Séries de Fourier

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Basílio Pedro Catonga 
Hélder Vicente Miguel 
Ismail António Bomane 
Lemos João Melelão 
 
 
 
 
 
Séries de Fourier 
Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações em Estatística (3º Ano) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Lichinga 
2023 
2 
 
Basílio Pedro Catonga 
Hélder Vicente Miguel 
Ismail António Bomane 
Lemos João Melelão 
 
 
 
 
 
Séries de Fourier 
Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações em Estatística (3º Ano) 
Trabalho da cadeira de Análise Harmónica a ser 
entregue no Departamento de Ciências, 
Tecnologia, Engenharia e Matemática. Para fins 
avaliativos, 
Sob orientação do docente: MSc. Vital 
Napapacha 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Lichinga 
2023 
3 
 
Índice 
1. Introdução............................................................................................................................ 4 
2.1. Convergência das séries de Fourier ........................................................................... 10 
3. Conclusão .......................................................................................................................... 12 
4. Referências Bibliográficas ................................................................................................ 13 
 
 
4 
 
1. Introdução 
As séries de Taylor não são as únicas séries usadas para aproximar e/ou representar funções. 
As séries de Fourier, que nos propomos introduzir neste trabalho, são outro exemplo da 
aplicação das séries ao estudo das funções. 
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Físico-Matemático francês, em 1789 decide 
abandonar a carreira religiosa e tornar-se professor de Matemática da escola militar de 
Auxerre. Pela sua genialidade Fourier foi mais tarde seleccionado para estudar na École 
Normale de Paris, tendo como professores os maiores Físico-Matemáticos da época: Joseph 
Louis Lagrange. Pierre Simon Laplace e Gaspard Monge. Em 1811, em suas pesquisas sobre 
a teoria do calor, Fourier desenvolve A Théorie mathématique de Ia chaleur que explicita os 
coeficientes e descreve várias 1unçes em séries de senos e cossenos. Como observa 
Figueiredo (2014), Fourier afirmou ainda que qualquer função poderia ser expressa na forma 
da série que hoje tem o seu nome, contudo apesar disso não ser verdade, o que foi provado 
por Dirichlet, ele tem o mérito de descrever claramente a forma da série que deveria 
representar tal função. Posteriormente com uma fundamentação mais rigorosa da Análise 
Matemática por Cauchy. Weierstrass e outros, a teoria das séries de Fourier pode ser 
enriquecida com as contribuições de Riemann, hoje, as séries de Fourier, a integral de Fourier 
e as Transformadas de Fourier constituem um ramo da Análise Matemática de valor 
incalculável para o estudo de fenómenos ondulatórios. 
O objectivo geral do trabalho é de compreender as séries de Fourier, para alcançar o objectivo 
geral foram realizados alguns objectivos específicos, a destacar: conceituar as séries de 
Fourier; determinar os coeficientes de Fourier e calcular a série de Fourier e a convergência 
uniforme. 
 
5 
 
2. Séries de Fourier 
Série de Fourier é uma forma de série trigonométrica usada para representar funções infinitas 
e periódicas complexas dos processos físicos, na forma de funções trigonométricas simples de 
senos e cossenos. Foi criada em 1807 por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). 
A série de Fourier é uma forma de representar funções como uma soma de seno e cossenos. 
Essa transformação de uma função em somas de senos e cossenos é muito útil quando temos 
aquelas funções super complexas. 
Para a percepção do tema, é necessário, introduzir alguns conceitos: 
Definição 1: Seja uma função, dizemos que é uma função periódica de período 
quando ( ) ( ), para todo . 
Definição 2: Dizemos que uma função é quando for integrável e 
absolutamente integrável. 
Observação: ´E possível mostrar que toda função contınua e uma função . 
Definição 3: Seja uma função real de variável real, periódica de período , para a qual se 
possam calcular os coeficientes e 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 ( ) 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 ( ) 
e definir a série trigonométrica. À série obtida chama-se série de Fourier de . Os 
coeficientes designam-se por coeficientes de Fourier de . 
Notas: 
1. Usaremos a notação 
 ( ) 
 
 
 ∑( ( ) ( ))
 
 
 
6 
 
para significar que a série indicada é a série de Fourier de , mas ainda não sabemos 
se converge para . 
2. A série de Fourier fica bem determinada pelos valores dos coeficiente , 
calculados anteriormente. Se alterarmos o valor da função num número finito de pontos, 
os integrais que definem coeficientes não se alteram. Em particular, não interessa qual o 
valor da função em pontos isolados, incluindo os extremos do intervalo. Assim, podemos 
considerar a função definida no intervalo fechado, no intervalo aberto ou no intervalo 
fechado num dos extremos e aberto no outro. 
Escolhemos o intervalo por conveniência. De facto, como as funções trigonométricas 
envolvidas são periódicas de período , serviria qualquer intervalo de amplitude , tendo 
em conta a Proposição 1 facilmente demonstrável por mudança de variável. 
Proposição 1: Seja uma função periódica de período 
Então, quaisquer que sejam , 
∫ ( )
 
 
 ∫ ( )
 
 
 
No caso em que é dada explicitamente no intervalo em vez de , pode ser mais 
conveniente calcular os coeficientes pelas fórmulas: 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 ( ) 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 ( ) 
Teorema Dirichlet 1: Diz-se que uma função ( ) satisfaz às condições de Dirichlet em um 
intervalo ( ), se neste intervalo a função 
1. está uniformemente restrita, isto é, | ( )| para , onde é uma 
constante; 
7 
 
2. não tem ais que um numero finito de pontos de descontinuidade e todos eles da 1ª 
espécie (isto é, que em cada ponto de descontinuidade a função ( ) tem um limite 
finito à esquerda ( ) ( ) e um limite finito à direita ( ) 
 ( ) ( ); 
3. não tem mais que um numero finito de pontos de extremo estrito. 
Um problema que aparece frequentemente nas aplicações é o de desenvolver uma função 
em série de Fourier, estando a função apenas definida no intervalo e sem fazer 
referência à periodicidade de . Como as fórmulas para cálculo dos coeficientes envolvem 
apenas o intervalo . Podemos calcular a série de Fourier da função. As funções 
trigonométricas que intervêm na série de Fourier são periódicas de período . Se a série for 
convergente a função soma, ̃, também será periódica de período : 
 ̃ ( ) ̃( ) 
Ao calcular a série de Fourier de uma função definida em estamos facto a determinar 
a série de Fourier do seu prolongamento periódico cuja definição introduzimos a seguir: 
Preposição 2: Seja . Existe uma única função ̃ de período , a que se chama 
prolongamento periódico de ̃, que satisfaz ̃( ) ( ), para todo . 
Dada a expressão de ( ), a função ̃ fica bem definida por 
 ̃( ) ( ) 
 ̃( ) ̃( ) 
Em algumas situações pode ser útil explicitar a expressão analítica de ̃. 
Exemplo: O prolongamento por periodicidade de ( ) , definida em , é a função 
 ̃ representada na figura a seguir: 
 
Fonte: Sá, A. A. Louro, B. 
8 
 
Prolongamento por periodicidade de ( ) 
A expressão analítica de ̃ é 
 ̃( ) ( ) ( ) 
Exemplo 2: Consideremos a função real de variável real 
 ( ) {
 
 
 
 
Resolução: Os coeficientes de Fourier de podem ser calculados usando integração por 
partes 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 
 
 
( ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 )( 
 
 
 *
 
 
+
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 ( ) 
 
 
( ∫ ( )
 
 
 ∫ ( )
 
 
 )
 
 
 
([
 ( )
 
]
 
 
 [ 
 ( )
 
]
 
 
 ∫
 ( )
 
 
 
 ) 
 
 
[
 ( )
 
]
 
 
 
 
 
(
 ( )
 
 
 ( )
 
) 
( ) 
 
 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 ( ) 
 
 
( ∫ ( )
 
 
 ∫ ( )
 
 
 )
 
 
 
([ 
 ( )
 
]
 
 
 [ 
 ( )
 
]
 
 
 ∫
 ( )
 
 
 
 )
 
 
 
( 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 [
 ( )
 
]
 
 
)
 
 
 
( 
 
 
 
( ) 
 
 
 ( ) 
 
) 
( )( ) 
 
 
9 
 
A série de Fourier de é 
 
 
 
 
 
 ∑ (
( ) 
 
 ( ) 
( )( ) 
 
 ( ))
 
 
 
Com este exemplo verifica-se facilmente que a soma da série não é igual a em todos os pontos 
do intervalo . De facto em, e em obtemos a série numérica: 
 
 
 
 
 
 ∑
 
 ( ) 
 
 
 
mas ( ) ( ) 
Exemplo 3: Consideremos a função real de variável real ( ) , definida em 
 
Fonte: Sá, A. A. Louro, B. 
Resolução: Os coeficientes de Fourier de podem ser calculados usando integração por 
partes 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
*
 
 
+
 
 
 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 ( ) 
 
 
∫ 
 
 
 ( ) 
 
 
([ 
 ( )
 
]
 
 
 ∫
 ( )
 
 
 
 )
 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 ( ) 
 
 
∫ 
 
 
 ( ) 
 
 
([ 
 ( )
 
]
 
 
 ∫
 ( )
 
 
 
 )
 
 
 
( 
 ( )
 
 
 ( )
 
) ( ) 
 
 
 
A série de Fourier de é 
10 
 
∑( ) 
 
 
 ( )
 
 
 
Exercício proposto: Consideremos a função real de variável real ( ) , definida em 
 . Desenvolve a função em série de Fourier. 
2.1.Convergência das séries de Fourier 
O estudo da convergência das séries de Fourier não é elementar. Além disso mesmo que 
saibamos que a série converge, resta o problema de saber qual é a função soma. De facto, no 
caso do Exemplo 3, a série não pode convergir para ( ) para todos os valores de : para 
 cada termo na série e zero e, portanto, a série converge para zero, que é diferente de 
 ( ) 
Passamos a introduzir alguns conceitos que nos permitirão abordar o estudo da convergência 
das séries de Fourier, problema importante desta teoria. 
Definição 4: Uma função diz-se seccionalmente contínua no intervalo se é contínua 
nesse intervalo excepto num número finito de pontos 
 e, em cada ponto de descontinuidade, existem os limites à esquerda e à direita 
 ( 
 ) 
 
 
 ( ) ( 
 ) 
 
 
 ( ) 
Diz-se que é seccionalmente contínua em se for seccionalmente contínua em qualquer 
intervalo limitado de . 
 
Fonte: Sá, A. A. Louro, B. 
Uma função seccionalmente contínua 
Definição 5: Uma função diz-se seccionalmente de classe no intervalo se é 
continuamente diferençável nesse intervalo excepto num número finito de pontos 
11 
 
 e, em cada ponto de , existem os limites à esquerda e à 
direita 
 ( 
 ) 
 
 
 ( ) ( 
 ) 
 
 
 ( ) 
Assim como o limites 
 ( 
 ) 
 
 
 ( ) ( 
 ) 
 
 
 ( ) 
 
Diz-se que é seccionalmente de classe em se for seccionalmente de classe em 
qualquer intervalo limitado de . 
Teorema 2: Se a função , periódica de período , for seccionalmente de classe em 
 , a sua série de Fourier converge em todos pontos. Nos pontos de continuidade de a 
soma da série obtida é igual ao valor da função. Em cada ponto de descontinuidade de a 
soma da série é igual à média aritmética dos limites laterais da função nesse ponto. 
Teorema 3 (Teorema sobre a Convergência Uniforme da Série de Fourier): Considere 
uma função¸ uma função periódica de período , seccionalmente contínua e 
com derivada primeira de quadrado integrável. Então, sua Série de Fourier converge 
uniformemente para , em todo intervalo fechado que não contenha pontos de 
descontinuidade de . 
12 
 
3. Conclusão 
A realização deste trabalho contribuiu ricamente para nosso amadurecimento e 
aprofundamento no estudo de alguns dos conteúdos da graduação, em especial da Análise 
Matemática. Além disso, nos permitiu conhecer um pouco da teoria de Fourier, bem como, 
suas importâncias e o amplo campo onde estas podem ser aplicadas, o que fomentou o 
interesse de, em estudos posteriores, nos aprofundarmos um pouco mais neste fascinante 
universo de pesquisa científica. 
As séries de Fourier podem ser testadas em um vasto conjunto de condições. Esses resultados 
são muito cômodos, visto que poupam-nos do trabalho de determinar séries de Fourier 
divergentes. 
A elaboração do mesmo foi uma tarefa que exigiu muitas horas de dedicação, porem 
prazerosas. Além do mais podemos aplicar alguns conceitos adquiridos durante o curso e 
ainda aperfeiçoar e agregar novos conhecimentos. 
 
13 
 
4. Referências Bibliográficas 
1. Demidovitch, B.(1993). Problemas e exercícios de Análise Matemática. Escolar 
Editora(Editora MIR, Moscovo),Lisboa. 
2. Gandulfo, R. O. (1990). Séries de Fourier e Convergência. Brasília. 
3. Lacerda, J. H. H. (2016). Análise de Fourier e a Transformada de Laplace. Campina 
Grande. 
4. Sá, A. A. Louro, B. (2014). Sucessões e Séries – Teoria e Pratica. 2ª Edição. Escolar 
Editora. Lisboa. 
5. Souto, F. F. Gadotti, M. C. (2016). Sobre séries de Fourier - About Fourier series. 
Volume 8. Universidade Estadual Paulista.