que é a incli -
nação de uma reta.
 Entre os dois quadros a seguir, qual diríamos que
está inclinado?
 Sua resposta provavelmente foi o quadro da direita,
já que normalmente utilizamos como referência a
horizontal. A inclinação da reta será pensada da mesma
maneira, utilizando o eixo horizontal.
2. Inclinação da reta
 A inclinação da reta r é o ângulo “convexo” θ entre o eixo x e a reta r, sem pre medido de x para r no sentido anti-
ho rário. As únicas situações possíveis são:
3. Coeficiente angular da reta
 O coeficiente angular ou declividade da reta r, não vertical, é a tangente trigonométrica do ângulo θ. É,
geralmente, representado por m. Assim:
 Observe que
 a) Se r for horizontal, então θ = 0° e, portanto, m = 0.
 b) Se r for “crescente”, então 0° < θ < 90° e, por tan to, m > 0.
m = tg θ
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:40 Página 99
100 MATEMÁTICA
 c) Se r for vertical, então θ = 90° e, portanto, não
existe m.
 d) Se r for “decrescente”, então 90° < θ < 180° e,
portanto, m < 0. 
4. Como obter m, 
dados doispontos
 Seja r uma reta, não vertical, e sejam A (xA; yA) e 
B (xB; yB) dois pontos distintos de r.
 No triângulo retângulo ABC, temos:
 
 m = tg θ = = 
 
 
Logo:
5. Alinhamento de três pontos
 Dados três pontos distintos de coordenadas 
A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC), eles estarão alinhados se,
e somente se, mAB = mAC ou ambos os coeficientes
angulares não existirem.
6. Equação de uma reta que
passa por P(x0; y0)
 Agora já temos conhecimento suficiente para
atingirmos nosso objetivo de escrever os infinitos
pontos da reta! Para isso, vamos utilizar a condição de
alinhamento que aprendemos anteriormente escrita de
uma forma conveniente.
 Seja r a reta não vertical determinada pelo ponto 
P (x0; y0) e pela inclinação θ.
 Sendo Q (x; y) um ponto genérico de r e m o seu
coeficiente angular, temos:
 Observação
 Se r for vertical, a equação será x = x0.
 Conclusão
 A equação de qualquer reta que passa pelo ponto
P(x0; y0) é:
ou
também chamada de equação do feixe de retas concor -
rentes em P.
 Um caso importante que precisamos citar é o da reta
horizontal, que terá sua equação dada por y = y0, como
mostra o gráfico a seguir:
yB – yA–––––––––
xB – xA
CB
––––
AC
yB – yA
m = –––––––––
 xB – xA
 y – y0 m = tg θ ⇔ m = –––––––– ⇔ y – y0 = m . (x – x0) x – x0
x = x
0
y – y
0
= m . (x – x
0
) 
C1_2AMAT_Rose_2022.qxp 13/12/2021 15:49 Página 100
101MATEMÁTICA
7. Formas da equação da reta
 A partir da equação encontrada acima, podemos
escrever, fazendo ajustes necessários, a equação da reta
de formas mais utilizadas, como as que seguem abaixo.
 a) Equação geral da reta
 Essa forma de equação de reta é muito importante
pois engloba todo tipo de reta: vertical, horizontal ou
inclinada. Além disso, utilizaremos essa forma para
calcular a distância de ponto a reta mais pra frente. Note
que existem infinitas equações gerais para a mesma
reta.
 b) Equação reduzida
 Onde m = coeficiente angular da reta e h = coeficiente
linear da reta (valor onde a reta intercepta o eixo y)
 Observação: Isolando o y na equação geral da reta,
temos:
 Comparando com a equação reduzida da reta,
obtemos:
e
 c)Equação segmentária da reta
 Seja r uma reta não paralela a nenhum dos eixos coor -
 de nados e que não passa pela origem. Sendo P(p; 0) e
Q(0; q) os interceptos em Ox
→
e Oy
→
, obtém-se a equação
denominada EQUAÇÃO SEG MEN TÁ RIA da reta r:
 d) Equações paramétricas da reta
 Essas equações dão as coordenadas (x; y) de um
ponto qualquer da reta, em função de um parâmetro t.
 Observação
 A partir das equações paramétricas, pode-se obter
a equação geral da reta eliminando-se o parâ metro t.
ax + by + c = 0
y = mx + h
 –ax c
ax + by + c = 0 ⇔ y = ––––– – ––––
 b b
c
h = – –––
b
a
m = – –––
b
x y
– – + –– = 1
p q
x = f(t)� y = g(t)
C1_2AMAT_Rose_2022.qxp 13/12/2021 15:49 Página 101
102 MATEMÁTICA
� Determine a inclinação das retas abaixo: 
a) 
RESOLUÇÃO:
θr = 60°
b) 
RESOLUÇÃO:
θs = 150°
c) 
RESOLUÇÃO:
θt = 135° 
d) 
RESOLUÇÃO:
θu = 120° 
� Nos itens do exercício anterior, qual o coeficiente angular
de cada uma das retas?
RESOLUÇÃO:
mr = tg 60° = ���3
ms = tg 150° = – tg 30° = –
mu = tg 120° = – tg 60° = – ���3
mt = tg 135° = – tg 45° = – 1
���3
–––––
3
Exercícios Propostos – Módulo 5
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 102
103MATEMÁTICA
� Utilize a figura abaixo para calcular o coeficiente angular da
reta r, dados os pontos A(2; 1) e B (3; 3):
RESOLUÇÃO:
mr = tg θ = = 2 
Sr. Professor, utilize essa questão para fazer a ponte entre o
coeficiente angular como tangente da inclinação e como variação
de y dividido por variação de x. Apresente a fórmula em seguida.
� Para uma feira de ciências, dois projéteis de
foguetes, A e B, estão sendo construídos
para serem lançados. O planejamento é que
eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B
interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para
que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória
parabólica, en quanto o outro irá descrever uma trajetória supos -
tamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por
esses projéteis em função do tempo, nas simulações
realizadas.
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do
projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse
alcançado.
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que
representa a trajetória de B deverá
a) diminuir em 2 unidades.
b) diminuir em 4 unidades.
c) aumentar em 2 unidades.
d) aumentar em 4 unidades.
e) aumentar em 8 unidades.
RESOLUÇÃO:
O coeficiente angular da reta 
↔
OA dada é 
m
OA
= = 2
O coeficiente angular da reta
↔
OV, que passa no vértice da parábola, é
m
OV
= = 4
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta dada deverá
aumentar m 
OV
– m 
OA
= 4 – 2 = 2 unidades. 
Resposta: C
8 – 0
––––––
4 – 0
16 – 0
–––––––
4 – 0
2
–––
1
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 103
104 MATEMÁTICA
� (IFSUL-Adaptada) – Observe a figura abaixo onde estão representadas algumas ruas de Pelotas. 2.
Considere que:
1. As larguras das ruas sejam despre zíveis e o
lado de cada quadra seja 01 (uma) unidade de
medida;
2. Todas as quadras sejam quadradas de
dimensões iguais;
3. A rua Gomes Carneiro seja o eixo das
abscissas;
4. A rua XV de Novembro seja o eixo das
ordenadas;
5. O cruzamento das ruas Tiradentes e Mal.
Deodoro seja o ponto A;
6. O cruzamento das ruas Alm. Taman daré e
Gonçalves Chaves seja o ponto B.
7. O cruzamento das ruas Três de maio e XV de
novembro seja o ponto C.
Os pontos A, B e C estão alinhados? Justifique.
RESOLUÇÃO: 
Com as informações dadas, concluímos que as coordenadas dos pontos são:
A(–3; 4), B(3,–2) e C(0; 1)
mAB = = = – 1
mAC = = = – 1
Como mAB = mAC, os pontos estão alinhados. 
6
––––
– 6
4 – (–2)
––––––––
– 3 – 3
3
––––
–3
4 – 1
––––––––
– 3 – 0
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 104
105MATEMÁTICA
� 
a) Determinar a equação da reta r da figura abaixo:
RESOLUÇÃO:
m = tg 45° = 1 
y – 2 = 1(x – 5)
y = x – 3 
b) Verifique se os pontos A(1; 1) e B(7; 4) pertencem a reta.
RESOLUÇÃO:
1 � 1 – 3, portanto o ponto A não pertence a reta.
4 = 7 – 3, portanto o ponto B pertence a reta.
c) Encontre os pontos onde essa reta intersecta os eixos
coordenados.
RESOLUÇÃO:
y = 0 – 3 = – 3, portanto ela intersecta o eixo y no ponto (0; – 3)
0 = x – 3 ⇔ x = 3, portanto ela intersecta o eixo x no ponto (3; 0)
Sr. Professor, utilize essa questão para mostrar pro aluno que,
com a equação da reta, podemos achar quantos pontos dela
quisermos. 
� Uma indústria automobilística está testando
um novo modelo de carro. Cinquenta litros de
combustível são colocados no tanque desse
carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o
combustível tenha sido con sumido. O segmento de reta no
gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade
de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a
distância per corrida pelo automóvel é indicada no eixo x
(horizontal).
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de com -
bustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é
a) y = –10x + 500
b) y = + 50 c) y = + 500
d) y = + 50 e) y = + 500
RESOLUÇÃO:
Sabendo os pontos A(0; 50) e B(500; 0), temos:
m = = = –
y – 50 = (x – 0) ⇔ y = – + 50 
–x
––––
10
– x
––––
10
x
–––
10
x
–––
10
50 – 0
––––––––
0 – 500
–1
––––
10
50
––––––
– 500
1
––––
10
x
––––
10
Exercícios Propostos – Módulo 6
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 105
106 MATEMÁTICA
� (Ufsm) – O uso de fontes de energias limpas e renováveis,como a energia eólica, geotérmica e hidráulica, é uma das
ações relacionadas com a sustentabilidade que visa a diminuir
o consumo de combustíveis fósseis, além de preservar os
recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em uma estação
de energia eólica, os cata-ventos C1, C2 e C3 estão dispostos
conforme o gráfico a seguir.
Para que um cata-vento de coordenadas (x; y) esteja alinhado
com o cata-vento C1 e com o ponto médio do segmento 
—
C2C3,
é necessário e suficiente que
a) 2x + 15y – 850 b) 5y – x + 50 = 0
c) 55y – 26x + 2050 = 0 d) 4x + 5y = 450
e) 5y – 6x + 550 = 0
RESOLUÇÃO:
Dados os pontos
C1(100; 10), C2(200; 30) e C3(50; 50), temos:
MC2C3
= � ; � = (125; 40)
mr = = = 
y – 10 = (x – 100) ⇔ 5y – 6x + 550 = 0 
Resposta: E 
� (UNESP) – Dois dos materiais mais utilizados para fazer
pistas de rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. Uma
pista nova de concreto reflete mais os raios solares do que uma
pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas
tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares,
conforme mostram os segmentos de retas nos gráficos.
 (www.epa.gov. Adaptado.)
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo
dos anos de uso, duas pistas novas, uma de concreto e outra
de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma porcentagem
de reflexão dos raios solares após
a) 8,225 anos. b) 9,375 anos.
c) 10,025 anos. d) 10,175 anos.
e) 9,625 anos.
RESOLUÇÃO:
Sendo r a reta que representa a pista de concreto e s a reta que
representa a pista de asfalto, temos:
A(0; 35) e B(6; 25) ∈ r
mr = = = 
(r) y – 35 = (x – 0)
(r) y = + 35
C(0; 10) e D(6; 16) ∈ s
ms = = = 1
(s) y – 10 = 1(x – 0) 
(s) y = x + 10 
⇒ x = 9,375 
Resposta: B
200 + 50
–––––––––
2
30 + 50
––––––––
2
40 – 10
––––––––––
125 – 100
30
––––
25
6
–––
5
6
–––
5
reflexão solar (%)
35
25
16
10
0 6
anos
35 – 25
––––––––
0 – 6
10
––––
–6
–5
–––
3
–5
–––
3
–5x
–––––
3
16 – 10
––––––––
6 – 0
6
–––
6
�
5x
y = – ––– + 35
3
y = x + 10
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 106
107MATEMÁTICA
� Represente graficamente as equações.
a) x + y = 2
RESOLUÇÃO:
b) 3x – y = 0
RESOLUÇÃO:
3x – y = 0 ⇔ y = 3x (passa pela origem)
Sr. Professor, utilize essa questão para mostrar a equação de uma
reta que passa pela origem a a importância de reconhecer esse
tipo de reta.
c) 2x – 10 = 0
RESOLUÇÃO:
d) x2 – 5x + 6 = 0
RESOLUÇÃO:
e) 2y – 4 = 0
RESOLUÇÃO:
� Encontre os coeficientes angular e linear das retas abaixo:
a) y = 3x – 2
RESOLUÇÃO:
m = 3 e h = – 2
b) 5x + 4y – 7 = 0
RESOLUÇÃO:
y = – x + 
m = – e h = 
7
–––
4
5x
––––
4
7
–––
4
5
–––
4
Exercícios Propostos – Módulo 7
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 107
108 MATEMÁTICA
� (PUC-RJ) – O retângulo ABCD, com A = (0,0), B sobre o
semieixo x positivo, D sobre o semieixo y positivo, conforme
figura abaixo, tem área 36, e a medida do lado 
–––
AD é igual a 4.
Qual é a equação da reta
↔
BD?
a) x + y = 8 b) 4x + 9y = 36 c) 5x + 3y = 10
d) 9x + 4y = 36 e) – x + y = 36
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, aproveite essa questão para mostrar que
podemos encontrar a equação da reta utilizando a equação
reduzida e também para apresentar a equação segmentária.
Se 
––
AD está sobre o eixo y, ele possui medida 4 e A (0; 0),
conclui-se que o ponto D tem coordenadas (0; 4), ou seja,
D(0; 4).
A área do retângulo ABCD é tal que
AB . AD = 36 ⇒ AB . 4 = 36 ⇒ AB = 9.
Como 
—
AB está sobre o eixo x e A(0: 0), temos B(9; 0).
AB . AD = 36
m = = 
y = mx + h ⇔ y = x + 4 ⇔ 4x + 9y = 36
ou
+ = 1 ⇔ 4x + 9y = 36
\Resposta: B
� (FGV) – No plano cartesiano, a reta (r) intercepta os eixos
x e y nos pontos (5, 0) e (0, 2); a reta (s) intercepta os eixos nos
pontos (1,0) e (0, –1).
O ponto P de intersecção das retas (r) e (s) tem coor denadas
cuja soma é
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
RESOLUÇÃO:
A equação da reta r é + = 1 ⇒ 2x + 5y = 10.
A equação da reta s é + = 1 ⇒ x – y = 1.
O ponto P(x; y), intersecção das retas r e s é tal que
⇔ ⇔ ⇒
⇒ x + y = 
Resposta: C
 
4 – 0
–––––––
0 – 9
4
–––
9
– 4
–––
9
x
–––
9
y
–––
4
21
––––
9
x
–––
5
y
–––
2
x
–––
1
y
–––
–1
�2x + 5y = 10 x – y = 1 �2(y + 1) + 5y = 10x = y + 1 �
8
y = ––
 7
15
x = –––
 7
23
––––
7
22
––––
8
23
––––
7
24
––––
6
25
––––
5
C1_2AMAT_Rose_2023.qxp 27/06/2022 16:35 Página 108
109MATEMÁTICA
8
Palavras-chave:
Área de um triângulo • Determinante
• Alinhamento
1. Introdução
 Em geometria plana, encontramos a área de um
triângulo sabendo, por exemplo, uma base a sua altura
relativa. Em geometria analítica poderíamos tentar
calcular a área de um triângulo dessa mesma maneira,
porém a altura seria um desafio nesse momento. Em
módulos posteriores aprenderemos distância entre um
ponto e uma reta que nos ajudaria a resolver esse
problema, mas há uma solução muito mais fácil e eficaz
para encontrarmos a área de triângulos sabendo so -
mente as coordenadas dos três vértices! Por conse -
quência, saberemos a área de outros polígonos maiores
se o dividirmos em triângulos.
2. Área do triângulo 
 Dados três pontos A (xA; yA), B (xB; yB) e C (xC; yC) não
colineares, verifica-se que a área do triângulo ABC vale:
onde D =
3. Condição de alinhamento
 Os pontos A (xA; yA), B (xB; yB) e C (xC; yC) estão
alinhados se, e somente se, o determinante D é nulo.
Simbolicamente:
 A ordem das linhas da matriz que origina o deter -
minante D é qualquer, tanto no cálculo da área do
triângulo como na condição de alinhamento.
A condição de alinhamento de 3 pontos pode ser
in ter pretada geometrica mente a partir da área do triân -
gu lo, que é . �D �.
 Se o ponto A tender ao lado BC
–––
, a área do triângulo
ABC será cada vez me nor e podemos dizer que: quando
o ponto A estiver alinhado com o ponto B e o ponto
C, o valor da área será nulo; daí:
 
 SΔABC = 0 ⇔ �D� = 0 ⇔ �D� = 0 ⇔ D = 0, onde:
D =
 
4. Determinação da equação geral
 Seja r a reta do plano cartesiano determinada pelos
pontos distintos A(x
A
; y
A
) e B(x
B
; y
B
). Sendo P (x; y) um
ponto qualquer de r, temos:
 1 
AΔABC = –– . � D �
 2
xA
xB
xC
yA
yB
yC
1
1
1
A, B e C estão alinhados ⇔ D = 0
1
––
2
 1
AΔABC = 0 ⇒ ––– � D � = 0 ⇔ D = 0 2
1
––
2
xA
xB
xC
yA
yB
yC
1
1
1
P, A e B alinhados ⇔
x
xA
xB
y
yA
yB
1
1
1 
= 0
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:40 Página 109
110 MATEMÁTICA
� (UFGO) – Para medir a área de uma fazenda de forma
triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização
por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os
pontos A(2, 1), B(3, 5) e C(7, 4) do plano cartesiano, com as
medidas em km. A área dessa fazenda, em km2, é de:
a) b) 17 c) 2����17 d) 4����17 e) 
RESOLUÇÃO:
Sendo A, a área do triângulo ABC, temos: 
A = . �D�, onde D = = –17, temos A = 
Sendo o quilômetro (km), a unidade de medida, conclui-se que a
área da fazen da é igual a km2.
Resposta: A
� (UERJ) – Na região conhecida como Triângulo das
Bermudas, localizada no oceano Atlântico, é possível formar
um triângulo com um vértice sobre a cidade porto-riquenha de
San Juan, outro sobre a cidade estadunidense de Miami e o
terceiro sobre as ilhas Bermudas.
A figura abaixo mostra um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, com os vértices do triângulo devidamente repre -
sentados. A escala utilizada é 1:17.000.000, e cada unidade
nos eixos cartesianos equivale ao comprimento de 1 cm.
Calcule, em km2, a área do Triângulo das Bermudas, conforme
a representação plana da figura. 
RESOLUÇÃO:
Da figura, temos que o Triângulo das Bermudas tem vértices nos
pontos A(0; 2), B(9; 0)e C(7; 9). A área, calculada na unidade do
plano cartesiano será dada por
D = = 14 + 81 – 18 = 77
S = = 38,5
Como a escala é de 1 cm: 170 km, a relação entre as áreas será de
1 cm2 : 1702 km2, portanto
Areal = 38,5 . (170)
2
Areal = 1112650 km
2
17
–––
2
����17
––––
2
1
–––
2
2
3
7
1
5
4
1
1
1
17
–––
2
17
–––
2
0
9
7
2
0
9
1
1
1
�77�
––––
2
Exercícios Propostos – Aula 8
C1_2AMAT_Rose_2022 09/12/2021 08:33 Página 110
111MATEMÁTICA
� (UERJ-Adaptada) – Observe o mapa da região Sudeste.
(Adaptado de Bocchicchio, V. R. Atlas atual: geografia. São Paulo: Atual, 1999)
Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridiano de 45° como o eixo das ordenadas. Neste sistema
cartesiano, as coordenadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e Vitória são, respectivamente, , 
, e , todas medidas em cen tímetros.
Calcule, em cm2, a área do quadrilátero cujos vértices estão representados por estas quatro cidades do mapa.
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, não calcule os determinantes nesse exercício. A im por tância dele é mostrar que polígonos maiores podem ser divididos em
triângulos. 
Dividindo o quadrilátero em dois triângulos, sendo um entre, SP, RJ e BH e outro entre RJ, BH e Vitória, temos os seguintes determinantes:
D1 = = 
D2 = = – 12 
A = + = + 6 = 6,25 + 6 
A = 12,25 
–3
––––
2
2
3
–––
2
0
1
–––
2
4
1
1
1
25
––––
2
2
3
–––
2
5
1
–––
2
4
7
–––
2
1
1
1
25� –––– �
2
––––––––
2
–12� –––– �
2
25
––––
4
7�5; ––�2
3�––; 4�2
1�2; ––�2
– 3�––––; 0�2
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:40 Página 111
112 MATEMÁTICA
� (UFABC) – Calcule a área do trapézio em destaque na
figura, as sumin do que os valores numéricos no plano
cartesiano estão em centímetros.
RESOLUÇÃO:
A reta r, que passa pelos pontos (1; 3) e (0; 1), tem equação:
= 0 ⇔ 2x – y + 1 = 0
Os pontos A e B têm coordenadas (2; 5) e (4; 9), respec tivamente,
pois, para x = 2, temos y = 5 e, para x = 4, temos y = 9.
A área A do trapézio ABCD é, em cm2:
A = = = 14
Resposta: 14 cm2
Sr. Professor, comente nesse exercício que poderiam ser
utilizadas as técnicas anteriores para encontrarmos a equação da
reta. Se houver tempo, resolva de outro modo e mostre que os
resultados são equivalentes.
x
1
0
y
3
1
1
1
1
(AD + BC) . CD
–––––––––––––––
2
(5 + 9) . 2
––––––––––
2
C1_2AMAT_Rose_2022 08/12/2021 13:40 Página 112